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圆周角定理PPT课件

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圆周角-PPT课件

圆周角-PPT课件

E
20°
30°
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
A F
C
下列说法是否正确，为什么？
拓展巩固
“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.
一条弦所对应的圆周角有两类.
D
如图所示，连接BO、EO. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
O.
所以36根0°据圆周角定理可知∠C+∠D = . 180°
通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的 体验.
知识回顾
O
1.圆心角的定义?
顶点在圆心的角叫圆心角.
A
B
2.图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
C
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下
图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
O
A
B
探索新知
顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的角叫圆周角．（两个条件必须同时具备，缺一不可）
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学目标
【知识目标】 理解圆周角的概念。探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关
系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【能力目标】
经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想， 渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能 力. 【情感目标】
意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠A与∠D相等吗？ 请说明理由.
D
同弧所对的圆周角相等.
问题2 如图，若
,那么 ∠A与∠B相等吗？
想一想： 反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
AB E
O
C

圆周角定理 课件

圆周角定理 课件

(2)因为△ABE∽△ADC， 所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝AD·AE. 又 S＝12AB·AC·sin ∠BAC，且 S＝12AD·AE， 所以 AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 则 sin ∠BAC＝1. 又∠BAC 为三角形内角， 所以∠BAC＝90°.
2．已知 AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径． 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接 BE，因为 AE 为直径， 所以∠ABE＝90°. 因为 AD 是△ABC 的高，所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C，所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC.
5．如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交 它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE， 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
利用圆周角进行计算
[例 2] 如图，已知 BC 为半⊙O 的直径， AD⊥BC，垂足为 D，BF 交 AD 于 E，且 AE ＝BE.
(1)求证： AB＝ AF ； (2)如果 sin ∠FBC＝35，AB＝4 5，求 AD 的长． [思路点拨] BC 为半⊙O 的直径，连接 AC，构造 Rt△ABC.
4．如图，△ABC ຫໍສະໝຸດ 接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A＝50°，则
∠OCD 的度数是
()
A．40° C．50°
B．25° D．60°
解析：连接 OB.因为∠A＝50°，所以弦 BC 所 对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝12∠BOC ＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案：A

圆周角定理课件(PPT 17页)

圆周角定理课件(PPT 17页)
1 = 2 ∠AOD,∠CBD 1 = 2 ∠COD,
●
C O B
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
一条弧所对的圆周角等于它所 一条弧所对的圆周角等于它所 圆周角 对的圆心角的一半. 圆心角的一半 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理 圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 的大小关系是 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 圆周角等于它所对的圆心角的一 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 1 半.
A E
●
驶向胜利 的彼岸
A E B D
C
O
C
B D
在同圆内,同弧或等弧所对的 在同圆内 同弧或等弧所对的 圆周角相等. 圆周角相等
圆周角定理: 在同一圆内,同弧或等弧所对的圆周角相等 同弧或等弧所对的圆周角相等, 在同一圆内 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周 都等于该弧所对的圆心角的一半 相等的圆周 角所对的弧相等． 角所对的弧相等．
●
O D C A
●
O C B
O C
D
70o
B
４．如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ∠BAD = 如图：四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，则 ＡＢＣＤ内接于
∠BOD =
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦，延 长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
如图：已知ＢＣ为 如图：已知ＢＣ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， ＢＣ 的直径，ＡＤ⊥ ，ＡＤ 垂足为Ｄ，ＢＦ ＡＤ于Ｅ，且 Ｄ，ＢＦ交 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ． ︵ ︵ 求证：ＡＢ＝ＡＦ （１）求证：ＡＢ＝ＡＦ 3 （２）若sin∠ＦＢＣ＝ , AB = 4 5 , 求AD的长。 ∠

圆周角定理 课件

圆周角定理 课件

如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长 线交它的外接圆于点 E.
图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似． (2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而 求∠BAC 的大小． 【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝ AD·AE.
又 S＝12AB·ACsin∠BAC 且 S＝12AD·AE， 故 AB·ACsin∠BAC＝AD·AE， 则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.
1．解答本题(2)时关键是利用 AB·AC＝AD·AE 以及面积 S ＝12AB·ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值．
圆周角定理
1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的 圆周角 等于它所 对的 圆心角 的一半． (2) 推 论 1 ： 同弧或等弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ； 同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的 弧 也相等． (3)推论 2： 半圆 (或 直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是 直径 ．
在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度 又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式 相等．
如图 2－1－5，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直
径作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若∠BAC＝50°，则

圆周角定理 课件

圆周角定理 课件

要点三 直径上的圆周角 例 3 如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，AC
为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC＝4 cm. (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系； (2)求 OD 的长； (3)若 2sin A－1＝0，求⊙O 的直径.
解 (1)OD⊥AC.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC，∴OBCD＝AAOB＝12， ∴OD＝12BC＝2(cm). (3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝12.又∵sin A＝BACB， ∴AB＝2BC＝8 cm，即⊙O 的直径为 8 cm.
圆周角定理
1.圆周角定理
文字语言
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
角的_一__半___
图形语言
符号语言 作用
在⊙O 中，B︵C所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝_12_∠__B_O_C__
确定பைடு நூலகம்中两个角的大小关系
2.圆心角定理
文字语言
圆心角的度数等于它_所__对_弧___ 的度数
规律方法 此题充分利用了“直径所对的圆 周角是直角”这一特征，并在此基础上对前 面所学知识进行适当的综合.
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和 弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程 中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供 了一种新方法.
2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半 径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度 数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来， 弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
要点一 圆周角定理及其推论 例 1 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3cm 的弦 AB，求此

2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)

2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)

知识点 1 圆周角
感悟新知
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角叫做圆周角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别解读 圆周角必须满足两个条件： 1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
2. 圆心角与圆周角的区别与联系
感悟新知
名称 关系
圆心角
圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所 对的圆心角只有唯一
一个
特别提醒
感悟新知
1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四 边形的对角互补”，可以转化为求其内接四边形的 对角的度数.
2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弧 所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等 的弧所对的圆周角相等或互补.
结构导图
课堂小结
圆周角
概念
圆周角定理的推论 圆周角定理 圆内接四边形的性质
感悟新知
2. 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种类型，一类是劣弧所 对的圆周角，是一个锐角；另一类是优弧所对的圆周角， 是一个钝角. 如图2.4-4，弦AB所对的圆周角是∠ACB与 ∠ADB，它们分别是A⌒B所对的圆周角和 A⌒CB所对的圆周角.
特别提醒
感悟新知
1. 一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对 的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题 时，也可以直接作为定理加以应用.
∴ OB＝12BC．∵ OB＝2， ∴ BC＝2OB＝4．∴⊙A的半径为2．
方法点拨
感悟新知
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直 径的常用方法．特别是在平面直角坐标系中， 当圆经过坐标原点O 时，连接圆与两坐标轴的 交点，得到的弦是直径．

圆周角定理课件

圆周角定理课件

总结和回顾
圆周角定理是几何学中重要的概念，它帮助我们理解和解决与圆相关的各种问题。
2 计算问题
通过圆周角的公式，我 们可以解决各种与圆相 关的数学计算问题。
3 工程应用
圆周角的概念在建筑、 设计和工程领域有广泛 应用，帮助解决实际问 题。
圆周角定理的证明
1
步骤一
通过绘制辅助线和应用几何定理，建立圆周角定理的几何模型。
2
步骤二
利用圆周角的定义和性质，推导出圆周角定理的数学表达式。
圆周角的弦长
圆周角对应的弦长等于圆半径乘以2sin(圆周角的度数/2)。
圆周角的性质
相等的圆周角
当两个圆周角的圆心角度数相 等时，其圆周角相等。
互补的圆周角
两个互补的圆周角的度数和为 360度。
切线与圆周角
切线与相交弦所对的圆周角相 等。
圆周角的应用
1 几何证明
圆周角的性质在几何证 明中经常被本节课的演示文稿，让我们一起探索圆周角的定理以及其应用。
圆周角定义
圆周角指的是以圆心为顶点的角，其两条边分别是与圆相交的弧，通常用字 母表示，如∠ABC。
圆周角的公式
圆周角的度数
圆周角的度数等于其对应的弧所对的圆心角的度数。
圆周角的弧长
圆周角对应的弧长等于圆周长乘以圆周角的度数除以360。
3
步骤三
进行严格的逻辑推理和证明，验证圆周角定理的准确性。
圆周角定理的例题
例题一
在半径为5cm的圆中，∠ABC 对应的弧长为15cm，求∠ABC 的度数。
例题二
已知∠ABC的度数为60度，圆 半径为8cm，求∠ABC对应的 弦长。
例题三
若两个圆周角的圆心角相等， 一个圆周角的度数为110度， 求另一个圆周角的度数。

圆周角定理及运用课件.ppt

圆周角定理及运用课件.ppt
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
●O
B A C
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
B
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
..。..
9
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
24.1.4 圆周角
..。..
1
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
..。..
2
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
..。..
不是 有一边和圆 不相交。
3
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
..。..
4
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,
2
∠CBD
=1
2

圆周角定理PPT课件

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关系？
n 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和 圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
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5
探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的 度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
C
O.
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
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3
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理
由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
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不是 有一边和圆 不相交。
4
类比圆心角 探知 圆周角
• 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么
B
n老师提示:能否转化为1的情况? n过点B作直径BD.由1可得:
AD C
n∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
2
=
∠1 COD,
2
●O
∴ ∠ABC = ∠1 AOC.
2
B
同弧所对的圆周角等于它所对
你能写出这个命题吗?
的圆心角的一半.
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11
圆周角和圆心角的关系 A
C
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样?
四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，
这些角中哪些是相等的角？

《圆周角》_PPT-优秀版

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同一条弧所对的圆周角， A
B
称为同弧所对的圆周角。
O
C
E
圆心与圆周角有3种位置关系： D （1）圆心在圆周角的一边上 （2）圆心在圆周角的内部 （3）圆心在圆周角的外部
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（二）有效探究——悟新知
探定义
判断下列图形中的角是不是圆周角，并 说明理由：
××× √×
圆周角的条件：（1）顶点在圆上 （2）两边都与圆相交
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（二）有效探究——悟新知
探定义
探定理——分类
2、小组合作探究
（1）每个人在⊙O上任取一条弧AB，画出弧
AB所对的一个圆周角和圆心角，测量它们的
度数，你得到什么结论？ （2）请大家根据圆心与圆周角的位置关系，把
小组内画出的图形进行分类，你能分为几类？
O
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（二）有效探究——悟新知
第二种C情况：
31
O
42
A
B
D
作直径CD，利用（１）
的结果，有
∠1= 1 ∠2,∠3= 1∠4
2
12
∴ ∠1 +∠3= (∠2+∠4)
2
即:∠ACB = 1 ∠AOB

圆周角定理 课件

圆周角定理 课件
∴ACDD＝BEDD，即63＝E5D，
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】 和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以 通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段， 有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB， 又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一 与圆周角定理相关的证明 例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是 平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理 圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相__等__． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对
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A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题，我们先探究一条弧所对的圆周角
和圆心角之间有的关系.
2020年9月28日
7
如图，观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC， 它们的大小有什么关系?
A C
●O
B
A C
●O
B
A C
●O B
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
2020年9月28日
2. 指出图中的圆周角.
不是
是
图３
不是
图５
2020年9月28日
5
当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对 球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC， ∠AEC.这三个角的大小有什么关系?
A
E
●O
C
B
D
A
E B
C D
2020年9月28日
6
二、圆周角与圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？
它们的共同特征是：它们都对着AC
这三个角是相等的.
理由是：
C
O
E
D 图①
根 据 圆 周 角 定 理 ， ∠ ABC ， ∠ ADC ， ∠ AEC 都 等 于 圆心角∠AOC的一半. 所以这三个角是相等的.
由此你得到什么结论？
2020年9月28日
13
A
C
结论是： 在同圆中，同弧所对的圆周角相等.
B
圆周角
图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置？
∠ABC的两边和圆是什么关系？
2020年9月28日
3
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
顶点在圆上， 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.
A
.
O
B
C
2020年9月28日
4
思考题：
1. 判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.
图１ 不是
图２
不是
图４
B 答：弦BC经过圆心O.因为连接OC、OB，由 ∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° .即B、O、C 三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径.
由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角； 2020年9月28日
90° 的圆周角所对的弦是直径.
A
O
C
图② A
O
C
图③
15
六、圆周角的推论定理3
2020年9月28日
17
2.求圆中∠1的度数
D
.O
C
70° 1
C 120°
O.
1 BA
O B
A
BA
C
3.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°.
4.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆 上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_2_5_°.
20它所对的圆心角的一半.
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时，圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即
∠ABC =
1 2
∠AOC.
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且
∠BCD=100°，求∠BOD(BC⌒D所对的圆心角)和
∠BAD的大小.
可以推广：圆内接四边形的对角互补.
2020年9月28日
16
七、形成练习
1.判断
（1）等弦对等弧（× ） （2）等弧对等弦（√ ） （3）长度相等的两条弧是等弧（× ） （4）平分弦的直径垂直于弦（× ） （5）顶点在圆上的角叫圆周角（× ） （6）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半（√ ）
∵∠ABD = 2 ∠AOD，
∠CBD = 1 ∠COD，
21
B
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
20你20年能9月2写8日出这个命题吗?
10
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时，圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
2020年9月28日
1
A2
B 14
五、圆周角的推论定理2
观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？
B
答：直径BC所对的圆周角是直角.因为一条直径
将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是 ∠BOC=180° ，所以 ∠BAC=90° .
观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经过圆心吗？ 为什么？
C ●O B
你能写出这个命题吗?
2020年9月28日
9
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.如果圆心不在圆周角的一边上，结果会怎样?
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时，圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
AD
提示:能否转化为1的情况?
C
过点B作直径B1 D.由1可得:
●O
A
提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
∵∠ABD =
1 2
∠AOD，
∠CBD = 1 ∠COD，
21
∴ ∠ABC = 2 ∠AOC.
●O B
20你20年能9月2写8日出这个命题吗?
11
综上，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即∠ABC
=
1 2
∠AOC.
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
提示:圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视.
2020年9月28日
12
四、圆周角的推论定理1
A
观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？
它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？
为什么？
B
答： ∠ABC， ∠ADC和∠AEC都是圆周角.
5.如图，⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点， ∠ABC=30° ，求AC的长.
解：∵AB为⊙O的直径.
∴∠ACB=90° .
又∵∠ABC=30° ，
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.4 圆周角定理
2020年9月28日
1
一、问题引入
圆心角顶点发生变化时，.我们得到几种情况?
A
A.
A.
.
O
.
O
.
O
B
B C
C
B
C
三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？
2020年9月28日
2
在罚点球中(如图)，球员射中球门的难易程度与他 所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
O
E
如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
D
答：成立.因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的 一半，所以这些圆周角也相等.
对于等圆，情况也一样.因此，我们可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，
结论成立吗？请同学们互相议一议. 答：结论不成立.请看图.