变破产下限相依风险比例再保险的风险模型
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长春工程学院学报 （ 自然 科学 版 ）２ １ ０ １年 第 １ ２卷 第 ４ 期
Ｊ Ｃｈ ｎ ｃ ｕ ｎ ｔＴｅｈ （ ｔ Ｓ ｉＥｄ． ，０ １ Ｖｏ． ２ Ｎｏ ４ ． ａ ｇ ｈ ｎＩ ｓ． ｃ ． Ｎａ ． ｃ． ｉ） ２ １ ， １ １ ， ．
４／０ ０４
１３１ ４ — ４４
。
（ ） 产概率 满足 等式 ： １破
１ “）一
（一 （ｐ＋ｒ 一 ∑ ｘ ） ｘ｛ （｝ １ Ｍ ￡ ） （ ， １ ］ ＝ｅ ｒ ｔ ・ ｐ ｆ）
ｅｐ ｘ（ 一Ｒ・ “ （ ）） Ｔ ＜ 。］ （ ＋ｓ ） Ｉ ｕ 。
Ｅ（ｘ［ ０１ ｅｐ－ （ 一 Ｍ（，一 ｐ］ Ｅ｛ｘ 一 ［ （ 一 ｔ１ ））・ ｅｐ 圮。１
从而
Ｔｈ ｉｋ ｍ ｏ ｅ ｆｐ ｏ ｒ ｉ ｎａ ｅ ｎ ｕ ａ ｃ ｅ ｒｓ ｄ ｌｏ ｒ ｐｏ ｔｏ ｌｒ ｉ ｓ ｒ ｎ ｅ ｄ ｐｅ ｉ ｇ ｏ ｉ ｉ ｏ ｕ ｎ ｉ ａ ｉ ｔｏ ｅ ｎｄ ｎ ｎ ｌｍ ｔ ｆｒ ｉ ｎ ｖ ｒ ａ ｉ ｎ
ｌ
收 稿 日期 ｔＯ １ １ — １ ２ ｌ— １ ４
Ｅ｛ｘ ［ ｒｏ１一 ）Ｍ （）一 Ｍ （， ）一 ｏ１一 ￣ ｐ－ ｃ（ （ ￡ ｔ ） （
Ｍ（・ ） ｔｐ
作者简介 ｔ 雷鸣 （９ ７ ， （ ． １８ 一） 女 汉） 重庆合川 ， 硕士
主要 研 究 数 理 金 融 。
学 报 。０ ７ ２ （ ）４ ｌ １ ． ２ ０ ，２ ４ ：１ 一４ ５
（ ）＝ Ｅ ｏ （。＾ ） ＝ Ｏ ＝ Ｆ［ ￡ ］： ＝ ＝ Ｅｒ［ （０Ａ Ｔ ） 丁 ｏ Ｍ。 。 Ｉ ≤ ｔ］・ｐ （ ｔ） ｏ ｏ ｒ Ｔ ≤ ｏ ＋ Ｅ ［ （０＾ Ｔ ） ＞ ｔ］・ ｒ （ ＞ ｔ）≥ ｏ ｒ ￡ 。ｌ ０ ｐ ｏ 。
—
的 鞅 ， 中 一 ｛（ ： ≤ ｔ ， （ Ｉｔ ０ 。 其 ｓ ） ）Ｆ 一 Ｆ ：≥ ）
证 明 ： ｅ ｐ 一 ｒ ￡］ Ｅ｛ｘ ［ Ｓ（） ）一 Ｅ｛ｘ ［ ｅ ｐ 一 ０ １一 （
Ｍ（ ， ｔ ）
ＪＭ ￡ （ ∑ ｘ＋ ￡ ） ｘｌ （ ） ９ （ ＋ｒ 一 ） ） ） １ ｉ （ ］一ｅ ｒ ｔ ・ ） ｐｆ ）
引 理 ２ Ｍ ｆ （）一
Ｎ（） — 是到 时刻 ｔ ￡— 为止保 险公 司理 赔 的 保 单 数 ， ￡ 是 Ｍ（） 户一稀 疏过 程 Ｎ（） ￡的
（ Ｏ＜ 户 ＜ １ 。 ）
本 文 对模 型 （ ）加 以推广 并 考 虑变 破 产下 限 的 １
问题 。
１ 模 型 描 述
对 Ｖ ≤ ｔ ，
其 中 Ｒ 为关于 ｒ的方程 ｉ－￣ － －－ （ ＃ ｅｒ Ｉ ）・（ ｍ（） ｅ ｐ ｒ ＋
１ 一 １＋ｒ ） ］ ｂ一 ０的解 。 定 理 ２的证 明与文 献［ ］定 理 ２ 明类 似 。 ６ 证
参 考文献
［ ３陈珊 萍 ， １ 王过 京 ， 振 羽． 疏 过 程 在 保 险 公 司 破 产 问题 王 稀
为 ｛ ｔ ， ≥ ０ ， 里 为 了方 便 计 算 我 们 假 设 Ｍ（ ， ｔ ） ）这
， ｆ 是 线性 的 ， （） 记
Ｍ （． ） ｔ
Ｕ（）一 “＋ Ｍ（） ＞： ￡ ｆ一 Ｘｆ
ｆ １ ＝
（） １
式中 ： —— ＞ ０是初 始准 备金 ；
ｓｆ＝ｃ 卜 Ｍ ￡ ∑ （－ ） ｆｔ （ 。 ） （一 ） （ ） １Ｚ － （， ｘ ）
（ ） 产概率 满足不 等式 ： ２破
（ ）≤ ｅ Ｒ一 “ －（
１ ｔ） （ ｆ （ 户 ＋ｒ 一卢 ∑ ｘ］ ｅ ｛ （ ｝ ） ， Ｍ １ ） ）一 ｘ ｒ ｔ ・ ｐｆ ）
ｅ ｐ Ａ １— ）（－ｏ 一 — ） ｘ ｛ （ —ｐ ｔｅ ‘ ｐ —１ ）・ｅ ｐ Ａ ｔｅ ‘ ｘ ｛ｐ ［一。 一 （ ， ＋ １ 一 １）＝ ｅｐ ［ 。 ・ （） １ 一 （） ） ］ ＿ ｘ ｛ ｆ “ （ ｒ＋ ） １ ＋ ２ ｔ） ］ ｆ（）
出版 社 ， ９ ８ １ ｌ ５ １９ ：～ ｌ．
［ ］张 馨 方 ， 军 祥 ， 涛 ． 破 产 下 限 双 Ｐ ｉ ｏ ６ 成 王 变 ｏｓ ｎ风 险 模 型 ｓ
・
的破 产 概 率 ［］ 现 代 商 贸 工业 ，０ ０ （ ）１ ４ Ｊ． ２ １ ，７ ：５ ． ［ ３钱 敏 平 ， 光 鲁 ． 机 过 程 论 ［北 北
ｌ ｌ ＝
ｏ 。
ｃ—— ｃ ＞ ０是保单 的 平均保 费 ； ｏ 。 Ｍ （） ￡—— 是 到时刻 ｔ 为止 保险 公 司售 出的保 单数 ， 是参数 为 的齐 次 Ｐ ｉ ｏ 且 ｏｓ ｎ ｓ
过程 ；
ｅ ｒ ｒ（ ）一 Ｅ（ｒ－ ） １一 ｌ 一 Ｆ（ ） １ ｅ１ １ 一 （￣ ｅ ｚ 一 。
表达式。 关键 词 ： ｏｓｏ Ｐ ｉｓｎ过 程 ； 疏 过 程 ； 稀 比例 再 保 险 ； 变破 产 下 限； 破产 概 率
中 图 分 类 号 ： １ Ｏ２ ３ 文献 标志 码 ： Ａ
ｕ ：“ ｏ 一 （ ） ＋Ｃ １ Ｍ（ 一∑ （一 （ ￡ ） １ ｘ一，￡ （ ）
式 中 ：— — 初 始 准 备 金 ； “
每 张保单 的平均 保费 ； Ｍ（） —— 到 时 刻 ｔ 止 保 险 公 司 售 出 的 保 为
— —
单数；
Ｎ（） —— 到 时 刻 ｔ为 止 保 险 公 司 理 赔 的 保
单数 ；
文 章 编 号 ：０ ９８ ８ （０ １ ０ 一 １ ３Ｏ １０ －９ ４ ２ １ ）４Ｏ ４ 一 ２
３ 主 要 结 果
定 义 １ 破产 时刻 Ｔ 一 ｍｉ｛ ｌ，￡ ＜ ０ ； ｎ ｔ Ｌ（） ） 破
产 概率 Ｘ（ ）一 Ｐ｛ 。 ） ｅｕ Ｔ ＜ ｏ。 定 理 １ 破 产 概 率 满 足 不 等 式 ： （ ） ≤ Ｈ（） ｒ ，其 中 Ｈ（） 一 ｓ ｐ｛ｘ ｛ｔｅ ‘ ｒ ｕ ｅｐＡ －
ｅ ｐ 一 ｒ ）一 ｘ（ ｕ
［ ］花俊 ， 新 美 ． 疏 过 程 在 变 破 产 下 限 风 险 模 型 中 的 应 ９ 陈 稀
用ｌ］ 长 春 工 程 学 院 院 报 ： － ． Ｊ 自然 科 学 版 ，０ １ １ （ ） ２ １ ，２ １ ：
１ ２— １ ． ４ ４４
Ｅ ０Ｍ ￡ ） ≤ ｔ ・ ｒ（ ｔ 一 Ｆ［ （ 。＾ Ｉ ｏ ｐ Ｔ≤ 。 ］ ｏ ） Ｅ ［ （ 。 Ｉ ｔ ｐ （ ≤ ｔ ｏ ｒ ＭｕＴ ） Ｔ ≤ ｏ ］・ ｒ ｏ ０ ）
给定 一完 备概 率 空 间 （ Ｆ， ， 有 涉及 的 随 ｎ， Ｐ） 所 机 过 程和 随机 变 量都 定 义 在 此概 率 空 间上 ， 虑 风 考 险模型：
ｅ｛ｅｎ・ ｒ １ １ ￡为ｌ ｘｔ 。 （ 髯 ］ 丽） Ｆ ｐ ～ （＋） ＋ （ 丽一 ｐ ） 一 厂 ｝ ２ ［
ＣＮ ２ １ ２ ／ ２ — ３ ３ Ｎ
变破 产下限相依风险 比例再保险的风险模 型
雷 鸣 ， 陈新 关
（ 长沙 理工大 学数学 与计 算科学 学 院 ， 沙 ４ ０ １ ） 长 １ ｌ ４
摘 要 ： 究 一类 带 稀 疏 过 程和 比例 再保 险 的风 险 研 模型 ， 并且 考 虑 变破 产 下 限。保 单 到 达 是 强 度 为 的齐 次 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ过 程 ， 体 理 赔 是 关 于 保 单 到达 过 ｓ 个 程 的 ｐ一稀 疏过 程 ， 章 给 出模 型最 终 破 产 概 率 的 文
社 ， ９ ７：１ —４ ５ １９ ４ １ １．
（ ｍ（） １ 一 １ ＋ ２ ｔ ） ｐ ｒ ＋ ） ］ ｆ（） ） 证明 ： ｔ 设 。＜ ｏ 。为 一 常数 ， 由于 Ｌ 是破 产 时 刻， ｔ 则 。＾
可得 ：
为 有 界 停 时 ， 据 引 理 和 停 时 定 理 根
［ ］张茂 军 。 江 霞 ， 尊 铨 ． 机 过 程 论 ［］ 高 校 应 用 数 学 ８ 南 夏 随 Ｊ．
Ｊ０
２ 预 备 引理
引理 １ 盈 利过程 ｛ （） ｔ ０ 具有 以下 性质 ： Ｓ ￡ ，≥ ） （ ） Ｓ ￡ ， ≥ ０ 具有平 稳独 立增 量性 ； １ ｛ （） ｔ ） （ ） 了保 证保 险公 司 的稳 定 经 营 ， 们 假 设 ２ 为 我 Ｅ Ｓ ￡］ ０ ［ （） ＞ 。
Ｐ（ ≤ ） 网薪 ＦＴ ≤ ｏ
而
ＬＥＩＭ ｉ ｇ， ｔ ． ｎ ｅ ｃ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ Ｍａ ｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｃｏ Ｓ ｈ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｍｐｕａ ｉｎ ｌ ｏ ｔ ｔｏ ａ
ＥＶ［ （ ） ≤ ｔ］≥ ｏ Ｉ ｏ Ｅ ｅ ｐ 一 Ｍ［—ｏ － ・ （ ｒ（ ）＋ １ （ ｘ ｛ ｅ “ｐ ＃ｎ ｒ ）一 １ 一 ］
学 理 论 与应 用 ， ０ ５ ２ （ ） ３ —３ ． ２ ０ ．５ １ ：５ ８
） ・ 瓯
。
瓣
＝
（
［］马 学思 ， 次 华 ． 破 产 下 限 风 险 模 型 的 破 产 概 率 ［ ］ ３ 刘 变 Ｊ．
数 理统 计 与管 理 ，０ ７ ２ （ ）４ ０ ４ ． ２０ ，６ ３ ：４ —４ ３
Ｘ — — 第 ｉ 的索 赔 额 ， ｛ ， 次 且 Ｘ 一 １ ２ … ｝ ，，
是 非负 独 立 同分 布 的 随机 变 量 序 列 ， 设其 分布 函数 为 Ｆ（ ； ｚ）
保 险 业 是 经 营风 险 的 特殊 金 融服 务 行业 ， 时 同 自身 的经 营又 面临 风险 。再保 险是 一种 分散保 险公 司 风险 的有 效方 法 ， 破 产 概 率 又是 度 量 风 险 的重 而 要 指标 。根 据保 险公 司 的实 际情 况建立 有再 保险 因 素 的风 险模 型 ， 研究 再 保 险对 破 产概 率 的影 响是 保 险 数学 中的一个 重 要 的 研究 课 题 。 文献 ［ ］ 经典 １对 模 型加 以推 广 ， 得到 带稀 疏过 程 的风险模 型
！ ：
长春工程学院学报 （ 自然 科学 版 ）２ １ ０ １年 第 １ ２卷 第 ４ 期
Ｊ Ｃｈ ｎ ｃ ｕ ｎ ｔＴｅｈ （ ｔ Ｓ ｉＥｄ． ，０ １ Ｖｏ． ２ Ｎｏ ４ ． ａ ｇ ｈ ｎＩ ｓ． ｃ ． Ｎａ ． ｃ． ｉ） ２ １ ， １ １ ， ．
４／０ ０４
１３１ ４ — ４４
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（ ） 产概率 满足 等式 ： １破
１ “）一
（一 （ｐ＋ｒ 一 ∑ ｘ ） ｘ｛ （｝ １ Ｍ ￡ ） （ ， １ ］ ＝ｅ ｒ ｔ ・ ｐ ｆ）
ｅｐ ｘ（ 一Ｒ・ “ （ ）） Ｔ ＜ 。］ （ ＋ｓ ） Ｉ ｕ 。
Ｅ（ｘ［ ０１ ｅｐ－ （ 一 Ｍ（，一 ｐ］ Ｅ｛ｘ 一 ［ （ 一 ｔ１ ））・ ｅｐ 圮。１
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收 稿 日期 ｔＯ １ １ — １ ２ ｌ— １ ４
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作者简介 ｔ 雷鸣 （９ ７ ， （ ． １８ 一） 女 汉） 重庆合川 ， 硕士
主要 研 究 数 理 金 融 。
学 报 。０ ７ ２ （ ）４ ｌ １ ． ２ ０ ，２ ４ ：１ 一４ ５
（ ）＝ Ｅ ｏ （。＾ ） ＝ Ｏ ＝ Ｆ［ ￡ ］： ＝ ＝ Ｅｒ［ （０Ａ Ｔ ） 丁 ｏ Ｍ。 。 Ｉ ≤ ｔ］・ｐ （ ｔ） ｏ ｏ ｒ Ｔ ≤ ｏ ＋ Ｅ ［ （０＾ Ｔ ） ＞ ｔ］・ ｒ （ ＞ ｔ）≥ ｏ ｒ ￡ 。ｌ ０ ｐ ｏ 。
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证 明 ： ｅ ｐ 一 ｒ ￡］ Ｅ｛ｘ ［ Ｓ（） ）一 Ｅ｛ｘ ［ ｅ ｐ 一 ０ １一 （
Ｍ（ ， ｔ ）
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引 理 ２ Ｍ ｆ （）一
Ｎ（） — 是到 时刻 ｔ ￡— 为止保 险公 司理 赔 的 保 单 数 ， ￡ 是 Ｍ（） 户一稀 疏过 程 Ｎ（） ￡的
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本 文 对模 型 （ ）加 以推广 并 考 虑变 破 产下 限 的 １
问题 。
１ 模 型 描 述
对 Ｖ ≤ ｔ ，
其 中 Ｒ 为关于 ｒ的方程 ｉ－￣ － －－ （ ＃ ｅｒ Ｉ ）・（ ｍ（） ｅ ｐ ｒ ＋
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参 考文献
［ ３陈珊 萍 ， １ 王过 京 ， 振 羽． 疏 过 程 在 保 险 公 司 破 产 问题 王 稀
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式中 ： —— ＞ ０是初 始准 备金 ；
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［ ］张 馨 方 ， 军 祥 ， 涛 ． 破 产 下 限 双 Ｐ ｉ ｏ ６ 成 王 变 ｏｓ ｎ风 险 模 型 ｓ
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ｃ—— ｃ ＞ ０是保单 的 平均保 费 ； ｏ 。 Ｍ （） ￡—— 是 到时刻 ｔ 为止 保险 公 司售 出的保 单数 ， 是参数 为 的齐 次 Ｐ ｉ ｏ 且 ｏｓ ｎ ｓ
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表达式。 关键 词 ： ｏｓｏ Ｐ ｉｓｎ过 程 ； 疏 过 程 ； 稀 比例 再 保 险 ； 变破 产 下 限； 破产 概 率
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式 中 ：— — 初 始 准 备 金 ； “
每 张保单 的平均 保费 ； Ｍ（） —— 到 时 刻 ｔ 止 保 险 公 司 售 出 的 保 为
— —
单数；
Ｎ（） —— 到 时 刻 ｔ为 止 保 险 公 司 理 赔 的 保
单数 ；
文 章 编 号 ：０ ９８ ８ （０ １ ０ 一 １ ３Ｏ １０ －９ ４ ２ １ ）４Ｏ ４ 一 ２
３ 主 要 结 果
定 义 １ 破产 时刻 Ｔ 一 ｍｉ｛ ｌ，￡ ＜ ０ ； ｎ ｔ Ｌ（） ） 破
产 概率 Ｘ（ ）一 Ｐ｛ 。 ） ｅｕ Ｔ ＜ ｏ。 定 理 １ 破 产 概 率 满 足 不 等 式 ： （ ） ≤ Ｈ（） ｒ ，其 中 Ｈ（） 一 ｓ ｐ｛ｘ ｛ｔｅ ‘ ｒ ｕ ｅｐＡ －
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［ ］花俊 ， 新 美 ． 疏 过 程 在 变 破 产 下 限 风 险 模 型 中 的 应 ９ 陈 稀
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１ ２— １ ． ４ ４４
Ｅ ０Ｍ ￡ ） ≤ ｔ ・ ｒ（ ｔ 一 Ｆ［ （ 。＾ Ｉ ｏ ｐ Ｔ≤ 。 ］ ｏ ） Ｅ ［ （ 。 Ｉ ｔ ｐ （ ≤ ｔ ｏ ｒ ＭｕＴ ） Ｔ ≤ ｏ ］・ ｒ ｏ ０ ）
给定 一完 备概 率 空 间 （ Ｆ， ， 有 涉及 的 随 ｎ， Ｐ） 所 机 过 程和 随机 变 量都 定 义 在 此概 率 空 间上 ， 虑 风 考 险模型：
ｅ｛ｅｎ・ ｒ １ １ ￡为ｌ ｘｔ 。 （ 髯 ］ 丽） Ｆ ｐ ～ （＋） ＋ （ 丽一 ｐ ） 一 厂 ｝ ２ ［
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雷 鸣 ， 陈新 关
（ 长沙 理工大 学数学 与计 算科学 学 院 ， 沙 ４ ０ １ ） 长 １ ｌ ４
摘 要 ： 究 一类 带 稀 疏 过 程和 比例 再保 险 的风 险 研 模型 ， 并且 考 虑 变破 产 下 限。保 单 到 达 是 强 度 为 的齐 次 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ过 程 ， 体 理 赔 是 关 于 保 单 到达 过 ｓ 个 程 的 ｐ一稀 疏过 程 ， 章 给 出模 型最 终 破 产 概 率 的 文
社 ， ９ ７：１ —４ ５ １９ ４ １ １．
（ ｍ（） １ 一 １ ＋ ２ ｔ ） ｐ ｒ ＋ ） ］ ｆ（） ） 证明 ： ｔ 设 。＜ ｏ 。为 一 常数 ， 由于 Ｌ 是破 产 时 刻， ｔ 则 。＾
可得 ：
为 有 界 停 时 ， 据 引 理 和 停 时 定 理 根
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Ｊ０
２ 预 备 引理
引理 １ 盈 利过程 ｛ （） ｔ ０ 具有 以下 性质 ： Ｓ ￡ ，≥ ） （ ） Ｓ ￡ ， ≥ ０ 具有平 稳独 立增 量性 ； １ ｛ （） ｔ ） （ ） 了保 证保 险公 司 的稳 定 经 营 ， 们 假 设 ２ 为 我 Ｅ Ｓ ￡］ ０ ［ （） ＞ 。
Ｐ（ ≤ ） 网薪 ＦＴ ≤ ｏ
而
ＬＥＩＭ ｉ ｇ， ｔ ． ｎ ｅ ｃ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ Ｍａ ｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｃｏ Ｓ ｈ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｍｐｕａ ｉｎ ｌ ｏ ｔ ｔｏ ａ
ＥＶ［ （ ） ≤ ｔ］≥ ｏ Ｉ ｏ Ｅ ｅ ｐ 一 Ｍ［—ｏ － ・ （ ｒ（ ）＋ １ （ ｘ ｛ ｅ “ｐ ＃ｎ ｒ ）一 １ 一 ］
学 理 论 与应 用 ， ０ ５ ２ （ ） ３ —３ ． ２ ０ ．５ １ ：５ ８
） ・ 瓯
。
瓣
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［］马 学思 ， 次 华 ． 破 产 下 限 风 险 模 型 的 破 产 概 率 ［ ］ ３ 刘 变 Ｊ．
数 理统 计 与管 理 ，０ ７ ２ （ ）４ ０ ４ ． ２０ ，６ ３ ：４ —４ ３
Ｘ — — 第 ｉ 的索 赔 额 ， ｛ ， 次 且 Ｘ 一 １ ２ … ｝ ，，
是 非负 独 立 同分 布 的 随机 变 量 序 列 ， 设其 分布 函数 为 Ｆ（ ； ｚ）
保 险 业 是 经 营风 险 的 特殊 金 融服 务 行业 ， 时 同 自身 的经 营又 面临 风险 。再保 险是 一种 分散保 险公 司 风险 的有 效方 法 ， 破 产 概 率 又是 度 量 风 险 的重 而 要 指标 。根 据保 险公 司 的实 际情 况建立 有再 保险 因 素 的风 险模 型 ， 研究 再 保 险对 破 产概 率 的影 响是 保 险 数学 中的一个 重 要 的 研究 课 题 。 文献 ［ ］ 经典 １对 模 型加 以推 广 ， 得到 带稀 疏过 程 的风险模 型
