一道几何题的变式与拓展

试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。

一道中考题的变式与拓展------株洲市枫叶中学张福来（412000）内容摘要：通过一道中考题的变式与拓展，介绍求可展曲面的几何体表面上两点间的最短路线长的思路和方法。

关键词：变式、侧面展开成平面图、最短路线长、创新、转化。

一些课本数学习题、中考数学试题在平常数学教学中若能变式拓展得当，既能提高学生数学学习兴趣，又能拓展学生的思维，使学生对所学知识和方法能举一反三、融会贯通，进而达到培养学生的创新意识和创新能力的目的。

下面举例来说明：原题：如图1，一圆锥的底面直径AB长为4，母线PB的长为6，点D为PB的中点，一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）。

A. 3B.3C. 332 D. 3原题解答：方法1：沿PA将圆锥侧面展开成平面图扇形APA’（如图2）,B 为弧A A’的中点，连接AB、AD,则弧A A’所对的圆心角n度满足：6236022∙∙=∙ππn 解得n=120 即 120'=∠APA 从而60=∠APB 所以APB ∆为等边三角形，∴AD=6sin60。

=33即求 （∴选D ）方法2：如图3作轴截面图APB ∆，连接AD ，作AE ⊥PB,垂足为E,设BE=x 则 42－x 2=62－(6－x)2 解得 x=34 即BE=34 DE=35∴AD 2=DE 2+AE 2＞BE 2+AE 2=42∴AD ＞4又A 、D 间的曲线长更大于4, 而3 、3 、23都小于4， 故选项A 、B 、C 都不符合，只有选D 。

将原题结论变化，进一步理解和掌握解法1思路变式1：如图1，一圆锥的底面直径AB 长为4，母线PB 的长为6，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆锥的侧面爬行到点B ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）。

解：由原题解法1易知蚂蚁爬行的最短路程为图2中的弦AB 的长6变式2：如图1，一圆锥的底面直径AB 长为4，母线PB 的长为6，点D 为PB 的中点，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到起点A ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）解：如图4连接A ’B ，PA ’BA 由原题解法1思路知四边形PA ’BA 为菱形，从而AA ’=2AD=63，故蚂蚁爬行的最短路程为63。

初一数学平面图形（线段和角）变式题拓展20201212第一部分：几何语言1．已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（）A．过点M画线段CD的垂线，交CD于点EB．过点M画线段AB的垂线，交CD于点EC．延长线段AB、CD，相交于点FD．反向延长线段BA、DC，相交于点F2．从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：站点B C D E F G 到A市距离（千米）4458051135149518252270若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价（）种．A．14B．15C．17D．213．如图，点A、B、C、D在直线上，则BD＝BC＋＝AD﹣．4．已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c、abc＜0和a＋b＋c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的5．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1cm，图中所有线段的长度之和为cm．6．已知线段AB＝8cm，在直线AB上取一点C，使BC＝6cm，则线段AC的长为cm．第二部分关于中点中点定义？三种语言，看到中点，想到哪个图，还想到哪些符号？倍分关系！！！1．已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC＋BC＝AB D．D．AC＝AB变式1：如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（）A．BC＝AB﹣CD B．BC＝（AD﹣CD）C．BC＝（AD﹣CD）D．BC＝AC﹣BD 变式2：如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，下列说法错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AB﹣BD C．AC＋BD＝BC＋CD D．CD＝AB变式3：如果线段AB＝13厘米，MA＋MB＝17厘米，那么下面说法正确的是．（填写序号）A．M点在线段AB上B．M点在直线AB上C．M点在直线AB外D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外2．如图，已知线段AB＝10，点N在AB上，NB＝2，M是AB中点，那么线段MN的长为．第2题变式1 变式2变式1：如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB＝8，则BD＝．变式2：如图，已知线段AB＝9，BC＝5，点D为线段AC的中点，则线段AD的长度为．变式3：在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OC的长度是为．变式4：如图：C为线段AB的中点，D在线段CB上，线段DA＝8，线段DB＝4，则线段CD长度为．变式4 变式6变式5：已知线段AB＝8，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为．变式6：如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB═10，CD＝4，则线段MN的长为．变式7：线段AB＝1，C1是AB的中点，C2是C1B的中点，C3是C2B的中点，C4是C3B的中点，依此类推……线段AC2019的长为．变式8．已知线段AB＝24cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，则AM＝cm．变式9．如图，C为线段AB上一点，AC＝5，CB＝3，若点E、F分别是线段AC、CB的中点，则线段EF的长度为．变式9 变式10 变式12变式10．如图，在线段AB上有两点C、D，AB＝24 cm，AC＝6 cm，点D是BC的中点，则线段AD ＝cm．变式11：点C在直线AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点．则线段MN 的长为．变式12：如图，已知线段AB＝4，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点，则DC的长等于．变式13．已知直线l上有三点A、B、C，且AB＝6，BC＝4，M、N分别是线段AB、BC的中点，则MN＝．16．如图，OC为∠AOB内一条直线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOCC．∠AOC＋∠COB＝∠AOBD．第三部分关于角平分线角平分线定义？三种语言，看到中点，想到哪个图，还想到哪些符号？倍分关系！！！1．124.24°＝，（化成度、分、秒的形式）52°45′﹣32°46′＝°′；13.125°＝°′″．2．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°则∠COD＝，∠BOE＝．3．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠CO D．若∠MON＝50°，∠BOC＝10°，则∠AOD＝度．第2题第3题第四部分综合提高题1．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，（1）求AC的长；（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC＋QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．3．如图，点A、B、C在直线l上，点M为AB的中点，N为MC的中点，且AB＝6cm，NC＝4cm，求BC的长．4．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝2cm．（1）图中共有多少条线段？（2）求AC的长．（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．5．如图，已知AB＝16cm，C是线段AB上一点，且AC＝10cm，点D是线段AC的中点，点E是线段BC上一点，且CE＝CB，求线段DE的长度．6．如图，点C、D在线段AB上，AC＝DB＝2，D是BC的中点，求线段AB的长．7．如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm．（1）图中共有条线段；（2）求AC的长；（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．8．已知直线l上有一点A、B、C，且AB＝6，BC＝4，M、N分別是线段AB、BC的中点，画出图形并求MN的长．9．如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm．（1）AC＝cm；（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？10．如图，已知：线段AD＝10cm，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝6秒时，AB＝cm；（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，BD的中点为F，则EF的长是否发生变化？若不变，求出EF的长；若发生变化，请说明理由．11．如图，点C在线段AB上，AC＝16cm，CB＝12cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，不要说明理由．12．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BC＝2cm．（1）图中共有条线段；（2）求AC的长；（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．13．如图1，已知∠AOB＝150°，∠AOC＝40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE．（1）若∠EOB＝10°，求∠COF的度数；（2）若∠COF＝10°，求∠EOB＝；（3）若∠EOB＝m°，求∠COF＝；（用含m的式子表示）（4）若∠COF＝n°，求∠EOB＝．（用含n的式子表示）14．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．15．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AO C．（1）当∠BOC＝60°时，∠EOF的度数为°；（2）当∠BOC＝α（0°＜α＜90°）时，求∠EOF的度数．16．如图，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∠EOD＝60°，求∠AOB的度数．17．如图，已知∠AOC＝120°，∠COD是直角，∠BOC＝2∠BO D．问点A、O、B在一条直线上吗？为什么？18．如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．（1）求∠BOD的度数．（2）若OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，求∠EOF的度数．（写出必要的推理过程）。

例说变式与拓展习题教学是数学教学的重要组成部分．在习题教学中可通过改变题目的条件，改变题目的背景，探究题目的一般结论，类比探究同类问题等形式，引导学生对习题进行多角度的探索．课本习题往往蕴含着丰富的内涵，教师应充分运用习题的各种变式与拓展，培养学生的探索精神和创新能力．本文以一道课本习题为例进行变式研究和拓展，供同学们参考．题目如图1，党E，党F是△ABC的两条中位线．求证：四边形BFE党是平行四边形．此题的证明方法比较简单，此略．变式1 在原题中增加条件AB＝BC，可以得到E党＋EF＝AB的结论．变式2 若将条件和结论互换，命题为真命题吗？命题1 如图2，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点E是边AC上一点，E党＋EF ＝AB，则E党//BC，EF//AB．命题2 点E是△ABC边AC上一点，E党//BC，EF//AB，E党＋EF＝AB，则△ABC 是以AB，BC为腰的等腰三角形．分析如图2，在BC边上另取一点F'，且EF'<EF，则在AB上必存在一点党'，使得党'E＋EF'＝BC．但党'E与BC不平行，EF'与AB不平行，所以命题1为假命题．但命题2为真命题，理由如下：变式3 若将原题中“边AC上的E点”一般化，是否还存在着某些线段的和或差是定值呢？如果存在，定值是多少？(1)如图3，△ABC为边长为a的正三角形，E为其内部一点，过E点分别作E党∥AC，EG∥AB，EH∥BC，则E党＋EH＋EG＝a．(2)如图4，△ABC为边长为A的正三角形，点E为△ABC外一点，过E点分别作E党∥A C，EH//BC，EC//AB，则E党＋EC－EH＝a．分析(1)如图3，延长HE交AB于I，延长GE交AC于点F，易证EC＝BI，EF＝A党，E党＝I党．(2)的证明方法与(1)类似，不再赘述．拓展1 原题中图形的面积是否有最值呢？如图5，已知正△ABC的边长为a，过边BC上的E点分别作党E∥AC，EF∥AB交AB、AC于点党、P问：S□A党EF有最大值吗？若有，求出它的最大值．拓展2 原题中图形的面积是否有定值呢？如图7，已知正△ABC的边长为a，过边BC上的E点分别作党E∥AC、EF∥AB，交AB、AC于点党、F．G，H分别是△B党E，△EFC的重心，I为AE，党F的交点，则S△GHI＝16S△ABC＝324a2．拓展3 若将拓展2中的条件“正△ABC”改为一般三角形，△GHI的面积还是定值吗？如图8，已知△ABC，E为BC边上任意一点，过E点分别作党E∥AC、EF∥AB，交AB、AC于点党、F．G，H分别是△B党E，AEFC的重心，，为AE，党F的交点，则S△GHI＝16S△ABC．分析过点J作JL⊥FH．由正弦定理，可得。