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图形的变换压轴题1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ．（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高DM 和AN ，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S =，请求出相应的BF 的长．【答案】（1）DE AC ①； 12S S =②．（2）证明见解析；（3）BF ． 【解析】（1）DE AC ①； 12S S =②． （2）证明：90DCE ACB ∠=∠=︒， 180DCM ACE ∴∠+∠=︒． 又180ACN ACE ∠+∠=︒， ACN DCM ∴∠=∠． 又90CNA CMD ∠=∠=︒， AC CD =，ANC DMC ∴≌． AN DM ∴=．又CE CB =， 12S S ∴=．（3）如图，延长CD 交AB 于点P ，则有∠ABD =30°，PD =2，由BD =CD =4可得∠BCD =30°，∴∠BPD =90°，BP =同理可求DE =BE ，故BDE S =，当DCF BDE S S =时， 1423DCF S PF =⨯⨯=，∴3PF =，∴BF =，即BF ． 2．已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE=BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′．（1）如图1，当α=30°时，求证：B ′C=DE ；（2）连接B ′E 、DE ′，当B ′E=DE ′时，请用图2求α的值；（3）如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为 ．【答案】（1）证明见解析（2）45°（3） ≤PQ≤4 +2然后结合旋转图形的性质得出△ADE和△AB′C全等，从而得出答案；(2)、根据旋转图形的性质得出△AEB′和△AE′D全等，从而得出∠DAE′=∠EAB′，然后结合旋转图形的性质得出∠EAE′=∠BAB′，从而得到∠BAB′=∠DAB′，最后根据∠BAB′+∠DAB′=90°得出答案；(3)、点P作PM⊥BE，∵AB=4，点P是AB中点，根据BP=2得出PM=；在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E重合，然后求出PQ的长度，从而得出取值范围.试题解析：（1）如图，连接AC，B′C，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，∵AE=BD，∴AC=AE=2OA，在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，∴∠E=30°，∴∠DAE=∠ADB﹣∠E=45°﹣30°=15°，由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°∴∠DAE=15°，在△ADE和△AB′C中，，∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，（2）如图，由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，在△AEB′和△AE′D中，，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，∴∠EAE′=∠DAB′，由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，（3）如图，由点到直线的距离，过点P作PM⊥BE，∵AB=4，点P是AB中点，∴BP=2，∴PM=，在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E重合，∴AQ=AE=BQ=4∴P Q=AQ+AP=4+2，故答案为≤PQ≤4+2．3．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．【答案】（1） MN=12DG；MN⊥DG；（2）成立，理由见解析；（3）5，2.【解析】试题分析：（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①．易证明△SDN≌△FGN，则有DS=GF，SN=FN．然后运用三角形中位线定理即可解决问题；（2）过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，根据平行线分线段成比例即可得BR=GR=12BG，DT=ET=12DE，根据梯形中位线定理可得MR=12（FG+AB），MT=12（EF+AD），从而可得MR=MT，RG=TD，由此可得△MRG≌△MTD，则有MG=MD，∠RMG=∠TMD，则有∠RMT=∠GMD，进而可证得△DMG是直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解决问题；（3）连接GM到点P，使得PM=GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，易证△APD≌△CGD，则有PD=DG，根据等腰三角形的性质可得DM⊥PG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MN=12 DG，要求MN的最大值和最小值，只需求DG的最大值和最小值，由GC=CE=3可知点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，再由DC=BC=7，就可求出DG的最大值和最小值.试题解析：（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①．∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，∴∠D=90°，AD=DC，GC=GF，AD∥BE∥GF，DSN GFN SND FNG DN GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△SDN≌△FGN，∴DS=GF，SN=FN ．∵AM=FM，∴MN∥AS，MN=12AS ， ∴∠MNG=∠D=90°， MN=12（AD-DS ）=12（DC-GF ）=12（DC-GC ）=12DG ． （2）（1）的结论仍然成立．理由：过点M 作MT⊥DC 于T ，过点M 作MR⊥BC 于R ，连接FC 、MD 、MG ，如图②，则A 、F 、C 共线，MR∥FG∥AB，MT∥EF∥AD．∵AM=FM， ∴BR=GR=12BG ，DT=ET=12DE ， ∴MR=12（FG+AB ），MT=12（EF+AD ）． ∵四边形ABCD 和四边形EFGC 都是正方形，∴FG=GC=EC=EF，AB=BC=DC=AD ，∴MR=MT，RG=TD ．在△MRG 和△MTD 中，MR MT MRG MTD RG TD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MRG≌△MTD，∴MG=MD，∠RMG=∠TMD，∴∠RMT=∠GMD．∴∠RMT=90°，∴∠GMD=90°．∵MG=MD，∠GMD=90°，DN=GN ，∴MN⊥DG，MN=12DG ． （3）连接GM 到点P ，使得PM=GM ，延长GF 、AD 交于点Q ，连接AP ，DP ，DM 如图③，在△AMP 和△FMG 中，AM FMAMP FMG PM GM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMP≌△FMG，∴AP=FG，∠APM=∠FGM，∴AP∥GF，∴∠PAQ=∠Q，∵∠DOG=∠ODQ+∠Q=∠OGC+∠GCO，∠ODQ=∠OGC=90°，∴∠Q=∠GCO，∴∠PAQ=∠GCO．∵四边形ABCD 和四边形EFGC 都是正方形，∴DA=DC，GF=GC ，∴AP=CG．在△APD 和△CGD 中，AP CGPAD GCD AD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APD≌△CGD，∵PM=GM，∴DM⊥PG．∵DN=GN，∴MN=12 DG．∵GC=CE=3，∴点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，∵DC=BC=7，∴DG的最大值为7+3=10，最小值为7-3=4，∴MN的最大值为5，最小值为2．考点：正方形综合题.4．如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①求证:DM＝DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明．【答案】（1）①证明详见解析；②四边形DMBN的面积不发生变化，理由详见解析；（2）DM=DN仍然成立，理由详见解析；（3）DM=DN．试题分析：（1）①连接DB ，根据AAS 证明△BMD ≌△CND ，所以DM=DN ；②由①知△BMD ≌△CND ，所以BMD CND S S =，所以四边形DMBN 的面积等于△ABC 的面积的一半；（2）连接DB ，依然可以证得△BMD ≌△CND ，所以DM=DN ；（3）根据（2）的思路可以得到DM=DN ．试题解析：（1）①证明：连接DB ，在Rt △ABC 中，因为AB=BC ，AD=DC ，所以DB=DC=AD ，∠BDC=90°，所以∠ABD=∠C=45°，因为∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°，所以∠MDB=∠NDC ，所以△BMD ≌△CND ，所以DM=DN ．②四边形DMBN 的面积不发生变化，理由如下：由①知△BMD ≌△CND ，所以BMD CND S S =，所以=DBN DMB DMBN S S S +四边形=DBN DNC S S +=1124DBC S S ABC ==． （2）DM=DN 仍然成立，理由如下：连接DB ，在Rt △ABC 中，因为AB=BC ，AD=DC ，所以DB=DC=AD ，∠BDC=90°，所以∠DCB=∠DBC=45°，所以∠DBM=∠DCN=135°，因为∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°，所以∠MDB=∠NDC ，所以△BMD ≌△CND ，所以DM=DN ．（3） DM=DN ．5．已知，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC或它们的延长线于点MN，于点H．如图，当点A旋转到时，请你直接写出AH与AB的数量关系；如图，当绕点A旋转到时，中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明．【答案】；（2）数量关系还成立．证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意可证△ABM≌△ADN，可得AM=AN，∠BAM=∠DAN=22.5°，再证△ABM≌△AMH可得结论；(2)延长CB至E，使BE=DN，可证△ABE≌△ADN，可得AN=AE，∠BAE=∠DAN，可得∠EAM=∠MAN=45°且AM=AM，AE=AN，可证△AME≌△AMN，则结论可证．【详解】，理由如下：是正方形，且，≌，，，，，，，，，且，，≌，；，，，≌，，，，即，且，，≌，，≌，，.【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.6．在ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC 满足的等量关系．（1）当α=60°时，将ABP绕点A逆时针旋转60°得到ACP′，连接PP′，如图1所示．由ABP≌△ACP′可以证得APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为度，进而得到CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为；（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA、PB、PC满足的等量关系为．【答案】（1）150，PA2+PC2=PB2；（2）3PA2+PC2=PB2；（3）4PA2sin2+PC2=PB2试题分析：（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可；（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′=PA，根据勾股定理解答即可；（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．试题解析：（1）∵△ABP≌△ P′，∴ P= P′，由旋转变换的性质可知，∠P P′=60°，P′ =P ，∴△PAP′为等边三角形，∴∠ PP′=60°，∵∠PAC+∠PCA==30°，∴∠APC=150°，∴∠P′P =90°，∴PP′2+PC2=P′ 2，∴PA2+PC2=PB2，故答案为：150，PA2+PC2=PB2；（2）如图2，作将ABP绕点A逆时针旋转120°得到ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，由旋转变换的性质可知，∠P P′=120°，P′ =P ，∴∠ PP′=30°，∵∵∠PAC+∠PCA==60°，∴∠APC=120°，∴∠P′P =90°，∴PP′2+PC2=P′ 2，∵∠ PP′=30°，∴PD=PA，∴PP′=PA，∴3PA2+PC2=PB2；（3）如图2，与（2）的方法类似，作将ABP绕点A逆时针旋转α得到ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，由旋转变换的性质可知，∠P P′=α，P′ =P ，∴∠ PP′=90°﹣，∵∵∠PAC+∠PCA=，∴∠APC=180°﹣，∴∠P′P =（180°﹣）﹣（90°﹣）=90°，∴PP′2+PC2=P′ 2，∵∠ PP′=90°﹣，∴P =P •cos（90°﹣）=P •sin，∴PP′=2P •sin，∴4PA2sin2+PC2=PB2，故答案为：4PA2sin2+PC2=PB2．【点睛】考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．7．（操作发现）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=．（问题解决）如图②，在等边三角形ABC中，AC=，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找线段PA、PC之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找线段PA、PC之间的数量关系；请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（求解一种方法即可）（灵活运用）如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB（k为常数），直接写出BD的长（用含k的式子表示）．【答案】【操作发现】（1）作图见解析；（2）45°；【问题解决】S△APC=；【灵活运用】BD=2 2 ．【解析】【分析】（1）根据旋转角，旋转方向画出图形即可；（2）只要证明ABB′是等腰直角三角形即可；【问题解决】如图②，将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到AP′C′，证明∠PP′C=90°，利用勾股定理即可得出答案. 【灵活运用】如图③中，由AE⊥BC，BE=EC，推出AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG．则BD=CG，只要证明∠GDC=90°，可得CG=，由此即可解决问题；【详解】（1）如图所示，AB′C′即为所求；（2）连接BB′，将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB=AB′，∠B′AB=90°，∴∠AB′B=45°，故答案为：45°；【问题解决】如图②，∵将APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，∴PP′=PC，即AP=PC，∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2，即（PC）2+PC2=∴PC=2，∴AP=，∴S APC=AP•PC=××2=，【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE=EC，∴AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACG，连接DG．则BD=CG，∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=kAB，∴DG=kBC=4k，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴CG==．∴BD=CG=．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题关键.8．正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点不与点A，B重合，连接DP，将DP绕点P旋转得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．问题出现：当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为______；题探究：当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为______；当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；问题拓展：在的条件下，若 P，，则______．【答案】（1） P；（2） P； P，理由见解析；（3）或．【解析】【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出≌，进而解答即可；根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出≌，进而解答即可；根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出≌，进而解答即可；分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可．【详解】解： P，理由如下：正方形ABCD，， P，将DP绕点P旋转得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N， P P ， P ， P ，P P ， P P ，P P ，在 P与 P 中，，P≌ P ，P ， P，P P P；P，理由如下：正方形ABCD，， P，将DP绕点P旋转得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N， P P ， P ， P ，P P ， P P ，P P ，在 P与 P 中，，P≌ P ，P ， P，P P P；P，理由如下：P P ， P P ，P P ，又 P ， P P ，P≌P ，P ，P P P；有两种情况，如图2，，如图3，；如图2：，P P ，，在P 中 P， PnP；如图3：，P P ，在P 中， P， P n，P．故答案为； P； P；或．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质，旋转的性质,锐角三角函数的知识，以及分类讨论的数学思想解决问题，判断出≌是解本题的关键．9．如图，在菱形ABC D中，，点E在对角线B D上.将线段C E绕点C顺时针旋转，得到C F，连接D F.（1）求证：B E=DF；（2）连接AC，若EB=EC，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得BC=DC，α，再根据α，从而可得，继而得=，由旋转的性质可得=，证明≌，即可证得=；（2）根据菱形的对角线的性质可得，，从而得，由 = ，可得 = ，由（1）可知，可推得，即可得，问题得证.【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ = ，α，∵α，∴，∴ = ，∵线段由线段绕点顺时针旋转得到，∴ = ，在和中，，，，∴≌，∴ = ；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴，，∴，∵ = ，∴ = ，由（1）可知， = ，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键.10．如图1，在等边ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，PMN的形状是；（2）探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出PMN的周长的最大值．【答案】(1)等边三角形；(2)PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN 的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：（1）如图1．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=CE．∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN 为等边三角形．（3）∵PN=BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．11．如图1，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°）得到矩形AEFG．延长CB与EF交于点H．（1）求证：BH=EH；（2）如图2，当点G落在线段BC上时，求点B经过的路径长．【答案】（1）见解析；（2）B点经过的路径长为．【解析】分析：(1)、连接AH，根据旋转图形的性质得出AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，根据AH为公共边得出Rt△ABH和Rt△AEH全等，从而得出答案；(2)、根据题意得出∠EAB的度数，然后根据弧长的计算公式得出答案．详解：(1)、证明：如图1中，连接AH，由旋转可得AB=AE，∠ABH=∠AEH=90°，又∵AH=AH，∴Rt△ABH≌Rt△AEH，∴BH=EH．(2)、解：由旋转可得AG=AD=4，AE=AB，∠EAG=∠BAC=90°，在Rt△ABG中，AG=4，AB=2，∴cos∠BAG=，∴∠BAG=30°，∴∠EAB=60°，∴弧BE的长为=π，即B点经过的路径长为．点睛：本题主要考查的是旋转图形的性质以及扇形的弧长计算公式，属于中等难度的题型．明白旋转图形的性质是解决这个问题的关键．12．如图1，在Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN；（2）PMN是等腰直角三角形；（3）．【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．试题解析：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．点睛：解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，PMN的面积最大13．如图1：在等边ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连结BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．(1)观察猜想图1中PMN的形状是；(2)探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，PMN的形状是否发生改变？并说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形【解析】分析：（1）由等边三角形的性质，得到AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．由AD=AE，得到BD=EC．由中位线的性质，得到NP∥BD，BD=2NP，进而有∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．同理有EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°，得到MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，即可得到结论．（2）连接BD，CE．易证ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE．由PM是△BCE的中位线，得到PM=1 2CE且PM∥BD．同理可证PN=12BD且PN∥BD，得到BD=CE，∠MPB=∠ECB，∠NPC=∠DBC，进而得到∠MPN=60°，即可得到结论．详解：（1）等边三角形．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=EC．∵N、P分别是DC、BC的中点，∴NP是△BCD的中位线，∴NP∥BD，BD=2NP，∴∠NPC=∠ABC=60°，BD=2NP．同理可证：EC=2MP，∠MPB=∠ECB=60°．∴MP=NP，∠MPN=180°－∠MPB－∠NPC=60°，∴△MPN是等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下：连接BD，CE．由旋转可得∠BAD=∠CAE．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，∴ABD≌ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM=12CE且PM∥BD．同理可证PN=12BD且PN∥BD，∴BD =CE ，∠MPB =∠ECB ，∠NPC =∠DBC ，∴∠MPB +∠NPC =∠ECB +∠DBC =(∠ACB +∠ACE )+(∠ABC -∠ABD )= ∠ACB +∠ABC =120°，∴∠MPN =60°，∴△PMN 是等边三角形．点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定以及三角形中位线的性质．解题的关键是熟练运用三角形中位线定理．14．问题提出()1如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a AB b ==，，填空：当点A 位于______时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为______(用含a b ，的式子表示)．问题探究()2点A 为线段BC 外一动点，且63BC AB ==，，如图2所示，分别以AB AC ，为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD BE ，，找出图中与BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE 长的最大值．问题解决：()3①如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()20，，点B 的坐标为()50，，点P 为线段AB 外一动点，且290PA PM PB BPM ==∠=，，，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．②如图4，在四边形ABCD 中， 60AB AD BAD BC =∠==，，，若对角线BD CD ⊥于点D ，请直接写出对角线AC 的最大值．【答案】 CB 的延长线上； a b +【解析】分析：（1）由题意可知，当点A 在CB 的延长线上时，线段AC 的值最大，最大值为：AC=AB+BC=a+b ；（2）由已知条件易证△ABE ≌△ADC ，由此可得BE=DC ，结合（1）中结论可知，当点D 在CB 的延长线上时，BE 最长=CD 最长=BC+AB=9；（3）①如下图5，连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90得到 PBN ，连接AN ，则△APN 是等腰直角三角形，则由已知易得AB=3，AP=1）可知，当点N 在BA 的延长线上时，AM 最大=BN 最大=AB+AN=3+6，当点N 在BA 的延长线上时，过点P 作PE ⊥AN 于点E ，由△APN 是等腰直角三角形，AP=2，即可求得OE 和PE 的长，从而可得此时点P 的坐标；②如下图7，以BC 为边作等边三角形 BCM ，连接DM ，由已知条件易证△ABC ≌△DBM ，从而可得AC=DM ，由此可得当DM 的值最大时，AC 的值就最大，由∠BDC=90°可知点D 在以BC 为直径的O 上运动，由图可知当D 在BC 上方，且DM ⊥BC 时，DM 的值最大，最大值为：等腰直角△BDC 斜边BC 上的高+等边△BMC 的高.详解：（1）∵点A 为线段BC 外一动点，且BC a AB b ==，，∴当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为BC AB a b +=+，故答案为：CB 的延长线上， a b +；()2CD BE =①，理由：∵ABD 与ACE 是等边三角形，∴60AD AB AC AE BAD CAE ==∠=∠=，，，∴BAD BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即CAD EAB ∠=∠，在CAD 与EAB 中，{ AD ABCAD EAB AC AE=∠=∠=，∴CAD ≌()EAB SAS ，∴CD BE =；②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，∴由()1知，当线段CD 的长取得最大值时，点D 在CB 的延长线上，∴最大值为369BD BC AB BC +=+=+=；（3）①如图5，连接BM ，将APM 绕着点P 顺时针旋转90得到PBN ，连接AN ，则APN 是等腰直角三角形，∴2PN PA BN AM ===，，∵A 的坐标为()20，，点B 的坐标为()50，，∴25OA OB ==，，∴3AB =，∴线段AM 长的最大值=线段BN 长的最大值，∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值AB AN =+，∵AN ==∴最大值为3；如图6，过P 作PE x ⊥轴于E ，∵APN 是等腰直角三角形，∴PE AE ==∴532OE BO AB AE =--=-=∴(2.P如下图7，以BC 为边作等边三角形 BCM ，连接DM ，∵60ABD CBM ∠=∠=，∴ABC DBM ∠=∠，∵AB DB BC BM ==，，∴ABC ≌DBM ，∴AC MD =，∴欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可，∵BC ==定值， 90BDC ∠=，∴点D 在以BC 为直径的O 上运动，由图象可知，当点D 在BC 上方，DM ⊥BC 时，DM 的值最大，最大值=等腰直角 BDC 斜边上的高+等边△BCM 的高，∵BC=∴DM 最大=，∴AC 最大=．点睛：这是一道涉及多种几何图形性质的几何综合题，解题时，需注意：（1）弄懂第1小题的题意和结论是解决后面问题的基础；（2）解第2小题时，“通过证 ABE ≌△ADC ，得到BE=DC ，把求BE 的最大值转变为求CD 的最大值”是解决本问的关键；（3）解第3小题时，“作出如图所示的辅助线，把问题分别转化为求线段BN 和DM 的最大值”是解决第3题中2个小问的关键.15．如图，已知 ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 的中点，连接CF ，DF ．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上时①证明：BFC是等腰三角形；②请判断线段CF，DF的关系？并说明理由；（2）如图2，将图1中的ADE绕点A旋转到图2位置时，请判断（1）中②的结论是否仍然成立？并证明你的判断．【答案】（1）①证明见解析；②结论：CF=DF且CF⊥DF．理由见解析；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析.【解析】分析：(1)、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CF=BF=EF，根据∠CFD=2∠ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°得出∠CFD=90°，从而得出答案；(2)、延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，首先证明△BFG和△EFD全等，然后再证明△BCG和△ACD全等，从而得出GC=DC，∠BCG=∠ACD，∠DCG=∠ACB=90°，最后根据直角三角形斜中线的性质得出答案．详解：（1）①证明：∵∠BCE=90°．EF=FB，∴CF=BF=EF，∴△BFC是等腰三角形．②解：结论：CF=DF且CF⊥DF．理由如下：∵∠ADE=90°，∴∠BDE=90°，又∵∠BCE=90°，点F是BE的中点，∴CF=DF=BE=BF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠5=∠1+∠3=2∠1，∠6=∠2+∠4=2∠2，∴∠CFD=∠5+∠6=2（∠1+∠2）=2∠ABC，又∵△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴∠CFD=90°，∴CF=DF且CF⊥DF．（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图，延长DF至G使FG=DF，连接BG，CG，DC，∵F是BE的中点，∴BF=EF，又∵∠BFG=∠EFD，GF=DF，∴△BFG≌△EFD（SAS），∴∠FBG=∠FED，BG=ED，∴BG∥DE，∵△ADE和ACB都是等腰直角三角形，∴DE=DA，∠DAE=∠DEA=45°，AC=BC，∠CAB=∠CBA=45°，又∵∠CBG=∠EBG﹣∠EBA﹣∠ABC=∠DEF﹣（180°﹣∠AEB﹣∠EAB）﹣45°=∠DEF﹣180°+∠AEB+∠EAB﹣45°=（∠DEF+∠AEB）+∠EAB﹣225°=360°﹣∠DEA+∠EAB﹣225°=360°﹣45°+∠EAB﹣225°=90°+∠EAB，而∠DAC=∠DAE+∠EAB+∠CAB=45°+∠EAB+45°=90°+∠EAB，∴∠CBG=∠DAC，又∵BG=ED，DE=DA，∴BG=AD，又∵BC=AC，∴△BCG≌△ACD（SAS），∴GC=DC，∠BCG=∠ACD，∴∠DCG=∠DCB+∠BCG=∠DCB+∠ACD=∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，又∵F是DG的中点，∴CF⊥DF且CF=DF．点睛：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．16．阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：(1)要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADE∽△BEC，所以问题得解．(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可．(3)因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°．∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°．∴∠ADE=∠BEC．∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，∴BE=CE=AB．在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，∴，。
2020届中考数学压轴题专题 专题14 几何变换问题【考点1】平移变换问题【例1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A （1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，﹣2） C ．（﹣1，2） D ．（1，2） 【答案】A 【解析】试题分析：已知将点A （1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为（﹣1，1）．故选A ．考点：坐标与图形变化-平移．【变式1-1】（2019·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知1(3,5),(4,3),(3,3)A B A --，则点1B 坐标为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)【答案】B 【解析】 【分析】根据A 和A 1的坐标得出四边形ABCD 先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形1111A B C D ，则B 的平移方法与A 点相同，即可得到答案． 【详解】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A （－3，5）到A 1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B （－4，3）平移后B 1（2，1）. 故选B. 【点睛】此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键【变式1-2】（2019·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点坐标分别是2,1,1,()()2,3,3()A B C ---（1）将ABC ∆向上平移4个单位长度得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆； （2）请画出与ABC ∆关于y 轴对称的222A B C ∆； （3）请写出12A A 、的坐标．【答案】（1）如图所示：111A B C ∆，即为所求；见解析；（2）如图所示：222A B C ∆，即为所求；见解析；（3）122,3,),1(()2A A --．【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标. 【详解】（1）如图所示：111A B C ∆，即为所求； （2）如图所示：222A B C ∆，即为所求；（3）122,3,),1(()2A A --． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.【考点2】轴对称变换问题（含折叠变换）【例2】（2019·四川中考真题）如图，在菱形ABCD 中，4sin 5B =，点,E F 分别在边,AD BC 上，将四边形AEFB 沿EF 翻折，使AB 的对应线段MN 经过顶点C ，当MN BC ⊥时，AEAD的值是_____．【答案】29. 【解析】 【分析】延长CM 交AD 于点G ，进而利用翻折变换的性质得出AE ME =，A EMC ∠=∠，BF FN =，B N ∠=∠，AB MN =，再利用菱形的性质得出AB BC CD AD ===，B D ∠=∠，180A B ︒∠+∠=，设4CF x =，5FN x =，利用勾股定理得出9BC x AB CD AD ====，再根据三角函数进行计算即可解答 【详解】延长CM 交AD 于点G ，∵将四边形AEFB 沿EF 翻折，∴AE ME =，A EMC ∠=∠，BF FN =，B N ∠=∠，AB MN = ∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠，180A B ︒∠+∠= ∵4sin sin 5CF B N FN===， ∴设4CF x =，5FN x =，∴223CN FN CF x =-=，∴9BC x AB CD AD ====，∵4sin sin 5GC B D CD === ∴365xGC =∴()36x 6655GM GC MN CN x x =--=-= ∵180A B ︒∠+∠=，180EMC EMG ︒∠+∠= ∴B EMG ∠=∠∴4sin sin 5EG B EMG EM =∠== ∴3cos 5GMEMG EM∠==∴=2EM x ， ∴2AE x =，∴2299AE x AD x == 故答案为：29.【点睛】此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答【变式2-1】（2019·江苏中考真题）如图，将平行四边形纸片ABCD 沿一条直线折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，折痕为EF ．求证： （1）ECB FCG ∠=∠； （2）EBC FGC ∆≅∆．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到A BCD ∠=∠，由折叠可得，A ECG ∠=∠，即可得到ECB FCG ∠=∠；(2)依据平行四边形的性质，即可得出D B ∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =，即可得到B G ∠=∠，BC CG =，进而得出EBC FGC ∆≅∆． 【详解】 (1)四边形ABCD 是平行四边形，A BCD ∴=∠，由折叠可得， A ECG ∠=∠，BCD ECG ∴∠=∠，BCD ECF ECG ECF ∴∠-∠=∠-∠， ECB FCG ∴∠=∠；(2)四边形ABCD 是平行四边形，D B ∴∠=∠，AD BC =，由折叠可得，D G ∠=∠，AD CG =，B G ∴∠=∠，BC CG =，又ECB FCG ∠=∠，()EBC FGC ASA ∴∆≅∆．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.【变式2-2】（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点P 是AB 边上的一个动点（与点A 、B 不重合），直线l 是经过点P 的一条直线，把△ABC 沿直线l 折叠，点B 的对应点是点B’. （1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC 边上，则AB’的长度为_____； （2）如图2，当PB=5时，若直线l //AC ，则BB’的长度为 ；（3）如图3，点P 在AB 边上运动过程中，若直线l 始终垂直于AC ，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l 变化过程中，求△ACB’面积的最大值.【答案】（1）4；（2）53；（3）面积不变，S△ACB’=163；（4）24+43【解析】【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题. 【详解】(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=PA=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB=5，B、B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴OB=PB·sin60°=53，∴BB′=53，故答案为53；(3)如图3，结论：面积不变.过点B作BE⊥AC于E，则有BE=AB·sin60°=383=∴S△ABC=1184322AC BE=⨯⨯3∵B、B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC//BB′，∴S△ACB’=S△ABC=163；(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，PA=2，∠PAE=60°，33∴S△ACB最大值=1233【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【考点3】旋转变换问题【例3】（2019·山东中考真题）(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△A CB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B 的位置的变化,直接写出PC的范围.【答案】(1) AD=BE ，AD⊥BE．(2) AD=BE ，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE； （3）作AE⊥AP，使得AE=PA ，则易证△APE≌△ACP，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32. 【详解】（1）结论：AD=BE ，AD⊥BE． 理由：如图1中，∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD ， ∠ACB=∠ACD=90°， 在Rt△ACD 和Rt△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD≌△BCE（SAS ）， ∴AD=BE，∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F ，∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即AD⊥BE． ∴AD=BE，AD⊥BE． 故答案为AD=BE ，AD⊥BE． （2）结论：AD=BE ，AD⊥BE．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE，在Rt△ACD 和Rt△BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACD≌△BCE（SAS ）， ∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠OHB=90°，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．【变式3-1】（2019·辽宁中考真题）如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(-4，4)，B(-1，1)，C(-1，4)．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A2BC2，画两出△A2BC2．(3)求线段AB在旋转过程中扫过的图形面积．(结果保留π)【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)92π.【解析】【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(2)利用网格特点和旋转的性质画出A 、C 的对应点A 2、C 2即可；(3)线段AB 在旋转过程中扫过的图形为扇形，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：(1)如图，△A l B 1C 1为所作. (2)如图，△A 2BC 2为所作；(3)AB=2233+=32，所以线段AB 在旋转过程中扫过的图形面积=290π(32)360⋅⋅=92π．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积公式．【变式3-2】（2019·江苏中考真题）如图①，在ABC ∆中，3AB AC ==，100BAC ︒∠=，D 是BC 的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ．将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80︒，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到BPE ∆．小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E 在直线AD 上时，如图②所示．①BEP ∠= ；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是 ．（2）请在图③中画出BPE ∆，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE ．试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由．（3）当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值．【答案】（1）①50︒；②EC AB ∥；（2）AB EC ∥；（3）AE 的最小值3． 【解析】 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质即可解决问题．②证明40ABC ︒∠=，40ECB ︒∠=，推出ABC ECB ∠=∠即可．（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P．利用圆周角定理证明1402BCE BPE ︒∠=∠=即可解决问题．（3）因为点E 在射线CE 上运动，点P 在线段AD 上运动，所以当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值3AB ==． 【详解】（1）①如图②中，∵80BPE ︒∠=，PB PE =， ∴50PEB PBE ︒∠=∠=， ②结论：AB EC ∥．理由：∵AB AC =，BD DC =， ∴AD BC ⊥，∴90BDE ︒∠=，∴905040EBD ︒︒︒∠=-=， ∵AE 垂直平分线段BC ， ∴EB EC =，∴40ECB EBC ︒∠=∠=， ∵AB AC =，100BAC ︒∠=， ∴40ABC ACB ︒∠=∠=， ∴ABC ECB ∠=∠， ∴AB EC ∥．故答案为50，AB EC ∥．（2）如图③中，以P 为圆心，PB 为半径作⊙P．∵AD 垂直平分线段BC ， ∴PB PC =， ∴1402BCE BPE ︒∠=∠=， ∵40ABC ︒∠=， ∴ AB EC ∥．（3）如图④中，作AH CE ⊥于H ，∵点E 在射线CE 上运动，点P 在线段AD 上运动，∴当点P 运动到与点A 重合时，AE 的值最小，此时AE 的最小值3AB ==． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 【考点4】位似变换问题【例4】（2019·广西中考真题）如图，ABC ∆与'''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点()()2,2,3,4A B ，()6,1C ，()'6,8B 则'''A B C ∆的面积为__．【答案】18． 【解析】 【分析】根据()3,4B ，()'6,8B 的坐标得到位似比，继而得到A 、C 对应点的坐标，再用'''A B C ∆所在的矩形的面积减去顶点处的三角形面积即可求得答案.【详解】∵ABC ∆与'''A B C ∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形， 若点()3,4B ，()'6,8B ， ∴位似比为：31=62， ∵()2,2A ，()6,1C ， ∴()()'4,4,'12,2A C ， ∴'''A B C ∆的面积为：1116824662818222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．【变式4-1】（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标分别为()()()2,4,4,0,0,0A B O --．以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到CDO ，则点A的对应点C 的坐标是__________． 【答案】()1,2-或()1,2- 【解析】 【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A 的对应点C. 【详解】解：以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，点A 的坐标为()2,4-， ∴点C 的坐标为112,22(4)-⨯⨯或112,22(4)⨯-⨯，即()1,2-或()1,2-， 故答案为：()1,2-或()1,2-． 【点睛】本题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向. 【变式4-2】（2018·四川中考真题）如图，ABC ∆在方格纸中.（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使(2,3)A ，(6,2)C ，并求出B 点坐标；（2）以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC ∆放大，画出放大后的图形'''A B C ∆； （3）计算'''A B C ∆的面积S .【答案】（1）作图见解析；(2,1)B .（2）作图见解析；（3）16. 【解析】分析：（1）直接利用A ，C 点坐标得出原点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质即可得出△A'B'C'； （3）直接利用（2）中图形求出三角形面积即可． 详解：（1）如图所示，即为所求的直角坐标系；B （2，1）；（2）如图：△A'B'C'即为所求； （3）S △A'B'C '=12×4×8=16． 点睛：此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和关键点；③根据位似比，确定位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．一、单选题1．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点3,b n 关于y 轴对称，则（ ） A ．3m =，2n = B ．3m =-，2n = C ．2m =，3n =D ．2m =-，3n =【答案】B 【解析】 【分析】根据点关于y 轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案. 【详解】A ，B 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选B 【点睛】本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称.2．（2019·辽宁中考真题）如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的的坐标为（ ）A ．（4，3）B ．（3，4）C ．（5，3）D ．（4，4）【答案】A 【解析】 【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ，进而结合已知得出答案． 【详解】∵点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P 在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．3．（2019·湖南中考真题）如图，将OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置，若40AOB ∠=，则AOD ∠=（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°【答案】D 【解析】 【分析】首先根据旋转角定义可以知道70BOD ∠=，而40AOB ∠=，然后根据图形即可求出AOD ∠． 【详解】解：∵OAB ∆绕点O 逆时针旋转70°到OCD ∆的位置， ∴70BOD ︒∠=， 而40AOB ︒∠=，∴704030AOD ∠=-= 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识． 4．（2019·广东中考真题）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.5．（2019·浙江中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（）A．(2,-1) B．(1,-2) C． (-2,1) D． (-2,-1)【答案】A【解析】【分析】先找出对应点，再用线段顺次连接作出图形，根据图形解答即可.【详解】如图，()''21C -，.故选A. 【点睛】本题考查了轴对称作图及中心对称作图，熟练掌握轴对称作图及中心对称的性质是解答本题的关键，中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.6．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系中，将点()2,3-向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（ ） A ．()2,3 B ．()6,3- C ．()2,7- D ．()2,1--【答案】A 【解析】 【分析】根据直角坐标系的坐标平移即可求解. 【详解】一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4，故选A 【点睛】此题主要考查坐标的平移，解题的关键是熟知直角坐标系的特点. 7．（2019·湖南中考真题）点(1,2)-关于原点的对称点坐标是（ ） A ．(1,2) B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(2,1)-【答案】B 【解析】 【分析】坐标系中任意一点(),P x y ，关于原点的对称点是(),x y --，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【详解】根据中心对称的性质，得点()1,2-关于原点的对称点的坐标为()1,2-． 故选B ． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．8．（2019·湖南中考真题）如图，以点O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的2倍得到A'B'C'，以下说法中错误的是（ ）A ．ABC A'B'C'∽B ．点C 、点O 、点C′三点在同一直线上 C ．AO:AA'1:2=D ．AB A'B'【答案】C 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】∵以点O 为位似中心，把ABC 放大为原图形的2倍得到A'B'C'， ∴ABC A'B'C'∽，点C 、点O 、点C′三点在同一直线上，AB A'B'，AO:AA'1:3=，∴C 选项错误，符合题意． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．9．（2018·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A （2，4），过点A 作AB⊥x 轴于点B ．将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD，则CD 的长度是（ ）A ．2B ．1C ．4D ．25【答案】A 【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合A 点坐标可直接得出点C 的坐标，即可得出答案．【详解】∵点A （2，4），过点A 作AB⊥x 轴于点B ，将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD， ∴C（1，2），则CD 的长度是2， 故选A ．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．10．（2019·山东中考真题）如图，点A 的坐标是(-2,0)，点B 的坐标是(0,6)，C 为OB 的中点，将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C '''∆．若反比例函数ky x=的图象恰好经过A B '的中点D ，则k 的值是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18【答案】C 【解析】 【分析】作'A H y ⊥轴于.H 证明AOB ≌()'BHA AAS ，推出OA BH =，'OB A H =，求出点'A 坐标，再利用中点坐标公式求出点D 坐标即可解决问题．【详解】解：作A H y '⊥轴于H ．∵90AOB A HB ABA ∠=∠'=∠'=︒，∴90ABO A BH ∠+∠'=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒， ∴BAO A BH ∠=∠'， ∵BA BA ='，∴()AOB BHA AAS '≌， ∴OA BH =，OB A H ='，∵点A 的坐标是()2,0-，点B 的坐标是()0,6， ∴2OA =，6OB =，∴2BH OA ==，6A H OB '==， ∴4OH =， ∴()6,4A '， ∵BD A D ='， ∴()3,5D ， ∵反比例函数ky x=的图象经过点D ， ∴15k =． 故选：C ． 【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2019·浙江中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）A ．22B ．5C ．35D ．10【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN ，利用勾股定理即可求得． 【详解】如图，EF 为剪痕，过点F 作FG EM ⊥于G .∵EF 将该图形分成了面积相等的两部分， ∴EF 经过正方形ABCD 对角线的交点， ∴,AF CN BF DN ==. 易证PME PDN ∆∆≌， ∴EM DN =， 而AF MG =，∴1EG EM MG DN AF DN CN DC =+=+=+==. 在Rt FGE ∆中， 22223110FG EG EF +=+=故选：D. 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．12．（2019·湖北中考真题）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，:3:1AD AB =，将ABD △沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，连接AF 交BC 于点G ，且2BG =，在AD 边上有一点H ，使得BH EH +的值最小，此时BHCF=（ ）A ．32B 23C ．62D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE 都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM 垂直平分AF ，BF=AB=a ，3．解直角△BGM，求出BM ，再表示DM ，由△ADM∽△GBM，求出33B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B （3，3，B′（3，3，E （03，利用待定系数法求出直线B′E 的解析式，得到H （1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出23BH CF =23 【详解】如图，设BD 与AF 交于点M ．设AB=a ，3a ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，tan∠ABD=31 ADAB=，22AB AD+，∠ABD=60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，3，在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，∴GM=12BG=1，33∴DM=BD3，∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴AD DMBG BM=，即3323a=，3，3，AD=BC=6，3易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC 垂直平分DF ， ∴CF=CD=23，作B 点关于AD 的对称点B′，连接B′E，设B′E 与AD 交于点H ，则此时BH+EH=B′E，值最小． 如图，建立平面直角坐标系，则A （3，0），B （3，3，B′（3，3，E （03， 易求直线B′E 的解析式为33 ∴H（1，0），22(31)(230)-+-，∴23BH CF ==233． 故选：B ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH 、CF 的长是解题的关键．13．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，那么点2019A 的坐标是( )A ．22⎝⎭B ．(1,0)C ．22⎛ ⎝⎭D ．(0,1)-【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质分别求出点A 1、A 2、A 3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案. 【详解】四边形OABC 是正方形，且OA 1=，()A 0,1∴，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，∴点A 1的横坐标为12sin 452⨯︒=，点A 1的纵坐标为12cos 452⨯︒=， 122A ∴⎝⎭，继续旋转则()2A 1,0，322A ,22⎛-⎝⎭，A 4(0，-1)，A 522,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，A 6(-1，0)，A 72222⎛- ⎝⎭，A 8(0，1)，A 922⎝⎭，……，发现是8次一循环，所以20198252÷= (3)∴点2019A 的坐标为22,22⎛-⎝⎭， 故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.14．（2019·江苏中考真题）如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C ''∆，''B C 与BC ，AC 分别交于点D ，E.设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H ，由已知以及旋转的性质可得AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，继而可求出AH 长，B′C′的长，由等腰三角形的性质可得∠AB′C=∠ACB′，再根据∠AB′D=∠ACD=30°，可得∠DB′C=∠DCB′，从而可得B′D=CD，进而可得 B′E=x，由此可得3-x ，再根据三角形面积公式即可求得y 与x 的关系式，由此即可得到答案. 【详解】连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H ，∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到AB C''∆，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH=12AC′=1，∴C′H=223AC AH'-=，∴B′C′=2C′H=23，∵AB′=AC，∴∠AB′C=∠ACB′，∵∠AB′D=∠ACD=30°，∴∠AB′C-∠AB′D=∠ACB′-∠ACD，即∠DB′C=∠DCB′，∴B′D=CD，∵CD+DE=x，∴B′D+DE=x，即B′E=x，∴C′E=B′C′-B′E=23-x，∴y=12C E AH'=12×(23-x)×1=132x-+，观察只有B选项的图象符合题意，故选B.【点睛】本题考查的是几何综合题，涉及了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数的应用等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.15．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C100的坐标为( )A．121200,5⎛⎫⎪⎝⎭B．()600,0C．12600,5⎛⎫⎪⎝⎭D．()1200,0【答案】B【解析】【分析】根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x 轴上，由点A，B的坐标利用勾股定理可求出AB的长，进而可得出点C2的横坐标，同理可得出点C4，C6的横坐标，根据点的横坐标的变化可找出变化规律“点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)”，再代入2n=100即可求出结论．【详解】解：根据题意，可知：每滚动3次为一个周期，点C1，C3，C5，…在第一象限，点C2，C4，C6，…在x轴上．∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，22OA OB+，∴点C2的横坐标为4+5+3=12=2×6，同理，可得出：点C4的横坐标为4×6，点C6的横坐标为6×6，…，∴点C2n的横坐标为2n×6(n为正整数)，∴点C100的横坐标为100×6=600，∴点C100的坐标为(600，0)．故选：B．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．二、填空题16．（2019·湖南中考真题）在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．【答案】90° 【解析】 【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数即可． 【详解】根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．17．（2019·山东中考真题）如图，在正方形网格中，格点ABC ∆绕某点顺时针旋转角()0180αα<<︒得到格点111A B C ∆，点A 与点1A ，点B 与点1B ，点C 与点1C 是对应点，则α=_____度．【答案】90 【解析】 【分析】先连接1CC ，1AA ，作1CC ，1AA 的垂直平分线交于点E ，连接AE ，1A E ，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案. 【详解】如图，连接1CC ，1AA ，作1CC ，1AA 的垂直平分线交于点E ，连接AE ，1A E ，∵1CC ，1AA 的垂直平分线交于点E ， ∴点E 是旋转中心， ∵190AEA ∠=︒， ∴旋转角90α=︒. 故答案为：90. 【点睛】本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.18．（2019·海南中考真题）如图，将Rt ABC ∆的斜边AB 绕点A 顺时针旋转()090αα︒︒<<得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AF ，连结EF ．若=3AB ，=2AC ，且B αβ+=∠，则=EF _____．13【解析】 【分析】由旋转的性质可得3AE AB ==，2AC AF ==，由勾股定理可求EF 的长． 【详解】解：由旋转的性质可得3AE AB ==，2AC AF ==，90B BAC ︒∠+∠=，且B αβ+=∠， 90BAC αβ︒∴∠++=90EAF ︒∴∠=2213EF AE AF ∴=+=故答案为：13 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．19．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，点()4,2P 关于直线1x =的对称点的坐标是_____． 【答案】()2,2- 【解析】 【分析】先求出点P 到直线1x =的距离，再根据对称性求出对称点P'到直线1x =的距离，从而得到点P'的横坐标，即可得解． 【详解】 ∵点()4,2P ，∴点P 到直线1x =的距离为413-=，∴点P 关于直线1x =的对称点P'到直线1x =的距离为3， ∴点P'的横坐标为132-=-， ∴对称点P'的坐标为()2,2-. 故答案为：()2,2-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线1x =的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．20．（2019·山东中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，ABO 与A B O '''是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P 的坐标为_____。
《中考压轴题》专题22：几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题一、选择题1.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为A ．22-B ．32C ．31-D ．12.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为A ．（203，103）B ．（163，453）C ．（203，453）D ．（163，43）3.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个4.如图，矩形ABCD 的长为6，宽为3，点O 1为矩形的中心，⊙O 2的半径为1，O 1O 2⊥AB 于点P ，O 1O 2=6．若⊙O 2绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现A ．3次B ．4次C ．5次D ．6次5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为A．30°B．60°C．90°D．150°6.如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为A．122π+B．12π+C．1π+D．3-7.如图，直线y=2x与双曲线2yx=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为A．（1.0）B．（1.0）或（﹣1.0）C．（2.0）或（0，﹣2）D．（﹣2.1）或（2，﹣1）8.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是A．45°B．60°C．90°D．120°9.如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC=2，则这种变换可以是（）A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3二、填空题1.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A'B'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=2，则图中阴影部分的面积等于.2.如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点A2014的坐标为．3.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014=．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为．5.如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是．6.如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于度．（用含n的代数式表示，n为正整数）7.如图（1），有两个全等的正三角形ABC和ODE，点O、C分别为△ABC、△DEO的重心；固定点O，将△ODE顺时针旋转，使得OD经过点C，如图（2），则图（2）中四边形OGCF与△OCH面积的比为．8.如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为．10.通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为．11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是．=上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点12.如图，平面直角坐标系中，已知直线y xP顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。
中考几何三大变换专题：压轴题。
分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。
中考数学几何三大变换相关问题压轴题解析汇编专题7：几何三大变换相关问题.29. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)，C″(2,1)，D(－4，1)，A(0， )，B( ，O)( 0).（1）结合坐标系用坐标填空．点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称（2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB 的面积等于5，求值．【答案】解：（1）（﹣1，3）；（2，2）；（﹣1，2）。
（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），△PAB的面积= （1+a）×6﹣ a2﹣×1×（6﹣a）=5，整理得，a2﹣7a+10=0，解得a1=2，a2=5。
所以，a的值为2或5。
【考点】网格问题，坐标与图形的对称变化，坐标与图形性质，三角形的面积。
【分析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可：由图可知，点C与C′关于点（﹣1，3）对称；点C与C″关于点（2，2）对称；点C与D关于点（﹣1，2）对称。
（2）先求出点P的坐标，再利用△APB所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解。
30. （2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽 ,长．将长方形AEFG 绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD 与MN相交于点O．（1）求的度数；（2）在图2中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．图1 图2【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：∠BAM=15°，∵四边形AMNH是矩形，∴∠M=90°。
∴∠AKM=90°－∠BAM=75°。
∴∠BKO=∠AKM=75°。
2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段AB上一点，线段CD绕点C 逆时针旋转90°能与线段CE重合，点F为AC与BE的交点．（1）若BC＝5，CE＝4，求线段BD的长；（2）猜想BD与AF的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）设CA＝3DA＝6，点M在线段CD上运动，点N在线段CA上运动，运动过程中，DN+MN的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．2．阅读下列材料，并完成相应的学习任务：图形旋转的应用图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，且AC＝4，BC＝3．过点E作互相垂直的两条直线，即EF⊥ED，EF交AC于点F，ED交BC于点D，求四边形EFCD 的面积．分析：将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC，并且交AC于点M，旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N．则容易证明四边形MENC为正方形．因为∠EMF＝∠END＝90°，ME＝NE，∠MEF＝∠NED，所以△MEF≌△NED，所以S四边形EFCD＝S正方形MENC．学习任务：（1）四边形EFCD的面积等于；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，①作出△ABC的外接圆O；②作∠ACB的平分线，与⊙O交于点D．要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．（3）在（2）的基础上，若BC+AC＝14，则四边形ACBD的面积等于．3．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．（1）如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．（3）在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝+1，求DF的长；（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG；（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M 为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时的值．5．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α得到△A1BC1．（1）若α＝90°，则AA1的长为．（2）如图2，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，求CH的长．（3）如图3，若0°＜α＜360°，M为边A1C1的中点，N为AM的中点，请直接写出CN的最大值．6．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝，＝；类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．7．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，P A＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数．【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．【尝试解决】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B，连接PP'，则△APP'为等边三角形．∵P'P＝P A＝3，PB＝4，P'B＝PC＝5，∴P'P2+PB2＝P'B2，△BPP'为三角形，∴∠APB的度数为．（2）如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BP A＝30°，求证：P A2+PB2【类比探究】＝PC2．【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在直线BC上方且∠APB＝45°，PC＝BC＝2，求P A的长．8．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C 在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：BD＝DE+CE；（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的数量关系．9．（1）如图1，等腰直角△ABC，∠B＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，作DE垂直DF交BC于点F，求证：DE＝DF．（2）如图2，等腰直角△ABC，∠B＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF，求证：点F在线段BC上；（3）如图3，直角△ABC，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF，若AB＝6，BC＝8，①直接写出线段EF＝时，BE的长；②直接写出△ACF是等腰三角形时，BE的长；③直接写出△BEF面积的最大值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣4，0），点B（0，3），△ABO绕点B顺时针旋转，得△A'BO'，点A、O旋转后的对应点为A'、O'，记旋转角为α．（1）如图①，α＝90°，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当OM＝1时，点N 的坐标为；（2）在（1）的条件下，当O'M+BN取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．（3）如图③，P为AB上一点，且P A：PB＝2：1，连接PO'、P A'，在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中，△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．11．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）问题发现：（1）填空：CE与CG的数量关系是，直线CE与CG所夹的锐角的度数为．探究证明：（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；问题解决：（3）若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值．12．如图，两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，且∠DFE＝∠ACB ＝60°，BC＝1，EF＝2．设EC＝m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB＝60°．（1）如图1，当点C和点F重合时，＝；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转，当点A落在DF边上时，求的值；（3）当点C在线段EF上时，△ABC绕点C逆时针旋转α度（0＜α＜90°），原题中其他条件不变，则＝．13．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE，将△AED 沿直线AE翻折得到△AEF（点D与点F为对应点），连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G．（1）如图1，求证：四边形DFEG为平行四边形；（2）如图2，连接CF，若tan∠ABE＝，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出图2中所有正切值等于2的角．14．在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．15．（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上，且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．16．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上运动，将线段DE绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF．（1）如图1，若D为AB中点，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：OE＝OD；（2）如图2，若点E不与C，B重合，点D为AB中点，点G为AF的中点，连接DG，连接BF，判断线段BF，CE，AD的数量关系并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，AD＝3BD，点G为AF的中点，连接CG，∠GDE＝90°，请直接写出CE的长．18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标19．如图：直线l1：y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l1翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线y＝（x＞0）经过点C．（1）求点A，B的坐标．（2）求k的值．（3）将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2．直线l2与y轴交于点B′，将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C'，当四边形OAC′B′为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点C′的路径长．20．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（1）观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时，①的值为；②∠BEC的度数为度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值及∠BFC的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD 的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC,BC＝5,∴AB＝AC＝BC＝5,由旋转知，CD＝CE＝4,在Rt△ADC中，AD＝＝＝,∴BD＝AB﹣AD＝5﹣；(2)猜想：BD＝2AF,理由：如图1，延长BA至G，使AG＝AB，连接EG，则CG＝CB,∴∠ABC＝∠AGC,在Rt△ABC中，AB＝AC,∴∠ABC＝45°,∴∠AGC＝45°,∴∠BCG＝90°,由旋转知，CD＝CE,∠DCE＝90°＝∠BCG,∴∠BCD＝∠GCE,∴△BCD≌△GCE(SAS),∴BD＝GE,∠CBD＝∠CGE＝45°,∴∠BGE＝∠CGB+∠CGE＝90°＝∠BAC,∴AC∥GE,∴,∴＝,∴EG＝2AF,∴BD＝2AF；(3)存在，如图2，延长DA至P，使AP＝AD，∵∠BAC＝90°,∴点P,点D关于AC对称，∴MN+DN＝MH+PN,过点P作PH⊥CD于H,要使MN+DN最小，则点P,N,M在同一条线上，且PM⊥CD，即MN+DN的最小值为PH，∵CA＝3DA＝6，∴AD＝2,∴DP＝2AD＝4,CD＝＝＝2,连接CP，∴S△CDP＝DP•AC＝CD•PH,∴PH＝＝＝,即DN+MN的最小值为．2．解：（1）如图1中，∵EC平分∠ACB，EM⊥AC，EN⊥BC，∴EM＝EN，∵∠EMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形EMCN是矩形，∵EM＝EN，∴四边形EMCN是正方形，设正方形的边长为m，则×AC×BC＝×AC×m+×BC×m，解得m＝，∵EF⊥ED∴∠MEN＝∠FED＝90°，∴∠MEF＝∠NDF，∵∠EMF＝∠END＝90°，∴△EMF≌△END（AAS），∴S四边形EFCD＝S正方形EMCN＝，故答案为：；（2）①如图2中，⊙O即为所求作．②如图2中，射线CD即为所求作．（3）如图2中，过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M，DN⊥AC于N．∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形DMCN是矩形，∵DC平分∠ACB，DM⊥CB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∴四边形DMCN是正方形，∴CM＝CN，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴DB＝DA，∵DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，∴Rt△DMB≌Rt△DNA（HL），∴BM＝AN，S四边形ACBD＝S正方形DMCN，∴AC+BC＝CM﹣BM+CN﹣AN＝2CM＝14，∴CM＝7，∴S四边形ACBD＝49．故答案为：49．3．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠GAE＝∠GAF＝30°，∵AE＝AF，∴FG＝EG．（2）解：结论：∠EHD＝120°，是定值．理由：如图2中，连接BF，CE．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BH＝EH，∴DH∥EC，∴∠HDB＝∠ECB，∵FG＝GE，EH＝HB，∴GH∥BF，∴∠EHG＝∠EBF，∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABF，∵∠EHD＝∠HDB+∠HBD，∴∠DHG＝∠EHG+∠EHD＝∠EBF+∠HDB+∠HBD＝∠ABF﹣∠ABE+∠ECB+∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ECB+∠ABD＝∠ACB+∠ABC＝120°．（3）解：如图3中，取AB的中点N，连接AH，HN，CH，CH交AD于M，过点H作HT⊥AD于T．∵EH＝BH，AN＝BN，∴NH为△ABE的中位线，∴HN＝AE＝，∴点H在以N为圆心，为半径的圆上，当C，N，H共线时，CH的值最大，∵△ABC是等边三角形，∴CN⊥AB，∴∠ACM＝∠MCB＝30°，∵AD＝2，∴CN＝AD＝2，在Rt△CMD中，CD＝2，∠MCD＝30°，∴CM＝＝，∴MN＝CN﹣CM＝，∴HM＝HN+MN＝+＝，∴HT＝HM•sin60°＝，∴S△ADH＝•AD•HT＝．4．（1）解：如图1中，过点F作FH⊥BC于H．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°，∵FH⊥CH，∴∠FHC＝90°，∴∠HFC＝∠HCF＝45°，∴CH＝FH，设FH＝CH＝m，∵∠ABE＝15°，∴∠FBC＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝HF＝m，∴m+m＝+1，∴m＝1，∴CF＝CH＝，∵CD＝BC＝，∴DF＝CD﹣CF＝﹣＝．（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DH⊥DE交BE于H．∵∠ADC＝∠FDB＝90°，DB＝DC，BF＝AC，∴Rt△BDF≌Rt△CDA（HL），∴∠DBF＝∠ACD，∵∠BFD＝∠CFE，∴△BFD∽△CFE，∴＝，∴＝，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DFE∽△BFC，∴∠DEF＝∠BCF＝45°，∵DH⊥DE，∴∠HDE＝90°，∴∠DHE＝∠DEH＝45°，∴DH＝DE，∵∠BDC＝∠EDH＝90°，∴∠BDH＝∠CDE，∵DB＝DC，DH＝DE，∴△BDH≌△CDE（SAS），∴BH＝EC，∵DH＝DE，DG⊥EH，∴GH＝EG，∴DG＝EH，∴BE＝BH+HE＝EC+2DG．（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥BC于J，过点P作PK⊥BC于K．∵△BHR，△DBC都是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠HBR＝45°，∴∠HBC＝90°，∵∠H＝∠HBJ＝∠MJB＝90°，∴四边形BHMJ是矩形，∴BH＝MJ，HM＝BJ，∵BH＝HR，HM＝MR，∴MJ＝2BJ，∴tan∠MBJ＝＝2，∴点M的在射线BM上运动，∴当C，F′，M共线，且CM⊥BM时，F′M的值最小．设AD＝m，∵tan∠ACD＝＝，∴CD＝BD＝3m，DF＝AD＝m，CF＝CF′＝2m，BC＝3m，∵∠CMB＝90°，tan∠CBM＝＝2，∴BM＝m，CM＝m，∴BJ＝HM＝m，JM﹣BH＝HR＝m，∴MR＝m，设BK＝PK＝n，CK＝2n，∴n＝m，∴BK＝PK＝m，CK＝2m，PC＝m，∴PF′＝PC﹣CF′＝m﹣2m，∴＝＝．5．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，CB＝3，∴AB＝＝＝5，∵α＝90°，∴△ABA1是等腰直角三角形，AA1＝AB＝5．故答案为：5．（2）如图2﹣1中，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴AB＝AG＝5，∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，∵∠BC1G＝90°，∴BG＝＝＝，∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．如图2﹣2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，∴BG＝，AG＝5﹣＝，∵GM∥BC，∴＝，∴＝，∴AM＝，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC﹣AM＝1．综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．（3）如图3中，取AB的中点J，连接BM，CJ，JN．∵AJ＝BJ，∠ACB＝90°，∴CJ＝AB＝，∵BC1＝BC＝3，MC1＝MA1＝2，∠BC1M＝90°，∴BM＝＝＝，∵AJ＝BJ，AN＝NM，∴JN＝BM＝，∵CN≤CJ+JN，∴CN≤，∴CN的最大值为．6．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，，∵AD＝2DB，∴AB＝AD+DB＝3DB，∵DE∥BC，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：，．（2）由旋转性质可知：AD＝AM，AE＝AN，∠BAM＝∠CAN，∵，∠BAM＝∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴，∠ABM＝∠ACN，∵，∠ABM＝∠ACN，∴△DBM∽△ECN，∴．（3）如图3中，连接OB，OE，由三线合一性质可知∠BOC＝∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠COE，∴∠AOB+∠BOD＝∠BOC+∠COE，即∠AOD＝∠BOE，∵，∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△BOE，∴，∵AB＝3EF＝6，∴，，在△BOE中，由三边关系可得，BE＜BO+OE，当B、O、E三点共线时，BE存在最大值为，∵，∴当BE存在最大值时，BE﹣AD的最大值＝．7．（1）解：如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∵PP′＝P A＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．故答案为：直角；150°．（2）证明：如图2中，将△P AB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB，连接PT．∵BP＝BT，∠PBT＝60°，∴△PBT是等边三角形，∴PT＝PB，∠PTB＝60°，由旋转的性质可知：△P AB≌△TCB，∴∠APB＝∠CTB＝30°，P A＝CT，∴∠PTC＝∠PTB+∠CTB＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PT2+CT2，∵PB＝PT，P A＝CT，∴P A2+PB2＝PC2．（3）解：过点C作CT⊥PB于T，连接AT，设CT交AB于O．∵PC＝BC＝2，CT⊥PB，∴PT＝BT，∵∠CAO＝∠BTO＝90°，∠AOC＝∠BOT，∴∠ACT＝∠ABP，∠ATC＝∠ABC＝45°，∵∠CTB＝90°，∴∠ATP＝∠CTA＝∠APT＝45°∵AC＝AB，∴△CAT≌△BAP（AAS），∴CT＝PB＝2PT，∵PC2＝PT2+CT2，∴（2）2＝m2+（2m）2，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴PT＝2，∴P A＝PT＝．8．解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE+CE．（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝DE﹣CE．（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．9．（1）证明：如图1中，连接BD．∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝DC，∴BD⊥AC，BD＝DA＝DC，∴BD⊥AC，∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠BDC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC，∵∠DBE＝∠C＝45°，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴DE＝DF．（2）证明：如图2中，连接DB，CF．∵∠BDC＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，∵DB＝DC，DE＝DF，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠DBE＝∠DCF＝45°，∴点F在线段BC上．（3）①如图3﹣1中，过点D作DT⊥AB于T．∵∠ATD＝∠ABC＝90°，∴DT∥CB，∵AD＝DC，∴AT＝TB＝3，∴DT＝BC＝4，∵△DEF是等腰直角三角形，EF＝，∴DE＝DF＝，∴ET＝＝＝1，∴BE＝TB+ET＝3+1＝4，当点E在点T的下方时，BE＝3﹣1＝2，综上所述，满足条件的BE的值为4或2．②如图3﹣2中，∵△ACF是等腰三角形，又∵AD＝DC＝DF，∴∠AFC＝90°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴点E与A重合，∴BE＝6．③如图3﹣3中，过点D作DT⊥AB于T，过点F作FR⊥DT于R．∵∠DTE＝∠FRD＝90°，∠EDT＝∠DFR，DE＝DF，∴△DTE≌△FRD（AAS），∴ET＝DR，DT＝FR＝4，设ET＝DR＝m，则RT＝4﹣m，∴S△EFB＝（3+m）（4﹣m）＝（﹣m2+m+12）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴△BEF的面积有最大值，最大值为．10．解：（1）∵点A（﹣4，0），点B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋转的性质可知，BO＝BO′＝3，OM＝O′N＝1，∠OBO′＝90°，∴N（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．（2）如图②中，∵BM＝BN，∴O′M+BN＝O′M+BM，作点B关于OA的对称点B′，连接O′B′交OA于M，连接BM，O′M+BM的值最小．∵O′（﹣3，3），B′（0，﹣3），∴直线O′B′的解析式为y＝﹣2x﹣3，∴M（﹣，0），∴O′N＝OM＝，∴N（﹣3，）．（3）存在．理由：如图③﹣1中，当点O′落在AB的延长线上时，△PO′A′的面积最大．由题意，OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，∴P A：PB＝2：1，∴PB＝，∴PO′＝PB+PO′＝，∴△PO′A′的面积的最大值＝×4×＝．如图③﹣2中，当点O′落在AB上时，△PO′A′的面积最小，最小值为×4×（3﹣）＝．11．解：（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠ECT＝∠DTC＝90°，∴四边形ECTD是矩形，∴DT＝EC，DT∥AC，∴∠TDB＝∠A＝30°，∴DT＝BD，∵FC＝FB，∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，∴△CFG≌△BFD（SAS），∴CG＝BD，∠FCG＝∠B＝60°，∴EC＝CG，∴∠ACG＝90°+60°＝150°，∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°，故答案为：EC＝CG，30°．（2）成立．理由如下：连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，∴cos∠BAC＝＝，cos∠EAD＝＝，∠EAC＝∠DAB，∴＝＝，∴△ACE∽△ABD，∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，∵∠HOC＝∠AOB，∴∠H＝∠OAB＝30°，∵CF＝FB，DF＝FG，∴四边形DCGB是平行四边形，∴CG＝BD，CG∥BH，∴∠1＝∠H＝30°，∴EC＝CG，直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°．（3）如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，由题意AC＝AB＝2，AE＝AD＝，∴EC＝＝＝，∴CG＝EC＝，如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，可得EC＝＝，∴CG＝EC＝5．综上所述，CG的值为或5．12．解：（1）由题意得，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝1，∴AC＝2，BC＝，在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠DCE＝60°，EF＝2，∴DC＝4，DE＝2，∴∠DCA＝180°﹣∠DCE﹣∠ACB＝60°，∴AC＝EF，∠DCE＝∠DCA，DC＝DC，∴△DEF≌△DAC（SAS），∴AD＝DE＝2，∠EDC＝∠CDA＝30°，∵∠MEC＝60°，∴∠DEM＝30°，∴∠DME＝180°﹣∠DEM﹣∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣2∠EDC＝90°，∴DM＝DE＝，∴AM＝AD﹣DM＝，∴＝1，故答案为：1；（2）如图2，连接AE，∵AC＝EF＝2，∠ACE＝60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE＝2，∠EAC＝∠AEC＝60°，∴∠AEB+∠BEC＝∠AEC＝60°，∵∠MEB＝60°，∴∠AEB+∠MEA＝60°，∴∠BEC＝∠MEA，∵∠DAE＝∠ECB＝120°，AE＝EC，∴△AME≌△CBE（ASA），∴AM＝BC＝1，∵AD＝DC﹣AC＝2，∴DM＝AD﹣AM＝1，∴＝1；（3）如图3，过点B作BG⊥BE交EM延长线于点G，连接AG，BG，∵∠CBA＝∠EBG＝90°，∴∠EBC＝∠GBA，∵∠MEB＝∠ACB＝60°，∴，∴△ECB∽△GAB，∴，∠AGB＝∠CEB，∴AG＝m，∵∠CEB+∠DEG＝30°，∠AGB+∠EGA＝30°，∴∠AGM＝∠DEM，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴，∵DE＝EF＝2，∴＝＝．故答案为：．13．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠GDE＝∠DEF＝90°，DG＝DE＝EF，∴DG∥EF，∴四边形DFEG是平行四边形．（2）解：如图2中，设AD交BE于P，过点P作PT⊥AB于T．∵tan∠ABE＝＝，∴可以假设PT＝a，BT＝3a，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠P AT＝45°，∵PT⊥AB，∴∠ATP＝90°，∴∠P AT＝∠APT＝45°，∴AT＝PT＝a，∴P A＝a，AB＝4a，AD＝BD＝2a，∴P A＝PD＝a，∴tan∠BPD＝＝2，∵BE⊥AC，∴∠ADC＝∠PEC＝90°，∴∠EPD+∠ACD＝180°，∵∠EPD+∠BPD＝180°，∴∠BPD＝∠ACD，根据对称性可知，∠ACD＝∠ACF，∠ADF＝∠AFD，AC⊥DF，∴∠ACD＝∠ACF＝∠BPD，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠ACD＝90°，∴∠ADF＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ACF＝∠ADF＝∠AFD＝∠BPD，∴正切值等于2的角有：∠ACD，∠ACF，∠ADF，∠AFD．14．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AE，∴△BAE为等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴AH是△BAE的中线，∴BE＝2AH＝4，∵∠BEA＝45°，∴∠BEC＝135°，在△BCE中，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，如图1，∵∠DEC＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形，设ED＝x，则DC＝x，CE＝x，在Rt△BCD中，BC2＝BD2+DC2，即，∴x1＝1或x2＝﹣5（舍去），∴CE＝；（2）如图2，过H作HD⊥HM交AM于点D，连接BD，∵AB＝AE，∠BAC＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴△ABH为等腰直角三角形，∴BH＝AH，∠BAN＝45°，∠BHA＝90°，∵AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA，∵∠HMG＝∠MAH，∴∠BAM﹣∠MAH＝∠BMA﹣∠HMG，即∠BAH＝∠AMH＝45°，∵HD⊥HM，∴△DHM为等腰直角三角形，∴DH＝HM，∠DHM＝90°，∵∠BHD＝∠BHA+∠AHD，∠AHM＝∠DHM+∠AHD，∴∠BHD＝∠AHM，在△BHD与△AHM中，，∴△BHD≌△AHM（SAS），∴∠DBH＝∠MAH，BD＝AM，∴∠BHA＝∠BDA＝90°，∵BA＝BM，∴D是AM的中点，∴AM＝2DM＝2HM，即AM＝2HM；（3）∵H是BE的中点，M是BC的中点，∴MH是△BCE的中位线，∴MH∥CE，∴∠AMH＝∠MAC，∵∠BAC＝90°，∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABM，∵点B与点N关于线段AM对称，∴∠ABM＝∠ANM，AB＝AN，∴AE＝AN，∴∠AEN＝∠ANE，在△AEN中，∠NAE+2∠ANE＝180°①，∵∠ANE＝∠ANM+∠MNE，∠ABM＝∠ANM＝∠MAB＝90°﹣∠MAC，∴∠ANE＝90°﹣∠MAC+∠MNE，∴∠ANE＝90°﹣∠AMH+∠MNE②，将②代入①，得：∠NAE+2×（90°﹣∠AMH+∠MNE）＝180°，∴∠NAE+180°﹣2∠AMH+2∠MNE＝180°，∴∠NAE+2∠MNE＝2∠AMH．15．解：（1）结论：CG⊥BD．理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．∵F A＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AMF≌△ECF（SAS），∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，∴AM∥CE，∴∠MAC＝∠DCB＝90°，∵＝＝，∴△MAC∽△DCB，∴∠DBC＝∠ACM，∵∠ACM+∠GCB＝90°，∴∠DBC+∠GCB＝90°，∴∠CGB＝90°，∴CG⊥BD．故答案为：CG⊥BD．（2）结论仍然成立．理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．∵F A＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AMF≌△ECF（SAS），∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，∴AM∥CE，∴∠MAC+∠ACE＝180°，∴∠MAC＝180°﹣∠ACE，∵∠DCB＝∠DCE+∠ACB﹣∠ACE＝90°+90°﹣∠ACE＝180°﹣∠ACE，∴∠MAC＝∠DCB，∵＝＝，∴△MAC∽△DCB，∴∠DBC＝∠ACM，∵∠ACM+∠GCB＝90°，∴∠DBC+∠GCB＝90°，∴∠CGB＝90°，∴CG⊥BD．（3）如图3中，当点E在线段BD上时，∵△AMC∽△CDB，∴＝＝，在Rt△DCE中，CD＝3，CE＝4，∴DE＝＝＝5，∵CG⊥DE，∴CG＝＝，在Rt△CGB中，CB＝6，CG＝中，∴BG＝＝＝，在Rt△DCG中，DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∴CM＝BD＝，∴CF＝CM＝如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，同法可得CF＝CM＝．综上所述，满足条件的CF的值为或．16．（1）解：如图1中，过点F作FH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∵AE＝EC＝AC＝2，EG＝GC，∴EG＝CG＝1，∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，∴EF＝AE•cos30°＝，∴FH＝EF＝，HE＝FH＝，∴GH＝HE+EG＝，∴FG＝＝＝．（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．∵AM＝MC，∠ABC＝90°，∴BM＝AM＝CM，∵AC＝2AB，∴AB＝AM＝BM，∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，∴∠BMC＝120°，∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，∴∠BAF＝120°+∠EAC，∵AM＝MC，EG＝GC，∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，∴∠CMG＝∠EAC，∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，∴△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∴BG＝EF+EG＝AE+CG＝AB+CG．（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得MD＝MG，连接DG，BD．同法可证：△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∵AM＝CM，EG＝CG，∴MG＝AE，∵AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，AM＝CM＝3，∵AE＝AC＝3，MG＝，∴MD＝MG＝，∵＝＝，∠DMG＝∠GMC，∴△MDG∽△MGC，∴＝＝，∴DG＝CG，∴GB﹣CG＝GB﹣DG≤BD，∴当B，D，G共线时，BG﹣CG的值最大，最大值为BD的长，∴直线AB，AC，BG围成的三角形为△ABD，∵AD＝AM+DM＝3+＝，∴S△ABD＝××＝，∴当GB﹣GC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为．17．（1）证明：如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∵∠DEF＝∠ADC＝90°，DE＝EF，∴AD＝EF，∵∠AOD＝∠EOF，∴△AOD≌△FOE（AAS），∴OE＝OD．（2）解：结论：AD﹣BF＝CE．理由：如图2中，过点E作ET⊥BC交AB于T，过点T作TR⊥AC于R．则四边形ECRT 是矩形，△ART，△EBT都是等腰直角三角形，可得EC＝RT，AT＝RT＝EC．∵∠TEB＝∠DEF＝90°，∴∠TED＝∠BEF，∵ET＝EB，ED＝EF，∴△TED≌△BEF（SAS），∴DT＝BF，∵AD﹣DT＝AT，∴AD﹣BF＝CE．（3）解：如图3中，取AB的中点R，连接GR，BF，过点E作EM⊥AB于M．设GR ＝x，EM＝BM＝y．由（2）可知，△TED≌△BEF（SAS），∴∠ETD＝∠EBF＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠FBA＝90°，∵AG＝GF，AR＝RB＝2，∴GR∥BF，BF＝2GR＝2x，∴∠GRA＝∠FBA＝90°，∵GR⊥AB，∵AB＝4，AD＝3BD，∴AD＝3，BD＝，∴DR＝AD﹣AR＝3﹣2＝，∵∠GRD＝∠EMD＝∠EDG＝90°，∴∠GDR+∠DGR＝90°，∠GDR+∠EDM＝90°，∴∠DGR＝∠EDM，∴△DRG∽△EMD，∴＝，∴＝①又∵AD﹣BF＝CE，∴3﹣2x＝（4﹣y）②，由①②可得y＝（不合题意的解已经舍弃）．∴EC＝4﹣（）＝．18．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴OE＝6，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∵F（0，6），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．19．解：（1）当x＝0时，y＝6，∴B（0，6），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴A（6，0）；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，Rt△ABO中，OA＝6，OB＝6，∴AB＝＝12，∴∠ABO＝30°，由翻折得：∠ABC＝∠ABO＝30°，∠AOB＝∠ACB＝90°，AC＝OA＝6，∴∠CAM＝60°，∴∠ACM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝AC＝3，CM＝3，∴C（9，3），∴k＝9×3＝27；（3）分两种情况：①如图2，当点B'在y轴的负半轴上时，。
聚焦泰安类型一 图形的旋转变换几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．解决旋转变换问题，首先要明确旋转中心、旋转方向和旋转角，关键是找出旋转前后的对应点，利用旋转前后两图形全等等性质解题．(·潍坊)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD＝60°，过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF⊥BC 于点F.(1)如图1，连接AC 分别交DE ，DF 于点M ，N ， 求证：MN ＝13AC ；(2)如图2，将∠EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB ，BC 相交于点G ，P.连接GP ，当△DGP 的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】 (1)连接BD ，由∠BAD＝60°，得到△ABD 为等边三角形，进而证明点E 是AB 的中点，再根据相似三角形的性质解答；(2)分∠EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，然后根据旋转的性质解题．1．(·张家界)如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则△PCE的面积为_____________.2．(·赤峰)△OPA和△OQB分别是以OP，OQ为直角边的等腰直角三角形，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)当∠AOB＝90°时，如图1，连接PE，QE，直接写出EP与EQ的大小关系；(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转，如图2，当∠AOB是锐角时(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．(3)仍将△OQB绕点O旋转，如图3，当∠AOB为钝角时，延长PC，QD交于点G，使△ABG为等边三角形，求∠AOB的度数．类型二图形的翻折变换几何图形的翻折变换也是近年来中考中的常考点，多与三角形、四边形相结合．翻折变换的实质是对称，翻折部分的两图形全等，找出对应边、对应角，再结合勾股定理、相似的性质与判定解题．(·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为．【分析】根据菱形的性质和折叠的性质推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF ＝60°，得到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，从而得到结论．3．(·张家界)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在点Q处，点D落在点E 处，EQ与BC交于点F.若AD＝8 cm，AB＝6 cm，AE＝4 cm，则△EBF的周长是________cm.4．(·锦州)如图，正方形ABCD中，AB＝2，E是CD中点，将正方形ABCD沿AM 折叠，使点B的对应点F落在AE上，延长MF交CD于点N，则DN的长为__________．类型三图形的相似图形的相似常以三角形、四边形为背景，与旋转、翻折、动点相结合，考查三角形相似的性质及判定，难度较大，是中考中常考的几何压轴题．与动点相关的相似三角形，要根据动点的运动情况讨论相似三角形的对应边、对应角，进而判定相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．(·青岛)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6) ，解答下列问题：(1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形；(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系式．【分析】 (1)根据勾股定理求出AC的值，然后分类讨论：当AP＝PO时，求出t 的值；当AP＝AO时，求出t的值；(2)过点E作EH⊥AC于点H，过点Q作QM⊥AC 于点M，过点D作DN⊥AC于点N，交QF于点G，分别用t表示出EH，DN，DG，再利用面积的和差计算即可．5．(·十堰)如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N.下列结论：①AF⊥BG；②BN＝43NF ；③BM MG ＝38；④S 四边形CGNF ＝12S 四边形ANGD .其中正确的结论的序号是________．6．(·眉山)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F. (1)求证：PC CD ＝CE CB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．参考答案【聚焦泰安】【例1】 (1)如图，连接BD ，设BD 交AC 于点O ，∵在菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，AD ＝AB ， ∴△ABD 为等边三角形． ∵DE⊥AB，∴点E 为AB 的中点． ∵AE∥CD，∴AM CM ＝AE CD ＝12.同理CN AN ＝12.∴M，N 是线段AC 的三等分点，∴MN＝13AC.(2)∵AB∥CD，∠BAD＝60°，∴∠A DC ＝120°. ∵∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝60°. 当∠EDF 顺时针旋转时，由旋转的性质知， ∠EDG＝∠FDP，∠GDP＝∠EDF＝60°. ∵DE＝DF ＝3，∠DEG＝∠DFP＝90°， ∴△DEG≌△DFP，∴DG＝DP ，∴△DGP 是等边三角形．则S △DGP ＝34DG 2.由34DG 2＝33，又∵DG ＞0，解得DG ＝2 3. ∴cos ∠EDG＝DE DG ＝323＝12，∴∠EDG＝60°.∴当顺时针旋转60°时，△DGP 的面积是3 3. 同理，当逆时针旋转60°时，△DGP 的面积也是3 3.综上所述，当∠EDF 以点D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积是3 3. 变式训练 1.9－5 3 2．解：(1)EP ＝EQ. (2)结论成立．证明如下： ∵点C ，E 分别是OA ，AB 的中点， ∴CE∥OB，CE ＝12OB ，∴∠DOC＝∠ECA.∵点D 是Rt △OQB 斜边中点， ∴DQ＝12OB ，∴CE＝DQ.同理，PC ＝DE ，∠DOC＝∠BDE，∴∠ECA＝∠BDE， ∴∠PCE＝∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP＝EQ. (3)如图，连接GO ，∵点D ，C 分别是OB ，OA 的中点，△APO 与△QBO 都是等腰直角三角形， ∴CQ，GP 分别是OB ，OA 的垂直平分线， ∴GB＝GO ＝GA ，∴∠GBO＝∠GOB，∠GOA＝∠GAO. 设∠GOB＝x ，∠GOA＝y ， 则x ＋x ＋y ＋y ＋60°＝360°， ∴x＋y ＝150°，∴∠AOB＝150°.【例2】 ∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝23， ∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD.∵AO＝1，BO ＝3，∴tan ∠ABO＝AO BO ＝33，∴∠ABO＝30°，AB ＝2，∴∠ABC＝60°.由折叠的性质得EF⊥BO，OE ＝BE ，∠BEF＝∠OEF， ∴BE＝BF ，EF∥AC，∴△BEF 是等边三角形， ∴∠BEF＝60°，∴∠OEF ＝60°，∴∠AEO＝60°， ∴△AEO 是等边三角形，∴AE＝OE ，∴BE＝AE ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF＝12AC ＝1，AE ＝OE ＝1，同理CF ＝OF ＝1，∴五边形AEFCD 的周长＝1＋1＋1＋2＋2＝7. 故答案为7.变式训练 3.8 4.25－4【例3】 (1)∵在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ， ∴AC＝10 cm .①当AP ＝PO 时，如图，过点P 作PM⊥AO，∴AM＝12AO ＝52.∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD， ∴△APM∽△ACD，∴AP AC ＝AM AD ，∴AP＝t ＝258. ②当AP ＝AO 时，t ＝5.∵0＜t ＜6，∴t＝258或t ＝5均符合题意，∴当t ＝258或t ＝5时，△AOP 是等腰三角形．(2)如图，过点E 作EH⊥AC 于点H ，过点Q 作QM⊥AC 于点M ，过点D 作DN⊥AC 于点N ，交QF 于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC， ∴∠PAO＝∠E CO.∵点O 是对角线AC 的中点，∴AO＝CO. 又∵∠AOP＝∠COE，∴△AOP≌△COE， ∴CE＝AP ＝t. ∵△CEH∽△CAB， ∴EH AB ＝CE CA ，∴EH＝3t 5. ∵S △ADC ＝12AD·DC＝12DN·AC，∴DN＝AD·CD AC ＝245.∵QM∥DN，∴△CQM∽△CDN， ∴QM DN ＝CQ CD ，即QM 245＝6－t 6.∴QM＝24－4t 5， ∴DG ＝245－24－4t 5＝4t 5.∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC， ∴FQ OC ＝DG DN ，∴FQ＝5t6， ∴S＝S △OEC ＋S △OC D －S △DFQ＝12OC·EH＋12OC·DN－12DG·FQ ＝－13t 2＋32t ＋12.即S 与t 的函数关系式为S ＝－13t 2＋32t ＋12.变式训练 5.①③6．解：(1)∵△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°， ∴△BCE∽△DCP，∴PC CD ＝CECB .(2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE＝∠DCB.∵PC DC ＝CECB ，∴△PCE∽△DCB， ∴∠CBD＝∠CEP＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD. (3)如图，过点P 作PM⊥BD 的延长线于点M ，∵AC＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE＝CE ＝4.∵△PCE∽△DCB，∴CE CB ＝EP BD ，即442＝xBD ，∴BD＝2x.∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，11 / 11 BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ，∴PM＝4＋x 2， ∴S＝12BD·PM＝12×2x×4＋x 2＝12x 2＋2x.。
