高考数学考点26几何体的表面积试题解读与变式

高中数学立体几何表面积计算技巧在高中数学中，立体几何是一个重要的考点，而计算立体几何的表面积更是其中的一项关键技巧。

本文将介绍几种常见的计算立体几何表面积的方法，并通过具体题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这些技巧。

一、长方体的表面积计算长方体是最常见的立体几何形状之一，它的表面积计算相对简单。

长方体的表面积由六个矩形面积组成，可以通过计算各个矩形面积的和来得到。

例如，一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的表面积S可以计算为：S = 2(ab + ac + bc)例如，一个长方体的长为3cm，宽为4cm，高为5cm，那么它的表面积为：S = 2(3*4 + 3*5 + 4*5) = 94cm²二、正方体的表面积计算正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

正方体的表面积计算也相对简单，可以通过计算一个正方形面积的六倍来得到。

例如，一个正方体的边长为a，那么它的表面积S可以计算为：S = 6a²例如，一个正方体的边长为2cm，那么它的表面积为：S = 6 * 2² = 24cm²三、圆柱体的表面积计算圆柱体是另一种常见的立体几何形状，它的表面积计算相对复杂一些。

圆柱体的表面积由两个底面和一个侧面组成，可以通过计算底面积和侧面积的和来得到。

例如，一个圆柱体的底面半径为r，高度为h，那么它的表面积S可以计算为：S = 2πr² + 2πrh例如，一个圆柱体的底面半径为3cm，高度为5cm，那么它的表面积为：S = 2π * 3² + 2π * 3 * 5 = 94.2cm²（保留一位小数）四、锥体的表面积计算锥体是另一种常见的立体几何形状，它的表面积计算也相对复杂。

锥体的表面积由底面和侧面组成，可以通过计算底面积和侧面积的和来得到。

例如，一个锥体的底面半径为r，高度为h，那么它的表面积S可以计算为：S = πr² + πrl其中，l为锥体的斜高，可以通过勾股定理计算得到。

专题八立体几何8.1空间几何体的三视图、表面积和体积考点一空间几何体的三视图与直观图1.(2016天津文,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案B由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.该几何体的侧视图为选项B中图形.故选B.评析本题主要考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生的空间想象能力和识图、画图能力.2.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.795)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案B 由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选B.3.(2014北京理,7,5分)在空间直角坐标系O-xyz 中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S 1,S 2,S 3分别是三棱锥D-ABC 在xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S 1=S 2=S 3B.S 2=S 1且S 2≠S 3C.S 3=S 1且S 3≠S 2D.S 3=S 2且S 3≠S 1答案D 三棱锥D-ABC 如图所示.S 1=S △ABC =12×2×2=2,S 2=12×2×2=2,S 3=12×2×2=2,∴S 2=S 3且S 1≠S 3,故选D.4.(2014课标Ⅰ理,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.62B.6C.42D.4答案B 由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC⊥面BCD,△ABC 为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC 的中点M,连接AM,DM,则DM⊥面ABC,在等腰△BCD 中,BD=DC=25,BC=DM=4,所以在Rt△AMD 中,AD=B 2+D 2=42+22+42=6,又在Rt△ABC 中,AC=42<6,故该多面体的各条棱中,最长棱为AD,长度为6,故选B.评析本题考查空间几何体的三视图与直观图之间的互相转化,考查面面垂直性质定理的应用.同时考查考生的空间想象能力和运算求解能力.正确画出三棱锥的直观图是解决本题的关键.5.(2013课标Ⅱ,理7,文9,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为()答案A设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA⊥BC,所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.方法归纳由几何体直观图画三视图的要求:①注意三个视图对应的观察方向;②注意视图中虚线与实线的区别;③画出的三视图要符合“长对正,高平齐,宽相等”的基本特征.6.(2013湖南理,7,5分)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于()A.1B.2C.2-12D.2+12答案C若该正方体的放置方式如图所示,当正视的方向与正方体的任一侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时,正视图的面积最大,其值为2,由于正视的方向不同,因此正视图的面积S∈[1,2].故选C.评析本题考查空间几何体的三视图与直观图,考查学生空间想象能力及有关知识的应用能力,解答本题应设法求出正视图的面积的取值范围,而不应该逐项计算.7.(2011课标理,6文,8,5分)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()答案D 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面垂直于底面的三棱锥组成的组合体,故其侧视图应为D 选项.错因分析将组合体看成半圆柱和三棱锥的组合或不注意C 和D 中中线实虚的含义,易误选A 或C.评析本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的识图能力和空间想象能力.考点二空间几何体的表面积与体积1.(2018课标Ⅰ文,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π答案B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面.设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=22,∴圆柱的表面积S=2πr 2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B.解题关键正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题的关键.2.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π答案A 设正方体的棱长为a,则a 3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=3a,即R=3,所以球的表面积S=4πR 2=12π.故选A.方法点拨对于正方体与长方体,其体对角线为其外接球的直径,即外接球的半径等于体对角线的一半.3.(2016课标Ⅲ,理10,文11,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+365B.54+185C.90D.81答案B由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为35的斜四棱柱.其表面积S=2×32+2×3×35+2×3×6=54+185.故选B.易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.4.(2015课标Ⅰ理,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B由已知条件可知,该几何体由圆柱的一半和半球组成,其表面积为2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由5πr2+4r2=16+20π得r=2.故选B.5.(2015北京理,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+5B.4+5C.2+25D.5答案C 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示,其中PA=1,BC=2,取BC 的中点M,连接AM,MP,则AM=2,AM⊥BC,故AC=AB=B 2+A 2=1+4=5,由正视图和侧视图可知PA⊥平面ABC,因此可得PC=PB=B 2+A 2=1+5=6,PM=B 2+A 2=1+4=5,所以三棱锥的表面积为S △ABC +S △PAB +S △PAC +S △PBC =12×2×2+12×5×1+12×5×1+12×2×5=2+25,故选C.6.(2015陕西,理5,文5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D 由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=2×12×π×12+π×1×2+2×2=3π+4.评析本题考查三视图的概念和性质以及圆柱的表面积,考查运算及推理能力和空间想象能力.由三视图确定几何体的直观图是解题的关键.7.(2015课标Ⅱ,理9,文10,5分,0.685)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.思路分析由△OAB 的面积为定值分析出当OC⊥平面OAB 时,三棱锥O-ABC 的体积最大,从而根据已知条件列出关于R 的方程,进而求出R 值,利用球的表面积公式即可求出球O 的表面积.导师点睛点C 是动点,在三棱锥O-ABC 中,如果以面ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,而S △OAB 为定值,因此转化成以面OAB 为底面,这样高越大,体积越大.8.(2014浙江理,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2答案D由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=3×5+2×12×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).9.(2014福建文,5,5分)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.1答案A由题意得圆柱的底面半径r=1,母线l=1.∴圆柱的侧面积S=2πrl=2π.故选A.10.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式.由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1cm,2cm,高为2 cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V=1+22×2×2=6cm3.思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱;(2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.11.(2016山东理,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.13+23πB.13+C.13+答案C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径等于正四棱锥底面正方形的对角线的长,所以球的直径2R=2,即所以半球的体积为23πR3又正四棱锥的体积为13×12×1=13,所以该几何体的体积为13+故选C.易错警示不能从俯视图中正确地得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=12.评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图并准确地计算是解题关键.12.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D.1答案A由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示,其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积V=13×12×1×1×1=16.故选A.13.(2015课标Ⅰ,理6,文6,5分,0.451)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B设圆锥底面的半径为R尺,由14×2πR=8得R=16π,从而米堆的体积V=14×13πR2×5=16×203π(立方尺),因此堆放的米约有16×203×1.62π≈22(斛).故选B.14.(2015课标Ⅱ,理6,文6,5分,0.426)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案D如图,由已知条件可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去三棱锥A-A1B1D1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体,设该正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a3,剩余部分的体积为a3-16a3=56a3.它们的体积之比为15.故选D.15.(2015重庆理,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+2πB.13π6C.7π3D.5π2答案B由三视图可知,该几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱和底面半径为1,高为1的半圆锥拼成的组合体.所以该几何体的体积为12×13×π×12×1+π×12×2=13π6,故选B.16.(2015浙江理,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8cm3B.12cm3C.323cm3D.403cm3答案C由三视图知,该几何体是由棱长为2cm的正方体和底面边长为2cm,高为2cm的正四棱锥组合而成的几何体.所以该几何体的体积V=23+13×22×2=323cm3,故选C.17.(2015山东理,7,5分)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案C如图,此几何体是底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥,故所求体积V=2π-π3=5π3.评析本题主要考查几何体的体积及空间想象能力.18.(2015湖南文,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积)原工件的体积A.89πB.827πC.24(2-1)3πD.8(2-1)3π答案A由三视图可知,原工件是一个底面半径为1,母线长为3的圆锥,则圆锥的高为22,新工件是该圆锥的内接正方体,如图,此截面中的矩形为正方体的对角面,设正方体的棱长为x,则22x1=22-x22,解得x=223.所以正方体的体积V1223=16227,又圆锥的体积V2=13π×12×22=223π,所以原工件材料的利用率为12=89π,故选A.19.(2014陕西理,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A.32π3B.4πC.2πD.4π3答案D 如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC=2,∴对角面ACC 1A 1为正方形,∴外接球直径2R=A 1C=2,∴R=1,∴V 球=4π3,故选D.20.(2014课标Ⅱ,理6,文6,5分,0.506)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727 B.59C.1027D.13答案C 该零件是两个圆柱体构成的组合体,其体积为π×22×4+π×32×2=34πcm 3,圆柱体毛坯的体积为π×32×6=54πcm 3,所以切削掉部分的体积为54π-34π=20πcm 3,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π=1027,故选C.21.(2014课标Ⅱ文,7,5分,0.495)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为()A.3B.32C.1答案C 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∵AD⊥BC,AD⊥BB 1,BB 1∩BC=B,∴AD⊥平面B 1DC 1,∴t1D1=13△1D1·AD=13×12×2×3×3=1,故选C.22.(2013课标Ⅰ,理8,文11,5分,0.718)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积V=4×2×2+12π×22×4=16+8π.故选A.思路分析由三视图分析该几何体的构成,从而利用三视图中的数据计算几何体的体积.23.(2013浙江文,5,5分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3答案B由三视图可知,该几何体是一个长方体截去了一个三棱锥,结合所给数据,可得其体积为6×6×3-13×12×4×4×3=100(cm3),故选B.24.(2012大纲全国,理7,文7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18答案B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=13×12×6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.25.(2011陕西文,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()A.8-2π3B.8-π3C.8-2πD.2π3答案A由给出的三视图可得原几何体为正方体中挖去一圆锥,且此圆锥以正方体的上底面内切圆为底,以正方体的棱长为高.故所求几何体的体积为8-13×π×12×2=8-2π3.评析三视图是考查空间想象能力很好的一个题材,正确解答此类题目的关键是平时空间想象能力的培养,对文科学生来说,本题属中等难度题.26.(2016课标Ⅰ,6,5分)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π,则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π答案A由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR2+34×πR2=17π.故选A.27.(2016课标Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案C由三视图可得圆锥的母线长为22+(23)2=4,∴S圆锥侧=π×2×4=8π.又S圆柱侧=2π×2×4=16π,S圆柱底=4π,∴该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π.故选C.思路分析先求圆锥的母线长,从而可求得圆锥的侧面积,再求圆柱的侧面积与底面积,最后求该几何体的表面积.28.(2017课标Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π解析本题考查长方体和球的性质,考查了球的表面积公式.由题意知长方体的体对角线为球O的直径,设球O的半径为R,则(2R)2=32+22+12=14,得R2=72,所以球O的表面积为4πR2=14π.疑难突破明确长方体的体对角线为球O的直径是求解的关键.易错警示易因用错球的表面积公式而致错.29.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.158)已知正四棱锥O-ABCD底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π解析设底面中心为E,连接OE,AE,则|AE|=12|AC|=∵体积V=13×|AB|2∴|OA|2=|AE|2+|OE|2=6.从而以OA为半径的球的表面积S=4π·|OA|2=24π.思路分析先根据已知条件直接利用锥体的体积公式求得正四棱锥O-ABCD的高,再利用勾股定理求出|OA|,最后根据球的表面积公式计算即可.30.(2013课标Ⅰ,15,5分,0.123)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案9π2解析平面α截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AH∶HB=1∶2得OH=13R,由圆H的面积为π,得圆H的半径为1,+12=R2,得出R2=98,所以球O的表面积S=4πR2=4π·98=92π.31.(2013福建理,12,4分)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.答案12π解析由三视图知:棱长为2的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为23,即为球的直径.所以球的表面积为232=12π.32.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O 1O 2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1,球O 的体积为V 2,则12的值是.答案32解析本题考查空间几何体的体积.设圆柱内切球的半径为R,则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R,高为2R,∴12=π2·2R 43π3=32.33.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH 的体积为.答案112解析本题主要考查正方体的性质和正四棱锥的体积.由题意知四棱锥的底面EFGH 为正方形,其边长为22,即底面面积为12,由正方体的性质知,四棱锥的高为12.故四棱锥M-EFGH 的体积V=13×12×12=112.34.(2016天津理,11,5分)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.答案2解析四棱锥的底面是平行四边形,由三视图可知其面积为2×1=2m2,四棱锥的高为3m,所以四棱锥的体积V=13×2×3=2m3.易错警示该题有两点容易出错:一是锥体的体积公式中的系数13易漏写;二是底面平行四边形的面积易错误地写成3×1=3m2.评析本题考查了三视图和直观图,考查了锥体的体积.35.(2016四川,13,5分)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案解析由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为23,三棱锥的高为1,则三棱锥的底面积为12×22-(3)2×23=3,∴该三棱锥的体积为13×3×1=评析正确理解正视图中的数据在直观图中表示的含义很关键.36.(2014山东理,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则12=.答案14解析如图,设S△ABD=S1,S△PAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S 2=2S1,h2=2h1,V1=1S1h1,V2=1S2h2,∴1=1ℎ1=1.评析本题考查三棱锥的体积的求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误.37.(2012安徽,12,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于.答案56解析由题意知,该三视图对应的几何体如图,其体积12(2+5)×4×4=56.评析本题主要考查三视图的知识,考查学生的空间想象能力.由三视图得到直观图是解题关键.38.(2011课标理,15,5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=23,则棱锥O-ABCD的体积为.答案83解析如图,连接AC,BD,交于O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1⊥面ABCD,易求得O1C=23,又OC=4,∴OO1=B2-12=2,∴棱锥体积V=13×6×23×2=83.失分警示立体感不强,空间想象能力差,无法正确解出棱锥的高而得出错误结论.评析本题主要考查球中截面圆的性质及空间几何体的体积的计算,通过球这个载体考查学生的空间想象能力及推理运算能力.39.(2011课标文,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.答案13解析如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r,由题意得πr2=316×4πR2.=12R.体积较小的圆锥的高AO1=R-12R=12R,体积较大的圆锥的高BO1=R+12R=32R.1故这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13.评析本题考查球、球内接圆锥的相关问题,考查R,r的关系,由题意得到是解答本题的关键. 40.(2020课标Ⅰ文,19,12分)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P 为DO上一点,∠APC=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3π,求三棱锥P-ABC的体积.解析(1)由题设可知,PA=PB=PC.由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+PB2=AB2,故所以三棱锥P-ABC的体积为13×12×PA×PB×PC=13×12×第21页共21页。

柱体、锥体、台体的表面积和体积【知识梳理】1．几种几何体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积旋转体圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h【常考题型】题型一、柱、锥、台的表面积【例1】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[解析]由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积S＝2＋5×42×2＋4×(2＋4＋5＋5)＝28＋64＝92.[答案]92【类题通法】1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．【对点训练】1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·S A＝2π×10，解得SA＝20(cm)．同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)．所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2).题型二、柱、锥、台的体积【例2】已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．[解]如图所示，在三棱台ABC-A′B′C′中，O′、O分别为上、下底面的中心，D、D′分别是BC、B′C′的中心，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以，S侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝34×(202＋302)＝3253(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝3253，所以，DD′＝1333(cm)．又∵O′D′＝36×20＝1033(cm)，OD＝36×30＝53(cm)，∴棱台的高h＝O′O＝D′D2－OD－O′D′2＝13332－53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝h3(S上＋S下＋S上S下)＝433×(3253＋34×20×30)＝1 900(cm3)．【类题通法】求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积；同时，对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台体的体积计算问题．【对点训练】2．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．解：如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝A1Dtan 60°，即R－r＝3×33，∴R－r＝ 3.又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×3，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3，∴V圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21 π．所以圆台的体积为21 π．题型三、简单组合体的表面积和体积【例3】已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解]如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为 D.由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC.∵BC·AC＝AB·CD，∴CD＝125，记为r＝125，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝12 5，母线长分别是AC＝3，BC＝4，所以S表面积＝πr·(AC＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π，V＝13πr2(AD＋BD)＝13πr2·AB＝13π×1252×5＝485π．所以，所求旋转体的表面积是845π，体积是485π．【类题通法】求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．【对点训练】3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．12πB．45πC．57πD．81π解析：选C由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π．【练习反馈】1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为() A．1∶2B．1∶ 3C．1∶ 5 D.3∶2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r.∴S侧＝πrl＝5πr2，S底＝πr2.2．若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为() A．27 cm3B．60 cm3C．64 cm3D．125 cm3解析：选B长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm3. 3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的半径为r，则2πr＝12×2π·２，∴r＝1，则高h＝l2－r2＝ 3.∴V圆锥＝13πr2·h＝13π×3＝33π．答案：3 3π4．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．解析：已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝(4r)2＋(4r－r)2，得r＝2，故圆台的侧面积等于π(r＋4r)l＝π(2＋8)×10＝100π．答案：100π5．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝2 3 cm，所以底面边长A′B′＝23×23＝4 cm.一个底面的面积为12×23×4＝4 3 cm2.所以S表面积＝2×43＋4×2×3＝(24＋83) cm2，V＝43×2＝8 3 cm3.所以表面积为(24＋83) cm2，体积为8 3 cm3.你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。

专题8.2 空间几何体的表面积和体积【考情分析】1. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 【重点知识梳理】知识点一 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式知识点二 柱、锥、台、球的表面积和体积【知识必备】1．设正方体的棱长为a ，则它的内切球半径r ＝a 2，外接球半径R ＝32a .2．设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则它的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.3．设正四面体的棱长为a ，则它的高为63a ，内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a . 4．直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．【典型题分析】高频考点一 空间几何体的的表面积【例1】（2020·新课标Ⅰ）已知A 、B 、C 为球O球面上的三个点，Ⅰ1O 为ABC 的外接圆，若Ⅰ1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【变式探究】（2020·北京卷）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．A 63+ B. 623+C. 123+D. 1223+【方法技巧】求空间几何体表面积的常见类型及思路【变式探究】(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π高频考点二 空间几何体的体积的.【例2】（2020·浙江卷）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 73B.143C. 3D. 6【变式探究】【2019·北京卷】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【变式探究】(2018·天津卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________.高频考点三 割补法求体积【例3】(2017·全国卷Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【方法技巧】把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积。