八年级数学变式综合训练题

第二章勾股定理类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．举一反三【变式1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【变式2】如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1．(1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______．(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为222长宽高．++【变式3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是( )A．5 B．25C．15 D．35【变式4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长度为______．【变式5】如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm 和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

八年级数学期末综合素质检测卷（二）含答案一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P104习题T1变式】下列运算正确的是()A．a·a2＝a2B．(a5)3＝a8C．(ab)3＝a3b3D．a6÷a2＝a3 2．【教材P4练习T2改编】下列长度的三条线段，不能．．构成三角形的是() A．3，3，3 B．3，4，5 C．5，6，10 D．4，5，9 3．【教材P147习题T8变式】世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 076 g．将数0.000 000 076用科学记数法表示为()A．7.6×10－9B．7.6×10－8C．7.6×109D．7.6×108 4．【教材P60练习T1拓展】在如图所示的4个图案中，属于轴对称图案的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．如果把分式xyx＋y中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值() A．扩大为原来的10倍B．扩大为原来的5倍C．不变D．缩小为原来的1 56．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC等于()A．100°B．110°C．120°D．150°(第6题)(第9题)(第10题)7．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是()A．(x－1)(x＋18) B．(x＋2)(x＋9)C．(x－3)(x＋6) D．(x－2)(x＋9)8．已知y2＋10y＋m是完全平方式，则m的值是()A．25 B．±25 C．5 D．±59．如图，沿过点A的直线折叠这个直角三角形纸片的直角，使点C落在AB边上的点E处，折痕为AD.若BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是() A．12 B．10 C．8 D．610．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE＋BD＝AB，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共24分)11．若式子(x－4)0有意义，则实数x的取值范围是______________．12．【教材P117练习T2(3)变式】分解因式：xy－xy3＝________________．13．【教材P24练习T2改编】一个多边形的每个内角都是150°，这个多边形是________边形．14．如图，在△ABC和△DEF中，已知CB＝DF，∠C＝∠D，要使△ABC≌△EFD，还需添加一个条件，那么这个条件可以是____________．(第14题)(第15题)(第18题)15．【教材P56复习题T10改编】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝________.16．已知点P(1－a，a＋2)关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是____________．17．已知3x＋5y－5＝0，则8x×32y的值是________．18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，∠BAO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有________个．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分) 19．先化简后求值：(x＋3)2－(x－4)(x＋4)．其中x＝－2.20. 解方程：1－xx－2＝12－x－2.21．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.求证：∠B＝∠D.22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC 的顶点都在格点上，点A的坐标为(－3，2)．请按要求完成下列问题：(1)把△ABC先向下平移7个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；画出△A1B1C1关于y轴对称的△A3B3C3；(3)求△ABC的面积．23．如图，在△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC 于点F.(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；(2)若点F是AC的中点，求证：∠CFD＝12∠ABC.24．某商店老板第一次用1 000元购进了一批口罩，很快销售完；第二次购进时发现每只口罩的进价比第一次上涨了2.5元．老板用2 500元购进了第二批口罩，所购进口罩的数量是第一次购进口罩数量的2倍，同样很快销售完，两批口罩的售价均为每只15元．(1)第二次购进了多少只口罩？(2)商店老板第一次购进的口罩有3%的损耗，第二次购进的口罩有5%的损耗，商店老板销售完这些口罩后是盈利还是亏本？盈利或亏本多少元？25．(1)在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A，B分别是y 轴，x轴上的两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E.①如图①，当点C的横坐标为－1时，求点A的坐标；②如图②，当点D恰好为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE.(2)如图③，点A在x轴上，且A(－4，0)，点B在y轴的正半轴上，分别以OB，AB为直角边在第一、二象限作等腰直角三角形BOD和等腰直角三角形ABC，且∠OBD＝90°，∠ABC＝90°，连接CD交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出BP的长．答案一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.C7．D 8.A 9.C 10.C二、11.x ≠4 12.xy (1＋y )(1－y )13．十二 14.AC ＝ED (答案不唯一)15．8 16.－2＜a ＜1 17.32 18.6三、19.解：原式＝x 2＋6x ＋9－(x 2－42)＝x 2＋6x ＋9－x 2＋16＝6x ＋25，当x ＝－2时，原式＝6×(－2)＋25＝－12＋25＝13.20．解：方程两边同时乘(x －2)，得1－x ＝－1－2(x －2)，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x －2＝0，故此方程无实数根．21．证明：∵∠BCE ＝∠DCA ，∴∠BCE ＋∠ACE ＝∠DCA ＋∠ACE ，即∠ACB ＝∠ECD .在△ACB 和△ECD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠E ，AC ＝EC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ACB ≌△ECD (ASA)．∴∠B ＝∠D .22．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3即为所求．(3)S △ABC ＝2×3－12×2×1－12×1×2－12×1×3＝6－1－1－32＝52.23．(1)解：∵∠AFD ＝155°，∴∠DFC ＝25°.∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠FDC ＝∠AED ＝90°.∴∠C ＝180°－90°－25°＝65°.∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ＝65°.∴∠EDF ＝360°－65°－155°－90°＝50°.(2)证明：如图，连接BF .∵AB ＝BC ，且点F 是AC 的中点，∴BF ⊥AC , ∠ABF ＝∠CBF ＝12∠ABC .∴∠CFD ＋∠BFD ＝90°.∵FD ⊥BC ，∴∠CBF ＋∠BFD ＝90°.∴∠CFD ＝∠CBF .∴∠CFD ＝12∠ABC .24. 点方法：利润问题的相关公式及其数量关系：1．相关公式．售价＝进价×(1＋利润率)；售价＝标价×折扣；利润率＝利润进价×100%.2．基本数量关系．利润＝售价－进价；利润＝进价×利润率；销售额＝销售量×销售单价．进价×(1＋利润率)＝标价×折扣．解：(1)设第一次购进了x只口罩，则第二次购进了2x只口罩，依题意，得1 000x＝2 5002x－2.5，解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．则2x＝2×100＝200.答：第二次购进了200只口罩．(2)[100×(1－3%)＋200×(1－5%)]×15－1 000－2 500＝805(元)．答：商店老板销售完这些口罩后盈利，盈利805元．25．(1)①解：如图①，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠CAF＋∠ACF＝90°.∵∠BAC＝90°，即∠BAO＋∠CAF＝90°，∴∠ACF＝∠BAO.又∵∠AFC＝∠BOA＝90°，AC＝BA，∴△AFC≌△BOA(AAS)．∴AO＝CF＝1.∴点A的坐标是(0，1)．②证明：如图②，过点C作CG⊥AC，交y轴于点G.∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°.∴∠CAG＋∠AGC＝90°.∵∠AOD＝90°，∴∠ADO＋∠DAO＝90°.∴∠AGC＝∠ADO.又∵∠ACG＝∠BAD＝90°，AC＝BA，∴△ACG≌△BAD(AAS)．∴CG＝AD＝CD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°.又∵∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°.又∵CD＝CG，CE＝CE，∴△DCE≌△GCE(SAS)．∴∠CDE＝∠CGE.∴∠ADB＝∠CDE.(2)解：BP的长度不变化．如图③，过点C作CH⊥y轴于点H.∵∠ABC＝90°，∴∠CBH＋∠ABO＝90°.∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO.又∵∠CHB＝∠AOB＝90°，BC＝AB，∴△CBH≌△BAO(AAS)．∴CH＝BO，BH＝AO＝4.∵BD＝BO，∴CH＝BD.又∵∠CHP＝∠DBP＝90°，∠CPH＝∠DPB，∴△CPH≌△DPB(AAS)．∴BP＝HP＝12BH＝2.。

人教版八年级数学下册《二次根式化简》专项练习(附带答案）类型一、利用被开方数的非负性化简二次根式例． ）A ．1x ≥B ．1x ≥-C ．1x ≥或1x ≤-D ．1x ≠±【变式训练1】已知m n 为实数 且3n -= =________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0 ∴m =2 ∴n -3=0∴n =3【变式训练2】已知a b c 是ABC 的三边长 ||0b c -=ABC 的形状是_______．【详解】解：2220a b c b c 2220a b c 0b c222a b c ∴=+ 且b c =∴ABC 为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形．【变式训练3】3x =- 则x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x ≥C ．3x <D ．3x ≤【变式训练4】已知a 、b 、c 为一个等腰三角形的三条边长 并且a 、b 满足7b = 求此等腰三角形周长．【答案】17 【详解】解：由题意得：3030a a -≥⎧⎨-≥⎩ 解得：a =3 则b =7 若c =a =3时 3+3＜7 不能构成三角形．若c =b =7 此时周长为17．类型二、利用数轴化简二次根式例．实数a b c ，，在数轴上的对应点如图所示 化简a b a -+-的结果是是（ ）A ．b c --B ．c b -C ．222b c -+D ．2b c ++ 【答案】A【详解】解：由数轴知：00c b a ＜，＜＜∴0b a -＜∴原式＝a b a c ----（）＝a b a c --+-＝b c --．故选：A ．【变式训练1】已知实数m n 、在数轴上的对应点如图所示 ||m n +＝_____【变式训练2】实数a b 在数轴上对应点的位置如图所示 化简||a 的结果是（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b 【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a ＜0＜b ∴a -b ＜0则原式=|a |+|a -b |=-a +b -a = -2a +b ．故选：A ．【变式训练3】已知实数a 、b 、c 表示在数轴上如图所示 a b -【变式训练4】如图 a b c 是数轴上三个点A 、B 、C 所对应的实数．a b b c ++．类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．已知 化简：25m -<<5m -=__________．【答案】23m -##32m -+【详解】解：2m -<<例2.ABC 的三边长分别为1、k 、3 则化简723k -=_____． ∴ABC 的三边长分别为90-<812k +-()23k --A B C ．D ．【详解】解：20b a -≥0ab > 所以a 和b 同号22b b b a a a a a---=-【变式训练2】若35x << _______； 【答案】【变式训练3】化简：2-=_______． 【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0 ∴23x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．【变式训练4】7=-b .(1)求a 的值；(2)若a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长 求另一条直角边的长度. ）解：25a -+2525≥≤ a ∴）解：25225a -+-a 、b 分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长∴另一条直角边的长度为：类型四、双重二次根式的化简例.阅读下列材料 然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时其实我们还可以将其进===1=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2【答案】（1（2【详解】（13133333333；（2222(53)2(53)5353(53)(53)53．【变式训练1】阅读理解“分母有理化”7==+除此之外我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数设x=故0x>由22x=33=-2=解得x==根据以上方法【答案】5-【详解】解：设x∴0x<∴266x =-+ ∴212236x =-⨯= ∴x =2532==-- ∴原式55=--【变式训练2】先阅读材料 然后回答问题．（1）小张同学在研究二次根式的化简时经过思考 小张解决这个问题的过程如下：①===④在上述化简过程中 第 步出现了错误 化简的正确结果为 ；（2）请根据你从上述材料中得到的启发 化简【变式训练3】先阅读下列解答过程 然后再解答：437+= 4312⨯= 即：227+= 所以2==+问题：（1=__________ =____________﹔（2）进一步研究发现： 只要我们找到两个正数a b （a b >）使a b m += ab n = 即22m += =__________．（3【答案】（11 （2)a b >；（3【详解】解：（11；（2)a b =>；（3． 【变式训练4】阅读材料：小明在学习二次根式后 发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方 如(231+ 善于思考的小明进行了以下探索：设()2a m +=（其中a 、b 、m 、n 均为正整数） 则有222a m n =++∴a ＝m 2+2n 2 b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时 若()2a m =+ 用含m 、n 的式子分别表示a 、b 得：a ＝ b ＝ ；（2）若()2a m ++ 且a 、m 、n 均为正整数 求a 的值；（3课后作业120b -= 那么这个等腰三角形的周长为（ ） A ．8B ．10C ．8或10D ．9 【答案】B【详解】解：20b -=∴40a -= 20b -= 解得4a = 2b =当腰长为2 底边为4时 ∴224+= 不满足三角形三边条件 不符合题意； 当腰长为4 底边为2时 ∴2464+=> 4402-=< 满足三角形三边条件 此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2．化简二次根式- ）A BC ．D ．x x x -=--3．已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示 则||a c b ++ ）A ．2b c -B ．2b a -C ．2a b --D ．2c b -4．若()230a -= 则a b +的平方根是______． 【详解】解：(5．设a b 是整数 方程20x ax b ++= 则a b +=___________．∴113060a b a ++=⎧⎨+=⎩解得67a b =-⎧⎨=⎩∴671a b +=-+=．故答案为：16．已知x 、y 为实数 4y = 则x y 的值等于______．7．已知实数a b c 、、在数轴上的位置如图所示 且a b = 化简a a b ++8．阅读：根据二次根式的性质 a b =+．根据这一性质 我们可以将一些“双重二次根式”去掉一层根号 达到化简效果．解：设24+=（a b 为非负有理数） 则4a b +++ ∴43a b ab +=⎧⎨=⎩①② 由①得 4b a =- 代入②得：()43a a -= 解得11a = 23a =∴13b = 21b =∴224(1+=+1=请根据以上阅读理解 解决下列问题：(1)的化简结果是__________；(2)(3) 如果能化简 请写出化简后的结果 如果不能 请说明理由．9．在二次根式的计算和比较大小中有时候用“平方法”会取得很好的效果例如比较a＝b＝的大小我们可以把a和b分别平方∴a2＝12 b2＝18 则a2＜b2∴a＜b．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c＝d＝c d（填写＞＜或者＝）．(2)猜想m＝n＝并证明．(3)＝（直接写出答案）．10．（1）已知a、b为实数4b+求a、b的值．（2）已知实数a 满足2021a a -= 求22021a -的值．。

第12章整式的乘除12.1 幂的运算教材P18例1变式【变式1】下列算式中,结果等于x6的是( A )(A)x2·x2·x2(B)x2+x2+x2(C)x2·x3(D)x4+x2解析:A.x2·x2·x2=x6,故选项A符合题意;B.x2+x2+x2=3x2,故选项B不符合题意;C.x2·x3=x5,故选项C不符合题意;D.x4+x2,无法计算,故选项D不符合题意.故选A.【变式2】若2n+1·23=210(n为正整数),则n= 6 .解析:2n+1·23=2n+1+3=210(n为正整数),所以n+1+3=10,解得n=6.教材P20例2变式【变式1】如果a x=3,那么a3x的值为27 .解析:a3x=(a x)3=33=27.【变式2】已知x m·x n·x3=(x2)7,则当n=6时,m= 5 .解析:因为x m·x n·x3=(x2)7,所以x m+n+3=x14,所以m+n+3=14.将n=6代入,可得m+6+3=14,解得m=5.故当n=6时,m=5.教材P21例3变式【变式1】下列运算正确的是( C )(A)a2·a3=a6(B)(-2ab3)2=-4a2b6(C)(-a2)3=-a6(D)2a+3b=5ab解析:A.结果是a5,故本选项不符合题意;B.结果是4a2b6,故本选项不符合题意;C.结果是-a6,故本选项符合题意;D.2a和3b不能合并,故本选项不符合题意.故选C.【变式2】计算:x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2.解: x·x3·x4+(x2)4-(-2x4)2=x8+x8-4x8=-2x8.教材P23例4变式【变式1】如果3m=6,3n=2,那么3m-n为 3 .解析:因为3m=6,3n=2,所以3m-n=3m÷3n=6÷2=3.【变式2】计算x5÷(-x)2= x3.解析:原式=x5÷x2=x3.12.2 整式的乘法教材P25例1变式【变式1】下列计算正确的是( A )(A)9a3·2a2=18a5(B)2x5·3x4=5x9(C)3x3·4x3=12x3(D)3y3·5y3=15y9解析:A.9a3·2a2=18a5,正确,符合题意;B.2x5·3x4=6x9,错误,不合题意;C.3x3·4x3=12x6,错误,不合题意;D.3y3·5y3=15y6,错误,不合题意.故选A.【变式2】计算:(-2x2y)3·3(xy2)2.解:原式=-8x6y3·3x2y4=-24x8y7.教材P27例2变式【变式1】计算:(-3x+1)·(-2x)2.解:(-3x+1)·(-2x)2=(-3x+1)·(4x2)=-12x3+4x2.【变式2】数学课上,,放学回到家,,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+ , 的地方被墨水弄污了,你认为处应填写3xy .解析:根据题意得,-3xy(4y-2x-1)+12xy2-6x2y=-12xy2+6x2y+3xy+12xy2-6x2y=3xy.教材P28例3变式【变式】如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(a+3b),宽为(2a+b)的大长方形,则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为( A )(A)2,3,7 (B)3,7,2(C)2,5,3 (D)2,5,7解析:长为a+3b,宽为2a+b的长方形的面积为(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2,因为A类卡片的面积为a2,B类卡片的面积为b2,C类卡片的面积为ab,所以需要A类卡片2张,B类卡片3张,C 类卡片7张.故选A.教材P29例4变式【变式】探究应用:(1)计算:(x+1)(x2-x+1)= x3+1 ;(2x+y)(4x2-2xy+y2)= 8x3+y3.(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)?用含a,b的字母表示该公式为(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是( C )(A)(m+2)(m2+2m+4)(B)(m+2n)(m2-2mn+2n2)(C)(3+n)(9-3n+n2)(D)(m+n)(m2-2mn+n2)解析:(1)(x+1)(x2-x+1)=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1,(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3-4x2y+2xy2+4x2y-2xy2+y3=8x3+y3.(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.(3)由(2)可知选C.12.3 乘法公式教材P31例1变式【变式1】下列各式中不能用平方差公式计算的是( A )(A)(x-y)(-x+y) (B)(-x+y)(-x-y)(C)(-x-y)(x-y) (D)(x+y)(-x+y)解析:A.由于两个括号中含x,y项的符号都相反,故不能使用平方差公式,A正确;B.两个括号中,-x相同,含y的项的符号相反,故能使用平方差公式,B错误;C.两个括号中,含x项的符号相反,y项的符号相同,故能使用平方差公式,C错误;D.两个括号中,含x项的符号相反,y项的符号相同,故能使用平方差公式,D错误.故选A.【变式2】若x+y=2,x2-y2=6,则x-y= 3 .解析:因为x+y=2,x2-y2=(x+y)(x-y)=6,所以x-y=3.教材P32例2 变式【变式1】用整式的乘法公式计算:2 0002-2 001×1 999= 1 .解析:原式=2 0002-(2 000+1)×(2 000-1)=2 0002-(2 0002-1)=2 0002-2 0002+1=1.【变式2】计算:9(10+1)(102+1)+1.解:原式=(10-1)(10+1)(102+1)+1=(102-1)(102+1)+1=104-1+1=104=10 000.教材P32例3变式【变式1】某街区花园有一块边长为a米的正方形广场,为了周边建设统一,经统一规划后,南、北方向各加长5米,东、西方向各缩短5米,则改造后的长方形广场的面积是(a2-100) 平方米(用含a的式子表示).解析:根据题意得,(a+5×2)(a-5×2)=(a+10)(a-10)=a2-100.【变式2】一个三角形的一条边长为(2a+4)cm,这条边上的高为(2a-4)cm,则这个三角形的面积为(2a2-8) cm2.解析:这个三角形的面积为×(2a+4)(2a-4)=×(4a2-16)=2a2-8.教材P33例4变式【变式1】运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( C )(A)x2+9 (B)x2-6x+9(C)x2+6x+9 (D)x2+3x+9解析:(x+3)2=x2+6x+9,故选C.【变式2】已知x+y=-5,xy=6,则x2+y2的值是( B )(A)1 (B)13 (C)17 (D)25解析:因为x+y=-5,xy=6,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=25-2×6=25-12=13.故选B.教材P34例5变式【变式1】运用乘法公式计算(m-2)2的结果是( C )(A)m2-4 (B)m2-2m+4(C)m2-4m+4 (D)m2+4m-4解析:(m-2)2=m2-4m+4,故选C.【变式2】(x-2)2+4(x-1)= x2.解析:原式=x2-4x+4+4x-4=x2.12.4 整式的除法教材P39例1变式【变式1】计算(-ab2)3÷(-ab)2的结果是( B )(A)ab4(B)-ab4(C)ab3(D)-ab3解析:(-ab2)3÷(-ab)2=-a3b6÷a2b2=-ab4,故选B.【变式2】一个三角形的面积为4a3b4,底边的长为2ab2,则这个三角形的高为4a2b2. 解析:4a3b4×2÷2ab2=8a3b4÷2ab2=4a2b2.教材P41例2变式【变式1】小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y-2xy2,商式必须是2xy,则小亮报一个除式是x2-y .解析:(x3y-2xy2)÷2xy=x2-y.【变式2】长方形面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,则它的另一边长是a-b+2 .解析:因为长方形面积是3a2-3ab+6a,一边长为3a,所以它的另一边长是(3a2-3ab+6a)÷3a=a-b+2.12.5 因式分解教材P44例1变式【变式1】下列多项式分解因式,正确的是( B )(A)12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xyz)(B)3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2)(C)-x2+xy-xz=-x(x2+y-z)(D)a2b+5ab-b=b(a2+5a)解析:A.12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy),故此选项错误;B.3a2y-3ay+6y=3y(a2-a+2),故此选项正确;C.-x2+xy-xz=-x(x-y+z),故此选项错误;D.a2b+5ab-b=b(a2+5a-1),故此选项错误.故选B.【变式2】简便计算:(1)1.992+1.99×0.01;(2)2 0172+2 017-2 0182.解:(1)1.992+1.99×0.01=1.99×(1.99+0.01)=3.98.(2)2 0172+2 017-2 0182=2 017(2 017+1)-2 0182=2 017×2 018-2 0182=2 018×(2 017-2 018)=-2 018.教材P44例2变式【变式1】分解因式y3-4y2+4等于( B )(A)y(y2-4y+4) (B)y(y-2)2(C)y(y+2)2(D)y(y+2)(y-2)解析:原式=y(y2-4y+4)=y(y-2)2,故选B.【变式2】分解因式:(1)x2(x-y)+(y-x);(2)a4-4a3b+4a2b2.解:(1)x2(x-y)+(y-x) =(x-y)(x2-1)=(x-y)(x+1)(x-1).(2)a4-4a3b+4a2b2 =a2(a2-4ab+4b2) =a2(a-2b)2.。

八年级数学教材典题变式第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念P3练习第2题变式:1.求下列式子有意义的x的取值范围.(1)错误！未找到引用源。

;(2)错误！未找到引用源。

;(3)错误！未找到引用源。

.解:(1)4-3x>0,解得x<错误！未找到引用源。

,当x<错误！未找到引用源。

时,错误！未找到引用源。

有意义.(2)由题意得错误！未找到引用源。

解得x≤3且x≠2,当x≤3且x≠2时,错误！未找到引用源。

有意义.(3)由题意得错误！未找到引用源。

解得x≥-5且x≠0,当x≥-5且x≠0时,错误！未找到引用源。

有意义.P5习题16.1第9题变式:2.当a取什么值时,代数式错误！未找到引用源。

+1取值最小?并求出这个最小值.解:因为错误！未找到引用源。

≥0,所以当a=-错误！未找到引用源。

时,错误！未找到引用源。

有最小值,是0.则错误！未找到引用源。

+1的最小值是1.第2课时二次根式的性质P5习题16.1第2题变式:1.化简:(1)错误！未找到引用源。

;(2)错误！未找到引用源。

;(3)(-错误！未找到引用源。

)2.解:(1)错误！未找到引用源。

=5.(2)错误！未找到引用源。

=5.(3)(-错误！未找到引用源。

)2=5.P5习题16.1第2题变式:2.已知:实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:错误！未找到引用源。

+2错误！未找到引用源。

-|a-b|.解:从数轴上a,b的位置关系可知:-2<a<-1,1<b<2,且b>a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3.P5习题16.1第4题变式:3.在实数范围内分解因式.(1)a2-13;(2)4a2-5;(3)x4-4x2+4.解:(1)a2-13=a2-(错误！未找到引用源。

)2=(a-错误！未找到引用源。

变式题1、原题： 计算：2)32(-．（9年级上册P5第2（4）题）变式1 填空： 94= ，412= ．变式2 当x 时，式子231-x 在实数范围内有意义？变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）． 变式4 是否存在正整数n ，使得231+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存在，说明理由．2、原题： 四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）︒⨯-1802nn 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-ABBCAE EF 成立？E α β DA B C HH C E D A B F FD BE C A AB C E FD3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822=-+x x 的一个根，且53=∠ABO Sin . 请解答下列问题： （1）求点B 的坐标；（2）求直线BD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

一次函数的复习课前测试【题目】课前测试如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．【答案】（﹣，﹣）．【解析】先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由于点B在直线y=x上运动，所以△AOB′是等腰直角三角形，由勾股定理求出OB′的长即可得出点B′的坐标．解：先过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当B′与点B重合时AB最短，∵点B在直线y=x上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形，过B′作B′C⊥x轴，垂足为C，∴△B′CO为等腰直角三角形，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OC=CB′=OA=×1=，∴B′坐标为（﹣，﹣），即当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示B′点坐标的等腰直角三角形是解题的关键．【难度】3【题目】课前测试如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，点E的坐标为（0，2）．点F（x，0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则x的值为．【答案】±．【解析】分类讨论：点F在OA上和点F在OB上两种情况．根据题意列出比例关系式，直接解答即可得出x得出值．解：如图，∵AB的中点与原点O重合，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（1，1）．当点F在OB上时．过F做DC的垂线通过证明三角形全等可知：G是横坐标是F横坐标的一半∴G（，1）∵过点E、F的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分，则AF+AD+DG=3+x，CG+BC+BF=3﹣x，由题意可得：3+x=2（3﹣x），解得x=．由对称性可求当点P在OA上时，x=﹣．故答案是：±．本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，是各地中考的热点，同学们要加强训练，属于中档题．【难度】3知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是一次函数的复习。

八年级下册·课本亮题拾贝16．1 分式题目 什么条件下，下列分式有意义？（1）)1(1-x x ； （2）152++x x．（人教课本P 9第8题） 解 （1）x ≠0且x ≠1．（2）x 为任意实数．点评 根据分式的定义，要使分母有意义的条件必须满足分母不等于0，否则分式无意义．对于分母中只含有一个字母的，结果是这个字母不等于某个数（如x ≠0且x ≠1）；对于分母中含有多个字母的，结果是这些字母不能有某种关系如（x ≠y ）；当分母的形式非常特殊的时候，如为x 2 + 1，︱x ︱+ 1，x + 1等或类似情况时，考虑x 为任意实数或为非负数．当对x 的限制条件不止一个时，要注意考虑所有情况．演变变式 1 在函数31-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ． （答案：x ≠3）变式 2 若分式12222++--x x x x 的值为0，则x 的值等于 ． （答案：2）变式 3 若分式21-x 无意义，则实数x 的值是 ． （答案：2）变式4 写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取任何实数，该分式都有意义）．变式5 已知使分式117++bx ax 有意义的一切x 的值，都会使这个分式的值为一个定值，求a ，b 应满足的条件． （答案：11a －7b = 0）变式 6 使分式ax a x --1（a ≠0）有意义的x 应该满足的条件是 ．（答案：x ≠0且ax 1≠） 16．2 分式的计算题目 计算： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+2221111b a b a ． （人教课本P 23第6（2）题）解 原式=()2222222a b b a b a b a -⨯+=a b b a -+． 点评 分式的混合运算一定要遵守运算法则，乘方时要分子分母分别乘方，通分是实现异分母相加减的转化手段，但要注意选择最简公分母以简化运算，约分的时候要注意符号，并保证结果为最简分式．演变变式1 化简：22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ）． A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + （答案：D ）变式2 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-”． 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法是：原式=（x + 3）（x －2）+（2－x ）= x 2 + x －6 +2－x = x 2－4； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的（答案：C ）变式 3 先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭． 解 2111(1)(1)1x x x x x x x x -+-+⎛⎫+÷=÷ ⎪⎝⎭1(1)(1)x x x x x +=⨯-+11x =-． 说明 这种类型的计算题看似简单，但对同学们是否掌握了使分式有意义的x 的值有较高的要求，如此题显然不能取1，－1，0．16．3 分式方程题目 张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另一半图书．如果李强单独清点完这批图书要几个小时？（人教课本P 32第5题）解 设李强单独清点这批图书需要x 小时，列方程得21141=+x ．解得322=x ，经检验得322=x 是原方程的解． 答：李强单独清点这批图书要322小时． 点评 分式方程的应用最主要的集中于行程问题和工程问题，虽然它们实际背景各不相同，但都与时间有关系，分析问题时应注意利用题中隐含的等量关系，解方程后应注意从分式的特点和实际问题的限制两方面进行检验．演变变式1 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ）．A ．18%)201(400160=++x xB ．18%)201(160400160=+-+xx C ．18%20160400160=-+x x D ．18%)201(160400400=+-+xx （答案：B ）变式2 （2009，长春）某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务．求引进新设备前平均每天修路多少米．解 设引进新设备前平均每天修路x 米．根据题意，得 3026003000600=-+xx ，解得x = 60． 经检验，x = 60是原方程的解，且符合题意．答：引进新设备前平均每天修路60米．变式3 某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）解 设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具（x －10）件，由题意得xx 1502110100=+-， 整理，得 x 2－110x + 3000 = 0，解得 x 1 = 50，x 2 = 60．经检验x 1 = 50，x 2 = 60都是原方程的解．当x = 50时，每件玩具的批发价为150÷50 = 3（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去；当x = 60时，每件玩具的批发价为150÷60 = 2.5（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件．另法 设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具（x + 10）件，由题意得1015021100+=+x x ， 整理得 x 2－90x + 2000 = 0，解得 x 1 = 40，x 2 = 50．经检验，x 1 = 40，x 2 = 50都是原方程的解．第一次采购40件时，第二次购40 + 10 = 50件，批发价为150÷50 = 3（元）不合题意，舍去；第一次采购50件时，第二次购50 + 10 = 60件，批发价为150÷60 = 2.5（元）符合题意，因此第二次采购玩具60件．17．1 反比例函数题目 指出下列函数中哪一个是反比例函数，并指出k 值． （人教课本P 46第2题）A ．2x y =B ．x y 35-=C ．y = x 2D ．y = 2x + 1 解 B ，35-=k ．点评 反比例函数有三种表示形式：（1）“分式”型：形如x k y =（k为常数，k ≠0）；（2）“乘积”型：即xy = k （k 为常数，k ≠0）；（3）“负指数”型：y = kx －1（k 为常数，k ≠0）．在学习时要注意对定义和表示形式进行研究，准确理解这三种表示形式后，就能抓住反比例函数定义的主要特征．演变变式1 下列函数中，是反比例函数的是（ ）．A ．y =－3xB ．12x y =+C ．1y x=- D ．y = 3x 2 + 1 （答案：C ）变式2 若xm y 2+=是反比例函数，则m 必须满足（ ）．A ．m ≠0B ．m =－2C ．m = 2D ．m ≠－2 （答案：D ）变式3 有以下判断：① 圆面积公式S =π r 2中，面积S 与半径r 成正比例；② 运动的时间与速度成反比例；③ 当电压不变时，电流强度和电阻成反比例；④ 圆柱体的体积公式V =π r 2h 中，当体积V不变时，圆柱的高h 与底面半径r 的平方成反比例．其中错误的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B ）变式4 如果函数y = x 2m －1为反比例函数，则m 的值是（ ）．A ．－1B ．0C ．21 D ．1 答案：B ）变式 5 已知反比例函数的图象经过点（a ，b ），则它的图象一定也经过点（ ）．A ．（－a ，－b ）B ．（a ，－b ）C ．（－a ，b ）D ．（b ，－a ）答案：A ）题目 正比例函数y = x 的图象与反比例函数xk y =的图象有一个交点的纵坐标是2，求：（1）当x =－3时，反比例函数y 的值；（2）当－3＜x ＜－1时，反比例函数y 的取值．（人教课本P 47第7题）解 （1）当y = 2时，x = 2，代入xk y =中得k = 4，所以反比例函数的解析式为x y 4=；当x =－3时，34-=y ． （2）因为－3＜x ＜－1＜0，当x =－3，34-=y ；当x =－1，y =－4．所以 －4＜x ＜－34．点评 一次函数“牵手”反比例函数的题型主要有三类：（1）同一坐标系中的两类函数图象共存问题；（2）求函数的解析式或图象交点坐标问题（包含求三角形的面积）；（3）两类函数的大小关系与相应自变量的范围．注：求两函数的交点即求两函数解析式联立所构成的方程组的解．演变变式1 （接原题）（3）当－2＜x ＜2时，函数y 的取值范围．（答案：结合图象可得－2＜y ＜0或0＜y ＜2）变式2 （2008，恩施）一次函数y 1 = x －1与反比例函数xy 22=的图象交于点A （2，1），B （－1，－2），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ）．A ．x ＞2B ．x ＞2或－1＜x ＜0C ．－1＜x ＜2D ．x ＞2或x ＜－1 （答案：B ）变式3 设直线与双曲线相交于A （1，2）与B （－2，n ）．（1）求直线与双曲线的解析式；（2）根据图象直接写出：① 当x 取何值时，一次函数的值等于反比例函数的值；② 当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；③ 当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．（答案：（1）xy 2=，y = x +1 （2）① x = －2或1 ② －2＜x ＜0或x ＞1 ③x ＜－2或0＜x ＜1）注：“三线四区间”法是解这类题的有效方法．“三线四区间”是指过两个交点分别作x 轴的垂线，两条垂线加上y 轴一共三条线把x的范围分成四个区间，有两个区间内一次函数的值大于反比例函数的值，另两个区间内一次函数的值小于反比例函数的值．题目 红星粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存．（1）入库所需时间t （天）与入库速度y （吨∕天）有什么样的函数关系？（2）粮库有职工60名，每天最多可入库300吨玉米，预计玉米入库最快可在几日内完成？（3）粮库的职工连续工作了两天后，天气预报说未来的几天很可能会下雨，粮库决定次日把剩余的玉米全部入库，需要增加多少人帮忙才能完成任务？ （人教课本P 55第6题）解 （1）入库时间t 与入库速度y 的函数关系为ty 1200=． （2）把y = 300代入ty 1200=，解得t = 4． （3）设需要增加x 人帮忙才能完成任务．根据题意，可列方程为 300÷60×（60 + x ）= 1200－300×2，解方程，可得x = 60．因此需要增加60人帮忙才能完成任务．点评 成反比例函数关系的两个变量的条件是它们的乘积是一个定值．演变变式1 近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25，则眼镜度数y 与镜片焦距x之间的函数关系是 ．(答案：xy 100=) 变式2 某气球内充满了一定的质量，当温度不变时，气球内的压力P （千帕）是气球的体积V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）．（1）求这个函数的解析式；（2）当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？（答案：（1）96P V=；（2）120千帕） 变式 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50 km ／h 时，视野为80度．如果视野f （度）是车速v（km ／h ）的反比例函数，求f ，v 之间的关系式，并计算当车速为100km ／h 时视野的度数． （答案：vf 4000=；当100=v 时，40=f ） 变式4 某空调厂的装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调．（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位： 台／天）与生产的时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？（答案：（1）tm 9000=；（2）180） 变式5 某工厂从2005年开始投入技术改造资金来降低产品成本，设投入技改资金x 万元时，产品成本为y 万元∕件，就你所学的一次函数和反比例函数，观察表中数字规律：（1（2）若2009年已投入技改资金8万元，预计产品成本每件比2008年降低多少万元？（3）要使2009年产品成本降到2万元∕件，则还需投入技改资金几万元？解 （1）由表中数据知，每年的x 、y 满足：xy =20720731064554=⨯=⨯=⨯=⨯， ∴ xy = 20， x y 20=． 又设x 、y 的关系为y = kx + b ．将（x ，y ）=（4，5），（5，4）分别代入，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 5445 解得 ⎩⎨⎧=-=91b k ∴ y =－x + 9． 但x = 6时，310396≠=+-=y ， ∴ x 、y 不具有一次函数关系．∴ 表中数据是反比例函数关系xy 20=． （2）当x = 8，得25820==y ，而 14514354025720=-=-万元． 答：预计成本比08年降低145万元． （3）当y = 2时，得 x202=，x = 10，10－8 = 2． 答：还需投入技改资金2万元．18．1 勾股定理题目 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？（人教课本P 71第10题）解 设水深EG = x 尺，则芦苇的长EF = ED =（x + 1）尺，在Rt △EGD 中，∠EGD = 90°，GD = 5，由勾股定理得：EG 2 + GD 2 = ED 2 得 x 2 + 52 =（x + 1）2，解得 x = 12．所以 x + 1 = 13．答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺．点评 将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理建立方程来解决．演变 变式1 一株荷叶高出水面1 m ，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有3 m 远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．（答案：水面的深度为4 m ，荷叶的高度为5 m ）变式2 如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛， 从同一处（A 点）出发，小方平均速度为3米／秒，小杨为3.1米 ／秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC 方向）游，而小方 直游（AB 方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均 速度计算，谁先到达终点，为什么？（答案：小方先到达终点）变式3 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达地点B 相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度AB 为多少米？（答案：120米）变式4 湖静浪平六月天，菏花半尺出水面，忽来一阵狂风急，吹倒菏花水中淹，入秋渔夫始发现，残花离根二尺遥，试问水深为若干？ A O A B AC B（答案：3. 75尺）题目 如图，∠C = 90°，图中有阴影的三个半圆的面积有什么关系?（人教课本P 71第11题）解 记直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3的关系是S 1 + S 2 = S 3．理由如下：22181)2(21BC BC S ππ==； 22281)2(21AC AC S ππ==；22381)2(21AB AB S ππ==． 而由勾股定理，得 BC 2 + AC 2 = AB 2，于是可得S 1 + S 2 = S 3．点评S 1 + S 2 = S 3都成立．演变变式1 （2009，浙江湖州）如上图，△ABC 中， ∠ACB = 90︒，AB = 4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2，则S 1 + 2于 ． （答案：8π）变式2 （2009，宜宾）如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB = 3，则图中阴影部分的面积为 ． （答案：29） 变式3 如图，以Rt △ABC 的三边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1 = 3，S 2 = 4，则S 3 = ． （答案：C B A C 2 A D 0.5 B7）变式4 如图，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若大正方形的边长是6 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积和是（ ）cm 2 （答案：B ）A ．12B ．36C ．42D ．48变式5 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =∠BCD = 90︒，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S 1 + S 4 = 100，S 3 = 36，则S 2 =（ ）．A ．136B ．64C ．50 D．81 （答案：B ）变式6 如图所示，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角形两直角边为边作正方形②和②′，如此继续下去…，若正方形①的面积为64，则正方形⑥的面积为 ．（答案：2）变式7 如图，Rt △ABC 中，BC = 12，AC = 5，分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积是 ．（人教课本P 71第12题的变式）（答案：30 习题结论：S 阴影 = S △ABC ）变式8 （2008，陕西）如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC +∠BCD = 90︒，且DC = 2AB ，分别以DA ，AB ，BCC B A S 1 S 2 S 3 CD B A S 3 B A D S 1C S 2 S 4 ④a D C B Mc N E F b G H 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是 ．（答案：S 1 + S 3 = S 2）变式9 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）．A ．4B ．6C ．16D ．55 （答案：C ）变式10 在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = ． （答案：4）变式11 （2008，浙江台州）如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c ；A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则c = （用含有a ，b 的代数式表示）． （答案：22b a ）变式12 如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1 = S 2 + S 3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；l c b a S 1S 2 S 3 S 4 1 2 3 l（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 ．（答案：设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2 = a 2 + b 2．（1）S 1 = S 2 + S 3．（2）S 1 = S 2 + S 3． 证明如下：显然，2143c S =，2243a S =，2343b S =， ∴ S 2 + S 3=222)a b +== S 1．（也可用三角形相似证明） （3）当所作的三个三角形相似时，S 1 = S 2 + S 3． ∵ 所作三个三角形相似， ∴22322211,.S S a b S c S c == 2223123211,S S a b S S S S c++∴==∴=+． （4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1 = S 2 + S 3）题目 已知圆柱的底面半径是6 cm ，高为10 cm ，蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到B 点的最短路程是多少厘米？（结果保留小数点后1位）（人教课本P 81第8题）解 如图，将圆柱展开得到BC = 10 cm ，AC = 6π cm ．在Rt △ABC 中，2222)6(10π+=+=BC AC AB ≈21.3 cm ．① C A B S 1 S 2 S 3 ② C S 3 A S 1 S 2 B ③答：蚂蚁从A 点爬行到B 点的最短路程是21.3厘米．点评 解立体图形的问题通常要把立体图形展开成平面图形，然后化成平面图形的问题加以解决，它是解决立体图形问题的基本方法之一，凸现了化归思想．在本题中还要注意选择的直角三角形的两条直角边分别为圆柱的高和底面圆周长的一半．演变变式1 有一长、宽、高分别是5 cm 、4 cm 、3 cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 处沿长方体的表面爬到长方体上和A 相对的顶点B 处，则需要爬行的最短路径长为（ ）．A ．25B ．74C ．54D ．103（答案：B ）变式2 （2009，恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的 表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）．A ．215B ．25C ．1055+D ．35（答案：B ）变式3 如图，有一圆柱体高为10 cm ，底面圆的半径为π12cm ，AA 1，BB 1为相等的两条母线，在AA 1上Q 处有一只 蜘蛛，QA = 3 cm ；在BB 1上P 处有一只苍蝇，PB 1 = 2 cm ．蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm ．（答案：13）变式4 李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5 cm ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点C 1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5 cm ，侧棱长为6 cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到C 1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4 cm ，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA 1 = 120 ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．（答案：（1）AC 12 = AC 2 + CC 12 =（5 + 5）2 + 52 = 125；AC 1 = 55cm ．（2）由于正四棱柱展开后，AC 1可以是长为10，宽为6的长方形的对角线；也可以是长为11，宽为5的长方形的对角线，因此分两种情况（画图略）：① AC 12 =（5 + 5）2 + 62 = 136；② AC 12 =（6 + 5）2 + 52 = 146， ∵ 146＞136，∴ 最短路程为234cm ．（3）圆锥的侧面展开图是扇形，此时最短路线就是△OAA 1的边AA 1的长，由已知得所求的最短的路程为AA 1= 43 cm ．过程略）题目 如图，已知E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上两点，且AE = CF ，求证：四边形BFDE 是平行四边形．（人教课本P 87例3）证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO ，BO = DO ．∵ AE = CF ，∴ EO = FO ．A B O B 1 A 1 D 1 DB C A C 1 B 1 A 1 D 1 D B C A C 1 O AA 1 A C F O E D又 BO = DO ，∴ 四边形BFDE 是平行四边形．点评 判定四边形是平行四边形有五种办法：① 定义（两组对边分别平行）；② 两组对边分别相等；③ 一组对边平行且相等；④ 两组对角分别相等；⑤ 对角线互相平分．到底用哪一条要根据具体情况确定．本题涉及对角线的关系，故选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判断．同时本题是平行四边形的性质和判定的综合运用，先用性质得出对角线的关系，再用判定定理得出平行四边形．当E 、F 在对角线上运动时可以得到一组变式题，其证明方法都类似．演变变式1 如图，E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形．（答案：BE = DF 或 BF = DE 或 AE ∥CF 或∠AEF =∠CFE 或 AE ⊥BD ，CF ⊥BD 等）变式2 如图，已知E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 的延长线上的两点，且AE = CF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．（提示：证OB = OD ，OE = OF ）变式3 在□ABCD 对角线BD 上取两点E 、G ，使BE = DG ．在对角线AC 的延长线上取两点F 、H ，使AH = CF ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．（提示：证OH = OF ，OE = OG ）变式4 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 、P 、Q 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点．求证：四边形MNPQ 是平行四边形．证明 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO = CO ，BO = DO ．∵ M 、N 、P 、Q 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，∴ ON = OQ ，OM = OP ，∴ 四边形MNPQ 是平行四边形．A CF OE D A CF O E DG E A C F OH D变式5 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、 F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点．以图中的各点为顶点能画多少个平行四边形？（不包括□ABCD ） （答案：三个，□EFGH 、□AFCH 、□BEDG ）题目 如图，直线l 1∥l 2，△ABC 与△DBC 的面积相等吗？你还能画出一些与△ABC 面积相等的三角形吗？（人教课本P 91第8题）解S △ABC= S △DBC ．分别过点A 和D 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 和F ，DBC ABC S DF BC AE BC S ∆∆=⨯=⨯=2121． 在l 1上任取一点，与B 、C 连结所构成的三角形都与△ABC 的面积相等．点评 本题主要运用了“平行线间的距离处处相等”和“等底等高的三角形面积相等”；与△ABC 面积相等的三角形有无数个；本题实际上包含两个命题：l 1∥l 2 ⇔ S △ABC = S △DBC ．演变变式1 探究规律：如图，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ．（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有：与△ABC 的面积相等；理由是： ．（教师用书239页第12题）Q NA P C O D M ABCDE AB D E M N（答案：（1）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△BOP ，△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间的距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP 与△ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等变式2 如图2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由．（教师用书240页第13题）解 （1）画法如图．连结EC ，过点D 作DF ∥EC ，交CM 于点F ，连结EF ，EF 即为所求直路的位置．（2）设EF 交CD 于点H ，由12题探究规律得到的结论，可知S △ECF = S △ECD ，S △DFC = S △DFE ，所以 S 五边形ABCDE = S 五边形ABCFE ，S 五边形EDCMN = S 四边形EFMN ．） 变式3 （2008，山东日照）（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xk y （k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF解 （1）分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，FH C E A B D N M 图2 图3 A B D C 图1A B C D E FG 垂足为G ，H ，则∠CGA =∠DHB = 90°，∴ CG ∥DH ．∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，∴ CG = DH ．∴ 四边形CGHD 为平行四边形，∴ AB ∥CD ．（2）① 连结MF ，NE ．设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2）．∵ 点M ，N 在反比例函数xk y =（k ＞0）的图象上，∴ x 1y 1 = k ，x 2y 2 = k ．∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴，∴ OE = y 1，OF = x 2．∴ S △EFM =21x 1y 1 =21k ，S △EFN =21x 2y 2 =21k ，∴ S △EFM = S △EFN ． 由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ② MN ∥EF ．题目 如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F ．求证：AF －BF = EF ．（人教课本P 104第15题）（2009，南充）证明 ∵ ABCD 是正方形，∴ AD = AB ，∠BAD = 90︒．∵ DE ⊥AG ，∴ ∠DEG =∠AED = 90︒，∴ ∠ADE +∠DAE = 90︒．又 ∠BAF +∠DAE =∠BAD = 90︒，∴ ∠ADE =∠BAF ．∵ BF ∥DE ，∴ ∠AFB =∠DEG =∠AED ，因此 △ABF ≌△DAE ，∴ BF = AE ，故 AF －BF = EF ．点评 正方形中含有很多的相等的边和角，这些相等的边和角是证全等的有力工具．演变变式1 （2008，云南）如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；DC B A E F（2）求证：AE = FC + EF．解（1）△AED≌△DFC．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC = 90º．又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED =∠DFC = 90º，∴∠EAD +∠ADE=∠FDC +∠ADE = 90º，∴∠EAD =∠FDC，∴△AED≌△DFC．（2）∵ΔAED≌ΔDFC，∴AE = DF，ED = FC．∵DF = DE + EF，∴AE = FC + EF．变式2 正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图①．（1）请你通过观察．．BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之．．或测量间的数量关系．若点P在DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论．图①的结论：，图②的结论：，图③的结论：．（2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明．解（1）①BE = DF + EF；②BE = DF－EF；③BE = EF－DF．（2）图①证明如下，图②③证明略．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA +∠AFD = 90°．∵∠ABE +∠BAE = 90°，∠DAF +∠BAE = 90°，∴∠ABE =∠DAF．在正方形ABCD中，AB = AD，∴△ABE≌△DAF，∴DF = AE，BE = AF，∴BE = DF + EF．变式3 （2009，湖北十堰）如图①，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ．（1）求证：DE －BF = EF ．（2）当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．（3）若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．解 （1）∵ 四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ，∴ DA = AB ，∠BAF +∠DAE =∠DAE +∠ADE = 90°，∴ ∠BAF =∠ADE ，∴ △ABF ≌△DAE ，∴ BF = AE ，AF = DE ，∴ DE －BF = AF －AE = EF ．（2）EF = 2FG ．∵ AB ⊥BC ，BF ⊥AG ，AB = 2BG ，∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ， ∴2===FGBF BF AF BF AB ，∴ AF = 2BF ，BF = 2FG ． 由（1）知，AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG ．（3）如图DE + BF = EF ．题目 正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，那么无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的41．想一想这是为什么．（人教课 本P 105实验与探究）解 ∵ 在△AOE 和△BOF 中，AO = BO ，∠OAE =∠OBF ，∠AOE = 90︒－∠BOE =∠BOF ，∴ △AOE ≌△BOF ．∴ S △AOB = S △AOE + S △EOB = S 四边形OEBF =41S 正方形ABCD ． 点评 在该题中无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，都有△AOE≌△BOF （只要存在）．因此不难发现还有如下结论：（1）一个图形经过另一个图形的中心，且叠合的度数是90︒；（2）正方形ABCD 的边被另一正方形A1B1C1O覆盖部分的总长度BE+ BF为定长（正方形的边长）；（3）由△AOE≌△BOF可得AE = BF或OE = OF；（4）图中重叠部分的面积均为原正方形面积的四分之一（定值）．该问题的实质是：条件只需满足OA1、OC1是经过正方形ABCD的对称中心且互相垂直的两条直线即可．演变变式1 已知正方形、BD交于O，点O是正方形EFGO的一个顶点，若正方形ABCD的边长为2．（1）当OE∥AD、OG∥AB时，如图1，求图中两个正方形重叠部分的面积．（2）若正方形EFGO饶点O逆时针转动时，如图2，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？试说明理由．解（1）设OE交AB于M，OG交BC于N．正方形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠BCD = 90︒．∵OE∥AD、OG∥AB，∴∠OMB = 90︒，∠ONB = 90︒，∴四边形MONB是矩形．∵正方形ABCD中，O为AC中点，AD = AB = 2．而OE∥AD、OG∥AB，∴OM =12AD = 1，ON =12AB = 1，∴四边形MONB是正方形，∴S四边形MONB= 1．（2）不变．∵正方形ABCD和正方形EFGO中，∠BOC = 90︒，∠EOG = 90︒，∴∠1 =∠2．而在正方形ABCD中，∠3 =∠4 = 45︒，OB = OC，∴△OBM≌△OCN，∴S△OBM= S△OCN，S四边形MONB = S△OBC．∵正方形ABCD边长为2，∴S△OBC = 1，∴S四边形MONB= 1．变式2 （2009，广东）（1）如图1，圆内接△ABC中，AB= BC= CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的31．（2）如图2，若∠DOE保持120︒角度不变，求证：当∠DOE绕着O。

人人人人人人人人人人人人人人人人人人人1.（1）如图1，在△ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是______；（2）变式一：如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）变式二：如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，∠ADC，连接EF，试探索线段AF，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=12EF，CE之间的数量关系，并加以证明．2.（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连结CE．利用全等将边AB 转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线BD的取值范围是______．（2）变式一：问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．（3）变式二：问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM=NBC=∠90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．3.(1)如图①，已知：▵ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；(2)变式一：拓展：如图②，将(1)中的条件改为：▵ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)变式二：应用：如图③，在▵ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，▵ABC的面积是12，求▵ABD与▵CEF的面积之和．4.（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；（2）变式一：如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）变式二：如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．5.已知点C是∠MAN的平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC=180∘.过点C作CE⊥AM，垂足为E．(1)如图 ①，当点E在线段AB上时，求证：BC=DC;(2)变式一：如图 ②，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系;(3)变式二：如图 ③，在(2)的条件下，若∠MAN=60∘，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G.若BG=1，DF=2，求线段DB的长．6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在直线BC上移动(不与点B、C重合)，以AB为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠DCE=β．(1)如上图，点D在线段BC上，请你探索CD、CE与BC之间的数量关系，并证明你的结论；(2)变式一：如上图，当点D在线段BC上移动时，请你探索α与β之间的数量关系，并证明你的结论；(3)变式二：当点D在直线BC上移动时，请写出α和β之间的数量关系．7.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（－2，0）（1）求证：∠OAB＝∠OBA．（2）变式一：如图①，若BE⊥AE，求∠AEO的度数．（3）变式二：如图②，若点D是AO的中点，DE∥BO，点F在AB的延长线上，∠EOF ＝45°，连接EF，OF，试探究OE和EF的数量和位置关系．8.（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE=BD+CE；（2）变式一：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）变式二：如图3，在（2）变式一的条件下，若a=120°，且△ACF为等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．9.在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝____度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①变式一：如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②变式二：如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．10.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=100°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是______（直接写结论，不需证明）；（2）变式一：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）变式二：如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF=45°，直接写出△DEF 的周长．11.已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；（2）变式一：若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC 的数量关系；（3）变式二：在（2）变式一的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．12.在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图1，AD平分∠BAC交BC边于点D，过D作DE⊥AB于点E，当∠ACB＝90°时，求证：AB＝AC＋CD；（2）变式一：如图2，AD平分∠BAC交BC边于点D，当∠ACB≠90°时，试探究线段AB，AC，CD之间满足的数量关系；（3）变式二：如图3，AD平分△ABC的外角∠CAF，交BC的延长线于点D，当∠ACB≠90°时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．13.（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；（2）变式一：拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线m上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）变式二：应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．14.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）变式一：当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明；（3）变式二：当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）．15.已知：在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，O为AB中点．（1）如图1，判断△BOC的形状并证明；（2）变式一：如图2，点D、E分别在线段AC、BC上，且AD＝CE．若AC＝6，求四边形DCEO的面积；（3）变式二：如图3，设P是线段AO上一动点，点D在BC上，且PD＝PC，过点D 作DE//CO，交AB于点E，试探索线段ED与OP的数量关系，并说明理由．16.解答下列问题:(1)如图 ①,∠MAN=90∘,射线AE在这个角的内部,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≅△CAF;(2)变式一：如图 ②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F都在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≅△CAF;(3)变式二：如图 ③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ACF与△BDE的面积之和.17.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当MN绕点C旋转到图1的位置时，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系；（直接写出结论，不要求写出证明过程）（2）变式一：当MN绕点C旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化请写出你的猜想，并加以证明；（3）变式二：当MN绕点C旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化请直接写出你的猜想．（不要求写出证明过程）18.已知，△ABC是等边三角形，D是直线BC上一点，以D为顶点做∠ADE=60°．DE交过C且平行于AB的直线于E，求证：AD=DE；当D为BC的中点时，（如图1）小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取AB的中点F，连结DF，然后证明△AFD≌△DCE．从而得到AD=DE，我们继续来研究：（1）如图2、当D是BC上的任意一点时，求证：AD=DE（2）变式一：如图3、当D在BC的延长线上时，求证：AD=DE（3）变式二：当D在CB的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立（不必证明）．。

八年级数学几何压轴题对角互补专题探究及变式训练汇总对角互补专题探究（一）基本图形：如图1，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，旋转∠FBE 得到∠HBI ，求证：△FBH ∽△EBI ;如图2，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，连接BD ，∠DBE =∠CBF ,若△BCD 为等边三角形，探究：线段DE 、DF 、BD 之间的数量关系________________________;如图3，在四边形FBDE 中，∠EDF +∠EBF =1800，连接BD ，∠DBE =∠CBF ,若BD ⊥DC ,∠DCB =30°探究：线段DE 、DF 、BD 之间的数量关系______________________;例1.已知直角梯形ABCD , AD ∥BC , ∠A =900, ∠EBF =∠C . (1)当AD :AB =1:3,∠C =600时，如图1所示，求证：DE +DF =BC ;(2).当AD :AB =1:1,∠C =450时，如图2所示，则线段DE 、DF 、BC 之间的数量关系_______________；(3).在(2)的条件，如图3所示，若AB =2时，3BM =MC ,连接AF 、FM ,若AF 与BE 交于点图1N ,当∠AFM =450时,求线段NF 的长度.变式训练：1.已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ,AD =3AB ,∠A =900,∠C =600,DH ⊥BC 于H ,P 为BC 上一点，作∠EPF =600,此角的两边分别交AD 于E , 交CD 于F . (1).如图1，当点P 在点B 处时，求证：2 AE +CF =2CH ;(2).如图2，当点P 在点H 处时，线段 AE 、CF 、CH 的数量关系为____________________; (3).在（2）的条件下，连接FB 、EF ,FB 与FH 交于点K ,若AB =32,EF =21,求线段FK 的长度.图2图1图3图3图2图12.已知平行四边形ABCD , ∠C =60°，点E 、F 分别为AD 、CD 上两点∠EBF =∠C . (1).如图1，当AB =BC 时，求证：CF +AE =BC ； (2).如图2，当AB =76BC 时，线段：CF 、AE 、BC 三者之间有何数量关系_______________; (3)在(2)的条件下如图3，若AB =6,连接EC 与BF 交于M ,当△BEM 为等边三角形时，求线段FM 的长.图1图2图3例2.已知：△ABC 中，∠ACB =900, ∠B =300 ,点P 为边AB 上的一点, ∠EPF =900,PF 与边AC 交于点F ,PE 与边BC 交于点E . 设AP :PB =k(1)如图1，当k =31时，则： AF + _____ BE =21AB ;(2).如图2，当k =1时，线段AF 、BE 、AB 的数量关系为___________________; (3).在(2)的条件下，如图3，连接CP ,EF 交于点K ,将FP 沿着EF 对称，对称后与CP 交于点M ,连接ME ,若AC =3,当ME ∥FP 时，求tan ∠CEM 的值.图3图2图1变式训练：1.等边△ABC 中，BH 为AC 边上的高，点P 为AB 边中点，∠EPF =900,此角的两边与AC 边交于点F ,与高BH 交于点E . (1)如图1，求证: FH +3BE =21AB ; (2)如图2，则线段FH 、BE 、AB 之间满足的关系式为____________;(3)如图3，在(2)的条件下，连接EF ，直线EF 与BC 交于点N ，将FN 沿着FP 对称，对称后与AB 交于点M ,若AC =34,AM :BM =1:3,时，求BN 长度.图2对角互补专题探究（二）1.直线m ∥n ，点A 、B 分别在直线m 、n 上，且点A 在点B 的右侧.点P 在直线m 上，AP =AB ,连接BP ,以PB 为一边在PB 右侧作等边△BPC ，连接AC .过点P 作PD ⊥n 于点D .(1)当点P 在A 的右侧时（如图1），求证：BD =AC(2)当点P 在A 的左侧时（如图2），线段BD 与AC 之间的数量关系为_______________.(3)在(2)的条件下，设PD 交AB 于点N ，PC 交AB 于点M （如图3）.若△PBC 的面积为，求线段MN 的长.图1nmCDPBA图32.如图，直线y = -33kx +4k (k ＞0)与x 轴交于B ,与y 轴交于D ,点O 与点C 是关于直线BD 对称，连接BC ,若AC =34. (1)求k 的值；(2)点P 为OB 的中点，动点E 从点B 出发，每秒1单位速度沿BH 向点H 运动，过点P 做PE 的垂线交AC 于点F ,当点F 与点O 重合时点E 停止运动. 设运动时间为t 秒，△PHF 面积为S ，写出S 与t 点函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围． ()连接PH ,是否存在t 值，使得tan ∠FPH =73，若存在请求t 值，若不存在，说明理由.对角互补专题探究（三）例1．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)，△AEP为直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．(1)若∠BAD=120°(如图1)，求证：BF+DE=EM；(2)若∠BAD=90°(如图2)，则线段BF、DE、EM的数量关系为_____________.(3)在(1)的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的长．变式训练：1.已知：矩形ABCD 中AD K AB=，点E 、F 分别在CD 、CB 上运动，且EAFa ?（角α为锐角）,过E 作EM ∥BC 交AF 于点M ,探究BF 、DE 、ME 之间的数量关系为_______________________________.(1) 当K =3，a =45°时，___________________________.E(2) 当K=3，a=60°时，___________________________.(3) 当K=3，a=30°时，___________________________.2.如图：已知四过形ABCD中AD K=、∠DAB=∠BCD=90°，点E、F分别在CD、CB上AB运动，且EAF a?（角α为锐角）,过E作EM∥BC交AF于点M，探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________.B对角互补专题探究（四）例2.已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M . （1）当∠BAD=60°时(如图1所示)，求证︰BE+FD=FM；（2）当∠BAD=90°时(如图2所示)，则线段BE，DF,FM的数量关系为_______________；（3）在（1）的条件下(如图3所示)，连接DB交AE于点G，交AF于点K，交MF于点N，若BG:DK=3:5，FM=14时，KN的长.B图1F图2图3B D变式训练：1．已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∠BAD =∠ADC ，点F 在CD 边上运动(点E 与C 、D 两点不重合)（1）若∠BAD =90°(如图l )，AD =2AB ，∠EAF =450，求证：DF +2BE =FG（2）若∠BAD =150°(如图2)，AB =AD , ∠EAF =300,则DF 、BE 、FG 的数量关系为 .（3）在（1）的条件下（如图3）DF =4AB =6,直线AF 交直线BG 于点H ，求GH 的长. 图3FF图12.已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ,AB =CD =kAD ,∠BAD =∠ADC ,点E 在CD 边上运动（点E 与C 、D 两点不重合），将AE 绕点A 顺时针旋转30°后与BC 边交于点F ，过点E 作EM ∥BC 交AF 于点M .（1）若k =1, ∠BAD =120°(如图1)，求证:DE +BF =12ME . （2）若k =12, ∠BAD =90°(如图2)，则线段DE 、BF 、ME 的数量关系为 .（3）在（1）的条件下，若CE =2，AE=求ME 的长.图2FE图1对角互补专题探究（五）例3.如图1，正方形ABCD中，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于Q，交边AB的延长线于N.（1）求证DP=MN;（2）若PC：PB=1:3，那么线段QE与QN的数量关系为______________________; （3）如图2，连接BD、MP，绕着点P旋转∠CPM，角的两边分别交边AB、AD于点H、K，交边CD于点R，当四边形DBQM的面积为24，MR：RC=1：2时，求.变式训练：1.已知：在正方形ABCD中，P为直线AD上一点，连接BP,以BP为底边作等腰直角三角形△PBE,连接AE.（1）如图1，当点P在线段AD上时，求证：AB+APAE;（2）如图2, 当点P在线段DA的延长线上时，线段AB、AP、AE的数量关系是（3）在（2）的条件下，过点A作AF∥PE,AF交BC的延长线于F,过点C作∠DCF的平分线，交AF于点H,若AB=4,四边形PBEA的面积为5，求线段CH的长.2.已知等边三角形ABC ，点D 为BC 的中点，∠NDM =120°两边分别交直线AC 、AB 分别于点M 、N .（1）如图1，求证：MC =21AB +BN ； （2）如图2，线段MC 、AB 、BN 的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，将∠NDM 的两边DM 、DN 分别反向延长，交AB 、AC 的延长线分别于点E 、F ，连接EF 若BN =1，CM =2，求EF 的长.图1图2图3BB图2。

专题07 菱形（变式集训）一、单选题1．（2020·四川三台·八年级期末）下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） A ．对边平行且相等 B ．对角线互相平分 C ．每条对角线平分一组对角D ．对角互补【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．【详解】解：A 、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A 选项不符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B 选项不符合题意；C 、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C 选项符合题意；D 、菱形、平行四边形的对角相等，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键．2．（2021·湖南澧县·八年级期中）如图，菱形ABCD 中，130D ∠=︒，则1∠=（ ）A ．30B ．25︒C ．20︒D ．15︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用菱形的性质得出//DC AB ，1DAC ∠=∠，进而结合平行四边形的性质得出答案．【详解】 解：四边形ABCD 是菱形，//DC AB ∴，1DAC ∠=∠，130D ∠=︒，18013050DAB ∴∠=︒-︒=︒，11252DAB ∴∠=∠=︒． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出DAB ∠的度数是解题关键．3．（2018·山东金乡·八年级期中）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE BC ⊥于点E ．若110BAD ∠=︒，则BOE ∠=( )A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒【答案】C【解析】【分析】 根据菱形的性质求出∠OBE,再根据OE∠BC 即可求出∠BOE ．【详解】∠∠BAD=110°,AC 、BD 是菱形对角线, ∠∠OBC=∠OBA=()1180110352︒-︒=︒, ∠OE∠BC,∠∠BOE=90°－35°=55°．故选C ．【点睛】本题考查菱形的性质,关键在于利用对角线平分对角的性质解题．4．（2021·全国·八年级专题练习）菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（ ）A ．6cmB ．C ．8cmD ．10cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形性质得出OB ＝OD ＝3cm ，OA ＝OC ，AC ∠BD ，由勾股定理求出OA ，即可得出答案．【详解】如图所示：∠四边形ABCD 是菱形，∠AB ＝5cm ，OB ＝OD ＝12BD ＝3cm ，AC ∠BD ，∠∠AOB ＝90°，由勾股定理得：OA =4cm ，∠AC ＝2OA ＝8cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 5．（2021·山东牡丹·九年级阶段练习）如图，正方形ABCD 的面积为2，菱形AECF 的面积为1，则E ，F 两点间的距离为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【解析】【分析】 连接AC ，根据正方形ABCD 的面积为2，可得2AC =，再由菱形AECF 的面积为1，得到112AC EF ⋅=，即可求解． 【详解】解：如图，连接AC ，∠正方形ABCD 的面积为2， ∠2122AC = ， 解得：2AC = ，∠菱形AECF 的面积为1， ∠112AC EF ⋅= ， 即1212EF ⨯⨯= ， 解得：1EF = ．故选： A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．6．（2021·广东揭西·九年级阶段练习）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，BC ＝6，则OH 的长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】 直接利用菱形的性质得出AD ＝BC ＝6，AC ∠BD ，进而得出答案．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝BC ＝6，AC ∠BD ，∠H 为AD 边的中点，∠HO ＝12AD ＝3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，正确应用直角三角形的性质是解题关键．7．（2021·湖南·长沙市北雅中学八年级阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断▱ABCD 是菱形的为（ ）A ．AO ＝COB ．AO ＝BOC ．∠AOB ＝∠BOCD ．∠BAD ＝∠ABC【答案】C【解析】【分析】 在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：∠一组邻边相等的平行四边形是菱形；∠对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．【详解】A 、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意B 、由ABCD 中AO BO =可推得AC BD =，可以证明ABCD 为矩形，但不能判定ABCD 为菱形，则此项不符题意C 、当AOB BOC ∠=∠时，因为180AOB BOC ∠+∠=︒，所以90AOB BOC ∠=∠=︒，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知ABCD 是菱形，则此项符合题意D 、由平行四边形的性质可知，180BAD ABC ∠+∠=︒，故当BAD ABC ∠=∠时，可推出90BAD ABC ∠=∠=︒，从而可判定ABCD 为矩形，则此项不符题意故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键．8．（2022·山西太原·九年级期末）将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（ ）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【答案】B【解析】【分析】根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．【详解】展得到的图形如上图，由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，∠四边形ABCD是平行四边形，∠AC∠BD，∠四边形ABCD为菱形，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．9．（2021·浙江浙江·九年级专题练习）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．B．C．D【答案】B【解析】【分析】连接FG ，根据菱形的性质和轴对称的性质可得∠A=60°，AE ＝AF ，BF ＝BG ，进而可证∠AEF是等边三角形及∠BFG 是等腰三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求得EF 和FG 的长，且∠EFG=90°，根据勾股定理即可求得EG 的长．【详解】解：连接FG ，过点B 作BH∠FG 于H ，如图，∠菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，∠∠A ＝60°，∠ABC ＝120°，∠点E 关于∠A 的平分线的对称点为F ，点F 关于∠B 的平分线的对称点为G ，∠AE ＝AF=1，BF ＝BG ，∠∠AEF 是等边三角形，∠∠AFE ＝60°，EF=AF=1∠BF ＝BG ，∠∠BFG 是等腰三角形，∠∠GFB ＝1801202-=30°， ∠∠EFG ＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∠BF ＝4﹣1＝3，∠BH=32，=∠FG ＝∠EG故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理，属于常考基本题型，难度适中，充分利用轴对称的性质是解答的关键．10．（2021·福建·莆田擢英中学八年级期中）如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将∠DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到∠DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：∠∠AED ∠∠GED ；∠四边形AEGF 是菱形；∠∠DFG ＝112.5°；∠BC +FG ＝1.5，其中正确的结论是（ ）A ．∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠【答案】B【解析】【分析】 首先证明∠ADE ∠∠GDE ，再求出∠AEF 、∠AFE 、∠GEF 、∠GFE 的度数，推出AE =EG =FG =AF ，由此可以一一判断．【详解】解：∠四边形ABCD 是正方形，∠AD =DC =BC =AB ，∠DAB =∠ADC =∠DCB =∠ABC =90°，∠ADB =∠BDC =∠CAD =∠CAB =45°， ∠∠DGH 是由∠DCB 旋转得到，∠DG =DC =AD ，∠DGE =∠DCB =∠DAE =90°，在R t∠AED 和R t∠GED 中，,.DE DE DA DG =⎧⎨=⎩∠∠AED ∠∠GED ，故∠正确，∠∠ADE =∠EDG =22.5°，AE =GE ，∠∠AED =∠AFE =67.5°，∠AE =AF ，同理GE =GF ，∠AE =GE =GF =AF ，∠四边形AEGF 是菱形，故∠正确，∠∠DFG =∠GFC +∠DFC =∠BAC +∠DAC +∠ADF =112.5°，故∠正确．∠AE =FG =EG =BG ，BE ，∠BE >AE ，∠AE +BE =AB =1∠AE <12，∠CB +FG <1.5，故∠错误．故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．二、填空题11．（2021·贵州毕节·九年级阶段练习）若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．【答案】6【解析】【分析】由题意直接由菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．【详解】=⨯÷=.解：菱形的面积3426故答案为：6.【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．12．（2021·江苏海陵·八年级期末）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将∠ABE沿BE翻折，点A恰好落在边CD上的点F处，若∠A=63°，则∠BFC的度数为_________．【答案】63°【解析】【分析】由折叠的性质可知，AB=BF，再由菱形的性质即可得到∠C=∠A，BF=BC，则∠BFC=∠C．【详解】解：由折叠的性质可知，AB=BF，∠四边形ABCD是菱形，∠∠C=∠A=63°，AB=BC，∠BF=BC，∠∠BFC=∠C=63°，故答案为：63°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．13．（2021·陕西凤翔·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD .若四边形BEDF 是菱形，则EF 的长为___________.【答案】152【解析】【分析】由矩形的性质可得∠A ＝90°，利用勾股定理计算BD 的长，设BE ＝x ，根据勾股定理列方程可得x 的值，最后菱形的性质和勾股定理可解答．【详解】解：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠A ＝90°，∠6AB ==CD ，8BC ==AD ，∠BD 10=，∠四边形EBFD 为菱形，∠EF ∠BD ，BE ＝DE ，OD ＝12BD ＝5，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝8−x ，在Rt ∠ABE 中，由勾股定理得：AB 2＋AE 2＝BE 2，∠62＋（8−x ）2＝x 2，解得：x ＝254，∠DE＝254，Rt∠EOD中，OE154 =，∠四边形EBFD为菱形，∠EF＝2OE＝152．故答案为：152．【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．14．（2021·安徽怀宁·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，将∠ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将∠CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）四边形BFDE的形状是________．（2）若四边形BFDE是菱形，BE=4，则菱形BFDE的面积为________．【答案】平行四边形【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和面积解答即可．【详解】解：（1）四边形BFDE为平行四边形，理由如下：∠四边形ABCD是矩形，∠∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∠CD，∠∠ABD=∠CDB，由于折叠，∠ABE=∠EBD，∠DCF=∠FDB，∠∠EBD=∠FDB，∠EB∠DF，∠ED∠BF，∠四边形BFDE为平行四边形．故答案是：平行四边形；（2）∠四边形BFDE为菱形，∠BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∠四边形ABCD是矩形，∠AD=BC，∠ABC=90°，∠∠ABE=30°，∠∠A=90°，BE=4，∠AE=2，BF=BE=2AE=4，∠AB∠菱形BFDE的面积为：故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答．三、解答题15．（2021·陕西·西安市第六中学九年级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∠AD，垂足为E．当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．【答案】24 5【解析】【分析】先求出菱形的面积和边长，再求高BE即可．【详解】解：∠菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，AC＝8，BD＝6，∠∠AOB=90°，AO＝4，BO＝3，5AB，菱形的面积为118624 22AC BD⨯=⨯⨯=，∠24 AB BE⨯=，245BE=．【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键根据菱形对角线互相垂直求出边长和面积，利用等积法求出高．16．（2019·福建福清·八年级期中）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，4AB =．求AC 的长(结果保留根号)．【答案】【解析】【分析】利用菱形的性质：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，利用直角三角形中30的性质得到较短的直角边的长，利用勾股定理可得答案．【详解】证明：∠四边形ABCD 是菱形，4CD AB OA OC OB OD AC BD ∴====⊥，，，，在Rt DOC 中，30ACD ∠=︒， ∠122DO CD =＝， 在Rt DOC 中，90DOC ∠=︒，222OC OD CD ∴+=，∠OC =，∠2AC OC ==．【点睛】本题考查的是菱形的性质，考查直角三角形中30所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的计算，掌握以上知识点是解题关键．17．（2020·福建·厦门一中九年级阶段练习）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°． （1）求∠A 的度数；（2）请用尺规作图，在AD 边上找到一点F ，使得∠DBF ＝45°（不要求写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）30°；（2）见解析【分析】（1）根据菱形的性质和三角形内角和即可求∠A的度数；（2）根据尺规作图，作AD的垂直平分线交AD于点F，此时∠DBF＝45°．【详解】解：如图所示：（1）∠四边形ABCD是菱形，∠AD∠BC，AD＝AB∠∠ADB＝∠ABD=∠CBD＝75°．∠∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°．答：∠A的度数为30°；（2）作AD边的垂直平分线，交AD于点F，∠AF＝BF，∠∠FBA＝∠A＝30°∠∠DFB＝∠FBA+∠A=60°∠∠DBF＝45°．【点睛】本题考查菱形的性质及尺规作图,关键在于熟悉菱形的性质并学会尺规作图. 18．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB 的中点，DE∠AB．（1）求∠ABC的度数．（2）如果AC DE的长．【答案】（1）120°；（2）【分析】（1）先证明∠ABD 是等边三角形，可得∠DAB =60°，即可求解；（2）根据菱形的性质，可得AC ∠BD ，AO =12AC 然后根据三角形的面积可得DE =AO ，即可求解．【详解】解：（1）∠E 为AB 中点，DE ∠AB ，∠AE =BE ，∠AED =∠BED ，又DE =DE ，∠∠AED ∠∠BED ，∠AD =BD ，又∠四边形ABCD 是菱形，∠AD =AB ，∠DAB +∠ABC =180°，∠∠ABD 是等边三角形 ，∠∠DAB =60°，∠∠ABC =120°，（2）∠四边形ABCD 为菱形，AC∠AC ∠BD ，AO =12AC在等边∠ABD 中，∠AO ∠BD ，DE ∠AB ，∠S △ABD =12 AO ×BD =12DE ×AB ，∠DE =AO【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握得到等边三角形是解题的关键．19．（2021·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，已知等腰ABC ，AB AC =，AD 平分BAC ∠，E 为AD 上一动点，作EF 平行AB ，交AC 于F ，在AB 上取一点G ，使得AG CF =，连接GF .（1）根据题意补全图形；（2）求证四边形BEFG 是平行四边形；（3）若50BAC ∠=︒，写出一个ABE ∠的度数，使得四边形BEFG 是菱形.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）50ABE ∠=︒，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据题意按步骤画图即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得出FAE FEA ∠=∠，则AF EF =，进而有EF BG =，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）根据菱形的性质有GF EF =，然后利用等腰三角形的性质和平行线的性质即可求解．【详解】（1）补全图形如下：（2）,AB AC AG CF == ，BG AF ∴= ．//EF AB ，BAE FEA ∴∠=∠ ．∠AD 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，FAE FEA ∴∠=∠，AF EF ∴=，EF BG ∴=．//EF BG ，∠四边形BEFG 是平行四边形；（3）50ABE ∠=︒，理由如下：若四边形BEFG 是菱形，则有GF EF =，AF EF = ，AF GF∴=，∴∠=∠=︒．AGF BAC50∠四边形BEFG是平行四边形，GF BE∴，//∴∠=∠=︒．50ABE AGF【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的性质，掌握平行四边形的判定及性质和菱形的性质是解题的关键．20．（2021·河南·登封市嵩阳中学九年级阶段练习）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．(1)求证：BD=EC．(2)当∠DAB=60°时，四边形BECD为菱形吗?请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形．理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的四条边的对边平行且相等可得AB=CD，AB∠CD，再求出四边形BECD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；（2）只要证明DC=DB，即证明∠DCB是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：四边形ABCD是菱形，∠AB=CD，AB∠CD，又∠BE=AB，∠BE=CD，BE∠CD，∠四边形BECD是平行四边形，∠BD=EC；（2）解：结论：四边形BECD是菱形．理由：∠四边形ABCD是菱形，∠AD=AB，∠∠DAB=60°，∠∠ADB，∠DCB都是等边三角形，∠DC =DB ，∠四边形BECD 是平行四边形，∠四边形BECD 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．21．（2021·吉林·九年级专题练习）如图，已知ACB △中，90ACB ∠=︒，CE 是ACB △的中线，连接CE ，分别过点A ，C 作CE 和AB 的平行线相交于点D ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若5CE =，6BC =，求菱形AECD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）24【解析】【分析】（1）根据题意由//,//AD CE CD AE 可得四边形ADCE 是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE AE =进而可得四边形ADCE 是菱形；（2）连接DE 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ，根据勾股定理求得AC ，根据菱形ADCE 的面积公式即可求得．【详解】（1）//,//AD CE CD AE ，∴四边形ADCE 是平行四边形，90ACB ∠=︒，CE 是ACB △的中线，12CE AB AE ∴==， ∴四边形ADCE 是菱形；（2）如图，连接DE ，5CE=，6BC=，210AB CE==，在Rt ABC中，AC8 ==，四边形ADCE是菱形，∴CD CE=，//CD AE，CE EB=，∴四边形CDEB是平行四边形，6DE BC∴==，∴菱形ADCE的面积118624 22AC DE⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．22．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级阶段练习）在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；（2）如图2，过C作CG∥AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）DECF，DEFB，EGCF，AEFD【解析】【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）利用等高模型即可解决问题．【详解】解：（1）∠D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，∠DE 、DF 分别是△ABC 中BC 边、AC 边上的中位线，∠DE ∠BC ，DE ＝12BC ，DF ∠AC ，DF ＝12AC ，∠DE ∠FC ，DF ∠EC ，∠四边形DECF 为平行四边形，又∠AC ＝BC ，∠DF ＝DE ，∠DECF 为菱形；（2）∠CG EF ∥，EG CF ∥，∠四边形EFCG 是平行四边形，∠与ADG 面积相等的平行四边形有：DECF ，DEFB ，EGCF ，AEFD ．【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．23．（2021·广东顺德·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm BC =．点E 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时，点F 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点E ，F 的速度都是0.5cm /s ．连接EF ，AF ，CE ，设点E ，F 运动的时间为s t ．（1）当t 为何值时，四边形ABFE 是矩形？（2）当t 为何值时，四边形AFCE 是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AFCE 的周长和面积.【答案】（1）当6t =时，四边形ABFE 为矩形；（2）当92t =时，四边形AFCE 为菱形；（3）周长15(cm)，面积245(4cm ) 【解析】【分析】 （1）当四边形ABFE 是矩形时，BF AE =，据此求得t 的值；（2）当四边形AFCE 是菱形时，AF EC =，列方程求得运动的时间t ；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长4t =，面积=矩形的面积2-个直角三角形的面积．【详解】解：（1）由已知可得，0.5BF DE t ==，60.5AE CF t ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BF AE =时，四边形ABFE 为矩形，0.560.5t t ∴=-，得6t =，故当6t =时，四边形ABFE 为矩形．（2）由（1）可知，,//AE FC AE FC =，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴当AF FC =时，四边形AFCE 为菱形，60.5t -时，四边形AFCE 为菱形，解得92t =， 故当92t =时，四边形AFCE 为菱形， （3）当92t =时，154=AF ，154CF =， 则周长为：154415(4cm)AF =⨯=， 面积为：215453m ()44c CF AB ⋅=⨯=． 【点睛】 本题考查了菱形、矩形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是注意结合方程的思想．。