初中几何变式

正弦定理公式变式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正弦定理，又称正弦公式，是三角形中的重要定理之一，它描述了三角形中三个边和三个角之间的关系。

正弦定理公式有多种变式，适用于不同情况的三角形。

本文将介绍正弦定理公式及其变式的详细内容，并展示如何应用这些公式解决三角形的问题。

让我们回顾一下正弦定理的基本形式。

对于任意三角形ABC，其三条边长度分别为a，b，c，对应的角度分别为A，B，C，正弦定理可以表示为：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]这个公式说明了三角形中每条边与其对应角的正弦值之间的比例关系。

通过这个公式，我们可以计算出三角形中任意一个角的正弦值，或者通过已知的正弦值来求解三角形中的边长。

而在实际问题中，我们经常会遇到一些特殊情况，需要使用不同形式的正弦定理来求解。

以下是一些正弦定理的变式：1. 以角度为基准的正弦定理当我们已知一个角的正弦值以及其他两个角时，可以利用以这个角为基准的正弦定理来求解三角形的边长。

已知三角形中角A的正弦值为sinA，角B和角C的度数已知，则可以利用以下公式计算边长：通过这个公式，我们可以在已知一个角的情况下，求解出其他两个角所对应的边长。

2. 两倍角正弦定理在某些情况下，我们需要计算三角形中角度的两倍角的正弦值，这时可以使用两倍角正弦定理来求解。

该公式表示为：\[2\sin A\cos A = \sin 2A\]通过这个公式，可以将角A的正弦值和余弦值联系起来，进一步求解角A的两倍角的正弦值。

3. 倒数定理有时候我们需要找到一个角的余弦值，但只知道其正弦值，这时可以使用倒数定理来求解。

倒数定理表示为：\[\cos A = \frac{1}{{\sec A}} = \frac{1}{{\frac{1}{{\cos A}}}} =\frac{1}{{\frac{1}{{\sin A\div\sqrt{\sin^{2}A+\cos^{2}A}}}}} =\frac{\sqrt{\sin^{2}A+\cos^{2}A}}{\sin A}\]总结而言，正弦定理及其变式是解决三角形问题的基础工具之一。

巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题摘要：几何变式题一直是学生比较害怕的题型，文章通过三个例题的分析，让学生感受“复制、粘贴法”在几何变式题中的应用，从而得到推理能力的提升．培养和发展学生的数学推理能力不仅是数学学科价值的体现，同时也是“核心素养”的基础性条件．关键词：几何变式题、解法研究、核心素养初中阶段尤其是基础不好的学生对于几何压轴题往往都有畏难情绪，一看到冗长的题目，连题目都还没看清，就开始打退堂鼓，更不用说好好思考并解决了．现在我来介绍一类几何压轴题，并没有那么难“对付”，相信你能从中得到一点启发．接下来我从几个题目入手讲解如何用“复制、粘贴法”解决几何变式题．1.点的移动带来的变式例1．（2019•抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为_________．（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．此题是2019年抚顺的中考题，是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；此题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．第1、2小题的区别在于点E是否为CD的中点，学生可以通过测量图1与图2中的BP、QC、EC的长度，初步猜想这三条线段都存在BP+QC=EC。

由于正方形的四边相等，只要满足PQ=DE即可证明猜想，线段EG又是由线段EP绕点E顺时针旋转90°得到的，可得EP=EG，只要证明△PEQ≌△EGD即可完成，证明过程如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，∴∠PEQ+∠GEH＝90°，∵QH⊥GD，∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，∴∠PEQ＝∠G，又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，∴∠EPQ＝∠GED，在△PEQ和△EGD中，，∴△PEQ≌△EGD（ASA），∴PQ＝ED，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；第1、2小题的解题过程是一模一样的，完全可以用“复制、粘贴”的方式来完成证明。

初中几何等腰三角形三线合一经典题型及变式题汇总三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。

所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。

必然三线合一。

今天主要举例说明一下等腰三角形三线合一，求解的问题。

并出几个变形题目，供大家练习，在从其他方面来解答等腰等腰三角形问题。

题：如图1，等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上的点。

求证：PA^2=AB^2-PBPC。

证明：作高AD。

则由勾股定理，得AB^2-PA^2=BD^2+AD^2-( PD^2+AD^2)= BD^2-PD^2=(BD-PD)(BD+PD)=PB（BD+PD），因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以BD+PD=DC+PD=PC，所以AB^2-PA^2=PBPC，所以PA^2=AB^2-PBPC。

变式一：如图2，D是等腰△ABC底边BC延长线上的点，AB=AC=CD=2BC，则AD：BC=______。

（答案：√10）变式二：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是底边BC延长线上的点。

求证：PA^2=AB^2+PBPC。

（提示：作△ABC的高AD）变式三：已知等腰Rt△ABC中，AB=AC=2√2，∠BAC=90°，P 是BC上的点，Q是BC延长线上的点，且∠PAQ=90°，如果PQ=5，则PB=______.(答案：1)初中英语下册期末复习第11单元重点知识汇总Unit11 How was your school trip?【重点单词】milk v.挤奶cow n.奶牛milk a cow 给奶牛挤奶horse n.马ride a horse 骑马feed v.喂养；饲养feed chickens 喂鸡farmer n.农民；农场主quite adv.相当；安全quite a lot(of…) 许多anything pron.（常用于否定句或疑问句）任何东西；任何事物grow v.种植；生长；发育farm n.农场；务农；种田pick v.采；摘excellent adj.极好的；优秀的countryside n.乡村；农村in the countryside 在乡下；在农村yesterday n.昨天flower n.花worry v.担心；担忧luckily adv.幸运地；好运地sun n.太阳museum n.博物馆fire n.火灾fire station 消防站painting n.油画；绘画exciting adj.使人兴奋的；令人激动的lovely adj.可爱的expensive adj.昂贵的cheap adj.廉价的；便宜的slow adj.缓慢的；迟缓的fast adv&adj快地（的）robot n.机器人guide n.导游；向导gift n.礼物；赠品all in all 总的说来everything pron.一切；所有事物interested adj.感兴趣的be interested in 对……感兴趣dark adj.黑暗的；昏暗的hear(heard）v.听到；听见【重点短语】1. school trip 学校旅行2. go for a walk 去散步3. milk a cow 挤牛奶4. ride a horse 骑马5. feed chickens 喂鸡6. talk with a farmer 与农民交谈7. take some photos 照相8. ask some questions 问一些问题9. grow apples 种苹果10. show sb. around splace. 带某人逛某地11. learn a lot 学到许多12. pick some strawberries 摘草莓13. last week 上周14．In the countryside 在乡村15. visit my grandparents 拜访我的祖父母16. go fishing 去钓鱼17. sound good 听起来很好18. climb the mountains 去爬山19. play some games 玩一些游戏20. visit a museum 参观博物馆21. visit a fire station 参观消防站22.draw pictures 画画23. go on a school trip 去旅行24 visit the science museum 参观科技博物馆25. how to make a model robot 如何制作机器人模型26. gift shop 礼品店27. buy sth for sb. 为某人买某物28. all in all 总得来说29. be interested in... 对…感兴趣30. be expensive 昂贵的31. not...at all 一点儿也不【重点句型】1.—Did you see any cows?你见到奶牛了吗一Yes, I did. I saw quite a lot.我见到了而且见到了很多很多2.—Did Carol take any photos?罗尔拍照片了吗？—Yes, she did.是的，她拍了。

CBAS 2S 3S 1CBAS 3S 2S 1S 3S 2S 1CBA一题多解、一题多变原题条件或结论的变化所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。

通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。

例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。

变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。

变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ ……通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。

一、几何图形形状的变化如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是图1 图2 图3E S 3S 2S 1DCBAS 3S 2S 1ABCDABCD S 3S 2S 1变式1：如图2，如果以Rt ∆ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式2：如图3，如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式3：如果以Rt ∆ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。

浅谈初中数学教材几何习题的变式教学摘要：初中数学具有较强的抽象性和逻辑性，必须让学生深入理解知识的本质，才能够提高学生学习效果，实现知识的迁移运用。

习题变式教学有助于学生深入理解知识本质，落实一题多解、多题一法。

为强化初中几何教学效果，本文通过文献法和经验法对几何习题变式教学进行了研究，从变式教学的意义和策略两方面展开详细研究，以供参考。

关键词：初中数学；几何习题；变式研究引言：随着教育教学改革的深入，提升学生的核心素养变得愈发重要。

在这样的教育背景下，教师应该注重教学模式的优化，提高学生学习自主性，让学生在学习知识、训练技能的过程中，核心素养能够得到提升。

几何习题变式教学在核心素养培养上具有积极作用，赋予了学生更多的思考空间，在一定程度上加强了学生对几何基础知识的理解，能够促使学生深度学习，进行几何习题的探索。

基于此，教师应当注重初中数学教材几何习题的变式教学，以提高学生学习效果。

一、初中数学教材几何习题变式教学的意义在初中数学几何教学中，教师进行习题变式教学对学生核心素养的提升具有积极意义。

在传统的几何教学中，关于结合概念等知识学生习惯死记硬背，这样的学习模式下，学生的思维十分固定，只能解决标准化习题。

当题目出现一定的变形时，很多学生就会不知所措，主要原因在于不能理解知识的本质。

教师通过几何习题变式教学，可以让学生通过不同的习题深入感知几何概念，提高学生举一反三的能力。

除此之外，几何习题变式教学强调以学生为中心，引导学生主动进行知识的探索和分析，有助于学生学习兴趣的提升，强化学习效果。

二、初中数学教材几何习题变式教学的策略（一）注重习题典型资源的收集与分析从近几年中考数学几何习题上分析，很多题目源于教材中的习题，对教材中的习题进行了变式，难度并不大。

但是从学生们做题的实际情况上看，教材中涉及的几何题目，大部分学生都能够进行正确解答，但是对于中考的变式题目，很多学生在做题中出现了问题。

基于此，教师在进行教材中几何习题教学的过程中，不应该局限在教材题目中，应该适当进行习题变式，让学生以递进的形式进行习题练习，以此来促使学生深入理解知识的本质，对几何变形题有深刻的认识。

用好几何画板，提高初中数学课堂教学中变式训练的有效性摘要：新课程改革要求数学教学中开展变式教学，增强学生解决问题的能力。

因此，初中数学教学中要设置变式教学情境；培养学生变式意识；提高学生应对变式问题的解决能力。

几何画板是一种工具软件，它能够在数学课堂中发挥重要的作用，它可以有效地改善教学环境，激活数学教材内容，可以把静止的图形变得运动起来，可以准确测算并处理数据。

它可以很好地适应新课改的初中数学教学要求，满足改善新课标的教学手段，实现初中数学变式教学。

关键词：几何画板；初中数学；课堂教学；变式训练初中数学教学提倡变式教学，所谓变式教学就是对同一问题，从不同的角度和思维去思考，在保持事物核心本质不变的前提下，使事物外在属性发生变化。

简单地说，就是换位思考，初中数学教学可以通过变式教学实现创新，帮助学生更加深刻地理解知识结构。

那么，如何才能使变式教学运用得当呢？要解决这个问题就要用到几何画板，发挥几何画板的作用来实现变式教学的可行性。

一、变式教学的有效性原则1.变式教学的变式设计要有差异性设计数学的问题变式，要注重一个“变”字，但是问题的设置又不能过于简单，不能让学生进行简单重复，要在教学中体现“一题多解、一题多变、一题多思、多题一法”的理念。

这方面的例子很多，尤其是几何证明题。

例1.已知，如图1，点o是等边△abc内一点，oa=4，ob=5，oc=3，求∠aoc的度数。

练习：把此题适当变式：变式1：如上图，在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，oa=4，ob=6，oc=2，求∠aoc的度数。

变式2：如下图，点o是等边△abc内一点，∠aob=110°，∠boc=135°。

试问：（1）以oa、ob、oc为边能否构成一个三角形？若能，请求出三角形各内角的度数；若不能，请说明理由。

（2）如果∠aob的大小保持不变，那么当∠boc等于多少度时，以oa、ob、oc为边的三角形是一个直角三角形？2.变式教学的针对性目的变式教学的目标很明确就是通过教学中利用知识的灵活性，提高学生应对复杂问题的能力，那么如何才能实现这种变式教学的目的呢？首先要培养学生的灵活性，在课堂中设置一题多变的变式题目，变换题目的条件或者结论，而题目的本质不发生变化，以不同形式、不同角度来揭示题目本质。

余弦定理的变式及其应用举例余弦定理是广为使用的几何学中定理，有着广泛的应用。

一般而言，它定义了在带有三条边的三角形中，两条边的乘积除以它们临边的余弦之乘积等于第三条边的平方（a²=b²+c²-2bc*cosA）。

以下是它最常见的一些变式，以及它们的应用举例。

一、泊松余弦定理泊松余弦定理是余弦定理变式，它定义了在带有四条边的四边形中，相邻连线段的乘积除以它们临边的余弦乘积，加上沿着外围的两条相邻的边的乘积的总和，等于最外面的角的平方（B²=a²+c²+2ac*cosA+2bc*cosB）。

应用举例：用泊松余弦定理解决日常现象。

如，排球比赛的时候，有一张台面的面积是8平方米，它的三个顶点的边长分别是2m,2.5m,2.5m，求台面的最外角的度数。

解：8=2 * 2.5 *cosB+2² *cosA，即cosA=(8-2²*cosB)/2*2.5；A=arccos((8-2²*cosB)/2*2.5)；B=arccos((8-2*2.5*cosA)/2²)；因此，最外角的度数为B=59.33度。

二、Jacobi-Bolyai-Gauss定理Jacobi-Bolyai-Gauss余弦定理是一个多边形余弦定理，它定义了在由M 条边构成的多边形中，相邻两条边的夹角余弦乘积的总和，等于第M 条边与第一条边的余弦乘积的积（cosA1*cosA2+cosA2*cosA3+…+cosAn*cosA1=cosA1*cosAn）。

应用举例：通过Jacobi-Bolyai-Gauss定理，可以解决多边形某一角度的大小问题。

例如，已知正八边形的八个角的余弦分别是x,x,-x,-x,x,x,-x,-x（x > 0），试求第3角的余弦值。

解：设第三角的余弦值为y，则有：x*x+x*(-x) + (-x)*y + y*x = x*x；y*y=2x*x-2x*x=2x*x；因此，第3角的余弦值为y=±√2x*x。

常见的几何习题变式方法题设和结论互换的问题1、已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC 。

求证：AB=AC.变式：（1）、已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AB=AC. 求证：AD ∥BC 。

（2）、已知：∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，AB=AC.求证：∠1=∠2。

EA D CB 12E A D C B 1 2E A D C B 1 22、如图，∠B =∠C=90°,E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC 。

求证：AE 是∠DAB 的平分线。

变式：在梯形ABCD 中，AM 平分∠BAD ，BM 平分∠ABC ，交点M 在CD 上。

求证：M 为CD 的中点，且AB=AD+BC 。

3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上。

试探究线段BE 和CD 的数量关系，并证明你的结论。

变式：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°, 2BE=CD ， BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上。

求证：CD 平分∠ACB 。

D CE B A A D M CB ADE BADE B综上所述：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,①CD 平分∠ACB ，②2BE=CD ，③BE ⊥CD.从三个条件中选取2个作为题设，1个作为结论，写出正确的命题，并加以证明。

4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,点D 在线段BC 上，∠EDB=21∠C ，BE ⊥DE ，垂足E,DE 与AB 相交于点F 。

试探究线段BE 和FD 的数量关系，并证明你的结论。

变式：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,点D 在线段BC 上，2BE=FD ， BE ⊥DE ，垂足E,DE 与AB 相交于点F 。

初中几何变式题1、已知正方形ABCD 中，中，E E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F ，连接DF DF，，G 为DF 中点，连接EG EG，，CG CG．．（1）求证：）求证：EG=CG EG=CG EG=CG；；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG EG，，CG CG．问（．问（．问（11）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（应的线段，问（11）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．么结论（均不要求证明）．2、如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE AE，，GC GC．．（1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC GC．你认为（．你认为（．你认为（11）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．给出证明；若不成立，请说明理由．3、Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE DE，，DF 分别交线段AC 于点M ，K ．（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，60°时，AM+CK AM+CK 与MK MK（填“＞”，（填“＞”，“＜”或“=”）；“＜”或“=”）；②如图4，当∠CDF=30°时，，当∠CDF=30°时，AM+CK AM+CK 与MK MK（只填“＞”或“＜”）；（只填“＞”或“＜”）；（只填“＞”或“＜”）；（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK AM+CK AM+CK＞＞MK MK，证明你所，证明你所得到的结论；（得到的结论；（33）如果MK2+CK2=AM2MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF ，请直接写出∠CDF 的度数的度数4.、已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，∠CAB=90°，直线m 过点O ，过A 、B 、C 三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E 、F ．（1）当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE BE、、CF 和AD 三者之间的数量关系并证明；三者之间的数量关系并证明；（2）当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD AD、、BE BE、、CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．（3）如图3，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD AD、、BE BE、、CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明，论，不需证明，5、已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ADEF，使∠DAF=60°，连接，使∠DAF=60°，连接CF CF．．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC 是否成立；成立；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC 是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC 之间存在的等量关系．之间存在的等量关系．6、如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角扳的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：）求证：EF=EG EF=EG EF=EG；；（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（上，其他条件不变，（11）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（，将（22）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB=a AB=a、、BC=b BC=b，，。

初中几何中线段和与差最值问题（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.nABEDnABA'PQAA'二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nPmnABmnAP mnAB（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线mmOP'PmO B B'mOP mO AB作法：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 同侧： 基础题1．如图1，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．ABEQ PBQQ2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图3，在锐角三角形ABC中，AB=52∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。

《几何图形》例题讲解与变式知识点1：生活中的立体图形例1请你分别举出在学校中常见的类似于下列几何体的两个实例．长方体：圆柱体：圆锥体：棱柱体：球体：分析要举出实例，我们必须掌握这几种几何体的特征．如长方体是由六个面组成，至少有四个面是长方形，另两个面可能是长方形，也可能是正方形，并且长方体相对的两个面是完全相同的两个长方形式正方形．所以，我们在学校常见的装墨水瓶的纸盒，桌子上平放的教科书等．解长方体：装墨水瓶的纸盒，桌子上平放的教科书．圆柱体：没有使用过的圆柱形铅笔，圆柱形水桶．圆锥体：学校实验室里用的圆锥形漏斗的圆锥形部分，圆口形防火用桶的底部．棱柱体：师生骑的自行车上的六角螺母，楼房中的混凝土房梁．球体：学校的体育用品足球、乒乓球．点评：（1）我们在把学校实验室里用的圆锥形漏斗的圆锥形部分看成圆锥时，我们是把圆锥形部分和管的接口看成了一点．（2）圆柱体和棱柱体自身的上下两个底面是完全相同的两个图形，否则就不是圆柱体或棱柱体．如上底大、下底小的圆口形水桶，就不是圆柱体．变式练习1在下面四个物体中，最接近圆柱的是（）变式练习2 如图，上面一行是一些具体的实物图形，下面一行是一些立体图形，试用线连接立体图形和类似的实物图形．参考答案：1、C2、知识点2：几何体的分类例2把下面几何体的标号写在相对应的括号里．长方体：（）棱柱体：（）圆柱体：（）球体：（）圆锥体：（）分析该题就是按括号前给出的几何体的名称进行分类，属于哪类的图形就把这个图形的标号写在对应的括号中．解长方体：（（2）（5）（8））棱柱体：（（2）（4）（5）（8））圆柱体：（（1）（3）（6））球体：（（7）（9））圆锥体：（（10））点评（1）在判断几何体的类别时应注意抓住几何体的本质特征，不要受几何体的摆放角度所影响，如（1）（3）（6）虽然大小不一样，摆放的角度也不一样，但都是圆柱体．（2）长方体、正方体都符合棱柱体的特征，所以都是棱柱体．变式练习1 指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．变式练习2观察图中的立体图形：（1）分别写出它们的名称．（2）请将以上几何图形分类，并说明理由．参考答案：1、①②⑤⑦⑧是柱体；④⑥是锥体；③是球．2、（1）它们的名称分别是：球；六棱柱；圆锥；正方体；三棱柱；圆柱；四棱锥；长方体；（2）分类：①球体：球．②柱体：六棱柱，正方体，三棱柱，长方体：③锥体：圆锥、四棱锥．知识点3：点、线、面、体例3 图中的立体图形是由哪个平面图形旋转后得到？请用线连起来．分析三角形旋转可得圆锥，长方形旋转得圆柱，半圆旋转得球，结合这些规律直接连线即可．解如图．点评熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的关键．变式练习1 如图，各图中的阴影图形绕着直线l旋转360°，各能形成怎样的立体图形？变式练习2如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来．参考答案：1、圆柱、圆锥、球．2、。

教学方式，几何教学一直是初中数学教学中的难点，将变式教学与初中几何教学相结合，能够使学生加深对初中几何的理解，有效提升学生对初中几何的应用能力，使学生在学习过程中掌握自主探究的方式。

本文阐述了变式教学时需要注意的原则，分析了变式教学在初中几何数学中的具体应用，希望能为提升初中几何数学的教学效率、推进素质教育提供一些借鉴和方向。

关键词：变式教学；初中几何；初中数学；应用探究变式教学是能够加强教师与学生沟通、有效训练学生发散思维的教学方式。

变式教学能够激发学生的创造性，为学生提供多种思考问题的角度，能在引导学生进行思考的同时，加深学生对基础几何概念的理解，使得课堂教学效率大幅提升。

变式教学留给了学生更多的思考空间，能够促使学生在思考过程中学会向教师求助，能有效改善传统课堂中教师与学生缺乏互动的问题。

一、变式教学的原则（一）针对性原则在以往的初中几何教学中，很多教师对变式教学的内涵以及作用不够明确，在课堂上与学生之间的互动性不强，以为学生灌输理论知识为主，使得学生的思维能力难以提升，影响了初中学生个性化的发展。

同时，很多教师的教学内容缺少针对性，设置的教学目标也比较笼统。

而素质教育的推进使得学生的个性、创造力越来越被重视，不同于传统的课堂教学，素质教育下的课堂教学要以释放学生的天性为目标。

因此，在将变式教学应用到初中数学几何教学中时，教师要尊重每个学生的个性，对学生进行个性化教学，帮助学生解决学习中产生的个性化问题，有针对性地提升学生的数学能力。

习题变式课堂与普通的习题课堂不同，不是单纯对学生进行习题训练，教师在进行变式习题选择时，需要注意使变式习题类型与课程内容吻合，使所选的变式习题能提升初中几何课堂的教学效率。

在习题选择与习题讲解两个环节，教师都需要遵循针对性的指导原则。

（二）合理性原则变式教学在教学效果方面较传统教学方法突出，其难度也在传统教学方式之上。

变式教学法对学生要求高，需要学生有较强的抗挫折能力、自我学习能力。

FE D A 对角互补模型变式一、基本图形如图，点D 为△ABC 外一点，连接BD ，CD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长线于点E ，作AF ⊥CD 于点F .①AB ＝AC （可换为“点A 在线段BC 中垂线上”或“∠ABC ＝∠ACB ”）②∠BAC ＝∠BDC （可换为“∠ABD ＝∠ACD ”或“∠BAC ＋∠EDF ＝180°”） ③AD 平分∠EDF （可换为“∠ADC ＝90°－12∠BDC ”或“AE ＝AF ”）④CD －BD ＝2DE （可换为“CD －BD ＝2DF ”或“CD ＋BD ＝2BE ”或“CD ＋BD ＝2CF ”） ⑤∠ADC ＝∠ABC （可换为“∠BAD ＝∠BCD ”或“∠ADE ＝∠ACB ”） 结论如下：（1）若①②成立，则③④⑤成立； （2）若①③成立，则②④⑤成立；（3）若②③成立，则①④⑤成立；（4）若③④成立，则①②⑤成立； （5）若①④成立，则③④⑤成立； （6）若①⑤成立，则②③④成立. （7）若②④成立，则①③⑤成立； 注：（1）-（3）要熟知，（4）（5）（6）要会，（7）能懂即可，不要求掌握.二、应用举例 【例】1、（2015年武昌7校八上期中）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝78°，∠BDC ＝24°，则∠DBC ＝（ ） A .18° B .20° C .25° D .15°A BCD2、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，E 在边AB 上，连接DE ，CE . （1）如图1，若AD ∥BC ，∠AED ＝∠ACD ，求证：DC ＝DE ； （2）如图2，若DC ＝DE ，∠CDE ＝∠BAC ，求证：AD ∥BC .图1图2EDCBAABCDE【练】1、在四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若∠ACD ＝∠ADC ＝α，∠ACB ＝∠ADB ，则∠CBD ＝__________.AD2、如图，点C 为△ABD 外一点，连接CA ，CD .（1）如图1，若∠B ＝∠C ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，请探究∠ADB 与∠BDC 的数量关系； （3）如图3，若AB ＝AC ，∠ADB ＝90°﹣12∠BDC ，求证：∠B ＝∠C .图3图2图1ABDABD D BA【例】1、（2015武昌八上期末、2016洪山八上期中）已知△ABC 和△DEF 为等腰三角形，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ，点E 在AB 上，点F 在射线AC 上. （1）如图1，若∠BAC ＝60°，点F 与点C 重合，求证：AF ＝AE ＋AD ； （2）如图2，若AD ＝AB ，求证：AF ＝AE ＋BC .图1图2FE DC BAF ( )E DC BA2、如图，点A 是线段BC 的垂直平分线上一点，D 为△ABC 外一点，连接DA 、DB 、DC . （1）过点A 作AE ⊥BD 交BD 延长于点E ，若∠BDC ＝∠BAC ，BE ＝5，求BD ＋CD 的值； （2）若∠DAB ＝∠DCB ，∠BDC ＝60°，求证：AD ＋BD ＝CD .E AB DDA【练】1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝∠ACD ＝60°，求证：BD ＋DC ＝AB .DCBA2、（2015七一八上10月）如图，BD ＝CD . （1）如图，若AD 平分∠BAC 的外角，①求证：∠ABD ＝∠ACD ；②试探究∠BAD 与∠BCD 的关系并证明；（2）如图，若∠ADB ＝∠ACB ，求证：AD 平分∠BAC 的外角.EDC B AEDCB A【例】1、（2016年勤学早八上轴对称周练）如图1，A 是OB 的垂直平分线上一点，P 为y 轴上一点且∠OPB ＝∠OAB . （1）若∠AOB ＝60°，PB ＝4，求点P 坐标； （2）在（1）的条件下，求证：P A ＋PO ＝PB ；（3）如图2，若点A 是OB 的垂直平分线上一点，已知A （2，5），求PO ＋PB 的值.图2图12、如图，在平面直角坐标中，点A 、B 分别在x 轴负半轴和正半轴上，且关于y 轴对称，点C 在y 轴正半轴，连接AC ，BC ，BD . （1）若∠ACD ＝2∠ABD ，求证：AC ＝CD ；（2）在（1）的条件下，若点E 、F 分别在AC 的延长线和CB 的延长线上，且DE ＝DF ， 求CF －CE CO的值.【练】1、如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（1 ，0），点C 的坐标是(1，0)，点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内一动点，且∠BAC ＝2∠BDO ，过D 作DM ⊥AC 于M . （1）求证：∠ABD ＝∠ACD ；（2）若点E 在BA 延长线上，求证：AD 平分∠CAE ；（3）当A 点运动时，AC －ABAM的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系中，OA ＝OB ＝OC ＝2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接P A 、PB ，D 为AC 的中点.（1）如图1，设点P 运动时间为t 秒，问：当t 为何值时，DP 与DB 垂直且相等；（2）如图2，若P A ＝AB ，在第一象限内有一动点Q ，连QA 、QB 、QP ，且∠PQA ＝60°，问：当Q 在第一象限内运动时，∠APQ ＋∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.图1图2。

初中数学七年级上册《从三个方向看物体的形状》例题讲解与变式例1 画出下面几何体的主视图、左视图、俯视图。

分析：这是五个立方体的组合体，从正面看刚好看到五个正方形，从左面看是上下两个正方形，从上面看是四个正方形排成一排。

解其主视图是：其左视图是：其俯视图是：说明：在做这类题时，开始最好能借助模型实际的观察，逐渐来锻炼我们的空间想像力．变式练习1 画出如图所示立体图形的三视图（相当于在平放着的一块砖的中间靠后又立放着一块砖）．变式练习2 如图是由6块积木搭成的，这几块积都是相同的小正方体．指出下图中三个平面图形是它的哪个视图．参考答案：1、三视图如下：2、左视图，正视图，俯视图．例2 选择题如图（l），是一个几何体的主视图、左视图、俯视图，则它所对应的几何体是（）分析由主视图可知其对应的几何体可能是B和C；由左视图可知其对应的几何体可能是A和B；由俯视图可知其对应的几何体可能是B和D．所以应选B．解选B说明：这个题也可以采用依次淘汰的方法来确定对应的几何体．由主视图可知A和D不是，由左视图可知C不是，所以只有B是．变式练习1 如图，根据下列三视图，画出与它对应的立体图形．变式练习2 根据已知三视图，画与之对应的立体图形（如图）．变式练习3 如图是由几个小正方体所搭几何体的俯视图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出这个几何体的左视图．参考答案：1、解：根据三视图的条件，可知立体图形应是三棱锥．上图就是满足三视图的立体图形．2、解：根据图形条件以及三视图，可以判断它是一个正方体与圆台组合而成的立体图形．依题意，有如图，就是满足三视图条件的立体图形．3、如图：。

菱形一线三等角变式菱形一线三等角变式是一种几何学上的变换形式，它可以帮助我们更加深入地理解和掌握菱形的属性和特点。

它在数学教学中被广泛应用，并且在实际生活中也有很多应用场景。

首先，让我们来看一下什么是菱形一线三等角变式。

在传统的菱形中，我们知道菱形的两个对角线是相等的，并且对角线相交的点将菱形分成了四个全等的三角形。

而菱形一线三等角变式则是在菱形的一个边上连接三等分线，使得这条边被分成了三个相等的部分，同时保持菱形的形状和面积不变。

这样做的好处在于通过这种变换，我们可以更加直观地观察到菱形内部各部分的关系，从而更好地理解菱形的性质。

接下来，让我们来看一下菱形一线三等角变式的一些具体应用。

首先，它可以帮助我们更好地理解和掌握三等分线的性质。

通过观察菱形一线三等角变式，我们可以发现，三个相等的线段将菱形的一个边等分，同时将菱形的两个内角分成了三个相等的角。

这种性质在几何证明中非常有用，可以帮助我们解决一些关于角度的问题。

此外，菱形一线三等角变式还可以用来解决一些实际生活中的问题。

比如，假设我们想建造一个尽可能稳定的栅栏，我们可以利用菱形一线三等角变式来设计栅栏的结构。

通过将菱形的一边等分为三个部分，并且保持菱形的形状和面积不变，我们可以保证栅栏的固定点分布均匀，从而增加整体的稳定性。

要掌握菱形一线三等角变式，在学习的过程中，我们可以通过几何图形的绘制和推理来加深理解。

同时，通过大量的练习和实践，我们可以提高解决问题的能力和水平。

当然，对于一些复杂的问题，我们还可以借助辅助工具，比如使用计算机软件进行模拟和分析，从而更好地理解和应用菱形一线三等角变式。

总之，菱形一线三等角变式是一种重要的几何学变换形式，它在数学教学和实际生活中都具有广泛的应用价值。

通过学习和掌握菱形一线三等角变式，我们可以更好地理解几何学中的菱形特性，并且能够应用到实际问题中去。

因此，我们应该积极地学习和运用菱形一线三等角变式，以提高我们的数学能力和解决问题的能力。