函数单调性的定义与应用之欧阳歌谷创作

高中数学公式及知识点速记欧阳学文1、函数的单调性(1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； 若()=0f x '，则)(x f 有极值。

2、函数的奇偶性若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。

若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦ax x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '=5、导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()u u v uv v v-=.6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时：① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值；② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂(1)m na =.(2)1m nm naa-==.8、根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.9、有理指数幂的运算性质(1)r s r s a a a +⋅=； (2)()r s rs a a =； (3)()r r r ab a b =. 10、对数公式（1）指数式与对数式的互化式:log b a N b a N =⇔=。

课题：函数的单调性(二)复合函数单调性北京二十二中刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AÍB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)(教师板书，可适当略写.)例求下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k≠0).解当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b 2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a ＞0，a≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=xn(n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何?生：它在(－∞，+∞)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书)引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.(板书)师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1 求下列函数的单调区间：y=log4(x2－4x+3)师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案?生：这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么?生：……生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢?生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做?生：求定义域.师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.(板书)解设 y=log4u,u=x2－4x+3.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢?生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象?可咱们并没学过画复合函数的图象啊?这个问题你想如何解决?生：……师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围?或是求中间量u的取值范围?生：求x的取值范围.师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.(板书)师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.(板书)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＜2 (u减)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.(板书)u=x2－4x+3=(x－2)2－1,x＞3或x＜1，(复合函数定义域)x＞2 (u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：下面咱们再看例2.(板书)例2 求下列复合函数的单调区间：1 (2x－x2)y=log3师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书)1u,u=2x－x2.由解设 y=log3u＞0u=2x－x2解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.1u在定义域(0，+∞)内是减函数，由于y=log3所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由0＜x＜2 （复合函数定义域）x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由x＜2， (复合函数定义域)x≥1， (u减)解得0≤x＜2,所以[0，1＝是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内.师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写.(板书)例3 求y=267x x --的单调区间.(几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法，以使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.)解 设y=u ,u=7－6x －x2,由u≥0,u=7－6x －x2解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.因为y=u 在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。

定理
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01

函数的单调性和奇偶性 欧阳歌谷（2021.02.01）经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数x x f 1)(=在(0，+∞)上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x 1、x 2(x 1≠x 2)， 令△x =x 2−x 1＞0则∵x 1＞0，x 2＞0，∴01>x ，02>x ，021<-x x ， ∴上式＜0，∴△y =f(x 2)−f(x 1)＜0∴x x f 1)(=在(0，+∞)上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x 1，x 2是区间上的任意实数，且x 1＜x 2，则∵0＜x 1＜x 2≤1 ∴x 1−x 2＜0，0＜x 1x 2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)−f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2−3|x|+2； (2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(−1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x−1为增函数，在(−∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(−∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2−a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(−3，−2)∪(−2，1)；(2)y=x2−2x+3； 1)x∈[−1，1]； 2)x∈[−2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(−1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=−2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2−(a−1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22−2(a−1)+5=−2a+11又∵a≤2，∴−2a≥−4∴f(2)=−2a+11≥−4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2−4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|−|x−3|(5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x−1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有−x∈R，且f(−x)=x2−4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2−4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(−x)=|−x+3|−|−x−3|=|x−3|−|x+3|=−f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=−x|x|+x∴f(−x)=−(−x)|−x|+(−x)=x|x|−x=−f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|−|x−1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(−x)=|−x+1|−|−x−1|=−(|x+1|−|x−1|)=−f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(−x)=(−x)2+(−x)+1=x2−x+1∴f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则−x＜0，∴f(−x)=(−x)2+2(−x)−1=x2−2x−1=−(−x2+2x+1)=−f(x)任取x＜0，则−x＞0 f(−x)=−(−x)2+2(−x)+1=−x2−2x+1=−(x2+2x−1)=−f(x)x=0时，f(0)=−f(0) ∴x∈R时，f(−x)=−f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−[f(x)+g(x)]=−F(x)G(−x)=f(−x)·g(−x)=−f(x)·[−g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3−b x−8，且f(−2)=10，求f(2).解：法一：∵f(−2)=(−2)5+(−2)3a−(−2)b−8=−32−8a+2b−8=−40−8a+2b=10∴8a−2b=−50 ∴f(2)=25+23a−2b−8=8a−2b+24=−50+24=−26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(−2)=−g(2) ∴f(−2)+8=−f(2)−8∴f(2)=−f(−2)−16=−10−16=−26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2−x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，−y=(−x)2−(−x)即y=−x2−x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1) (2) (3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C． D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A． B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C． D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或.8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。

目录一、函数与极限21、集合的概念22、常量与变量32、函数43、函数的简单性态54、反函数55、复合函数66、初等函数77、双曲函数及反双曲函数88、数列的极限99、函数的极限1110、函数极限的运算规则13欧阳科创编一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

即A A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

函数单调性的判断或证明方法.（1）时间：2021.03.08 创作：欧阳与（2）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（3）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

函数的单调性1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。

（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。

1. 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;3. 会用定义证明一些简单函数的单调性.自学评价x观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律:(1).x x f =)(的图象是_________的，2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的.(2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2)(x x f =在]0,(-∞上，f （x ）随着x的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________.一、 函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

※增函数、减函数的定义增函数: )()(2121x f x f x x <⇒< 减函数: )()(2121x f x f x x >⇒<;2（1判断下列函数的单调区间：21x y =（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。

思路：添项法。

类型：一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。

函数满足：()()()f a b f a f b k +=++ 或 ()()()f a b f a f b k -=-+例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，判断()f x 在R 上的单调性。

例2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=， 求不等式f a a ()2223--<的解集。

2、定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x ，y ∈R 都有()()()f x y f x f y -=-，且当0,()0x f x <<时(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．函数满足：()()()f a b f a f b =+ 或 ()()()a f f a f b b =-例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。

例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b =-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f y x f -=且当01x <<时，()0f x <. 求:(1))1(f 的值. (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f ； 2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式2(21)2f x -<3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。

函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。

一般地，设f 为定义在D 上的函数。

若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时，称f 为D 上的严格减函数。

给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。

用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。

利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。

例 1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。

证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。

例 2.用定义证明函数xk x x f +=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。

证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数；当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。

第一章函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。

定义2 单射，若f: A→B是一个映射且对任意x,y∈A, x≠y, 都有f(x)≠f(y)则称之为单射。

定义3 满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。

定义4 一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A →B。

定义5 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。

A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y 叫做x的象，x叫y的原象。

集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.定义6 反函数，若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7 函数的性质。

（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。

函数的概念和函数的表示法欧阳歌谷（2021.02.01）考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ）① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x→y=; ② A={x x>0,x ∈R},B={y y ∈R}，对应法则f ：x→=3x;③A=R,B=R,对应法则f ：x→y=;变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）①②③④变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①=2②③y=A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ）OOOOX X X XyyyyA.y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。

例??下列哪个函数与y??x相同（????????）①??y??②③④y??t⑤；⑥变式1.下列函数中哪个与函数相同（）A. B. C. D.变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（）A. 与B. 与C. （x≠0）与（x≠0）D. ，x∈Z 与，x∈Z变式3.下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）（2）（3）考点三：求函数的定义域（1）当f（x）是整式时，定义域为R；（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值集合；（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合；已学函数的定义域和值域1．一次函数:定义域R, 值域R;2．反比例函:定义域, 值域;3．二次函数:定义域R值域：当时，；当时，例3. ①函数的定义域是（）A. B. ( 1 , 1 ) C. [ 1 , 1 ] D. (∞ ,1 )∪( 1 ,+∞ )②函数y＝x＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________．变式1. 求下列函数的定义域(1)； (2)； (3).(4)(5)y＝x＋1x2－4；(6)y＝1|x|－2；(7)y＝x2＋x＋1＋(x－1)0.求复合函数的定义域例5. 已知函数f（）定义域为, 求f（x）的定义域变式1. 已知函数f（）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域变式2. 已经函数f（x）定义域为[ 0 , 4], 求f的定义域考点四：求函数的值域例6．求下列函数的值域①， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )②，x∈ ( 配方法：形如 )② ( 换元法：形如)④ ( 分离常数法：形如 )④ ( 判别式法：形如)变式1. 求下列函数的值域①②②④⑤??y????⑥考点五：求函数的解析式例??????已知f（x）??，求f（）的解析式????（代入法拼凑法换元法）变式已知f（x）??，求f（）的解析式变式2. 已知f（x+1）=，求f（x）的解析式变式3.已知，试求的解析式.，求f（x）变式一次函数满足变式??．已知多项式，，且.试求、的值.变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式.变式5．已知二次函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x），且f（0）＝3，求f（x）的解析式.变式6.已知函数f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）.例9. 已知f（x）2f（x）= x ，求函数f（x）的解析式（消去法/ 方程组法）变式1. 已知2 f（x）f（x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式变式2. 已知2 f（x）f = 3x ，求函数f（x）的解析式例10. 设对任意数x，y均有，求f（x）的解析式. （赋值法/特殊值法）变式 1. 已知对一切x，y∈R，都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式.考点六：函数的求值例11. 已经函数f（x）= ，求f（2）和f（a）+f (a)的值变式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值例12. 已知函数，求f（1）+f（）的值变式1. 已知函数，求f [f（）]的值变式2. 已知函数，求f（5）的值例13 . 设函数，求满足f（x）=的x值变式1. 已知函数，若f（x）=2，求x的值考点七：映射例1．判断下列对应是否是映射？变式1.下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则（2）设，对应法则（3），，531-2-5xOy（4）设（5），考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法例1某种笔记本每个5元，买 x {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封xg(0＜x 100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例3 画出函数y=|x|=的图象.例4求下列函数的最大值、最小值与值域. ①；③； ③；函数的单调性与最值增函数与减函数 单调性与单调区间例 1 如图，是定义在闭区间[5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.例2 证明函数在R上是增函数.例3 证明函数在(0,+)上是减函数.练习1．函数y=x2+x+2单调减区间是( )A、B、（1，+∞） C、D、（∞，+∞）2．下面说法正确的选项（）A．函数的单调区间可以是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3．函数f(x)=2x2－mx+3,当x∈时,增函数,当x∈时,是减函数, 则f（1）等于（）A．－3 B．13 C．7 D．由m而定的其它常数4.如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥－3B．a≤－3C．a≤5D．a≥35. 函数在实数集上是增函数，则（）A． B．C．D．６. 已知函数求:(1) 当时，函数的最值;(2) 当时，函数的最值．函数的奇偶性观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.偶函数：奇函数：例1．判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3）例2．判断下列函数的奇偶性 （1）（2） （3） （4）例3．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数． 证明：在（－∞，0）上也是增函数．练习1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①②2．设＞0时，，试问：当＜0时，的表达式是什么？学案（6）反函数（一）（选讲）复习观图回答：的意义是什么？ 新课 1．试求函数的值域.ABabABba(提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2．反函数的定义：试利用定义填写下表：函数反函数定义域A值域B3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4．试求(1)y=2x+1(2)y=2x+1的反函数,并对比有何不同.5．求解反函数的步骤:例求下列函数的反函数(1)(2)(3) (4)练习1.已知函数，那么它的反函数为( )A、 B、C、 D、2.函数的反函数是( )A、 B、C、 D、3.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（）A、 B、 C、 D、4.若函数，则的值为（）A、 B、 C、15 D、5.函数的反函数为，求,b,c的值6.已知，求f(x)学案（7）反函数（二）（选讲）目标：1．了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明；2．会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.复习：1．反函数的定义：2．互为反函数的两个函数与间的关系：函数反函数定义域A B值域B A3．反函数的求法：一反解、二互换、三标明；4. 原函数与其反函数的图象关于y=x 对称.新课：例1．求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例2．求函数的值域.例3 已知= (x＜1)，求 .例4若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求,b的值.例5若，试求反函数.练习：1．求下列函数的反函数：（1）；（2）y=6x+12(x≤3);（3）y=(x≤2).2. 已知函数y=x+2的反函数是y=3x+b，求,b的值.3.函数f(x)是否有反函数？；当时，反函数为，定义域为；当时，反函数为，定义域为。

函数的单调性一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．三、教学过程：（一）主要知识：1、函数单调性的定义；2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手（5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域3、函数单调性的证明：定义法；导数法。

4、一般规律（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

（二）主要方法：1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用．（三）例题分析：例1．（1）求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；（2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，（2）222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<<∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．例2．设0a >，()x x e a f x a e =+是R 上的偶函数．（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞．例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=，∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．（2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()x f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）即不等式的解集为(． 例5．函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围． 另解：（用导数求解）令()8ag x x x =+-，函数9()log (8)a f x x x =+-在[1,)+∞上是增函数， ∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1a g x x'=+， ∴180a +->，且210a x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．（四）巩固练习： 1、下列函数中，在区间)2,0(上递增的是 （ ）（A ）x y 1= （B ）x y -= （C ）1-=x y （D ）122++=x x y2、设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ）（A ）)(1x f y -= （B ）)(2x f y = （C ）)(log 21x f y = （D ）2)]([x f y = 3、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ，02>x 且|,|||21x x <则有 （ ）（A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f（C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f4、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为（ ）（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()21,0(+∞⋃变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数()f x 在区间[0, 2]上单调递减，若(1)()f m f m -<，求实数m 的取值范围。

各位评委、老师们，大家好，我说课的内容是函数的单调性，下面我将从----五个方面来汇报我对这节课的教学设想。

1教材分析（1）教材地位和作用函数单调性这一节内容在教材中起着承上启下的作用。

一方面，可以使学生对一次函数、二次函数、反比例函数的认识更深入一步；另一方面，是研究具体函数性质的理论基础。

本节内容以函数单调性的概念为线，概念的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言的过程，体现了数形结合和几何直观的思想。

函数的单调性既是一个重要概念。

又是函数的一个重要性质，它在解决函数的值域，最值，不等式以及比较两数大小等问题中有着广泛应用。

所以，本节课的教学重点就是形成增减函数概念的形式化定义（2）学习中遇到的困难是的1、形成增减函数概念的形式化定义对函数单调性概念的建构的关键过程有两个：一是建构函数单调性的意义，用自然语言描述函数图像特征；二是把这个意义用数学符号表示出来。

函数单调性的意义，学生通过若干函数图像的观察并不难认识，因而前一过程的建构学习相对比较容易进行。

后一过程的进行则有相当的难度。

用数学符号描述“自变量X增大时函数值Y也增大（减小）”这一变化规律的最大要害的之处在于用数学的符号来描述动态的数学对象。

初中数学中,除了学习函数初级概念,用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时,接触到很少一点动态数学对象的数学符号表示以外,绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。

因此,从用静态的数学符号表示静态的数学对象,到用静态的符号语言刻画动态的数学对象,在思维能力层次存在重大差异,对刚刚由初中进入高中学习的学生而言,无疑是一个很大的挑战。

2、利用增减函数的定义证明函数的单调性学生已有的数学证明的方法主要是几何证明，把握并依据定理，这里主要是利用定义，判断因式的正负关系，常常要综合应用一些知识（如不等式、因式分解）。

因此，对函数的复杂程度要加以控制，同时要帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤。

函数定义域的类型和求法欧阳歌谷（2021.02.01）本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。

现举例说明。

一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。

③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。

故所求函数的定义域为。

例2 求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足由①解得③由②解得④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知的定义域，求的定义域。

其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。

例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。

解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。

（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为。

即函数f(x)的定义域是。

三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R 都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数①当k≠0时，恒成立，解得；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

Ⅱ函数及其相关概念1、变量与常量变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数1、一次函数的概念：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图像是经过点（0，b ）的直线(b 是直线与y次函数在y 轴上的截距)；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

3、斜率：1212tan x x y y k --==α ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:③由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1=+b y a x④设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+2l ：22y k x b =+若 若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。

高中阶段常见函数性质汇总欧阳学文函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f(x)=b(b∈R)图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线定 义 域：R 值 域：{b}单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数[当b=0时，函数既是奇函数又是偶函数]反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性 函 数 名 称：一次函数解析式 形 式：f(x)=kx+b(k≠0,b∈R)图象及其性质：直线型图象。

|k|越大，图象越陡；图象越平缓；当b=0时，函数f(x)的图象过原点；b当b=0且k=1时，函数f(x)的图象为一、三象限角平分线；当b=0且k=1时，函数f(x)的图象为二、四象限角平分线；定义域：R值域：R单调性：当k>0时，函数f(x)为R上的增函数；当k<0时，函数f(x)为R上的减函数；奇偶性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；反函数：有反函数。

[特殊地，当k=1或b=0且k=1时，函数f(x)的反函数为原函数f(x)本身]周期性：无函数名称：反比例函数k(k≠0)解析式形式：f(x)=x Array图象及其性质：图象分为两部分，当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为原点； 图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y=x 、y=x ；定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞单 调 性：当k>0时，函数f(x)为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；当k<0时，函数f(x)为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数；奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无函 数 名 称：变式型反比例函数 解析式 形 式：f(x)=dcx bax ++(c≠0且 d≠0)图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线ca y =、直线cd x -=相交，当k>0时，函数f(x)的图象分别在直线ca y =与直线cd x -=形成的左下与右上部分；当k<0时，函数f(x)的图象分别在直线ca y =与直线cd x -=形成的左上与右下部分；双曲线型曲线，直线ca y =与直线cd x -=分别是曲线的两条渐近线；图象成中心对称图形，对称中心为点),(ca c d -；图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为da x y ++=、d a x y -+-=；x f =)(移cd 个单位，向上平移ca 个单位得到的定 义 域：),(,(+∞---∞cd cd值 域：),(,(+∞-∞ca ca单 调 性：当0>-ad bc 时，函数在),(cd --∞和),(+∞-cd 上均为减函数；当0<-ad bc 时，函数在),(cd --∞和),(+∞-cd 上均为增函数；奇 偶 性：非奇非偶函数 反 函 数：acx b dx y -+-=周 期 性：无abx 2-=函 数 名 称：二次函数解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f两根式：)0)()(()(21≠--=a xx x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ；②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2a b ac a b --；当0<a 时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高点)44,2(2ab ac a b --； ③当042>-=∆ac b时，函数图象与x 轴有两个交点，c bx ++当042=-=∆ac b时，函数图象与x 轴有一个交点，当042<-=∆ac b 时，函数图象与x 轴没有交点；④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0<a 时，横坐标距对称轴近则函数值大； ⑤函数)0()(2≠++=a c bx axx f 均可由函数)0()(2≠=a ax x f 平移得到；定 义 域：R 值域：当0>a 时，值域为),44(2+∞-ab ac ；当0<a 时，值域为)44,(2ab ac --∞ 单 调 性：当0>a 时，]2,(a b --∞上为减函数，),2[+∞-ab上为增函数；当0<a 时，),2[+∞-a b 上为减函数，]2,(ab--∞上为增函数；奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数周 期 性：无函 数 名 称：指数函数 解析式 形 式：)1,0()(≠>=a a a x f x图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x 轴不相交，只是无限靠近；②函数xa x f =)(与x xa ax f -==)1()(的图象关于y轴对称；③当1>a 时，y 轴以左的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间，y 轴以右的图象在直线1=y 以上；当10<<a 时，y 轴以左的图象在直线1=y 以上，y 轴以右的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间；④第一象限内，底数大，图象在上方；定 义 域：R 值 域：),0(+∞单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数)1f (x )=a x为减函数；奇 偶 性：无反 函 数：对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a周 期 性：无函 数 名 称：对数函数 解析式 形 式：)1,0(log)(≠>=a a x x f a图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y 轴不相交，只是无限靠近；②函数x x f alog )(=与x x x f a alog log)(1-==的图象关于x 轴对称；③当1>a 时，x 轴以下的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间，x 轴以上的图象在直线1=x 以右；当10<<a 时，x 轴以下的图象在直线1=x 以右，x 轴以上的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间；④第一象限内，底数大，图象在右方；定 义 域：R 值 域：),0(+∞xyOf (x )=)1(log >a x af (x )=)10(log <<a x a单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0<a 时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数]奇 偶 性：无反 函 数：指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x周 期 性：无函 数 名 称：对钩函数 解析式 形 式：xx x f 1)(+=图象及其性质：①函数图象与y 轴及直线x y =不相交，只是无限靠近；②当0>x 时，函数)(x f y =有最低点)2,1(，即当1=x 时函数取得最小值2)1(=f ； ③当0<x 时，函数)(x f y =有最高点)2,1(--，即当1-=x 时函数取得最大值2)1(-=-f ；定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),2[]2,(+∞--∞单 调 性：在]1,(--∞和),1[+∞上函数为增函数；在)0,1[-和]1,0(上函数为减函数；奇 偶 性：奇函数反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无2．3函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）2．3函数单调性【典型例题】例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( D) A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．12a >- D ．12a <提示：2a -1<0时该函数是R 上的减函数.(2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( A )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象 (3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ D ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得.(4) 如下图是定义在闭区间上的函数()y f x =的图象,该函数的单调增区间为 [2,1]和[3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.(5) 函数223y x x =+-的单调减区间是(,3]-∞-提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域. 例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间 （1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩ 如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和（2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=--即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和(1) (2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．证明：设1212,x x R x x ∈<且则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++12x x <因为 210x x ->所以，且在 1x 与 2x 中至少有一个不为0，不妨设 20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以 故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数例 4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

函数的性质——单调性之老阳三干创作【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念, 掌握判断函数增减性的方法步伐；【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数⒈增函数与减函数界说：对函数f(x)的界说域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.⑴若当x1<x2时, 都有f(x1)<(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数⑵若当x1<x2时, 都有f(x1)>(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数说明：函数是增函数还是减函数, 是对界说域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数, 而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2, 当x∈[0,+∞)时是增函数, 当x∈(-∞,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性, 这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上, 增函数的图象是上升的, 减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其界说域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数, 忽略需要任意取值这个条件, 就不能保证函数是增函数（或减函数）, 例如, 图5中, 在x1,x2那样的特定位置上, 虽然使得f(x1)<(fx2), 但显然此图象暗示的函数不是一个单调函数；⑶除严格单调函数外, 还有不严格单调函数, 它的界说类似上述的界说, 只要将上述界说中的“f(x1)<(fx2) 或f(x1)>(fx2) ”改为“f(x1)≤(fx2) 或f(x1)≥(fx2)”即可；⑷界说的内涵与外延：内涵是用自变量的年夜小变动来刻划函数值的变动情况；外延：①一般规律：自变量的变动与函数值的变动一致时是单调递增, 自变量的变动与函数值的变动相对时是单调递加. ②几何特征：在自变量取值区间上, 若单调函数的图象上升, 则为增函数, 图象下降则为减函数.⒊例题例1图6是界说在闭区间[-5, 5]上的函数y=f(x)的图象, 根据图象说出y=f(x)的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数y=f(x)是增函数还是减函数.练习：1、函数11-=x y 的增减性的正确说法是：)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函数C. 在)1,(-∞是减函数,在),1(+∞1=x 点外,在),(+∞-∞上是单调递加函数二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ,那时0>a 函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小, 右侧单调增加；那时0<a 函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加, 右侧单调减小； 例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.二、函数单调性的证明步伐： ① 任取x 1, x 2∈D, 且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 例1、证明函数x x y 1+=在（1, +∞）上为减函数．例2、证明函数x x x f -1)(2+=在R 上是单调减函数. 练习1 证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数. 练习2 试判断函数x x x f 1-)(2=在)(0,+∞上的单调性并加以证明.例 已知函数f(x)＝xa x+2(a>0)在(2, ＋∞)上递增, 求实数a的取值范围．三、复合函数单调性对函数y ＝f (u )和u ＝g (x ), 如果u ＝g (x )在区间(a , b )上具有单调性, 当x ∈(a , b )时, u ∈(m , n ), 且y ＝f (u )在区间(m , n )上也具有单调性, 则复合函数y ＝f (g (x ))在区间(a , b )具有单调性的规律见下表：例：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞求函数单调区间（复合函数）1y x =-的单调区间是（ ）A ．（-∞, +∞） B.（-∞, 0） （1, ∞, ） C.（-∞, 1） 、（1, ∞） D. （-∞, 1）（1, ∞） 2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x =C ．245y x x =-+D ．23810y x x =+-3．函数y =的增区间是（ ）.A ．[-3, -1]B ．[-1,1]C ．113a -<<-(,3)-∞-D ．(1,)-∞4、已知函数1()f x x x=+,判断()f x 在区间〔0, 1〕和（1, +∞）上的单调性.五、函数单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比力年夜小；解不等式；求最值（值域）. 例 （1）若函数52)(2++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增, 在)2,-(-∞上单调递加, 求其实数a 的取值； （2）若函数52)(2++=ax x x f 在)(-2,+∞上单调递增, 其实数a的取值范围；（3）若函数52x )(2++=ax x f 在)(-2,+∞上单调递增, 其实数a 的取值范围；例 若函数5)2(log )(22++=x ax x f 在)(-2,+∞上单调递增, 其实数a 的取值范围；例 已知函数⎩⎨⎧≥<+=1log 14)1-3()(x xx a x a x f a 是),(-+∞∞上的减函数, 求实数a 的取值范围；练 习判断函数的单调性)1,(-∞上为增函数的是:A.)1(log 21x y --= B.21x y -= C.2)1(+-=x y D.x x y -=1),(a -∞是函数221)(--=x xx f 的反函数的一个单调增区间,则实数a 的取值范围是A.2≤aB.2≥aC.2-≤aD.2-≥a:(1)若)(x f 是增函数,则)(1x f 是减函数;(2)若)(x f 是减函数,则2)]([x f 是减函数;(3)若)(x f 是增函数,)(x g 是减函数,)]([x f g 有意义,则)]([x f g 为减函数,其中正确的个数有:4．2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围是f (x )=|2-x |＋|x |的值随x 值的增年夜而增年夜, 求x 的取值范围.6.)(x f 是界说在),0(+∞上的增函数,则不等式)]2(8[)(->x f x f 的解集是f (x )=13--x, 用函数单调性的界说证明：)(x f 在(－∞,+∞)上单调递加.21)(x x f -=在区间[－1,1]上的单调性,并证明.x x x f -+=2)(,求证)(x f 在]47,(-∞上是增函数.二次函数的单调性1. 函数22)1()(2-+-+=a x a xx f 在]3,(-∞上是减函数, 求a 的取值范围. 2. 函数14)3(2)(2-+-+-=a x a x x f 在),1[+∞上是减函数求a 的取值范围.3. 函数bax xx f +-=2)(在)1,(-∞上是减函数,在),1(+∞上是增函数, 求a .4. 函数1)13()(2++-=x m mx x f 在[-1,2]上是增函数,求m 的取值范围.5. 已知2)1(2)(2+-+=x a xx f 在)4,(-∞上是减函数,且,0)(>x f 求a 的取值范围. 6．2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值范围f (x )的二次项系数为正,且对任意实数x ,都有f (2-x )=f (x ＋2),讨论函数f (x )的单调性. 单调性与年夜小关系ax 2+bx +c ＞0(a ≠0)的解集为{x |x ＜－2或x ＞4},设f (x )=ax 2+bx +c ,试比力f (－1),f (2),f (5)的年夜小.2．比力年夜小:)0,.(,>>++m b a m b m a b a10<<x ,使一次函数)0)((>-=m a x m y 都是正数,则a 的范围是:A.0≤aB.0<aC.1≤aD.1>a4.)(x f 是界说在),0(+∞上的增函数,则不等式)]2(8[)(->x f x f 的解集是5.)(x f 是界说在R 上增函数,且满足)()()(y f x f y xf -=(1)求)1(f 的值; (2)若1)6(=f ,解不等式2)1()3(<-+x f x f。