函数单调性的证明题

用函数单调性定义证明

例1、用函数单调性定义证明:

(1)为常数)在上是增函数.

(2)在上是减函数.

分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.

证明: (1)设是上的任意两个实数，且，

则

=

由得，由得， .

，，即 .

于是即 .

在上是增函数.

(2) 设是上的任意两个实数，且，

则

由得，由得

.又， .

于是即 .

在上是减函数.

小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.

根据单调性确定参数

例1、函数在上是减函数，求的取值集合.

分析：首先需要对前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.

解：当时，函数此时为，是常数函数，在上不具备增减性.

当时，为一次函数，若在上是减函数，则有

，解得

.故所求的取值集合为.

小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.