2020年高考理科数学一轮总复习：《指数与指数函数》

2020年高考理科数学一轮总复习：《指数与指数函数》

[基础题组练]

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )

解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是

(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为( )

A．18 B．21

C．24 D．27

解析：选D.因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，

因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，

解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.

3．已知a＝(2)43，b＝225，c＝913，则( )

A．b

C．b

解析：选A.a＝(2)43＝212×43＝223，b＝225，c＝913＝323，

由2<3得a

由23>25，得a>b，故c>a>b.故选A.

4．设x>0，且1

A．0

C．1

解析：选C.因为1

因为x>0，所以b>1，

因为bx1，

因为x>0，所以ab>1，

所以a>b，所以1

5．已知函数f(x)＝1－2－x，x≥0，2x－1，x<0，则函数f(x)是( )

A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

解析：选C.易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

6．已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选B.函数y1＝12x与y2＝13x的图象如图所示．

由12a＝13b得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

7．函数f(x)＝ax＋b－1(其中0

解析：由0

因为0

所以0<1－b<1，

y＝ax的图象向下平移1－b个单位即可得到y＝ax＋b－1的图象，所以y＝ax＋b－1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限．

答案：三

8．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．

解析：由f(1)＝19得a2＝19.

又a>0，

所以a＝13，

因此f(x)＝13|2x－4|. 因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，

所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

答案：[2，＋∞)

9．不等式12x2＋ax<122x＋a－2恒成立，则a的取值范围是________．

解析：由题意，y＝12x是减函数，

因为12x2＋ax<122x＋a－2恒成立，

所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，

所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，

所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，

即(a－2)(a－2＋4)<0，

即(a－2)(a＋2)<0，

故有－2

答案：(－2，2)

10．已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．

解析：由题意得，f(x)＝e|x|，x≥1，e|x－2|，x<1.

当x≥1时，f(x)＝e|x|＝ex≥e(当x＝1时，取等号)；

当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e.

故f(x)的最小值为f(1)＝e.

答案：e

11．设f(x)＝x（1－2x）1＋2x.

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．

解：(1)根据题意，f(x)＝x（1－2x）1＋2x，

则f(－x)＝（－x）（1－2－x）1＋2－x＝（－x）（2x－1）2x＋1＝x（1－2x）1＋2x＝f(x)，

所以函数f(x)为偶函数．

(2)因为f(x)＝x（1－2x）1＋2x＝－x＋2x2x＋1，

所以f′(x)＝－1＋2（2x＋1）－2x（2xln 2）（2x＋1）2＝－1＋22x＋1－2x（2xln 2）（2x＋1）2， 因为x＞0，所以2x＋1＞2，

所以22x＋1＜1，

所以－1＋22x＋1＜0，

所以f′(x)＜0，

故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．

12．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1

＝2(2x)2－2x－1，

令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈18，1.

故y＝2t2－t－1＝2t－142－98，

t∈18，1，

故值域为－98，0.

(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，

设2x＝m>0，

等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，

记g(m)＝2am2－m－1，

当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．

当a<0时，开口向下，对称轴m＝14a<0，

过点(0，－1)，不成立．

当a>0时，开口向上，

对称轴m＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.

[综合题组练]

1．(应用型)已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )

A．a<0，b<0，c<0

B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c D．2a＋2c<2

解析：选D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

因为af(c)>f(b)，

结合图象知，00，

所以0<2a<1.

所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

所以f(c)<1，所以0

所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又因为f(a)>f(c)，

所以1－2a>2c－1，

所以2a＋2c<2，故选D.

2．(创新型)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝f（x），f（x）≤K，K，f（x）>K.给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则( )

A．K的最大值为0

B．K的最小值为0

C．K的最大值为1

D．K的最小值为1

解析：选D.根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.

3．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．

解：令t＝ax(a>0，且a≠1)，

则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．

①当0

此时f(t)在a，1a上为增函数． 所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.

所以1a＋12＝16，解得a＝－15(舍去)或a＝13.

②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈1a，a，

此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝13或3.

答案：13或3

4．(应用型)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.

又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，

由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，

从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－13.

故k的取值范围为－∞，－13.