函数的单调性(定义法)

∙单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）
＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f （x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严
格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值∙判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较与1的大小；
④根据定义作出结论。

（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。

（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

函数的单调性知识点一：函数单调性的定义、判定及证明1.单调性的定义：当x ∈ (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x ∈ (0，+∞)，x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。

2.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤第一步：取值.即设x1、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2；第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；第四步：判断.由定义得出结论.4.判断函数单调性的常见方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.(3)图像法根据函数图像的升、降情况进行判断.【思维拓展】1.一些重要函数的单调性（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘，（0，1）↘，﹛1，+∞﹚↗ .(2) y=ax+b/x (ab>0) 的单调性：（2.单调性与奇偶性若奇函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递减（增）.知识点二函数单调区间及图像特点1.定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间。

确定函数的单调性方法
确定函数的单调性有以下几种方法：
1. 使用导数：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的单调性。

如果导数大于零，则函数是递增的；如果导数小于零，则函数是递减的。

2. 使用二阶导数：对于二次可导函数，可以通过求二阶导数来确定函数的单调性。

如果二阶导数大于零，则函数是凹的，即在该区间上递增；如果二阶导数小于零，则函数是凸的，即在该区间上递减。

3. 使用基本不等式：对于一些特定的函数，可以使用基本不等式来确定函数的单调性。

例如，对于正数的平方根函数，可以使用平均值不等式来证明它的单调性。

4. 使用图像：对于一些简单的函数，可以通过绘制函数的图像来确定函数的单调性。

通过观察图像的上升或下降趋势，可以确定函数的单调性。

需要注意的是，以上方法只能确定函数在某个特定的区间上的单调性。

对于整个定义域上的单调性，可能需要结合多个区间的单调性来确定。

判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法一、定义法设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。

例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。

f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。

因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。

二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。

若函数$f(x)。

g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当$c<0$时具有相反的单调性；⑷当$f(x)。

g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；⑸当$f(x)。

g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。

三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法。

对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。

t=g(x)。

y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。

设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。

函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。

3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。

8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。

（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。

2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。

3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。

二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。

2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。

三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。

函数单调性判定的五种⽅法以及应⽤
【经典题再现】
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是⾼考常考知识内容.本题具备⼀定难度.解答此类问题，关键在于利⽤分段函数的概念，发现周期函数特征，进⾏函数值的转化.本题
能较好的考查考⽣分析问题解决问题的能⼒、基本计算能⼒等.
【命题意图】这类问题的主要意图是：1.理解函数的单调性及其⼏何意义.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
【考试⽅向】这类试题括确定函数单调性、单调区间及应⽤函数单调性求值域、最值，⽐较或应⽤函数值⼤⼩，是⾼考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则多为解答题.考查重点仍将以函数性质的应⽤为主.函
数的单调性、奇偶性常与函数的其他性质，如与周期性、对称性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练.
【得分要点】函数性质是⾼考的热点问题，要对此类问题有更深的了解：
1. 求函数的单调性或单调区间的⽅法
(1)利⽤已知函数的单调性.
(2)定义法：先求定义域，再利⽤单调性定义.
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法：利⽤导数取
值的正负确定函数的单调区间.
(5)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.
2.函数的周期性
及其应⽤
判断函数的周期只需证明
便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与
函数的其他性质综合命题.
3.对于函数性质的考查，⼀般不会单纯地考查某⼀个性质，⽽是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学⽣的综合能⼒、创新能⼒、数形结合的能⼒.。

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x 1＜x 2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商： ,≠0；③变形 向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）； ④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法. 函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=k b kx y当0>k 时，y 在R 上是增函数；当0<k 时，y 在R 上是减函数。

高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明：1.定义法例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。

解分析函数在R+上的单调性任取x1>x2>0Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)令y1-y2>0 所以X1^2+X1X2+X2^2-1>0因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)因此 a=根号3/3一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。

2.图像法例题求y=x+3/x-1的单调区间解函数定义域为（-，1）并（1，+)Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。

函数的图像是解决这类问题的关键。

3.性质法性质：增+增=增减+减=减y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性例题求y=x^3+x的单调区间。

解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。