数学分析教案 (华东师大版)第九章 定积分

第九章 定积分一、填空题 1.=-++-+-∞→_41241141(lim 22222nn n n n _________2．=+⎰⎰→x xt x dtttdtt 0sin 01sin )1(lim__________3．[]=⎰-222,1max dx x __________4．设⎰+=xdt tt x f 02sin 1cos )(，则=+⎰202)(1)('πdx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且⎰--=2123)(x x dt t f ，则=)2(f ___________6．=+-⎰→421ln sin limxx tdt xx _________7．=++⎰-dx x xx 2222)cos 1(sin ππ______________ 8．[]⎰-=-++-11)()(22lndx x f x f xx_________，其中)(x f 连续。

10．设0)()(21=-+⎰x x f dx x f ，则=⎰1)(dx x f _______________11．若⎰=+101sinb dx x x，则=+⎰102)1(cos dx x x _________12．设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dxd 022)(____________ 13．=⎰022cos xdt t x dx d ______________ 14．=-⎰ππ222cos sin dx x x ____________15．=+-⎰-dx x x 112cos 21sin αα____________16．[]=-⎰π2sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________17．设)(x f 有一个原函数x xsin ，则=⎰ππ2)('dx x xf ____________18．若1≤y ，则=-⎰-11dx e y x x ___________19．已知2)2(x xex f =，则=⎰-11)(dx x f ________20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则=')0(F21．设⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<--=⎰-x x x x dt t x x x e x f 0322 0 sin 0 31)(则=→)(lim 0x f x 22．函数dt t t t x x⎰+--=2112)(ϕ在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为23．若已知)(x f 满足方程⎰--=xdx x f x x x f 022)(13)(，则=)(x f24．已知函数)1( )1()(1-≥-=⎰-x dt t x f x，则)(x f 与x 轴所围成的面积为25．函数221x x y -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23 ,21上的平均值为二、选择填空 1．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则=''⎰10)2(dx x f x ______________A.0B.1C.2D.-2 3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则()⎰+++lk a kla dx x f )1(之值( )A.仅与a 有关B.仅与a 无关C.与a 及k 均无关D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数与2x 进等价无穷小，则必有( )(其中f有二阶连续导数)。

若质点以速度v =v (t ) 作变速直线运动,()d ()().ba s v t t sb s a ==-⎰注意到路程函数s (t ) 是速度函数v (t ) 的原函数, ()d bas v t t=⎰定义,质点从时该a 到b 所经过的路程为另一方面, 质点从某时刻a 到时刻b 所经过的路于是程记为s (b )-s (a ), 因此把定积分与不定积分联系起来了, 面的牛顿—莱布尼茨公式.由定积分()(),s t v t '=则后退前进目录退出这就是下定理9.1（牛顿-莱布尼茨公式）函数f 在[a , b ] 上满足条件:(i) f 在[a , b ] 上连续,(ii) f 在[a , b ] 上有原函数F ,则(1) f 在[a , b ] 上可积;).()()(d )()2(a F b F x F x x f ba ba-==⎰证因 f 在[a , b ] 上一致连续, ,[,],||,x x a b x x δ''''''∈-<当时.|)()(|ε<''-'x f x f 任取1[,],1,2,,.i i i x x i n ξ-∈= 又F 在],[1i i x x -上满足拉格朗日中值定理条件,],,[1i i i x x -∈∃ηi i i i x F x F x F ∆η)()()(1'=--于是,0>∀ε则,0>∃δ,)(i i x f ∆η=1()Δ(()())ni i i f x F b F a ξ=--∑1()Δ(()())ni i i f x F b F a ξ=--∑,()d ()()().bba af x x F b F a F x =-=⎰因此()()i ni i i x f f ∆ηξ∑=-≤1∑=≤ni i x 1∆ε111()Δ(()())n ni i i i i i f x F x F x ξ-===--∑∑11()Δ()Δnni i i ii i f x f x ξη===-∑∑().a b -=ε注1 以后将证明, 若f 在[a , b ]上连续, 注2 条件(i)不是必要条件, 例2d .bna x x ⎰求解ba n bann x x x 1d 1+=+⎰上必有原函数F (x ). 因此条件(ii) 是多余的.函数f 在[a , b ] 上有间断点, 积.则f 在[a ,b ]以后将举例说明,存在但f 在[a , b ]上仍可).(1111++-+=n n a b n例3.1d 2102⎰-xx求解解用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限..38=122d 1xx-⎰06-=π.6π=120arcsin x=例4224d x x-⎰求224d x x -⎰23221(4)3x =--例5111lim .12n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭L 求解111lim 12n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭易见是函数 11:01,n n T n n -<<<< 分割和介点分别为1[,],1,2,,.i i i ii n n n nξ-=∈= 1()[0,1].1f x x=+在上黎曼和的极限其中111lim 12n n n n n 因此→∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭ 10ln(1)ln 2.x =+=101d 1x x=+⎰例6.)1()21)(11(lim 1nn n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→ 求解令112ln (1)(1)(1)n n n a n n n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 11ln 1,n i i n n ==+∑10lim ln(1)d n n a x x→∞=+⎰则2ln2 1.=-=++-10[(1)ln(1)]x x x 因此112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭lim e n n a →∞=12ln 2e -=.e4=。

§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。

注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。

变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。

定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。

证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。

由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。

定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

第九章 定积分§1 定积分的概念（教材上册P204）1. 按定积分定义证明：()bakdx k b a =-⎰知识点窍 定积分的定义. 逻辑推理 按定积分定义证明.解 0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{i ε}，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ε===≡∈∆∆=∆=-∑∑∑任意取定0δ>，当T δ<时 所以k 在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰.2. 通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，求计算下列定积分. （1）130x dx ⎰ （2）1x e dx ⎰（3）bx ae dx ⎰（4）2(0)badxa b x<<⎰知识点窍 定积分的定义.逻辑推理 利用定积分的定义计算定积分，关键是()f x 在区间[,]a b 上是否可积，若可积，则由定积分的定义，()baf x dx ⎰的值就应与区间[,]a b 的分法及点i ξ的取法无关.解 （1）将[0,1]n 等分，分点为，k =0，1，…，n . 在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ε 而13311lim()nn k kx dx n n →+∞==⋅∑⎰3411lim nn k kn→+∞==∑224111lim(1)44n n n n →+∞=⋅+=.（2）将[0,1]n 等分，分点为，k =0，1，…，n .在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ξ，则 101111lim lim kk nn xnn n n k k e dx e e n n →+∞→+∞===⋅=∑∑⎰ 111(1)lim111[1()](1)1lim 1.111[1()]nn nn e e ne e n n e n n nοο→+∞→+∞-=⋅-++-==--++ （3）将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，k =0，1，…，n . 在区间1[(),()]k k a b a a b a n n -+-+-上取()ka b a n+-作为k ξ，则()1lim kna b a bxn a n k b a e dx e n +-→+∞=-=⋅∑⎰()1lim (1)lim 11[1()()](1)lim 11[1()()].k b a n a n n k b ab a na b a n nb a a n b a b a e e n b a e e e ne b a b a e b a n n e b a n b a n ne e οο-→+∞=---→+∞-→+∞-=⋅--=--+-+--=--+-+=-∑ （4）取i ξ后211110111111()()nni i i i ij i n x x x x x x a b -==--=-=-=-∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，k =0，1，…，n .在区间1[]k k x x -k ξ则212111lim ()nbk k an k dx x x x a b-→∞==-=-∑⎰. §2 牛顿—莱布尼茨公式（教材上册P206）1. 计算下列定积分.（1）10(23)x dx +⎰ （2）212011x dx x -+⎰ （3）2ln e edxx x⎰（4）102x xe e dx --⎰ （5）23tan xdx π⎰（6）94dx ⎰ （7）4⎰ （8）211(ln )e e x dx x⎰知识点窍 牛顿—莱布尼茨公式. 解（1）1012(23)34x dx xx+=+=⎰.（2）110211220012(1)2arctan 1112x dx dx x x x x π-=-=-=-++⎰⎰.（3）2221(ln )ln ln ln 2ln ln e ee e e e dx d x x x x x===⎰⎰.（4）10110111()12222x x x x e e dx e e e e ----=+=+-⎰. （5）22233322000sin 1cos tan cos cos x x xdx dx dx x xπππ-==⎰⎰⎰30(tan )3x x ππ=-=.（6）9439242144(2)323dx x x =+=⎰. （7）4441)]42ln3==-=-⎰⎰.（8）122311112(ln )(ln )(ln )(ln )33e eee eex dx x d x x x ===⎰⎰. 2. 利用定积分求极限. （1）3341lim(12)n n n→∞+++（2）222111lim (1)(2)()n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦（3）2222111lim ()122n n n n n →∞+++++（4）121lim (sin sin sin )n n n n n nπππ→∞-+++知识点窍 定积分求极限.逻辑推理 由定积分的定义知，若()f x 在[,]a b 上可积，则可对[,]a b 用某种特定的分法，并取特殊的点，所得积分和的极限就是()f x 在[,]a b 上的定积分.因此，本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限. 解（1）记3()f x x =，则()f x 在[0,1]上连续且可积，取 12{0,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=则313111lim ()lim nn i i T n i i i x dx f x n nξ→→∞===∆=∑∑⎰33341lim (123)n n n →∞=++++101144==.（2）记21()(1)f x x =+，[0,1]x ∈，则f 在[0,1]上连续，所以可积，取 12{0,,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim (1)(1)nn i i T n i i ex f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰ 222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞=++++++10111()(1)122x =-=---=+.（3）记21()1f x x=+，[0,1]x ∈，则f 在[0,1]上连续，所以可积.取 12{0,,,,}n T n n n =，,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim 11()n n i i T n i i dx f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰2222111lim ()12nn n n n n n →∞=++++++10arctan 4π==.（4）记()sin f x x =，[0,]x π∈，则f 在[0,]π上连续，所以可积，取2(1){0,,,,,}n T n nn ππππ-=，1(1)i i i i xx nξ--==∈∆，1,2,,.i n =则11(1)sin lim ()limsinni i T n i i n xdx f x nnπππξ→→∞==-=∆=∑∑⎰12(1)lim(sin sin sin)n n n n nnππππ→∞-=+++ 0cos 2.x π=-=12()2lim (sin sin sin).n n n n n nn ππππ→∞-⇒+++= §3 可积条件（教材上册P212）1. 证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则 iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑解 设T 的分点为:121,,,n x x x -,且012n a x x x x b =<<<<=设T '比T 只多一个分点x '，且1.k k x x x -'<<设()f x 在1[,],[,]k k x x x x -''和1[,]k k x x -的振幅分别为,kk w w '''与k w ,因为函数在子区间上的振幅总大于其在大区间上的振幅，即有,kk k w w w w '''≤≤ 11()()()()kk k k k k k k w x x w x x w x x w x x --'''''''-+-≤-+- 1()k k k w x x -=-除第k 个区间外，()f x 在这些区间上T 和T '的振幅相等.于是iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑若T '比T 多若干个分点，则在T 基础上逐次增加一个的办法，则上述结论也成立. 2. 证明：若f 在[,]a b 上可积，[,][,]a b αβ<，则f 在[,]αβ上也可积.知识点窍 可积准则.解 f 在[,]a b 上可积0ε⇔∀>，总存在相应的某一分割T ，使得i iTw xε∆<∑设T 的分点为012n a x x x x b =<<<<=若1[,](,)t t x x αβ-⊂则取T '0:n x x αβ=<=()()iiitT w x w w βαβαε''''∆=-≤-<∑f 在[,]αβ上可积若11t t s s x x x x αβ--≤<≤<≤ 则取0111:t t s T x x x x x αβ+-''''''=<<<<<<1iikkiiT k t Tw x w x w xε''=-''''∆≤∆<∆<∑∑∑f 在[,]αβ上可积，综上得f 在[,]αβ上可积.3. 设f ,g 均为定义在[,]a b 上的有界函数.证明：若仅在[,]a b 中有限个点处()()f x g x ≠，则当f 在[,]a b 上可积时，g 在[,]a b 上也可积，且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰知识点窍 可积准则.解 不妨设f 和g 仅在一点0[,]x a b ∈处, ()()f x g x ≠.在给分法T ，()k w f 和()k w g 分别为f 和g 在第k 个区间的振幅，()w f 和()w g 为f 和g 在[,]a b 上振幅，则由f ,g 有界M ⇒∃ ()()k w f w f M ≤< ()()w g w g M ≤<0x 最多属于两个相邻小区间1[,]t t x x -和1[,]t t x x +则111()[()()]()n n nkikkikik k k w g x w g w f x w f x===∆=-∆+∆∑∑∑111[()()][()()]t t t t t t w g w f x w g w f x +++=-∆+-∆+1()nkik w f x=∆∑其中111|[()()][()()]|2(t t t t t t t w g w f x w g w f x M x +++-∆+-∆≤∆+1)0(0)t x T +∆→→1()0(0)nkik w f xT =∆→→∑∴1()0(0)nkik w g xT =∆→→∑∴ g 在[,]a b 上也可积任给[,]a b 分法T '，取特殊0,0,1,,.k x k n ξ≠=则11()()nn kkk k k k f x g x ξξ'==''∆=∆∑∑ 011lim ()lim ()n n k kk k T T k k f x g x ξξ'→→==''∆=∆∑∑ ∴()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰4. 设f 在[,]a b 上有界，{}[,]n a a b <，lim n n a c →∞=，证明：若f 在[,]a b 上只有(1,2,)n a n =为其间断点，则f 在[,]a b 上可积.知识点窍 可积准则.逻辑推理 设lim n n a c a →∞==，取合适的0δ>，使0ωδ>，再利用()f x在[,]a b δ+上可积，存在[,]a b δ+上的分割T '使2i i Tx εω∆<∑，最后将[,]a a δ+与T '合并，得[,]a b 上的分割T ，有i iTxωε∆<∑，即得证f 在[,]a b 上可积.解 不妨设lim n n a c a →∞==,()f x 在[,]a b 上的振幅为ω.0ε∀>，取02εδω<<， 因lim n n a a →∞=，所以存在N ，使当n N >时，[,]n a a a δ∈+，从而()f x在[,]a b δ+上至多只有有限个间断点，由定理9.5知()f x 在[,]a b δ+上可积，再有可积准则知，存在[,]a b δ+上的分割T '，使2i i T x εω'∆<∑.把[,]a a δ+与T '合并，就构成[,]a b 的一个分割T ，设0ω为()f x 在[,]a a δ+上的振幅，则**0.22i ii i i i TT T xx x εεωωδωωδωε∆=+∆≤+∆<+=∑∑∑故由可积准则知,()f x 在[,]a b 上可积. 5. 证明：若f 在区间∆上有界，则知识点窍 确界的定义.逻辑推理 对两个上确界和一个下确界，不便同时处理，可选定两个看作常数，而对第三个用确界定义证明.解 记sup ().inf ()x x A f x B f x ∈∆∈∆==（1） 如果()A B f x A =⇒≡,x ∈∆.上述等式两边为零，成立. （2） 如A B >，则对10()2A B ε∀<<-，及x '∀，x ''∈∆，有 ()()f x f x A B '''-≤-,()()f x f x A B '''-≤-|()()|f x f x A B '''⇒-≤-同时x '∃,x ''∈∆,使()2f x A ε'>-,()2f x B ε''<+|()()|()()().22f x f x A B A B εεε'''⇒->--+=--,sup |()()|sup ()inf ().x x x x f x f x A B f x f x ∈∆'''∈∆∈∆'''⇒-=-=-§4 定积分的性质（教材上册P219）1. 证明：若f 与g 都在[,]a b 上可积，则 01lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξη→=∆=∑⎰其中i ξ,i η是T 所属小区间i ∆中的任意两点, 1,2,,.i n =知识点窍 定积分的性质. 逻辑推理 设01()()lim ()()nbi i i aT i I f x g x dx f g x εε→===∆∑⎰，则只需证0,0εδ∀>∃>,当T δ→时11||()()|[()()()()]|n ni i i i i i i i i i f g x I f g f g x εηεηεε==∆-≤-∆+∑∑1|()()|niiii f g x I εηε=∆-<∑ 即可.解 f 在[,]a b 上可积，则f 有界，即0M ∃>,有||f M <设1()()()()nbi i i ai I f x g x dx f g x ξη===∆∑⎰11()()()[()()]nniiiiiiii i f g x f g g x ξξξηξ===∆+-∆∑∑f ,g 在[,]a b 上可积()()f x g x ⇒在[,]a b 上可积.1lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξξ→=∆=∑⎰以k w 表示()g x 在1[,]k k x x -上振幅. 因为g 可积，所以01lim0ni iT i w x→=∆=∑11|()[()()]|0(0)nniiiiii i f g g M w xT ξηξ==-≤∆→→∑∑11lim()()lim ()()()()nnbi i i i i i aT T i i f g x f g x f x g x dx ξηξξ→→==∴∆=∆=∑∑⎰2. 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小. （1）1xdx ⎰与12x dx ⎰ （2）20xdx π⎰与20sin xdx π⎰知识点窍 积分不等式性. 逻辑推理 根据积分不等式，要比较两个积分区间相同的积分的大小，只要比较在该积分区间上两个被积函数的大小.解 （1）在[0,1]上2x x ≥, 112200xdx x dx ∴≥⎰⎰(2)在[0,]2π上, sin x x ≥, 220sin xdx xdx ππ∴≥⎰⎰3. 证明下列不等式（1）202ππ<<⎰（2）2101x e dx e <<⎰ （3）10sin 12x dx x π<<⎰ （4）46e e <<⎰ 解 （1）原式化为22200011dx πππ<<⎰⎰⎰(0,)2x π∈时, 1>>11∴<<22ππ∴<<⎰ (2) 原式可化为211110x e dx edx e dx <<⎰⎰⎰(0,1)x ∈时, 201x << 2111010x e dx e dx e dx ∴<<⎰⎰⎰211x e dx e ∴<<⎰（3）(0,1]x ∈时, sin x x ≤,sin 1xx≤ 10sin 1xdx x∴≤⎰,原题有误. 此题应改为在(0,)2x π∈上.在此区间上2sin 1xxπ<<，所以有 222002sin 12x dx dx dx x πππππ=<<=⎰⎰⎰（4<44ee ee=<⎰⎰44442ln 2eeee eeeex==-⎰⎰⎰4426e e eex =-=-<46ee∴<<⎰4. 设f 在[,]a b 上连续，且()f x 不恒等于零，证明2(())0baf x dx >⎰知识点窍 函数连续的性质，定积分基础性质中的性质4. 逻辑推理 只要证明2()f x 在[,]a b 上连续即可解 因为f 在[,]a b 是连续2f ⇒在[,]a b 上连续，且2(())0f x ≥, [,]x a b ∈.又因为()f x 不恒等于零，即0[,]x a b ∃∈，使20()0()0f x f x ≠⇒>.可得2(())0baf x dx >⎰5. 设f 与g 都在[,]a b 上可积，证明[,]()max{(),()}x a b M x f x g x ∈=,[,]()min{(),()}x a b m x f x g x ∈=在[,]a b 上也都可积.知识点窍 定积分基本性质中的性质6，性质2. 逻辑推理 借助||min{,}2A B A B A B +--=，||max{,}2A B A B A B ++-=，然后利用定积分性质即可得证.解 [,]1()max{(),()}(||)2x a b M x f x g x f g f g ∈==++-2[,]1()min{(),()}(||)2x a b m x f x g x f g f g ∈==+--由f ,g 在[,]a b 上可积||f g ⇒-在[,]a b 上可积()M x ⇒, ()m x 在[,]a b 上也都可积.6. 试求心形线(1cos )r a θ=+, 02θπ≤≤上各点,极径的平均值. 知识点窍 积分中值定理的几何意义.解 极径的平均值为202011(1cos )(sin )22a d a a ππθθθθππ+=⋅+=⎰.§5 微积分基本定理定积分计算（续）（教材上册P229）1. 设f 为连续函数，u ，v 均为可导函数，且可实行复合f u 与f v ，证明：()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=-⎰ 知识点窍 原函数存在定理，符合函数求导法则. 逻辑推理 0()()yG y f t dt ∆⎰，由原函数存在定理,()G y 可导，且()()G y f y '=解 由复合函数求导法则()(()){[()]}v x f t dt G v x '=⎰[()]()[()]()G v x v x f v x v x '''==()()()()00()()()v x v x u x u x d d d f t dt f t dt f t dt dx dx dx ∴=-⎰⎰⎰ (())()(())()f v x v x f u x u x ''=- 2. 设f 在[,]a b 上连续, ()()()xaF x f t x t dt =-⎰.证明()()F x f x ''=,[,]x a b ∈.知识点窍 分部积分法. 逻辑推理 积分()()xaf t x t dt -⎰是以t 为积分变量的定积分，在积分过程中x 是常量。

牛顿—莱布尼茨公式教案设计学院：数学与统计学院班级：2010级数学（2）班姓名：***牛顿—莱布尼茨公式教案设计一、【教材分析】1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章.2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.二、【教学目标】1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣.2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识.3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结合的思想意识.三、【教学重点】熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式.四、【教学难点】1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限.2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题.五、【教学过程】针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。

教学过程的流程入下：（一）复习旧知识，引入课题复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关?引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。

下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法.（二）创设情境，得到猜想示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系.设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程.分析示例：变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为：其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到：如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是：如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想：⎰21)(T T dtt v )()(12T s T s -).()()(1221T s T s dt t v T T -=∴⎰).()(t v t s='其中{}121,,,,[,]n i i i T t t ∆∆∆∆-==[][]2111111()()()()()(),,ni i i nni i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η∆η∆η∆-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1()ni i i v t η∆=∑1()ni i i v t ξ∆=∑21()T T v t dt ⎰[]1,i i i i t t ξ∆-∈=1()ni i i v t ξ∆=∑()()s t v t '=2121()()()T T v t dt s T s T =-⎰命题 若函数f 在区间[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F'(x)= f(x) , x ∈[a,b ] ,则f 在[a,b]上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）验证猜想，得到定理证明：有定积分的定义，任给0>∀ε,只需证0>∃δ，当||T||<0时，有εξ<--∆∑=ni x ia Fb F f i1)]()([)(.事实上，对于[a,b]的任意分割T={a=x 1,x 2,...,x n =b},在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，则分别存在使得,,...,2,1),,(1n i x x i i i =∈-ηini i i ni i i ni i x f x F x F x F a b F ∆=∆=-=-∑∑∑==-=)()()]()([)(F )(11'11ηη、当对上述上连续，从而一致连续在因为',0,0.b][a,x f >∃>∀δε有时且,||],['''''δ<-∈x x b a xa b x f x f -|)(-)(|'''ε<.证得：则有时，任取.||],,[1δξηξδ<-∈<<∆-i i i i i i x x T xεεηξηξξ∑∑∑∑=====∆≤∆≤∆=-∆ni i ii i ni i i i i i ni x ab x f f x f f a F b F x f 11n1i 1.-|)(-)(||)](-)([||)]()([-)(|所以，f 在[a ,b ]上可积，则命题成立，成为定理.定理 9.1 若函数f 在区间[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F'(x)= f(x) ,x ∈[a,b ] ,则f 在[a,b]上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰这成为牛顿-莱布尼茨公式，可以写成.|)()(b a b a x F dx x f f =（四）反馈练习，巩固新知例1.求注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限.例2.计算曲线y=sinx 在],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积.例3.用定积分求极限)21...2111(lim nn n n +++++∞→ 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式.（五）总结反思，提炼精华1.学生反思：本节课的学习有何收获？积极参与课堂活动了吗？2.教师反思：课堂气氛？充分调动学生学习的兴趣了吗？ （六）、安排作业，课堂延伸作业：习题第一题中的（2）、（4）、（6）、（8）；第二题中的（2）、（3）..)1sin cos 2(20⎰π-+dx x x。

教学目标：1. 理解定积分的概念及其几何意义。

2. 掌握定积分的性质和计算方法。

3. 能够运用定积分解决实际问题。

教学重点：1. 定积分的定义及其几何意义。

2. 定积分的性质和计算方法。

教学难点：1. 定积分的定义的理解。

2. 定积分的计算。

教学时间：2课时教学过程：一、导入1. 通过展示曲边梯形的面积计算实例，引导学生回顾不定积分的概念，并引出定积分的定义。

2. 强调定积分在解决实际问题中的应用。

二、新课讲解1. 定积分的定义- 讲解定积分的定义，强调分割、近似求和、取极限的过程。

- 通过实例展示定积分的定义在几何意义中的应用。

2. 定积分的性质- 讲解定积分的性质，包括线性性质、保号性、中值定理等。

- 通过实例演示定积分的性质在解决实际问题中的应用。

3. 定积分的计算- 讲解定积分的计算方法，包括直接计算、换元法、分部积分法等。

- 通过实例演示定积分的计算方法，强调计算过程中的注意事项。

三、课堂练习1. 针对定积分的定义和性质，设计一些选择题和填空题，帮助学生巩固所学知识。

2. 针对定积分的计算，设计一些计算题，让学生独立完成，教师进行点评和讲解。

四、课堂小结1. 总结本节课的主要内容，强调定积分的定义、性质和计算方法。

2. 鼓励学生在课后复习，加深对定积分的理解和应用。

五、课后作业1. 完成本节课的课堂练习题。

2. 额外练习题：- 利用定积分计算曲边梯形的面积。

- 利用定积分计算变力所作的功。

教学反思：本节课通过实例引入定积分的概念，帮助学生理解定积分的定义和几何意义。

在讲解定积分的性质和计算方法时，注重理论与实践相结合，通过课堂练习和课后作业，提高学生的实际应用能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力。

教学评价：1. 学生对定积分的定义和性质的理解程度。

2. 学生运用定积分解决实际问题的能力。

3. 学生对定积分计算方法的掌握程度。

第9章　定积分§1　定积分概念1．按定积分定义证明：证明：对于[a ，b]的任一分割，任取，f （x ）＝k 相应的积分和为从而可取δ为任何正数，只要使，就有根据定积分定义有2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：解：（1）因f （x ）＝x 3在[0，1]上连续，所以f （x ）在[0，1]上可积．对[0，1]进行n 等分，记其分割为，取为区间的右端点，i ＝1，2，…，n ，得（2）同（1），有（3）由在[a，b]上连续知，f（x）在[a，b]上可积，对[a，b]进行n等分，记其分割为，则，取为区间的右端点，i＝1，2，…，n，得（4）同（3），取，得§2 牛顿-莱布尼茨公式1．计算下列定积分：解：（7）先求原函数，再求积分值：2．利用定积分求极限：解：（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：这是函数在区间[0，1]上的一个积分和的极限．这里所取的是等分分割，，而恒为小区间的右端点，i＝1，2，…，n．所以有（2）不难看出，其中的和式是函数在区间[0，1]上的一个积分和．所以有（3）（4）3．证明：若f在[a，b]上可积，F在[a，b]上连续，且除有限个点外有F'（X）＝f（x），则有证明：对[a，b]作分割，使其包含等式F'（x）＝f（x）不成立的有限个点为部分分点，在每个小区间上对F （x ）使用拉格朗日中值定理，则分别存在，使于是因为f 在[a ，b]上可积，所以令，有§3 可积条件1．证明：若T '是T 增加若干个分点后所得的分割，则证明：设T 增加p 个分点得到T '，将p 个新分点同时添加到T ，和逐个添加到T ，都同样得到T '，所以我们只需证p ＝1的情形．在T 上添加一个新分点，它必落在T 的某一小区间内，而且将分为两个小区间，记作与．但T 的其他小区间（i≠k）仍旧是新分割T 1所属的小区间，因此，比较的各个被加项，它们之间的差别仅仅是前者中的一项换为后者中的两项．又因函数在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅，即有．故即一般的，对增加一个分点得到，就有这里，故2．证明：若f（x）在[a，b]上可积，[α，β][a，b]，则f（x）在[α，β]上也可积．证明：已知f（x）在[a，b]上可积，故任给ε＞0，存在对[a，b]的某分割T，使得，在T上增加两个分点α，β，得到一个新的分割T'，则由上题结论知分割T'在[α，β]上的部分，构成[α，β]的一个分割，记为T*，则有故由可积准则知，f（x）在[α，β]上可积．3．设f、g均为定义在[a，b]上的有界函数．证明：若仅在[a，b]中有限个点处f（x）≠g（x），则当f在[a，b]上可积时，g在[a，b]上也可积，且证明：设f（x）与g（x）在[a，b]上的值仅在k个点处不同，记，由于f （x ）在[a ，b]上可积．存在，使当时，有令，则当时，有当时，，所以上式中至多仅有k项不为0，故这就证明g（x）在[a，b]可积，且。

§5 微积分基本定理。

定积分计算（续）教学要求:熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点:熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后，接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数。

一。

变限积分与原函数的存在性设f （x)在[a ，b ］上可积，根据定积分的性质4,对任何x ∈[a,b ］，f(x)在［a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a ，b ］定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈［a,b],统称为变限积分。

注意在变限积分中不可再把积分变量写成x,以免与积分上下限的x 相混淆。

变限积分所定义的函数有着重要性质,由于()()b xxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。

定理9。

9 若f （x ）在[a,b]上可积,则()()xa x f t dt Φ=⎰，x ∈［a,b]是连续函数。

证明 对［a,b ］上任一确定的点x,只要x+x ∈[a,b ］,则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰,因f(x ）在[a ，b ］上有界，可设|f （t)|≤M ，t ∈［a,b]，于是当Dx>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤，当Dx<0时有||||M x ∆Φ∆≤，由此得到0lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x处连续。

由x 得任意性，(x ）在[a,b ］上处处连续。

定理9。

10原函数存在定理 若f(x ）在［a,b ］上连续，则F(x)在［a ，b ］上处处可导，且F'(x ）=f （x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰证明 对[a ，b]上任一确定的x ，当Dx ≠0且x+Dx ∈［a ，b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f （x ）在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性,证得F(x)是f （x)在［a,b ］上的一个原函数。

《数学分析》第九章定积分数学分析是数学的一个重要分支，它主要研究函数的极限、连续性、可微性和积分等概念及其相互关系。

在数学分析中，定积分是一个重要的概念，它可以用来计算曲线下面的面积，求解物体的体积等。

定积分是一个数学上的运算符号，它可以表示一个函数在一些区间上的平均值和总值。

定积分的定义是通过分割区间，将函数的值与区间长度相乘，并将所有的乘积相加。

在数学中，定积分用符号∫来表示，其中被积函数写在∫的右边，积分区间写在∫的上下限中。

定积分的计算可以通过各种数学工具和方法来进行，其中包含了很多重要的定理和公式。

当被积函数是一个常函数时，定积分的计算可以直接用函数值乘以区间长度。

当被积函数是一个一次函数时，可以使用直线的面积公式来计算定积分。

对于更复杂的函数，可以利用反函数的性质，分部积分，换元积分等方法来计算定积分。

在定积分中，积分区间是一个重要的概念。

积分区间的选择对于定积分的结果有重要影响。

当积分区间为闭区间时，定积分可以表示函数在该区间上的总值。

当积分区间为开区间时，定积分可以表示函数在该区间上的平均值。

对于无界区间，定积分的计算需要利用极限的概念来进行。

定积分在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学、物理学和工程学等领域。

在几何学中，定积分可以用来计算曲线的弧长和曲面的面积。

在物理学中，定积分可以用来计算物体的质量、速度和加速度等物理量。

在工程学中，定积分可以用来计算电路中的电流和电量，以及管道中的流量和压力等。

总之，定积分是数学分析中的一个重要概念，它可以用来描述函数的平均值和总值，计算曲线下面的面积和求解物体的体积等。

定积分的计算需要掌握各种数学工具和方法，包括分割区间、牛顿-莱布尼茨公式、分部积分和换元积分等。

定积分在数学和应用科学中有着广泛的应用，对于深入理解数学和解决实际问题具有重要意义。

第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1．问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题，求解的思想方法可以用“分割，近似求和，取极限”来概括，这也是产生定积分概念的背景．2．定积分的相关定义（1）设闭区间[,]a b 上有1n +个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ，这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割，记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模．（2）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ，任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ，并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑，称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和，又称黎曼和．（3）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积．数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分，记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[,]ab 称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续，且存在原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈，则f 在[,]a b 上可积，且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式．它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积，则f 在上[,]a b 必定有界．2.可积的充要条件（1）可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的一个分割T ，使得()(T)S T s ε-<（2）可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的某一分割T ，使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件（1）若f 为[,]a b 上的连续函数，则f 在[,]a b 上可积．（2）若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[,]a b 上可积．（3）若f 是[,]a b 上的单调函数，则f 在[,]a b 上可积．四、定积分的性质1.定积分的基本性质（1）若f 在[,]a b 上可积，k 为常数，则kf 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰（2）若f ，g 都在[,]a b 上可积，则f g ±在[,]a b 也可积，且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰（3）若,f g 都在[,]ab 上可积，则f ·g 在[a ，b ]上也可积．（4）f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给(,)c a b ∈，f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积，此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（5）设f 为[,]a b 上的可积函数，若()0,[,]f x x a b ≥∈，则()d 0ba f x x ≥⎰推论：积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数，且()g(x),[,]f x x a b ≤∈，则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰（6）若f 在[,]ab 上可积，则||f 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2．积分中值定理（1）积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰（2）推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1．变限积分与原函数的存在性（1）定义设f 在[a ，b ]上可积，根据定积分的性质，对任何x ∈[a ，b ]，f 在[a ，x ]上也可积．于是，由（9-1）定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分．类似地，又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分．（2）变限积分的性质①若f在[a，b]上可积，则由式（9-1）所定义的函数φ在[a，b]上连续．②原函数存在定理（微积分学基本定理）若f在[a，b]上连续，则由式（9-1）所定义的函数函在[a，b]上处处可导，且（3）重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a，b]上可积，则：a．若函数g在[a，b]上减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得b．若函数g在[a，b]上增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得②推论设函数f在[a，b]上可积．若g为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得2．换元积分法与分部积分法（1）定积分换元积分法若函数f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，且满足则有定积分换元公式（2）定积分分部积分法若u（x），ν（z）为[a，b]上的可微函数，且u′（x）和ν′（x）都在[a，b]上可积，则有定积分分部积分公式3．泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U（x0）上有n＋1阶连续导函数．令x∈U（x0），则（1）积分型余项（2）拉格朗日型余项。

课时：2课时教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 能够运用定积分解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

教学重点：1. 定积分的概念2. 定积分的计算方法教学难点：1. 定积分的几何意义2. 定积分的实际应用教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题3. 小组合作讨论教学过程：第一课时一、导入1. 通过回顾微积分的基本概念，引出定积分的定义。

2. 提问：什么是微积分？微积分有什么作用？二、新课讲授1. 定积分的概念- 通过对连续函数在一个区间上的积分，引入定积分的概念。

- 强调定积分是微积分中一个重要的基本概念，具有广泛的实际应用。

2. 定积分的几何意义- 利用图形直观地展示定积分的几何意义。

- 举例说明定积分表示的是曲线与x轴围成的面积。

3. 定积分的计算方法- 介绍定积分的计算方法，包括牛顿-莱布尼茨公式。

- 通过实例讲解定积分的计算过程。

三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调定积分的概念、几何意义和计算方法。

2. 引导学生思考定积分在实际问题中的应用。

第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学内容，提问学生定积分的概念和计算方法。

2. 引导学生回顾定积分的几何意义。

二、新课讲授1. 定积分的实际应用- 举例说明定积分在物理学、经济学、工程学等领域的应用。

- 通过实例讲解定积分在实际问题中的求解过程。

2. 定积分与不定积分的关系- 介绍定积分与不定积分的关系，强调不定积分是定积分的逆运算。

- 通过实例讲解不定积分的计算方法。

三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调定积分的实际应用和与不定积分的关系。

2. 鼓励学生在日常生活中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题。