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第八章应力、应变状态分析8-2已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
题8-2图(a)解：由题图所示应力状态可知，45MPa20MPa10MPa30=-===ατσσxyx，，，将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得MPa0.10)MPa90sin21030(MPa0.40)MPa90sin2021030(=-==++=αατσ(b)解：由题图所示应力状态可知，5.22MPa20MPa10MPa30===-=ατσσxyx，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为)MPacos4520sin4521030(MPa3.38)MPasin4520cos452103021030(=+--=-=---++-=αατσ(c)解：由题图所示应力状态可知，60MPa15MPa20MPa10-==-==ατσσxyx，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为MPa5.20)]MPa120cos(15)120sin(22010[MPa490.0)]MPa120sin(15)120cos(2201022010[-=-+-+==---++-=αατσ8-3试用图解法（应力圆）解题8-1。
解：题8-1图所示应力状态的应力圆如图8-3所示。
图8-3由图a可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa0.15MPa0.104545===ττσσαα，＝由图b可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa3.7MPa3.473030-===--ττσσαα，＝8-6图示双向拉伸应力状态，应力σσσ==yx。
试证明任意斜截面上的正应力均等于σ，而切应力则为零。
题8-6图证明：由题设条件可知，===xyxτσσσ，将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有2sin22cos22=+-==--++=ασστσασσσσσαα由于式中α为任意值，故原命题得证。
8-7已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为MPa），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。
第十章 组合变形10-2 图a 所示板件，b =20mm ，δ=5mm ，载荷F = 12 kN ，许用应力[σ] = 100 MPa ，试求板边切口的允许深度x 。
题10-2图解：在切口处切取左半段为研究对象（图b ），该处横截面上的轴力与弯矩分别为F F =N)(a b F M -= (a)显然，222xb x b a -=-=(b)将式(b)代入式(a)，得2FxM =切口段处于弯拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为22N max 432)(26 22a Fxa F a Fx a F W M A F δδδδσ+=+=+=根据强度要求，在极限情况下，][4322σδδ=+a Fx a F 将式(b)与相关数据代入上式，得01039.61277.042=⨯+--x x由此得切口的允许深度为m m 20.5=x10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为aε=1.0×10-3与b ε=0.4×10-3，材料的弹性模量E =210GPa 。
试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力F 及其偏心距e 的数值。
题10-3图解：1.求a σ和b σ截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有MPa84Pa 104.010210 MPa 210Pa 100.1102103939=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯==--b b a a E εσE εσ偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图10-3所示。
图10-32．求F 和e将F 平移至杆轴线，得 Fe M F F ==，N于是有a za E εW Fe A F σ=+=b zb E εW FeA F σ=-=代入相关数据后，上述方程分别成为 26250240=+Fe F 10500240=-Fe F 经联立求解，于是得mm 786.1m 10786.1kN 38.18N 183753=⨯=≈=-e F ，10-6 图示直径为d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e 的载荷F 作用。
第八章 应力、应变状态分析8-2 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。
题8-2图(a)解：由题图所示应力状态可知，45MPa 20MPa 10MPa 30=-===αηζζx y x ，，，将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得MPa0.10)MPa 90sin 21030( MPa 0.40)MPa 90sin 2021030(=-==++=ααηζ(b)解：由题图所示应力状态可知，5.22MPa 20MPa 10MPa 30===-=αηζζx y x ，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为)MPa cos4520sin4521030( MPa 3.38)MPa sin4520cos452103021030(=+--=-=---++-=ααηζ(c)解：由题图所示应力状态可知，60MPa 15MPa 20MPa 10-==-==αηζζx y x ，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为MPa5.20)]MPa 120cos(15)120sin(22010[ MPa 490.0)]MPa 120sin(15)120cos(2201022010[-=-+-+==---++-=ααηζ8-3 试用图解法（应力圆）解题8-1。
解：题8-1图所示应力状态的应力圆如图8-3所示。
图8-3由图a 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa 0.15MPa 0.104545=== ηηζζαα，＝由图b 可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa 3.7MPa 3.473030-===-- ηηζζαα，＝8-6 图示双向拉伸应力状态，应力σσσ==y x。
试证明任意斜截面上的正应力均等于σ，而切应力则为零。
题8-6图证明：由题设条件可知，0===x y x ηζζζ，将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有02sin 202cos 22=+-==--++=αζζηζαζζζζζαα由于式中α为任意值，故原命题得证。
8-7 已知某点A 处截面AB 与AC 的应力如图所示（应力单位为MPa ），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。
题8-7图解：根据题图所给应力，画应力圆如图8-7所示。
图8-7从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：MPa 9.9 MPa 7.6921==ζζ，由于是平面应力状态，故知03=ζ从该应力圆上还可以量得1ζ的方位角为7.230-=α式中负号表示从AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN 作用，试绘微体A ，B 与C 的应力图，并确定主应力的大小及方位。
题8-9图解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为m 20kN m kN 120|| kN 20s ⋅=⋅⨯====Fa M F F ，微体A ，B 和C 的应力状态依次如图8-9 a,b 和c 所示。
图8-9对于图a 所示应力状态，其正应力为MPa 0.60Pa 1000.6m200.0050.0N 10206||7223=⨯=⨯⨯⨯==z A W M ζ 由此可知，主应力各为0 MPa,0.60321===ζζζ1ζ的方位角为00=α对于图b 所示应力状态，其正应力和切应力分别为MPa25.2Pa 1025.20.050m 200.0050.0N 075.0050.0050.0102012)(MPa 0.30Pa 1000.3m 200.0050.0N050.0102012|||| 6233S 7233=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯⨯==b I ωS F ηI y M ζz z B z B B极值应力为MPa 1678.02.30MPa ]25.20.150.15[)2(22222min max ⎩⎨⎧-=+±=+±=⎭⎬⎫B B B ηζζζζ 由此可知，主应力为MPa 167800 MPa 2.30321.ζζζ-===，，由07458.01678.00.3025.2tan min 0-=+-=--=ζζηαx x得1ζ的方位角为27.40-=α对于图c 应力状态，其切应力为MPa 00.3Pa 1000.3m200.0050.02N 1020323623S =⨯=⨯⨯⨯⨯==A F ηC 由此得各主应力依次为MPa 00.30MPa 00.3321-===ζζζ，，1ζ的方位角为450-=α8-12(c) 试画图a 所示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。
题8-12图解：显然，MPa 20=z ζ为主应力，而其他两个主应力则可由x ζ，x η与y ζ确定（图b ）。
在τσ-平面内（图c ），由坐标（60，40）与（20，-40）分别确定A 与B 点，然后，以AB 为直径画圆，与σ轴相交于C 与E ，其横坐标分别为MPa7.4 MPa7.84-==E C σσ取D （20，0）对应于主平面z ，于是，分别以ED 与DC 为直径画圆，即得三向应力圆。
可以看出，主应力为MPa 7.841==C σσ MPa 0.202==D σσMPa 7.43-==E σσ而最大正应力与最大切应力则分别为 MPa 7.841max ==σσMPa 7.442MPa7.4MPa 4.78231max =+=-=σστ8-15 在构件表面某点O 处，沿0°，45°，90°与135°方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次为 0ε= 450×10-6， 45ε= 350×10-6， 90ε= 100×10-6与 135ε= 100×10-6 ，试判断上述测试结果是否可靠。
题8-15图解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式，有645690601035022 10100221045022---⨯=-+=⨯==--+=⨯==-++=xy y x y yx yx x y x y x γεεεεεεεεεεεεεεε(c)(b)(a) 将式(a)和(b)代入式(c)，得661015010)700550(--⨯-=⨯-=xy γ(d)将以上所得结果(a),(b)和(d)代入平面应变状态任意方位的正应变公式，计算 135ε应有的测量值为666613510200 )sin27010150(21270cos 10)100450(2110)100450(21----⨯=⨯-⨯-⨯-+⨯+=ε135ε的实际测量值比上述结果小了一半，这说明题中所给测试结果不可靠。
其实，由应变圆可知，无论α 为何值 常数=++ 90ααεε而13545900εεεε+≠+同样说明题中所给的这组测试结果不可靠。
8-16 图示矩形板，承受正应力yxσσ与作用。
已知板件厚度δ=10mm ，宽度b =800mm ，高度h = 600mm ，正应力x σ=80MPa ，y σ=40-MPa ，材料为铝，弹性模量E =70GPa ，泊松比μ= 0.33。
试求板厚的改变量δ∆与板件的体积改变量V ∆。
题8-16图解：此为平面应力状态问题。
设板厚度方向的正应变为z ε，则有)(y x z ζζEμε+-=板厚的改变量为mm001886.0m 10886.1 m 10)4080(1070010.033.0)(Δ669-=⨯-=⨯-⨯⨯⨯-=+-==-y x z ζζE δμδδε 体应变为)()21(z y x ζζζEμθ++-=由此可得该板件的体积改变量为337369mm 933m 1033.9 )m 010.0600.0800.0(10)4080(1070)33.02(1 ))(()21(Δ=⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=++-=-bh δζζζEμV z y x8-17 图a 所示微体处于平面应力状态，已知应力σx=100MPa ，σy=80MPa ，τx=50 MPa ，弹性模量E =200GPa ，泊松比μ =0.3，试求正应变εx ，εy 与切应变γxy ，以及α =30°方位的正应变ε30°。
题8-17图解：根据广义胡克定律，得4669108.3)Pa 10803.0Pa 10100(Pa 102001)(1-⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=y x x E μσσε 4669105.2)Pa 101003.0Pa 1080(Pa102001)(1-⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=x y y E μσσε 496105.6Pa10200)Pa 1050)(3.01(2)1(2-⨯=⨯⨯+=+==E G x x xy τμτγ 斜截面的应力如图b 所示，MPa 51.7MPa 60sin 5060cos 280100280100 302sin 302cos 2230=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=⨯-⨯-++=x yx y x τσσσσσMPa 3.281MPa )120sin(50)120cos(28010028010060=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++=- σ 根据广义胡克定律，得30°的正应变为46696030301066.0)Pa 103.1283.0Pa 107.51(Pa102001)(1--⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=μσσεE8-18 构件表层一点处的应力如图a 所示，为了测量应力，在该点沿0°，45°与90°粘贴三个应变片，幷测得相应正应变依次为 90450εεε与,（图b ）。
已知材料的弹性模量为E ，泊松比为μ，试根据上述测试应变值，确定该点处的正应力σx ，σy 与切应力τx 。
题8-18图解：当α=45°与α=-45°时，相应截面的正应力为τσστσσσσσ-+=--++=4290sin 90cos 225yx y x y xτσστσσσσσ++=----++=4-2)90sin()90cos(225yx y x y x 根据广义胡克定律，45°方位的正应变则为 )(145455 -4-=μσσεE由此得[])1(2)1)((215μτμσσε+--+=4y x E(a)根据广义胡克定律还可知，沿0°与90°方位的正应变分别为 )(10y x E μσσε-=(b))(190x y Eμσσε-=(c)联立求解式（a ），（b ）与（c ），于是得29001)(μμεεσ-+=E x29001)(μεμεσ-+=E y)1(2]2[45900μεεετ+-+=E x将应变的测试值 90450,εεε，代入上述方程，即可确定相应正应力σx ，σy 与切应力τx 。
8-19 图a 所示板件，处于纯剪切状态。
