湖南省长沙市师大附中博才实验中学湘江校区国庆2020届高三假期数学作业(一)

2020年湖南省长沙市博才实验中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“A?B”是“a=3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={1，a}，B={1，2，3}，由“A?B”，可得：a=2或3．即可判断出结论．【解答】解：集合A={1，a}，B={1，2，3}，由“A?B”，可得：a=2或3．∴“A?B”是“a=3”的必要不充分条件．故选：B．2. “”是“”的（）A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件参考答案：A3. 如图, 有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线经过原点向右平行移动,在移动过程中扫过平面图形的面积为(图中阴影部分), 若函数的大致图象如图, 那么平面图形的形状不可能是（）A． B． C． D ．参考答案：C考点：函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4. 函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C5. 建立从集合到集合的所有函数，从中随机的抽取一个函数，其值域是B的概率为( )A. B. C. D.参考答案：C6. 执行如图的算法框图，如果输入p=5，则输出的S等于（）A. B. C. D.参考答案：C略7. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A． B． C．D．参考答案：C8. 如下图，是把二进制数化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（）A．B．C．D．参考答案：A9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14 B．15 C．16 D．17参考答案：C【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．【解答】解：第一次循环：，n=2；第二次循环：，n=3；第三次循环：，n=4；…第n次循环：=，n=n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1=16故选：C．【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．10. 下列命题是真命题的是( )A.是的充要条件B.，是的充分条件C.，＞D.，＜0 参考答案：BA.是的充要条件，错误，若，当c=0时，不成立；C.，＞，错误，例如：x=2时，=；D.，＜0，错误，对于，>0。

湖南师大附中博才实验中学2019-2020学年度 第一学期九年级第一次月考试题卷·数学一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列实数中，为无理数的是（ ）A. 0.1B.15C.D. 5-2. 中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ） A. 50.67510⨯B. 46.7510⨯C. 367.510⨯D. 267510⨯3. 下列运算中，正确的是（ ）. A. 34x x x += B. 236()x x = C. 321x x -=D. 222()a b a b -=-4. 某校篮球队13名同学的身高如下表：则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ） A. 182，180B. 180，180C. 180，182D. 188，1825. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形6. 不等式组373243x xx x +≤+⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D.7. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A. CM DM =B. CB DB =C. ACD ADC ∠=∠D. OM BM =8. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和12，则b 的面积为（ ）A. 4B. 17C. 16D. 559. 已知0k >，0b <，则一次函数y kx b =-的大致图象为（ ）A. B. C. D.10. 如图，在ABC ∆中，65CAB ︒∠=，将ABC ∆在平面内绕点A 旋转到AB C ∆''的位置．若25CAB ︒∠'=，则'CAC ∠的度数为（ ）A. 25︒B. 40︒C. 65︒D. 70︒11. 长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润200元，其利润率为10%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ） A. 475元B. 875元C. 562.5元D. 750元12. 已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象如图所示，给出以下结论： ①0a b c ++<；②240b ac ->；③0b >；④420a b c -+<； ⑤23a c +<， 其中正确结论的个数是（ ） A. ②③④B. ①②⑤C. ①②④D. ②③⑤第7题图第8题图 第10题图二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13.x 的取值范围是 . 14. 若223x y y -=，则xy= . 15. 如图，直线123l l l ，点A 、B 、C 分别在直线123l l l 、、上．若170︒∠=，250︒∠=，则ABC ∠= 度．16. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且8AB cm =，5OC cm =，则OD的长是 .17. 设a b c 、、是实数，且满足2(3)10a c ++++=，则()c b a -的值为 . 18. 如图，正方形AEFG 与正方形ABCD 的边长都为1，正方形AEFG 绕正方形ABCD 的顶点A 旋转一周，在此旋转过程中，线段DF 的长取值范围为.三、解答题（本题共2小题，每题6分，满分12分） 19.（本小题6分）计算：01123π-+--.20.（本小题6分）先化简，再求值：22244(4)2x x x x x+--÷+，其中3x =-.第15题图 第16题图 第18题图21.（本小题8分）博才中学校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）博才中学共有7200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？22.（本小题8分）已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D （如图）．（1）求证：AC BD =；（2）若大圆的半径10R =，小圆的半径8r =，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．23.（本小题9分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案： 方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B ：每件文具的利润不低于25元且不高于29元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．24.（本小题9分）如图，四边形ABCD 中，90BCD D ︒∠=∠=，E 是边AB 的中点．已知1AD =，2AB =．（1）若AB AC =，求B ∠的度数；（2）设BC x =，CD y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当ACE ∆为直角三角形时，求边BC 的长．25.（本小题10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于1p，则称p 为这个函数的“开心值”．在函数存在“开心值”时，该函数的最大“开心值”与最小“开心值”之差q 称为这个函数的“开心长度”．特别地，当函数只有一个“开心值”时，其“开心长度”q 为零． （1）分别判断函数14y x =，2y x =有没有“开心值”？如果有，直接写出其“开心长度”； （2）函数2y x b =-+①若其“开心长度”为零，求b 的值；②若34b ≤≤，求其“开心长度”q 的取值范围；（3）记函数430y x x m m =-≥>（，）的图象为1G ，将1G 沿x m =翻折后得到的函数图象记为2G ，函数G 的图象由1G 和2G 两部分组成，求函数G “开心长度”q 取值范围为多少？26.（本小题10分）如图1，直线y n =+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，，抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，2-）．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD PD ⊥于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）当BDP ∆为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将BDP ∆绕点B 逆时针旋转，得到BD P ∆''，且旋转角PBP OAC ∠'=∠，当点P 的对应点P '落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．。

湖南师大附中博才实验中学 2019—2020 学年度第一学期第二次月考试题卷·数学模拟试卷时 量：120 分钟满 分：120 分一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分）1. 湖南师大附中博才实验中学梅溪湖校区于 2018 年秋季正式揭牌开学，校区位于麓云路和映日路交汇处西北角，规划用地面积约为 62000m 2，净用地面积约为 51000m 2，总建筑面积 35819.6m 2，办学规模 54 个班。

62000 用科学记数法表示为（ ）A ．6.2×10﹣4B ．6.2×104C ．﹣6.2×104D ．0.62×1042. 下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 3+a 2=a 5C ．（a 2）4=a 8D ．a 3﹣a 2=a3. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A ．B． C． D ．4. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 N （﹣1，﹣2）绕点 O 旋转 180°，得到的对应点的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣1，2） C ．（﹣1，﹣2） D ．（1，﹣2）5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错．误．的是（ ） A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 已知α、β是一元二次方程 x 2﹣2x ﹣3＝0 的两个根，则α+β的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣37. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，E 为 AD 边中点，OE 的长等于 4， 则菱形 ABCD 的周长为（ ）A ．16B ．20C ．24D ．32图 18. 随机抽查某商场四月份 5 天的营业额分别如下（单位：万元）3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额约是（ ）A ．3 万元B ．15 万元C ．90 万元D ．450 万元9. 点 M （﹣3，y 1），N （﹣2，y 2）是抛物线 y ＝﹣（x +1）2+3 上的两点，则下列大小关系正确的是（ ）A ．y 1＜y 2＜3B ．3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 1＜3D ．3＜y 2＜y 12 10. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，∠BAC =30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB 1C 1，连接 BC 1，则 BC 1 的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12图 2 图 3 图411. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今 仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道 长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED =1 寸），锯道长 1 尺（AB =1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图 6 所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（ ） A ．13 寸 B ．20 寸 C ．26 寸 D ．28 寸12.如图 4：二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的图象所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③当 m ≠1 时，a +b＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若 ax 12+bx 1＝ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，则 x 1+x 2＝2，正确的个数为（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13. 在平面直角坐标系中，点 P （- 4,2）与 P 1 关于原点对称，则 P 1 的坐标是 14.若二次函数 y ＝ax 2﹣bx +5（a ≠5）的图象与 x 轴交于（1，0），则 b ﹣a +2015 的值是 ． 15.如图 5，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE ，这时点 B ，C ，D 恰好在同一直线上，则 ∠B 的度数为 ．图 5 图 6 图 7 图 8 16.如图 6，在矩形 ABCD 中，AD =3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG ，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE =EF ，则 AB 的长为 ． 17. 如图 7，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为 ．18.如图 8，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点， P 是 A'B'的中点，连接 PM ．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是 三．解答题（共 8 小题）21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1,1） B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A 1B 1C 1； （2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2； （3）判断以 O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。

湖南省长沙市实验中学2020届高三联考数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合（）A. B. C. D.2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数的零点是和，则（）A. B. C. D.4. 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A. B. C. D.5. 已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.6. 设等差数列满足，，是数列的前项和，则使得的最大的自然数是（）A. 7B. 8C. 9D. 107. 如图程序框图中，输入，，，则输出的结果为（）A. B. C. D. 无法确定8. 已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（）A. B. C. D.9. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的内切圆的半径为（）A. B. C. D.10. 抛物线：的焦点与双曲线的一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于点、，若的面积为，则的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 511. 如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上数字标签：原点处标0，点处标1，点处标2，点处标3，点处标4，点处标5，点处标6，点处标7，以此类推，则标签的格点的坐标为（）A. B. C. D.12. 已知函数（，是自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. ，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若变量，满足不等式组则的最大值为__________．14. 如图，有5个全等的小正方形，，则的值是__________．15. 已知四棱锥的外接球为球，底面是矩形，面底面，且，，则球的表面积为__________．16. 如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，称为“规划合理度”，则“规划合理度”的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）令，，若对一切成立，求实数的最小值．18. 如图所示的矩形中，，点为边上异于，两点的动点，且，为线段的中点，现沿将四边形折起，使得与的夹角为，连接，.（1）探究：在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，说明点的位置，若不存在，请说明理由；（2）求三棱锥的体积的最大值，并计算此时的长度．19. 环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数溶度，制定了空气质量标准：某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）．王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05．（1）求频率分布直方图中的值；（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如表：根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．参考数据：参考公式：，其中．20. 如图，已知，分别为椭圆：的上、下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．21. 已知函数，，．（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．（1）求的值及直线的普通方程；（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．23. 选修4-5：不等式选讲若关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值；（2）若实数，满足，，求证：．湖南省长沙市实验中学2020届高三联考数学文试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，得，所以，故选D。

2020年湖南师大附中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（0，3]D．（1，2]【解答】解：∵2x﹣1＞1，∴A＝{x|x＞1}，又x2﹣2x≤0，则B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]，故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝故选：D．3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝+＝+＝﹣，故选：C．4．函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，函数y＝＝，y′＝，有且只有一个极大值点是x＝2，故选：A．5．在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．∴所求概率P＝．故选：C．6．的展开式中的常数项为（）A．14B．﹣14C．16D．﹣16【解答】解：∵＝（3x+1）（﹣+﹣+﹣1），故它的展开式中的常数项为3×5+1×（﹣1）＝14，故选：A．7．已知α为锐角，且，则α的值为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【解答】解：整理得：，转换为，即，则：．当α＝40°时，两边相等．故选：B．8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝3b，∴4a2＝9（a2﹣c2），5a2＝9c2∴e＝＝，故选：D．9．设三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．24πB．18πC．26πD．16π【解答】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O'，则外接圆的半径r＝，而AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝2，所以r＝，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O 为外接球的球心，由题意得：R2＝r2+（）2＝2+＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝26π，故选：C．10．设S n是数列{a n}的前n项和，若，2＝2a n+2﹣a n+1（n∈N*），则数列的前99项和为（）A．B．C．D．【解答】解：，，两式作差得，，故2＝2a n+2﹣a n+1＝2n+1，b n＝n+1，所以，所以＝，故选：C．11．已知函数f（x）＝．若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，如图①所示；由f（a）＝f（b），且a＜b，设2+a＝2b＝k，则2＜k≤4；所以a＝，b＝log2k；当k＝4时，ab＝•log24＝•2＝；考虑ab﹣＝•log2k﹣＝•（log2k﹣2k﹣3），在同一坐标系中画出函数y＝log2x和y＝2x﹣3的图象，其中x∈（2，4]，如图②所示；则函数y＝log2x的图象总在y＝2x﹣3的图象上方，所以ab﹣≥0，即ab的最小值为．故选：B．12．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B．交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），渐近线OB的方程为y＝x，渐近线OA的方程为y＝﹣x，可得|BF|＝＝b，|OB|＝＝a，|AB|＝＝，可得tan∠AOB＝＝＝，解得b＝2a或b＝﹣a（舍去），可得|AF|＝+2a＝，由|OB|2＝|CB|•|BF|，可得|CB|＝＝a，则|CF|＝b+a＝，则＝．故选：B．二、填空题13．已知函数f（x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x（a∈R）为偶函数，则a＝．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），则有a（﹣x）﹣log2（2﹣x+1）+cos（﹣x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x，变形可得：2ax＝log2（2x+1）﹣log2（2﹣x+1）＝x，必有a＝；故答案为：．14．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5＝6，则a8＝3．【解答】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，且设公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，显然q＝1时，18a1＝9a1，即a1＝0不成立；则2•＝+，化为2q9＝q3+q6，即2q6﹣q3﹣1＝0，解得q3＝﹣，由a2+a5＝6，可得a1q+a1q4＝a1q（1+q3）＝a1q＝6，则a8＝a1q7＝a1q（q6）＝a1q＝×6＝3．故答案为：3．15．若f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，且当φ取最小值时，，使得f（x0）＝a，则a的取值范围是（﹣，2]．【解答】解：f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，所以φ＝（k∈Z），解得φ＝，当k＝0时，φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+）．由于，所以，所以﹣＜f（x0）≤2，即a的范围为（﹣，2]．故答案为：（﹣，2]．16．在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8．【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，∴PB2+BC2＝PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且PD＝＝3，DE＝4，AE＝＝，∴AE2+DE2＝PD2，∴AE⊥DE，∵PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PBC，∴四面体P﹣ABC的体积为：V P﹣ABC＝P A﹣PBC＝＝＝＝8．故答案为：8．三、解答题17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（I）∵a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C），∴sin A sin（π﹣2C）＝sin C sin A，∴2sin A sin C cos C＝sin C sin A，∵sin A sin C≠0，∴cos C＝，∵0＜C＜π，∴C＝，（II）由题意可得，＝，∴ab＝4，∵2a+b＝6，联立可得，或，若a＝1，b＝4，则由余弦定理可得，c2＝1＝13，此时a+b+c＝5+，若a＝2，b＝2，则此时△ABC为等边三角形，此时周长6．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BB1C1C：（Ⅱ）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C1﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵侧面BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB，BC1均在平面ABC1内，∴B1C⊥平面ABC1，∵AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB＝AC1，O为BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1＝O，B1C，BC1均在平面BB1C1C内，∴AO⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成角等于直线AB与平面BB1C1C所成角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成角为∠ABO，即∠ABO＝45°，设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边△BB1C中，，在直角△ABO 中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面A1B1C1的一个法向量为，则，令，则，易知平面B1C1B的一个法向量为，∴，又二面角A1﹣B1C1﹣B为钝角，故其余弦值为．19．已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），即y＝•x﹣，代入韦达定理可得y＝•（x+1），则直线EN过定点（﹣1，0）．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n，（n∈N*）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量X～B（5，），∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P（X＝2）＝＝．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，…，P（ξ＝n﹣1）＝，P（ξ＝n）＝，∴ξ的分布列为：ξ012…n﹣1nP…E（ξ）＝+，①E（ξ）＝，②①﹣②，得：E（ξ）＝∴E（ξ）＝＝＝3﹣3•．21．已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当0＜a＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴a＞0且a≠1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，①0＜a＜1时，﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，②a＞1时，﹣lna＜0，∴当x＞0或x＜﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣lna＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极小值，当x2＝﹣lna时，函数取得极大值，故a的范围为（0，1）∪（1，+∞），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞﹣kf（x2），令﹣k＝m，∵a﹣1＞m[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故m＞0，故（a+1）lna＜（1）（a﹣1），即lna＜（1），设g（x）＝lnx﹣（1）），g′（x）＝，令+1＝0（*），△＝，①m≥1时，△≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1），符合题意，②0＜m＜1时，△＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x∈（x3，x4）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1），矛盾，不合题意，综上，m≥1，即﹣k≥1，∴k≤﹣1．22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为①．直线l2的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为②．所以①×②得到（y≠0）．（Ⅱ）直线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．设曲线C1的上的点Q（）到直线x+y﹣8＝0的距离d＝＝，当时，．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m．求证：．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣1|，∴由f（x）≥3﹣2|x|，得|x﹣1|+2|x|≥3．∵|x﹣1|+2|x|＝，∴由|x﹣1|+2|x|≥3，有或或，∴x≥或x≤﹣，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}．（Ⅱ）证明：g（x）＝f（x）+|x﹣5|＝|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝4，∴g（x）min＝m＝4，∴a+b＝m＝4，∴＝≥2a+2b﹣4＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴．。

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（文科）本试题卷共5页，全卷满分150分。

考试用时120分钟．一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合}4,3,2,1{=A ,},2|{≤=x x B 则=B A IA ．{}1B ．{}2C ．{}2,1D ．{}4,3,2,1 2．在复平面内，复数iiZ +=1(i 是虚数单位)对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．己知函数⎩⎨⎧≤>=,0,0,log )(23x x x x x f 则()=-)3(f fA ．2-B ．2C ．1-D ．14．某学校对本校高三500名学生的视力进行调查，随 机抽取了100名学生的体检表，得到的频率分布直 方图如图所示。

若直方图后四维的频数成等差数列， 则估计高三学生中视力在4.8以上(含4.8)的人数为A ．185B ．180C ．195D ．2005．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=,那么=EFA ．AD AB 3121-B ．AD AB 3221- C ．AD AB 2131+ D ．AD AB 2141+6．函数x ex y |2=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是7．在如图所示的正方形内任取一点M ,其中图中的圆弧为该正方形 的内切圆，和以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径 的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21 B ．12-π C ．21-πD ．22π-8．已知α为锐角，且1)10tan 31(cos =+οα,则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο709．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，且2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若n n n S a 2=+,*)(2212N n a a n n b n∈-=++,则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．设抛物线x y 42=的焦点为F ,过点)0,2(的直线交抛物线于B A ,两点，与抛物线准线交于点C , 若52==∆∆BCF ACF S S S ,则=BF A ．2B ．3C ．4D ．512．若对),,(,21+∞∈∀m x x 且,21x x <都有2ln ln 121221<--x x x x x x ，则m 的最小值是（注：e 为自然 对数的底数，即......71828.2=e ） A ．e1B ．eC ．1D ．e3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南省师范大学附中2020届高三上学期11月份检测数学文科试卷一、单选题1．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ）A ．12B ．22C ．2D ．22．已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在等差数列{}n a 中，若5a ，7a 是方程2260x x --=的两根，则{}n a 的前11项的和为（ ） A ．22 B ．-33 C ．-11 D ．114．执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）A ．10B ．17C ．19D ．365．用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为（ ）. A ．2B ．3C ．2D ．16．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A ．9B ．4C ．12D ．147．设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩…………，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°（即 30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD ＝( )A ．3006mB ．1503mC ．1006mD ．1003m9．设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC 的值为（ ）A ．58-B ．18C ．14D ．11811．已知,A B 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点，P 是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围为（ ）. A ．2,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,b b a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02147,22()f x x x x x x ⎧<⎪⎨-+>=⎪⎩…，若函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++的取值范围是（ ）. A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,4)D ．103,3⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是__________．（填甲、乙、丙中的一个）14．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_________. 15．若函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的序号是__________． ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于2(,0)3π对称； ③函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内不是单调的函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .16．函数3()f x x x =+，对于[0,2]x ∈，都有|(1)|2x f ax e -+≤，则实数a 的取值范围是___．三、解答题17．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），得到的样本频率分布表如下： 分组频数频率[60,75)2 0.04[75,90) 3 0.06[90,105)14 0.28[105,120) 15 0.30[120,135)AB[135,150)40.08合计 C D（1）在给出的样本频率分布表中，求A ，B ，C ，D 的值； （2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）抽取的50名学生中，为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在]135[150,的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60,75)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为135分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1BB ⊥底面ABC ，14BB =，AB BC ⊥，且4AB BC ==，点M ，N 分别为AB ，BC 上的动点，且AM BN =.（1）求证：无论M 在何处，总有11B C C M ⊥； （2）求三棱锥1B MNB -体积的最大值.19．如图是由正整数构成的数表，用a ij 表示i 行第j 个数（i ，j ∈N ＋）．此表中a il ＝a ii ＝i ，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）． （2）设第n 行的第二个数为b n （n ≥2），求b n ．（3）令()1222n n c b n n -=+-≥，记T n 为数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，求1n n T C +的最大值，并求此时n 的值．20．如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值21．设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

炎德·英才大联考湖南师大附中高考模拟卷(一)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z满足i z＝|3＋4i|－i，则z的虚部是(A)(A)－5 (B)－1 (C)－5i (D)－i【解析】复数z满足i z＝|3＋4i|－i，∴－i·i z＝－i(5－i)，∴z＝－1－5i，则z的虚部是－5.故选：A.(2)命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是(D)(A)a≥9 (B)a≤9 (C)a≤8 (D)a≥8【解析】命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题，∴a≥[x2]max＝9.∴命题“对任意实数x∈[2，3]，关于x的不等式x2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是a≥8，故选：D.(3)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(D)(A)y＝x(B)y＝lg x(C)y＝2x(D)y＝1 x【解析】根据题意得，函数y＝10lg x的定义域为：(0，＋∞)，值域为：(0，＋∞)，A项，y＝x，定义域和值域都是R，不符合题意．B项，y＝lg x，定义域为(0，＋∞)，值域是R，不符合题意．C项，y＝2x，定义域是R，值域是(0，＋∞)，不符合题意．D项，y＝1x，定义域是(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，与y＝10lg x的定义域和值域都相同，符合题意，故选D.(4)图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于(B)(A)10 (B)11 (C)12 (D)13【解析】当m＝209，n＝121，m除以n的余数是88，此时m＝121，n＝88，m除以n的余数是33，此时m＝88，n＝33，m除以n的余数是22，此时m＝33，n＝22，m除以n的余数是11，此时m＝22，n＝11，m除以n的余数是0，此时m ＝11，n ＝0，退出程序，输出结果为11，故选：B.(5)已知log ab ＝－1，2a >3，c >1，设x ＝－log b a ，y ＝log bc ，z ＝13a ，则x 、y 、z 的大小关系正确的是(A)(A)z ＞x ＞y (B)z ＞y ＞x (C)x ＞y ＞z (D)x ＞z ＞y 【解析】∵log ab ＝－1，2a >3，c >1，∴x ＝－log b a ＝－12log ba ＝－12×1－1＝12，2a ＞3，a ＞log23＞1，b ＝1a ∈(0，1)．y ＝log bc ＜0，z ＝13a ＞13log23>13×log28＝12，∴z ＞x ＞y .故选：A.(6)等差数列x 1、x 2、x 3、…、x 11的公差为1，若以上述数据x 1、x 2、x 3、…、x 11为样本，则此样本的方差为(A)(A)10 (B)20 (C)55 (D)5【解析】∵等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 11的公差为1， x 1，x 2，x 3，…，x 11的平均数是x 6，∴以数据x 1，x 2，x 3，…，x 11为样本，则此样本的方差：S 2＝111[(x 1－x 6)2＋(x 2－x 6)2＋(x 3－x 6)2＋(x 4－x 6)2＋(x 5－x 6)2＋(x 6－x 6)2＋(x 7－x 6)2＋(x 8－x 6)2＋(x 9－x 6)2＋(x 10－x 6)2＋(x 11－x 6)2]＝111(25＋16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16＋25)＝10.故选：A.(7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(B)(A)8(π＋4) (B)8(π＋8) (C)16(π＋4) (D)16(π＋8)【解析】由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱的半径为2，母线长为4， 左右为边长是4的正方形．∴该几何体的表面积为2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝ 64＋8π＝8(π＋8)． 故选：B.(8)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标的取值范围为(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，125 (B)[0，1] (C)⎣⎡⎦⎤1，125 (D)⎝⎛⎭⎫0，125 【解析】设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知：x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2， 化简得：x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ， 又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切， ∴1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2，∴1≤a 2＋（2a －3）2≤3，化简可得 0≤a ≤125，故选A.(9)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，若存在x 1、x 2、…、xn 满足0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，且|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16(n ≥2，n ∈N *)，则n 的最小值为(C)(A)8 (B)9 (C)10 (D)11【解析】∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3对任意xi ，xj (i ，j ＝1，2，3，…，n )，都有|f (xi )－f (xj )|≤f (x )max －f (x )min ＝2，要使n 取得最小值，尽可能多让xi (i ＝1，2，3，…，n )取得最高点，考虑0≤x 1＜x 2＜…＜xn ≤4π，|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (xn －1)－f (xn )|＝16， 按下图取值即可满足条件，即有|1＋12|＋2×7＋|1－12|＝16.则n 的最小值为10.故选：C.(10)如图所示，两个非共线向量OA →、OB →的夹角为θ，M 、N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为(B)(A)24 (B)18 (C)22 (D)12【解析】解法一：特殊值法，当θ＝90°，|OA →|＝|OB →|＝1时，建立直角坐标系， ∴OC →＝xOA →＋yOB →得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC →＝λOM →＋μON →，有λ＋μ＝1， 又因为M 、N 分别为OA 与OB 的中点，所以OC →＝λOM →＋μON →＝12λOA →＋12μOB →∴x ＋y ＝12λ＋12μ＝12原题转化为：当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题，∵y ＝12－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫12－x 2＝2x 2－x ＋14结合二次函数的性质可知，当x ＝14时，取得最小值为18.故选B.(11)已知双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是(A)(A)(1，3] (B)[3，＋∞) (C)(0，3) (D)(0，3] 【解析】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＝8a |PF 2|，∴m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m －n m 2＝2a8an，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，∴n ＝2a ，m ＝4a ， 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＜|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ＜4a ＋2a ，∴ca＜3，当P 为双曲线顶点时，ca＝3又∵双曲线e ＞1，∴1＜e ≤3，故选：A.(12)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x 2－f (－x )．当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ；若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则实数m 的取值范围是(C)(A)(－∞，－1] (B)(－∞，－2] (C)[－1，＋∞) (D)[－2，＋∞) 【解析】解：令g (x )＝f (x )－x 2， g ′(x )＝f ′(x )－2x ，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜2x ， ∴g (x )在(－∞，0)递减， 而g (－x )＝f (－x )－x 2，∴f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋x 2＋g (x )＋x 2＝2x 2， ∴g (－x )＋g (x )＝0，∴g (x )是奇函数，g (x )在R 上递减， 若f (m ＋2)－f (－m )≤4m ＋4，则f (m ＋2)－(m ＋2)2≤f (－m )－m 2， ∴g (m ＋2)≤g (－m )，∴m ＋2≥－m ，解得：m ≥－1，故选：C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≥0，2x －y ≥0，8－x －y ≥0则目标函数z ＝3x －2y ＋1的最小值为__－53__．【解析】作出可行域，则当直线z ＝3x －2y ＋1过点A ⎝⎛⎭⎫83，163时z 取最小值－53.(14)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π4x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为__18__．【解析】根据题意，大圆的直径为y ＝3sin π4x 的周期，且T ＝2ππ4＝8，面积为S ＝π·⎝⎛⎭⎫822＝16π，一个小圆的面积为S ′＝π·12＝π，根据几何概型概率公式可得在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P ＝2S ′S ＝2π16π＝18.(15)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35，且S △ABC＝6，则b ＝__4__．【解析】已知等式2sin B ＝sin A ＋sin C ，利用正弦定理化简得：2b ＝a ＋c ，∵cos B ＝35，∴可得sin B ＝1－cos2 B ＝45，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×45＝6，可解得ac ＝15，∴余弦定理可得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝()a ＋c 2－2ac ()1＋cos B ＝4b 2－2×15×⎝⎛⎭⎫1＋35，∴可解得b ＝4，故答案为4.(16)已知f ()x ＝25－x ，g ()x ＝x ＋t ，设h ()x ＝max {}f ()x ，g ()x .若当x ∈N ＋时，恒有h ()5≤h ()x ，则实数t 的取值范围是__[]－5，－3__．【解析】设y ＝f ()x 与y ＝g ()x 交点横坐标为x 0，则h ()x ＝⎩⎨⎧f ()x ，x ≤x 0g ()x ，x >x 0，∵x ∈N ＋时，总有h ()5≤h ()x ，所以若h ()5＝f ()5，必有h ()6＝g ()6，只需g ()6≥f ()5，t ＋6≥1，即t ≥－5，若h ()5＝g ()5，必有h ()4＝f ()4，只需f ()4≥g ()5，2≥t ＋5，t ≤－3，综上，－5≤t ≤－3，故答案为[]－5，－3.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品．(Ⅰ)试确定a ，b 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(Ⅱ)为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次购物不超过200【解析】(Ⅰ)由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有b ＋20＝100×30%，b ＝10；2分 a ＝100－()20＋30＋20＋10＝20.4分该商场每日应准备纪念品的数量大约为4000×60100＝2 400. 6分(Ⅱ)设顾客一次购物款为x 元．当x ∈(]50，100时，顾客约有4000×20%＝800人； 当x ∈(]100，150时，顾客约有4000×30%＝1200人； 当x ∈(]150，200时，顾客约有4000×20%＝800人；当x ∈[)200，＋∞时，顾客约有4000×10%＝400人.10分 该商场日均大约让利为：800×75×6%＋1200×125×8%＋800×175×10%＋400×30＝41 600(元).12分 (18)(本小题满分12分)在公比为q 的等比数列{an }中，已知a 1＝16，且a 1，a 2＋2，a 3成等差数列． (Ⅰ)求q ，an ；(Ⅱ)若q ＜1，求满足a 1－a 2＋a 3－…＋(－1)2n －1a 2n >10的最小的正整数n 的值．【解析】(Ⅰ)由16＋16q 2＝2(16q ＋2)得4q 2－8q ＋3＝0，q ＝12或322分当q ＝12时，an ＝25－n ，4分当q ＝32时，an ＝16⎝⎛⎭⎫32n －1.6分(Ⅱ)q ＜1，an ＝25－n ，a 1－a 2＋a 3＋…＋(－1)2n －1a 2n ＝16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n 1－⎝⎛⎭⎫－128分＝323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－122n >10，10分 ⎝⎛⎭⎫122n<116，2n >4，n >2，正整数n 的最小值为3.12分(19)(本小题满分12分)如图，几何体ABC －A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝32，A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D .(Ⅰ)若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；(Ⅱ)过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置(说明作法及理由)，并求线段OE 的长． 【解析】(Ⅰ)证明：∵EM ∥平面BC 1D ，EM 平面ABDA 1， 平面ABDA 1∩平面BC 1D ＝BD ， ∴BD ∥EM .过D 作DH ⊥AB 于H ，连接CH ，则CH ∥C 1D ，则HM ＝12AB －14AB ＝14AB ，∴HM ∶MB ＝CN ∶NB ＝1∶2， ∴MN ∥CH ，则MN ∥C 1D .∵EM ∩MN ＝M ，∴平面EMN ∥平面BC 1D . ∵EN 平面EMN ，∴EN ∥平面BC 1D .6分(Ⅱ)解：在线段AB 上取一点F ，使BF ＝A 1D ＝1，则A 1F ∥BD ，由(Ⅰ)知EM ∥BD ，∴EM ∥A 1F ，∴AE AA 1＝AM AF ＝23，∴AE ＝23×32＝2 2.取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，过A 作AO ⊥EG 于O ，则AO ⊥平面BCE .9分 证明如下：由题意可知，△ABC 为等边三角形，则AG ⊥BC ，又AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥BC .∵AG ∩AA 1＝A ，∴BC ⊥平面AEG ，∴BC ⊥AO .又EG ∩BC ＝G ，∴AO ⊥平面BCE .由射影定理可得，AE 2＝OE ×EG ，又AG ＝23，EG ＝25，∴OE ＝455.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 为椭圆C 上的任意一点，MF →1·MF 2→的最小值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，点D (a ，t )为第一象限内的点，过F 2作以BD 为直径的圆的切线交直线AD 于点P ，求证：点P 在椭圆C 上．【解析】(Ⅰ)设M (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)， MF →1·MF 2→＝(－c －x 0，－y 0)(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20，由∵x 20a 2＋y 20b 2＝1(a >b >0)，y 20＝b 2－b 2a 2x 20，MF →1·MF 2→＝(1－b 2a 2)x 20＋b 2－c 2，由－a ≤x 0≤a ，则x 0＝0，则MF 1→·MF 2→取最小值，最小值为b 2－c 2，∴b 2－c 2＝2，又椭圆的离心率为12∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程：x 24＋y 23＝1；4分(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知F 2(1，0)，D (2，t )，B (2，0)，设以BD 为直径的圆E ，其圆心E ⎝⎛⎭⎫2，t2， 则圆E ：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －t 22＝t 24， (6分) 直线AD 的方程为y ＝t4(x ＋2)，设过点F 2与圆E 相切的直线方程设为x ＝my ＋1，则|2－mt 2－1|1＋m 2＝丨t 2丨，则m ＝4－t 24t ，(8分)解方程组⎩⎨⎧y ＝t4（x ＋2），x ＝4－t 24t y ＋1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24－2t 212＋t 2，y ＝12t12＋t 2， (10分)将⎝⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 2，12t 12＋t 2代入椭圆方程成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫24－2t 212＋t 224＋⎝⎛⎭⎫12t 12＋t 223＝1，∴点P 在椭圆C 上．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln xx，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0(Ⅰ)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(Ⅱ)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1＋x 2ag (x 1＋x 2)>2.【解析】(Ⅰ)由已知得F (x )＝f (x )－g (x )＝a (ln xx－x －1)，∴F ′(x )＝ax 2(1－x 2－ln x )当0＜x ＜1时，∵1－x 2＞0，－ln x ＞0，∴1－x 2－ln x ＞0，； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0，∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(4分)(Ⅱ)不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1－1)，∴a ln x 1＝b (x 21－x 1)………①，同理得a ln x 2＝b (x 22－x 2)………②，由①－②得a ln x 1x 2＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2－1)，∴ln x 1x 2（x 1－x 2）＝ba (x 1＋x 2－1)，(8分) ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)b a (x 1＋x 2－1)＝（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2.故只需证（x 1＋x 2）x 1－x 2ln x 1x 2>2，取t ＝x 1x 2>1即只需证明t ＋1t －1ln t >2，对任意的t >1成立，即只需证p (t )＝ln t －2·t －1t ＋1>0对t >1成立，p ′(t )＝（t －1）2t （t ＋1）2>0.∴p (t )在区间[1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0，t ＞1成立，故原命题得证．(12分)请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝14，求直线的倾斜角α的值． 【解析】(Ⅰ)∵ρ＝4cos θ，而ρcos θ＝x ，∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ可化为：ρ2＝4ρcos θ ∴.(x －2)2＋y 2＝4(5分)(Ⅱ)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得： 化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，t 1＋t 2＝2cos α，t 1·t 2＝－3∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos2α＋12＝14可得cos α＝±22.∴α＝π4或α＝3π4. ∴直线的倾斜角为α＝π4或α＝3π4.(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1.(Ⅰ)若ab ≤m 恒成立，求m 的取值范围；(Ⅱ)若 4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，求x 的取值范围． 【解析】(Ⅰ)∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时“＝”成立， 由ab ≤m 恒成立，故m ≥14；(5分) (Ⅱ)∵a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b )≥9， 故4a ＋1b≥|2x －1|－|x ＋2|恒成立，则|2x －1|－|x ＋2|≤9， 当x ≤－2时，解得－6≤x ≤－2，当－2<x <12，解得－2<x <12， 当x ≥12时，解得12≤x ≤12， 综上所述x 的取值范围为[－6，12]．(10分)。

2020届湖南省师范大学附中年高三上学期11月月考数学（文）试题一、单选题1．设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ）A ．12B ．2CD ．2【答案】C 【解析】 【详解】 ∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1i +＝()()()()2121112i i i i i -+=+-=1＋i.∴|z|故答案：C 【点睛】本题考查复数的运算及复数的模．复数的常见考点有：复数的几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ 都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ． 2．已知:(1)(2)0p x x --≤，2:log (1)1q x +≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意解不等式可得集合p 与q 的范围，根据充分必要条件的判定即可判断结论。

【详解】因为2:(1)(2)0,:log (1)1p x x q x --+剠所以:12p x ≤≤，:1q x …所以p q⇒但q⇒p所以p是q的充分不必要条件所以选A【点睛】本题考查了根据不等式判定充分必要条件，属于基础题。

3．在等差数列{}n a中，若5a，7a是方程2260x x--=的两根，则{}n a的前11项的和为（）A．22 B．-33 C．-11 D．11【答案】D【解析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝()111112a a⨯+=11 a6进而得到结果.【详解】等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝12(a5＋a7)＝1，∴{a n}的前11项的和为S11＝()111112a a⨯+＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．36【答案】C【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为：235919S =+++=，故选C ．【考点】程序框图．5．用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为（ ）.A ．2BC ．D ．1【答案】C【解析】由球的体积343R π=，得球的半径是R 【详解】设球的半径为R ，截面圆的半径为r ，由球的体积343R π=，得球的半径是R ， 截面的面积为2r ππ=，则截面圆的半径是1r =，=故选：C. 【点睛】本题主要考查了球的截面的性质的应用，其中解答中熟记球的截面的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．6．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ） A ．9 B ．4 C ．12D ．14【答案】A【解析】圆22x y 2x 4y 10++-+=的标准方程为：（x+1）2+（y ﹣2）2=4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d ，由题意可得 22+d 2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a ﹣2b+2=0， 即a+b=1，再由a ＞0，b ＞0，可得41a b +=（41a b + ）（a+b ）=5+4b a a b +9= 当且仅当4b a =a b 时取等号，∴41a b+的最小值是9． 故选：A ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.7．设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩…………，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(,2)-∞- D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC ）. 则(1,0),(2,1),(0,5)A B C由z y ax =-得y ax z =+，平移直线y ax z =+，则直线的截距最大时，z 也最大， 当0a =时，y z =在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a >时，直线y ax z =+，在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a <时，直线y ax z =+，要使(2,1)是目标函数z y ax =-取最大值的唯一最优解， 则y ax z =+在B 处的截距最大，此时目标函数的斜率a 须小于直线BC 的斜率2-，即2a <-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°（即 30BAC ∠=︒）的方向上；行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75︒（即75CBE ∠=︒）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD ＝( )A ．B ．mC ．D ．【答案】C【解析】先在ABC △中由正弦定理求得BC 长，在Rt BCD ,求得CD 长。