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bn
1 2n 1 2n1 1
1 2n
1 2n 1
1 2n1 1
1 2
1 2n 1
1 2n1 1
Tn b1 b2 b3
bn
1 2
1 3
1 5
1 5
1 9
1 2n 1
Sn a1 a2 a3 an1 an
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
n 2 n n 1 n 1 n n 2
1 (1 1 1 1 ) 2 2 n 1 n 2
n
Sn loga 2 loga 1 loga 3 loga 2 loga (n 1) loga n loga (n 1)
（5）an
2n 2n b 2n1 b
1
1
2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
(2)求数列{an}的通项公式.
3
m
(3)设 bn= anan1 ,Tn是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b. 由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2， ∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上， 得Sn＝3n2－2n.
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、 第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
【易错警示】使用裂项相消法的易错点
使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去
了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写或写错未被消去
的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正
负相消是此法的根源与目的，如{ 求 1 }
时，剩下的1是(1 1
1
1
n(n 2)
).
2 2 n 1 n 2
的前n项和
所以
Tn
1 [(1 21
1) (1 32
1) 4
(1 3
1) 5
(1 4
1) 6
( 1 1) ( 1 1 ) (1 1 )] n 2 n n 1 n 1 n n 2
1 (1 1 1 1 ) 2 2 n1 n 2
3 4
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
信宜一中 高三28 张乐
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
1 n
1 n 1
Sn a1 a2 a3 an1 an
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 233 4
n 1 n n n 1
1 1 n 1
2.
an
1 n(n 2)
1 (1 2n
1) n 2
（2）
an
1 4n2 1
an
（3）
1 n 1
n
（4）
an
loga (1
1) n
an
（5）
2n 2n b 2n1 b
1
(1)an n n k
1 (1 1 ) k n nk
(2)an
1 4n2 1
1
(2n 1)(2n 1)
,则{an}的前 n 项和
Sn=
.
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
1 1 Sn= n 1 .
变式：数列{an}中,a n
n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
Sn=
.
类型一
an
1 n(n
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Sn
1 2
(1 1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1) 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
（3）an
1 n 1
n
n1 n
( n 1 n)( n 1 n)
n1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 11
k)
1 k
(1 n
n
1) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
1 1 Sn= n 1 .
变式：数列{an}中,an
1 11 1
n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
(1 ).
Sn= 2 2 n 1 n 2 .
1.
an
1 n(n 1)
1 2
(1 n 1
n
1
) 2
3 4
.
能力提高：（作业与测评 P271 t10）
2.(2014·深圳模拟)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐
标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上.
(1)求 y=f(x)的解析式.
类型二an
1 nk
1( nk nk
n)
例 2.(2014·沈阳模拟)已知幂函数 y=f(x)过点(4,2),令
an=f(n+1)+f(n),n
∈
N*,
记
数
列
{
1 an
}
的
前
n
项和为
Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 ( )
A.110 B.120 C.130 D.140
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
答案：
B
思考：a n
1
2
1 3
n ，如何求S5.
裂项相消：把数列的通项拆成两项 之差求和，正负相消剩下首尾若干 项．
注：1.裂项相消法求和的形式,即什么时候用.
2.如何裂项，裂项后是否与原式相等. 3.如何提系数，消去之后余项是什么， 即怎么用.
常见的裂项：
（1）
an
1 n(n k)
小结：
1 裂项相消方法求和的步骤有哪些. 2 能运用裂项相消的方法解答不等式关系、
求参数范围、不等式恒成立等问题. 3 放缩方法.
• 注：1.应用裂项相消法求和的形式,即什么时候用. 2.如何裂项，裂项后是否与原式相等. 3.如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用.
课后请完成： 思考题： 作业与测评P270 T15
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
所以
1 an
1 n 1
n1 n
n ( n 1 n)( n 1
n)
n 1
n,
所 以 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn=( -1)+( - )+ …
+(
- )=
-1,
因为 Sn=10,所以
1 22 b
1 23 b
1 2n b
1 2n1
b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
n2
1 2n
-1=10,
所以 n+1=121,所以 n=120.
类型三：an
1 2n b 2n1 b
11
1
2n
( 2n
b
2n1
) b
例 3.已知 an
2n
1令 bn
an
1 an1
，
Tn 是数列bn 的前 n 项和，
证明： Tn
