专题2 裂项相消秒杀秘籍：第一讲 裂项相消常见推论第一讲 常见的等差数列与裂项相消： ①()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++=B n A B An A B A An B An a n )1(1111 （接龙型） ()()()[]B n A B A nB n A B A A S n +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=11111 ②()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++=B n A B An A B A An B An a n )2(112121 （隔项型） ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-+++=B n A B n A B A B A A S n 211121121 ③()B An B n A ABn A B An a n +-++=++++=)1(1)1(1（根式型）()B A B n A AS n +-++=)1(1第二讲 特殊等差数列与裂项相消：()()()()[]()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+++++-=--B n A B An B n A B An B A An a n n n )1(111122111()()()()B n A B A B n A B An B A B A B A B A S n n n ++-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--111111*********1第三讲 带有等比数列的裂项相消：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++=++m q m q q m q m q q a n n n n n n 111111))((（其中R m ∈，1≠q ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++-+++-+-=++m q m q q m q m q m q m q m q m q q S n n n n 11322111111111111 第四讲 平方式递推与裂项相消： ①()1111111111111111111+=+++-=+⇒-=+⇒+-=⇒+=∑n ni i n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ②11111211111111+=+++-=+⇒-=+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=⇒+=∑n ni i n n n n n n n n n a a m a a a m a m a m a m a a m a a③()11111111111111111111111---=⇒---=⇒--=-⇒-=-+=+++∑n ni in n n n n n n n n a a aa a a a a a a a a ④()()ma m a m ama m a m a m a m a m m a m m a a n ni in n n n n n n n ---=+⇒---=+⇒+-=-⇒+=+=+++∑11111211111112122 注意：平方式递推，通常题目的设置求和部分的分母会给出裂项相消的方向，通常紧扣分母即可，无需记忆，太多的变形式子．第五讲 等差三连项型与裂项相消：①()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=++=2111121211n n n n n n n a n ②()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-++=+++=21211221n n B n A n n B An n n n B An a n第六讲 阶乘型与裂项相消：()()!11!1!1+-=+=n n n n a n 第七讲 等差与等比混合型：①()[]()11111+-=+-+=+n q n q n n n q q a n n n n ；②()[]()kn q n q k n n n q k q a kn n k n n +-=+-+=+1注意：通常采用反推法，就是从右边往左边推导，具体情况将会在例题中说明． 【例1】设数列{}n a 是首项为01>a ，公差0>d 的等差数列，求：13221111++++=n n n a a a a a a S ； ()()()()()n n a a a a a a a a a a a a a a a a a T +++++++++++++=32． 【解析】有已知得d a a n n =-+1，则nd a a n +=+11 )11(1111++-=∴n n n n a a d a a11111322113221)11(11111111111∴++++=-=-++-+-=+++=n n n n n n n a a na a d a a a a a a d a a a a a a S ）（ ()()()()()nn nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a T ++++-=++++++++++++++-=+++++++++-+++++++++-++++-+=+++++++++++++=-----1211121121321212112112112121321212132121112121121321213211211111111))(()())(()()(【例2】（2019 •岳阳二模）已知数列{}n a ，若1222n a a na n ++⋯+=，则数列1{}n n a a +前n 项和为 ． 【解析】数列{}n a ，若1222n a a na n ++⋯+= ① 当2n 时，1212(1)2(1)n a a n a n -++⋯+-=- ② ①-②得：2222n na n n =-+=，整理得：2n a n =，当1n =时，12a =，符合通项，故：2n a n=， 所以：122114()11n n a a n n n n +=⋅=-++，则：111114(1)2231n T n n =-+-+⋯+-+14(1)1n =-+41nn =+．【例3】（2019 • 武汉期中）已知数列{}n a 中，2664a a =，且2log n a ，211log 2n a +，*1()n N ∈成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1(1)(1)nn n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．【解析】（1）2log n a ，211log 2n a +，1成等差数列，∴21212log log 12n n a a +⨯=+，12n n a a +∴=，且0n a >，∴数列{}n a 是等比数列，由2664a a =得，48a =，11a ∴=，公比2q =，12n n a -∴=；（2）由（1）知，111211(21)(21)2121n n n nn nb ---==-++++， ∴011223211111111111111()()()()()21212121212121212121221n n n n n nT ---=-+-+-+⋯+-+-=-+++++++++++． 【例4】（2019•东莞市期末）已知数列{}n a 满足：12a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则122011111[]111a a a ++⋯++++的值等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】又因为21n n n a a a +=+，即210n n n a a a +-=>，所以数列是增数列，并且10na >，又因为21n n n a a a +=+，即1(1)n n n a a a +=+，11111(1)1n n n n n a a a a a +==-++，所以11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+， 122011111111a a a ++⋯++++122320102012111111a a a a a a =-+-+⋯+-1201211112a a a =-<=， 112a =，234a =，31621a =，12112411137a a +=+>++．所以122011111(1,2)111a a a ++⋯+∈+++．所以122011111[]1111a a a ++⋯+=+++．故选B ． 【例5】（2018•徐州期末）在数列{}n a 中，12a =，2121n n a a +=+，*n N ∈，设1n n n b a =+，若数列{}n b 的前2018项和2018S t >，则整数t 的最大值为 ．【解析】在数列{}n a 中，12a =，2121n n a a +=+，*n N ∈，可得212(1)1(1)(1)n n n n a a a a +-=-=-+， 21212n n n a a a +=+，即有数列{}n a 递增，可得11111()2(1)211n n n a a a +=---+，即有1111111n n n a a a +=-+--， 213211n n n n a b a a -==-++，则20181232018122018111220183()111S b b b b a a a =+++⋯+=⨯-++⋯++++12232018201911111140363()111111a a a a a a =--+-+⋯+-------2019140363(1)1a =---2019340331a =+-， 而数列{}n a 递增，12a =，252a =，3298a =，48414128a =>，⋯，20194a >，由数列{}nb 的前2018项和2018S t >，可得整数t 的最大值为4033．故答案为4033．【例6】求和：()()()[]2221253++++=n S n ．【解析】设()[]222)1(11112+-=++=n n n n n a n ， 则22222)1(113121211+-++-+-=n n S n 2)1(11+-=n 2)1(12++=n n ． 【例7】求和：()!1!3!2++++=n S n 【解析】()()!11!1!1+-=+n n n n()()!111!1!32!21+-=++++=∴n n n S n 【例8】求和：()()+++ ． 【解析】()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=+++215213221213n n n n n n n n n n()()()()4625832133212134325321422++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=+++++⨯⨯+⨯⨯∴n n n n n n n n n n n ． 【例9】求和：()123235334231-⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯n n n ，，，， ． 【解析】本题适合反推：()1113228233-+-⨯+⨯+-=+-n n n n n n n n ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⨯+⨯-∴+--233213214111n n n n n n n n ， ()123214353113427313-⨯+⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯=n n n n n S 令，)21313231(21++-+-+-=∴n n n n S n ． 【例10】已知函数()xx x f 332+=，数列{}n a 满足,11=a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n a f a 11． （1）求数列{}n a 的通项；（2）令,12221254433221+--++-+-=n n n n n a a a a a a a a a a a a T 求n T （3）令(),,3,212111n n nn n b b b S b n a a b +++==≥=- 若22000-<m S n 对于任意的*N n ∈都成立，求最小正整数【解析】（1）3233211+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n nn n n a a a a f a ，312+=n a n （2）12221254433221+--++-+-=n n n n n a a a a a a a a a a a a T )()()(12122534312+--++-+-=n n n a a a a a a a a a)32(942)313435(342n n n n +-=++⨯-=）（n n T n 3294∴2+-= （3）())12)(12(9,3,2)12)(12(9111+-=∴=≥+-==-n n b b n n n a a b n n n n ，22000129-<+=∴m n n S n 对于任意的*N n ∈都成立，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+=∴293129，n n S n ，20092922000≥∴≥-∴m m ．达标训练1．（2019•思明月考）设满足1231113521n a a a a n n +++⋯+=-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}n na a ++的前84项和．2．已知数列{}n a 前n 项和n S ，点⎪⎭⎫⎝⎛nSn n,在直线21121+=x y 上；数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，且113=b ，前9项和为153．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项； （2）设()(),121123--=n n n b a c 数列{}n c 前n 项和n T ，求使不等式57kT n >对于任意的*N n ∈都成立的最大正整数k 的值．3．（2018•云阳期末）已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，*11(,2)n n n a a a n N n +-=+∈，则 132435201820201111a a a a a a a a +++⋯+的整数部分为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．（2019•韶关模拟）已知数列{}n a 满足2123111(*)23n a a a a n n n N n +++⋯+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若(*)1n nT n N n λ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．),41[∞+B ．),41(∞C ．),83[∞+D ．),83(∞+5．已知()()12122+-=n n n a n ，求{}n a 的前n 项和n S ．6．求和：()()！！！！！！！！！21243243213++++++++++++n n n n ．7．已知数列{}n a 通项公式()()2145+++=n n n n a n ，其前n 项和n S ，是否存在常数b a ,，使得()()2122+++=n n bn an S n 对于任意的*N n ∈都成立？证明你的结论．8．求和：()n n n n n S 211221327212132⋅+⨯+++⋅⨯+⋅⨯= ．9．（2019•长沙月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1()2nn S a n N -=∈． （1）求出数列{}n a 的通项公式；（2）已知*12()(1)(1)n n n n b n N a a +=∈--，数列{}n b 的前n 项和记为n T ，证明：2[,1)3n T ∈．10．（2019•黄山二模）已知数列{}n a 满足1231231111n nn a a a a +++⋯+=----，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令22121(1)(1)n n n n b a a ++=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．11．（2019•蚌山月考）已知数列{}n a 满足1112n n n a a a +++=+，1n a ≠-且11a =． （1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令1n n b a =+，11(1)n n n n c nb b -+=-，求数列{}n c 的前2019项和2019S ．12．（2019•郑州二模）数列{}n a 满足：212231n a a a n n n ++⋯+=++，*n N ∈． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足920n S >的最小正整数n ．13．（2019•涪城模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12n n S b +=-． （1）求b 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）令1(1)(1)n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：23n T ．14．已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +-=，设1212111m m m a a aT a a a =++⋯++++，若2018m T <，则正整数m 的最大值为（ ） A ．2019B ．2018C ．2017D ．201615．（2019•河南月考）数列{}n a 满足165a =，*11()1n n n a a n N a +-=∈-，若对*n N ∈，都有12111n k a a a >++⋯+成立，则最小的整数k 是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．616．（2018•渝水月考）已知数列{}n a 满足143a =，且*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈，则122017111a a a ++⋯的整数部分是（ ） A ． 0B ．1C ．2D ．317．（2018•历下月考）用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，则201812122018[]111a a a a a a ++⋯+=+++ ． 18．（2019•武汉模拟）数列{}n a 满足132a =，2*11()n n n a a a n N +=-+∈，则122019111m a a a =++⋯+的整数部分是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．319．（2018•虎林模拟）数列{}n a 满足143a =，*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈，且12111n n S a a a =++⋯+，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ） A ．{0，1，2}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{0，2}20．（2019•湖州模拟）已知数列{}n a 满足112a =，21(*)2018n n n a a a n N +=+∈，则使1n a >的正整数n 的最小值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．202121．（2019•浙江期中）已知数列{}n a 满足：13a =，21224n nn a a a +=-+． （1）求证：1n n a a +>； （2）求证：1231111121()(*)33n n n N a a a a +++⋯+-∈．22．已知数列{}{}n n b a ，满足，212111==b a ，，且对于任意的*,N n m ∈，有n m n m n m n m b b b a a a +=⋅=++,．（1）求数列{}{}n n b a ，的通项； （2）设,34nc nc b n n n ++=求{}n c 的通项；（3）若数列{}n d 满足n n n c a d =，其前n 项和n T ，求证：2≥n 时，2525-<<-n n a T ．23．数列{}n a 满足()()na n a n a n n n 4211+-+=+，且211=a ． （1）求432,,a a a ；（2）若存在实数a ,使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n a an a n n 成为以1—为公差的等差数列，求实数a ；（3）记数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++22231n a n 的前n 项和n S ，求证：12132+->n S ．24．（2019•静安一模）将n 个数1a ，2a ，⋯，n a 的连乘积12n a a a ⋯记为1ni i a π=，将n 个数1a ，2a ，⋯，n a 的和12n a a a ++⋯+记为1ni i a =∑，*)n N ∈．（1）若数列{}n x 满足11x =，21n nn x x x +=+，*n N ∈，设111nn i iP x π==+，111nn i i S x ==+∑，求55P S +；（2）用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2]2=，[3.4]3=，[ 1.8]2-=-．若数列{}n x 满足11x =，21n n n x x x +=+，*n N ∈，求20191[]1ii ix x =+∑的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数()f n 满足，当(1)(1)(*)22m m m m n m N -+<∈时，()f n m =，问是否存在正整数n ，使得1()2019ni f i ==∑？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由（已知21(1)(21))6n i n n n i =++=∑．。
