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《线性系统理论》课程设计报告书课题名称球杆系统姓名孟禹漆铖刘泽文孟凡强杨佐龙日期2013年2 月25日老师陈玮1 球杆系统建模分析本章将对球杆系统进行简单的介绍，然后采用拉格朗日方程建立其数学模型，并在此基础上分析其特性。
1.1球杆系统介绍球杆系统（Ball & Beam ）是由球杆执行系统、控制器和直流电源等部分组成。
该系统对控制系统设计来说是一种理想的实验模型。
正是由于系统的结构相对简单，因此比较容易理解该模型的控制过程。
球杆执行系统（如图1 所示）由一根V 型轨道和一个不锈钢球组成。
V 型槽轨道一侧为不锈钢杆，另一侧为直线位移电阻器。
当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压可测得球在轨道上的位置。
V 型槽轨道的一端固定，而另一端则由直流电机（DC motor ）的经过两级齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。
V 型槽轨道与水平线的夹角可通过测量大齿轮转动角度和简单的几何计算获得。
这样，通过设计一个反馈控制系统调节直流电机的转动，就可以控制小球在轨道上的位置。
图1 球杆系统执行机构原理图1.2拉格朗日方程介绍建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标，广义坐标一旦确定，体系在空间的位置状态也就可以唯一确定。
广义坐标可以是坐标变量，也可能是是角动量或其他独立变量，凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。
广义坐标的条件是：互相独立、满足约束方程、唯一确定体系的位形式动力学状态。
拉格朗日方程方法建模可以表述为：设一个机械系统的自由度为n ，对于系统可以采用广义坐标12(,,...,)n q q q q =，12(,,...)n q q q q =来描述，记该系统的总体动能为(,)T q q ，总体势能为()V q ，系统的运动特性可以用以下的拉格朗日方程描述：d 1,2,...,d i i iL Li n t q q τ⎛⎫∂∂-== ⎪∂∂⎝⎭ (1.1)其中，方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，i τ为作用在第i 个广义坐标i q 方向的外部力或力矩之和。
杆单元刚度矩阵摘要：一、杆单元刚度矩阵的概念与意义二、杆单元刚度矩阵的计算方法三、杆单元刚度矩阵在工程应用中的实例四、提高杆单元刚度矩阵计算精度的措施五、总结正文：一、杆单元刚度矩阵的概念与意义杆单元刚度矩阵是工程力学中一个重要的概念，它用来描述杆件在外力作用下的形变情况。
刚度矩阵包含了杆件各个方向上的刚度系数，用以表征杆件在不同方向上的抗弯、抗扭、抗剪等性能。
在结构分析和设计中，对杆单元刚度矩阵的研究具有重要的意义。
二、杆单元刚度矩阵的计算方法杆单元刚度矩阵的计算方法主要包括理论推导和实验测定两种。
理论推导是根据杆件的材料性能、截面形状和边界条件来计算刚度矩阵的各项参数；实验测定则是通过在不同载荷条件下测量杆件的变形，从而计算出刚度矩阵。
在实际应用中，通常需要结合这两种方法，以确保计算结果的准确性。
三、杆单元刚度矩阵在工程应用中的实例在工程结构设计中，杆单元刚度矩阵发挥着重要作用。
例如，在建筑结构的抗震设计中，需要根据杆单元刚度矩阵来分析结构的刚度和弹性性能，以确定结构的抗震能力；在机械设备的设计中，杆单元刚度矩阵可用于计算设备的振动特性和动态性能，从而避免设备在运行过程中产生过大的振动，提高设备的使用寿命。
四、提高杆单元刚度矩阵计算精度的措施为了提高杆单元刚度矩阵的计算精度，可以采取以下措施：1.选用准确的计算公式和模型，确保理论推导的可靠性。
2.完善实验设备和方法，提高实验数据的准确性。
3.充分考虑杆件的材料性能、几何尺寸和边界条件等因素，确保计算结果的适用性。
4.采用数值模拟等先进技术，对杆单元刚度矩阵进行修正和优化。
五、总结杆单元刚度矩阵在工程力学领域具有重要的理论和实践意义。
通过对杆单元刚度矩阵的研究，可以更好地了解杆件的力学性能，为工程结构设计和优化提供有力的依据。
第5章 杆系结构有限元(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构：几何形状简单 杆系结构矩阵位移法：（直接有限元法）： 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 （没有位移插值的问题）(2)基于最小势能原理的杆系结构FEM 分析5．1 直杆受轴向力杆的有限元受力特点： 只有轴向力的作用主要的控制方程：几何关系： x ux ε∂=∂应力应变关系： x x uE E xσε∂==∂边界条件： u u = （给定位移）uA E P x ∂⋅=∂ （给定载荷）平衡方程： 22()()x A uAE f x x x σ∂∂==∂∂最小势能原理的描述：200()2LLp EA u dx uf x dx x ∂⎛⎫∏=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰直杆的解u 满足上述控制方程等价于u 使得势能p ∏取最小值。
同样的划分单元，并且单元和节点编号 单元编号：1,2,.....e N =节点编号：1,2,...i n =节点的位移和力向量[][][][]i ii i u p P δ==单元节点位移和节点力向量（总体编号）[][]i i e e j j u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单元节点位移和节点力向量（局部编号）[][]1122e e u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以下讨论基于变分原理的有限元。
假定直杆单元内任意一点的位移可以表示为两个节点位移的线性插值。
取单元的局部坐标 11ξ-≤≤ 1212()[(),()][,]Tu N N u u ξξξ= 多个节点参数eu N u ]][[=)1(21)(1ξξ-=N)1(21)(2ξξ+=N)(2c x x l-=ξN 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。
这个联系（线性插值）是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。
由势能极小 0pe u ∂∏=∂并注意到 2ld dx ξ=1012()()()()l eT T dN dN EA dN dN K EA dx d dx dx l d d ξξξ+-==⎰⎰101()()2leTTlP N f x dx N f d ξξ+-==⎰⎰可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷（均布轴向载荷）列阵的计算类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
上次课小结⏹挠曲面选取（根据位移边界参考梁挠曲线基函数形式）⏹应变能计算（考虑所有可变形构件，加强筋，弹性约束）➢板四边挠度为零时，板的应变能⏹力位能计算⏹总位能计算⏹由总位能取极值求待定系数222222D w w V dxdy x y ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰()22222222222212D w w w w w V dxdy x y x y x y μ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎪⎪=++--⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰横荷重q P ()(),,U q x y w x y dxdy =⎰⎰U Pw=)22222222221V U D w w w w μ∏=-⎧⎧⎡⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪⎪=++--⎢⎨⎨ ⎪ ⎪⎰⎰0,1,2,3...;1,2,3...mn m n A ∂∏===∂第四章杆系结构分析的力法及位移法⏹4-1 力法⏹4-2 位移法4-1力法⏹4-1-1 力法的原理⏹4-1-2 简单刚架与简单板架计算⏹4-1-3 弹性固定端与弹性支座的实际概念⏹4-1-4 弹性支座上连续梁求解⏹4-1-5实际应用与例子4-1-1 力法的原理⏹力法是解杆系的基本方法之一→位移法⏹力法适于求解超静定（静不定）结构基本概念()()43522038448q l R l EI EI-=方法一方法二列1点挠度为零的表达式列1点转角连续的表达式331012324324Ml ql Ml ql EI EI EI EI θθ=-=-+=基本概念⏹力法基本结构为静定结构，以力为未知数，列变形连续方程进行求解⏹所列变形连续方程与解除的多余约束对应⏹对于连续梁，三弯矩方程式求解更方便刚性支座上连续梁计算（一般情形）列支座挠度为零的表达式：力法正则方程式⏹柔度系数d ij为X j处单位力引起相应于X i处的位移；d ij X j为X j引起相应于X i处的位移⏹d ij=d ji→正则方程式⏹d ii>0⏹柔度矩阵正定刚性支座上连续梁计算（一般情形，三弯矩方程式）列支座i转角连续的表达式：()()11111116336i i i i i i i i i i i i i i i i M l M l M l M l q q EI EI EI EI θθ-++++++++=--+故上式包括3个未知弯矩：M i-1，M i ，M i+1力法求解步骤⏹解除多余约束，代以未知反力→静定结构（基本结构）⏹列变形连续方程⏹解方程求未知力，进而求弯曲要素。
