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第1章 线性空间和线性变换（详解）1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)2n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)2n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成(1)2n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)2n n -.评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)2n n +维线性空间，只需找出(1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1)2n n +个向量线性表示即可.1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E即123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦于是12341231,2x x x x x x x +++=++=1210,3x x x +==解之得12343,3,2,1x x x x ==-==-即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T，1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有1111110003111020100311000001021000300011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T--.1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=即1234123412313412411111110110110110k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++=解之得12340k k k k ====故1234,,,αααα线性无关. 设123412341231341241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦+++++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦于是12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=解之得122,x b c d a x a c =++-=-34,x a d x a b =-=-1234,,,x x x x 即为所求坐标.1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦又由于23231,1,(1),(1)111101231,,,00130001x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为11234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得32323()12(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.1-6 解：①设[][]12341234,,,,,,=ββββααααP将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得20561001133611001121011010130011⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P 故过渡矩阵1100120561100133601101121001110131122223514221915223112822-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P②设1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξββββ将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得11234792056181336027112111310130227y y y y -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP 计算出P .1-7 解：因为12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ. 方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββ，于是由交空间定义可知123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦解之得1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)于是11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T-.方法二 不难知12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ其中2213[2,2,0,1],[,2,1,0]3TT ''=--=-αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组 13423422x x x x x x =-⎧⎨=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组13423413232x x x x x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪⎨=-+⎪⎪=-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T-，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span ααα的基底就是12,,,nααα的极大线性无关组.维数等于秩12{,,,}n ααα.1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββ就是求向量ξ，既可由12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.1-8解:(1):解出方程组1234123420510640x x x x x x x x ---=⎧⎨---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基,解出方程组123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组1234123412342051064020x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==,则11,,,,,k l ααββ的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.1-10解: 仿上题解.1-11 证：设210121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξA AA①用1k -A从左侧成①式两端，由()0k=ξA 可得10()0k l -=ξA因为1()0k -≠ξA，所以00l =，代入①可得21121()()()0k k l l l --+++=ξξξA AA②用2k -A从左侧乘②式两端，由()0k=ξA可得00l =，继续下去，可得210k l l -===，于是21,(),(),,()k -ξξξξA AA线性无关.1-12 解：由1-11可知，n 个向量210,(),(),,()n -≠ξξξξAAA线性无关，它是V 的一个基.又由21212121[,(),(),,()][(),(),,()][(),(),,(),0]000010000100[,(),(),,()]0000010n n n n n n----⨯==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξA A A AA A A A AAA AA 所以A在21,(),(),,()n -ξξξξA AA 下矩阵表示为n 阶矩阵0000100001000000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成V 的一个基，因此21,(),(),,()n -ξξξξA AA是V 的一个基.1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==设11,,,,,,r r s ξξξξξ是的极大无关组，则可以证明11,,,,,,r r s ααααα是的极大无关组.1-14 解：(1)由题意知123123[,,][,,]=ααααααA A123123111[,,][,,]011001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦βββααα设A在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则11111123111011103011001215001244346238--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知A的值域是线性空间3R .1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证.1-18证:对k 用数学归纳法证。
矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij =a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为： Ax=∇f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x 处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题.这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S ，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S 中元素a 和S'中元素对应，记为 a'=σ(a),或σ：a →a'. 映射最本质的特征在于对于S 中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
第一章习题1、 试证：22R ⨯中的一组向量（矩阵）线性无关 1112212210010000,,,00001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：令1112123214220x E x E x E x E +++= 1234100000100000100010x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12340,0,0,0x x x x ⇔====2、 试证：所有n 阶对称矩阵组成(1)/2n n +维线性空间；所有n 阶反对称矩阵组成(1)/2n n -维线性空间。
解：所有n 阶对称矩阵组成维线性空间的基底是0000001,,();,(1,2,,)0,,i j ij ij jii i j j A a a a i j n i j ==⎧====⎨⎩其它共(1)/2n n +个。
3、 在4R 中，求向量(1,2,1,T α=在基1(1,1,1,1)T α=，2(1,1,1,1)Tα=--，3(1,1,1,1)T α=--，4(1,1,1,1)Tα=--下的坐标。
答： 化为解方程组 1 1 1 11 1 1 -1 -121 -1 1 -11 1 -1 -1 11X ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，用matlab 得 1.25000.2500 -0.2500 -0.2500 4、 在22R⨯中，求矩阵1203A ⎛⎫=⎪⎝⎭在 123411111110,,,11100000E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。
解：11223344123412111111100311100000=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A x E x E x E x E x x x x转化为线性方程，再求解即可。
>> E=[1 1 1 1;1 1 1 0;1 1 0 0;1 0 0 0] E =1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0>> A=[1 2 0 3] A =1 2 0 3>> z=E'\A' z = 3 -3 2 -15、 试证：在22R ⨯中矩阵123411111110,,,11011011E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，并求ab cd α⎛⎫=⎪⎝⎭在基1234,,,E E E E 下的坐标。
矩阵分析主讲教师：张艳霞矩阵理论的应用微分方程、概率与统计、优化、信号处理、控制工程、经济理论等等。
工程经济理论等等如需更深入地学习和了解在自己专业的应用，可如需更深入地学习和了解在自己专业的应用可参考：《矩阵分析与应用》，张贤达著，清华大学出版社；《Matrix Analysis for Scientists & Engineers》:Alan J. Laub，SIAM.第章第一章线性空间和线性变换线性空间的基本概念及其性质线性空间的基底，维数, 坐标变换线性空间的基底维数线性空间的子空间，交与和线性映射及其值域、核线性变换及其矩阵表示矩阵（线性变换）的特征值与特征向量矩阵的可对角化条件第一节第节线性空间一：线性空间的定义与例子线性间的义定义设是一个非空的集合，是一个数域，V F 在集合中定义两种代数运算,一种是加法运算,来表示另种是运算用来表示V 用来表示; 另一种是数乘运算, 用来表示, +i并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律αββα+=+（2）加法结合律()()αβγαβγ++=++（3）零元素: 在中存在一个元素，使得对于V 0任意的都有V α∈0αα+=（4）负元素: 对于中的任意元素都存在一V α个元素使得β0αβ+=（5）i =1αα（6）()()k l kl αα=（7）()k l k l ααα+=+（8）()k k k αβαβ+=+为数域F 称这样的上的线性空间。
V例1全体实函数集合构成实数域上的线性空间。
R 例2复数域上的全体型矩阵构成的集C m n ×合为上的线性空间。
m n × C C 例3实数域上全体次数小于或等于的多项式R n 集合构成实数域上的线性空间;1[]n R x +R 实数域上全体次数等于的多项式集合不构成实数域上的线性空间;R n R二：线性空间的基本概念及其性质定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩向量组的极大线性无关组向量组的秩R例1实数域上的函数空间中，函数组2x x1,cos,cos2是线性相关的函数组。
是线性相关的函数组上的函数空间中函数组R 例2实数域上的函数空间中，函数组234x x x xe e e e是一组线性无关的函数.,,,上的函数空间中函数组例3实数域上的函数空间中，函数组R 1cos cos2cos ⋅⋅⋅是线性无关的。
1,cos ,cos2,,cos x x nx提示：连续求导2n 次，分别令x =0 代入得方程组。
线性空间的基底维数线性空间的基底，维数定义上的个线性空间如果在设为数域上的一个线性空间。
如果在中存在个线性无关的向量使得中的任意个向量V F 12,,,n ααα⋅⋅⋅V V n 的任意一个向量都可以由线性表出α12,,,n ααα⋅⋅⋅则称的个1122n nk k k αααα=++⋅⋅⋅+)为的一个基底；为向量在基底下的坐标。
此时我们为个维线性空间记为12,,,n ααα⋅⋅⋅V 12(,,,Tn k k k ⋅⋅⋅α12,,,n ααα⋅⋅⋅di 称为一个维线性空间，记为n V dim .V n =例1实数域上的线性空间中向量组R 3R (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)与向量组(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)(,,),(,,),(,,)都是的基。
是3维线性空间。
3R 3R例2实数域上的线性空间中的向量组R 1[]n R x +21,,,,nx x x⋅⋅⋅与向量组21,2,(2),,(2)nx x x −−⋅⋅⋅−都是的基底。
的维数为1[]n R x + 1.n +1[]n R x +注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。
利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。
目前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例3在4维线性空间中，向量组22R×1011⎡⎡⎤⎡⎤0111,,,11110110⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦与向量组011⎡⎤⎤⎤11111,,,0⎡⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0001011⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2⎡⎤是其两组基，求向量在这两组基下134A =⎢⎥的坐标。
⎣⎦设向量在第组基下的坐标为A 解：设向量在第一组基下的坐标为T1234(,,,),x x x x 于是可得基变换与坐标变换⋅⋅⋅⋅⋅⋅设（旧的）与（新的）是维线性空间的两组基底，它们之间的关系为12,,,n ααα12,,,n βββn V a a a ααα=+++ 11221i i i ni ni a β⎡⎤21,2,ia i nααα⎢⎥⎢⎥== []12,,,,,,,n ⎢⎥⎢⎥ ni a ⎣⎦将上式矩阵化可以得到下面的关系式11121n a a a ⎡⎤⎥ 21222n a a a ααα=⋅⋅⋅⎢⎢⎥[][]1212,,,,,n n βββ⎢⎥⎢⎥12n n nn a a a ⎣⎦a a a ⎡⎥ n 1112121222n n a a a ⎤⎢⎢⎥= 称阶方阵P ⎢⎥⎢⎥12n n nn a a a ⎣⎦是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成⎡1212,,,,,n n P βββααα=⋅⋅⋅⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 定理：过渡矩阵是可逆的。
P ，设在两组基下的坐标分别为V ∈任取设在两下的标分别为ζζ与，那么我们[,,,Tx x x [,,,Ty y y 有：]12n ]12n11x y ⎡⎤⎡⎤22x y P ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ x ⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥ n n y ⎣⎦⎣⎦称上式为坐标变换公式。
例 1 在4维线性空间中，向量组22R×⎡120110,,1111εε⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111⎡⎤⎡⎤==34,,0110εε⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡与向量组121011,,μμ⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥0000⎣⎦⎣⎦341111,,1011μμ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦为其两组基，求从基到基εεεε1234,,,μμμμ为其两求从到的过渡矩阵，并求向量在这两组基下1234,,,12A ⎡⎤=⎥渡矩阵并求向在两下的坐标。
34⎢⎣⎦线性空间的子空间定义设为数域上的一个维线性空间,V F n W为的一个非空子集合,V 如果对于任意的,W αβ∈以及任意的都有,k l F ∈,k l W αβ+∈么我们称的个那么我们称为的一个子空间。
W V 例1线性空间和单个零向量构成的子空间是的两个平凡的子空间。
V {}0V证明实数域上的线性空间中全体上三角n nR×矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的n nR ×子空间这几个子空间的基底与维数分别是什么？子空间。
问题：这几个子空间的基底与维数分别是什么？子空间的交与和的两个子空间定义12,V V V 设是线性空间的两个子空间,命1212{|}V V V V ααα∩=∈∈且V V V V ααααα+==+∈∈且12121122{|,}1212:V V V V V ∩+可以验证和都构成的线性子空间，12V V 分别称为和的交空间与和空间。
L例oM3,{0}L M R +={0}.L M ∩=134定理1.3.4}}121211span{span{span 1212,,,},,,,},{,,,,,}.s t s t V V V V αααβββααββ==+= 设则定理1.3.5 (维数公式),V V V 设是线性空间的两个子空间,则12121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++∩子空间的直和补子空间子空间的直和、补子空间1212,{0},V V V V V ∩=设是线性空间的两个子空间,若121212,,.V V V V V V +⊕直和则称的和空间是记作1212,,,,W W W V W W W =⊕==设是线性空间的三个子空间且有一个12121.,,,,W W V W W W W V W ⊕则称有个特别的若直和分解互补的子空间则称是线性空间的一对或称2.W 是的代数补1.3.7的一个子空间则一定存在定理,.U V U W V U W =⊕设是线性空间的个子空间,则定存在的代数补子空间使得的代数补不是唯一的U 子空间.L1L2oM线性映射空间映射定义：2,121,V V V V F φ→设是数域上两个线性:空间,映射112,,V F ααλ∈如果对于的任何两个向量和任何数都有1212()()(),φααφαφα+=+11()().φλαλφα=则称映射是由到的线性映射。
称为φ1V 2V 1α1()φα的原像，为的像。
1()φα1α例设实矩阵若映射是实矩阵，若映射由下式确定()ij B b =m n ×:n mR R φ→(),.m nB R R ααα=∈∀∈φ则是线性映射。
φ线性映射的简单性质(0)0,ssφ=11()(),i i i i i i k k φαφα===∑∑)()()φφ12112,s s V αααααα∈ 设，，，且，，，线性相关，12(),),,.s φααα 则也是线性相关注意：121s V ααα∈ 若，，，线性无关，则12(),(),φαφα不定线性无关 ,().s φα不一定线性无关线性映射的矩阵表示设是的一组基，是1V 12,,,n ααα 12,,,m βββ 2V 的一组基的一个线性映射则12)mβ的一组基。
是到的一个线性映射，则φ1V 2V 1()(1,2,,j ij i i a j n φα===∑ ，212= 或12,12(,,)((),(),,())(,,,)n n mmmi i i i in i a a a φαααφαφαφαβββ= 111i i i ===∑∑∑11121n a a a ⎡⎤2122212,(,,)n m a a a βββ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥12m m mn a a a ⎢⎥⎣⎦12,(,,)m Aβββ= A矩阵称为线性映射在基与A φ12,(,,)n ααα 12,(,,)m βββ 下的矩阵表示。
线性映射的值域核线性映射的值域、核定义是的一个线性映射令φ定义：设到的一个线性映射，令1V 2V V V V αα==∈∀∈，121(){()}φβφ则：是的线性子空间，称为线性映射的1()V φ2V φ值域，记为().R φ若是的一组基，则12,,,n ααα 1V 12n span{(),(),,()}()R φφαφαφα=是的一个线性映射令V φ定义：设到的个线性映射，令1V 21(0){|()0}N V αα−==∈=1()()}φφφ则：是的线性子空间，称为线性映射的()N φ1V φi 核子空间，称为的零度。
