第11章_真空中的静电场

第11章静电场一、库仑定律真空中和两个点电荷之间相互作用力的规律式中比例常数牛顿·米 / 库仑库仑 / 牛顿·米二、电场强度1、定义：电场中某点的电场强度的量值等于单位正电荷所受的力，电场强度的方向就是正电荷受力的方向，定义式为：式中为试验电荷，电场强度是空间坐标的单值函数。

2、场强迭加原理，电场中任一点的总场强等于各带电体在该点产生场强的矢量和：点电荷系：连续带电体：对于线电荷分布相应；面电荷分布相应体电荷分布相应三、真空中的高斯定理：在真空中的任何静电场中，通过任何闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷数和的分之一。

1、式中的是闭合曲面内的电荷，而计算电通量中的场强是闭合曲面内和外的电荷所产生的合场强。

2、高斯定理是一个普遍规律，适用于真空中任何静电场，但要用高斯定理来计算场强，那么电荷分布必须要具有特定的对称性。

3、高斯定理说明了电力线起始于正电荷，终止于负电荷，即静电场是有源场。

四、电势与电势差1、静电场环流定律这说明静电场是保守场，试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷的大小以及路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。

2、电势能:电场力所作的功等于电势能的减少定义在无限远处的电势能为零时，真空中某点的电势能3、电势：电场中某点的电势等于单位正电荷放在该点处时的电势能，也就等于单位正电荷任意路径移到无限远处电场力所作的功，即4、电势差5、电势迭加原理：点电荷系电场中某点的电势等于每个点电荷单独在该点产生电势的代数和连续分布电荷系的电场中某点的电势6、场强与电势的梯度关系：某方向上的场强：如在直角坐标系中，在、、三个方向上的分量为：，，原则上讲来，电势是标量，场强是矢量，一般先计算电势再利用求偏导数的方法来求场强各个方向的分量，比直接矢量计算场强来得简便，但应注意到计算的电势必须是电势随空间坐标的函数关系，而不是特定点的电势，对特定点（如：球心、圆心等）的场强，用场强与电势的梯度关系来计算并不方便。

13真空中的静电场真空中静电场的基本概念(1) 静电场的基本定律库仑定律：两点电荷在真空中的相互作用力电荷守恒定律：在一个与外界无电荷交换的系统内，任何过程中正负电荷的代数和永不改变.叠加原理：点电荷系在空间某点处产生的场强（或电势）等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强（或电势）之和.(2) 重要定理高斯定理：通过任一封闭面的电通量等于该封面所包围的电荷电量代数和的倍.1／ε，说明静电电场是有源场.环路定理：在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的积分恒为0.，说明静电场是保守场，静电力是保守力.(3) 电场强度在电场中任一给定点处，检验电荷q0所受的电场力F与其电量q0的比值为给定的电场强度电场强度E是一矢量，其大小为，方向为电场中给定点处正检验电荷所受力的方向.(4) 电势①电势能静电场是保守场，引入电势能的概念.电荷q0在静电场a点的电势能.若带电体系分布在有限空间内，常取无限远处电势能为零，则上式表明，在静电场中，电荷q0在a点的电势能等于将电荷q0从a点移动到无穷远处电场力所作的功.②电势静电场中a点的电势静电场中a点的电势等于单位电量在该点所具有的电势能，即将单位电量从该点a移动到无穷远处电场力所作的功.电势的单位为伏（V）.③电势差静电场中a，b 两点的电势差.静电场中a，b两点的电势差等于单位电量从a点移动到b点是电场力所作的功.解题指导（1）场强E、电势U 的计算场强和电势的计算可归纳为两大类题型：第一类，场具有球、柱、面对称性.先用高斯定理再用电势公式第二类，一般的场.原则：点电荷的场、叠加原理.点电荷的场场强电势点电荷系的场场强电势连续带电体的场场强将带电体分成无穷多个点电荷，取一点电荷，其场强为将d E分解到x方向和y方向再对场强在x方向的分量及y方向的分量积分电势取一点电荷，其电势为对所有点电荷产生的电势求和即求积分求解连续带电体的场强需用矢量积分（上面已介绍了基本方法），一般计算较为复杂.此问题也可简化：先计算带电体在空间的电势（电势计算积分为标量积分，比场强矢量积分简单），然后用求场强.(2) 运用F= q0E计算电场力时，应注意E是除q0以外的电荷产生的电场强度.(3) 对高斯定理中的每一个量，要有正确的理解.Φe只跟封闭面包围的电量有关，而E则是封闭面（也称高斯面）内、外所有电荷产生的总场强，跟高斯面内、外电荷有关.Φe>0，说明高斯面内净电荷（正、负电荷相加）大于零（也即正电荷比负电荷多），不能说高斯面内只有正电荷.（4）电场与电势的关系积分关系.微分关系.电场强度E大的地方，电势的高低要看积分的值大还是小，即单位电量从a→电势零点电场力作功大还是小来决定.从微分关系看，E l大，说明电势在l方向的方向导数大，即电势U随l的变化率大，即单位长度电势的变化大，反过来看电势高的地方也不能笼统地讲电场也强典型例题13-1 对于高斯定理举例说明下列说法是否正确：(1) 若高斯面内无电荷，则通过高斯面的电通量必为零；(2) 若高斯面内电荷的代数和不为零，则高斯面上的场强一定处处不为零；(3) 若高斯面上的场强处处为零，则高斯面内一定处处无电荷；(4) 若高斯面上的场强处处不为零，则高斯面内必有电荷.答(1) 正确.根据高斯定理因电荷都分布在高斯面外，任一电力线穿入高斯面后必要穿出高斯面，所以总电通量必为零.(2) 不正确.高斯面上的场强有些地方可以为零.例：有两正点电荷（+q，+q），高斯面通过两点电荷的中点O (如图13.3-1(a) )，O点处的场强 = 0.不正确.高斯面上的场强处处为零，说明表明高斯面内净电荷 = 0，可能存在正、负电荷相加为0的情况.例：两同心球壳分别带有等量异号电荷+Q、—Q（如图13.3-1(b)所示），两球壳外的电场处处为0，高斯球面在两球壳外，高斯面内有电荷+Q、—Q.(4) 不正确.例：高斯面外有一点电荷q，这时高斯面上场强处处不为零，而高斯面内无电荷.读者还可列举出一些例子来说明以上问题，这样有助于对以上问题更深入的理解.13-2 举例说明下列说法是否正确.(1) 场强大的地方，电势一定高；电势高的地方，场强一定大；(2) 带正电的物体电势一定是正的，电势等于零的物体一定不带电；(3) 场强大小相等的地方电势一定相等，等势面上场强的大小一定相等.答(1) 不正确.例如图13.3-2(a)中带等量异号电荷的平行板电容器，两平行板间的场强大小处处相等，但靠近正极的电势高，靠近负极的电势低.(2)不正确.例如两带电的同心球壳，如图13.3-2(b)所示.内球的电势只要足够大，可能为负值.后一问也不对，电势为零的物体可能带电，如图12.3-2(a)中负板接地电势为零，但带负电.(３)不正确.如图12.3-2(a)中平行板间场强大小处处相等，但电势可能不相同.后一问也不对，如图12.3-2(c)所示，两正、负点电荷，电量大小相等，它们的中垂面为等势面，但其上各点的场强大小不一定相等.13-3 半径为R的半圆形带电细棒，均匀分布有总电荷q ，求圆心O处的场强和电势.解题思路本题的电势分布不具有球、柱、面对称性，属求解一般场强和电势的问题.解这种类型题的原则是：点电荷的场和叠加原理.这里是一个连续带电的半圆环，用叠加原理时数学上用积分方法.这里我们将对求连续带电体的场强、电势的方法作一介绍.①将连续带电体分成无穷多小段，每一小段看成一点电荷；②任意取一小段dl（图12.3-3中所示），这一小段的电量为dq，dq在O点产生的电场强度d E的方向在图中标出，大小将d E分解到x，y方向；③对无穷多小段的点电荷在O点产生的场求和即求积分，很多情况根据带电体对称性（对x 轴，y轴对称情况），可直接看出一分量的场强为零.解如图13.3-3 所示取x，y坐标.将半圆环分成无穷多小段，取一小段d l，带电量，d q在O点的场强方向如图所示.从对称性分析(跟x轴对称的一小段)在y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强dq在圆心O的电势总电势注意：在解连续带电体电场问题中容易犯的错误是，写出任一点电荷在O点的场强d E后，不经分解就直接积分这里的积分是一个矢量积分，矢量积分的方法如下：即要分别求x，y，z轴的分量13-4 有一总电量为q，半径为R的均匀带电球面，求场强和电势的分布.解题思路这是一个电荷分布(或场)具有球对称性的问题，先用高斯定理求E的分布，再用求电势.具体计算时要看场强分布可分成几个区域，如本题可分成r < R及 r > R两个区域，对不同区域分别求解.解r> R，取半径为r的同心球面作高斯面（如图13.3-4(b)所示），根据高斯定理，r ≤R，〔取半径为r的同心球面作高斯面，根据高斯定理〕，以上〔〕中内容跟r > R时相同，也可省去，写“同理”即可.电势计算：r > R２，球外，离球心为r 的a 点的电势r≤R，球壳内，任取一点b，说明：(1) 上面介绍了对球对称情况求电场和电势的基本方法.对球对称问题可作如下变化：①两同心的均匀带电球壳（如图13.3-4′(a)所示），这时场分三个区域.r > R，可得2R< r < R2，1r ≤R，1对以上结果，读者可自己进行计算，并加以验证.②均匀带电球体(如图13.3-4′(b) )所示：r≤R，同理，r > R，电势：r > R，r ≤R，（此结果请读者一定要自己验证）.③对不均匀的带电球体，，这时求高斯面所包围的电量要用积分方法.(2)电势的计算：r≤R，，这时积分路线是从b积到∞，在积分路线中E有几种不同的表式，积分就要分几个积分相加，这点特别要提醒读者注意.在本题中，r ≤R，E=0，有些人就误认为.这时从b到∞电场分积分要分两段进行13-5 一个内、外半径分别为a 和b的无限长圆柱体壳层，壳内电荷体密度为式中A为常数，r为壳内任一点到轴线的距离.轴线处有一电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线.求A为何值时才能使壳内的场强大小恒定.解题思路本题电荷分布（或场）具有柱对称性，用高斯定理求解.解在壳内作半径r，高l的同轴柱封闭面作高斯面，根据高斯定理，，现在作的柱封闭面(高斯面)由1，2，3三个面组成，积分应分成三个面积分.包括两部分电荷：轴上的电荷lλ及包围的壳内电荷所以上式变为电场方向垂直轴线，一、二两个积分E·d S = 0.要求E 跟r无关，，.说明：⑴对柱对称分布的电荷（无限长均匀带电直线，无限长均匀带电柱面，柱体，无限长同轴均匀带电柱面……）取高斯面为同轴柱封闭面，积分要分3个面积分进行，其中跟轴垂直的两个面1，2的积分为零，只存在对侧面的积分.⑵电荷分布不均匀时，一般要用积分计算.⑶对柱对称问题一般求得场强的形式为：求场中某点的电势时，若取无穷远处电势为零，则会得出任一点的电势，这是不符合实际的.所以现在不能取无穷远处的电势为零.我们知道，电势零点的选取可随问题而定，这时我们选一点离轴线距离为的电势为零，a点的电势.13-6 两个无限长均匀带电共轴薄圆筒，内、外半径分别为.已知外筒和内筒间电势差，求一个电子在离轴线垂直距离r=2 cm处受的电场力.解题思路电子在电场中所受的电场力F=qE，求出E即可得F.对柱对称的电场用高斯定理可得，现已知电势差，可倒过来求得E，再代入F=qE求得电场力.解根据高斯定理，两无限长带电薄圆筒间的场强，两筒间的电势差，所以，.13-7 一无限大厚度为2d的均匀带电平板，单位体积中带电粒子数为n，每个粒子带电量q，求平板内外场强E及电势U的分布（设处电势为零.）解题思路对无限大均匀带电平板，电荷分布及电场有面对称性，取轴垂直于平板且底面平行于平板的柱封闭面为高斯面，利用高斯定理可求E的分布，再根据，求出电势.解电力线垂直于中心面指向外.，作长2l垂直中心面，底面积为S的柱面（图13.3-7中I高斯面）作高斯面根据高斯定理，高斯面有两个底面1，2和一个侧面3，，所以，，作高斯面Ⅱ，同理可得，电势：，，，，，.说明：⑴对面对称分布的电荷用高斯定理求解时，所取的高斯面应是中心面垂直且对称的封闭曲面.⑵对面对称的电场求电势时，也不能取无穷远处的电势为电势零点（若取无穷远处为电势零点，则场中各点的电势都为，失去实际意义），应先取定某点电势为零，再进行计算.13-8如图13.3-8所示，在A点处有点电荷，在B点处有电荷，O点为AB的中点，AB长为，P点与A点相距.求：⑴把电量的点电荷从无限远处移到P点，电场力作功多少？电势能增加多少？⑵将从P点移到O点，电场力作功多少？电势能增加多少？解题思路计算电场力的功及电势能的增量可用公式，将计算后代入即可，一般不要用功的定义计算，这样做会带来一些计算上的麻烦，而且花时间，也容易算错.解：⑴⑵. 13-9 均匀带电细圆环，半径为R，带电量为 q，求圆环轴线上离环心为x 处的任一点P的电势，利用电势梯度求该点的场强.解题思路本题电荷分布无球、柱、面对称性，为一般的场，而且为连续带电体，空间电场强度的计算比较复杂（需用对变量求积分及矢量积分的方法）.可先求P点的电势，再用场强电势的微分关系求场强进行简化.解将带电圆环分成无穷多小段，取其中的任意的一小段，所带的电量为，在P点的电势整个圆环在P点产生的电势题解1. 一无限长带电直线，电荷线密度分别为和，求点处的场强E.解在正x轴上取一小段，离O点距离x，在P点的场强（方向如图中）在负x轴上跟O对称取一小段，在P点的场强（方向如图）从对称性分析，在y方向成对抵消，只存在x方向的分量2. 一半径为a的带电半圆弧，上半部均匀分布着电荷+q，下半部均匀分布着电荷—q（如图13.4-2所示）试求圆心O处的电场强度.解 +q上半部产生的场强：将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段（所带电量），在O点的场强方向如图所示.—q下半部分产生的场强：以x轴为对称轴取跟d l对称的一小段（带电量）在O点的场强方向如图所示.从图中看出，根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0，只存在y方向的场强分量总场强3.一半径为a的半球壳，均匀地带有负电荷，电荷面密度为.求：球心O 处的电场强度和电势.解将半球面分成无限多个圆环，取一圆环如图13.4-3所示，半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值在O点产生的场强（利用圆环在轴线上场公式）带电半球壳在O点的总场强其中，电势计算：将半球壳分成无穷多小面元d s，所带电量，在O点的电势带电半球壳在O点的总电势.4、用细的塑料棒弯成半径为0.5 m的圆弧，两端空隙为2 cm，所带电量，且均匀分布在棒上.求圆心处的电场强度.解带电圆弧长所带电量q在带隙中补上长2cm，带电量的小条，则圆心O的场强式中分别为q和在O点产生的场强，所以可看成点电荷圆弧形带电塑料棒在O点的场强大小为，方向朝右.5、一无限长均匀带电的圆柱面，半径为R，沿轴线方向单位长电量为，求轴线上场强的大小.解：图13.4-5为圆柱面横截面图，对应的无限长直线单位长带的电量为它在轴线O产生的场强大小为因对称性，成对抵消.6、把某一电荷Q分成两个部分，使它们相隔一定距离.如果要使这两部分有最大的库仑斥力，求这两部分电荷应怎样分配？解设一部分的电量为q，另一部分的电量为(Q－q)，则相互斥力为F最大，，7、电荷线密度为的无限长均匀带电直线与另一长度为l、电荷线密度为的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们之间的相互作用力.解将AB分成无穷多小段，取一小段，所带电量.受无限长带电直线的作用力，方向朝右，各小段受无限长带电直线的作用力方向都朝右，所以AB受的总作用力8.两个均匀带电的同心球面，若维持外球面半径m以及内外两球面间的电势差U=100V不变，则内球面半径为多大时，才能使内球表面附近场强最小?其值为多大?解设内球带电量q ，两球面间的场强，两球的电势差，可得.代入E中，内球表面附近，最小，9.(1)地球表面附近的电场强度近似为，方向指向地球中心.试求地球带的总电量;(2)在离场面1400m处，电场强度降为，方向仍指向地球中心.试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度.解 (1)沿地球表面作一封闭球面S ，设地球所带的总电量为Q，根据高斯定理，.由于地球表面附近电场强度数值相等，方向指向地球中心，于是上式左边，所以(2)在离地面h=1400m处包围地球作一封闭球面，设大气层里总电量为q，根据高斯定理，因大气层体积所以大气层中平均电荷密度.10.设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用下式表示:.式中r是到轴线的距离,是轴线上的电荷密度，a是常数. 计算场强分布.解电荷分布有柱对称性，利用高斯定理，在等离子体的圆柱内，作长，半径为r的同轴柱面为高斯面，根据高斯定理，，.由于电场的对称性，方向垂直于圆柱面侧面，通过圆面两底的电通量为零，上式有，.11.一均匀的带电球体，电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，偏心距为a，求腔内任一点P的电场强度.解将相同电荷体密度的带电物质填满空腔，它在P点的场强为.此时整个实心均匀带电球在P点的场强设为E，很显然空心球在P点的场强，根据高斯定理，同理，所以12. 如图放置的细棒，长为L，电荷线密度( k为常数)，求: (1)P(0 ,y )处的电势;(2)用电势梯度求P点处的场强分量;(3)能否由(1)的结果用电势梯度求P点处的场强分量?为什么?解 (1)在细棒上x上处取电荷元，它在P点产生的电势，.(2) .(3)不能由(1)的结果用电势梯度求.因为U=U (0，y)中x =0为确定值，电势梯度必为0.应该先求出任一场点处的电势U (x，y)，再由才可求得x=0处的场强分量.13.设电势沿x轴的变化曲线如图所示.试对于每个所示的区间(忽略区间端点的情况)，确定电场强度的x分量，并作对x的关系图线.解在a~b区间，;在b~c区间，;在c~e区间，;在e~f区间，;在f~g区间，;在g~h区间，对x的关系线见图13.4(b)所示.。

真空中静电场的微分方程一、引言静电场是物理学中非常重要的概念之一，它是指由电荷所产生的电场。

在真空中，静电场的微分方程可以用麦克斯韦方程组来描述。

本文将详细介绍真空中静电场的微分方程。

二、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程式：高斯定律、法拉第定律、安培定律和位移定理。

其中高斯定律和安培定律分别描述了静电场和恒定磁场，而法拉第定律和位移定理则描述了变化磁场和变化电场。

三、高斯定律高斯定律描述了静电荷在空间内所产生的电场。

它可以写成如下形式：∇·E = ρ/ε0其中E为电场强度，ρ为空间内的自由电荷密度，ε0为真空介质中的介电常数。

四、安培定律安培定律描述了恒定磁场对于导体内部运动带来的影响。

它可以写成如下形式：∇×B = μ0J其中B为磁场强度，J为电流密度，μ0为真空中的磁导率。

五、静电场的微分方程在真空中，静电场不存在磁场和电流。

因此，安培定律可以简化为0=0，而高斯定律则可以写成：∇·E = ρ/ε0结合两个方程式可以得到：∇×E = 0这个式子表示在真空中，静电场的旋度为零。

由于旋度是一个向量运算符，它只有在有旋转的情况下才会不为零。

因此，在真空中静电场不存在旋转。

另外，根据向量分析中的基本定理可以得到：∇·(∇×E) = 0这个式子表示在真空中静电场的散度也必须为零。

因此，在真空中静电场不能有任何源或汇。

六、总结本文介绍了麦克斯韦方程组以及其中描述静电场的高斯定律和安培定律。

通过推导可以得到，在真空中静电场的微分方程是∇·E = ρ/ε0和∇×E = 0，并且这个微分方程组表明了在真空中静电场不存在旋转和源或汇。

这些结论对于理解静电场的本质和应用都有重要意义。

第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场11-1 电源中的非静电力与静电力有什么不同答：在电路中，电源中非静电力的作用是，迫使正电荷经过电源内部由低电位的电源负极移动到高电位的电源正极，使两极间维持一定的电位差。

而静电场的作用是在外电路中把正电荷由高电位的地方移动到低电位的地方，起到推动电流的作用；在电源内部正好相反，静电场起的是抵制电流的作用。

电源中存在的电场有两种：1、非静电起源的场；2、稳恒场。

把这两种电场与静电场比较，静电场由静止电荷所激发，它不随时间的变化而变化。

非静电场不由静止电荷产生，它的大小决定于单位正电荷所受的非静电力，kF E q=。

当然电源种类不同，k F 的起因也不同。

11-2静电场与恒定电场有什么相同处和不同处为什么恒定电场中仍可应用电势概念 答：稳恒电场与静电场有相同之处，即是它们都不随时间的变化而变化，基本规律相同，并且都是位场。

但稳恒电场由分布不随时间变化的电荷产生，电荷本身却在移动。

正因为建立稳恒电场的电荷分布不随时间变化，因此静电场的两条基本定理，即高斯定理和环路定理仍然适用，所以仍可引入电势的概念。

11-3一根铜导线表面涂以银层，当两端加上电压后，在铜线和银层中，电场强度是否相同电流密度是否相同电流强度是否相同为什么 答：此题涉及知识点：电流强度d sI =⋅⎰j s ，电流密度概念，电场强度概念，欧姆定律的微分形式j E σ=。

设铜线材料横截面均匀，银层的材料和厚度也均匀。

由于加在两者上的电压相同，两者的长度又相等，故铜线和银层的场强E 相同。

由于铜线和银层的电导率σ不同，根据j E σ=知，它们中的电流密度j 不相同。

电流强度d sI =⋅⎰j s ，铜线和银层的j 不同但相差不太大，而它们的横截面积一般相差较大，所以通过两者的电流强度，一般说来是不相同的。

11-4一束质子发生侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是： （1）电场 （2）磁场（3）若是电场或者是磁场在起作用，如何判断是哪一种场答：造成这个偏转的原因可以是电场或磁场。