第十章 静电场中的能量
一、选择题
1．外力克服静电力对电荷做功时，( )。 A ．电荷的动能一定增大； B ．电荷的动能一定减小；
C ．电荷一定从电势能大处移到电势能小处；
D ．电荷一定从电势能小处移到电势能大处。
2．(多选)图示为静电场的一部分电场线，下列说法正确的是( )。 A ．A 点电势高于B 点电势； B ．A 点电势低于B 点电势； C ．A 点电场强度大于B 点电场强度； D ．A 点电场强度小于B 点电场强度。
3．(多选)关于电势，下列说法正确的是( )。
A ．电场中某点的电势，其大小等于单位正电荷由该点移动到零电势点时，静电力所做的功；
B ．电场中某点的电势与零电势点的选取有关；
C ．由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低；
D ．电势是描述电场性质的物理量。
4．对于电场中A 、B 两点，下列说法正确的是( )。 A ．电势差U AB ＝
AB
W q
，说明两点间的电势差U AB 与静电力做功W AB 成正比，与试探电荷的电荷量q 成反比；
B ．A 、B 间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点静电力所做的功；
C ．将1 C 电荷从A 点移到B 点，静电力做1 J 的功，这两点间的电势差为1 V ；
D ．电荷由A 点移到B 点的过程中，除受静电力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功。
5．如图所示，Q 是带正电的点电荷，P 1、P 2为其电场中的两点。若E 1、E 2为P 1、P 2
两点的电场强度大小，φ1、φ2为P 1、P 2两点的电势，则( )。
A ．E 1＞E 2，φ1＞φ2；
B ．E 1＞E 2，φ1＜φ2；
C．E1＜E2，φ1＞φ2；D．E1＜E2，φ1＜φ2。
6．充电后平行板电容器保持两极板的正对面积、间距和电荷量不变，在两极板间插入一电介质，其电容C和两极板间的电势差U的变化情况是( )。
A．C和U均增大；B．C增大，U减小；
C．C减小，U增大；D．C和U均减小。
7．(多选)如图所示，两电荷量分别为Q(Q＞0)和－Q的点电
荷对称地放置在x轴上原点O的两侧，A点位于x轴上O点与点电
荷Q之间，B点位于y轴O点上方。取无穷远处为零电势点，下列
说法正确的是( )。
A．B点的电势为0，电场强度也为0；
B．正的试探电荷在A点的电势能大于0，所受静电力方向向右；
C．将正的试探电荷从O点移到A点，必须克服静电力做功；
D．将同一正的试探电荷先后从O、B两点移到A点，后者电势能的变化较大。
8．(多选)一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点电势能为4.8×10-17J，动能为3.2×10-17J，电子经过B点时电势能为3.2×10-17J，如果电子只受静电力作用，则( )。
A．电子在B点时动能为4.8×10-17J；
B．由A点到B点静电力做功为100eV；
C．电子在B点时动能为1.6×10-17J；
D．A、B两点间的电势差为100V。
9．如图所示，实线为某电场的电场线，虚线为等势线。已知C为
线段AB的中点，过A、B的等势线的电势分别为30V和10V．则C
点的电势φc ( )。
A．φc＝20V；B．φc＞20V；
C．φc＜20V；D．φc的范围无法确定。
10．(多选)如图所示，在正电荷Q的电场中有M、N、P和F
四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M
＝30°，M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示，
已知φM＝φN，φP＝φF，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则
( )。
A．点电荷Q一定在MP连线上；
B．连线PF一定在同一条等势线上；
C．将正试探电荷从P点搬运到N点，静电力做负功；
D．φP大于φM。
11．如图所示，在点电荷Q产生的电场中，将两个带正电的试探电荷q1、q2分别置于A、B两点，虚线为等势线。取无穷远处为零电势点，若将q1、q2移动到无穷远的过程中外力克服静电力做的功相等，则下列说法正确的是( )。
A．A点电势大于B点电势；
B．A、B两点的电场强度相等；
C．q1和q2的在A、B两点时具有的电势能相等；
D．Q为带正电点电荷。
12．静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线。x轴上的两点B、C的电场强度分别为E B和E C，下列说法中正确的有( )。
A．E B大于E C；
B．B点的电场强度方向沿x轴正方向；
C．B点的电势低于C点的电势，U BC为正值；
D．负电荷沿x轴从B点移到C点的过程中，静电力先做正功，后做负功。
13．(多选)如图所示，氕核、氘核、氚核三种粒子从同一位置无初速度地飘入电场线水平向右的加速电场E1，之后进入电场线竖直向下的匀强电场E2发生偏转，最后打在屏上。整个装置处于真空中，不计粒子重力及其相互作用，那么( )。
A．偏转电场E2对三种粒子做功一样多；
B．三种粒子打到屏上时的速度一样大；
C．三种粒子在偏转电场中运动时间相同；
D．三种粒子一定打到屏上的同一位置。
二、填空题
14．如图所示，在电场强度为E的匀强电场中有相距为L的A、
B两点，连线AB与电场线的夹角为θ，将一电荷量为q的正电荷从
A点移到B点。若沿直线AB移动该电荷，静电力做的功W1＝
________；若沿路径ACB移动该电荷，静电力做的功W2＝________；
若沿曲线ADB移动该电荷，静电力做的功W3＝________。由此可知，电荷在电场中移动时，静电力做功的特点是_______________________________。
15．物理课上老师做了如图所示的实验，电路中三个电容器完全相同，请你对实验现象进行分析，回答下列问题。
先把开关S1闭合，开关S2和S3均断开，用数字电压表测得C1两端电压为U，设C1每一极板带的电荷量为Q；然后断开开关S1，闭合S2，保持S3断开，C2所带电荷量为_______；接着老师又把开关S2断开，闭合S3，则C3两端电压为__________。
三、解答题
16．将电荷量为3×10-8C的负点电荷从静电场中的A点移到B点的过程中，静电力做功1.5×10-7J；将该点电荷从B点移到C点过程中，克服静电力做功9×10-8J。由此可知电场中A、C两点间的电势差为多大？
17．如图所示，一平行板电容器的两个极板竖直放置，在两极板间有一带电小球，小球用一绝缘轻线悬挂于O点。先给电容器缓慢充电，使两极板所带电荷量分别为＋Q和－Q，
此时悬线与竖直方向的夹角为π
6
。再给电容器缓慢充电，直到悬线和竖直方向的夹角增加
到π
3
，且小球与两极板不接触。求第二次充电使电容器正极板增加的电荷量。
18．加速器在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。
如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s，进入漂移管E时速度为1×107 m/s，电源频率为1×107 Hz，漂移
管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的1
2
。质子的荷质比取1×108 C/kg。
求：
(1)漂移管B的长度；
(2)相邻漂移管间的加速电压。
参考答案
一、选择题 1．D 。
解析：外力克服静电力做功说明静电力对电荷做了负功，电荷的电势能增加，故D 正确。若合外力做正功，电荷的动能增加，本题电荷所受的合外力不一定做正功。
2．BC 。
解析：沿电场线方向电势逐渐降低，因此B 点电势较高，故B 正确。电场线越密集，电场强度越大，因此A 点电场强度较大，故C 正确。
3．ABD 。
解析：电势的定义式为φ＝
P
E q
，而电荷在某点的电势能等于从该点将电荷移到零电势点静电力所做的功，因此A 正确。电势是相对零电势点而言的，选择不同的零电势点，同一点的电势可能不同，但是两点之间的电势差相同，B 正确、C 错误。电势是描述电场性质的物理量，D 正确。
4．C 。
解析：电势差描述电场特性，跟试探电荷没有关系，在两点间移动电荷，静电力对试探电荷做功与电荷量成正比，A 错误。A 、B 间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点静电力所做的功与电荷量的比值，B 错误。如果将1 C 的正电荷从A 点移到B 点，静电力做1 J 的功，则这两点间的电势差为1 V ，若移动的是负电荷，则电势差也为1 V ，C 正确。电荷由A 点移到B 点的过程中，电荷电势能的变化仍等于静电力所做的功，D 错误。
5．A 。
解析：带正电的点电荷的电场强度决定式为E ＝2
Q
k
r ，距离场源电荷越近，电场强度越大；带正电的点电荷的电场线向外发散，沿着电场线方向电势逐渐降低。因此P 1点电场强度更大、电势更高。
6．B 。 解析：根据C ＝r 4πS
kd
，电容C 增大，根据U ＝
Q
C
，电势差U 减小，B 正确。 7．BC 。
解析：因为等量异种电荷在其连线的中垂线上的电场方向为水平指向负电荷，所以电场
方向与中垂线方向垂直，故中垂线为等势线，因为中垂线延伸到无穷远处，所以中垂线的电势为0，故B 点的电势为0，但是电场强度不为0，A 错误；等量异种电荷连线上，电场方向由正电荷指向负电荷，方向水平向右，在中点O 处电势为0，O 点左侧电势为正，右侧电势为负，又知道正电荷在正电势处电势能为正，故B 正确；将正的试探电荷从O 点移到A 点，O 点的电势低于A 点的电势，静电力做负功，所以必须克服静电力做功，C 正确；O 点和B 点的电势相等，所以先后从O 、B 两点移到A 点，静电力做功相等，电势能变化相同，D 错误。
8．AB 。
解析：电子只受到静电力作用，因此电势能与动能之和保持不变，A 正确、C 错误。由A 点到B 点电子的电势能减少了1.6×10-17 J ，则静电力做功1.6×10-17 J ，1eV 等于1.6× 10-19 J ，所以静电力做功100 eV ，B 正确。因为U AB ＝AB
W q
，故A 、B 之间电势差为－100 V ，D 错误。
9．C 。
解析：沿电场线方向电势逐渐降低，A 、B 间电势差为20 V ，在A 点附近，电场比较强，在B 点附近，电场比较弱，因此A 、C 间电势差大于C 、B 间电势差，所以C 点电势小于20 V 。
10．AD 。
解析：如图所示为点电荷激发的电场，任意两个等势点A 、B 连线的垂直平分线都指向点电荷。根据题意，点电荷Q 必在MN 的中垂线和PF 的中垂线的交点处，过F 作MN 的垂直平分线交MP 于O 点，由几何关系可知ON 恰好垂直平分PF ，故点电荷Q 一定位于O 点，A 正确；正点电荷的等势线是以点电荷为圆心的同心圆，即等势线不是直线，可知B 错误；将正电荷从P 点搬运到N 点，远离场源正电荷，静电力做正功，C 错误；根据几何关系可得OP ＜OM ，距离场源正电荷越远电势越低，所以P 点电势大于M 点电势， D 正确。
11．C 。
解析：根据题意“外力克服静电力做功”可知静电力做负功，点电荷Q 带负电，D 错误；根据“沿着电场线方向电势逐渐降低”可知B 点的电势高于A 点的电势，A 错误；根
A
据电场强度E ＝2
Q
k
r 可知，距离Q 较近的A 点的电场强度较大，B 错误；又因为两电荷移到无穷远处静电力做功一样，表明两个电荷在两点的电势能相等，C 正确。
12．D 。
解析：从图像上看，电势沿 x 轴正、负方向均匀减小，则电场线分布如图所示，故A 、B 错误。B 点电势低于C 点电势，U BC 为负值，故C 错误。
13．AD 。
解析：设加速电场长度为d ，偏转电场长度为L ，在加速电场中qE 1d ＝
1
2
m 2，在偏转电场中有L ＝t ，则偏转位移2
2221124E q E L y t m E d
＝＝，偏移量与比荷无关，所以三种粒子一
定打到屏上的同一位置，D 正确；偏转电场对粒子做功22
2214qE L
W qE y E d
＝＝，与粒子的质量
无关，A 正确；三种粒子在进入偏转电场时速度不同，而在偏转电场中静电力做功相同，故最后离开电场时速度不同，所以B 错误；因三种粒子的偏转位移相同，但粒子的质量越大加速度越小，所以质量越大的粒子加速的时间越长，在偏转电场中的运动时间也越长，C 错误。
二、填空题
14．qEL cos θ；qEL cos θ；qEL cos θ；静电力做功的大小与电荷经过的路径无关，只与电荷的始末位置有关。
15．
2Q ；4
U 。 解析：电容器带的电荷量与其两端电压成正比，断开开关S 1，闭合开关S 2后，C 1极板上电荷会转移到C 2上，C 1、C 2是两个相同的电容器，电荷量会对半分，因此每个电容器带的电荷量为
2Q ，电压也就为2
U
；开关S 2断开，闭合S 3，电容器C 2的电荷量有一半转移到C 3上，C 3上电荷量为
4Q ，因此电压也就为4
U
。 三、解答题 16．－2 V 。
解析：静电力做的功是标量，从A 点到C 点静电力做功等于从A 点到B 点静电力做功
与从B 点到C 点静电力做功的代数和，则
78
8
1.510910 V 2 V 310AB BC AC W W U q ----＋××＝＝＝－－×
17．2Q 。
解析：根据力的平衡和力的合成可知，π
tan
6
Eq mg ＝，根据电场强度与电势差的关系及电容的定义得Q
E Cd
＝
，所以3mgCd Q ＝；
同理可得，第二次充电后，3'mgCd
Q ＝
， 所以第二次充电使电容器正极板增加的电荷量23'2mgCd
Q Q Q Q ?＝－＝＝ 18．(1) L ＝0.4 m ；(2)U ＝6×104 V 。
解析：(1)设质子进入漂移管B 时速度为B v ，电源频率、周期分别为f 、T ，漂移管B 的长度为L ，则T ＝
1f ，又B 2
T
L ＝v ，解得L ＝0.4 m 。 (2)设质子进入漂移管E 的速度为E v ，相邻漂移管间的加速电压为U ，质子从漂移管B 运动到E 电场做功W ，质子的电荷量为q 、质量为m ，则
W ＝3qU ，
根据动能定理得W ＝22
E B 11m m －22v v ，
解得U ＝6×104 V 。
§1、5 静电场的能量 1．5．1、 带电导体的能量 一带电体的电量为Q ，电容为C ，则其电势C Q U =。我们不妨设想带电体 上的电量Q ，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功， 就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的 函数关系如图1-5-1所示，斜率为C 1 。设每次都搬运极少量的电荷Q ?，此过程可认为导体上的电势不变，设为i U ，该过程中搬运电荷所做的功为Q U W i i ?=，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为 ∑∑?==Q U W W i i 其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若Q ?取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。 2 221221CU C Q QU Q U W i ===?=∑ 上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。 1．5．2、 电场的能量 由公式2 21CU W =，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中 在电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及 能量的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此 图1-5-1
电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。 k Sd E d E kd S CU W πεπε8421212222=?== 单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用ω来表示 k E V W πεω82 == 上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 1．5．3、电容器的充电 如图1-5-2所示，一电动势为U 的电源对一电容为C 的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量 CU Q = 电容器所带能量 2 21CU W = 而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为 W CU QU W 22===' 也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。 例7、用N 节电动势为ε的电池对某个电容器充电，头一次用N 节电池串
第十章 静电场中的能量 一、选择题 1．外力克服静电力对电荷做功时，( )。 A ．电荷的动能一定增大； B ．电荷的动能一定减小； C ．电荷一定从电势能大处移到电势能小处； D ．电荷一定从电势能小处移到电势能大处。 2．(多选)图示为静电场的一部分电场线，下列说法正确的是( )。 A ．A 点电势高于B 点电势； B ．A 点电势低于B 点电势； C ．A 点电场强度大于B 点电场强度； D ．A 点电场强度小于B 点电场强度。 3．(多选)关于电势，下列说法正确的是( )。 A ．电场中某点的电势，其大小等于单位正电荷由该点移动到零电势点时，静电力所做的功； B ．电场中某点的电势与零电势点的选取有关； C ．由于电势是相对的，所以无法比较电场中两点的电势高低； D ．电势是描述电场性质的物理量。 4．对于电场中A 、B 两点，下列说法正确的是( )。 A ．电势差U AB ＝ AB W q ，说明两点间的电势差U AB 与静电力做功W AB 成正比，与试探电荷的电荷量q 成反比； B ．A 、B 间的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点静电力所做的功； C ．将1 C 电荷从A 点移到B 点，静电力做1 J 的功，这两点间的电势差为1 V ； D ．电荷由A 点移到B 点的过程中，除受静电力外，还受其他力的作用，电荷电势能的变化就不再等于静电力所做的功。 5．如图所示，Q 是带正电的点电荷，P 1、P 2为其电场中的两点。若E 1、E 2为P 1、P 2 两点的电场强度大小，φ1、φ2为P 1、P 2两点的电势，则( )。 A ．E 1＞E 2，φ1＞φ2； B ．E 1＞E 2，φ1＜φ2；
第十章静电场中的能量精选试卷练习（Word版含答案） 一、第十章静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．空间存在一静电场，电场中的电势φ随x (x轴上的位置坐标)的变化规律如图所示，下列说法正确的是( ) A．x = 4 m处的电场强度可能为零 B．x = 4 m处电场方向一定沿x轴正方向 C．沿x轴正方向，电场强度先增大后减小 D．电荷量为e的负电荷沿x轴从0点移动到6 m处，电势能增大8 eV 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 φ 图象的斜率等于电场强度，知x=4 m处的电场强度不为零，选项A错误；B、A、由x 从0到x=4 m处电势不断降低，但x=4 m点的电场方向不一定沿x轴正方向，选项B错误；C、由斜率看出，沿x轴正方向，图象的斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，选项C错误；D、沿x轴正方向电势降低，某负电荷沿x轴正方向移动，电场力做负功，从O点移动到6m的过程电势能增大8 eV，选项D正确．故选D． 【点睛】 本题首先要读懂图象，知道φ-x图象切线的斜率等于电场强度，场强的正负反映场强的方向，大小反映出电场的强弱． 2．在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M为轨迹的最高点，小球抛出时的动能为8.0J，在M点的动能为6.0J，不计空气的阻力，则（） A．从A点运动到M点电势能增加 2J B．小球水平位移x1与x2的比值 1：4 C．小球落到B点时的动能 24J
D ．小球从A 点运动到B 点的过程中动能有可能小于 6J 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 将小球的运动沿水平和竖直方向正交分解，水平分运动为初速度为零的匀加速直线运动，竖直分运动为匀变速直线运动； A ．从A 点运动到M 点过程中，电场力做正功，电势能减小，故A 错误； B ．对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为1：3，故B 错误； C ．设物体在B 动能为E kB ，水平分速度为V Bx ，竖直分速度为V By 。 由竖直方向运动对称性知 1 2 mV By 2=8J 对于水平分运动 Fx 1= 12mV Mx 2-1 2 mV AX 2 F （x 1+x 2）= 12mV Bx 2-1 2 mV AX 2 x 1：x 2=1：3 解得： Fx 1=6J ； F （x 1+x 2）=24J 故 E kB = 1 2 m （V By 2+V Bx 2）=32J 故C 错误； D ．由于合运动与分运动具有等时性，设小球所受的电场力为F ，重力为G ，则有： Fx 1=6J 2262 J 1F t m ??= Gh =8J 221 8J 2G t m ??= 所以： F G = 由右图可得： tan F G θ=
8-5 静电场的能量 能量密度 我们将以平行平板电容器的带电过程为例，讨论通过外力作功把其它形式的能量转变为电能的机理。在带电过程中，平板电容器内建立起电场，从而导出电场能量计算公式。 一、 电容器的电能 如图所示，有一电容为C 的平行平板电容器正处于充电过程中，设在某时刻两极板之间的电势差为U ，此时若继续把q d +电荷从带负电的极板移到带正电的极板时，外力因克服静电力而需作的功为 q q C q U W d 1d d == 欲使电容器两极板分别带有Q ±的电荷，则外力作的总功为 2 2 0 21212d 1CU QU C Q q q C W Q ====? （8-19） 从上述讨论可见，在电容器的带电过程中，外力通过克服静电场力作功，把非静电能转换为电容器的电能了。 二、静电场的能量 能量密度 对于极板面积为S ，间距为d 的平板电容器，若不计边缘效应，则电场所占有的空间体积为Sd ，于是此电容器贮存的能量也可以写成 Sd E Ed d S CU W 222e 21)(2121εε=== （8-20） 式（8-20）表明，在外力作功的情况下，使原来没有电场的电容器的两极板间建立了有确定电场强度的静电场，因此电容器能量的携带者应当是电场。 由此可知单位体积电场内所具有的电场能量为 2e 21E w ε= （8-21） 叫做电场的能量密度。式（8-21）虽是从平板电容器导出的，但它适用于一般情况。 讨论：能量的携带者是电场
仔细看来，式（8-19）和式（8-20）的物理意义是不同的。 式（8-19）表明，电容器之所以贮藏有能量，是因为在外力作用下将电荷Q 从一个极板移至另一极板，因此电容器能量的携带者是电荷。 而式（8-20）却表明，在外力做功的情况下，使原来没有电场的电容器的两极板间建立有确定电场强度的电场，因此电容器的能量携带者应当是电场。 我们知道，静电场总是伴随着静止电荷而产生，所以在静电学范围内，上述两种观点是等效的，没有区别。 但对于变化的电磁场来说，情况就不如此了。 我们知道电磁波是变化的电场和磁场在空间的传播。 电磁波不仅含有电场能量e W 而且含有磁场能量m W 。 理论和实验都确认，在电磁波的传播过程中，并没有电荷伴随着传播，所以不能说电磁波能量的携带者是电荷，而只能说电磁波能量的携带者是电场和磁场。 因此如果某一空间具有电场，那么该空间就具有电场能量。电场强度是描述电场性质的物理量，电场的能量应以电场强度来表述。 基于上述理由，我们说式（8-20）比式（8-19）更具有普遍的意义。 例 1 如图所示，球形电容器的内、外半径分别为21R R 和，所带电荷为Q ±。若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？ 解 若球形电容器极板上的电荷是均匀分布的，则球壳间电场亦是对称分布的。由高斯定理可求得球壳间电场强度为 )( π41212R r R r Q r <<=e E ε 2222e π3221r Q E w εε== 取半径为r ，厚度为r d 的球壳，其体积元为r r d π4dV 2=。所以，在此体积元内电场的 能量为 r r Q V w W d π8d d 22 e e ε== 电场总能量为 )11( π8d π8d 212 22e e 21R R Q r r Q W W R R -===??εε
静电场的能量 1．5．1、 带电导体的能量 一带电体的电量为Q ，电容为C ，则其电势C Q U =。我们不妨设想带电体 上的电量Q ，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功， 就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的 函数关系如图1-5-1所示，斜率为C 1 。设每次都搬运极少量的电荷Q ?，此过程可认为导体上的电势不变，设为i U ，该过程中搬运电荷所做的功为Q U W i i ?=，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为 ∑∑?==Q U W W i i 其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若Q ?取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。 2 221221CU C Q QU Q U W i ===?=∑ 上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。 1．5．2、 电场的能量 由公式2 21CU W =，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中 在电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及 能量的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此图1-5-1
电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。 k Sd E d E kd S CU W πεπε8421212222=?== 单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用ω来表示 k E V W πεω82 == 上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 1．5．3、电容器的充电 如图1-5-2所示，一电动势为U 的电源对一电容为C 的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量 CU Q = 电容器所带能量 2 21CU W = 而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为 W CU QU W 22===' 也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。 例7、用N 节电动势为ε的电池对某个电容器充电，头一次用N 节电池串
湖北省黄冈中学物理第十章 静电场中的能量专题试卷 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，分别在M 、N 两点固定放置两个点电荷+Q 和-2Q ，以MN 连线的中点O 为圆心的圆周上有A 、B 、C 、D 四点，COD 与MN 垂直，规定无穷远处电势为零，下列说法正确的是( ) A ．A 点场强与 B 点场强相等 B ． C 点场强与 D 点场强相等 C ．O 点电势等于零 D ．C 点和D 点电势相等 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A 、由于2Q ＞Q ，A 点处电场线比 B 点处电场线疏，A 点场强小于B 点场强；故A 错误． B 、由于电场线关于MN 对称， C 、 D 两点电场线疏密程度相同，则C 点场强等于D 点场强，但方向与两个电荷的连线不平行，故电场强度的方向不同，故电场强度大小相等，但方向不相同；故B 错误． C 、根据等量异种电荷的对称性可知过O 点的中垂线与电场线垂直，中垂线为等势线，O 点的电势为零，现在是不等量的异种电荷，过O 点中垂线不再是等势线，O 点电势不为零，由U E d =?可知左侧的平均场强小，电势降低的慢，则零电势点在O 点右侧；C 错误． D 、沿着电场线电势逐渐降低，结合电场分布的上下对称可知0C D ??=>；D 正确． 故选D ． 【点睛】 本题考查判断电势、场强大小的能力，往往画出电场线，抓住电场线分布的特点进行判断． 2．空间存在一静电场，电场中的电势φ随x (x 轴上的位置坐标)的变化规律如图所示，下列说法正确的是( )
A ．x = 4 m 处的电场强度可能为零 B ．x = 4 m 处电场方向一定沿x 轴正方向 C ．沿x 轴正方向，电场强度先增大后减小 D ．电荷量为e 的负电荷沿x 轴从0点移动到6 m 处，电势能增大8 eV 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A 、由x φ- 图象的斜率等于电场强度，知x =4 m 处的电场强度不为零，选项A 错误；B 、 从0到x =4 m 处电势不断降低，但x =4 m 点的电场方向不一定沿x 轴正方向，选项B 错误；C 、由斜率看出，沿x 轴正方向，图象的斜率先减小后增大，则电场强度先减小后增大，选项C 错误；D 、沿x 轴正方向电势降低，某负电荷沿x 轴正方向移动，电场力做负功，从O 点移动到6m 的过程电势能增大8 eV ，选项D 正确．故选D ． 【点睛】 本题首先要读懂图象，知道φ-x 图象切线的斜率等于电场强度，场强的正负反映场强的方向，大小反映出电场的强弱． 3．如图所示，匀强电场中有一个以O 为圆心、半径为R 的圆，电场方向与圆所在平面平行，圆上有三点A 、B 、C ，其中A 与C 的连线为直径，∠A ＝30°。有两个完全相同的带正电粒子，带电量均为q （q ＞0），以相同的初动能E k 从A 点先后沿不同方向抛出，它们分别运动到B 、C 两点。若粒子运动到B 、C 两点时的动能分别为E kB ＝2E k 、E kC ＝3E k ，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则匀强电场的场强大小为 A ．k E qR B ．2k E qR C ．3 3k E qR D ．23 3k E qR 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 从A 点到B 点应用动能定理有：2-AB k k k qU E E E == 从A 点到C 点应用动能定理有：32-AC k k k qU E E E == 所以2AC AB U U = 做出等势面和电场线如图所示：