湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三2月月考数学(理)试题(解析版)
- 格式：doc
- 大小：850.18 KB
- 文档页数：24
1 2018-2019学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三（下）2月月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，6} D．{1，3，5，6}
2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（e是自然对数的底，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ+1＝0．根据上述背景知识试判断e表示的复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．（5分）若数列{an}是公比不为1的等比数列，且a2018+a2020＝dx，则a2017（a2019+2a2021+a2023）＝（ ）
A．4π2 B．2π2 C．π2 D．3π2
5．（5分）设x∈R，定义符号函数sng（x）＝，则下列正确的是（ ）
A．sinx•sng（x）＝sin|x|． B．sinx•sng（x）＝|sinx|
C．|sinx|•sng（x）＝sin|x| D．sin|x|•sng（x）＝|sinx|
6．（5分）运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A，从集合A中任取一个元素a，则函数y＝xa在（0，+∞）是增函数的概率为（ ）
2
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx﹣17（a，b，c∈R）的导函数为f′（x），f′（x）≤0的解集为{x|﹣2≤x≤3}，若f（x）的极小值等于﹣98，则a的值是（ ）
A．﹣ B． C．2 D．5
8．（5分）已知的展开式中常数项为﹣40，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间[﹣，]上是增函数，且在区间[0，π]上存在唯一的x0使得f（x0）＝2，则ω的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．1
10．（5分）直线x＝4与双曲线C：的渐近线交于A、B两点，设P为双曲线C上的任意一点，若（a、b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，平面α垂直于对角线AC′，且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S，周长为l，则（ ）
3
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+4x﹣1，x∈R．若当0＜θ时，不等式f（msinθ）+f（4﹣m）＞2恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．（﹣4，4] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2]
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）实数x，y满足不等式，则z＝|x+2y﹣4|的最大值为
．
14．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则
一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是 ．
15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为1，则实数p的值为 ．
16．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn满足：Sn+an＝，n＝1，2，…，n．则S2019＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，A，B，C，D，四点共圆，∠A为钝角且sinA＝，BA＝BC＝10，BD＝6．
（1）求AD；
（2）设∠BDC＝α，∠CBD＝β，求sin（2α+β）的值．
4
18．（12分）已知F1，F2分别为椭圆Ω： +＝1（b＞0）的左、右焦点．
（1）当b＝1时，若P是椭圆Ω上一点，且P位于第一象限， •＝﹣，求点P的坐标；
（2）当椭圆的焦距为2时，若直线l：y＝x+m与椭圆Ω相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且3x1x2+4y1y2＝0，试求△AOB的面积．
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA＝PC＝2．
（1）求证：PB＝PD；
（2）若点M，N分别是棱PA，PC的中点，平面DMN与棱PB的交点Q，
则在线段BC上是否存在一点H，使得DQ⊥PH，若存在，求BH的长，
若不存在，请说明理由．
20．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：
甲公司
职位 A B C D
月薪/元 6000 7000 8000 9000
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
乙公司
职位 A B C D
5 月薪/元 5000 7000 9000 11000
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；
（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：
人员结构
选择意愿 40岁以上（含40岁）男性 40岁以上（含40岁）女性 40岁以下男性 40岁以下女性
选择甲公司 110 120 140 80
选择乙公司 150 90 200 110
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？
附：
P（K2≥k） 0.050 0.025 0.010 0.005
k 3.841 5.024 6.635 7.879
21．（12分）已知f（x）＝lnx，设A（x1，lnx1），B（x2，lnx2），且x1＜x2，记x0＝；
（1）设g（x）＝f（x+1）﹣ax，其中a∈R，试求g（x）的单调区间；
（2）试判断弦AB的斜率kAB与f′（x0）的大小关系，并证明；
（3）证明：当x＞1时，＞．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，其中α为参数，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为（2，），直线l的极坐标方程为rsin（α﹣）+4＝0．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点．求点M到直线l的距离的最大值．
6 [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
7
2018-2019学年湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三（下）2月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{1} B．{3，5} C．{1，6} D．{1，3，5，6}
【分析】进行交集、补集的运算即可．
【解答】解：∁UA＝{3，5，6}；
∴（∁UA）∩B＝{3，5}．
故选：B．
【点评】考查列举法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．
2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ（e是自然对数的底，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ+1＝0．根据上述背景知识试判断e表示的复数在复平面对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意可得，e＝cos﹣isin，再由三角函数的诱导公式化简得答案．
【解答】解：由题意可得，e＝cos﹣isin＝cos﹣isin＝．
∴e表示的复数在复平面对应的点的坐标为（，﹣），位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查三角函数的化简求值，是基础题．
3．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量λ与共线，则实数λ＝（
）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据图形便可看出，这样即可得出λ的值．
8 【解答】解：根据图形可看出；
满足与共线；
∴λ＝2．
故选：D．
【点评】考查向量加法和数乘的几何意义，共线向量的概念．
4．（5分）若数列{an}是公比不为1的等比数列，且a2018+a2020＝dx，则a2017（a2019+2a2021+a2023）＝（ ）
A．4π2 B．2π2 C．π2 D．3π2
【分析】先根据定积分的几何意义可得a2018+a2020＝π，设a2018＝a，公比为q，则可得a+aq2＝π，则化简整理即可求出．
【解答】解：∵dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，
∴dx＝π，
∴a2018+a2020＝π，
设a2018＝a，公比为q，
∴a+aq2＝π，
∴a2017（a2019+2a2021+a2023）＝（aq+2aq3+aq5）
＝a2（1+2q2+q4）＝a2（1+q2）2＝[（a（1+q2）]2＝π2，
故选：C．
【点评】本题考查了定积分的计算和等比数列的通项公式，属于基础题．
5．（5分）设x∈R，定义符号函数sng（x）＝，则下列正确的是（ ）
A．sinx•sng（x）＝sin|x|． B．sinx•sng（x）＝|sinx|
C．|sinx|•sng（x）＝sin|x| D．sin|x|•sng（x）＝|sinx|
【分析】根据已知中符号函数的定义，结合诱导公式，可得sinx•sng（x）＝sin|x|．
【解答】解：①当x＞0时，sinx•sng（x）＝sinx，
当x＝0时，sinx•sng（x）＝0，
当x＜0时，sinx•sng（x）＝﹣sinx，
②当x＞0时，sin|x|＝sinx，
当x＝0时，sin|x|＝0，
