2.1 变化的快慢与变化率 同步课件(北师大版选修2-2)

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1. 求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬 时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化 率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计 出瞬时变化率． 2．求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处瞬时变化率的步骤： (1)求函数值的改变量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求函数的平均变化率 ＝ . Δx Δx Δy (3)当 Δx 趋近于 0 时，求 趋近的常数． Δx
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题型一 求平均变化率
【例1】 求函数y＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]上的平均变化率． [思路探索] 求出所给区间内自变量的改变量和函数值的改
变量，从而求出平均变化率．
解 因为 Δy＝－2(2 ＋Δx)2 ＋5 －( －2×22 ＋5) ＝－8Δx－
2(Δx)2， Δy 所 以 函 数 在 区 间 [2,2 ＋ Δx] 上 的 平 均 变 化 率 为 ＝ Δx －8Δx－2Δx2 ＝－8－2Δx. Δx
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的瞬时变化率．
：同一函数的平均变化率是否为一个常数？
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Δy fx2－fx1 提示 平均变化率 ＝ ，式子中 Δx，Δy 的值可 Δx x2－x1 正、可负，但 Δx 的值不能为 0，Δy 的值可以为 0.当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，此时平均变化率为 0.当 f(x)为 一次函数时， 平均变化率为一常数， 但一般情况下， 当 x1、 x2 分别取不同的数值时，函数的平均变化率往往不同．
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求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解
题的关键是弄清自变量的增量 Δx 与函数值的增量 Δy，求平均变
化率的主要步骤是：
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【训练 1】 已知函数 f(x)＝－x2＋x 图象上一点 A(－1，－2) Δy 及临近一点 B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则 ＝________. Δx
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3．对函数在 x0 处的瞬时变化率的理解 Δy fx0＋Δx－fx0 (1)在 ＝ 中，Δx 可正，可负，但不可为 0. Δx Δx 但 Δy 可以为 0，此时 f(x)为常数函数． Δy fx0＋Δx－fx0 Δy (2)在 ＝ 中，当 Δx 趋向于 0 时， 也趋 Δx Δx Δx 于一个定值，与 Δx 无关． (3)瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢， 物体 在某一时刻的瞬时速度是函数瞬时变化率的物理意义． (4)函数在 x0 处的瞬时变化率仅与 x0 有关，而与 Δx 无关.
(3)函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变化率的 绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化的越快． (4) 函数的平均变化率刻画函数 y ＝ f(x) 在 [x1 ， x2] 上变化的快 慢．
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2．平均变化率的几何意义 设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝ f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x)的 fx2－fx1 Δy 平 均 变 化 率 ＝ ＝ Δx x2－x1 fx1＋Δx－fx1 为割线 AB 的斜率． Δx
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．
[思路探索] 函数fx＝2x2＋1 ―→ 函数值的改变量Δy＝fx0＋Δx－fx0 ―→ Δy Δy 函数的平均变化率 ―→ Δx趋于0 ―→ 趋于常数 Δx Δx
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2．函数的瞬时变化率 对于一般的函数 y＝f(x)， 在自变量 x 从 x0 变到 x1 时， 设 Δx ＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则当 Δx 趋于 0 时，平均变 fx0＋Δx－fx0 Δy fx1－fx0 化率 ＝ ＝ 趋于函数在 x0 点 Δx Δx x －x
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名师点睛
1．对函数平均变化率的理解 (1)在 Δx＝x2－x1 中，x2＝x1＋Δx，此处 Δx 是自变量 x1 的 一个增量，Δx 可以为正也可以为负，但不能等于 0. Δy fx2－fx1 (2)在 ＝ 中，注意 Δy 与 Δx 应对应一致，且 Δx x2－x1 x1≠x2.
§1 变化的快慢与变化率
【课标要求】 1．了解实际问题中平均变化率的意义．
2．对函数的平均变化率与瞬时变化率的概念要理解． 【核心扫描】 1．会求已知函数在给定区间上的平均变化率．(重点) 2．利用平均变化率解决生活中的实际问题．(难点)
3．准确理解平均变化率和瞬时变化率．(易混点)
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自学导引
1．函数的平均变化率 (1)函数的平均变化率：一般地，函数y＝f(x)，当自变量x从
x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为
fx2－fx1 x2－x1 .
(2)自变量的改变量：Δx＝ x2－x1 .
(3)函数值的改变量：Δy＝ f(x2)－f(x1) ． fx2－fx1 Δy (4)平均变化率： ＝ x2－x1 . Δx
解 Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝[－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)]－[－(－1)2＋(－1)] ＝(－Δx2＋2Δx－1－1＋Δx)－(－1－1) ＝－Δx2＋3Δx
2 Δy －Δx ＋3Δx ∴ ＝ ＝3－Δx. Δx Δx
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题型二 求瞬时变化率
【例2】 已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
解 (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
2 ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0 －1＝2Δx(2x0＋Δx)，
Δy 2Δx2x0＋Δx ∴ ＝ ＝4x0＋2Δx. Δx Δx Δy Δy (2)由(1)可知： ＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， Δx Δx ＝4×2＋2×0.01＝8.02 (3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy ＝ f(2 ＋ Δx) － f(2) ＝ 2(2 ＋ Δx)2 ＋ 1 － (2· 22 ＋ 1) ＝ 2(Δx)2 ＋8Δx. Δy Δy ∴ ＝2Δx＋8，当 Δx→0 时， →8. Δx Δx