几何原本第七章

欽定四庫全書幾何原本卷一之首西洋利馬竇譯界說三十六則凡造論先當分別解說論中所用名目故曰界說凡曆法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者皆依賴十府中幾何府屬凡論幾何先從一點始自點引之為線線展為面面積為體是名三度第一界點者無分無長短廣狹厚薄如下圖凡圖十干為識干盡用十二支支盡用八卦八音第二界線有長無廣試如一平面光照之有光無光之間不容一物是線線有直有曲第三界線之界是點凡線有界者兩界必是點第四界直線止有兩端兩端之間上下更無一點兩點之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣直線之中點能遮兩界凡量遠近皆用直線甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲線第五界面者止有長有廣一體所見為面凡體之影極似於面無厚之極想一線橫行所留之跡即成面也第六界面之界是線第七界平面一面平在界之內平面中間線能遮兩界平面者諸方皆作直線試如一方面用一直繩施於一角繞面運轉不礙於空是平面也若曲面者則中間線不遮兩界第八界平角者兩直線於平面縱橫相遇相交接處凡言甲乙丙角皆指平角如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是曲線所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論第九界直線相遇作角為直線角平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角三雜線角如下六圖第十界直線垂於橫直線之上若兩角等必兩成直角而直線下垂者謂之橫線之垂線量法常用兩直角及垂線垂線加於橫線之上必不作銳角及鈍角若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相等為直角而甲乙為垂線若甲乙為橫線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線如今用短尺一縱一橫互相為直線互相為垂線凡直線上有兩角相連是相等者俱直角中間線為垂線反用之若是直角則兩線定俱是垂線第十一界凡角大于直角者為鈍角如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大於甲乙丁則甲乙丙為鈍角第十二界凡角小於直角者為銳角如前圖甲乙丁是通上三界論之直角一而已鈍角銳角其大小不等乃至無數是後凡指言角者俱用三字為識其第二字者即所指角也如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角第十三界界者一物之終始今論有三界點為線之界線為面之界面為體之界體不可為界第十四界或在一界或在多界之間為形一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物圖見後卷第十五界圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱等若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與乙至丁丙至丁其線俱等外圓線為圜之界內形為圜一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲丁復元處其中形即成圜第十六界圜之中處為圜心第十七界自圜之一界作直線過中心至他界為圜徑徑分圜兩平分甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線為圜徑第十八界徑線與半圜之界所作形為半圜第十九界在直線界中之形為直線形第二十界在三直線界中之形為三邊形第二十一界在四直線界中之形為四邊形第二十二界在多直線界中之形為多邊形五邊以上俱是第二十三界三邊形三邊線等為平邊三角形第二十四界三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形或銳或鈍第二十五界三邊形三邊線俱不等為三不等三角形第二十六界三邊形有一直角為三邊直角形第二十七界三邊形有一鈍角為三邊鈍角形第二十八界三邊形有三銳角為三邊各銳角形凡三邊形恆以在下者為底在上二邊為腰第二十九界四邊形四邊線等而角直為直角方形第三十界直角形其角俱是直角其邊兩兩相等如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相等甲丙與乙丁自相等斜方形四邊等俱非直角第三十二界長斜方形其邊兩兩相等俱非直角第三十三界以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形第三十四界兩直線於同面行至無窮不相離亦不相遠而不得相遇為平行線第三十五界一形每兩邊有平行線為平行線方形凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角線又於兩邊縱橫各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘方形甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形。

第五讲《几何原本》和《九章算术》在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。

《几何原本》和《九章算术》就是这两种思想的代表。

一、《几何原本》《几何原本》是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。

演绎的公理化体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。

约公元前300 年，古希腊数学家欧几里得（Eucild ）将希腊当时最为发达的数学--- 几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中，形成了《几何原本》这本书。

《几何原本》的原名为《原本》（“ Elements” ），17 世纪初，翻译成中文时冠以《几何原本》沿用至今。

《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。

欧几里得《几何原本》的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。

（一）《几何原本》的基本内容欧几里得的《几何原本》全书共十三卷，总共有475 个命题（包括 5 个公设（Postulate ）和 5 个公理（Axiom ））。

除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。

第一篇有5个公设、5个公理和48 个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras ）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。

所有图形都是由直线段组成的。

欧几里得在这篇中给出了23 个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。

接着是五个公设：（I）从任意一点到任意一点可作直线。

（II ）有限直线可以继续延长。

（III ）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。

（IV ）所有直角都相等。

（V ）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。

其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。

第七章 平面直角坐标系 知识点归纳1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；2、 坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 坐标轴上的点不属于任何象限；4、平行直线上的点的坐标特征： a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；5、 对称点的坐标特征：a) 点P),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称关于原点对称6、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：XXXXP X-a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上特殊位置点的特殊坐标：7、 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ；（3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +8、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：• 建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向； • 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；9X。

《几何本来》与《九章算术》的异同《几何本来》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作，一部是中国的古代著作，这两部著作都对此后的数学发展做出了很大的贡献，并对人类文明产生深远的影响。

《几何本来》和《九章算术》自己是对于纯数学的专著，但高度抽象化的数学是必然是需要和其余的学科相联合的。

下边，我就《几何本来》和《九章算术》的异同做一些论述，第一，《几何本来》和《九章算术》产生的背景不一样：《几何本来》产生的背景：欧几里得的平生，此刻知道的甚少，欧几里得在公元前 300 年左右，到达亚历山大里亚教课．人们夸赞欧几里得治学精神谨慎、谦逊，是一个温良敦朴的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，老是谆谆教导地启迪学生，倡导勤苦研究，弄懂弄通，反对谋利钻营、急于求成的狭小思想．欧几里得在从事数学教育中，擅长累积数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何本来》是一世中最重要的工作，这部著作的形成拥有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长期间累积的数学成就，成立了数学的科学系统，为后代持续学习和研究数学供给了课题和资料，使几何学的发展充满了活的活力．这部著作长期间被人崇敬、崇奉，素来没有一本教科书，像《几何本来》那样长久广为歌颂．从 1482年到 19 世纪末，欧几里得《几何本来》的印刷本竟用各样文字印刷 1000 版以上，在此从前，它的手手本统御几何学也已达近 1800 年之久．欧几里得继承和发展了古人的数学知识，《几何本来》所用到的资料大多半是希腊先期各学派创立的成就．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承继了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何本来》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4 科为内容的科学思想．此外，欧几里得还采纳了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何本来》所采纳的公义、定理都是经过仔细商酌、挑选而成，并按谨慎的科学系统进行编排，使之系统化、理论化，超出了从前的所有著作，所以，当《几何本来》问世以后，其余诸类渐渐偃旗息鼓了．《九章算术》的背景：中国数学经过长久累积，到西汉期间已有了相当丰富的内容．除《周髀算经》外，西汉早期出现了第一部数学专著 ---《算术书》，用竹简写成．全书共60多个标题，如“相乘”、“增减”、“少广”、“税田”、“金价”、“合分”等，标题以下有各样问题．《九章算术》的体例便遇到《算术书》的影响．此外，当时西汉已有初步的负数及比率观点，面积和体积计算的知识也增加了．这些都为我国初等数学系统的形成准备了条件．现传本《九章算术》约成书于西汉末年，作者不详，可能经多人之手而成．它是一部承上启下的著作，一方面总结了西汉及西汉从前的数学成就，集当时初等数学之大成；另一方面又对后代数学发展产生了深远的影响．其次，《几何本来》和《九章算术》的内容的异同：<<几何本来本 >>各卷简介 :第一卷：几何基础。

第七章平行线的证明1．为什么要证明一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维。

学生活动经验基础：学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．二、教学任务分析学生的直观能力是仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时的教学目标是：1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生认识证明的必要性，培养学生的推理意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．三、教学过程：1、验证活动（1）某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．注意事项：学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．2、验证活动（2）如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头． 注意事项：要充分让学生发表自己的见解，首先让学生对自己的结论确信无疑，再进一步计算，结果与学生的感觉产生矛盾，切忌直接进行计算，把结论告诉学生。

3、反馈练习1.如图中两条线段a 与b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下. 答案：a 与b 的长度相等.第1小题图 第2小题图2.如图中三条线段a 、b 、c ,哪一条线段与线段d 在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b 与线段d 在同一直线上.3.当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n 为正整数时，n 2+3n +1的值一定是质数. 4、课堂小结5、 巩固练习 课本第217页习题7.1 第2，3题．四、教学反思2．定义与命题（第1课时）一、学生知识状况分析学生技能基础：本节课将对学生传授定义与命题的基本含义，学生对此已经有比较多的经验和基础．活动经验基础：学生对本节课将要采取的讨论、举例说明等学习方式有了比较深刻的认识，为今天的学习作了必要的铺垫．二、教学目标是：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．三、教学过程1、情景引入在这个小品中，你得到什么启示？（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.）（很多学生对黑客的概念是很熟悉的，而小品中出现的黑客的定义与自己所熟知的黑客的概念完全不同，由此产生了对定义的兴趣．）2、命题含义（情景引入）活动内容：①师：如果B处水流受到污染，那么____处水流便受到污染;如果C处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；如果D处水流受到污染，那么____处水流便受到污染；②学生自编自练：如果____处水流受到污染，那么____处水流便受到污染．归纳：在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.3、反馈练习.举出一些不是命题的语句.如：①画线段AB=3 cm.②两条直线相交，有几个交点？③等于同一个角的两个角相等吗？④在射线OA上，任取两点B、C.等等.4、课堂小结①定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义；②命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．5、课后练习搜集八年级数学课本中的新学的部分定义、命题，看谁找得多．6、教学反思2．定义与命题（第2课时）一、知识状况学生技能基础：学生已经学习过一些公理和定理。

九章算术《九章算术》应是流传到现在的，中国最早的一部数学专门著作，因为汉代的《周髀算经》虽是最早的数学著作，但同时也是天文学的作品，所以称不上是“专门”。

自周代和秦代以来，中国古代的数学开始形成，经汉代的进一步发展，已成为了一个体系，而《九章算术》便是标志着这一个体系的形成。

它除了是总结了几个世纪的先哲圣贤的心血结晶外，还影响了后来中国的数学发展。

《九章算术》的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系。

这些密切联系实际生活的题材，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主。

事实上，《九章算术》是用问题集的形式编写，全书分“九章”，共246个问题。

通常在举出了一个或几个问题之后，总是列出求解这个问题或这些问题的一般方法，这是《九章算术》所采用的叙述方式。

从这一种叙述方式可以看出它主要使用了归纳的方法。

而这些问题，一方面可以作为读者理解后面的一般解法的例题，另一方面也可以作为把一般解法用来解决各种实际问题的例题。

这种问题集的形式，对后来中国古代数学著作的影响很大，大多数的中国古代数学著作也是用这种形式写成的。

但因为《九章算术》中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释和说明，所以有很多人曾为《九章算术》作注，以补充这一点。

而有些注解给《九章算术》的算法提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。

同时，这些为《九章算术》作注的人，也透过这个途径来展开自己的研究工作，当中较有名的便是刘徽、李淳风和祖冲之等。

这部《九章算术》如此多采多姿，究竟是谁的著作呢？这个问题的答案是不可肯定的。

从刘徽为《九章算术》作注时的序中可见，在那时候经已说不清楚《九章算术》是由哪个时代，以及谁人编纂了，但同时由序言所知《九章算术》是在周秦以来中国古代数学的基础上逐渐发展、积累，又经过张苍和耿寿昌等人的增删修补而最后成书的。

《九章算术》曾流传到朝鲜和日本，对当地的古代数学的发展有很大的影响。

后来，这部中国古代数学的重要著作受到了世界各国科学界的重视。

几何原本的主要内容几何原本是欧几里得所著的一本关于几何学的著作，它被认为是几何学中最具有影响力的书籍之一。

该书共分为13卷，讲述了平面和立体几何学中的基本概念、定理和证明方法。

以下是关于几何原本的主要内容。

第一卷：基础概念第一卷主要介绍了几何学中的基础概念，包括点、线、面等。

欧几里得通过定义这些基础概念来建立整个几何体系，并提出了公设法作为证明方法。

第二卷：平面几何第二卷介绍了平面几何中的基本定理和证明方法，包括点、线、角、三角形等概念。

其中最著名的是勾股定理，即直角三角形斜边上的平方等于两直角边上平方之和。

第三卷：圆形第三卷主要讲述了圆形和圆锥曲线等相关知识。

欧几里得提出了圆周角定理和切割圆法等重要定理和方法。

第四卷：比例论第四卷主要介绍了比例论，包括比例、相似和比例的应用等。

欧几里得提出了重要的黄金分割定理，即长与短的比例等于整体与长的比例。

第五卷：平面几何进阶第五卷进一步深入了解平面几何中的各种定理和证明方法，包括相似三角形、平行线、多边形等。

其中最著名的是欧几里得算法，即求最大公约数的一种方法。

第六卷：立体几何第六卷讲述了立体几何中的基本概念和定理，包括球体、棱锥、棱柱等。

欧几里得提出了球面角定理和平行截面定理等重要定理。

第七卷：数学物理学第七卷主要涉及到数学物理学中的知识，包括音乐比例、光学和天文学等。

欧几里得通过这些应用领域来展示他所建立的几何体系在实际中的应用价值。

第八卷：类似论第八卷主要介绍了相似三角形和类比问题。

欧几里得提出了相似三角形面积比例定理和类比问题解法等重要定理和方法。

第九卷：测量论第九卷讲述了测量论中的知识，包括长度、角度和面积等的测量方法。

欧几里得提出了重要的三角形面积公式和圆周率的近似值等定理。

第十卷：几何代数学第十卷主要介绍了几何代数学中的知识，包括线性方程组、二次曲线等。

欧几里得通过这些应用领域来展示他所建立的几何体系在实际中的应用价值。

第十一卷：不变性第十一卷讲述了不变性原理和对称性等相关知识。