第29讲 等比数列

第二十九讲 等比数列班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( ) A.23 B.32 C.23或32D ．－23或－32解析：在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6① 又a 4＋a 14＝5②由①、②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∴a 20a 10＝a 14a 4＝23或32. 答案：C2．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n－1解析：要{a n }是等比数列，{a n ＋1}也是等比数列，则只有{a n }为常数列，故S n ＝na 1＝2n .答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大．3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 S 3＝1 2，则S 9 S 3等于( ) A ．1 2 B．2 3 C ．3 4 D．1 3解析：解法一：∵S 6 S 3＝1 2， ∴{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34.解法二：因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34，故选C.答案：C4．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．e解析：ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝lne 10＝10，故选B. 答案：B5．若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其前10项和是( )A ．200B ．150C ．100D ．50解析：由已知得(a n ＋1－a n )2＝0， ∴a n ＋1＝a n ＝5， ∴S 10＝50.故选D. 答案：D6.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a n ＝2n －1，a 1＝1，q ＝2，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．数列{a n }中，n 12(n )2n 1(n .)n a -⎧=⎨⎩-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.解析：S 9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377. 答案：3778．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________.解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35，n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ，即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝25， 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，所以a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1.答案：35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －19．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q ， ∵S 2＝7，S 6＝91.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝7，7＋7q 2＋7q 4＝91，∴q 4＋q 2－12＝0，∴q 2＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝a 1(1＋q )(1＋q 2)＝(a 1＋a 1q )(1＋q 2)＝28.答案：2810．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋) ②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列 ③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列． 其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)解析：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，{a n }为非零常数列，故a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋)；②若{a n }是等差数列，S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 为an 2＋bn (a ，b ∈R)的形式；③若S n ＝1－(－1)n，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－(－1)n－1＋(－1)n －1＝(－1)n －1－(－1)n，而a 1＝2，适合上述通项公式，所以a n ＝(－1)n －1－(－1)n 是等比数列；④若{a n }是等比数列，当公比q ＝－1且m 为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不成等比数列．答案：①②③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n .解：(1)由已知，当n ≥2时， 2a n ＝(3S n －4)＋(2－32S n －1)，①又a n ＝S n －S n －1，②由①②得a n ＝3S n －4(n ≥2)③a n ＋1＝3S n ＋1－4④③④两式相减得a n ＋1－a n ＝3a n ＋1 ∴a n ＋1a n ＝－12. ∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4，即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2q n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝－⎝⎛⎭⎪⎫－12n －1.即11(1)1(2).2n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩≥(2)解法一：当n ≥2时S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时S 1＝1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－120 也符合上述公式． ∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.解法二：由(1)知n ≥2时，a n ＝3S n －4， 即S n ＝13(a n ＋4)，∴n ≥2时，S n ＝13(a n ＋4)＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋43.又n ＝1时，S 1＝a 1＝1亦适合上式． ∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列，并求b n .解：(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， 得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3(n ≥1)． ∴{a n }是等比数列．(2)由(3－m )S 1＋2ma 1＝m ＋3， 解出a 1＝1，∴b 1＝1. 又∵{a n }的公比为2m m ＋3， ∴q ＝f (m )＝2m m ＋3， n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，推出1b n －1b n －1＝13.∴{1b n }是以1为首项，13为公差的等差数列， ∴1b n ＝1＋n －13＝n ＋23， 又1b 1＝1符合上式，∴b n ＝3n ＋2. 13．已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，得q 2＋1＝54.又q >0，∴q ＝12.(2)解法一：∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，即a 1＝－14，此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列， 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．解法二：由于b n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以b 1＝12＋a 1，b 2＝12＋32a 1，b 3＝12＋74a 1，若数列{b n }为等比数列，则b 22＝b 1·b 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋74a 1， 整理得4a 21＋a 1＝0，解得a 1＝－14或a 1＝0(舍去)，此时b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.故存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。

等比数列的性质1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这2个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．注：时，为常数列．q （q 0）q＝1 an等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第项的通项公式，＝，这里a 为首项，q 为公比，n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S =n，表示的是前面项的n1―푞和．③若m n＝q p ，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．m n p q例：成等比数列，则＝．2，x，y，z，18 y解：由成等比数列，设其公比为，2，x，y，z，18 q4则，解得，18＝2q q2＝32∴．y＝2q ＝23＝6故答案为：．6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，n继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：＝，（，）．a a q ﹣n m N*•n mn m*（2）若{a n}为等比数列，且，则k l＝m n，（k，l，m，n N ） a •a＝a •ak l m n（3）若{ }{ }（项数相同）是等比数列，则 a a a b ，仍是等比数列．a ，b {（} 0），，{•}n n n n n푎1＞0푎1＜0푎1＞0푎1＜0 （4）单调性：{푞＞1或{0＜푞＜1是递增数列；{0＜푞＜1或{{a } {a } q＝1 {a }푞＞1是递减数列；是 n n n 常数列；是摆动数列．q＜0 {a }n1/ 1。

课时作业(二十九)B 第29讲 等比数列时间：35分钟 分值：80分基础热身1．2012·厦门外国语月考 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( )A ．511B ．1023C ．1533D ．30692．2011·大连模拟 在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 3．2011·抚州二模 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则数列{a n }的公比等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D.1＋524．2011·汕头期末 在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.能力提升5．2011·新余二模 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012，则公比q 等于( )A ．3 B.13 C ．4 D.146．2011·巢湖一检 在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．2011·丰台一模 设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( ) A ．3或－1 B ．3或1 C ．3 D ．18．2011·琼海一模 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．29．2011·东莞调研 在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，则{a n }的前6项和等于________．10．2011·盐城二模 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，{S n }为数列{a n }的前n项和，则S 11－S 9S 7－S 6的值是________．11．2011·福州质检 在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比q 为________．12．(13分)2011·烟台二诊 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．(1)证明：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f(b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .难点突破13．(12分)2011·汕头一模 设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足：b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m 2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈1,3，求实数m 的取值范围．课时作业(二十九)B【基础热身】1．D 解析 由已知a 2a 4＝144，得a 1q ·a 1q 3＝144，则q 4＝14432＝16，即q ＝2， ∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝3(1－210)1－2＝3069.2．B 解析 根据等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 26，又已知a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 56＝32，即a 6＝2，a 1q 5＝2， ∴a 29a 12＝(a 1q 8)2a 1q11＝a 1q 5＝2.3．C 解析 由已知S 1，S 3，S 2成等差数列，得2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，化简，得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，即2q 2＋q ＝0，解得q ＝－12.4．1 解析 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧－4＋4tan A ＝4，13tan 3B ＝9，解得⎩⎨⎧tan A ＝2，tan B ＝3，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1.【能力提升】5．C 解析 由已知，有a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012， 两式相减，得a 2011－a 2010＝3a 2010，即a 2011＝4a 2010， 则公比q ＝4.6．C 解析 由已知，有S 1＝a 1＝4，S 2＝a 1＋a 2＝4(1＋q )，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝4(1＋q ＋q 2)， 因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，即(4q ＋6)2＝6(6＋4q ＋4q 2)，解得q ＝3.7．C 解析 由数列{a n }是等差数列，得a k ＝a 1＋(k －1)d ，a 2k ＝a 1＋(2k －1)d . ∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项，∴a 2k ＝a 1a 2k ，即a 1＋(k －1)d 2＝a 1a 1＋(2k －1)d ，化简，得(k －1)2d 2－a 1d ＝0. 把a 1＝4d 代入，得k ＝3.8．C 解析 解法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k )－(3＋k )＝6，a 3＝S 3－S 2＝(33＋k )－(32＋k )＝18.由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则 a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k )，解得k ＝－1.解法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c ≠0，c ≠1. 设a 11－q＝t ，则 S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝－tq n ＋t ＝3n＋k ，∴k ＝t ＝－1.9．63 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，由a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，得 2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，即2(q ＋2)＝(1＋1)＋(q 2＋2)，化简，得q 2－2q ＝0，解得q ＝2.则数列{a n }的前6项和为S 6＝1－261－2＝63.10．3 解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 9成等比数列，得 a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 化简，得a 1＝d .S 11－S 9S 7－S 6＝a 11＋a 10a 7＝2a 1＋19da 1＋6d3. 11．3 解析 a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)⎪⎪41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，又a 4＝a 1q 3，a 1＝23，则q 3＝27，即q ＝3.12．解答 (1)证明：∵S n ＝(λ＋1)－λa n ， ∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n ≥2)，∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ.又a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ为公比的等比数列．(2)由(1)知q ＝f(λ)＝λ1＋λ∴b n ＝f(b n －1)＝b n －11＋b n －1(n ≥2)，故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n －1b n －1＝1(n ≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列． ∴T n ＝3n ＋n(n －1)2＝n 2＋5n2.【难点突破】13．解答 (1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1，② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝－n －13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，b n ＝2n 329－29⎝⎛⎭⎫－12n ＝6n ＋2＋(－2)1－n9.(3)S n ＝m ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1－⎝⎛⎭－12＝2m 3·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，因为1－⎝⎛⎭⎫－12n>0， 所以由S n ∈1,3得11－⎝⎛⎭⎫－12n≤2m 331－⎝⎛⎭⎫－12n， 注意到，当n 为奇数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎝⎛⎦⎤1，32；当n 为偶数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎣⎡⎭⎫34，1，所以1－⎝⎛⎭⎫－12n 的最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n 都有11－⎝⎛⎭⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝⎛⎭⎫－12n ，所以43≤2m3≤2，解得2≤m ≤3.。

⽰范教案（等⽐数列概念及通项公式）2.4等⽐数列2.4.1等⽐数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师⽣共同分析⽇常⽣活中的实际问题来引出等⽐数列的概念，再由教师引导学⽣与等差数列类⽐探索等⽐数列的通项公式，并将等⽐数列的通项公式与指数函数进⾏联系，体会等⽐数列与指数函数的关系，既让学⽣感受到等⽐数列是现实⽣活中⼤量存在的数列模型，也让学⽣经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利⽤信息和多媒体技术，给学⽣以较多的感受，激发学⽣学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学⽣提供⾃主学习的可能，进⽽达到更好的理解和巩固课堂所学知识的⽬的.教学重点1.等⽐数列的概念;2.等⽐数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等⽐关系;2.等⽐数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶⽚、投影仪等三维⽬标⼀、知识与技能1.了解现实⽣活中存在着⼀类特殊的数列;2.理解等⽐数列的概念，探索并掌握等⽐数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等⽐关系，并能⽤有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等⽐数列与指数函数的关系.⼆、过程与⽅法1.采⽤观察、思考、类⽐、归纳、探究、得出结论的⽅法进⾏教学;2.发挥学⽣的主体作⽤，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学⽣学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过⽣活中的⼤量实例，⿎励学⽣积极思考，激发学⽣对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学⽣的类⽐、归纳的能⼒;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际⽣活的密切联系，激发学⽣学习的兴趣.教学过程导⼊新课师现实⽣活中，有许多成倍增长的实例.如，将⼀张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，⼿中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例⼦吗？⽣⼀粒种⼦繁殖出第⼆代120粒种⼦，⽤第⼆代的120粒种⼦可以繁殖出第三代120×120粒种⼦，⽤第三代的120×120粒种⼦可以繁殖出第四代120×120×120粒种⼦，…师⾮常好的⼀个例⼦！现实⽣活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出⽰多媒体课件⼀：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成⼀个数列，你能写出这个数列吗？⽣通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从⽽得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下⾯的数列：1，2，4，8，…①教师出⽰投影胶⽚1：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭.”师这是《庄⼦·天下篇》中的⼀个论述，能解释这个论述的含义吗？⽣思考、讨论，⽤现代语⾔叙述.师 (⽤现代语⾔叙述后)如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，21，41，81，161，… ②教师出⽰投影胶⽚2：计算机病毒传播问题.⼀种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进⾏传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第⼀轮，邮件接收者发送病毒称为第⼆轮，依此类推.假设每⼀轮每⼀台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成⼀个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每⼀轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学⽣发现“病毒制造者发送病毒称为第⼀轮”“每⼀轮感染20台计算机”中蕴涵的等⽐关系.⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，20，202，203，204，… ③教师出⽰多媒体课件⼆：银⾏存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现⾏定期储蓄中的⼀种⽀付利息的⽅式，即把前⼀期的利息和本⾦加在⼀起算作本⾦，再计算下⼀期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现⾏定期储蓄中的⾃动转存业务实际上就是按复利⽀付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本⾦×(1+本⾦)n ，这⾥n 为存期.⽣列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师⽣合作讨论得出“时间”“年初本⾦”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下⾯数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上⾯的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学⽣类⽐等差关系和等差数列的概念，发现等⽐关系.引⼊课题：板书课题 2.4等⽐数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上⾯的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等⽐关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等⽐数列，那么你能给等⽐数列下⼀个什么样的定义呢？⽣回忆等差数列的定义，并进⾏类⽐，说出：⼀般地，如果把⼀个数列，从第2项起，每⼀项与它前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等⽐数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等⽐数列的英⽂缩写记作G .P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常⽤G.P.这个缩写表⽰等⽐数列.定义中的这个常数叫做等⽐数列的公⽐(commo n r a tio)，公⽐通常⽤字母q 表⽰(q≠0). 请同学们想⼀想，为什么q≠0呢？⽣独⽴思考、合作交流、⾃主探究.师假设q=0，数列的第⼆项就应该是0，那么作第⼀项后⾯的任⼀项与它的前⼀项的⽐时就出现什么了呢？⽣分母为0了.师对了，问题就出在这⾥了，所以，必须q≠0.师那么，等⽐数列的⾸项能不能为0呢？⽣等⽐数列的⾸项不能为0.师是的，等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0，等⽐数列中的任⼀项都不会是0. ［合作探究］师类⽐等差中项的概念，请同学们⾃⼰给出等⽐中项的概念.⽣如果在a 与b 中间插⼊⼀个数G ，使a 、G 、b 成等⽐数列，那么G 叫做a 、b 的等⽐中项.师想⼀想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能⽤a 、b 表⽰G 吗？⽣⼀起探究,a 、b 是同号的Gb a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学⽣所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列⼀样，等⽐数列也具有⼀定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任⼀项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等⽐数列来说，有什么类似的性质呢？⽣独⽴探究，得出：等⽐数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)⼀个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等⽐数列呢？(2)写出两个⾸项为1的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？写出两个公⽐为2的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？(3)任⼀项a n 及公⽐q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等⽐数列相同，需要什么条件？师引导学⽣探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学⽣回答.⽣探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列⼜是等⽐数列的数列是存在的，每⼀个⾮零常数列都是公差为0，公⽐为1的既是等差数列⼜是等⽐数列的数列.概括学⽣对(2)(3)(4)的解答.(2)中，⾸项为1，⽽公⽐不同的等⽐数列是不会相同的；公⽐为2，⽽⾸项不同的等⽐数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任⼀对应项与公⽐都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“⾸项和公⽐都相同”.(探究的⽬的是为了说明⾸项和公⽐是决定⼀个等⽐数列的必要条件；为等⽐数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等⽐数列的通项公式吗？⽣推导等⽐数列的通项公式.［⽅法引导］师让学⽣与等差数列的推导过程类⽐，并引导学⽣采⽤不完全归纳法得出等⽐数列的通项公式.具体的，设等⽐数列{a n }⾸项为a 1，公⽐为q ，根据等⽐数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师根据等⽐数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进⽽有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师观察⼀下上式，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？⽣把a n 看成a n q 0，那么，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数的和都是n .师⾮常正确，这⾥不仅给出了⼀个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从⽽得出通项公式的过程，⽽且其中还蕴含了等⽐数列的基本性质，在后⾯我们研究等⽐数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等⽐数列的定义写出的式⼦q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上⾯的式⼦改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到⼀起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师这不⼜是⼀个推导等⽐数列通项公式的⽅法吗？师在上述⽅法中，前两种⽅法采⽤的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种⽅法没有涉及不完全归纳法，是⼀个完美的推导过程，不再需要证明.师让学⽣说出公式中⾸项a 1和公⽐q 的限制条件.⽣ a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前⾯实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那⾥是⽤什么⽅法解决问题的呢？教师出⽰多媒体课件三：前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本⾦为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存⼊本⾦1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是⽤函数的知识和⽅法解决问题的.⽣⽐较两种⽅法，思考它们的异同.［教师精讲］通过⽤不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等⽐数列和指数函数可以联系起来.(1)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你⼜发现了什么？⽣借助信息技术或⽤描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出⼆者之间的关系.师出⽰多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等⽐数列是特殊的指数函数，等⽐数列的图象是⼀些孤⽴的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个⾓度类⽐等差数列与等⽐数列，并填充下列表格：【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过⼀年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师从中能抽象出⼀个数列的模型，并且该数列具有等⽐关系.【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式，这个数列是等⽐数列吗？师将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21.于是，可得递推公式 ??==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等⽐数列. ⽣算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.⼀个等⽐数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师启发、引导学⽣列⽅程求未知量.⽣探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂⼩结本节学习了如下内容：1.等⽐数列的定义.2.等⽐数列的通项公式.3.等⽐数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计。

等比数列教案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--编者：张变英本人声明：本文属本人原创作品，本文著作权授予“北京今日学易公司、中学学科网”独家所有，本人拥有署名权。

数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

预测09年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

三．要点精讲 1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

备考2020年高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和一、单选题1.（2019•全国Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 22.等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则3.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=( ）．A. 3B. 15C. 48D. 634.若三个实数成等比数列，其中，，则（）A. 2B.C.D. 45.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( )A. B. C. D.6.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}，②{a n2}，③{2an}，④{log2la n}．其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④7.已知为等比数列的前项和，且，则（）A. 510B. 510C. 1022D. 10228.已知等比数列满足，，则（）A. B. 2 C. 或 2 D. 29.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.10.设等比数列的前n项和为，若，，则A. 144B. 81C. 45D. 6311.设等比数列的公比，前项和为，则=（）A. B. C. D.12.记数列的前项和为.已知，，则（）A. B. C. D.二、填空题13.（2019•卷Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和。

若a1=，，则S5=________14.已知等比数列中，，则公比________；________．15.已知数列{a n}的首项a1＝2，数列{b n}为等比数列，且b n＝.若b10b11＝2，则a21＝________.16.已知等比数列中，，，则________．17.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________三、解答题18.已知数列满足．（1）证明：是等比数列；（2）求．19.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。