江苏省数学竞赛提优教案：第29讲__等差数列与等比数列

第11讲 数列的求和本节主要内容有S n 与a n 的关系；两个常用方法：倒写与错项；各种求和：平方和、立方和、倒数和等；∑符号的运用. 掌握数列前n 项和常用求法,数列求和的方法主要有：倒序相加法、错位相减法、转化法、裂项法、并项法等． 1.重要公式①1+2+…+n =21n (n +1) ②12+22+…+n 2=61n (n +1)(2n +1)③13+23+…+n 3=(1+2+…+n )2=41n 2(n +1)22.数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n3. 在等差数列中S m +n =S m +S n +mnd,在等比数列中S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n ．4.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项．应掌握以下常见的裂项：等)!1(1!1)!1(1④,ctg2ctg 2sin 1③,!)!1(!②,111)1(1①+-=+-=α-+=⋅+-=+n n n ααn n n n n n n n 5.错项相消法6.并项求和法A 类例题例1 已知数列｛a n ｝的通项公式满足：n 为奇数时，a n =6n －5 ，n 为偶数时，a n =4 n ，求s n . 分析 数列｛a n ｝的前n 项可分为两部分，一部分成等差数列，用等差数列求和公式；另一部分成等比数列，用等比数列求和公式。

但数列总项数n 的奇偶性不明，故需分类讨论. 解 若n 为偶数2m ，则S 2m =1+13+25+…+[6(2m －1)－5]+42+44+…+42m =6m 2－5m+1615(42m－1)， S n =23516(41)2215n n n -+-. 若n 为奇数2m+1时，则S 2m+1=S 2m +6(2m+1)－5=6m 2+7m+1+1615(42m－1)， S n =21313114221515n n n ++-+⋅. 说明 如果一个数列由等差数列与等比数列两个子数列构成，常采纳先局部后整体的策略，对子数列分别求和后，再合并成原数列各项的和.类似地，若一个数列的各项可拆成等差数列型与等比数列型两部分，也可采纳先局部后整体的策略.例2(2004年湖南卷类) 已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，2a 7，3a 4 成等差数列．（I ）证明 12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列； （II ）求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n －2．分析 (1)对于第(l)问，可先依据等比数列的定义与等差数列的条件求出等比数列的公比，然后写出12S 3，S 6，S 12－S 6，并证明它们构成等比数列．对于第(2)问，由于 T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n －2．所以利用等差数列与等比数列乘积的求和方法即“乘公比错位相减法”解决此类问题．解 （Ⅰ）证明 由4713,2,a a a 成等差数列， 得41734a a a +=，即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q 所以14133=-=q q 或（舍去）．由 .1611211)1(121)1(123316136=+=----=q qq a q q a S S.1611111)1(1)1(166611216126612==-+=-----=-=-q q qq a q q a S S S S S 得.12661236S S S S S -= 所以12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列． （Ⅱ）解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n n naq aq aq a na a a a T即 .)41()41(3)41(212a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+= ①①×)41(-得： a n a n a a a T n n n )41()41()41(3)41(24141132---⋅++-⋅+-⋅+=--.)41()54(54)41()41(1])41(1[a n a a n a n n n -⋅+-=-⋅-----=所以 .)41()542516(2516a n a T n n -⋅+-=说明 本题是课本例题：“已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列”的类题，是课本习题：“已知数列{an}是等比数列，S n 是其前 n 项的和，a 1，a 7，a 4 成等差数列，求证2 S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列”的改编．情景再现1．(2000年全国高考题)设{}n a 为等比数例，n n n a a a n na T ++-+=-1212)1( ，已知11=T ，42=T ．（Ⅰ）求数列{}n a 的首项和公式；（Ⅱ）求数列{}n T 的通项公式．2． (2000年全国高中数学联赛)设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n nS n S 的最大值.B 类例题例3 (2004年重庆卷) 设),2,1(,3235,35,11221 =-===++n a a a a a n n n （1）令1,(1,2......)n n n b a a n +=-=求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S .分析 利用已知条件找n b 与1+n b 的关系,再利用等差数列与等比数列之积的错位相差法来解决此类问题.解 （1）因121+++-=n n n a a b n n n n n n b a a a a a 32)(323235111=-=--=+++ 故{b n }是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b n n（2）由得n n n n a a b )32(1=-=+)()()(121111a a a a a a a a n n n n n -++-+-=--++])32(1[232)32()32()32(21n n n -=++++=- 注意到,11=a 可得),2,1(3231 =-=-n a n nn记数列}32{11--n n n 的前n 项和为T n ，则1832)3()1(232)21(3232)3(9)32(3])32(1[9,)32(])32(1[3)32()32()32(32131)2()32()32(23232),1()32(3221112111221-+++=-+++=+++=+-=--=--=-++++=⋅++⋅+=⋅++⋅+=-+---n n n n n n n nn n nn n n n n n n n n n n T n na a a S n n T n n T n T n T 从而故两式相减得说明 本题主要考查递推数列、数列的求和，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 例4 (1996年全国高中数学联赛第二试)设数列{a n }的前项和S n =2a n －1(n=1,2,3, )，数列{b n }满足b 1=3, b k+1=a k +b k (k=1,2,3 ).求数列{b n }的前n 项和. 分析 由数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧≥-=-2,1,11n S S n S n n 可得a n.解 由12-=n n a S 可得a n+1=2a n 即数列{a n }是等比数列,故a n =2n －1,又由a k =b k+1－b k得b n =b 1 +a 1+ a 2+ a 3+…+ a n －1 =3+12121---n =221+-n所以S n =b 1+ b 2+ b 3+…+ b n =1+2+22+…+2n －1+2n=12221221-+=+--n n n n例5 (2004年全国理工卷) 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(－1)n ,n ≥1.(1)写出求数列{a n }的前3项a 1,a 2,a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对任意的整数m >4，有4511178m a a a +++<. 分析 由数列{a n }前n 项和S n 与通项a n 的关系,求a n ,应考虑将a n 与a n -1或 a n+1其转化为的递推关系,再依此求a n. 对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩.解 (1)当n =1时,有：S 1=a 1=2a 1+(－1)⇒ a 1=1；当n =2时,有：S 2=a 1+a 2=2a 2+(－1)2⇒a 2=0； 当n =3时,有：S 3=a 1+a 2+a 3=2a 3+(－1)3⇒a 3=2； 综上可知a 1=1,a 2=0,a 3=2；(2)由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----化简得：1122(1)n n n a a --=+-上式可化为：1122(1)2[(1)]33n n n n a a --+-=+-故数列{2(1)3n n a +-}是以112(1)3a +-为首项, 公比为2的等比数列.故121(1)233n n n a -+-= ∴121222(1)[2(1)]333n n n n n a --=--=--数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶由已知得：232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+-- 23111111[]2391533632(1)m m-=++++++--11111[1]2351121=+++++11111[1]2351020<+++++511(1)1452[]12312m --=+-514221[]23552m -=+- 51311131041057()1552151201208m -=-<=<=. 故4511178m a a a +++<( m >4). 说明 本题是一道典型的代数综合题，是将数列与不等式相结合，它的综合性不仅表现在知识内容的综合上，在知识网络的交汇处设计试题，更重要的是体现出在方法与能力上的综合，体现出能力要素的有机组合．虽然数学是一个演绎的知识系统，并且演绎推理是数学学习和研究的重要方法，但从数学的发展来看，“观察、猜测、抽象、概括、证实”是发现问题和解决问题的一个重要途径，是学生应该学习和掌握的，是数学教育不可忽视的一个方面：要求应用已知的知识和方法，分析一些情况和特点，找出已知和未知的联系，组织若干已有的规则，形成新的高级规则，尝试解决新的问题，这其中蕴含了创造性思维的意义．例 6 设{ a n }为等差数列，{ b n }为等比数列，且211a b =,222a b = ,233a b =,又12lim()2n x b b b →∞+++=, 试求{ a n }的首项与公差． (2001年全国高中数学联赛) 分析 题中有两个基本量{ a n }中的首项 a 1 和公差d 是需要求的，利用21a ,22a ,23a 成等比数列和给定极限可列两个方程，但需注意极限存在的条件． 解 设所求公差为d ，∵a 1＜a 2，∴d ＞0．由此得 412121)()2(d a d a a +=+ 化简得：0422121=++d d a a 解得：1)22(a d ±-= 而022<±-，故a 1＜0若1)22(a d --=，则22122)12(+==a a q若1)22(a d +-=，则22122)12(-==a a q但12)(21+=++++∞→n n b b b lim 存在，故| q |＜1，于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a所以222)22(,211-=+-=-=a d a说明 本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识，用到方程的思想和方法，且在解题过程中要根据题意及时取舍，如由题意推出d ＞0， a 1＜0，1<q 等，在解题中都非常重要．情景再现3． 设二次函数)(,*)](1,[,)(2x f N n n n x x x x f 时当∈+∈+=的所有整数值的个数为g(n). （1）求g(n)的表达式.（2）设.,)1(*),()(321432123n n n n n S a a a a a S N n n g n n a 求--++-+-=∈+=（3）设l Z l l T b b b T n g b n n n nn 求若),(.,2)(21∈<+++==的最小值. 4． 设函数222)(+=x xx f 的图象上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，若)(2121OP OP +=，且点P 的横坐标为21． (1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(2)若∑==ni n ni f S 1)(，n ∈N *，求S n ；(3)记T n 为数列})2)(2(1{1+++n n S S 的前n 项和，若)2(1+<+n n S a T 对一切n ∈N *都成立，试求a 的取值范围．C 类例题例7 给定正整数n 和正数M ，对于满足条件2121++n a a ≤ M 的所有等差数列a 1，a 2，…，a n ，，试求S=a n+1+a n+2+…+a 2n+1的最大值． (1999年全国高中数学联赛试题)分析 本题属于与等差数列相关的条件最值问题，而最值的求解所运用的方法灵活多样，针对条件的理解不同，将有不同的解法．解 (方法一)：设公差为d, a n+1=a .则S=a n+1+a n+2+…+a 2n+1=d n n a n 2)1()1(+++,所以12+=+n Snd a 另一方面,由M ≥2121++n a a =22)(a nd a +-=22)34(1012104nd a nd a -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21104⎪⎭⎫ ⎝⎛+n S ,从而有M n S ⋅+≤)1(210且当nMd M a ⋅=⋅=104,103时 )1(+=n S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+⋅n M n M 1042103=M n 105)1(⋅+M n )1(210+=, 由于此时nd a 34=故2121++n a a =21104⎪⎭⎫⎝⎛+n S =M,因此S=a n+1+a n+2+…+a 2n+1的最大值为M n )1(210+． (方法二)：三角法 由条件2121++n a a ≤ M 故可令θ=cos 1r a ,θ=+sin 1r a n ,其中M r ≤≤0.故S= a n+1+a n+2+…+a 2n+1=2)1)((121++++n a a n n )3(2111a a n n -+=+ )cos sin 3(21θ-θ+=r n)sin()1(210ϕ-θ+=r n 其中103cos =ϕ,101sin =ϕ因此当1)sin(=ϕ-θ,M r =时,S=a n+1+a n+2+…+a 2n+1的最大值为M n )1(210+．说明 在解答过程中，要分清什么是常量，什么是变量，注意条件和结论的结构形式．解法一通过配方来完成，解法二运用三角代换的方法，解法三运用二次方程根的判别式来完成，解法四则主要运用了柯西不等式．本题人口宽，解法多样，对培养学生的发散思维能力很有好处．例8 n 2(n ≥4)个正数排成几行几列：a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n ， a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n ， a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n ， … …a n1 a n2 a n3 a n4 … a n n ，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知“a 24=1， a 42 81, a 43163=, 求a 11 +a 22 +a 33 +…+ a nn . (1990年全国高中数学联赛试题)分析 由于等差数列可由首项与公差惟一确定，等比数列可由首项与公比惟一确定，如果设a 11=a 第一行数的公差为d ，第一列数的公比为q ，容易算得a s t =[a+(t －1)]q s －1，进而由已知条件，建立方程组，求出n ，d ，q ．解 设第一行数列公差为d ，各列数列公比为q ，则第四行 数列公差是dq 2.于是可得方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=16381)(1)3(34243311421124dq a a q d a a q d a a ,解此方程值组,得2111±===q d a .由于所给n 2个数都是正数,故必有q ＞0,从而有2111===q d a . 故对任意1≤k ≤n,有)]1([1111-+==-k a q a a k k kk kk k q 21=-. 故S=21+222+323+…+n n 2. 又21S=221+322+423+…+12+n n . 两式相减后可得： 21S=21+222+323+…+n n 212+-n n所以S=2－121-n －n n 2. 说明 这道试题涉及到等差数列、等比数列、数列求和的有关知识和方法．通过建立方程组确定数列的通项；通项确定后，再选择错位相减的方法进行求和．情景再现5．各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项．6．己知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1=a n +1a n(1)求证:14＜ a 100＜ 18; (2)求a 100的整数部分[a 100].习题11A 类习题1.若等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且A n B n = 7n +14n +27 ，则a 11b 11等于 （ ）A ． 43B ． 74C ． 32D ． 78712.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项和记为S n ，若S 10=10,S 30=70，则S 40等于 ( )A.150B.－200C.150或－200D.400或－50 (1998年全国高中数学联赛试题)3.已知数列{}a n 满足)1(431≥=++n a a n n ,且91=a ,其前n 项之和为S n ,则满足不等式1251|6|<--n S n 的最小整数n 是 ( )A.5B. 6C.7D.8 (1999年全国高中数学联赛试题)4.(2004年江苏卷)设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ． (Ⅰ)若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立．5．函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足)2(2)(x f x f =且1)1(=f ，在每个区间]21,21(1-i i （i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分． （I ）求)0(f 及)21(f ，)41(f 的值，并归纳出),2,1)(21( =i f i 的表达式 （II ）设直线i x 21=，121-=i x ，x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1，2……），记)(lim )(21n n a a a k S +++=∞→ ，求S k ()的表达式，并写出其定义域和最小值. (2004年北京理工卷)6.(2005年湖北卷)设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n . B 类习题7．(2005年全国Ⅰ卷)设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S ．（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T ．8.设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…). (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1. 9.已知：f(x)＝412-x （x<—2），f(x)的反函数为g(x),点An(a n ,11+-n a )在曲线y ＝g(x)上(n ∈N +)，且a 1＝1.（I ）求y ＝g(x)的表达式；（II ）证明数列{21na }为等差数列；（Ⅲ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅳ）设b n ＝1111++n n a a ,记S n ＝b 1＋b 2＋……＋b n ，求S n .10.已知正整数n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n 的个数是_____.(1999年全国高中数学联赛试题)C 类习题11．已知}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列，n S 为它的前n 项和． （1）用n S 表示1+n S ；（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立． (2001年上海卷)12．数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，按下列加括号的方式把该数列分成群(a 1)、( a 2，a 3)、( a 4，a 5，a 6，a 7)、( a 8，a 9，a 10，…，a 15)…使第一群中是a 1含{a n }中的一项，第二群是a 2、a 3，含{a n }中的两项，第三群中是a 4、a 5、a 6、a 7，含{a n }中的四项…如此继续下去，第n 群中含{a n }中的2n －1项，且任两群无公共项，任一项都在某群内，用a 1、d 、n 表示第n 群各元素的和. (第2届希望杯第一试) 本节“情景再现”解答：1．设等比数列{}n a 以比为q ，则)2(2,121211q a a a T a T +=+==．∵4,121==T T ，∴2,11==q a ． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知2,11==q a ，故1112--==n n n q a a ，因此，1221222)1(1--⋅+⋅++⋅-+⋅=n n n n n T ，22- 21222-2222 ]21222)1(1[- 21222)1(221121-n 212-+=-⋅+=+++++=⋅+⋅++⋅-+⋅⋅+⋅++⋅-+⋅=-=∴+---n nnn n n n n n n n -n -n n n n n T T T12)2(+++-=n n ．解法二：设n n a a a S +++= 21．由（Ⅰ）知12-=n n a ．∴122211-=+++=-n n n S2221222222121212 S )()(a 2)1(121121211121n n )-n () -()-()(S S a a a a a a a a a n na T n n nnnnn n n n n n --=--⋅-=+++=++++=+++=++++++++=+++-+=∴+-- 2．由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， 11(1)(2)2n S n n +=++ ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤, ∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(m ax =n f . 3．（1）当*)](1,[N n n n x ∈+∈时，函数x x x f +=2)(的值随x 的增大而增大，则)(x f 的值域为*).](23,[22N n n n n n ∈+++ ∴*).(32)(N n n n g ∈+=（2）.)(32223n n g n n a n =+= ①当n 为偶数时，])1[()43()21(22222214321n n a a a a a a S n n n --++-+-=-++-+-=-=－[3+7+……+（2n －1）]=－.2)1(22)12(3+-=⋅-+n n n n ②当n 为奇数时，n n n n n a S a a a a a a S +=-++-+-=---1124321)()()(=－.2)1(2)1(2+=+-n n n n n ∴.2)1()1(1+-=-n n S n n （3）由nn n nn n n T n g b 232212292725,2)(132+++++++==- 得, ① ①×21，得.232212272521132+++++++=n n n n n T ② ①－②，得)222222()23225(21321n n n n T +++++-=+ =.27227211)211(21)23225(111+-++-=--++-n n n n n∴.2727n n n T +-= 则由Z l l n T nn∈<+-=,2727，可得l 的最小值是7. 4． (1)证：∵)(2121OP OP OP +=，∴P 是P 1P 2的的中点 ⇒ x 1＋x 2＝1， ∴222222222222)()(11111122112121+++=+++=+=+--x x x x x x x x x f x f y y 1=2+22+2+22=2×2+22+2+22=111111x x x x x x ，∴21)(2121=+=y y y p . (2)解：由(1)知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，f (1)＝2－2，S n = f( 1n ) + f( 2n ) + ┅ + f( n －1n ) + f( nn )，又S n = f( n n ) + f( n －1n ) + ┅ + f( 2n )+ f( 1n)，两式相加得2S n = f(1) + [f( 1n ) + f( n －1n )] + [f( 2n ) + f( n －2n )] + ┅ + [f( n －1n ) + f( 1n )] + f(1)= 2f(1) + 1 + 1 + ┅ + 1(n －1个1)223-+=n ， ∴2223-+=n S n ．(3)解：)4131(4)4)(3(4221)2)(2(11+-+=++=⋅=+++n n n n S S n nT n = 4[(14 －15 ) + (15 －16 ) + ┅ + (1n + 3 －1n + 4 )] = nn + 4 ， )2(1+<+n n S a T ⇔82)4(2221++=+=+>+nn n n S T a n n ，∵n n 16+≥8，当且仅当n ＝4时，取“＝”， ∴818828162=+≤++nn ，因此，81>a ． 5． 设n a a a ,,,21 是公差为4的等差数列,则)1(41-+=n a a n ,由已知 100221≤+++n a a a ⇔1002)1)(4(121≤-+++n a a a n⇔ 010022)1(2121≤--+-+n n a n a ,此关于1a 为未知数的一元二次不等式有解,则应有0)10022(4)1(22≥----=∆n n n⇔7n 2―6n ―401≤0,9728163728163<+≤≤-n 又8728163>+ 故n 的最大值是8. 故这样的数列至多有8项．6．(1)证明:当1＜ k ≤n( k ∈ N*)时,=2k a 212112--++k k a a 且a k ＞1所以3221221+<<+--k k k a a a ,因此32232221+<<+a a a ,32242322+<<+a a a ,………,3221221+<<+--n n n a a a ,将以上n- 1个式子相加得)1(3)1(221221-+<<-+n a a n a n ,因为a 1=1所以23122-<<-n a n n ,所以2312-<<-n a n n令n=100,得14＜ a 100＜ 18.(2)由题设得222112n n n a a a +=-+, 所以2100a =+21a +-)(2122a a +-)(2223a a …+)(2992100a a -=200+[+221a +231a + (299)1a ],又a n+1-a n =1a n ＞0故数列{a n }是单调递增.当n ≥2时a n ≥2. 200＜2100a ＜200+5.22498212=⨯⎪⎭⎫⎝⎛＜225.因此14＜ a 100＜15.所以a 100的整数部分[a 100]=14本节“习题11”解答：1． a 11b 11 =2a 112b 11 =a 1 +a 21b 1 +b 21 =21×2+21×2+211211b b a a =A 21B 21 = 7×21+14×21+27 =43 故选A. 2．S 10, S 20－S 10, S 30－S 20,S 40－S 30成等比数列,公比Q=q 10>0.故S 30= S 10(1+Q+Q 2)=70.解得Q=2,所以S 40－S 30=S 10Q 3=80,即S 40=S 30+80=150. 故选A.3．由递推公式变形得：3(a n+1－1)=－(a n －1)令b n =a n －1,则b n+1=－13b n ,且b 1=a 1－1=8,故 {b n }是首项为8,公比为－13的等比数列.故S n －n=(a 1－1)+ (a 2－1)+…+ (a n －1)= b 1+b 2++…+b n =3113111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--n b =6－6×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,所以1251316|6|<⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--nn n S , 得3n －1>250.所以满足不等式的最小整数n 是7,故选C. 4．（1）当1,231==d a 时，n n n n n S n +=-+=2212)1(23，由2)(2k k S S =得，2224)21(21k k k k +=+ ，即0)141(3=-k k ，又0≠k ，所以4=k ． （2）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2k k S S =中分别取2,1=k 得⎩⎨⎧==224211)()(S S S S 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=211211)2122(2344 d a d a a a ，由（1）得01=a 或11=a ． 当01=a 时，代入（2）得：0=d 或6=d ；当0,01==d a 时，0,0==n n S a ，从而22)(k k S S =成立；当6,01==d a 时，则)1(6-=n a n ，由183=S ，216,324)(923==S S 知，239)(S S ≠，故所得数列不符合题意；当11=a 时，0=d或2=d ，当11=a ，0=d 时，n S a n n ==,1，从而22)(k k S S =成立；当11=a ， 2=d 时，则2,12n S n a n n =-=，从而2)(2k k S S =成立，综上共有3个满足条件的无穷等差数列； 0=n a 或1=n a 或12-=n a n ． 5. （I ）由)0(2)0(f f =，得0)0(=f ,由)21(2)1(f f =及1)1(=f ，得21)1(21)21(==f f 同理，4)21(21)41(1==f f ,归纳得),2,1(21)21( ==i f i i（II ）当12121-≤<i i x 时)21(21)(11---+=i i x k x f)2121)](2121(2121[211111i i i i i i i k a --++=----),2,1(2)41(12 =1-=-i k i 所以{}a n 是首项为)41(21k -，公比为41的等比数列,所以)41(32411)41(21)(lim )(21k ka a a k S n n -=--=+++=∞→ . ∴)(k S 的定义域为≤<k 01，当1=k 时取得最小值21. 6．（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列.设{b n }的通项公式为.41,4,,11=∴==q d b qd b q 则故.42}{,4121111---=⨯-=n nn n n n b b q b b 的通项公式为即 （II ）1142(21)4,4n n n nn a n c n b ---===-12112[13454(21)4],n n n T c c c n -∴=+++=+⨯+⨯++-2314[143454(23)4(21)4]n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-,两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T7．（I ）由210S 30－(210+1)S 20+S 10=0得210(S 30－S 20)=S 20－S 10，即210(a 21+a 22+…+a 30)=a 11+a 12+…+a 20, 可得 210·q 10(a 11+a 12+…+a 20)=a 11+a 12+…+a 20. 因为a n >0，所以 210q 10=1, 解得q=12,因而 a n =a 1q n －1=12n ,n=1,2,….(II)因为{a n }是首项a 1=12、公比q=12的等比数列，故 S n =211)211(21--n =1－12n ，nS n =n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和 T n =(1+2+…+n)－(12+222+…+n n2)，T n 2= 12 (1+2+…+n)－(221+322+…+1221++-n n n n ). 前两式相减，得 T n 2= 12 (1+2+…+n)－(12+122+…+n 21)+12+n n =4)1(+n n －211)211(21--n +12+n n ,即 T n =.22212)1(1-+++-n n nn n 8． (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t .∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+.又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ， ①,3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t ②,∴①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0. ∴t t a a n n 3321+=-,n =2,3,4…,所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列；(2)由f (t )= t t 332+=t 132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1, 可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列.于是b n =1+32(n －1)=312+n ;(3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n , ∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1=b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1) =－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94(2n 2+3n ) 9．（Ⅰ）由y ＝412-x 得2214y x =-，∴2214yx +=,∵x<—2 ，∴214y x +-= ,∴g(x)= 214x +- （x>0）（II ）∵点An(a n ,11+-n a )在曲线y ＝g(x)上(n ∈N +)∴11+-n a = g(a n )= 214n a +- , 并且a n >0 21141n n a a +=∴+ ， ),1(411221N n n a a n n ∈≥=-∴+∴数列{21na}为等差数列. （Ⅲ）∵数列{21na }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4, ∴21na =1+4（n —1） , ∴3412-=n a n ∵a n >0 ，∴341-=n a n ,（Ⅳ）b n ＝1111++n n a a =4341414341--+=++-n n n n ,∴S n ＝b 1＋b 2+…＋b n =43414.......459415--+++-+-n n =4114-+n 10.前(n －1)群中含有1+2+4+…+2n －2=2n －1－1项.因而第n 群的第一个数为a 1+(2n －1－1)d.第n 群含有2n－1项.故这的2n－1项的和为2n －1[a 1+(2n －1－1)d]+ 12×2n －1(2n －1－1)d.11．（1）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，得)( 221211411N n S S n n n ∈+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++。

等差数列与等比数列数学教案引言：数列是数学中一种重要的数学概念，是指按照一定规律排列的数的集合。

其中，等差数列和等比数列是数学中最常见的两种数列。

它们是数学中的基础概念，掌握它们的性质与运算方法对深入理解数学知识、提高解决问题的能力具有非常重要的意义。

本教案将通过丰富的案例和实际问题，帮助学生全面掌握等差数列和等比数列的相关知识。

一、等差数列1. 等差数列的定义与公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都是一个常数的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项可表示为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

案例：一个等差数列的首项为3，公差为4，求该等差数列的第10项。

2. 等差数列的通项公式推导与应用等差数列的通项公式是指可以通过首项、公差和项数，直接求得等差数列的第n项。

通项公式为an=a1+(n-1)d。

案例：已知一个等差数列的第5项为21，公差为7，求该等差数列的前10项和。

3. 等差数列的性质与运算等差数列具有以下性质和运算方法：（1）等差数列的任意两项的和等于这两项所夹项的两倍。

（2）等差数列的前n项和可以通过n(n+1)/2求得。

案例：某等差数列的前5项和为30，公差为2，求该等差数列的首项和第7项。

二、等比数列1. 等比数列的定义与公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都是一个常数的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项可表示为an=a1 * q^(n-1)。

其中，a1为首项，q为公比，n为项数。

案例：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该等比数列的第5项。

2. 等比数列的通项公式推导与应用等比数列的通项公式是指可以通过首项、公比和项数，直接求得等比数列的第n项。

通项公式为an=a1 * q^(n-1)。

案例：已知一个等比数列的第3项为16，公比为2，求该等比数列的前6项和。

3. 等比数列的性质与运算等比数列具有以下性质和运算方法：（1）等比数列的任意两项的比等于这两项所夹项的指数幂。

高二数学等差、等比数列的综合应用苏教版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：等差、等比数列的综合应用二、教学目标：综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n 项求和公式解决相关问题.三、本周知识要点：（一）等差数列1. 等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=2. 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 3. n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 4. 等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ （m ， n ， p ， q ∈N ） 5. 对等差数列前n 项和的最值问题有两种方法：（1）利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。

当n a <0，d>0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。

（2）利用n S ：由n )2d a (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值。

（二）等比数列1、等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q=1时，1na S n =当已知1a ， q ， n 时用公式①；当已知1a ， q ， n a 时，用公式②2、n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列3、等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a =【典型例题】例1. 在等差数列{n a }中， 已知3a ＋4a ＋5a ＋6a ＋7a ＝450， 求2a ＋8a 及前9项和9S 。

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。

它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。

本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。

一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。

举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。

等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。

这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。

等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。

求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。

二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。

例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。

等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。

与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。

等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。

江苏省响水中学2013-2014学年高二上学期数学《第29课时 数列通项、求和》学案【基础训练】1.等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．则数列{}n a 的通项公式______ ．2．已知数列{}n a 满足11a =，nn a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =________ ． 3．在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = ．4．（1）设数列})1{(1n n ⋅--的前n 项和为n S ，则2011S ＝ ． （2）数列121，241，381，4161，…的前n 项和S n ＝ ． 5．已知数列{}n a 中，113(2,),,22n n m a a n n N a *-=+≥∈=前m 项和15,2m S m =-=则 ． 6. 已知等差数列{}n a 中，n s 是其前n 项和，10098199,2,10098s s a =--=则99s = ． 【重点讲解】（一）数列求通项常用方法：（1）公式法：（2）叠加法：（3）累乘法：（4）待定系数法：（二）数列求和常用方法：（1）公式法：（2）分组求和法：（3）倒序相加法：（4）错位相减法：（5）裂项相消法：【典题拓展】例1. 求下列数列的通项：（1）已知数列{}n a 满足211=a ，1n n a a n +=+；（2）已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+；（3）已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ；（4）如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ；（5）已知111,32nn n a a a -==+；（6）1,13111=+⋅=--a a a a n n n . 例2. 求和： （1）1111++132435(2)n n +⨯⨯⨯++；（2）求数列1，1+a ，21a a ++，…， ,112-++++n a a a 的前n 项和n S ；（3）11111;121231234123n +++++++++++++++（4）2222sin 1sin 2sin 3...sin 89++++；（5）已知数列211,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠；例3．已知数列251,(21)()2,(2)n n n n k a k N n k *+=-⎧⎪=∈⎨⎪=⎩，求数列{}n a 前n 项和为n S 。

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。

证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。

证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。

高中数学等差数列教案大全等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

接下来是小编为大家整理的高中数学等差数列教案大全，希望大家喜欢!高中数学等差数列教案大全一“等差数列”教学设计一、教学内容分析等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面，?数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

二、教学目标1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列。

2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。

3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

三、教学重难点重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

四、学习者分析普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。

他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

课题：等差数列的前n项和授课教师：刘炜教材：苏教版必修51．教学目标：(1)掌握等差数列前n项和的公式，并能运用公式解决简单的问题；(2)发现并提出研究等差数列前n项和的公式，并经历归纳猜想、数形结合等思想方法，培养学生研究问题的意识和方法；(3)引导学生用数学的眼光观察世界，通过独立思考，相互交流，形成良好的获得感，培养学生积极的学习态度.2．教学重点、难点：重点：发现问题、提出问题并探究得到等差数列前n项和公式的过程；难点：从多个维度认识等差数列前n项和，多角度推导等差数列前n项和公式.3．教学方法与教学手段：启发式，研究型，讨论型.4．教学过程：开场白：之前我们研究了数列中的一个特殊模型，称为等差数列，其定义为a n+1－a n＝d(常数)，通项公式为a n＝a1＋(n－1)d，接下来我们用数学的眼光来看以下问题.4.1问题如图所示，这是一堆钢管的截面图，请计算下列情形下钢管的数量：(1)1＋2＋3；(2)1＋2＋3＋4＋5；(3) 1＋2＋3＋4＋5＋6。

如果求1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋2035？计算太烦，能否简化？[设计意图]发现，并提出问题：需要产生“公式”.问题抽象成一个模型：等差数列前若干项之和.由于首项、公差确定，当项数很多时，我们无法直接观察得出结果，因此，需要建立求和的公式：[数学抽象]已知{a n}是等差数列，求数列{a n}的前n项和a1＋a2＋…＋a n.数学符号：记为S n＝a1＋a2＋…＋a n.注：随着n的变化，前n项和也发生变化，[设计意图]确定教学目标，即将S n写成关于n的函数模型ϕ(n).目标：一个数列首项a1，公差d是确定的，只有n是变量，因此目标是将S n写成关于n 的函数ϕ(n).解答：S n＝a1＋a2＋…＋a n＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋(a1＋(n－1)d)＝na1＋(1＋2＋…＋(n－1))d.转化：研究前(n－1)个正整数的和1＋2＋…＋(n－1)，为方便记，可研究前n个正整数的和：f(n)＝1＋2＋…＋n.还原：将表达式再次还原成钢管堆放的问题，比较形象加以研究：T1＝1，T2＝3，T3＝6，T4＝10，T5＝15，事实上，f(n)就是是毕达哥拉斯研究的第n个三角形数.毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年—约前500（490）年）古希腊数学家、哲学家，4.2探究此前，我们通过观察，归纳得出等差数列的通项公式，那么对于等差数列的前n项和公式是否也可以归纳得到呢？f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝6，f(4)＝10，f(5)＝15，…列表：利用excel对五组数据进行拟合，相当于将(n，T n)对应点描在坐标纸上.我们知道等差数列是一次函数模型，那么这次是什么模型呢？拟合的结果：散点在二次函数图象上， 设f (n )＝An 2＋Bn ＋C ，通过待定系数法：f (n )＝12n 2＋12n .发现f(n)是一个常数项为0的关于n 的二次函数，且，其他的等差数列也是这样吗？ [设计意图]让学生学会观察处理数据，从两个角度，其一，数列的观念是列数，通过列数找规律，这需要学生有较强的归纳意识；其二，可以通过数据拟合，也就是从代数角度出发，通过部分的研究，试图揭示整体数据的特点. 学生讨论：大家还有什么方法可以研究这个问题呢？开放讨论3分钟，让学生自主探索，寻找解决问题的方案，教师巡视并交流. 参考方案1.补形：形如三角形，因此想到三角形面积公式的求法，能否补全，形成平行四边形，从而2 f (n )＝n (n ＋1)，即f (n )＝12n 2＋12n .[设计意图]早前，人们对图形的认识胜过代数的认识，而且排列成三角形点，也就是毕达哥拉斯学派提出的“三角形数”，一方面做到跟古人的契合，体现了数学文化的内容；另一方面也从数学直观的角度来研究问题，让学生能够从数形结合的角度来研究问题. 参考方案2：配对：若n 为偶数，则f (n )＝1＋2＋…＋(n －1)＋n ＝(1＋n )＋(2＋(n －1))＋…＝12n (n ＋1)；若n 为奇数，则f (n )＝f (n －1)＋n ＝12n (n －1)＋n ＝12n (n ＋1)；综上所述，f (n )＝12n 2＋12n .[设计意图]一方面承接小学对于等差数串的求和技术，偶数个可以配对，奇数的话可以添项或减项；其本质这是承接前面对于钢管的观察，发现对称项的和相等，这个观点是使用等差数列求和公式很重要的技术要领，也是人们简便计算的一个主要原因.4.3归纳根据以上研究结果，因为f(n)=…，所以 1＋2＋…＋(n －1)＝f (n －1)＝12n (n －1).代入，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋(a 1＋(n －1)d )＝na 1＋(1＋2＋…＋(n －1))d ＝na 1＋12n (n －1)d ；这就是“等差数列前n 项和公式”，其中首项a 1，公差d 看做确定的量，项数n 是变化的量，公式是一个关于n 的二次函数，；这说明等差数列的前n 项和的确是二次函数模型，同时发现其常数项为0. 我们能否再从形的角度来看一次呢？【学生】发现两个结论：结论1：a 1＋a n ＝a 2＋a n -1＝…＝a n ＋a 1； 结论2： 2S n ＝n (a 1＋a n ).从而，等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝12n (a 1＋a n )，公式用首项、末项及项数表示，其中末项是关于项数n 的函数，这也是称为等差数列的前n 项和公式。

初中数学等差数列与等比数列教学案一、引言数列是数学中非常重要的概念之一，在初中阶段，学生会接触到等差数列和等比数列这两种特殊的数列。

本文将就初中数学中等差数列与等比数列的教学案进行详细讲解和分析。

二、等差数列的教学案分析1. 教学目标：了解等差数列的定义及其性质，并能够通过给定的前几项求出第n项的公式。

2. 教学内容：（1）等差数列的定义：等差数列是指数列中，相邻的两项之差为一个固定的常数。

常用表示形式为：a, a+d, a+2d, a+3d, ...（其中a为首项，d为公差）。

（2）等差数列的性质：等差数列的公差是固定的，任意两项之差等于公差，任意三项的公差是相等的，等差数列的任意一项等于前一项加上公差。

（3）等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) / 2 * n，其中Sn为前n项的和，a1为首项，an为第n项，n为项数。

3. 教学过程：（1）导入：通过一个生活实例引入等差数列的概念，如某人每天跑步锻炼，第一天跑2公里，第二天跑4公里，第三天跑6公里，以此类推。

（2）呈现：通过示例数列和图像呈现等差数列的规律，解释等差数列的定义和性质。

（3）引导：通过一些简单的练习题，让学生发现等差数列的规律，引导他们找到公差，进而推导出等差数列的通项公式。

（4）操练：让学生通过给定的前几项，找出等差数列的公差和首项，并进一步求出第n项的值。

（5）拓展：引导学生思考等差数列的应用场景，如利用等差数列表示年龄、价格等变化规律。

（6）归纳总结：总结等差数列的定义、性质和求和公式，强化学生对等差数列的理解。

4. 教学评价：通过解答问题、练习题和仿真问题等形式，检查学生对等差数列的相关知识掌握情况，并进行评价和反馈。

三、等比数列的教学案分析1. 教学目标：了解等比数列的定义及其性质，并能够通过给定的前几项求出第n项的公式。

2. 教学内容：（1）等比数列的定义：等比数列是指数列中，相邻的两项之比为一个固定的常数。

第10讲 等差数列与等比数列本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识，a 1、a n 、d 或q 、n 、S n 的基本关系 1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2.掌握等差、等比数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差、等比中项的性质．3.求公差、公比．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识A 类例题例1给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n －2+a 3n －1+a 3n ,…，则数列{b n }( )A.是等差数列B.是公比为q 的等比数列C.是公比为q 3的等比数列D.既非等差数列也非等比数列 (1999年全国高中数学联赛)分析 利用等比数列的推广的通项公式a n = a m q n －m .解 由题设, a n = a 1q n －1,则a 3n +3= a 3n q 3、 a 3n +2= a 3n －1 q 3、a 3n +1= a 3n －2 q 3. 故b n +1 b n =a 3n +1+a 3n+2+a 3n +3a 3n －2+a 3n －1+a 3n = q 3(a 3n －2+a 3n －1+a 3n ) a 3n －2+a 3n －1+a 3n=q 3. 例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个 (1997年全国高中数学联赛)分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 ： 由21972)1(=-+=d n n na S n 即2na 1+(n －1)d=2×972， 则n[2a l +(n －1)d]= 2×972，且2a 1+(n －1)d 是非负整数．故n 是2 ×972的正 因数，且n ≥3，于是n=97、972、2 ×97或2 ×972．(1)若n=97，则2a l +96d=2 ×97，且a l 与d 是非负整数，由2 a l = 2 ×97－96d ≥0可得0≤d ≤, 且d ∈Z ，所以d=0，1，2，代人2 a l +96d= 2 ×97得⎩⎨⎧==9701a d 或⎩⎨⎧==4911a d 或⎩⎨⎧==121a d , 故当n=97时，符合题意的等差数列有3个． (2)若n=972，则2 a l +(972－1)d=2，由2a l =2－(972－1)d ≥0得0≤d ≤19722- 故d=0．此时a l =1即n=972时，符合题意的等差数列只有1个．(3)若n=2×97，则2 a l +(2×97－1)d=97，即 0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =297，不台题意(4)若n= 2×972，则2 a l +(2×972－1)d=1，即0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =12，不合题意．故当n=2×97或2×972时，符合题意的等差数列不存在． 综上所述，符合题意的等差数列共有3+1=4个故选( C )情景再现1．(2005年全国高考题)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{k n }的通项n k2．三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)．(第2届美国中学生数学竞赛试题)B 类例题例3 (2004年浙江理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的 坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题． 解 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2， 得,124121=++++n n n y y y CB XY P P P O123又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n yy -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b - 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列． 说明 本题符号较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数． （Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列．(2005年江苏卷)分析本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列．解 （1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18． 由(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =An+B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=－20， B=－8．（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n －8）S n+1－(5n+2)S n =－20n －8, ① 所以 (5n －3)S n+2－(5n+7)S n+1=－20n －28, ② ②－①,得, (5n －3)S n+2－(10n －1)S n+1+(5n+2)S n =－20, ③ 所以 (5n+2)S n+3－(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=－20．④ ④－③,得 (5n+2)S n+3－(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1－(5n+2)S n =0． 因为 a n+1=S n+1－S n 所以 (5n+2)a n+3－(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0． 又因为 (5n+2)0≠,所以 a n+3－2a n+2+a n+1=0,即 a n+3－a n+2=a n+2－a n+1, 1≥n ． 又 a 3－a 2=a 2－a 1=5, 所以数列}{n a 为等差数列． 方法2．由已知，S 1=a 1=1,又(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =－20n －8,且5n －80≠,所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的是惟一确定的．设b n =5n －4,则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2)35(-n n 于是 (5n －8)T n+1－(5n+2)T n =(5n －8),8202)35()25(2)25)(1(--=-+-++n n n n n n由惟一性得b n =a,即数列}{n a 为等差数列．说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等．例5 (湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？ （Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？分析 本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型． 解 J 1输入m ，J 2输入n 时，输出结果记为f （m ，n ），设f （m ，n ）=k ，则f （1，1）=1，f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，f （m+1，1）=2f （m ，1） （2分） （Ⅰ）因为f （1，n+1）=f （1，n ）+2， 故f （1，1），f （1，2），…，f （1，n ），…组成以f （1，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f （1，n ）=f （1，1）+2（n －1）=2n －1； （Ⅱ）因为f （m+1，1）=2f （m ，1）， 故f （1，1），f （2，1），…，f （m ，1）…组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列．所以，f （m ，1）=f （1，1）•2m －1=2 m －1，（Ⅲ）因为f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，故f （m ，1），f （m ，2），…，f （m ，n ），…组成以f （m ，1）为首项，2为公差的等差数列．所以，f （m ，n ）=f （m ，1）+2（n －1）=2 m －1+2n －2，f （2002，9）=22001+16说明 解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题．例6 设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0=a 1=1．求{a n }的通项公式． (1993年全国高中数学联赛)情景再现3． 已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列．若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件．4． 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0．(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n ．C 类例题例7 实数x 为有理数的充分必要条件是：数列x ，x +1，x +2，x +3，…中必有3个不同的项，它们组成等比数列．(加拿大1993年高中竞赛题)证明：(1)充分性：若3个不同的项x +i ，x +j ，x +k 成等比数列，且i ＜j ＜k ， 则(x +I)(x +k)=(x +j)2，即ik j j k i x -=-+2)2(．若02=-+j k i ，则02=-ik j ，于是得i=j=k 与i ＜j ＜k 矛盾． 故02≠-+j k i ,jk i ikj x 22-+-=且i 、j 、k 都是正整数，故x 是有理数．(2)必要性：若x 为有理数且x ≤0，则必存在正整数k ，使x+k>0．令y=x+k ，则正数列y 、y+1、y+2、…是原数列x ，x+1，x+2，x+3，…的一个子数列，只要正数列y ，y+l ，y+2,…中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x ＞0．①若x ∈N ,设q 是大于l 的正整数，则xq －x 、xq 2－x 都是正整数．令i=xq －x , j=xq 2－x 则i<j ，即x ，x+i ，x+j ，是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中不同的三项，且x ，x+i(即xq )，x+j (即xq 2)成等比数列．②若x 为正分数，设 x = nm (m 、n ∈N ，且m 、n 互质，m≠1)．可以证明，x ，x+n ，x+(m+2)n ，这三个不同的项成等比数列，事实上，x [x +(m +2)n ]= n m (n m +mn+2n )=(n m )2+n 2+2n m ·n =(nm +n )2.所以x [x +(m +2)n ] =( x +n )2.，即三项x ，x+n ，x+(m+2)n 成等比数列．综上所述，实数x 为有理数的充分必要条件是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中必有3个不同的项．它们组成等比数列.说明 以上证明巧妙之处在于：当x 是正分数mn时，在数列x ，x+1，x+2，x+3，…寻求组成等比数列的三项，这三项是x ，x + n, x+(m+2)n ．例8 设S={1，2，3，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．(1991年全国高中数学联赛二试)分析 可先通过对特殊的n(如n=1，2，3)，通过列举求出A 的个数，然后总结规律，找出 a n的递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d=1，2,…，n －1时，讨论A 的个数· 解 设A 的公差d,则1≤d ≤n －1.(1)设n 为偶数,则当1≤d ≤n 2.公差d 的A 有d 个;当n2≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为偶数时,这样的A 有：(1+2+3+…+ n 2)+[1+2+3+…+(n －n 2－1)]= 14n 2.(2)设n 为奇数,则当1≤d ≤n －12.公差d 的A 有d 个;当n+12≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个. 故当n 为奇数时,这样的A 有：(1+2+3+…+n －12)+(1+2+3+…+n －12)= 14(n －1)2. 综上所述：这样的A 有[14n 2]．情景再现5．设数列{n a }的首项1a =1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈ N,n ≥2)．（1） 求证数列{n a }是等比数列；（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．6．已知数列{a n }是由正数组成的等差数列，m ,n ，k 为自然数，求证：(1)若m+k=2n ，则21m a +21k a =22n a ;(2) 211a +221a +…+2221-n a +2121-n a ≥212n a n -(n ＞1)．习题10A 类习题1．(2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是（ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．40082．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则y cx a +=_________．3．等比数列{}a n 的首项a 11536=,公比q =-12,用πn 表示它的前n 项之积．则πn ()n N ∈最大的是( )A ．π9B ．π11C ．π12D ．π13 (1996年全国高中数学联赛)4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2－2ax +c =0( ) (2000年全国高中数学联赛)A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根5．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T >k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．6．(2000年高考新课程卷)（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常 数p ．（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．B 类习题7．已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线． 1(0,1,2)n n y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段1b ≠（其中正常数），1(0,1,2)n n y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段（1b ≠其中正常数），{}()(1,2,)n n x f x n n ==⋅⋅⋅设数列由定义.121..2()3()1n x x x f x y f x y x ==（）求和的表达式；（）求的表达式，并写出其定义域；（）证明：的图象与的图象没有横坐标大于的交点4 7 （ ） （ ） （ ） ... a j 1 (7)12（ ） （ ） （ ） …a j 2 ……（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … a j 3 …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … a j 4 ……………………………………… ……a i 1a i 2a i 3a i 4a i 5… a ij ……………………………………… ……其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．9．(2006年全国高考上海春季卷)已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？10．(第8届希望杯第二试)在△ABC 中，三边长为a 7，b =2，c =3．作△ABC 的内切圆⊙O 1，再作与边AB 、AC 和⊙O 1都相切的⊙O 2，又作与AB 、AC 与⊙O 2都相切的⊙O 3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和．C 类习题11． (第2届美国数学邀请赛试题)如果{a n }是等差数列，公差是1，a 1+ a 2+ a 3+…+ a 98=137，求a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98 之值．12．(2003年全国高考江苏卷)设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =,C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）．从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1．Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-n k k k k a a a 121321)(；c ylQ r 2（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(本节“情景再现”解答：1．依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =∵0d ≠， ∴1d a =,得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列．由于0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q ==，由此得19k =等比数列{k n }的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k q n -+=⨯==，，，即得到数列{k n }的通项为13n n k +=2．用反证法．假设三个不同的素数p 、q 、r 的立方根是一个等差数列的不同三项, 即设ld a p +=13 ①,md a q +=13 ②,nd a r +=13③．由此可得ml q p d --=33,ml qm p l a -⋅-⋅=331．将代入③式并化简整理得：=⋅-3)(q n m +⋅-3)(q n l 3)(r l m ⋅-两边立方得：=⋅-p n m 3)(+⋅-q n l 3)(r l m ⋅-3)(+3))()((3pqr n m l mm m l ⋅---左式=p n m ⋅-3)(为整数,因3pqr 是无理数．故右式为无理数,所以左式≠右式．3．（Ⅰ）∵),3,2(242,211Λ=+-+==-n n n a a a a n n 依,∴2228422-=+-+=a a a , 542129223-=+-+=a a a ,882234-=+=a a a ,34,32,222342312-=--=--=--=-a a a a a a a a a a a若}{n a 是等差数列，则1,2312=-=-a a a a a 得,但由3423a a a a -=-，得a=0,矛盾．∴}{n a 不可能是等差数列．(Ⅱ)∵2n a b n n +=, ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n nn n b n a 2222=+=(n ≥2) ,∴22422+=+=a a b 当a ≠－1时, }{,0n n b b ≠从第2项起是以2为公比的等比数列．∴)12)(22(12)12)(22(111-++=--++=--n n n a b a b S ,n ≥2时,222)1(222222)1(222)1(111--++---=--++--++=---a b a a b a b a a b a S S n n n n n ∴}{nS 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数．∵a ≠－1时, ∴b －2a －2=0 ,当a=－1时，122,0-==n n b b b 由（n ≥3）,得0=n b （n ≥2）, ∴b b b b S n n =+++=ΛΛ21, ∵}{n S 是等比数列 ∴b ≠0 综上, }{n S 是等比数列,实数a 、b 所满足的条件为⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或 4．(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1．∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1．(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］ 5．分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得tt a 3322+=， 于是t t a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n=3,4，……）， 两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ．①②于是，得tt a a n n 3321+=-（n=3,4……）． ……② 综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为tt 332+的等比数列 （2）解 由（1），得321332)(+=+=t t t t f ，32)1(11+==--n n n b b f b 即321=--n n b b ． 所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ．点评 要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求． 6． (1)设等差数列{a n }的公差为d,由m+k=2n,得a k =2a n ,因为a 2m + a 2k ≥12(a m + a k )2=2a 2n ． (a m a k )2≤[(a m + a k 2)2]2=a 4n． 所以 a 2m + a 2k (a m a k )2≥ 2a 2n a 4n = 2a 2n当且仅当d=0时等号成立． (2)由(1)结论,1 a 2i +1 a 22n －i ≥2a 2n(i=1,2,…,n －1)把这n －1个不等式相加,再把所得的结果两边同时加上1a 2n 便得到所证明的结论．当d=0时等号成立．本节“习题10”解答：1．由120032004200320040,0,.0a a a a a >+><得公差d ＜0，于是a 2 004＜0．a l ＋a 4006=a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0．另一方面，a l ＋a 4 007=2a 2 004＜0，故S 4 007＜0．故答案选B ．2． b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a +=)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xycx ay ++++=+=2． 3．等比数列{}a n 的通项公式1211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n n a ,前n 项之积n π2)1(211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n n ,易知9π、12π、13π 为正数,10π、11π为负数,故只需比较9π、12π、13π． 因为3211536199-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-a ,23211011=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a ,43211112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a ,83211213=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a ,且.18274323)3(121110>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⋅⋅a a a 所以=π12121110a a a ⋅⋅>π⋅99π．又因为1013<<a 及121313π=πa ,∴1213π<π．故选C ．4．由题意知pq =a 2,2b=p+c ,2c=q+b 由于后二式得b=2p+q 3,c=p+2q3,于是有bc =2p+q 3·p+2q 3=p+p+q 3·p+q+q 3≥ 3p 2q · 3pq 2=pq =a 2,因为p ≠q,故bc ＞a 2,方程的判别式△=4a 2－4bc ＜0,因此,方程无实数根．5．要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T >k n s 具体化．因此，可首先从探求n T 与n s 的关系入手，寻求突破口．解 因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列，故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T =n b b b +++Λ21=（a 1+a 2+…+a n ）（q －kq 2）=n s )(2kq q -．依题意，由n T >k n s ，得n s )(2kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s >0；当－1<q<0时，由01>a ，1－q>0,1－nq >0,所以n s =01)1(1>--qq a n ． 综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s >0恒成立 ． 由①式，可得k kq q >-2， ② 即q qqq k q q k +=+<<+111,)1(22． 由于21≥+qq ，故要使①式恒成立，k<－21．点评 本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k<)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值．6． （I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将nn n c 32+=代入上式，得()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ，即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ， 整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得 p =2或p =3． （II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=,为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠． 事实上,()pqb a q b p a q b p ac 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++．由于 q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列．7．{}1)1(111,11,1,,2,1,)1(,1)(,)()()(,)(.0111,)()(,)(,21,2)(.110)0()(,1)(,10,1)(,0)0()1(111111111102121212211101--=+⋅⋅⋅++=≠-⋅⋅⋅==--===--==+==-=--=≤≤===--==≤≤==----------b b b b b x b b x x n b x x n x f n x f b x x x f x f b n x f y x bx b x x b x x x f x f b x f y y x f x x f x f b x f y y x f f n n n n n n n n n n n n n n n n 得由公比为其首项为为等比数列由此知数列故又故得段线段的斜率为图象中第由函数记得即故由的线段的图象是斜率为函数时当又由得故由的线段的图象是斜率为函数时当又由).,0[)(,10);1,0[)(,1:.,10;11)1(lim lim ,1,),3,2,1(1)1(,)(),3,2,1,(),()()1(,,1.)(,10,)1(,10)2(1111∞+<<->∞→∞→<<-=--=>⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅=≤≤-+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤-∞→∞→-++的定义域为时当的定义域为时当综上所述时时当时当进行讨论须对的定义域为求由时即当时当时即当知从当x f b b bx f b x n b b b b b b x b n b b b x x f n x x x x x b n x f x x x n y n x x f x x y y n n n n n n n n n n n n n .1)(,)(,1,,1,)(,0)()(,0)(111)()()()1()()()(,,),1,1(,)(,11,1)3(11的交点的图象没有横坐标大于的图象与故函数成立恒有时可知当仿上述证明时当成立其次即有所以故又此时有使存在对任意的成立恒有时先证明当x y x f x x f x b x x f x x f x x f x x f x bb n x f x x f x x f n x x x x b x f x f x x x x b b x x x f b b x b n n n n n n n n n n n nn n n n =<><>>->->-=+⋅⋅⋅++>=->-⇒≥->-=-≤<-∈<-<<>-+8． （I ）4945=a ;（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j ;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j ……第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此j j i j i ij j i i a ij ++=++=-++-+=)12(2)1)(12()1(34,要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij , 所以122008+-=i ij , 当1=i 时，得669=j 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得j j i N ++=)12(从而12)12(212+++=+j j i N )12)(12(++=j i 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得)12)(12(12++=+l k N , 从而kl a l l k N =++=)12(可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．9． （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞． （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围．研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得()n n d d a +++=+Λ110)1(10⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+.1),1(10,1,11101d n d d d n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等． 10． 因为cosA= b 2+c 2－a 22bc = 12 ,即A=60°,于是sin30°= r 1－r 2 r 1+r 2 = 12 得 r 2 r 1 = 13,同理r n r n －1= 13, 所以面积的和S=πr 121－19 = 98πr 12,又r1= bc sin A a +b +c =5 3－ 216 11．93．由 a 1+ a 3+ a 5+…+ a 97=(a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98)－49可得． 12．（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a a a aQ a a aP a a Q ⋅⋅++-∴,121n n a aa ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a aa a a a a a Λ==⋅=-++-+3222221222321)1()1()1(n n a a a a a=1211211121212221)()1()1(----+-+++==n n n n n aa a a a a aΛ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-n k n k k nk k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)(（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n 因此∑∑∑=++-=+-=++-≤-=-n k i i i n i k k k nk k k k a a a a a a a a a 122111112112121121121)()()(∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。

等差数列的前n项和无锡市第一中学高劲松数学5,第二章2.2.3，P.42—44教学目标：理解等差数列前n项和求和公式，会推导、能简单应用，并感受、领悟其蕴含的数学文化、思想方法。

教学重点：等差数列的前n项和求和公式的理解、推导及简单应用。

难点：等差数列前n项求和公式的推导方法的探索。

教学方法：启发、探究，并结合多媒体辅助教学。

教学过程：情境引入：今年是中华人民共和国成立70周年，各个地方都组织了丰富多彩的活动为祖国母亲庆生。

我校也准备了一台晚会。

现有一距我校较近的剧院，该剧院有27排座位，第一排有24个，从第二排开始，后面的每一排都比前一排多2个座位（投影剧院示意图）。

我校师生共2400人，计划分两批参加晚会活动。

如果你是本次活动的组织者，你需要考虑什么问题呢？生：这个剧院座位是否有1200个？师：那你准备怎么计算？生：242628+++__?师：最后一个数是多少，即第27排有多少个座位？生：按等差数列通项公式，求出第27项即可，271(271)2426276a a d=+-=+⨯=个.(板书) 24262876++++师：这是一个等差数列，我们要求它的和，这就是我们这节课要研究的课题：等差数列的前n项和。

（板书）师：我们怎么计算这个结果呢？情况一：生:(2476)(2674)(4852)5010013501350+++++++=⨯+=.师:这位同学巧妙的利用了等差数列的性质,首项与末项配对,第二项与倒数第二项配对,下标和相等,项的和也相等.因为是奇数项,所以13对以后会留下单独一项——50,最后加上50,得到总数1350，这说明了一次可以坐下1200人.还有别的计算方法吗？情况二：生:(2476)2721350+⨯÷=师：这么做的依据是什么？1生：（什么都说不出来）师：华罗庚先生说过，数形结合百般好，隔离分家万事休。

看看剧场座位示意图能否给我们一些启发？生：（依然无语）师：40是第一排的座位数，100是最后一排的座位数，能否在图上构造40+100？生：把梯形倒置，拼成一个平行四边形，…2.生：梯形面积公式。

高三数学等差数列与等比数列苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：等差数列与等比数列［学习过程］ 一、高考要求1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数．2、理解数列的通项公式的意义．3、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n 项和的公式，能运用公式解决一些简单问题．4、能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．了解等差数列与一次函数的关系．5、理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n 项和的公式，能运用公式解决一些简单问题．教学重点：等差数列与等比数列．教学难点：对两个基本数列的理解与运用，以及转化的思想．二、基础知识要点2. 看数列是不是等差数列有以下四种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a （2≥n ） ③b kn a n +=（k n ,为常数）.④S n =an 2+bn （其中a ，b 为常数）3. 看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n n a a a （2≥n ，011≠-+n n n a a a ）①注①：1）ac b =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即ac b =、b 、c 等比数列.2）ac b =（ac ＞0）→为a 、b 、c 成等比数列的充分不必要条件．3）ac b ±=→为a 、b 、c 成等比数列的必要不充分条件． 4）ac b ±=且0ac >→为a 、b 、c 成等比数列的充要条件．注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③n n cq a =（q c ,为非零常数）.④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1x ＞）成等比数列. 数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n[注]：①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列的充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列的充分条件）.②等差数列{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 4. 等差数列和的性质（1）若{}n a 是等差数列，则*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等差数列； 若{}{}n n a b 、成等差数列，则{}n n a b ±成等差数列；（2）①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n n a a S S 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n .5. 等比数列和的性质（1）若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}n nab 成等比数列；（2）若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列．当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.【典型例题】例1. 完成下列小题（1）等差数列{}x a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（C ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 （2）（重庆文11）设a a b +-113和是的等比中项，则a +3b 的最大值为（B ） A. 1B. 2C. 3D. 4．（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= 7 ．（4）若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =（D ）A. 4B. 2C.-2D. -4例2. 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（ ）A.67B.57C.37D.17解：逐步计算，可得167a =，21251,77a =-=31031,77a =-=46,7a =51251,...77a =-= 这说明数列{a n }是周期数列， 3.T =而20362=⨯+， 所以75a 20=．应选B点评：分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．例3. 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；解法一：S 32S 162S 27630 5.S 192S S 354d d ⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⇒=⎨⎨⎪⎩⎪⎩偶奇奇偶偶奇＝＝＝＋＝ 解法二：设等差数列首项为1a ，公差为d ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒=⋅⨯⨯+⋅⨯⨯++=⋅⨯⨯+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a da d d a d a 解法三：21276111126()S 322S 326S 27() 5.2S 27S 354a a a a a a d ⎧+⎪==⎪⎧⎪+⇒⇒=⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎩偶7奇611267＝＝＝12(a +a )==6(a +a )=2例4. 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数 解：设这五个数为:a-2d ， a-d ，a ，a+d ，a+2d.则222222251852(2)()()(2)93115775111,1.33333333a d a d a a d a d a a d a d a a d a d d -+-+++++==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨-+-+++++==±⎪⎪⎩⎩五个数为：-，，，，； ，，，-例5. （1）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a n +2S n ·S n-1=0（n ≥2）又a 1=12，求证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（2）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=2n n +S n （n ∈N ＊），求证n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列．（1）证明：S n -S n-1+2S n ·S n-1=0（n ≥2），若存在某个S n ＝0，则S n －1＝0，可推出a 1=0，矛盾．S n ≠0，两边同除以S n ·S n-1．得∴1112.n n S S --=-∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）证明：n 1n n n 1n n 1n S n2n 2S S n 2n S S S n 2n a +=⇒+=-⇒+=+++ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⇒⋅=++n S n S n S n n n 212是以1为首项，2为公比的等比数列．例6. 设数列{a n }前n 项的和为 S n ，且*).(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-其中m 为常数，0,3≠-≠m m 且（1）求证：{a n }是等比数列；（2）若数列{a n }的公比满足q=f （m ）且1113,()(*,2),2n n b a b f b n N n -==∈≥ 求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列，并求n b解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得 1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a ma m +∴=+ {}n a ∴是等比数列．（2）由111==a b ，()32+==m mm f q ，2≥∈n N n 且时 ()322323111+⋅==---n n n n b b b f b ，得 311133111=-⇒=+---n n n n n n b b b b b b ．∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是以1为首项，31为公差的等差数列，∴323111+=-+=n n b n ， 故有23+=n b n ． 点评：为了求数列{}n b 的通项，用取“倒数”的技巧，得出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例7. 在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x（1）求点n P 的坐标；（2）设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ ． （3）设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ∈，其中1a 是T S 中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n13533,44n n y x n ∴=⋅+=--35(,3)24n P n n ∴----（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n n n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n（3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y,ST T ∴=T 中最大数171-=a设数列}{n a 的公差为d ，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得24812,9d -<<- **12(),24,724().n n a T d m m N d a n n N ∈∴=-∈∴=-∴=-∈又说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大．（1）、（2）两问运用几何知识算出n k ，解决（3）的关键在于算出ST 及求数列{}n a 的公差．【模拟试题】1. 数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列若a n =b n ，则n 的值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 72. 在等差数列{a n }中，a m =n ，a n =m ，则a m+n 的值为（ ）A. m+nB.)(21n m + C.)(21n m - D. 03. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39，a 2+a 5+a 8=33，则a 3+a 6+a 9的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 24 D. 214. 一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为（ ）A. 4∶5B. 5∶13C. 3∶5D. 12∶135. 在等差数列{a n }中，S m =S n ，则S m+n 的值为（ ）A. 0B. S m +S nC. 2（S m +S n ）D.)(21n m S S + 6. 数列{a n }的前n 项和S n =n 2+1是a n =2n-1成立的（ ）A. 充分但不必要B. 必要但不充分C. 充要条件D. 既不充分又不必要 7. 在等差数列{a n }中，S p =q ，S q =p ，则S p+q 的值为（ ）A. p+qB. -（p+q ）C. p 2-q 2D. p 2+q 28. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+……+a 99=0，则（ ） A. a 1+a 99>0 B. a 2+a 98<0 C. a 3+a 97=0 D. a 50=50 9. 若数列{a n }为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为（ ） A. 60B. 85C. 2145D. 其它值10. 已知数列{a n }的通项公式为a n =（-1）n+1（4n-3），则它的前100项之和为（ ） A. 200 B. –200 C. 400 D. -400 11. 若数列{a n }由a 1=2，a n+1=a n +2n （n 1≥）确定，则a 100的值为（ ）A. 9900B. 9902C. 9904D. 9906 12. 已知等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，a 1≠d ，若这个数列的前20项的和为S 20=10M ，则M 等于（ ）A. a 4+a 16B. a 20+dC. 2a 10+dD. a 2+2a 1013. 若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0（a b ≠）的四个根可以组成首项为41的等差数列，则a+b 的值为（ ）A.83 B.2411 C.2413 D.7231 14. 已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2+C （C 为常数），求数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是不是等差数列．15 .设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =nS 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21，求b n ．16. （07天津文20）．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （I ）证明数列{}n a n -是等比数列； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（III ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．【试题答案】1. B2. D3. B4. C5. A6. D7. B8. C 9. B 10. B 11. B 12. C 13. D14. 解：当n=1时，a 1=S 1=1+C当n 2≥时，a n =S n -S n-1=(n 2+C)-[(n 2+C)]-[(n-1)2+C]=2n-1．∴a n =⎩⎨⎧-+1n 21C 21≥=n n若C=0，a n =2n-1，此时a n -a n-1=2(n 2≥){a n }为等差数列． 若C ≠0，C+1≠1，{a n }不是等差数列．15. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯++⨯+=⨯++21223324552122331)2(1111d a d a d a d a ②① 由①，得a 1=d 由②，得8a 1+13d=21．故a 1=d=1．∴S n =222,2n n n b n n+=+． 16. （I ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （II ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． （III ）证明：对任意的n ∈*N ，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*N 皆成立．。