2013届高三数学一轮复习课时作业(29)等比数列B理新人教B版

课时规范练28基础巩固组1.(2024·山东潍坊高三月考)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{a n}的公比为()A. B. C.3 D.答案:D解析:设等比数列{a n}的公比为q,因为S1,2S2,3S3成等差数列,所以S1+3S3=2×2S2,所以4a1+3a2+3a3=4a1+4a2,化为3a3=a2,解得q=.故选D.2.设数列{a n}满意a1=1,a n+1=a n,若a1a2a3…a n=128,则n=()A.4B.5C.6D.7答案:C解析:由题意得a n=,因此a1a2a3…a n==128,所以且n∈N*,可得n=6.故选C. 3.(2024·山东东营高三月考)已知等比数列{a n}满意a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则的值为()A.20B.10C.5D.答案:B解析:由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2,所以=10.故选B.4.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+1+2m(m∈R),则=()A.-B.C.-D.答案:A解析:当n=1时,a1=22+2m(m∈R);当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1+2m-(2n+2m)=2n.因为{a n}为等比数列,所以a1=22+2m=2,得m=-1,所以=-.故选A.5.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满意=9,,则数列{a n}的公比为()A.-2B.2C.-3D.3答案:B解析:设数列{a n}的公比为q,若q=1,则=2,与题中条件冲突,故q≠1.∵=q m+1=9,∴q m=8.∵=q m=8=,∴m=3,∴q3=8,∴q=2.故选B.6.(2024·江苏无锡高三模拟)已知等比数列{a n},a15=15,则9a9+a21的最小值为()A.70B.90C.135D.150答案:B解析:设{a n}的公比为q,则a21=a15·q6,a15=a9·q6,结合a15=15>0可得a9>0,a21>0.9a9+a21≥2=6a15=90,当且仅当a9=5,a21=45时,等号成立,故9a9+a21的最小值为90.故选B.7.(多选)(2024·天津一中高三月考)已知各项均为正数的等比数列{a n},a1=2,a4=2a2+a3,设其公比为q,前n项和为S n,则()A.q=2B.a n=2nC.S10=2 047D.a n+a n+1<a n+2答案:ABD解析:由a4=2a2+a3,可得a1q3=2a1q+a1q2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.又等比数列{a n}的各项均为正数,可得q>0,所以q=2,故A正确;数列{a n}的通项公式为a n=a1q n-1=2n,故B正确;S10==211-2=2046,故C不正确;因为a n+a n+1=2n+2n+1=3·2n,a n+2=2n+2=4·2n,所以a n+a n+1<a n+2,故D正确.故选ABD. 8.在数列{a n}中,a1=2,(n2+1)a n+1=2(n2-2n+2)a n,则a n= .答案:解析:∵(n2+1)a n+1=2(n2-2n+2)a n,即(n2+1)·a n+1=2[(n-1)2+1]·a n,∴{[(n-1)2+1]·a n}是首项为2,公比为2的等比数列,故[(n-1)2+1]·a n=2n,∴a n=.9.(2024·安徽蚌埠高三期中)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若+2a2a6=8 100,S4-S2=36,则S2 023= .答案:解析:因为+2a2a6=+2a3a5=(a3+a5)2=8100,所以a3+a5=90.因为S4-S2=a3+a4=36,所以解得则a1=1,S2024=.综合提升组10.已知公比不为1且各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则()A.A+C>2BB.AC<B2C.AC>B2D.A+C<2B答案:B解析:设公比为q,则B=A+Aq n,C=A+Aq n+Aq2n,A+C-2B=A(q2n-q n)=Aq n(q n-1),所以当q>1时,A+C>2B,当0<q<1时,A+C<2B,故A,D错误;又AC=A2(1+q n+q2n),B2=A2(1+2q n+q2n),且q>0,故AC<B2,故C错误,B正确.故选B.11.(2024·湖北天门高三模拟)已知数列{a n}满意a1=1,a2=6,且a n+1=4a n-4a n-1(n≥2,n∈N*).(1)证明数列{a n+1-2a n}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.解:(1)因为a n+1=4a n-4a n-1(n≥2,n∈N*),所以a n+1-2a n=2a n-4a n-1=2(a n-2a n-1).又因为a2-2a1=4,所以{a n+1-2a n}是以4为首项,2为公比的等比数列.因此a n+1-2a n=4×2n-1=2n+1,变形得=1,所以是以为首项,1为公差的等差数列,所以+n-1=n-,所以a n=(2n-1)2n-1.(2)因为T n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)2n-1, ①所以2T n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)2n, ②①-②得-T n=1+22+23+…+2n-(2n-1)2n=1+-(2n-1)2n=2n+1-(2n-1)2n-3,所以T n=(2n-1)2n-2n+1+3=(2n-3)2n+3.创新应用组12.已知公比不为1的各项均为正数的等比数列 {a n}的前n项和为S n,数列{b n}满意b n=,则下列不等式中恒成立的是()A.7b2≤8b6,b2≥b4+B.7b2≤8b6,b2≤b4+C.3b3≤4b9,b4≥b8+D.3b3≤4b9,b4≤b8+答案:D解析:设数列{a n}的公比为q(q>0,q≠1),则S n=,S2n=,∴b n==1+q n>0.∵=q4-q2+,令q2=t(t>0且t≠1),则=t2-t+,∴大小关系不确定,即7b2与8b6大小关系不确定.∵=q6-q3+=q3-2≥0,即,∴3b3≤4b9.又b4-b8-=1+q4-1-q8-=-q8+q4-=-q4-2≤0,即b4≤b8+,故选项D正确.故选D.。

课时作业(二十九) [第29讲 等比数列][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 2．在等比数列{a n }中，若首项a 1＝1，公比q ＝4，则该数列的前5项和S 5＝________. 3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________________________________________________________________________；a ·c ＝________. 4．已知等比数列{}a n 中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是____________________． 能力提升 5．[2011·镇江统考] 在等比数列{a n }中，若a 7·a 9＝4，a 4＝1，则a 12的值是________．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.7．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________. 8．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________． 9．[2011·上海徐汇区诊断] 设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的________条件．10．[2011·南京一模] 已知正项数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ·a q ，若a 2＝4，则a 9＝________.11．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是________． 12．设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论：①0<q <1；②T 198<1；③a 99·a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199.其中正确结论的序号是________．13．(8分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .14．(8分)[2011·嘉兴模拟] 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且满足3a n ＝2S n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12为等比数列；(2)记T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，求T n 的表达式．15．(12分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n n 为奇数，a n －2n n 为偶数，且b n ＝a 2n －2，n ∈N *.(1)求a 2，a 3，a 4；(2)求证：数列{b n }为等比数列，并求其通项公式； (3)求和T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n .16．(12分)[2011·南京模拟] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列．(1)证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3；(2)设b n ＝5n －(－1)n a n (n ∈N *)．若b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立，求a 1的取值范围．课时作业(二十九)【基础热身】1．2·3n －1 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 5＝a 1q 4.依题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6， a 1q 4＝162，解此方程组，得a 1＝2, q ＝3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．2．341 [解析] 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，q ＝4，∴S 5＝a 11－q 51－q ＝1－451－4＝341.3．－3 9 [解析] 由等比数列的性质可得ac ＝(－1)×(－9)＝9，b ·b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.4．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝q ＋1q＋1.当q >0时，1q＋1＋q ≥3；当q <0时，1q＋1＋q ≤－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 【能力提升】5．4 [解析] a 7·a 9＝4⇒a 28＝4，a 8与a 4同号，故a 8＝2， ∴q 4＝a 8a 4＝2⇒a 12＝a 8·q 4＝4.6.73 [解析] 设公比为q ，则S 6S 3＝1＋q 3S 3S 3＝1＋q 3＝3⇒q 3＝2， 于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 7.152[解析] 由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 得：q n ＋1＋q n ＝6q n －1， 即q 2＋q －6＝0，q >0，解得：q ＝2，又a 2＝1，所以，a 1＝12，S 4＝121－241－2＝152.8．2 2 [解析] 由已知得(a 4a 5)4＝16，因为a n >0，所以a 4a 5＝2，所以a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.9．充分必要 [解析] 因为{a n }是首项大于零的等比数列，所以当a 1<a 2时，有q >1，所以数列{a n }是递增数列，反之，若数列{a n }是递增数列，则a n <a n ＋1，所以a 1<a 2.10．512 [解析] 由a p ＋q ＝a p ·a q ，a 2＝4，可得a 2＝a 21＝4⇒a 1＝2，又a 4＝a 22＝16，a 8＝a 24＝256，a 9＝a 1a 8＝512.11．S 4a 5<S 5a 4 [解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0；当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q(q －1)＝－a 21q 3<0.12．①③④ [解析] 由a 1>1，a 99a 100>1，(a 99－1)·(a 100－1)<0，∴a 99>1,0<a 100<1,0<q <1.a 99a 101＝a 2100<1，由T n ＝a 1a 2…a n ＝a n1·qn n －12，若T n <1，即a n 1·qn n －12<1，即a 1·q n －12<1，由a 99>1,0<a 100<1，∴a 1·q 99<1，知要求T n <1的最小自然数，即99≤n －12，∴n ≥199，∴T n <1的最小自然数为199，∴T 198<1不正确．13．[解答] (1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2.所以a n ＝2·2n －1＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12，从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .14．[解答] (1)证明：n ＝1时，3a 1＝2S 1＋1＝2a 1＋1. ∴a 1＝1.当n ≥2时，由3a n ＝2S n ＋n ，① 得3a n －1＝2S n －1＋n －1，②①－②得3a n －3a n －1＝2S n ＋n －2S n －1－n ＋1＝2(S n －S n －1)＋1＝2a n ＋1， 即a n ＝3a n －1＋1，∴a n ＋12＝3a n －1＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋12.又a 1＋12＝32≠0，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．(2)由(1)得a n ＋12＝32·3n －1，即a n ＝32·3n －1－12，代入①得S n ＝34·3n－14(2n ＋3)，∴T n ＝S 1＋S 2＋...＋S n ＝34(3＋32＋33＋ (3))－14(5＋7＋…＋2n ＋3) ＝34·31－3n1－3－n n ＋44＝98(3n －1)－n n ＋44. 15．[思路] (1)利用分段函数的性质求解．(2)要证明{b n }是等比数列，可考虑在n ≥2时寻找b n 与b n －1的关系，结合所给的关系式把它们用数列{}a n 中的项表示出来即可．(3)利用(2)的结论，求出b n ，再利用两个数列的关系求解．[解答] (1)a 2＝32，a 3＝－52，a 4＝74.(2)由于b n ＝a 2n －2，n ∈N *，当n ≥2时，b n ＝a 2n －2＝a (2n －1)＋1－2 ＝12a 2n －1＋(2n －1)－2 ＝12[a 2n －2－2(2n －2)]＋(2n －1)－2 ＝12[a 2(n －1)－2] ＝12b n －1. 又b 1＝a 2－2＝－12，且易知b n ≠0，∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(3)∵a 2n ＝b n ＋2， ∴T n ＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＋2n＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＋2n －1. [点评] (1)判断数列{a n }为等比数列的常用方法有：①证明a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)；②a 2n ＝a n －1a n ＋1；(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的连续三项不成等比数列来证明，也可以用反证法．16．[解答] (1)证明：因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3a 1＋1·4n －2，n ≥2.显然，当n ≥2时，a n ＋1a n＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列．②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4，即3a 1＋1a 1＝4.解得a 1＝3.(2)当n ＝1时，b 1＝5＋a 1；当n ≥2时，b n ＝5n －(－1)n ×3(a 1＋1)×4n －2(a 1>－1)．①当n 为偶数时，5n －3(a 1＋1)×4n －2<5n ＋1＋3(a 1＋1)×4n －1恒成立．即15(a 1＋1)×4n －2>－4×5n恒成立， 故a 1∈(－1，＋∞)．②当n 为奇数时，b 1<b 2且b n <b n ＋1(n ≥3)恒成立．由b 1<b 2知，5＋a 1<25－3(a 1＋1)，得a 1<174.由b n <b n ＋1对n ≥3的奇数恒成立知，5n ＋3(a 1＋1)×4n －2<5n ＋1－3(a 1＋1)×4n －1恒成立，即15(a 1＋1)×4n －2<4×5n恒成立，所以a 1＋1<203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2恒成立．因为对n ≥3的奇数，203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2的最小值为253，所以a 1<223.又因为174<223，故－1<a 1<174.综上所述，b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立时，a 1∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，174.。

课时作业(二十八)B [第28讲 等差数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·昌平二模] 数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋3，且a 3＝8，则S 10等于( )A ．155B ．160C ．172D ．2402．[2011·福州质检] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．2603．[2011·佛山一模] 在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．244．[2011·辽宁卷] S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 能力提升5．[2011·汕头一模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A.12B ．1C ．2D ．36．[2011·漳州质检] {a n }是首项为1，公差为2的等差数列，令b n ＝a 3n ，则数列{b n }的一个通项公式是( )A ．b n ＝3n ＋2B ．b n ＝4n ＋1C ．b n ＝6n －1D ．b n ＝8n －37．[2011·江西卷] 设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．248．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．89．[2011·东城一模] 在等差数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.10．[2011·东城综合] 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________. 11．[2011·海淀二模] 已知数列{a n }满足a 1＝t ，a n ＋1－a n ＋2＝0(t ∈N *，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t )，则f (t )＝________.12．(13分)[2012·豫南九校联考] 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .难点突破13．(12分)[2010·四川卷] 已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m ＋a2n－1＝2a m＋n－1＋2(m－n)2.－1(1)求a3，a5；(2)设b n＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列；(3)设c n＝(a n＋1－a n)q n－1(q≠0，n∈N*)，求数列{c n}的前n项和S n.课时作业(二十八)B【基础热身】1．A [解析] 由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差d ＝3的等差数列，由a 3＝8，得a 1＋2d ＝8，a 1＝2，所以S 10＝10×2＋10×92×3＝155，故选A. 2．C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＋a 9＋a 11＝30，得a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30，即a 1＋6d ＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝130，故选C. 3．B [解析] 由已知，有a 1＋(k －1)d ＝7a 1＋7×62d ，把a 1＝0代入，得k ＝22，故选B.4．－1 [解析] 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d 解得4(a 1＋3d )＋2d ＝0，即2a 4＋d ＝0，所以a 4＋(a 4＋d )＝0，即a 5＝－a 4＝－1.【能力提升】5．C [解析] 由S 33－S 22＝1，得13(3a 1＋3d )－12(2a 1＋d )＝1，解得d ＝2，故选C. 6．C [解析] 由已知，得{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列{b n }的前4项为5,11,17,23，即数列{b n }是首项b 1＝5，公差为6的等差数列，它的一个通项公式为b n ＝6n －1，故选C.7．B [解析] 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.8．C [解析] 方法1：S 3＝S 11得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列性质可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．方法2：由S 3＝S 11可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时S n 最大．方法3：根据a 1＝13，S 3＝S 11，这个数列的公差不等于零，说明这个数列的和先是单调递增的，然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当S 3＝S 11时，只有n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 9．42 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 3＝13，得2a 1＋3d ＝13，解得d ＝3， ∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.10．20 [解析] 由调和数列的定义，得x n ＋1－x n ＝d ，即数列{x n }是等差数列，则x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11，∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 1＋x 20)＝200，故x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.11.⎩⎨⎧t 2＋2t 4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数) [解析] 由已知a n ＋1－a n ＝－2，则数列{a n }是公差为－2的等差数列，数列{a n }的前n 项和为S n ＝nt ＋n (n －1)2×(－2) ＝－n 2＋(t ＋1)n＝－⎝⎛⎭⎫n －t ＋122＋(t ＋1)24. 若t 为奇数，t ＋12是整数，则当n ＝t ＋12时，S n 有最大值(t ＋1)24； 若t 为偶数，则t ＋12不是整数，则当n ＝t 2或n ＝t 2＋1时，S n 有最大值t 2＋2t 4.故f (t )＝⎩⎨⎧t 2＋2t 4(t 为偶数)，(t ＋1)24(t 为奇数).12．[解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 【难点突破】13．[解答] (1)由题意，令m ＝2，n ＝1，可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6. 再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得 a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8. 所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列，则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2.另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2. 那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1 ＝8n －22－2n ＋1 ＝2n .于是，c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)．当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1.两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n .上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1)－2nq n＝2·1－q n1－q－2nq n ＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)(q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).。

§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称G 为a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)．(2)前n 项和公式：S n ，＝a 1－a n q 1－q，q ≠1且q ≠0.3．等比数列的常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N ＋.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }数列(b ，p ，q ≠0)．(4)1>0，>11<0，q <1，则等比数列{a n }递增．1>0，q <11<0，>1，则等比数列{a n }递减．4．等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠－1,前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．3．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．(3)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(√)2．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．3．在等比数列{a n }中，若a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为()A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32答案D解析由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，∴a 2＝a 3q ＝32或－3.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.答案a ≠0，a ≠1解析因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，Sn ＝a (1－a n )1－a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4等于()A.158B.658C ．15D ．40答案C 解析方法一若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q －4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1或q 2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q ＝15.方法二由题知1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，即q 3＋q 4＝4q ＋4q 2，即q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q －2)(q ＋1)(q ＋2)＝0.由题知q >0，所以q ＝2.所以S 4＝1＋2＋4＋8＝15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn a n 等于()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，1q 4－a 1q 2＝12，1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(q 2－1)a 3(q 2－1)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析由题意可得，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2，即a 1q ＝2a 1＋2，①当n ＝2时，a 3＝2(a 1＋a 2)＋2，即a 1q 2＝2(a 1＋a 1q )＋2，②联立①②1＝2，＝3，则a 4＝a 1q 3＝54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为()A ．8B ．10C ．12D ．16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则{a n }是以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，即127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴a n ＝8×2n －1，∴log 2(a 3a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，a 2＝－1，且a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1＋3a n }为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0，可得a n ＋2＋3a n ＋1＝2(a n ＋1＋3a n )，即a n ＋2＋3a n ＋1a n ＋1＋3a n＝2(n ∈N ＋)，∴{a n ＋1＋3a n }是以a 2＋3a 1＝5为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n ＋1＋3a n ＝5·2n －1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1－2n ＝－3(a n －2n －1)，∴a n ＋1－2n a n －2n －1＝－3，∴{a n －2n －1}是以a 1－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，∴a n －2n －1＝1×(－3)n －1，∴a n ＝2n －1＋(－3)n －1，S n ＝1－2n 1－2＋1－(－3)n 1－(－3)＝2n －34－(－3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝cq n －1(c ，q 均为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数，且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝3，b 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n .(1)证明：{a n ＋b n }和{a n －b n }都是等比数列；(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n ，所以a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )，a n ＋1－b n ＋1＝－(a n －b n )，又由a 1＝3，b 1＝2得a 1－b 1＝1，a 1＋b 1＝5，所以数列{a n ＋b n }是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a n －b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋b n ＝5×3n －1，a n －b n ＝(－1)n －1，所以a n ＝5×3n －1＋(－1)n －12，b n ＝5×3n －1－(－1)n －12，所以a n b n ＝5×3n －1＋(－1)n －12×5×3n －1－(－1)n －12＝25×32n －2－14＝254×9n －1－14，所以S n ＝254×1－9n 1－9－n 4＝25×(9n －1)－8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.答案－2解析方法一{a n }为等比数列，∴a 4a 5＝a 3a 6，∴a 2＝1，又a 2a 9a 10＝a 7a 7a 7，∴1×(－8)＝(a 7)3，∴a 7＝－2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，∵a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则12m m a a ·…·n m a ＝12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则1m a ＋2m a ＋…＋n m a ＝1k a ＋2k a ＋…＋n k a .典例已知等差数列{a n }，S n 为前n 项和，且a 9＝5，S 8＝16，则S 11＝________.答案33解析S 8＝8(a 1＋a 8)2＝16，∴a 1＋a 8＝4，又∵a 9＋a 1＋a 8＝3a 6，∴a 6＝3，故S 11＝11a 6＝33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N ＋)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案100解析因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为________．答案－5解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，且S 10＝20，不妨令其公比为q (q >0)，则S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝20q 2－20q ＝－5，故当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10的最小值为－5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝20，a 2a 8＝2，则1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝________.答案10解析1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝＝a 2＋a 8a 2a 8＋a 4＋a 6a 4a 6＝a 2＋a 8＋a 4＋a 6a 2a 8＝202＝10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中，q ＝12，S 100＝150，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100的值是________．答案50解析设T 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99，T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100，所以T 2T 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12，所以S 100＝T 1＋T 2＝2T 2＋T 2＝3T 2＝150，所以T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50.课时精练一、单项选择题1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ＝12，且a 3a 4＝132，则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4＝132，得a 1q 2·a 1q 3＝132，即a 21＝132，所以a 21＝1.又a n >0，所以a 1＝1，a 6＝a 1q 5＝1＝132.2．若1，a 2，a 3,4成等差数列；1，b 2，b 3，b 4,4成等比数列，则a 2－a 3b 3等于()A.12B ．－12C ．±12D.14答案B解析由题意得a 3－a 2＝4－13＝1，设1，b 2，b 3，b 4，4的公比为q ，则b 3＝q 2>0，b 23＝1×4＝4，解得b 3＝2，a 2－a 3b 3＝－12＝－12.3．(2023·济宁模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.4．已知等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3＋a 5＝5，则a5a 7等于()A.32B.23C.16D ．6答案A解析由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3＋a 5＝5，∴a 3，a 5为方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，解得a 3＝2，a 5＝3或a 3＝3，a 5＝2，由{a n }为递减数列得a n >a n ＋1，∴a 3＝3，a 5＝2，∴q 2＝a 5a 3＝23，则a 5a 7＝1q 2＝32.5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为()A ．6B ．12C ．18D ．42答案D解析设第n (n ∈N ＋)天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列{a n }是公比为12的等比数列，1－12＝6332a 1＝378，解得a 1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a 4＋a5＋a 6＝192×18×1－12＝42.6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8等于()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，不符合题意，所以q ≠1.由S 4＝－5，S 6＝21S 2，可得a 1(1－q 4)1－q ＝－5，a 1(1－q 6)1－q ＝21×a 1(1－q 2)1－q ，①由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ·(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54，当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．综上，S 8＝－85.二、多项选择题7．(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列，以下结论正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．若a 3＝2,a 7＝32，则a 5＝±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{a n }是递增数列D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则r ＝－1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，对于A ，a 2n ＋1a 2n ＝＝q 2，且a 21≠0，则{a 2n }是等比数列，故A 正确；对于B ，由a 3＝2，a 7＝32，得q 4＝16，即q 2＝4，所以a 5＝a 3q 2＝2×4＝8，故B 错误；对于C ，由a 1<a 2<a 31(q －1)>0，1q (q －1)>0，>0，1(q －1)>0，a n ＋1－a n ＝q n －1·a 1(q －1)>0，即∀n ∈N ＋，a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，显然q ≠1，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，而S n ＝3n ＋r ，因此q ＝3，a 1q －1＝1，r ＝－a 1q －1＝－1，故D 正确．8．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足a 1>1，a 2022>1，a 2023<1，则()A ．a 2022a 2024－1<0B ．S 2022＋1<S 2023C ．T 2022是数列{T n }中的最大项D ．T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1，a 2023<1，∴0<a 2023<1，又a 2022>1，∴0<q <1.∵a 2022a 2024＝a 22023<1，∴a 2022a 2024－1<0，故A 正确；∵a 2023<1，∴a 2023＝S 2023－S 2022<1，即S 2022＋1>S 2023，故B 错误；∵0<q <1，a 1>1，∴数列{a n }是递减数列，∵a 2022>1，a 2023<1，∴T 2022是数列{T n }中的最大项，故C 正确；T4045＝a1a2a3·…·a4045＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)＝a40451q1＋2＋3＋…＋4044＝a40451q2022×4045＝(a1q2022)4045＝a40452023，∵0<a2023<1，∴a40452023<1，即T4045<1，故D错误．三、填空题9．(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若8S6＝7S3，则{a n}的公比为________．答案－1 2解析若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·a1(1－q6)1－q＝7·a1(1－q3)1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－1 2 .10．设等比数列{a n}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac，∴b2＝(100－b)(200－b)，∴b＝200 3.11．在等比数列{a n}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.因为a 9＋a 10＝4，a 19＋a 20＝24，所以a 19＋a 20＝(a 9＋a 10)q 10＝24，解得q 10＝6，所以a 59＋a 60＝(a 9＋a 10)q 50＝4×65＝31104.12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________.答案12n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2n ＝1－a n ，n －1＝1－a n －1，得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝161－116＝四、解答题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和．解(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝3，所以a n ＋1＋2a n ＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，a n ＝3×2n －1－2.(2)由10<a n <2023，得10<3×2n －1－2<2023，即4<2n －1<675，即4≤n ≤10，故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10，所以其和S ＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7＝3×8－10241－2－14＝3034.14．(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N ＋.(1)求{a n }通项公式；(2)设b n ＝a n n ＋1，在数列{b n }中是否存在三项b m ，b k ，b p (其中2k ＝m ＋p )成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．解(1)由题意知，在数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，n ≥2，两式相减可得，a n ＋1－a n ＝3a n ，a n ＋1＝4a n ，n ≥2，由条件知，a 2＝3a 1＋1＝4a 1，符合上式，故a n ＋1＝4a n ，n ∈N ＋.∴{a n }是以1为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝4n －1，n ∈N ＋.(2)由题意及(1)得，在数列{a n }中，a n ＝4n －1，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b n ＝4n －1n ＋1，如果满足条件的b m ，b k ，b p 存在，则b 2k ＝b m b p ，其中2k ＝m ＋p ，∴(4k －1)2(k ＋1)2＝4m －1m ＋1·4p －1p ＋1，∵2k ＝m ＋p ，∴(k ＋1)2＝(m ＋1)(p ＋1)，解得k 2＝mp ，∴k ＝m ＝p ，与已知矛盾，∴不存在满足条件的三项．15．(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p ：数列{a n }是等比数列；q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列，设公比为k ，则a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝k (a 1＋a 2＋…＋a n )，a 3＋a 4＋…＋a n ＋2＝k (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)，于是(a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)2＝k 2(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝(a 3＋a 4＋…＋a n ＋2)(a 1＋a 2＋…＋a n )，即q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)成立；若(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，取a n ＝0，n ∈N ＋，显然{a n }不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．16．(2023·泰安模拟)若m ，n 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同零点，且m ，n ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq ＝________.答案20解析＋n ＝p >0，＝q >0>0，>0，则m ，－2，n 或n ，－2，m 成等比数列，得mn ＝(－2)2＝4.不妨设m <n ，则－2，m ，n 成等差数列，得2m ＝n －2.结合mn ＝4，可得(2m ＋2)m ＝4⇒m (m ＋1)＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，＝1，＝4＝5，＝4⇒pq ＝20.。

课时作业(二) 第2讲 命题、量词与逻辑联结词时间：45分钟 分值：100分基础热身1．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyC ．∀x ＞0，y ＞0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x ＜0，y ＜0，都有x 2＋y 2≤2xy2．命题p ：“∀x ∈R ，x 2－2x ＋3≤0”的否定是( )A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋3≥0B ．∃x 0∈R ，x 0－2x 0＋3>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋3<0D ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3<03．已知命题p ：3≥3；q ：3>4，则下列选项正确的是( )A ．p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 为真B ．p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 为真C ．p 或q 为假，p 且q 为假，綈p 为假D ．p 或q 为真，p 且q 为假，綈p 为假4．2011·湖南六校联考 已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，且命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．能力提升5．2011·大连八中模拟 下列四个命题中的真命题为( )A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈R ，总有x 2－2x －3≥0C ．∀x ∈R ，∃y ∈R ，y 2<xD ．∃x ∈R ，∀y ∈R ，y ·x ＝y6．已知p ：x 2－2x －3≥0，q ：x ∈Z .若p 且q ，綈q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{x |x <－1或x >3，x ∈Z }D ．{x |－1<x <3，x ∈Z }7．2011·仙桃模拟 对于下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x 0<⎝⎛⎭⎫13x 0； p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13x . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 48．若函数f (x )＝－x e x ，则下列命题正确的是( )A ．∀a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1e ，∃x 0∈R ，f (x 0)>a B ．∀a ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，∃x 0∈R ，f (x 0)>a C ．∀x ∈R ，∃a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1e ，f (x )>a D ．∀x ∈R ，∃a ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，f (x )>a 9．下列说法正确的是( )A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20－1≤0”C ．“若a ，b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是奇数”D ．已知命题p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为m ≥210．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．11．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)12．2011·威海模拟 已知命题p ：f (x )＝1－2m x在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式(x －1)2>m 的解集为R .若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．13．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52； 命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“綈p ∨綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④“p ∧綈q ”是假命题．其中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．14．(10分)命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0，有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴无公共点．若命题“p ∨q ”为真命题，而命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．15．(13分)命题p ：方程x 2－x ＋a 2－6a ＝0，有一正根和一负根．命题q ：函数y ＝x 2＋(a －3)x ＋1的图象与x 轴无公共点．若命题“p ∨q ”为真命题，而命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．课时作业(二)【基础热身】1．A 解析 全称命题是∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥2xy 都成立，故选A.2．B 解析 全称命题的否定为特称命题．命题p 的否定为“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋3>0”，故选B.3．D 解析 命题p 为真命题，命题q 为假命题，因此①p 且q 为假，②p 或q 为真，③綈p 为假．4．(－∞，1 解析 綈p 是假命题，则命题p 是真命题，即关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，而m＝－(4x －2x ＋1)＝－(2x －1)2＋1，所以m ≤1.【能力提升】5．D 解析 A 中因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈－2，2，所以A 错误；B 中因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，所以B 错误；C 显然错误；D 中当x ＝1时，即符合题意．综上可知D 正确．6．D 解析 p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z .由p 且q ，綈q 同时为假命题知，p 假q 真，所以x 满足－1<x <3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{} |x －1<x <3，x ∈Z .7．D 解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，p 2正确，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x <1，而log 13x >1，p 4正确．8．A 解析 f ′(x )＝－e x (x ＋1)，由于函数f (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减，故f (x )max＝f (－1)＝1e ，故∀a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1e ，∃x 0∈R ，f (x 0)>a .9．D 解析 对于A ，“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要条件，故A 错；对于B ，命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；对于C ，“若a ，b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a＋b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数”，故C 错；对于D ，若p ∨q 为假命题，则两命题都是假命题．若p 为假，则m ≥0，若q 为假，则有Δ＝m 2－4≥0⇒m ≥2或m ≤－2，若使两命题都是假命题，则m ≥2，故D 正确．10．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>011．真 解析 由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，因此只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．12．0≤m <12 解析 由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，即m <12，由不等式(x －1)2>m 的解集为R ，得m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m <12. 13．③④ 解析 命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以③④正确．14．解答 命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4(a 2－6a )>0，x 1x 2＝a 2－6a <0，解得0<a <6；q ：Δ＝(a －3)2－4＝(a －1)(a －5)<0，解得1<a <5. “p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p 、q 中恰为一真一假，因为(1,5) (0,6)，故只能为p 真q 假，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <6，a ≤1或a ≥5，得a ∈(0,1∪5,6)． 15．解答 命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4(a 2－6a )>0，x 1x 2＝a 2－6a <0，解得0<a <6；q ：Δ＝(a －3)2－4＝(a －1)(a －5)<0，解得1<a <5. “p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p 、q 中恰为一真一假，因为(1,5) (0,6)，故只能为p 真q 假，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <6，a ≤1或a ≥5，得a ∈(0,1∪5,6)．【难点突破】16．解答 若命题p 为真，则0<c <1，由2≤x ＋1x ≤52知，要使q 为真，需1c <2，即c >12. 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12； 当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪0<c ≤12或c ≥1.。

课时作业(二十九)B [第29讲 等比数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2012·某某外国语月考] 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( )A ．511B ．1 023C ．1 533D ．3 0692．[2011·某某模拟] 在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－43．[2011·抚州二模] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则数列{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12 D.1＋524．[2011·某某期末] 在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.能力提升5．[2011·某某二模] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2 011＝3S 2 010＋2 012，a 2 010＝3S 2 009＋2 012，则公比q 等于( )A ．3 B.13 C ．4 D.146．[2011·某某一检] 在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．[2011·丰台一模] 设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( )A ．3或－1B ．3或1C ．3D ．18．[2011·琼海一模] 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 为( )A ．0B ．1C ．－1D ．29．[2011·某某调研] 在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，则{a n }的前6项和等于________．10．[2011·株洲调研] 已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b2的值为________．11．[2011·某某质检] 在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比q为________．12．(13分)[2011·某某二诊] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．(1)证明：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f(b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .难点突破13．(12分)[2011·某某一模] 设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足：b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m 2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈[1,3]，某某数m 的取值X 围．课时作业(二十九)B【基础热身】1．D [解析] 由已知a 2a 4＝144，得a 1q ·a 1q 3＝144，则q 4＝14432＝16，即q ＝2，∴S 10＝a 11－q 101－q ＝31－2101－2＝3 069，故选D.2．B [解析] 根据等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 26，又已知a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 56＝32，即a 6＝2，a 1q 5＝2，∴a 29a 12＝a 1q 82a 1q11＝a 1q 5＝2，故选B. 3．C [解析] 由已知S 1，S 3，S 2成等差数列，得2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，化简，得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，即2q 2＋q ＝0，解得q ＝－12，故选C.4．1 [解析] 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧－4＋4tan A ＝4，13tan 3B ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＝2，tan B ＝3，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1.【能力提升】5．C [解析] 由已知，有a 2 011＝3S 2 010＋2 012，a 2 010＝3S 2 009＋2 012， 两式相减，得a 2 011－a 2 010＝3a 2 010，即a 2 011＝4a 2 010， 则公比q ＝4，故选C.6．C [解析] 由已知，有S 1＝a 1＝4，S 2＝a 1＋a 2＝4(1＋q )，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝4(1＋q ＋q 2)，因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，即(4q ＋6)2＝6(6＋4q ＋4q 2)，解得q ＝3，故选C.7．C [解析] 由数列{a n }是等差数列，得a k ＝a 1＋(k －1)d ，a 2k ＝a 1＋(2k －1)d . ∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项， ∴a 2k ＝a 1a 2k ，即[a 1＋(k －1)d ]2＝a 1[a 1＋(2k －1)d ]，化简，得(k －1)2d 2－a 1d ＝0.把a 1＝4d 代入，得k ＝3，故选C.8．C [解析] 解法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k )－(3＋k )＝6，a 3＝S 3－S 2＝(33＋k )－(32＋k )＝18.由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k )，解得k ＝－1，故选C.解法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c ≠0，c ≠1.设a 11－q＝t ，则 S n ＝a 11－q n 1－q＝－tq n ＋t ＝3n＋k ，∴k ＝t ＝－1，故选C.9．63 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，由a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，得 2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，即2(q ＋2)＝(1＋1)＋(q 2＋2)，化简，得q 2－2q ＝0，解得q ＝2.则数列{a n }的前6项和为S 6＝1－261－2＝63.10．20 [解析] 依题意，得 ①⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，b 2＝ac 或②⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a 2＝bc 或③⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，c 2＝ab ， 由①得a ＝b ＝c 与“a ，b ，c 是递减的等差数列”矛盾； 由②消去c 整理得(a －b )(a ＋2b )＝0，又a >b ，∴a ＝－2b ，c ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20；由③消去a 整理得(c －b )(c ＋2b )＝0，又b >c ，因此有c ＝－2b ，a ＝4b ，a 2＋c 2b2＝20.11．3 [解析] a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)⎪⎪ 41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，又a 4＝a 1q 3，a 1＝23，则q 3＝27，即q ＝3.12．[解答] (1)证明：∵S n ＝(λ＋1)－λa n ， ∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n≥2)，∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ.又a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ为公比的等比数列．(2)由(1)知q ＝f(λ)＝λ1＋λ，∴b n ＝f(b n －1)＝b n －11＋b n －1(n≥2)，故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n －1b n －1＝1(n≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列． ∴T n ＝3n ＋n n －12＝n 2＋5n2.【难点突破】13．[解答] (1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1，② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n －13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，b n ＝2n 3＋29－29⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝6n ＋2＋－21－n9.(3)S n ＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2m 3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n>0，所以由S n ∈[1,3]得11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，注意到，当n 为奇数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32； 当n 为偶数时，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1， 所以1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n的最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n 都有11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，所以43≤2m3≤2，解得2≤m≤3.。

[时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．[2011·泉州质检] 等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－62．[2011·辽宁锦州一模] 在等比数列{a n }中，其前n 项和S n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝( )A ．9n－1 B.12(9n －1)C ．3n－1 D.12(3n －1)3．[2011·沈阳二模] 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( ) A.154 B.152 C.74 D.724．[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.能力提升5．[2010·辽宁卷] 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.1726．[2011·开封二模] 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n 7．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定8．[2011·合肥三模] 已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝( )A ．9或116 B.19或16C.19或116D ．9或16 9．[2011·皖北协作区联考] 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝________.10．[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.11．若数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＋a n ＋1a n＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等比和数列，k 称为公比和．已知数列{a n }是以3为公比和的等比和数列，其中a 1＝1，a 2＝2，则a 2 009＝________.12．(13分)[2011·济南二模] 设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .难点突破13．(12分)[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课时作业(二十九)A【基础热身】1．A [解析] 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36a 2＝12，故选A.2．B [解析] ∵n ≥2时，a n ＝3n －1－(3n －1－1)＝2·3n －1；n ＝1时，a 1＝2也适合上式，∴a n ＝2·3n －1，∴a 2n ＝4·9n －1，∴原式＝41－9n1－9＝12(9n －1)．3．A [解析] 在等比数列{a n }中，S 4＝a 11－241－2＝15a 1，a 3＝a 1·22＝4a 1，则S 4a 3＝154，故选A.4．2 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2， 又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 【能力提升】5．B [解析] 由已知得a 2a 4＝a 23＝1，a 3＝1，又S 3＝7，∴1q 2＋1q ＋1＝7，解得q ＝12或q＝－13(舍去)，∴a 1＝4，故S 5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝314，选B.6．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 5＝a 1＋4d ，a 13＝a 1＋12d ，由a 1，a 5，a 13成等比数列，得a 25＝a 1a 13，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋12d )，化简，得4d 2－a 1d ＝0， ∵a 1＝2，d ≠0，∴d ＝12，S n ＝2n ＋n n －12×12＝n 24＋7n 4，故选A.7．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列、数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6.由于等差数列{a n }的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.8．D [解析] 由已知得a 23＝1，所以a 3＝1或a 3＝－1，设公比为q ，则有a 3q 2＋a 3q＝12，当a 3＝1时，解得q ＝13或q ＝－14，此时a 1＝9或16；当a 3＝－1时，－1q 2＋－1q＝12无解，故选D.9．5 [解析] 由已知条件8a 2－a 5＝0，得8a 1q ＝a 1q 4，即q 3＝8，即q ＝2.又S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q ，则S 4S 2＝1＋q 2＝5.10．－2 2n －1－12 [解析] 由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝121－2n1－2＝2n －1－12.11．21 004[解析] 设b n ＝a n ＋1a n ，则由题意可知b n ＋1＋b n ＝3，由b 1＝a 2a 1＝2，得b 2＝1，b 3＝2，b 4＝1，b 5＝2，…，因此a 1＝1，a 2＝2，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝4，a 6＝8，…，即当n ＝2k －1时，a n ＝2k －1；当n ＝2k 时，a n ＝2k，所以a 2 009＝22 009＋12－1＝21 004.12．[解答] (1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为一等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)①，S n ＝23(b n －1)②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是一等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2，即b n ＝(－2)n.∴S n ＝23[(－2)n－1]．【难点突破】13．[思路] 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，综合运算求解能力和创新思维能力．[解答] (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ∈N *.(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan k ＋1－tan k1＋tan k ＋1·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan k ＋1－tan ktan1－1.所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan k ＋1－tan k tan1－1＝tann ＋3－tan3tan1－n .。

高考数学一轮复习 第29讲 等比数列精品试题 新人教版班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( ) A.23 B.32C.23或32 D ．－23或－32 解析：在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6①又a 4＋a 14＝5②由①、②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝3，a 14＝2.∴a 20a 10＝a 14a 4＝23或32. 答案：C2．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －1 解析：要{a n }是等比数列，{a n ＋1}也是等比数列，则只有{a n }为常数列，故S n ＝na 1＝2n .答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大．3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3等于( )A ．12 B ．23 C ．34 D ．1 3 解析：解法一：∵S 6S 3＝12，∴{a n }的公比q ≠1. 由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q ＝12， 得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 解法二：因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34，故选C. 答案：C4．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．e解析：ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝lne 10＝10，故选B.答案：B5．若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其前10项和是( ) A ．200 B ．150C ．100D ．50解析：由已知得(a n ＋1－a n )2＝0，∴a n ＋1＝a n ＝5，∴S 10＝50.故选D.答案：D6.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13(4n －1) 解析：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a n ＝2n －1，a 1＝1，q ＝2，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．数列{a n }中，n 12(n )2n 1(n .)n a -⎧=⎨⎩-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.解析：S 9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377.答案：3778．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________. 解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35， n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ， 即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝25， 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25， 所以a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1. 答案：35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1 9．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，∵S 2＝7，S 6＝91.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝7，7＋7q 2＋7q 4＝91，∴q 4＋q 2－12＝0，∴q 2＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝a 1(1＋q )(1＋q 2)＝(a 1＋a 1q )(1＋q 2)＝28. 答案：2810．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋)②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列③若S n ＝1－(－1)n ，则{a n }是等比数列④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列．其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)解析：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，{a n }为非零常数列，故a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋)；②若{a n }是等差数列，S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 为an 2＋bn (a ，b ∈R)的形式；③若S n ＝1－(－1)n ，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－(－1)n －1＋(－1)n －1＝(－1)n －1－(－1)n ，而a 1＝2，适合上述通项公式，所以a n ＝(－1)n －1－(－1)n是等比数列；④若{a n }是等比数列，当公比q ＝－1且m 为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不成等比数列．答案：①②③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n .解：(1)由已知，当n ≥2时，2a n ＝(3S n －4)＋(2－32S n －1)，①又a n ＝S n －S n －1，②由①②得a n ＝3S n －4(n ≥2)③a n ＋1＝3S n ＋1－4④③④两式相减得a n ＋1－a n ＝3a n ＋1∴a n ＋1a n＝－12.∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4，即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2q n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 即11(1)1(2).2nn n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩≥(2)解法一：当n ≥2时S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时S 1＝1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－120 也符合上述公式．∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 解法二：由(1)知n ≥2时，a n ＝3S n －4，即S n ＝13(a n ＋4)， ∴n ≥2时，S n ＝13(a n ＋4)＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋43. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝1亦适合上式．∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列，并求b n . 解：(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3(n ≥1)． ∴{a n }是等比数列．(2)由(3－m )S 1＋2ma 1＝m ＋3，解出a 1＝1，∴b 1＝1.又∵{a n }的公比为2m m ＋3，∴q ＝f (m )＝2m m ＋3， n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3， ∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，推出1b n －1b n －1＝13. ∴{1b n }是以1为首项，13为公差的等差数列， ∴1b n ＝1＋n －13＝n ＋23， 又1b 1＝1符合上式， ∴b n ＝3n ＋2. 13．已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，得q 2＋1＝54. 又q >0，∴q ＝12. (2)解法一：∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，即a 1＝－14， 此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列， 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．解法二：由于b n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以b 1＝12＋a 1，b 2＝12＋32a 1，b 3＝12＋74a 1， 若数列{b n }为等比数列，则b 22＝b 1·b 3， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋74a 1，整理得4a 21＋a 1＝0，解得a 1＝－14或a 1＝0(舍去)， 此时b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.故存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。