第29讲 等比数列

第二十九讲 等比数列班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( ) A.23 B.32 C.23或32D ．－23或－32解析：在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6① 又a 4＋a 14＝5②由①、②组成方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∴a 20a 10＝a 14a 4＝23或32. 答案：C2．在等比数列{a n }中a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n－1解析：要{a n }是等比数列，{a n ＋1}也是等比数列，则只有{a n }为常数列，故S n ＝na 1＝2n .答案：C评析：本题考查了等比数列的性质及对性质的综合应用，抓住只有常数列有此性质是本题的关键，也是技巧；否则逐一验证，问题运算量就较大．3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 S 3＝1 2，则S 9 S 3等于( ) A ．1 2 B．2 3 C ．3 4 D．1 3解析：解法一：∵S 6 S 3＝1 2， ∴{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34.解法二：因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34，故选C.答案：C4．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 10a 11＝e ，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20的值为( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．e解析：ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝lne 10＝10，故选B. 答案：B5．若数列{a n }满足a 1＝5，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其前10项和是( )A ．200B ．150C ．100D ．50解析：由已知得(a n ＋1－a n )2＝0， ∴a n ＋1＝a n ＝5， ∴S 10＝50.故选D. 答案：D6.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a n ＝2n －1，a 1＝1，q ＝2，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．数列{a n }中，n 12(n )2n 1(n .)n a -⎧=⎨⎩-为正奇数为正偶数设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9＝________.解析：S 9＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)＝377. 答案：3778．数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________.解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35，n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ，即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝25， 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，所以a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1.答案：35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －19．{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q ， ∵S 2＝7，S 6＝91.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝7，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝7，7＋7q 2＋7q 4＝91，∴q 4＋q 2－12＝0，∴q 2＝3.∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝a 1(1＋q )(1＋q 2)＝(a 1＋a 1q )(1＋q 2)＝28.答案：2810．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，关于数列{a n }有下列四个命题： ①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋) ②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则{a n }是等差数列 ③若S n ＝1－(－1)n，则{a n }是等比数列④若{a n }是等比数列，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m (m ∈N ＋)也成等比数列． 其中正确的命题是__________．(填上正确命题的序号)解析：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，{a n }为非零常数列，故a n ＝a n ＋1(n ∈N ＋)；②若{a n }是等差数列，S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 为an 2＋bn (a ，b ∈R)的形式；③若S n ＝1－(－1)n，则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－(－1)n－1＋(－1)n －1＝(－1)n －1－(－1)n，而a 1＝2，适合上述通项公式，所以a n ＝(－1)n －1－(－1)n 是等比数列；④若{a n }是等比数列，当公比q ＝－1且m 为偶数时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 不成等比数列．答案：①②③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，对任意的自然数n ≥2，a n 是3S n －4与2－32S n －1的等差中项． (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n .解：(1)由已知，当n ≥2时， 2a n ＝(3S n －4)＋(2－32S n －1)，①又a n ＝S n －S n －1，②由①②得a n ＝3S n －4(n ≥2)③a n ＋1＝3S n ＋1－4④③④两式相减得a n ＋1－a n ＝3a n ＋1 ∴a n ＋1a n ＝－12. ∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列，其中a 2＝3S 2－4＝3(1＋a 2)－4，即a 2＝12，q ＝－12，∴当n ≥2时，a n ＝a 2q n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝－⎝⎛⎭⎪⎫－12n －1.即11(1)1(2).2n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎩≥(2)解法一：当n ≥2时S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 当n ＝1时S 1＝1＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－120 也符合上述公式． ∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.解法二：由(1)知n ≥2时，a n ＝3S n －4， 即S n ＝13(a n ＋4)，∴n ≥2时，S n ＝13(a n ＋4)＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋43.又n ＝1时，S 1＝a 1＝1亦适合上式． ∴S n ＝43－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n}为等差数列，并求b n .解：(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， 得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3，∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3(n ≥1)． ∴{a n }是等比数列．(2)由(3－m )S 1＋2ma 1＝m ＋3， 解出a 1＝1，∴b 1＝1. 又∵{a n }的公比为2m m ＋3， ∴q ＝f (m )＝2m m ＋3， n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，∴b n b n －1＋3b n ＝3b n －1，推出1b n －1b n －1＝13.∴{1b n }是以1为首项，13为公差的等差数列， ∴1b n ＝1＋n －13＝n ＋23， 又1b 1＝1符合上式，∴b n ＝3n ＋2. 13．已知{a n }是首项为a 1，公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，请求出a 1的值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q，∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，得q 2＋1＝54.又q >0，∴q ＝12.(2)解法一：∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0，即a 1＝－14，此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列， 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．解法二：由于b n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以b 1＝12＋a 1，b 2＝12＋32a 1，b 3＝12＋74a 1，若数列{b n }为等比数列，则b 22＝b 1·b 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32a 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋74a 1， 整理得4a 21＋a 1＝0，解得a 1＝－14或a 1＝0(舍去)，此时b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.故存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列．。

等比数列的性质1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这2个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．注：时，为常数列．q （q 0）q＝1 an等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第项的通项公式，＝，这里a 为首项，q 为公比，n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S =n，表示的是前面项的n1―푞和．③若m n＝q p ，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．m n p q例：成等比数列，则＝．2，x，y，z，18 y解：由成等比数列，设其公比为，2，x，y，z，18 q4则，解得，18＝2q q2＝32∴．y＝2q ＝23＝6故答案为：．6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，n继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：＝，（，）．a a q ﹣n m N*•n mn m*（2）若{a n}为等比数列，且，则k l＝m n，（k，l，m，n N ） a •a＝a •ak l m n（3）若{ }{ }（项数相同）是等比数列，则 a a a b ，仍是等比数列．a ，b {（} 0），，{•}n n n n n푎1＞0푎1＜0푎1＞0푎1＜0 （4）单调性：{푞＞1或{0＜푞＜1是递增数列；{0＜푞＜1或{{a } {a } q＝1 {a }푞＞1是递减数列；是 n n n 常数列；是摆动数列．q＜0 {a }n1/ 1。

等比数列规律《等比数列规律：隐藏在数字中的神奇魔法》我想给你讲个特别有趣的事儿，那就是等比数列的规律。

你可别一听数列就觉得头疼，等比数列就像一场数字的神秘之旅。

咱先从简单的说起。

想象一下，你有一颗种子，这颗种子第一天长出了2片叶子，第二天这2片叶子各自又长出2片新叶子，那就是4片叶子，第三天这4片叶子又各自长出2片，就变成8片叶子。

这个2、4、8就是一个等比数列。

这里的2就是这个数列的公比，就像一个小魔法数字，每一项都是前一项乘以这个2得到的。

这是不是很神奇？你看，从小小的种子，就发展出这么一个有规律的数字增长。

等比数列就像一个无限循环的故事。

比如说3、6、12、24……这个数列的公比是2。

每一个数字就像故事里的一个情节，不断按照这个公比的规则发展下去。

要是把这个数列画在纸上，你会发现它就像一个越爬越高的梯子，数字越来越大。

你难道不觉得这很像我们的生活吗？有时候一个小小的开始，通过一个稳定的增长规则，就会变成很大的成果。

再看看1、 -2、4、 -8……这个等比数列的公比是 -2。

这时候就有点像坐过山车了，数字一会儿正一会儿负，一会儿往上一会儿往下。

它不像前面那些数列一直往一个方向增长，而是有正有负地变化着。

这就像我们的情绪一样，有时候高涨，有时候低落，但是也有着自己的规律。

在等比数列里，我们还能发现一些很有趣的计算方法。

假如知道了等比数列的第一项和公比，那后面的数字就像多米诺骨牌一样，很容易就能算出来。

比如说第一项是5，公比是3，那第二项就是5乘以3等于15，第三项就是15乘以3等于45。

这多简单呀，就像按照菜谱做菜一样，一步一步来就好。

那等比数列在生活中有什么用呢？其实用处可大了。

就拿存钱来说，假如你每年把钱按照一定的比例增加存进去，那这个钱数的增长就可能是一个等比数列。

还有细胞分裂，一个细胞每次分裂成几个，随着时间的推移，细胞的数量增长也是一个等比数列。

这就像是大自然在悄悄使用等比数列这个神奇的工具呢。

课时作业(二十九)B 第29讲 等比数列时间：35分钟 分值：80分基础热身1．2012·厦门外国语月考 已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1＝3，a 2a 4＝144，则S 10的值是( )A ．511B ．1023C ．1533D ．30692．2011·大连模拟 在等比数列{a n }中，若a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 29a 12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 3．2011·抚州二模 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则数列{a n }的公比等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D.1＋524．2011·汕头期末 在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C ＝________.能力提升5．2011·新余二模 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012，则公比q 等于( )A ．3 B.13 C ．4 D.146．2011·巢湖一检 在等比数列{a n }中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－37．2011·丰台一模 设等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝4d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k ＝( ) A ．3或－1 B ．3或1 C ．3 D ．18．2011·琼海一模 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．29．2011·东莞调研 在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，则{a n }的前6项和等于________．10．2011·盐城二模 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，{S n }为数列{a n }的前n项和，则S 11－S 9S 7－S 6的值是________．11．2011·福州质检 在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比q 为________．12．(13分)2011·烟台二诊 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．(1)证明：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f(b n －1)(n ∈N ，n ≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .难点突破13．(12分)2011·汕头一模 设数列{a n }为等比数列，数列{b n }满足：b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *，已知b 1＝m ，b 2＝3m 2，其中m ≠0.(1)求数列{a n }的首项和公比； (2)当m ＝1时，求b n ；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有S n ∈1,3，求实数m 的取值范围．课时作业(二十九)B【基础热身】1．D 解析 由已知a 2a 4＝144，得a 1q ·a 1q 3＝144，则q 4＝14432＝16，即q ＝2， ∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝3(1－210)1－2＝3069.2．B 解析 根据等比数列的性质，有a 2a 10＝a 3a 9＝a 26，又已知a 2a 3a 6a 9a 10＝32，则a 56＝32，即a 6＝2，a 1q 5＝2， ∴a 29a 12＝(a 1q 8)2a 1q11＝a 1q 5＝2.3．C 解析 由已知S 1，S 3，S 2成等差数列，得2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ，化简，得2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，即2q 2＋q ＝0，解得q ＝－12.4．1 解析 由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧－4＋4tan A ＝4，13tan 3B ＝9，解得⎩⎨⎧tan A ＝2，tan B ＝3，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝1.【能力提升】5．C 解析 由已知，有a 2011＝3S 2010＋2012，a 2010＝3S 2009＋2012， 两式相减，得a 2011－a 2010＝3a 2010，即a 2011＝4a 2010， 则公比q ＝4.6．C 解析 由已知，有S 1＝a 1＝4，S 2＝a 1＋a 2＝4(1＋q )，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝4(1＋q ＋q 2)， 因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)，即(4q ＋6)2＝6(6＋4q ＋4q 2)，解得q ＝3.7．C 解析 由数列{a n }是等差数列，得a k ＝a 1＋(k －1)d ，a 2k ＝a 1＋(2k －1)d . ∵a k 是a 1与a 2k 的等比中项，∴a 2k ＝a 1a 2k ，即a 1＋(k －1)d 2＝a 1a 1＋(2k －1)d ，化简，得(k －1)2d 2－a 1d ＝0. 把a 1＝4d 代入，得k ＝3.8．C 解析 解法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k )－(3＋k )＝6，a 3＝S 3－S 2＝(33＋k )－(32＋k )＝18.由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则 a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k )，解得k ＝－1.解法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c ≠0，c ≠1. 设a 11－q＝t ，则 S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝－tq n ＋t ＝3n＋k ，∴k ＝t ＝－1.9．63 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝q ，a 3＝q 2，由a 1＋1，a 2＋2，a 3＋2依次成等差数列，得 2(a 2＋2)＝(a 1＋1)＋(a 3＋2)，即2(q ＋2)＝(1＋1)＋(q 2＋2)，化简，得q 2－2q ＝0，解得q ＝2.则数列{a n }的前6项和为S 6＝1－261－2＝63.10．3 解析 设等差数列的公差为d (d ≠0)，由a 1，a 3，a 9成等比数列，得 a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 化简，得a 1＝d .S 11－S 9S 7－S 6＝a 11＋a 10a 7＝2a 1＋19da 1＋6d3. 11．3 解析 a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)⎪⎪41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，又a 4＝a 1q 3，a 1＝23，则q 3＝27，即q ＝3.12．解答 (1)证明：∵S n ＝(λ＋1)－λa n ， ∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n ≥2)，∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ.又a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ为公比的等比数列．(2)由(1)知q ＝f(λ)＝λ1＋λ∴b n ＝f(b n －1)＝b n －11＋b n －1(n ≥2)，故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n －1b n －1＝1(n ≥2)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列． ∴T n ＝3n ＋n(n －1)2＝n 2＋5n2.【难点突破】13．解答 (1)由已知b 1＝a 1，所以a 1＝m ；b 2＝2a 1＋a 2，所以2a 1＋a 2＝32m ，解得a 2＝－m2；所以数列{a n }的公比q ＝－12.(2)当m ＝1时，a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1，b n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，① －12b n ＝na 2＋(n －1)a 3＋…＋2a n ＋a n ＋1，② ②－①得－32b n ＝－n ＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a n ＋1，所以－32b n ＝－n ＋－12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝－n －13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，b n ＝2n 329－29⎝⎛⎭⎫－12n ＝6n ＋2＋(－2)1－n9.(3)S n ＝m ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n1－⎝⎛⎭－12＝2m 3·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n ，因为1－⎝⎛⎭⎫－12n>0， 所以由S n ∈1,3得11－⎝⎛⎭⎫－12n≤2m 331－⎝⎛⎭⎫－12n， 注意到，当n 为奇数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎝⎛⎦⎤1，32；当n 为偶数时，1－⎝⎛⎭⎫－12n ∈⎣⎡⎭⎫34，1，所以1－⎝⎛⎭⎫－12n 的最大值为32，最小值为34.对于任意的正整数n 都有11－⎝⎛⎭⎫－12n ≤2m 3≤31－⎝⎛⎭⎫－12n ，所以43≤2m3≤2，解得2≤m ≤3.。

等比数列首项末项公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等比数列是数学中非常重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，也在现实生活中有着重要的意义。

等比数列是一种以固定比值递增或递减的数列，其中每一项与它的前一项之比等于一个常数，这个常数就是等比数列的公比。

在等比数列中，我们经常会遇到需要求出首项和末项的问题。

首项和末项分别是数列中的第一个项和最后一个项，它们是等比数列中的两个重要的概念。

求等比数列的首项和末项可以帮助我们更好地理解数列的性质和规律，进而解决相关的问题。

首项和末项公式是求解等比数列首项和末项的基本公式，它们可以帮助我们快速并准确地计算出数列的首项和末项。

接下来，我们将详细介绍等比数列首项和末项公式的推导和应用。

让我们来看一看等比数列的定义。

设等比数列为a，ar，ar^2，ar^3，…，其中a为首项，r为公比，n为项数。

等比数列中任意两项之比都为相同的值r，即：ar / a = ar^2 / ar = ar^3 / ar^2 = ... = r根据等比数列的性质，我们可以得到等比数列的首项和末项公式。

设等比数列的首项为a，公比为r，末项为an。

根据等比数列的定义，有：an = a * r^(n-1)这就是等比数列的首项和末项公式。

利用这个公式，我们可以快速计算出等比数列中的任何一项，进而解决数列相关的问题。

下面我们通过一个示例来说明等比数列首项和末项公式的应用。

示例：求解等比数列的首项和末项已知一个等比数列的公比为2，第4项为8，求解首项和末项。

解题步骤：根据已知条件列出等式：将已知条件代入公式中，得：8 = a * 2^3解得a = 1继续代入公式，求解末项：总结一下，等比数列首项和末项公式是解决等比数列相关问题的重要工具，它们可以帮助我们轻松地计算出等比数列中的首项和末项。

通过深入理解等比数列的性质和规律，我们可以更好地掌握数学知识，提高解决问题的能力。

希望本文的介绍能够对读者有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：等比数列是数学中一种重要的数列形式，它是指一个数列中每个项与它的前一项之比相等。

等比数列教案(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--编者：张变英本人声明：本文属本人原创作品，本文著作权授予“北京今日学易公司、中学学科网”独家所有，本人拥有署名权。

数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

预测09年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

三．要点精讲 1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

备考2020年高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和一、单选题1.（2019•全国Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 22.等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则3.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=( ）．A. 3B. 15C. 48D. 634.若三个实数成等比数列，其中，，则（）A. 2B.C.D. 45.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( )A. B. C. D.6.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}，②{a n2}，③{2an}，④{log2la n}．其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④7.已知为等比数列的前项和，且，则（）A. 510B. 510C. 1022D. 10228.已知等比数列满足，，则（）A. B. 2 C. 或 2 D. 29.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.10.设等比数列的前n项和为，若，，则A. 144B. 81C. 45D. 6311.设等比数列的公比，前项和为，则=（）A. B. C. D.12.记数列的前项和为.已知，，则（）A. B. C. D.二、填空题13.（2019•卷Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和。

若a1=，，则S5=________14.已知等比数列中，，则公比________；________．15.已知数列{a n}的首项a1＝2，数列{b n}为等比数列，且b n＝.若b10b11＝2，则a21＝________.16.已知等比数列中，，，则________．17.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________三、解答题18.已知数列满足．（1）证明：是等比数列；（2）求．19.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。

等比和等差数列公式等比数列和等差数列是数学中常见的数列形式。

它们具有一定的规律性，可以通过公式来求解。

我们来介绍等差数列。

等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

常用的等差数列公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

举个例子，我们来求解一个等差数列的和。

假设一个等差数列的首项为2，公差为3，我们要求前10项的和。

根据等差数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 2 + (n-1)3。

将n分别代入1到10，得到的数列为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29。

将这些数相加即可得到前10项的和。

接下来，我们来介绍等比数列。

等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

常用的等比数列公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

举个例子，我们来求解一个等比数列的和。

假设一个等比数列的首项为3，公比为2，我们要求前5项的和。

根据等比数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 3 * 2^(n-1)。

将n分别代入1到5，得到的数列为3，6，12，24，48。

将这些数相加即可得到前5项的和。

等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常遇到一些具有规律性的数值序列，通过求解等差数列和等比数列可以帮助我们更好地理解和分析问题。

除了求解数列的和，等差数列和等比数列还可以用于求解其他相关问题。

例如，我们可以通过等差数列的公式来确定数列中的任意一项，或者通过等比数列的公式来确定数列中的公比。

总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。

它们通过公式来描述数列中的规律性，可以用于求解数列的和以及其他相关问题。

熟练掌握等差数列和等比数列的公式和性质，对于解决实际问题和提高数学水平都具有重要的意义。

等比数列引例1：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思是： “一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”，我们把“一尺之棰” 看成单位1，这样每日剩下的部分得到一个数列： ,161,81,41,21,1引例2：细胞进行有丝分裂，一个变成两个，两个变成四个，……，对应的细胞个数为：，16,8,4,2,1这两个数列有什么特点？ 一、等比数列的有关概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示注：等比数列中的任何一项0≠n a ，公比0≠q 2.用式子表示等比数列的定义：q a a n n =+1（常数）或q a an n =-1（2≥n ） 练习：判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项和公比，如果不是，说明理由 （1） ,27,9,3,1 （2） ,18,6,2,1 （3） ，，，，161814121 （4） ,5,5,5,5 （5） ,0,0,0,0 （6） ,0,1,0,1 （7） ,1,1,1,1-- （8） ,,,,132a a a （9） ,,,,32x x x x小结：（1）用定义判断一个数列是不是等比数列，只需看nn a a 1+等不等于同一个非零常数 （2）公比q 一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且0≠q （3）既是等差数列又是等比数列的数列：非零常数列 常数列： ,,,,a a a a若0=a ，则该数列 等差数列， 等比数列 若0≠a ，则该数列 等差数列， 等比数列 思考：已知等比数列{}n a 首项1a 和公比q ，如何求通项n a ？3.等比数列的通项公式：11-=n n q a a等比数列的通项公式的推导公式：mn m n q a a -=例1.在等比数列{}n a 中 （1）16,274==a a ，求n a（2）1,9,186352==+=+n a a a a a ，求n例2.已知等比数列{}n a 中，17=a 且654,1,a a a +成等差数列，求n a例3.（1）三个数成等差数列，它们的和为14，积为64，求这三个数（2）四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数小结：设等比数列的方法： （1）通项法： ,,,2111q a q a a （2）对称设：①奇数个数成等比数列： ,,,,,,22aq aq a qaq a ，公比为q ②偶数个数成等比数列：4.等比中项：如果在a 和b 之间插入一个数G ，使得b G a ,,成等比数列，那么数G 叫做a 和b 的等比中项注：（1）若G 是a 和b 的等比中项，则（2）只有同号的两个数(非零)才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数（3）一个等比数列从第2项起，每一项(又穷等比数列的末项除外)都是它前一项和后一项的等比中项 5.等比数列的性质：性质1：等比数列{}n a 中，下标和相等的项的积相等，即若*,,,N q p n m ∈且qp n m +=+则q p n m a a a a =，特别地，若p n m 2=+，则2p n m a a a =性质2：设{}n a 为有穷等比数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积，即123121a a a a a a a a n n n n ====--性质3：等比数列{}n a 中下标成等差数列的项成等比数列，即 ,,,2m k m k k a a a ++成等比数列，公比为mq性质4：设{}n a 是正项等比数列，则{}n a ln 为等差数列，公差为q ln 性质5：设{}n a 是等差数列，则{}0(>a ana 且)1≠a 为等比数列，公比为da性质6：若{}{}n n b a ,为等比数列，则{}{}{}{}{}{}nn n k n n n n n n n a a a a a b a b a a ,,1,,,,),0(2⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠λλ)0(>n a 也为等比数列性质7：等比数列的单调性：设等比数列{}n a 公比为q ，则 （1） {}n a ⇔单调递增 （2） {}n a ⇔单调递减 （3） {}n a ⇔为常数列 （4） {}n a ⇔为摆动数列注：若0>q ，则{}n a 各项 ；若0<q ，则{}n a 的项 ；所以等比数列的奇数项、偶数项分别性质8：既是等差数列，又是等比数列的数列：非零常数列例4.（1）已知等比数列{}n a 中，8,7321321==++a a a a a a ，求n a （2）已知正项等比数列{}n a 中，493=a a ，4153104=+a a a a ，求84a a +例5.（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n n S n n a 21+=+，求证：数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列（2）已知数列{}n a 中，nn n a 23-=，若数列{}n n pa a -+1为等比数列，求实数p 的值（3）已知数列{}n a 中，21=a ，nn n a a 2321⨯+=+，求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列。

第10讲 等差数列与等比数列本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识，a 1、a n 、d 或q 、n 、S n 的基本关系1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2.掌握等差、等比数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差、等比中项的性质．3.求公差、公比．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．A 类例题例1给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n －2+a 3n －1+a 3n ,…，则数列{b n }( )A.是等差数列B.是公比为q 的等比数列C.是公比为q 3的等比数列D.既非等差数列也非等比数列 (1999年全国高中数学联赛) 分析 利用等比数列的推广的通项公式a n = a m q n －m.解 由题设, a n = a 1q n －1,则a 3n +3= a 3n q 3、 a 3n +2= a 3n －1 q 3、a 3n +1= a 3n －2 q 3. 故b n +1 b n =a 3n +1+a 3n+2+a3n +3 a 3n －2+a 3n －1+a 3n = q 3(a 3n －2+a 3n －1+a 3n ) a 3n －2+a 3n －1+a 3n=q 3. 例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (1997年全国高中数学联赛) 分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 ： 由21972)1(=-+=d n n na S n即2na 1+(n －1)d=2×972，则n[2a l +(n －1)d]= 2×972，且2a 1+(n －1)d 是非负整数．故n 是2 ×972的正 因数，且n ≥3，于是n=97、972、2 ×97或2 ×972．(1)若n=97，则2a l +96d=2 ×97，且a l 与d 是非负整数，由2 a l = 2 ×97－96d ≥0可得0≤d ≤, 且d ∈Z ，所以d=0，1，2，代人2 a l +96d= 2 ×97得⎩⎨⎧==9701a d 或⎩⎨⎧==4911a d 或⎩⎨⎧==121a d , 故当n=97时，符合题意的等差数列有3个．(2)若n=972，则2 a l +(972－1)d=2，由2a l =2－(972－1)d ≥0得0≤d ≤19722-故d=0．此时a l =1即n=972时，符合题意的等差数列只有1个．(3)若n=2×97，则2 a l +(2×97－1)d=97，即 0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =297，不台题意．(4)若n= 2×972，则2 a l +(2×972－1)d=1，即0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =12，不合题意． 故当n=2×97或2×972时，符合题意的等差数列不存在． 综上所述，符合题意的等差数列共有3+1=4个故选( C )情景再现1．(2005年全国高考题)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{k n }的通项n k2．三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)．(第2届美国中学生数学竞赛试题)B 类例题例3 (2004年浙江理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、 （0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的 坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ;（Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题． 解 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b -又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列．说明 本题符号较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数． （Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列．(2005年江苏卷)分析本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列．解 （1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18． 由(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =An+B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=－20， B=－8．（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n －8）S n+1－(5n+2)S n =－20n －8, ① 所以 (5n －3)S n+2－(5n+7)S n+1=－20n －28, ② ②－①,得, (5n －3)S n+2－(10n －1)S n+1+(5n+2)S n =－20, ③ 所以 (5n+2)S n+3－(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=－20．④ ④－③,得 (5n+2)S n+3－(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1－(5n+2)S n =0． 因为 a n+1=S n+1－S n所以 (5n+2)a n+3－(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0． 又因为 (5n+2)0≠,所以 a n+3－2a n+2+a n+1=0,即 a n+3－a n+2=a n+2－a n+1, 1≥n ． 又 a 3－a 2=a 2－a 1=5, 所以数列}{n a 为等差数列． 方法2． 由已知，S 1=a 1=1,又(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =－20n －8,且5n －80≠, 所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的是惟一确定的．设b n =5n －4,则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2)35(-n n于是 (5n －8)T n+1－(5n+2)T n =(5n －8),8202)35()25(2)25)(1(--=-+-++n n n n n n由惟一性得b n =a,即数列}{n a 为等差数列．说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等．例5 (湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？ （Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？分析 本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型．解 J 1输入m ，J 2输入n 时，输出结果记为f （m ，n ），设f （m ，n ）=k ，则f （1，1）=1，f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，f （m+1，1）=2f （m ，1） （2分） （Ⅰ）因为f （1，n+1）=f （1，n ）+2，故f （1，1），f （1，2），…，f （1，n ），…组成以f （1，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f （1，n ）=f （1，1）+2（n －1）=2n －1； （Ⅱ）因为f （m+1，1）=2f （m ，1），故f （1，1），f （2，1），…，f （m ，1）…组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列． 所以，f （m ，1）=f （1，1）•2m －1=2 m －1，（Ⅲ）因为f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，故f （m ，1），f （m ，2），…，f （m ，n ），…组成以f （m ，1）为首项，2为公差的等差数列．所以，f （m ，n ）=f （m ，1）+2（n －1）=2 m －1+2n －2，f （2002，9）=22001+16说明 解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题． 例 6 设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0=a 1=1．求{a n }的通项公式． (1993年全国高中数学联赛)情景再现3． 已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列．若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件． 4． 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t(t ＞0),f (1)=0．(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ； (3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n ．C 类例题例7 实数x 为有理数的充分必要条件是：数列x ，x +1，x +2，x +3，…中必有3个不同的项，它们组成等比数列．(加拿大1993年高中竞赛题)证明：(1)充分性：若3个不同的项x +i ，x +j ，x +k 成等比数列，且i ＜j ＜k ， 则(x +I)(x +k)=(x +j)2，即ikj j k i x -=-+2)2(．若02=-+j k i ，则02=-ik j ，于是得i=j=k 与i ＜j ＜k 矛盾．故02≠-+j k i ,jk i ik j x 22-+-=且i 、j 、k 都是正整数，故x 是有理数．(2)必要性：若x 为有理数且x ≤0，则必存在正整数k ，使x+k>0．令y=x+k ，则正数列y 、y+1、y+2、…是原数列x ，x+1，x+2，x+3，…的一个子数列，只要正数列y ，y+l ，y+2,…中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x ＞0．①若x ∈N ,设q 是大于l 的正整数，则xq －x 、xq 2－x 都是正整数．令i=xq －x , j=xq 2－x则i<j ，即x ，x+i ，x+j ，是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中不同的三项，且x ，x+i(即xq )，x+j (即xq 2)成等比数列．②若x 为正分数，设 x =nm(m 、n ∈N ，且m 、n 互质，m≠1)．可以证明，x ，x+n ，x+(m+2)n ，这三个不同的项成等比数列，事实上，x [x +(m +2)n ]= n m (n m +mn+2n )=(n m )2+n 2+2n m ·n =(n m+n )2.所以x [x +(m +2)n ] =( x +n )2.，即三项x ，x+n ，x+(m+2)n 成等比数列．综上所述，实数x 为有理数的充分必要条件是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中必有3个不同的项．它们组成等比数列.说明 以上证明巧妙之处在于：当x 是正分数mn 时，在数列x ，x+1，x+2，x+3，…寻求组成等比数列的三项，这三项是x ，x + n, x+(m+2)n ．例8 设S={1，2，3，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．(1991年全国高中数学联赛二试)分析 可先通过对特殊的n(如n=1，2，3)，通过列举求出A 的个数，然后总结规律，找出 a n 的递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d=1，2,…，n －1时，讨论A 的个数· 解 设A 的公差d,则1≤d ≤n －1.(1)设n 为偶数,则当1≤d ≤n 2.公差d 的A 有d 个;当n2≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为偶数时,这样的A 有：(1+2+3+…+ n 2)+[1+2+3+…+(n －n 21)]= 14n 2.(2)设n 为奇数,则当1≤d ≤n －12.公差d 的A 有d 个;当n+12≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为奇数时,这样的A 有：(1+2+3+…+n －12…+n －12)= 14(n －1)2.综上所述：这样的A 有[14n 2]．情景再现5．设数列{n a }的首项1a =1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈ N,n ≥2)． （1） 求证数列{n a }是等比数列；（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．6．已知数列{a n }是由正数组成的等差数列，m ,n ，k 为自然数，求证： (1)若m+k=2n ，则21m a +21ka =22na ;(2) 211a +221a +…+2221-n a +2121-n a ≥212na n -(n ＞1)．习题10A 类习题1．(2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．40082．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则yc x a +=_________．3．等比数列{}a n 的首项a 11536=,公比q =-12,用πn 表示它的前n 项之积．则πn()n N ∈最大的是( )A ．π9B ．π11C ．π12D ．π13(1996年全国高中数学联赛)4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2－2ax +c =0( ) (2000年全国高中数学联赛)A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根 5．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T >k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．6．(2000年高考新课程卷)（I ）已知数列{}n c ，其中nn nc 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ．（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．B 类习题7．已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线．1(0,1,2)nn y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段1b ≠（其中正常数），1(0,1,2)nn y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段（1b ≠其中正常数）， {}()(1,2,)n n x f x n n ==⋅⋅⋅设数列由定义.121..2()3()1n x x x f x y f x y x ==（）求和的表达式；（）求的表达式，并写出其定义域；（）证明：的图象与的图象没有横坐标大于的交点其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 9．(2006年全国高考上海春季卷)已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 10．(第8届希望杯第二试)在△ABC 中，三边长为a 7，b =2，c =3．作△ABC 的内切圆⊙O 1，再作与边AB 、AC 和⊙O 1都相切的⊙O 2，又作与AB 、AC 与⊙O 2都相切的⊙O 3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和．C 类习题11． (第2届美国数学邀请赛试题)如果{a n }是等差数列，公差是1，a 1+ a 2+ a 3+…+ a 98=137，求a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98 之值．12．(2003年全国高考江苏卷)设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =,C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）．从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1．Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当21,11≤=aa 时，证明∑=++<-nk k k ka a a121321)(；（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(本节“情景再现”解答：1．依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =∵0d ≠， ∴1d a =,得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列．由于0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q ==，由此得19k =等比数列{k n }的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k qn -+=⨯==，，，即得到数列{k n }的通项为13n n k +=2．用反证法．假设三个不同的素数p 、q 、r 的立方根是一个等差数列的不同三项, 即设ld a p +=13①,md a q +=13②,nda r +=13③．由此可得ml qp d --=33,ml qm p l a -⋅-⋅=331．将代入③式并化简整理得：=⋅-3)(q n m +⋅-3)(q n l 3)(rl m ⋅-两边立方得：=⋅-p n m 3)(+⋅-q n l 3)(rl m ⋅-3)(+3))()((3pqrn m l mm m l ⋅---左式=p n m ⋅-3)(为整数,因3pqr是无理数．故右式为无理数,所以左式≠右式．3．（Ⅰ）∵),3,2(242,211=+-+==-n n n a a a an n 依,∴2228422-=+-+=a a a , 542129223-=+-+=a a a ,882234-=+=a a a , 34,32,222342312-=--=--=--=-a a a a a a a a a a a若}{na 是等差数列，则1,2312=-=-a a a a a得,但由3423a a a a -=-，得a=0,矛盾．∴}{n a 不可能是等差数列 ．(Ⅱ)∵2n a b n n +=, ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a bn n nn n b na 2222=+=(n ≥2) ,∴22422+=+=a a b 当a ≠－1时, }{,0n n b b ≠从第2项起是以2为公比的等比数列．∴)12)(22(12)12)(22(111-++=--++=--n n na b a b S ,n ≥2时,222)1(222222)1(222)1(111--++---=--++--++=---a b a a b a b a a b a S S n n nn n ∴}{n S 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数．∵a ≠－1时, ∴b －2a －2=0 ,当a=－1时，122,0-==n n b b b 由（n ≥3）,得0=n b （n ≥2）, ∴b b b b S n n =+++= 21, ∵}{n S 是等比数列 ∴b ≠0综上, }{n S 是等比数列,实数a 、b 所满足的条件为⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或4．(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t，由f (1)=0得a =1．∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1．(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得： (x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =xn +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t1［(t +1)n +1－1］，b n =tt 1+［1－(t +1]n )(3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则÷①得q =nn r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q qr n［(t +1)2n －1］5．分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得tt a 3322+= ， 于是tt a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n=3,4，……）， 两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ． 于是，得tt a a n n 3321+=-（n=3,4……）． ……②①②综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为t t 332+的等比数列．（2）解 由（1），得321332)(+=+=t tt t f ，32)1(11+==--n n n b b f b即321=--n n b b ．所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ．点评 要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求．6． (1)设等差数列{a n }的公差为d,由m+k=2n,得a k =2a n ,因为a 2m + a 2k ≥12(a m + a k )2=2a 2n ．(a m a k )2≤[(a m + a k 2)2]2=a 4n ． 所以 a 2m + a 2k (a m a k )2 ≥ 2a 2n a 4n =2a 2n当且仅当d=0时等号成立． (2)由(1)结论,1 a 2i 1 a 22n －i ≥2 a 2n (i=1,2,…,n －1)把这n －1个不等式相加,再把所得的结果两边同时加上1a 2n便得到所证明的结论．当d=0时等号成立．本节“习题10”解答：1．由120032004200320040,0,.0a a a a a >+><得公差d ＜0，于是a 2 004＜0．a l ＋a 4006=a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0．另一方面，a l ＋a 4 007=2a 2 004＜0，故S 4 007＜0．故答案选B ．2． b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),yc xa +=)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xycx ay ++++=+=2．3．等比数列{}a n 的通项公式1211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n na,前n 项之积nπ2)1(211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n n ,易知9π、12π、13π 为正数,10π、11π为负数,故只需比较9π、12π、13π．因为3211536199-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-a ,23211011=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a ,43211112-=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a,83211213=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a,且.18274323)3(121110>=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⋅⋅a a a所以=π12121110a a a ⋅⋅>π⋅99π．又因为1013<<a 及121313π=πa ,∴1213π<π．故选C ．4．由题意知pq =a 2,2b=p+c ,2c=q+b 由于后二式得b=2p+q 3,c=p+2q3, 于是有bc =2p+q 3·p+2q 3=p+p+q 3·p+q+q 3≥ 3p 2q · 3pq 2=pq =a 2,因为p ≠q,故bc ＞a 2,方程的判别式△=4a 2－4bc ＜0,因此,方程无实数根．5．要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T >k n s 具体化．因此，可首先从探求n T 与n s 的关系入手，寻求突破口．解 因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列， 故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T =n b b b +++ 21=（a 1+a 2+…+a n ）（q －kq 2）=n s )(2kq q -． 依题意，由n T >k n s ，得n s )(2kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s >0；当－1<q<0时，由01>a ，1－q>0,1－nq >0,所以n s =01)1(1>--qq a n．综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s >0恒成立 ． 由①式，可得k kq q >-2， ② 即qq qq k q q k +=+<<+111,)1(22．由于21≥+qq ，故要使①式恒成立，k<－21．点评 本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k<)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值． 6． （I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将nn nc32+=代入上式，得()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ，即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ，整理得 ()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得 p =2或p =3．（II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=,为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠．事实上,()pq b a q b p a q b p a c 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111qp b a q b p aqb p a b a+++=++．由于 q p ≠，pqq p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列．7．{}1)1(111,11,1,,2,1,)1(,1)(,)()()(,)(.0111,)()(,)(,21,2)(.110)0()(,1)(,10,1)(,0)0()1(111111111102121212211101--=+⋅⋅⋅++=≠-⋅⋅⋅==--===--==+==-=--=≤≤===--==≤≤==----------b bb bbx b bx xn bx x n x f n x f bx x x f x f bn x f y x bx bx x b x x x f x f b x f y y x f x x f x f b x f y y x f f n n n n nn n n n n n n n n n n 得由公比为其首项为为等比数列由此知数列故又故得段线段的斜率为图象中第由函数记得即故由的线段的图象是斜率为函数时当又由得故由的线段的图象是斜率为函数时当又由).,0[)(,10);1,0[)(,1:.,10;11)1(lim lim ,1,),3,2,1(1)1(,)(),3,2,1,(),()()1(,,1.)(,10,)1(,10)2(1111∞+<<->∞→∞→<<-=--=>⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅=≤≤-+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤-∞→∞→-++的定义域为时当的定义域为时当综上所述时时当时当进行讨论须对的定义域为求由时即当时当时即当知从当x f b b b x f b x n b b b b bb x b n b b b x x f n x x x x x b n x f x x x n y n x x f x x y y n n n n n n n n n n nn n .1)(,)(,1,,1,)(,0)()(,0)(111)()()()1()()()(,,),1,1(,)(,11,1)3(11的交点的图象没有横坐标大于的图象与故函数成立恒有时可知当仿上述证明时当成立其次即有所以故又此时有使存在对任意的成立恒有时先证明当xy x f x x f x b x x f x x f x x f x x f x bbn x f x x f x x f n x x x x bx f x f x x x x b b x x x f b b x b n n n n n n n n n n n nn n n n =<><>>->->-=+⋅⋅⋅++>=->-⇒≥->-=-≤<-∈<-<<>-+ 8． （I ）4945=a ;（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j……第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此jj i j i ij j i i aij++=++=-++-+=)12(2)1)(12()1(34,要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij, 所以122008+-=i i j, 当1=i 时，得669=j 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得j j i N ++=)12(从而12)12(212+++=+j j i N )12)(12(++=j i 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得)12)(12(12++=+l k N , 从而kl a l l k N =++=)12(可见N 在该等差数阵中． 综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 9． （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d dd d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞． （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围． 研究的结论可以是：由()323304011010dd d d a a+++=+=，依次类推可得 ()nn dd a +++=+ 110)1(10⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+.1),1(10,1,11101d n d d d n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等．10． 因为cosA= b 2+c 2－a 22bc = 12 ,即A=60°,于是sin30°= r 1－r 2 r 1+r 2 = 12 得 r 2 r 1 = 13,同理r n r n －1 = 13, 所以面积的和S=πr 121－19 = 98πr 12,又r1= bc sin A a +b +c =5 3－ 21611．93．由 a 1+ a 3+ a 5+…+ a 97=(a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98)－49可得． 12．（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n na aa aQ a a aP a a Q ⋅⋅++-∴,121n n a aa ⋅=+∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n na aa a a a a a==⋅=-++-+3222221222321)1()1()1(n n a a a a a=1211211121212221)()1()1(----+-+++==n n n n n aa a a a a a， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21nn a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k nk k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)(（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n 因此∑∑∑=++-=+-=++-≤-=-nk i i i ni k kk nk k k ka a a a a a a a a122111112112121121121)()()(∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(ni i aa a a aaa =.31121151<++aa a。