高考数学测试卷人教A版理科数学课时试题及解析(29)等比数列B

〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷理科创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了1月至12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{ a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

2022-2023学年全国高考专题数学高考真卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知复数＝，其中是虚数单位，则的模＝（ ）A.B.C.D.2. 设集合＝，＝，则＝（ ）A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如下图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为,则其体积为( )A.B.C.D.4. 已知的外接圆的半径是，，则等于( )A.或B.或z (i −2)(2i +1)i z |z |345A {x |1≤x +1<5}B {x |x ≤2}A ∩(B)∁R {x |0≤x <4}{x |0≤x ≤2}{x |2<x <4}{x |x <4}5π2π2–√32π2–√310π70−−√1475π70−−√147△ABC 3a =3A 30∘150∘30∘60∘60∘120∘C.或D.或5. 已知函数的定义域为，当时，＝；当时，＝；当时，＝，则的值为（ ）A.B.C.D.6. 在中，已知＝，＝，的外接圆圆心为，则 A.B.C.D.7. 在区间上随机取一个数，则的概率为( )A.B.C.D.8. 若函数，则方程（）的根的个数为（ ）A.B.C.D.9. 如图所示的正方形网格，可看成是横向、纵向各五条相等线段相交成的封闭图形，横向、纵向各取条线段，则围成的封闭图形为正方形的概率为( )60∘120∘60∘150∘f(x)R x <0f(x)−12x −1≤x ≤1f(−x)−f(x)x >0f(x +1)f(x −1)f(2019)+f()20192+12–√212−12–√2−12–√△ABC AB 3AC 5△ABC O ⋅=(AO →BC →)481016[1,4]x x >313231434f(x)= +e,x ≤0x 3,x >0e x xf f(x)=e 3343214×42A.B.C.D. 10. 函数＝的一个单调增区间是（ ）A.B.C.D.11. 在平面直角坐标系中，直线＝与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝12. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与轴垂直，交双曲线于，两点，若为坐标原点）为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）1101531025y 2sin(−x)π4[−,]π4π2[−,]π43π4[−,−]5π4π4[−,]3π4π4xOy x +2y −40A B C A B y C ++6y −16x 2y 20+−6y −16x 2y 20++8y −9x 2y 20+−8y −9x 2y 20−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F F x A B △ABO(O (1,)5–√(1,)+15–√2(,+∞)5–√(,+∞)+15–√2=113. 抛物线：的焦点坐标是________.14. 已知，则________.15. 已知实数，满足，则的最大值为________．16. 一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 若个数的平均数为，则这个数据的标准差为________.18. 已知等差数列的前项和为，＝，＝，数列的前项和为．（1）求数列，的通项公式；（2）设＝，求数列的前项和． 19. 已知三棱锥中，为等腰直角三角形，＝，平面，且＝＝，且，为的中点．（1）求证：直线平面；（2）求多面体的体积．20. 已知函数，其中．若曲线在点（）处的切线垂直于直线，求的值；讨论函数的单调区间.21. 已知的三个顶点的极坐标分别为，．判断形状，并计算其面积． 22. 已知函数．当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围．C y =14x 2F sin α+cos β=1,cos α+sin β=0sin(α+β)=x y A −BCD O AD =BC =3AC =BD =4AB =CD =13−−√O ABC 51,2,2,x,535{}a n n S n a 1−3S 55{}b n n −22n+1{}a n {}b n c n a n b n {}c n n T n P −ABC △ABC ∠BAC 90∘PB ⊥ABC PB AB 4EC //PB EC =PB 12D PA DE //ABC A −BCEP f(x)=+−ln x −x 4a x 32a ∈R (1)y =f(x)1,f(1)y =x 12a (2)f(x)△ABC A (5,)，B (5,)π6π2C (−4,)3–√π3△ABC f (x)=|2x +a|+1(1)a =2f (x)+x <2(2)a ∈[−,1]13f (x)≥b +|2x +|a 2b参考答案与试题解析2022-2023学年全国高考专题数学高考真卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】D【考点】复数的模【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式得答案．【解答】∵＝＝＝，∴，2.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合，然后直接利用集合的交集运算法则求解即可．【解答】因为集合＝＝，＝＝，∴＝，3.【答案】A【考点】由三视图求表面积由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，z (i −2)(2i +1)2−4i +i −2i 2−4−3i |z |5A A {x |1≤x +1<4}{x |0≤x <4}B {x |x ≤3B }R {x |x >2}A ∩(B)∁R {x |2<x <4}18，∴，∴几何体的体积为：.故选.4.【答案】A【考点】正弦定理【解析】过圆心作的垂线，在构建的直角三角形中，易求得圆心角的度数，由此可求出的度数．（注意所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧）【解答】解：根据正弦定理得：，即．∵，∴或.故选．5.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据时，＝即可得出＝，即得出在上的周期为，再根据当时，＝；当时，＝即可求出，从而求出答案．【解答】∴＝∴在上的周期为又时，＝；当时，＝∴＝＝，∴．S =3×π+×4π=π14r 218r 252r =2–√V =×π⋅=π18432–√32–√3A AB ∠AOB ∠C ∠C =2R a sin Asin A ==a 2R 12<A <0∘180∘A =30∘A =150∘A xx >0f(x +1)f(x −1)f(x +2)f(x)f(x)(0,+∞)2x <0f(x)−12x −1≤x ≤1f(−x)−f(x)f(2019)=,f()=−112201922–√2f(x +2)f(x)(1)f(x)(0,+∞)2(2)x <0f(x)−12x −1≤x ≤1f(−x)−f(x)(3)f(2019)f(1+1009×2)f(1)=−f(−1)=−(−1)=2−112f()=f(1009+)=f(−+1010)=f(−)=−1=−1(4)201921212122−122–√2f(2019)+f()=+−1=20192122–√2−12–√2C故选：．6.【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】可画出图形，并将和中点连接，和中点连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．【解答】如图，取中点，中点，并连接，，则：，；∴，；∴．7.【答案】A【考点】几何概型的概念及概率公式【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：在区间上随机取一个数，若，则，区间的长度为，区间的长度为，故概率为.故选.8.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】判断的单调性，作出的函数图象，得出的根的分布情况，再结合图象得出结论．C O AC D O AB E OD ⊥AC OE ⊥AB ⋅AO →AC →⋅AO →AB →⋅AO →BC →AC D AB E OD OE OD ⊥AC OE ⊥AB ⋅==AO →AC →12AC →2252⋅==AO →AB →12AB →292⋅=⋅(−)=⋅−⋅=−=8AO →BC →AO →AC →AB →AO →AC →AO →AB →25292[1,4]x x >3x ∈(3,4][1,4]3(3,4]1P =13A f(x)f(x)f(x)=e 33当，，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，当＝时，取得极小值＝，作出的函数图象如图所示：令＝，则，由图象可知方程有两解＝，或＝，且．∴＝只有解，＝有两解，∴（）有解．故选：．9.【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】分别讨论组成正方形的情况，即可得到答案.【解答】解：由题意，从横向、纵向的线段中各取条，共可组成个矩形，设一个小网格的边长为，则可组成边长为的正方形（个），则可组成边长为的正方形（个），则可组成边长为的正方形（个），则可组成边长为的正方形个，故共可组成正方形（个），故所求概率为.故选.10.【答案】C【考点】正弦函数的单调性x >0f'(x)=(x −1)e x x 20<x <1f'(x)<0x >1f'(x)>0f(x)(0,1)(1,+∞)x 1f(x)f(1)e f(x)f(x)t f(t)=e 33f(t)=e 33t t 1t 30<<1t 1f(x)t 11f(x)3f f(x)=e 333B 2C 25C 25114×4=1623×3=932×2=44116+9+4+1=30P ==30C 25C 25310C先把已知函数利用诱导公式化简可得＝＝＝，要求函数的单调增区间，转化为求函数＝的单调减区间．【解答】∵＝＝＝，令＝，由：，可得：，，当＝时，为函数＝的一个单调增区间．11.【答案】A【考点】圆的一般方程【解析】先求得、的坐标，可得线段的中垂线与轴的交点的坐标，再根据为所求的圆的圆心，所求圆的半径为，从而得到所求的圆的标准方程．【解答】∵直线＝与两坐标轴分别交于点，，圆经过，，且圆心在轴上，线段的斜率为-，中点为，故线段的中垂线为＝，∴线段的中垂线与轴的交点为所求的圆的圆心＝，故圆的方程为 ＝，即 ＝，12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线的离心率【解析】根据题意可得，再利用双曲线的几何性质表示出，，的关系式，进而求得和的关系，则双曲线离心率可得．【解答】解：设右焦点为，因为(为坐标原点)为等腰三角形，所以，设在第一象限，将代入双曲线方程，得，y 2sin(−x)π42sin[π−(−x)]π42sin(x +)3π4g(x)sin(x +)3π4y 2sin(−x)π42sin[π−(−x)]π42sin(x +)3π4g(x)sin(x +)3π4−+2kπ≤x +≤+2kππ23π4π2k ∈Z −+2kπ≤x ≤−+2kπ5π4π4k ∈Z k 0[−,−]5π4π4y 2sin(−x)π4A B AB y M M MA x +2y −46A(4,0)6)C A B y AB (4AB y −12(x −5)AB y M(0,−3)5+(y +6x 2)225++6y −16x 2y 60|AF|=|OF|a b c a c F △ABO O |AO|=|BO|A x =c y =±b 2a(c,)2所以.因为(为坐标原点)钝角三角形，且只可能是钝角，所以，所以，因为，，所以，即，即，所以，即，解得（负值舍去），所以.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线方程求得，进而根据抛物线的性质可求得其准线方程和焦点坐标．【解答】解：根据抛物线的性质可知抛物线，，则焦点坐标为.故答案为：.14.【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一：..A (c,)b 2a△ABO O ∠AOB ∠AOB >45∘tan AOF =>1AF OF AF ==y A b 2a OF ==c x A >1b 2ac >ac b 2−>ac c 2a 2−1>c 2a 2c a −e −1>0e 2e >1+5–√2e ∈(,+∞)+15–√2D (0,1)p =4y x 2p =2(0,1)(0,1)−12{⇒{sin α+cos β=1cos α+sin β=0cos β=1−sin αsin β=−cos α⇒(1−sin α+(−cos α)2)2=1⇒1−2sin α+α+α=1⇒sin α=sin 2cos 212∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=sin α(1−sin α)+cos α(−cos α)=sin α−α−α=sin α−1=−sin 2cos 212⇒{sin α+cos β=1sin α=1−cos β方法二：：.从而 故答案为：15.【答案】【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解目标函数的最值即可．【解答】作出可行域如图中阴影部分所示，设，则直线经过点时，取到最大值．16.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】【考点】{⇒{sin α+cos β=1cos α+sin β=0sin α=1−cos βcos α=−sin β⇒(1−cos β+(−sin β)2)2=1⇒1−2cos β+β+β=1⇒cos β=cos 2sin 212sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=(1−cos β)cos β+(−sin β)sin β=cos β−β−β=cos β−1=−1=−cos 2sin 21212−12−1A(0,1)z −170−−√5极差、方差与标准差【解析】此题暂无解析【解答】解：因为平均数为,则,,.故答案为：.18.【答案】设等差数列的公差为，∵＝＝，＝，又∵＝，解得＝，所以＝＝＝．∵的前项和，∴当时，，也适合，∴；∵＝，∴＝，∵＝，∴①，又②，由①-②可得：＝，即：＝，∴＝．【考点】等差数列的前n 项和数列的求和【解析】（1）设等差数列的公差为，由题设条件列出的方程，解出，即可求得，设数列的前项和为，再由＝求得（时），再验证当＝是否适合，从而求得；（2）由（1）求得，再利用错位相减法求前项和．【解答】设等差数列的公差为，∵＝＝，＝，又∵＝，解得＝，所以＝＝＝．∵的前项和，∴当时，，也适合，∴；∵＝，∴＝，∵＝，∴①，又②，由①-②可得：＝，即：＝，∴＝．31+2+2+x +5=15,x =5=×[(1−3+(2−3+(2−3+s 215)2)2)2(5−3+(5−3]=)2)2145s =70−−√570−−√5{}a n d S 553a 3+3d a 11a 1−2d 2a n +(n −4)d a 1−3+(n −1)72n −5b n n n ≥5c n a n b n c n (2n −7)⋅2n T n ++...+c 1c 4c n −6−6+−(6n −5)⋅2n+22n+3−T n −14+(7−2n)⋅5n+1T n 14+(2n −3)⋅2n+1{}a n d d d a n {}b n n G n b n −G n G n−1b n n ≥2n 1b n c n n T n {}a n d S 553a 3+3d a 11a 1−2d 2a n +(n −4)d a 1−3+(n −1)72n −5b n n n ≥5c n a n b n c n (2n −7)⋅2n T n ++...+c 1c 4c n −6−6+−(6n −5)⋅2n+22n+3−T n −14+(7−2n)⋅5n+1T n 14+(2n −3)⋅2n+119.【答案】设的中点为，连接，，则，，又且，所以且＝，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．取中点，连接．因为，所以在同一平面上，所以多面体是四棱锥，因为平面，平面，所以，又为等腰直角三角形，＝，是的中点，所以，所以平面，即是四棱锥的高，已知＝＝，所以，＝，，所以．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行【解析】（1）设的中点为，连接，，说明，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．（2）取中点，连接．说明多面体是四棱锥，推出是四棱锥的高，通过等体积法．求解即可．【解答】设的中点为，连接，，则，，又且，所以且＝，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．取中点，连接．因为，所以在同一平面上，所以多面体是四棱锥，因为平面，平面，所以，又为等腰直角三角形，＝，是的中点，所以，所以平面，即是四棱锥的高，已知＝＝，所以，＝，，所以．20.AB G DG CG DG //PB DG =PB 12EC //PB EC =PB 12EC //DG EC DG DGCE DE //GC DE ⊂ABC GC ⊂ABC DE //ABC BC F AF EC //PB PBCE ABCEP A −BCEP PB ⊥ABC AF ⊂ABC PB ⊥AF △ABC ∠BAC 90∘F BC AF ⊥BC AF ⊥PBCE AF A −PBCE PB AB 4AF =22–√EC 2BC =42–√==××AF =××(2+4)×4×2=16V A−BCEP V A−PBCE 13S PBCE 13122–√2–√AB G DG CG DG //PB DGCE DE //GC DE //ABC BC F AF ABCEP A −BCEP AF A −PBCE ==××AF V A−BCEP V A−PBCE 13S PBCE AB G DG CG DG //PB DG =PB 12EC //PB EC =PB 12EC //DG EC DG DGCE DE //GC DE ⊂ABC GC ⊂ABC DE //ABC BC F AF EC //PB PBCE ABCEP A −BCEP PB ⊥ABC AF ⊂ABC PB ⊥AF △ABC ∠BAC 90∘F BC AF ⊥BC AF ⊥PBCE AF A −PBCE PB AB 4AF =22–√EC 2BC =42–√==××AF =××(2+4)×4×2=16V A−BCEP V A−PBCE 13S PBCE 13122–√2–√【答案】解：∵，∴.∵曲线在点（）处的切线垂直于直线，∴，解得：．函数的定义域为，由知.令，由于.当时，，，则恒成立，则函数在上单调递增；当时，，，则恒成立，则函数在上单调递增；当时，，设是函数的的两个零点，则，.若时，，，时，，，函数单调递增；时，，，函数单调递减；时，，，函数单调递增.若时，，，时，，，函数单调递减；时，，，函数单调递增.综上可得：当时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递增，在上单调递减，上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）由曲线在点（）处的切线垂直于直线可得，可求出的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数的单调区间与极值．【解答】解：∵，∴.∵曲线在点（）处的切线垂直于直线，∴，解得：．函数的定义域为，由知(1)f(x)=+−ln x −x 4a x 32(x)=−−f ′14a x 21x y =f(x)1,f(1)y =x 12(1)=−a −1=−2f ′14a =54(2)f(x)(0,+∞)(1)(x)=−−f ′14a x 21x =−4x −4a x 24x 2g(x)=−4x −4a x 2Δ=16+16a a =−1Δ=0g(x)≥0(x)≥0f ′f(x)(0,+∞)a <−1Δ<0g(x)>0(x)>0f ′f(x)(0,+∞)a >−1Δ>0,x 1x 2(<)x 1x 2g(x)=2−2x 1a +1−−−−√=2+2x 2a +1−−−−√−1<a <0=2−2>0x 1a +1−−−−√>0x 2∴x ∈(0,)x 1g(x)>0(x)>0f ′f(x)x ∈(，)x 1x 2g(x)<0(x)<0f ′f(x)x ∈(,+∞)x 2g(x)>0(x)>0f ′f(x)a ≥0=2−2≤0x 1a +1−−−−√>0x 2∴x ∈(0,)x 2g(x)<0(x)<0f ′f(x)x ∈(,+∞)x 2g(x)>0(x)>0f ′f(x)a ≤−1f(x)(0,+∞)−1<a <0f(x)(0,2−2)a +1−−−−√(2−2,2+2)a +1−−−−√a +1−−−−√(2+2,+∞)a +1−−−−√a ≥0f(x)(0,2+2)a +1−−−−√(2+2,+∞)a +1−−−−√y =f(x)1,f(1)y =x 12f'(1)=−2a f(x)(1)f(x)=+−ln x −x 4a x 32(x)=−−f ′14a x 21x y =f(x)1,f(1)y =x 12(1)=−a −1=−2f ′14a =54(2)f(x)(0,+∞)(1)(x)=−−f ′14a x 21x−4x −4a 2.令，由于.当时，，，则恒成立，则函数在上单调递增；当时，，，则恒成立，则函数在上单调递增；当时，，设是函数的的两个零点，则，.若时，，，时，，，函数单调递增；时，，，函数单调递减；时，，，函数单调递增.若时，，，时，，，函数单调递减；时，，，函数单调递增.综上可得：当时，函数在上单调递增；若时，函数在上单调递增，在上单调递减，上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.21.【答案】解 判断的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长比较容易，不妨先计算边长，如图，对于，又．由余弦定理得，∴，同理，，∴，∴为等腰三角形．又，∴等边三角形，∴，∴边上的高，∴．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化余弦定理【解析】=−4x −4a x 24x 2g(x)=−4x −4a x 2Δ=16+16a a =−1Δ=0g(x)≥0(x)≥0f ′f(x)(0,+∞)a <−1Δ<0g(x)>0(x)>0f ′f(x)(0,+∞)a >−1Δ>0,x 1x 2(<)x 1x 2g(x)=2−2x 1a +1−−−−√=2+2x 2a +1−−−−√−1<a <0=2−2>0x 1a +1−−−−√>0x 2∴x ∈(0,)x 1g(x)>0(x)>0f ′f(x)x ∈(，)x 1x 2g(x)<0(x)<0f ′f(x)x ∈(,+∞)x 2g(x)>0(x)>0f ′f(x)a ≥0=2−2≤0x 1a +1−−−−√>0x 2∴x ∈(0,)x 2g(x)<0(x)<0f ′f(x)x ∈(,+∞)x 2g(x)>0(x)>0f ′f(x)a ≤−1f(x)(0,+∞)−1<a <0f(x)(0,2−2)a +1−−−−√(2−2,2+2)a +1−−−−√a +1−−−−√(2+2,+∞)a +1−−−−√a ≥0f(x)(0,2+2)a +1−−−−√(2+2,+∞)a +1−−−−√△ABC ∠AOB =，∠BOC =，∠AOC =π35π65π6|OA|=|OB|=5，|OC|=43–√|AC =|OA +|OC −2|OA|⋅|OC|⋅cos ∠AOC =|2|2|2+−2×5×4⋅cos =13352(4)3–√23–√5π6|AC|=133−−−√|BC|=133−−−√|AC|=|BC|△ABC |OA|=|OB|=5，∠AOB =π3△AOB |AB|=|OA|=|OB|=5AB h ==−(AC)2(AB)122−−−−−−−−−−−−−−−√133–√2=××5=S △ABC12133–√2653–√4此题暂无解析【解答】略22.【答案】解：当时，函数，不等式转化为：，即，∴，解得，∴不等式的解集为.由得，设，则不等式的解集非空等价于，由得.由题意知存在，使得上式成立，而函数在上的最大值为，∴，即的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，函数，不等式转化为：，即，∴，解得，∴不等式的解集为.由得，设，则不等式的解集非空等价于，由得.由题意知存在，使得上式成立，而函数在上的最大值为，∴，即的取值范围是．(1)a =2f (x)=|2x +2|+1f (x)+x <2|2x +2|+1+x <2|2x +2|<1−x x −1<2x +2<1−x −3<x <−13{x|−3<x <−}13(2)f (x)≥b +|2x +|a 2b ≤|2x +a|−|2x +|+1a 2g(x)=|2x +a|−|2x +|+1a 2b ≤g(x)max g(x)≤|(2x +a)−(2x +)|+1=|−a|+1a 2a 2b ≤|−a|+1a 2a ∈[−,1]13h (a)=|−a|+1a 2a ∈[−,1]13h(−)=13139b ≤139b (−∞,]139(1)a =2f (x)=|2x +2|+1f (x)+x <2|2x +2|+1+x <2|2x +2|<1−x x −1<2x +2<1−x −3<x <−13{x|−3<x <−}13(2)f (x)≥b +|2x +|a 2b ≤|2x +a|−|2x +|+1a 2g(x)=|2x +a|−|2x +|+1a 2b ≤g(x)max g(x)≤|(2x +a)−(2x +)|+1=|−a|+1a 2a 2b ≤|−a|+1a 2a ∈[−,1]13h (a)=|−a|+1a 2a ∈[−,1]13h(−)=13139b ≤139b (−∞,]139。

课时同步练4.3.1 等比数列（1）一、单选题1．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ¹，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =.故选C.2．在递增等比数列{}n a 中，1510a a +=，34a =，则19a =（ ）A ．192B ．202C ．92D ．102【答案】D【解析】由于数列为等比数列，故41121104a a q a q ì+=í=î，由于数列是递增的数列，故解得212,2q a ==，故()91829101912222a a q q ==´=´=，故选D.3．下列说法正确的是（）A ．等差数列不可能是等比数列B ．常数列必定既是等差数列又是等比数列C ．若一个数列既是等比数列又是等差数列，则这个的数列必是常数列D ．如果一个数列的前n 项和是关于n 的二次函数，那么这个数列必定是等差数列【答案】C【解析】公差为0，首项不为0的等差数列，也是等比数列，故AB 错误；C 正确；等差数列的前n 项和为211(1)222-æö=+=+-ç÷èøn n n d d S na d n a n ，常数项为0，故D 错误；故选C4．在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ¹.若12345m a a a a a a =，则m =（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】由等比数列的性质可知，故选C.5．设{}n a 是等比数列，下列说法一定正确的是（）A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．369,,a a a 成等比数列【答案】D【解析】A 项中()222831191319,,a a q a a a q a a a =××=×¹×，故A 项说法错误；B 项中()()2222631261a a qa a a q =×¹×=×，故B 项说法错误； C 项中()()2232841281a a q a a a q =×¹×=×，故C 项说法错误；故D 项中()()22521061391a a q a a a q =×=×=×，故D 项说法正确，故选D.6．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为（）A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000【答案】C【解析】由对数的计算可得：6381310a a a =，由等比数列性质：21153138a a a a a ==，所以：8100a =，2115810000a a a ==.故选C.7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为（）A ．13B ．3C ．±13D ．±3【答案】B【解析】设等差数列公差为d ，首项为1a ，则21a a d =+，312a a d =+，615a a d =+，由等比中项公式：()()()211125a d a d a d +=++，化简可得：12d a =-.所以：21a a =-，313a a =-，作比可得公比为：3.故选B.8．在等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则23456789a a a a a a a a =（）A ．81B ．CD ．243【答案】A【解析】因为等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则4423456789110()381a a a a a a a a a a ===，故选A9．在等比数列{}n a 中，56a a m +=，1516a a n +=，则2526a a +的值为（ ）A ．n mB ．22n m C ．2n mD ．2n m 【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则565(1)a a m a q +==+，151615(1)a a n a q +==+，21010152********(1)(1)a n n a a a q a q q nq n n a m m+=+=+==×=×=.故选C10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音1c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为的音名是（ ）A ．dB ．fC ．eD ．#d【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1122．故从g起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为1122q -=由1112440(2)n --=´，解得7n =，频率为的音名是(#)d ，故选D.11．在等差数列{}n a 中，171,4a a ==，数列{}n b 是等比数列.若23321,b a b a ==，则满足不等式801nb a <的最小正整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设等差数列的公差为d ，因为171,4a a ==，所以7163-==d a a ，即12d =，所以111(1)22n n a n +=+-´=，所以233212,23====b a b a ，设等比数列的公比为q ，则3213==b q b ，所以222123--æö==´ç÷èøn n n q b b ，由801n b a <得2122381-æö´<ç÷èøn ，解得24->n ，所以6n >.故选C12．等比数列的首项12004a =，公比12q =-，设n P 表示数列{}n a 前n 项的积，则n P 中最大的是（ ）A ．13P B ．12P C ．11P D ．10P 【答案】B【解析】由等比数列的首项12004a =，公比12q =-，可得11112004(2n n n a a q --==×-，当n 为奇数时，0n a >，当n 为偶数时，0n a <，当2n ³时，11231231112004(2n n nn n n a a a a a a a a P a P ---===×-L L ，当11n £时，11nn P P ->，此时n P 单调递增；当12n ³时，11nn P P -<，此时n P 单调递减；当9n =时，可得993612004()02P =×>；当10n =时，可得10104512004(02P =×-<.当11n =时，可得11115512004()02P =×->；当12n =时，可得12126612004()2P =×-，又由1266312303303030936912004()11122004((1024)()2()112222004()2P P ×==×->×-=×=×，所以129P P >所以当12n =时，可得n P 中最大的是126612004(2×.故选B.二、填空题13．已知等比数列1221,,,,,2n x x x ×××，则12n x x =______.【答案】2【解析】由于数列是等比数列，故12122n x x =´=.故填214．若,22,33,y y y ++L 组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．【答案】272-【解析】由,22,33,y y y ++L 组成等比数列，可得2(22)(33)y y y +=+，解得4y =-或者1y =-，当1y =-时，等比数列前三项是1,0,0-，舍去；当4y =-时，等比数列前三项是4,6,9---，可得该数列的第4项的值为272-，故填272-.15．已知a ，b ，c ，d 是以2为公比的等比数列，则22a bc d+=+______.【答案】14【解析】由题可知，23,,b aq c aq d aq ===，=2q ，则23224122164a b a aq a c d aq aq a ++===++故填1416．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且465768236a a a a a a ++=，则57a a +等于______.【答案】6【解析】{}n a 是等比数列，所以24656872,a a a a a a ==，所以4657682a a a a a a ++2572572a a a a =++()25736a a +==，所以576a a +=±，而0n a >，所以576a a +=，故填6.17．数列{}n a 是等比数列，且3816a a =，则1210a a a +++=L ______.【答案】40【解析】数列{}n a 是等比数列，且3816a a =，则1102934785616a a a a a a a a a a =====，由对数运算及等比数列的性质化简可知1210a a a +++L ()12103a a a a =××L 5=()5422log 240==，故填40.18．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得18{12a q ==.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n nn a a a a qL L --++++-==´=，于是当3n =或4时，12n a a a L 取得最大值6264=.故填64三、解答题19．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，求91078a a a a ++的值．【解析】因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3121222a a a æö´=+ç÷èø，即3122a a a =+．设数列{}n a 的公比为q ，则21112a q a a q =+，即212q q =+．解得1q =1q =-892910116778113a a a q a q q a a a q a q++\===+++20．在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q ==ìíî，解得113a q ìíî==，因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==.21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【解析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==´=，所以12n n a n -=×．22．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N Î，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++LL n nT S S S S ，证明：1n T ³．【解析】（1）设数列{}n a 公比为q (1)q >，1244a a q Þ×==，①因为21a +是1a 与3a 的等差中项，所以有221312(1)(1)10a a a a q +=+Þ+=②，由①②组成方程组为：1214(1)10a q a q ×=ìí+=î，因为1>q ，所以方程组的解为：122a q =ìí=î，所以数列{}n a 的通项公式为：2nn a =；（2）22log 2log n n n n nb a b b n ==Þ=Þ，(1)2n n n S +=，1231111n n T S S S S =++++LL 2222122334(1)n T n n =++++´´´Þ+LL 111111112(1)2(1)2233411n n n T n Þ=´-+-+-++-=-++LL 1111120111212n n N n n n T *Î\+³\<£\-³\³++Q 命题得证.。

一、等比数列选择题1．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312C ．15D ．63．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++=（ ） A ．3B ．505C ．1010D ．20205．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．2506．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．37．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220208．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （ ）A ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或610．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ） A ．32B ．16C ．8D ．411．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1613．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．12214．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3715．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 16．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定17．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1118．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列19．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102320．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T二、多选题21．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1422．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 23．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-124．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列25．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25 B ．26C ．27D ．2826．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ）A ．8B ．12C ．－8D ．－1227．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8328．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列29．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++30．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=31．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 32．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列33．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和2(n S an bn c a =++，b ，c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C ．数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等差数列D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯仍为等比数列；35．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ， 则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q =，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 2．B 【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 3．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2nn n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列， 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由2(1)0n n nS T λ-->，得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以221131(1)1022n nn λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以211131(1)110222n n n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 4．C 【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，所以313232020log log log a a a +++()10103101010113log log 31010a a ===.故选：C 5．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 6．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=，则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 7．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.8．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==， 因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 9．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 10．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=， 所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，所以235328a a q ===． 故选：C 11．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 12．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 13．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =， 故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =， 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 14．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算.15．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 16．A 【分析】根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2x q =，即可求得x 的值. 【详解】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A 17．B 【分析】根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =. 所以31a =，211a q ∴=，因为13q =，所以19a =. 因此()3131131a q S q-==-.故选：B 18．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 19．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 20．B 【分析】根据11a >，667711,01a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确； 因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.二、多选题21．BD【分析】设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得1112114a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为21531a a a ==，2311a a q == ， 所以51115135151511111112111114a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1142.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 当14a =，12q =时，551413121412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；当114a =，2q 时，5314S =，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314S =. 故选：BD. 【点睛】本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为1112114a a ++=，进而解方程计算. 22．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .23．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.24．AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a aq a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 25．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 26．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案； 【详解】5721624a q q a ==⇒=±， 当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-， 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 27．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 28．AC 【分析】 由已知得12n na 可得以2122n n a -=，可判断A ；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，可判断B ；由122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.【详解】等比数列{}n a 中，满足11a =，2q，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；又1111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确；因为122log log 21n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；数列{}n a 中，101010111222S -==--，202021S =-，303021S =-，10S ，20S ，30S 不成等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 29．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 30．BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22n n n n n T ++==， 故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 31．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 32．ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 33．AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +===，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a q q f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.34．ABD【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列，若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确.故选：ABD .【点睛】本题考查等差、等比数列性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．AC【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确； 在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列，2213a a a ∴=，()461r ∴=+， 解得13r =-，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

课时作业(五十)B [第50讲 抛物线][时间：35分钟 分值：80分] 基础热身1．若点P(x ，y)到点F(0,2)嘚距离比它到直线y ＋4＝0嘚距离小2，则P(x ，y)嘚轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y2．抛物线x 2＝(2a －1)y 嘚准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52 B.32 C ．－12 D ．－323．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴嘚直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 嘚面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．64．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a 嘚取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0,2] D ．(0,2) 能力提升5．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上嘚两点，O 是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB 嘚垂心恰好是抛物线嘚焦点，则直线AB 嘚方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝3pC ．x ＝32pD ．x ＝52p6．已知抛物线y 2＝2px(p>0)嘚焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)均在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|7．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上嘚一个动点，则点P 到点(0,2)嘚距离与P 到该抛物线准线嘚距离之和嘚最小值为( )A.172 B ．3 C.5 D.928． 若抛物线y 2＝4x 嘚焦点是F ，准线是l ，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切嘚圆共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个9．已知抛物线C 嘚顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2,2)为AB 嘚中点，则抛物线C 嘚方程为________．10． 已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)嘚准线为l ，过M(1,0)且斜率为3嘚直线与l 相交于点A ，与C 嘚一个交点为B.若AM →＝MB →，则p ＝________.11． 已知以F 为焦点嘚抛物线y 2＝4x 上嘚两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 嘚中点P 到准线嘚距离为________．12．(13分) 在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴嘚交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l.(1)求动点Q 嘚轨迹方程C ；(2)设圆M 过A(1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得嘚弦，当M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．图K50－1 难点突破13．(12分) 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)嘚距离减去它到y 轴距离嘚差都是1.(1)求曲线C 嘚方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 嘚任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 嘚取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(五十)B 【基础热身】1．C [解析] 点P(x ，y)到点F(0,2)嘚距离比它到直线y ＋4＝0嘚距离小2，说明点P(x ，y)到点F(0,2)嘚距离与到直线y ＋2＝0即y ＝－2嘚距离相等，轨迹为抛物线，其中p ＝4，故所求嘚抛物线方程为x 2＝8y.2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线嘚准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A(1,2)，B(1，－2)，|AB|＝4，故△OAB 嘚面积S ＝12|AB||OF|＝12×4×1＝2. 4．B [解析] 设点Q 嘚坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由|PQ|≥|a|，得y 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a)≥0，∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a≥0，即a≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208嘚最小值为2，所以a≤2.【能力提升】5．D [解析] A(x 0，y 0)，则B(x 0，－y 0)，由于焦点F p2，0是抛物线嘚垂心，所以OA ⊥BF.由此得y 0x 0×－y 0x 0－p 2＝－1，把y 20＝2px 0代入得x 0＝5p 2，故直线AB 嘚方程是x ＝52p.6．C [解析] 由抛物线定义，2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.7．A [解析] 依题设P 在抛物线准线嘚投影为P′，抛物线嘚焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.依抛物线嘚定义知P 到该抛物线准线嘚距离为|PP′|＝|PF|，则点P 到点A(0,2)嘚距离与P 到该抛物线准线嘚距离之和d ＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝172. 8．C [解析] 满足条件嘚圆嘚圆心C 到F 嘚距离到准线l 嘚距离相等，故圆心C 一定在抛物线上，又需满足|CM|＝|CF|，故点C 在线段MF 嘚垂直平分线l′上，而l′与抛物线有两个交点C 1，C 2，则分别以C 1，C 2为圆心，|C 1F|，|C 2F|为半径嘚两个圆都符合要求．9．y 2＝4x [解析] 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx ＝0，x 1＋x 2＝k ＝2×2＝4，故y 2＝4x.10．2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵AM →＝MB →，∴M 为AB 中点，∴|BM|＝12|AB|.又斜率为3，∠BAE ＝30°，∴|BE|＝12|AB|，∴|BM|＝|BE|，∴M 为抛物线嘚焦点，∴p ＝2.11.83 [解析] 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，则|AF|＝x A ＋1，|BF|＝x B ＋1，∴x A ＋1＝3(x B ＋1)．① 由几何关系，x A －1＝3(1－x B )．②联立①②，得x A ＝3，x B ＝13，∴所求距离d ＝x A ＋x B 2＋1＝83.12．[解答] (1)依题意知，点R 是线段FP 嘚中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 嘚垂直平分线． ∵|PQ|是点Q 到直线l 嘚距离．点Q 在线段FP 嘚垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|. 故动点Q 嘚轨迹是以F 为焦点，l 为准线嘚抛物线， 其方程为：y 2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C 上点M(x 0，y 0)，M 到y 轴嘚距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆嘚半径r ＝|MA|＝x 0－12＋y 20，则|TS|＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS|＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．【难点突破】13．[解答] (1)设P(x ，y)是曲线C 上任意一点，那么点P(x ，y)满足x －12＋y 2－x ＝1(x>0)．化简得y 2＝4x(x>0)．(2)设过点M(m,0)(m>0)嘚直线l 与曲线C 嘚交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．设l 嘚方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m)>0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m.①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1<0，⇔y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④对任意实数t,4t 2嘚最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m<3＋22.由此可知，存在正数m ，对于过点M(m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 嘚任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 嘚取值范围是(3－22，3＋22)．。

第2课时等比数列的性质及应用必备知识基础练1.在等比数列{a n}中,a2=27,公比q=-13,则a5=()A.-3B.3C.-1D.12.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=()A.6B.-6C.6.5D.±63.已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6=20,若a m2=10,则m=()A.9B.10C.11D.124.(2021天津滨海高二期末)在等比数列{a n}中,a1=7,a4=a3a5,则a7=()A.19B.17C.13D.75.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-266.(多选题)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36B.36C.-36√2D.36√27.(2021河南名校联盟高二月联考)已知等比数列{a n}的各项均为正数,若a2a9a16=64,则log2a1+log2a2+…+log2a17=.8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.9.等比数列{a n}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=329;③三个数23a2,a32,a4+49依次成等差数列.试求数列{a n}的通项公式.10.设{a n}是各项均为正数的等比数列,b n=log2a n,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求a n.关键能力提升练11.已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo g13(a5+a7+a9)的值为()A.-5B.-15C.5 D.1512.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第()年这个工厂的产值将超过2a.A.6B.7C.8D.913.在正项等比数列{a n}中,a3=2,16a52=a2a6,则数列{a n}的前n项积T n中最大的值是()A.T3B.T4C.T5D.T614.(2021河南郑州高二期末)已知数列{a n}是等比数列,满足a5a11=4a8,数列{b n}是等差数列,且b8=a8,则b7+b9=()A.24B.16C.8D.415.(2021陕西西安八校高二联考)两个公比均不为1的等比数列{a n},{b n},其前n项的乘积分别为A n,B n,若a5b5=2,则A9B9=()A.512B.32C.8D.216.(2021辽宁辽西协作体高二联考)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等比数列,上面3节的容积之积为3升,下面3节的容积之积为9升,则第5节的容积为()A.2升B.6766升 C.3升 D.√3升17.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假定某种传染病的基本传染数R0=3,那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为()注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0+1个人每个人再传染R0个人为第二轮感染.A.5B.6C.7D.818.在各项均为正数的等比数列{a n}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若a n-1a n a n+1=324,则n=.19.已知各项都为正数的等比数列{a n}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足a n a n+1a n+2>19的最大正整数n的值为.20.在等比数列{a n}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,数列{b n}的前n项和为S n,当S11+S22+…+S nn取最大值时,求n的值.学科素养创新练21.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.参考答案第2课时 等比数列的性质及应用1.C 在等比数列{a n }中,a 2=27,q=-13, 则a 5=a 2q 3=-1.2.A 由等比数列的性质可得,奇数项的符号相同, 则a 5=√a 3a 7=√4×9=6.3.B 依题意,数列{a n }是等比数列,且a 15a 5+a 14a 6=2a 102=20,所以a 102=10,所以m=10. 4.B 在等比数列{a n }中,a 1=7,由a 4=a 3a 5=a 42,得a 4=1或a 4=0(舍去). 由a 1a 7=a 42,得a 7=17.5.A 因为{a n }是等比数列,所以a 1a 13=a 2a 12=a 3a 11=a 4a 10=a 5a 9=a 6a 8=a 72,于是该数列的前13项的乘积为a 1a 2…a 13=a 713=(-2)13=-213.6.CD 设{a n }的公比为q ,则a 9+a 11=q 6(a 3+a 5),于是q 6=a 9+a11a 3+a 5=14418=8,因此q 3=±2√2,所以a 6+a 8=q 3(a 3+a 5)=±36√2.故选CD .7.34 由a 2a 9a 16=64得a 93=64,即a 9=4.则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 17=log 2(a 1a 2…a 17)=log 2a 917=log 2417=34.8.12 设衰分比例为q ,则甲、乙、丙各分得28q 石、28石、28q 石,∴28q +28+28q=98,∴q=2或12. 又0<q<1,∴q=12.9.解由等比数列的性质知a 1a 6=a 3a 4=329,所以{a 1+a 6=11,a 1a 6=329,解得{a 1=13,a 6=323或{a 1=323,a 6=13. 当{a 1=13,a 6=323时,q=2,所以a n =13·2n-1,这时23a 2+a 4+49=329,2a 32=329,所以23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,故a n =13·2n-1.当{a 1=323,a 6=13时,q=12,a n =13·26-n ,23a 2+a 4+49≠2a 32,不符合题意.故通项公式a n =13·2n-1. 10.解设数列{a n }的公比为q ,则a 1>0,q>0,∵b 1+b 2+b 3=3,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=3, ∴log 2(a 1a 2a 3)=3,∴a 1a 2a 3=8,∴a 2=2. ∵b 1b 2b 3=-3,∴log 2a 1·log 2a 2·log 2a 3=-3, ∴log 2a 1·log 2a 3=-3,∴log 2a2q ·log 2a 2q=-3, 即(log 2a 2-log 2q )·(log 2a 2+log 2q )=-3, 即(1-log 2q )·(1+log 2q )=-3,解得log 2q=±2. 当log 2q=2时,q=4,a 1=a 2q=12,∴a n =12×4n-1=22n-3;当log 2q=-2时,q=14,a 1=a2q=8,∴a n =8×(14)n -1=25-2n .11.A ∵log 3a n +1=log 3a n+1,∴a n+1a n=3,∴数列{a n }是等比数列,公比q=3,∴lo g 13(a 5+a 7+a 9)=lo g 13(a 2q 3+a 4q 3+a 6q 3)=lo g 13[(a 2+a 4+a 6)q 3]=lo g 13(9×33)=-5.12.C 设从今年起第n 年这个工厂的产值为a n ,则a 1=1.1a ,a 2=1.12a ,…,a n =1.1na.依题意,得1.1n a>2a ,即1.1n>2,解得n ≥8.13.A 依题意,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3q n-3=2·43-n =27-2n,令a n >1,即27-2n>1,得n<72,因为n ∈N *,所以n ≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A .14.C ∵数列{a n }是等比数列,∴a 5a 11=a 82=4a 8,又a 8≠0,∴a 8=4.又{b n }是等差数列,b 8=a 8,∴b 7+b 9=2b 8=2a 8=8.15.A 因为A 9=a 1a 2a 3…a 9=a 59,B 9=b 1b 2b 3…b 9=b 59,所以A9B 9=a 5b 59=512.16.D (方法1)依题意,竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n }, 则{a 1·a 1q ·a 1q 2=3,a 1q 6·a 1q 7·a 1q 8=9,解得a 1q=√33,q 3=√36, ∴第5节的容积为a 1q 4=a 1q ·q 3=√33·√36=√3.(方法2)依题意,竹子自上而下各节的容积成等比数列{a n },a 1a 2a 3=3,a 7a 8a 9=9,由等比数列的性质可知a 1a 2a 3a 7a 8a 9=(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)=a 56=27.所以a 5=√3.17.B 设经过第n 轮传染,感染人数为a n ,经过第一轮感染后,a 1=1+3=4,经过第二轮感染后,a 2=4+4×3=16,于是可以得知经过传染,每一轮感染总人数构成等比数列,所以经过第n 轮传染,感染人数为a n =4n,所以a 5=1024,a 6=4096,因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮.18.14 设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=a 23=4与a 4a 5a 6=a 53=12,可得a 53a 23=(q 3)3,q 9=3.又a n-1a n a n+1=a n 3=(a 2q n-2)3=324,因此q3n-6=81=34=q 36,所以n=14.19.4 ∵a 2a 4=4=a 32,且a 3>0,∴a 3=2.设公比为q ,则a 1+a 2+a 3=2q 2+2q +2=14, ∴1q =-3(舍去)或1q =2,即q=12,∴a 1=a3q 2=8. ∴a n =a 1q n-1=8×12n-1=12n-4,∴a n a n+1a n+2=123n-9>19,即23n-9<9,∴n 的最大值为4.20.解(1)∵a 1a 3+2a 2a 4+a 3a 5=25,由等比数列的基本性质可得a 22+2a 2a 4+a 42=25,∴(a 2+a 4)2=25.∵a 3=2,q ∈(0,1),则对任意的n ∈N *,可得出a n >0, ∴a 2+a 4=5.∴{a 3=a 1q 2=2,a 2+a 4=a 1q(1+q 2)=5,0<q <1,解得{a 1=8,q =12,因此,a n=a1q n-1=8×12n-1=24-n.(2)b n=log2a n=log224-n=4-n,则数列{b n}为等差数列,可得S n=n(b1+b n)2=n(3+4-n)2=7n-n22,∴S nn =7n-n22n=7-n2,则S n+1n+1−S nn=7-(n+1)2−7-n2=-12,∴数列S nn 为等差数列,则S11+S22+…+S nn=n(S11+S nn)2=n(3+7-n2)2=13n-n24=-14n-1322+16916,由n∈N*,可得n=6或n=7时,S11+S22+…+S nn取得最大值.21.解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为a n毫克,则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,a3=220+a2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得a n+1=220+25a n,∴a n+1-11003=25(a n-11003),∴{a n-11003}是以a1-11003=-4403为首项,25为公比的等比数列,∴a n-11003=-4403(25)n-1,∵-4403(25)n-1<0,∴a n<11003=36623,∴a n<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.。

课时作业(二十八)B [第28讲 等差数列][时间：35分钟 分值：80分] 基础热身1． 数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋3，且a 3＝8，则S 10等于( ) A ．155 B ．160 C ．172 D ．2402． 等差数列{a n }嘚前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13嘚值是( ) A ．65 B ．70 C ．130 D ．2603． 在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．244． S n 为等差数列{a n }嘚前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 能力提升5． 已知等差数列{a n }嘚前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }嘚公差d 是( )A.12B ．1C ．2D ．36． {a n }是首项为1，公差为2嘚等差数列，令b n ＝a 3n ，则数列{b n }嘚一个通项公式是( ) A ．b n ＝3n ＋2 B ．b n ＝4n ＋1 C ．b n ＝6n －1 D ．b n ＝8n －37． 设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．248．设等差数列{a n }嘚前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 嘚值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．89． 已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.10． 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d(n ∈N *，d为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.11． 已知数列{a n }满足a 1＝t ，a n ＋1－a n ＋2＝0(t ∈N *，n ∈N *)，记数列{a n }嘚前n 项和嘚最大值为f(t)，则f(t)＝________.12．(13分) 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }嘚前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }嘚前n 项和T n .难点突破13．(12分) 设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }嘚通项公式； (2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1nb k，证明：S n＜1.课时作业(二十八)B 【基础热身】1．A [解析] 由a n ＋1＝a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差d ＝3嘚等差数列，由a 3＝8，得a 1＋2d ＝8，a 1＝2，所以S 10＝10×2＋10×92×3＝155，故选A.2．C [解析] 设等差数列{a n }嘚公差为d ，由a 1＋a 9＋a 11＝30，得 a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30，即a 1＋6d ＝10， ∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d)＝130，故选C.3．B [解析] 由已知，有a 1＋(k －1)d ＝7a 1＋7×62d ，把a 1＝0代入，得k ＝22，故选B.4．－1 [解析] 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d 解得4(a 1＋3d)＋2d ＝0，即2a 4＋d ＝0，所以a 4＋(a 4＋d)＝0，即a 5＝－a 4＝－1.【能力提升】5．C [解析] 由S 33－S 22＝1，得13(3a 1＋3d)－12(2a 1＋d)＝1，解得d ＝2，故选C.6．C [解析] 由已知，得{a n }嘚通项公式为a n ＝2n －1，则数列{b n }嘚前4项为5,11,17,23，即数列{b n }是首项b 1＝5，公差为6嘚等差数列，它嘚一个通项公式为b n ＝6n －1，故选C.7．B [解析] 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0， ∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.8．C [解析] 方法1：S 3＝S 11得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列性质可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．方法2：由S 3＝S 11可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2，故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时S n 最大．方法3：根据a 1＝13，S 3＝S 11，这个数列嘚公差不等于零，说明这个数列嘚和先是单调递增嘚，然后单调递减，根据公差不为零嘚等差数列嘚前n 项和是关于n 嘚二次函数，以及二次函数图象嘚对称性，当S 3＝S 11时，只有n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．9．4 [解析] 因为对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，所以a n ＋1－a n ＝a 1＝19，数列{a n }是以a 1＝19为首项，公差为19嘚等差数列，故a 36＝19＋(36－1)×19＝4.10．20 [解析] 由调和数列嘚定义，得x n ＋1－x n ＝d ，即数列{x n }是等差数列， 则x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11， ∴x 1＋x 2＋…＋x 20＝10(x 1＋x 20)＝200， 故x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.11.⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t 4，t 为偶数，t ＋124，t 为奇数[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝－2，则数列{a n }是公差为－2嘚等差数列，数列{a n }嘚前n 项和为S n ＝nt ＋nn －12×(－2)＝－n 2＋(t ＋1)n＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －t ＋122＋t ＋124.若t 为奇数，t ＋12是整数，则当n ＝t ＋12时，S n 有最大值t ＋124；若t 为偶数，则t ＋12不是整数，则当n ＝t 2或n ＝t 2＋1时，S n 有最大值t 2＋2t4.故f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t 4t 为偶数，t ＋124t 为奇数.12．[解答] (1)设等差数列{a n }嘚公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋nn －12×2＝n 2＋2n.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1nn ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 4n ＋1，即数列{b n }嘚前n 项和T n ＝n 4n ＋1.【难点突破】13．[解答] (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1嘚等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n. 所以a n ＝1－1n .(2)证明：由(1)得 b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n－1n ＋1， ∴S n ＝∑nk ＝1b k ＝∑nk ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1k－1k ＋1＝1－1n ＋1<1.。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.汽车以速度做直线运动时，在第1s到第2s间的1s内经过的路程为( )A．5m B．6.5m C．8m D．6m【答案】B【解析】将区间分成等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则)≈v(1+)=3(1+)+2=+5.Δt=，v(ξi所以.所以.【考点】定积分的概念.2.A．120B．720C．1440D．5040【答案】B【解析】由程序框图知：当输入的时，模拟程序的运行，可得第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第五次循环；第五次循环．不满足条件，跳出循环体，输出．故选D.3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【解析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．4.曲线所围成的图形的面积为__________．【答案】【解析】因为，所以应填答案。

5.已知，，，则的最小值为．【答案】．【解析】，当且仅当时等号成立，∴的最小值为．【考点】基本不等式求最值．6.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即；故填．【考点】导数的几何意义．7.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】∵大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当x＞x0时和当x＜x时的导函数值异号时，那么x=x是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．【考点】演绎推理的基本方法．8.某单位为了了解用电量（千瓦时）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310-1由表中数据得到线性回归方程中，预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为．【答案】【解析】因，将，代入，可得，所以当代人可得.【考点】线性回归方程及运用．【易错点晴】线性回归方程是高中数学的统计中的内容之一，也是高中数学中的重要知识点，属于统计学中工具的范畴.由于这个知识点在日常生活与实际运用中的价值性，因此这部分内容常常涉及到的内容都是较为广泛.如本题的解答中要求先建立符合题设条件的线性回归方程，再运用这个线性回归方程求出当时用电量的度数，使得实际问题得以获解.9.已知函数．（1）解不等式；（2）若存在实数使得，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设分类建立不等式组求解；（2）借助题设条件和分类整合思想求解.试题解析:（1）或或解得或，解集为（2），，所以只需满足【考点】绝对值函数和不等式等关知识及运用．10.已知函数.(Ⅰ)当时，求的解集；(Ⅱ)若的解集包含集合，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）借助题设条件运用分类整合的思想求解；（2）依据题设运用绝对值的几何意义分析探求.试题解析：（1）当时，，上述不等式化为，或，或，解得，或，或.或或，所以原不等式的解集为.（2）的解集包含当时，不等式恒成立，即在上恒成立，，即在上恒成立，，的取值范围是.【考点】绝对值不等式的性质及分类整合思想等有关知识的综合运用.11.已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如下图所示，取中点，连结，，则可知面，∴即为直线与平面所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为，∴在中，，故选A．【考点】直线与平面所成的角．12.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，，，，，，符合条件输出，故选C.【考点】直到型循环结构程序框图运算.【名师】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.13.在中，，，的角平分线，则________.【答案】【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以．【考点】正余弦定理．【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．14.抛物线的焦点坐标为________.【答案】（0，－）【解析】由得，焦点为（0，－）.【考点】抛物线的性质.15.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意得且k＜0则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥-1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象可得，【考点】导数的几何意义16.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据数形结合，和都是过原点的直线，并且，当在原点处相切时，，所以不等式恒成立，只需，故填：.【考点】1.数形结合；2.导数的几何意义.17.设为三角形的三边，求证：【答案】见解析【解析】本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.试题解析：要证明：需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) 5分需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需证明a+2ab+b+abc>c 10分∵a,b,c是的三边∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0∴a+2ab+b+abc>c∴成立。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题4. 3等比数列（A 卷基础篇）（人教A 版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =（ ）A ．2B ．-2C D ．【答案】A 【解析】因为各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =´=，所以32a =（负值舍去）故选：A.2．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =，数列{}n a 的公比为（ ）.A ．12B ．2-C ．2D ．12-【答案】C 【解析】数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=×，（q 为数列{}n a 的公比），则3341162a a q q =×Þ=×，解得2q =.故选：C.3．（2020·山东省济南回民中学高二期中）在等比数列{}n a 中，11a =，2q =，则数列的前5项和等于（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】A 【解析】因为等比数列{}n a 中，11a =，2q =，所以数列的前5项和()()55151********a q S q-´-===--，故选：A .4．（2020·全国高二课时练习）2与2+的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．1-或1【答案】D 【解析】由题意可设2与2+的等比中项是m ，则2(21m =-+=，解得1m =-或1m =.故选：D.5．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ）A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏【答案】C 【解析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ´-==-，解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243(273´=盏.故选：C6．（2020·江苏省锡山高级中学高二月考）在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意可得等比数列通项5111122n n n a a q -æöæö===ç÷ç÷èøèø，则5n =故选：C7．（2020·江苏南通市·高二期中）已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定【答案】A 【解析】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =，故选：A8．（2020·云南高二学业考试）已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q =，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】B 【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q =，所以211a a q==，又因为()()1111nn a q S q q-=¹-，所以()551123112S-==-.故选：B.9．（2020·河南南阳市·高三期中（理））公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D.10．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（ ）A ．91010a -B ．4510a-C ．4510aD ．91010a【答案】A 【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：1101110nn n n a a a ---=Û=则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a---æö==ç÷èø则视力5.1的视标边长为91010a -故选：A第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·河南高三月考（理））已知等比数列{}n a 满足3432a a =且22a =，则1a =________.【答案】43【解析】因为3432a a =，所以4332a q a ==.故由等比数列的通项公式得2124332a a q ===.故答案为：4312．（2020·上海市建平中学高三期中）已知公比为q 的等比数列{}n a 满足2432a a a +=，则q =__________________．【答案】1【解析】因为{}n a 为等比数列，且2432a a a +=，所以321112a q a q a q +=，即212q q +=，解得1q =，故答案为：113．（2020·湖北省孝感市第一高级中学高一期中）从盛有1L 纯酒精的容器中倒出1L 3，然后用水填满，再倒出1L 3，又用水填满…….连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32L 243，则n =________.【答案】5【解析】根据题意，连续进行了n 次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列{}n a ，则数列{}n a 是首项为23，公比为23的等比数列，则1222(()()333n nn a -=´=，若连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32243L ，即232(3243n =，解得5n =，故答案为：5．14．（2020·浙江高二单元测试）在正项等比数列{}n a 中，若126a a +=，38a =，则q =___________；n a =___________．【答案】2 2n 【解析】由题意可知0q >，由题意可得()1212311680a a a q a a q q ì+=+=ï==íï>î，解得122a q =ìí=î，111222n n n n a a q --\==´=.故答案为：2；2n .15．（2020·全国高三专题练习）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取.【答案】16411 【解析】记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n n a =，所以6611264a ==，由1122018n n a =<得10n >，所以n 的最小值为11.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取.故答案为：164；11.16．（2020·江苏南通市·）n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】2 3 【解析】当1q =时，333S a ¹，不满足题意，故1q ¹；当1q ¹时，有()2131181261a q a q qì=ï-í=ï-î，解之得：123a q =ìí=î.故答案为：2；3.17．（2020·全国高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．【答案】22n n+ 12 【解析】设等差数列的公差为d ，则由36S a =得11335a d a d +=+，即3315d d +=+，解得1d =，则n a n =，(1)2n n n S n -=+=22n n+．由3a ，6a ，k a 成等比数列得263k a a a =×，即263k =，解得12k =．故答案为：22n n+；12三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·全国高二）已知数列{}n a 的通项公式()26*n a n n N =-Î.（1）求2a ，5a ；（2）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）22a =-，54a =；（2）(2)nn b =-.【解析】（1）因为()26*n a n n N =-Î，所以22a =-，54a =，（2）由题意知：等比数列{}n b 中，122b a ==-，254b a ==，公比212b q b ==-∴等比数列{}n b 的通项公式111(2)(2)(2)n n nn b b q--=×=-×-=-19．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，38a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）*2,nn a n N =Î；（2）1*22,n n S n +=-ÎN .【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则223128a a q q ===，所以2q =或2q =-（舍），所以112n n n a a q-==，*n N Î.（2）由（1）得2nn a =，所以()()11121222112n n n n a q S q+--===---.20．（2020·广西桂林市·桂林十八中高二月考（文））在正项等比数列{}n a 中，416a =，且2a ，3a 的等差中项为12a a +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n +的前n 项和为n S ．【答案】（1）2nn a =；（2）()11222n n n nS ++×=+-.【解析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意可得3121111162()a q a q a q a a q ì=í+=+î，解得122a q =ìí=î．\数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=´=；（2）()()()()()1121221211222122n n n n a a a n n nn nS +-+×=++++++×=+=++-+-L L .21．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟（理））已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +ìüíý×îþ的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =，（2）1n n S n =+【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ¹），因为11a =，且139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =，即2(12)1(18)d d +=´+，解得0d =（舍去）或1d =，所以n a n =，（2）由（1）可得11111(1)1n n a a n n n n +==-×++，所以111111+2231n n n S æöæöæö=--+×××+-ç÷ç÷ç÷+èøèøèø1111n n n =-=++22．（2020·安徽高三其他模拟（文））设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.【答案】（1）12n n a -=；（2）6.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以212a q a ==，又22a =，所以11a =，所以1112n n n a a q --==.（2）因为()11211n n n a q S q-==--，所以11212321n n n n n S a --+=-+=×-，由132148n -×->，得13249n -×>，即14923n ->，解得6n ³，所以n 的最小值为6.。

课时跟踪检测(二十九）1．已知|a|＝6,|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b ＝（）A．12 B．8C．－8 D．2答案：A解析:∵｜a｜cos〈a,b〉＝4，｜b｜＝3，∴a·b＝|a｜|b｜cos〈a,b〉＝3×4＝12。

2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2,则|a－b|＝（) A．0 B．1C．2 D．5答案：D解析：｜a－b｜＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.3．已知a＝（1，－2)，b＝（x,2)，且a∥b，则|b|＝（）A．2错误!B．错误!C．10 D．5答案：B解析：∵a∥b，∴错误!＝错误!，解得x＝－1,∴b＝（－1,2)，∴｜b｜＝错误!＝错误!。

故选B。

4．向量a,b满足|a|＝1，|b｜＝错误!，(a＋b)⊥（2a－b),则向量a 与b的夹角为( ）A．45°B．60°C．90°D．120°答案：C解析:∵(a＋b)⊥(2a－b）,∴（a＋b)·(2a－b）＝0，∴2a2－a·b＋2b·a－b2＝0,∴a·b＝0，∴向量a与b的夹角为90°.故选C。

5．已知向量a＝(1,2），b＝（2，－3)．若向量c满足（c＋a）∥b,c⊥（a＋b），则c＝（）A。

错误!B．错误!C。

错误!D．错误!答案：D解析:设c＝（x,y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2),a＋b＝（3，－1)．又(c＋a)∥b，∴2（y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥（a＋b）,∴（x，y)·(3，－1）＝3x－y＝0。

②联立①②，解得x＝－错误!，y＝－错误!。

6．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则错误!·(错误!＋错误!)（)A．最大值为8 B．为定值6C．最小值为2 D．与P的位置有关答案：B解析：设BC的中点为D,连接AD，错误!，错误!的夹角为θ,则有错误!·（错误!＋错误!）＝2错误!·错误!＝2|错误!｜·(｜错误!｜cos θ）＝2｜错误! |2＝6.7．对任意向量a，b,下列关系式中不恒成立的是( ）A．｜a·b|≤|a|｜b|B．|a－b|≤｜｜a|－|b||C．（a＋b)2＝|a＋b｜2D．（a＋b)·(a－b）＝a2－b2答案：B解析：根据a·b＝｜a||b｜cos θ，又cos θ≤1，知｜a·b｜≤|a|｜b｜,A恒成立．当向量a和b方向不相同时,|a－b｜>｜｜a|－|b｜|,B不恒成立．根据|a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立. 根据向量的运算性质,得(a＋b)·(a－b）＝a2－b2，D恒成立．8．已知向量OA→⊥错误!,|错误!｜＝3，则错误!·错误!＝________.答案:9解析:因为错误!⊥错误!,所以错误!·错误!＝0。

2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）1. 已知集合＝，那么下列表示正确的是（ ）A.B.C.D.2. 在一项调查中有两个变量（单位：千元）和（单位：），如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程类型的是( )A.B.C.D.3. 已知函数，则的最大值为( )A.B.C.D.A {0,1,2}0⊆A0∈A{1}∈A{0,1,2}Ax y t 8y x y=a +bxy=c +d x−√y=m +nx 2y=p +q (q >0)e xf (x)=x sin 2sin x +2f (x)−2−11(+−2)=022−−−−−√4. 方程表示的曲线是( )A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 4 分 ，共计44分 ）5. 设，则不等式的解集为________．6. 已知向量与向量的夹角为，若且，则的值为________.7. 已知是等比数列，＝，＝，则数列前项的和为________．8. 已知点在直线＝，则＝________．9. 若，，则的值域是________．（请用区间表示）10. 已知复数＝，＝（为虚数单位），且是实数，则实数的值为________．11. 若圆的半径为，则________．12. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则________．13. 数据，，，，，，，的第百分位数是________．14. 的展开式中的系数为________．（用数字作答）15. 已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为，则是的________心．(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√x ∈R |x −3|<1a →b →120∘=+c →a →b →⊥c →a →||a →||b →{}a n a 22a 5{}a n 5P(3cos θ,sin θ)l :x +3y 1sin 2θf(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)z 16+2i z 21+ai i +z 1a +−4x −2y +F =0x 2y 23F =△ABC A B C a b c b sin B +c sin C =a sin A A =10，1097654，32280(x −2)6x 3P −ABC P ABC O O △ABC三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 15 分 ，共计60分 ）16. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，＝，是的中点．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长．17. 已知是定义域为的奇函数，当时，＝．（1）求；（2）求的解析式．18. （阅读题）在考察野生动物时，常常需要了解野生动物种群的大小，一种常用的方法是，先捕捉一定数量的动物，做上记号（假定记号不会消失），放回到原群体中，过适当时间后，再捕捉第二个样本，统计其中有标记的动物数，最后根据以上资料就可以估计该种群的大小．它的原理是：在捕捉第二个样本时，捉到有标记的动物数是一个服从超几何分布的随机变量，依据超几何分布的期望，就可以估计该种群的大小．现有某野生动物研究小组在山区随机捕捉了只山猫，做上记号后放回山里，一个月后他们又在该山区捕捉了只山猫，发现其中有只有记号．试估计该山区山猫种群的数量． 19. 已知函数在点处的切线与轴平行．（1）求实数，的值；（2）证明：．P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD DC E PC ()PA //BDE ()B −DE −C ()F PB PB ⊥DEF DF f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(x)X 40202f(x)=ax −ln(x +b)(1,1)x a b >(n ∈N,n ≥2)∑k=2n1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高考专题数学高考真卷一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 4 分 ，共计16分 ）1.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】直接由查元素与集合，集合与集合间的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】∵集合＝，∴．2.【答案】B【考点】散点图【解析】散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除．选项，故选【解答】解：散点图呈曲线，故排除选项；又因变量的增长速度变慢，故排除，选项.故选.3.【答案】D【考点】三角函数的最值A {0,1,2}0∈A 4C D BA C D B由三角函数的有界性得：设，则，由“对勾函数”的单调性得：，在为减函数，在为增函数，可得结果．【解答】解：设，则，则，设.由“对勾函数”的性质可得：在上单调递减，在上单调递增.又，，所以，所以的最大值为.故选.4.【答案】D【考点】曲线与方程【解析】将方程等价变形，即可得出结论．【解答】解：由，可化为或，∵不成立，∴，∴方程表示的曲线是一条直线．故选．二、 填空题 （本题共计 11 小题 ，每题 4 分 ，共计44分 ）5.【答案】【考点】绝对值不等式t =sin x +2t ∈[1,3]g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t4t [1,2)(2,3]t =sin x +2t ∈[1,3]x =sin 2(t −2)2g(t)==t +−4(1≤t ≤3)(t −2)2t 4t g(t)[1,2)(2,3]g(1)=1g(3)=13g =g(1)=1(t)max f (x)1D (+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√=0x −3−−−−−√+−2=0(x −3≥0)x 2y 2+−2=0(x −3≥0)x 2y 2x −3=0(+−2)=0x 2y 2x −3−−−−−√D (2,4)由含绝对值的性质得，由此能求出不等式的解集．【解答】解：∵，不等式，∴，解得．∴不等式的解集为．故答案为：．6.【答案】【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】等比数列的前n 项和【解析】根据题意，设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式求出和的值，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．【解答】根据题意，设等比数列的公比为，若＝，＝，则＝＝＝＝＝，所以前项的和＝＝，−1<x −3<1|x −3|<1x ∈R |x −3|<1−1<x −3<12<x <4|x −3|<1(2,4)(2,4)12{}a n q q a 1n {}a n q a 22a 4q 14{}a n 5S 28.【答案】【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意可得＝，两边平方，可得＝ 的值．【解答】∵点在直线＝，∴＝，两边平方，可得＝，9.【答案】【考点】函数的值域及其求法【解析】利用分离参数法即可求解．【解答】解：若，，可得，∵，∴，∴.故答案为：.10.【答案】−893cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θP(3cos θ,sin θ)l :x +3y 13cos θ+3sin θ1sin 2θ2sin θcos θ=−89[−,)3437f(x)=2x −5x +3x ∈[1,4)f (x)==2−2(x +3)−11x +311x +3x ∈[1,4)<≤11711x +3114f(x)∈[−,)3437[−,)34372【考点】复数的运算【解析】由已知求得，再由虚部为求解值．【解答】∵＝，＝，∴＝＝，由题意，＝，即＝．11.【答案】【考点】圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵圆的半径为，∴，解得．故答案为：．12.【答案】【考点】余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答13.【答案】+z 10a z 16+2i z 21+ai +z 1(6+2i)+(1−ai)7+(2−a)i 2−a 0a 2−4+−4x −2y +F =0x 2y 23=312(−4+(−2−4F )2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√F =−4−4【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：将数据从小到大排列：，则，故第百分位数为．故答案为：．14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：的通项公式为，令，则，∴的系数为.故答案为：.15.【答案】外【考点】棱锥的结构特征【解析】利用线面垂直的性质定理、勾股定理、三角形外心的性质即可得出．【解答】9.52，2，3，4，5，6，7，9，10，10i =10×80%=880=9.59+1029.5−160(x −2)6=(−2T r+1C r 6x6−r )r 6−r =3r =3x 3(−2=−160C 36)3−160ABC O如图所示，∵顶点在底面上的射影为，∴底面．∴＝＝＝．，，，∵＝＝．∴＝＝．∴是的外心．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 15 分 ，共计60分 ）16.【答案】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，由得＝，解得，∴，．P ABC O OP ⊥ABC ∠POA ∠POB ∠POC 90∘OA =P −O A 2P 2−−−−−−−−−−√OB =P −O B 2P 2−−−−−−−−−−√OC =P −O C 2P 2−−−−−−−−−−√PA PB PC OA OB OC O △ABC AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法【解析】Ⅰ利用中位线定理可得，进而得证；Ⅱ建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式得解；Ⅲ假设存在，并设出的坐标，根据题设建立方程，解出即可得出结论．【解答】（1）证明：连接＝，连接，∵底面为正方形，∴为对角线，的中点，又是中点，∴，∵在平面内，不在平面内，∴平面；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设＝＝，则，，，，则，设平面的一个法向量为，则，可取，又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，故二面角的余弦值为；Ⅲ假设上存在点，使得平面，设，则＝，∴，∴，()OE //PA ()()F AC ∩BD O OE ABCD O AC BD E PC OE //PA OE BDE PA BDE OE //BDE D DA DC DP x y z PD DC 2A(2,0,0)P(0,0,2)E(0,1,1)B(2,2,0)=(0,1,1),=(2,2,0)DE →DB →BDE =(x,y,z)m ⋅=y +z =0m DE →⋅=2x +2y =0m DB →=(1,−1,1)m DEC =(2,0,0)DA →B −DE −C θcos θ=cos <,>==m DA →⋅m DA →||||m DA →3–√3B −DE −C 3–√3()PB F PB ⊥DEF =λ(0<λ<1),F(x,y,z)PF →PB →(x,y,z −2)λ(2,2,−2)F(2λ,2λ,2−2λ)=(2λ,2λ,2−2λ),=(2,2,−2)DF →PB →=0→→=1由得＝，解得，∴，．17.【答案】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，故．【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据已知可知＝，代入即可求解．（2）设，则，根据时，＝，及＝，＝即可求解函数解析式．【解答】∵是定义域为的奇函数，当时，＝，∴＝＝＝，设，则，∵时，＝，且＝，＝＝，＝，又＝，⋅=0PB →DF →4λ+4λ−2(2−2λ)0λ=13F(,,)232343||==DF →(+(+(23)223)243)2−−−−−−−−−−−−−−−−√26–√3f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(0)0f(x)R x >0f(x)−24x f(2)+f(−1)f(2)−f(1)14−212x <0−x >0x >0f(x)−24x f(x)−f(x)f(−x)−f(x)−24−x f(x)2−4−x f(0)0(x)=−2,x >0x故．18.【答案】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据，可得，即可得出．【解答】，其中，为指定样品数，为样品容量，为指定样本总数，为总体中的个体数．，∴，解得＝．估计该山区山猫种群的数量为只．19.【答案】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程f(x)= −2,x >04x 0,x =02−,x <04−x X ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400X ∼H(n,M,N)E(X)=nM NX ∼H(n,M,N)X n M N E(X)=nM N 40=2n 20n 400400f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)数列与函数的综合【解析】（1）求导数，利用，，即可求实数，的值；（2），设，则恒成立，即在上是增函数，等价于，即可证明结论．【解答】解：（1）∵，又由已知得①②由①，②解得：，（2），设当时有，设，则恒成立即在上是增函数，∴等价于，∴，∴．f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a b k −f(k)=ln k h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234f'(x)=a −1x +b f'(1)=0f(1)=a −ln b =1a =1b =0k −f(k)=ln k =ln n ，=，=−=b n T n 3−n −2n 2n(n +1)a n T n T n−14−1n 2n ≥2=>0，=ln n >01a n −1n 24b n h(x)=−ln x(x ≥2)−1x 24h'(x)=−=>0x 21x −2x 22h(x)[2,+∞)>b n a n −≥−=h(2)=−ln 2>01a n 1b n 1a 21b 234++...+>++...+=1ln 21ln 31ln n 43484−1n 23−n −2n 2n(n +1)>(n ∈N,n ≥2)∑k=2n 1k −f(k)3−n −2n 2n(n +1)。

课时功课(八) 等比数列的性子及应用[练根底]1．已知等比数列{a n } , a 1＝1 , a 3＝19, 那么a 5即是( ) A ．±181 B ．－181C.181 D ．±122．已知等比数列{a n }中 , a n >0 , a 1 , a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根 , 那么a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±643．已知数列 : 4 , a,12 , b 中 , 前三个数成等差数列 , 后三个数成等比数列 , 那么b 即是( )A ．20B ．18C ．16D ．144．已知正项等比数列{a n } , 知足a 2·a 27·a 2 020＝16 , 那么a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017C ．41 018D ．21 0185．在12和8之间插入3个数 , 使它们与这两个数挨次构成等比数列 , 那么这3个数的积为________．6．等差数列{a n }中 , a 4＝10 , 且a 3 , a 6 , a 10成等比数列 , 求数列{a n }前20项的和S 20.[提本领]7．(多项选择题)设{a n }(n ∈N *)是各项为正数的等比数列 , q 是其公比 , K n 是其前n 项的积 , 且K 5<K 6 , K 6＝K 7>K 8 , 那么以下选项中建立的是( )A ．0<q <1B ．a 7＝1C ．K 9>K 5D ．K 6与K 7均为K n 的最大值8．等比数列{a n }是递减数列 , 前n 项的积为T n , 假设T 13＝4T 9 , 那么a 8a 15＝________.9．已知数列{a n }和{b n }划分知足 :⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2 a n ＋1＝2a n 和⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝5 b n ＋1＝b n ＋3. 试证实数列{a n }与{b n }的大众项由小到大构成的数列{c n }是等比数列．[战疑难]10．在等差数列{a n }中 , 假设a 10＝0 , 那么有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19 , n ∈N *)．类比上述性子 , 响应地 , 在等比数列{b n }中 , 假设b 9＝1 , 那么有等式________________建立．课时功课(八) 等比数列的性子及应用1．剖析 : 凭据等比数列的性子可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.应选C.谜底 : C 2．剖析 : 由题意得 , a 1a 99＝16 , ∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16 , 又∵a 50>0 , ∴a 50＝4 , ∴a 40a 50a 60＝16×4＝64.应选B.谜底 : B3．剖析 : 由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8 , 又122＝8b ⇒b ＝18.应选B.谜底 : B4．剖析 : 由a 2·a 27·a 2 020＝16可得(a 7a 1 011)2＝16 , 以是a 7a 1 011＝4 , a 509＝2 ,以是a 1·a 2·…·a 1 017＝(a 7a 1 011)508·a 509＝21 017.应选B.谜底 : B5．剖析 : 设插入的3个数挨次为a , b , c , 即12, a , b , c,8成等比数列 , 由等比数列的性子可得b 2＝ac ＝12×8＝4 , 由于a 2＝12b >0 , ∴b ＝2(舍负)．以是这3个数的积为abc ＝4×2＝8. 谜底 : 86．剖析 : 设数列{a n }的公差为d ,那么a 3＝a 4－d ＝10－d ,a 6＝a 4＋2d ＝10＋2da 10＝a 4＋6d ＝10＋6d由a 3 , a 6 , a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2清算得10d 2－10d ＝0解得d ＝0或d ＝1当d ＝0时 , a 1＝a 4＝10 , ∴S 20＝20×10＝200 ;当d ＝1时 , a 1＝a 4－3d ＝10－3＝7∴S 20＝20×7＋20×192×1＝330. 7．剖析 : 凭据题意 , 剖析选项．对付B , 假设K 6＝K 7 , 那么a 7＝K 7K 6＝1 , B 准确 ; 对付A , 由K 5<K 6可得 , a 6＝K 6K 5>1 , 那么q ＝a 7a 6∈(0,1) , 故A 准确 ; 对付C , 由{a n }是各项为正数的等比数列且q ∈(0,1)可得数列单调递减 , 那么有K 9<K 5 , 故C 错误 ; 对付D , 联合K 5<K 6 , K 6＝K 7>K 8 , 可得D 准确．应选ABD.谜底 : ABD8．剖析 : ∵T 13＝4T 9 ,∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9 ,∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15 ,∴(a 8·a 15)2＝4 , ∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列 , ∴q >0 , ∴a 8a 15＝2.谜底 : 29．证实 : 由题设有a n ＝2n , b n ＝3n ＋2 ,经过视察 , 轻易发明c 1＝a 3＝b 2＝8 ,设c n ＝a m ＝b k , 那么c n ＝2m ＝3k ＋2 ,又∵a m ＋1＝2m ＋1＝2·2m ＝2·(3k ＋2)＝3·(2k ＋1)＋1 ,∴a m ＋1∉{b n } ,∵a m ＋2＝2m ＋2＝4·2m ＝4·(3k ＋2)＝3·(4k ＋2)＋2 ,∴a m ＋2∈{b n } ,∴c n ＋1＝2m ＋2＝4·2m ＝4·c n .∴c n ＋1c n＝4. 由此可见 , {c n }是以8为首项 , 公比为4的等比数列．10．剖析 : 对应于等差数列和的性子 , 等比数列具有响应积的性子 , 剖析已知前提 , 注重1＋19＝2×10 , 又1＋17＝2×9 , 猜想 : b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17 , n ∈N *)．究竟上 , 当n ≤8时 , 17－n ≥9 ,有b 1b 2…b 17－n b 1b 2…b n＝b n ＋1b n ＋2…b 8b 9b 10…b 17－n ＝(b n ＋1b 17－n )(b n ＋2b 16－n )…(b 8b 10)b 9＝b 29b 29…b 29b 9＝1 ,∴b 1b 2…b 17－n ＝b 1b 2…b n (n <17 , n ∈N *)．同理 , 当n >8时 , 17－n <9 ,有b 1b 2…b n b 1b 2…b 17－n＝b 18－n b 19－n …b n＝(b18－n b n)(b19－n b n－1)…(b8b10)b9＝b29b29…b29b9＝1. ∴也有b1b2…b17－n＝b1b2…b n(n<17 , n∈N*)．综上所述 , 猜想建立．谜底 : b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17 , n∈N*)。

高考数学复习 课时作业(二) [第2讲 命题、充要条件][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知命题p ：若x ＝y ，则x ＝y ，那么下列叙述正确的是( )A ．命题p 正确，其逆命题也正确B ．命题p 正确，其逆命题不正确C ．命题p 不正确，其逆命题正确D ．命题p 不正确，其逆命题也不正确2．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤1C ．－3≤a ≤1D ．－1≤a ≤33．记等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N *)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．“a ＝2”是“直线(a 2－a )x ＋y ＝0和直线2x ＋y ＋1＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件能力提升5．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知条件p ：－2<m <0,0<n <1；条件q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7． 已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ≤23B ．0<a <12C.12<a ≤23D.12<a <1 8． “a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设命题p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，命题q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．在下列四个结论中，正确的有________(填序号)．①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“x ≠0”是“x ＋|x |>0”的必要不充分条件．11．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．12． 在△ABC 中，“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的________条件．13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(填序号)．14．(10分) 命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0，命题q ：实数x 满足x2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．15．(13分)已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.难点突破16．(12分) 已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．课时作业(二)【基础热身】1．C [解析] 当x 、y 为负值时，命题p 不正确，而当x ＝y 时，有x ＝y ，故p 的逆命题正确．2．D [解析] x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立，所以(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3.3．D [解析] 可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18是增数列，但是公比为12<1. 4．A [解析] 因为两直线平行，则(a 2－a )×1－2×1＝0，解得a ＝2或－1，所以选A.【能力提升】5．B [解析] 显然，充分性不成立．若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a ＞b ，即由“a －c ＞b －d ”⇒“a ＞b ”．6．B [解析] 设关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ，∵0<x 1<1,0<x 2<1，∴0<－m <2,0<n <1，∴－2<m <0,0<n <1，这说明p 是q 的必要条件．设－2<m <0,0<n <1，则关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0不一定有两个小于1的正根，如m ＝－1，n ＝34时，方程x 2－x ＋34＝0没有实数根，这说明p 不是q 的充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．7．C [解析] 已知命题p 为真，则3a 2≤1，∴a ≤23；已知命题q 为真，则0<2a －1<1，∴12<a <1；综合以上得12<a ≤23. 8．A [解析] 函数y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π⇔a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．故选A.9．B [解析] f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥⎝⎛⎭⎫8x x 2＋4max ，8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤824＝2，即m ≥2.则因为{m |m ≥⎩⎨⎧ m ⎪⎪⎭⎬⎫m ≥43，正确选项为B.10．①②④ [解析] 根据命题的等价性，结论①正确；根据二次函数图象与不等式的关系，结论②正确；结论③即x 2＝1是x ＝1的充分不必要条件，显然错误；x ≠0也可能x ＋|x |＝0，故条件不充分，反之x ≠0，结论④正确．11．[－3,0] [解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0， 故－3≤a ≤0.12．充要 [解析] AB →·AC →＝BA →·BC →⇔AB →· AC →－BA →·BC →＝0，⇔AB →(AC →＋BC →)＝0⇔(AC →－BC →)(BC →＋AC →)＝0⇔BC →2＝AC →2⇔|AC →|＝|BC →|，于是“AB →·AC →＝BA →·BC →”是“|AC →|＝|BC →|”的充要条件．13．② [解析] ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．在平行四边形A 1B 1C 1D 1中，A 1、B 1、C 1、D 1任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①的逆命题不真．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线没有公共点．所以②的逆命题是真命题．14．[解答] 设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}＝{x |3a ＜x ＜a ，a <0}，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以綈q ⇒綈p ，且綈p 推不出綈q ，而∁R B ＝{x |－4≤x ＜－2}，∁R A ＝{x |x ≤3a ，或x ≥a ，a <0}，所以{x |－4≤x ＜－x |x ≤3a 或x ≥a ，a <0}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a <0， 即－23≤a ＜0或a ≤－4. 15．[解答] 证法一：证明：充分性：若a 2－b 2＝1，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0，因为a ，b 是实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1，所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件．证法二：证明：a 4－b 4－2b 2＝1⇔a 4＝b 4＋2b 2＋1⇔a 4＝(b 2＋1)2⇔a 2＝b 2＋1，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2＝b 2＋1.综上所述，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1.【难点突破】16．[解答] (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2<x <52，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12<x <94，所以(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 94≤x <52. (2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知B ⊇A .因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52. 当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅符合题意； 当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，解得－12≤a <13. 综上，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3－52.。

课时作业(三十) [第 30 讲 数列求和][时间：45 分钟 分值：100 分]基础热身1． 已知数列{an}嘚各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若{log2an}是公差为－1 嘚等差数列，3 且 S6＝8，那么 a1 嘚值为( )46 A. B.21 318 21 C. D.21 312． 已知数列{an}嘚通项公式是 an＝(－1)n(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a10＝( ) A．－55 B．－5C．5 D．5513．已知函数 f(x)＝x2＋bx 嘚图象在点 A(1，f(1))处嘚切线嘚斜率为 3，数列嘚前 n 项f n 和为 Sn，则 S2 012 嘚值为( )2 007 2 010A.B.2 008 2 0112 009 2 012C.D.2 010 2 0134．已知函数 f(x)对任意 x∈R，都有 f(x)＝1－f(1－x)，则 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.能力提升1 5． 已知数列{an}嘚通项公式为 an＝2n＋1，令 bn＝n(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}嘚前 10项和 T10＝( ) A．70 B．75C．80 D．856． 已知直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0 所过定点嘚横、纵坐标分别是等差数列{an}嘚第一1项与第二项，若 bn＝anan＋1，数列{bn}嘚前 n 项和为 Tn，则 T10＝()9 10 A. B.21 2111 20 C. D.21 217． 设 a1，a2，…，a50 是从－1,0,1 这三个整数中取值嘚数列，若 a1＋a2＋…＋a50＝9 且(a1 ＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则 a1，a2，…，a50 当中取零嘚项共有( )A．11 个 B．12 个 C．15 个 D．25 个8． 若数列{an}嘚通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝( ) A．15 B．12C．－12 D．－159．设 m∈N*，log2m 嘚整数部分用 F(m)表示，则 F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)嘚值是( ) A．8 204 B．8 192C．9 218 D．以上都不对10． 对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}嘚“差数列”，若 a1＝2，{an}嘚“差数列”嘚通项为 2n，则数列{an}嘚前 n 项和 Sn＝________.111．数列{an}嘚通项公式为 an＝，其前 n 项之和为 10，则在平面直角坐标系中，n＋ n＋1直线(n＋1)x＋y＋n＝0 在 y 轴上嘚截距为________．2n 12．已知数列{an}嘚通项公式是 an＝4n－2n，其前 n 项和为 Sn，则数列Sn嘚前 n 项和 Tn＝________.13． 如表所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2,3)，(4,6,5)，(8,12,10,7)，(16,24,20,14,9)，…，并顺次称其为第 1 群，第 2 群，第 3 群，第 4 群，…，13579…2 6 10 14 18 …4 12 20 28 36 …8 24 40 56 72 …16 48 80 112 144 …………… … …(1)第 7 群中嘚第 2 项是________； (2)第 n 群中 n 个数嘚和是________． 14．(10 分) 在等差数列{an}中，a2＝4，其前 n 项和 Sn 满足 Sn＝n2＋λn(λ∈R)． (1)求实数 λ 嘚值，并求数列{an}嘚通项公式；1 (2)若数列Sn＋bn是首项为 λ、公比为 2λ 嘚等比数列，求数列{bn}嘚前 n 项和 Tn.1 15．(13 分) 已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*.(1)求 a3，a4，a5，a6 嘚值及数列{an}嘚通项公式； (2)设 bn＝a2n－1·a2n(n∈N*)，求数列{bn}嘚前 n 项和 Sn.难点突破16．(12 分) 设数列{an}是公差为 d 嘚等差数列，其前 n 项和为 Sn.(1)已知 a1＝1，d＝2，Sn＋64①求当 n∈N*时，嘚最小值；n23n＋1 5②当 n∈N*时，求证： ＋ ＋…＋<；S1S3 S2S4SnSn＋2 16(2)是否存在实数 a1，使得对任意正整数 n，关于 m 嘚不等式 am≥n 嘚最小正整数解为 3n－2？ 若存在，求 a1 嘚取值范围；若不存在，请说明理由．课时作业(三十)【基础热身】1．A [解析] 由题设知 log2an－log2an－1＝－1，anan 1∴log2an－1＝－1，即an－1＝2，1∴{an}是以a1为首项， 为公比嘚等比数列， 2 1 a11－26 34∴S6＝1 ＝8，∴a1＝21，故选 A.1－ 22．C [解析] 由 an＝(－1)n(n＋1)，得 a1＋a2＋a3＋…＋a10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5，故选 C. 3．D [解析] 由题知 f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，1111∴f(n)＝n2＋n，∴＝＝－ ，f n n n＋1 n n＋1 1 1 11 1 n∴Sn＝1－2＋2－3＋…＋n－n＋1＝n＋1，2 012∴S2012＝2，故选 013D.4．3 [解析] 由条件可知 f(x)＋f(1－x)＝1，其中 x＋(1－x)＝1，∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，f(0)＋f(1)＝1，设 M＝f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)，则 M＝f(3)＋f(2)＋f(1)＋f(0)＋f(－1)＋f(－2)，两式相加，得 2M＝6，即 M＝3.【能力提升】n 3＋2n＋15．B [解析] 由已知 an＝2n＋1，得 a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝2＝n(n＋2)，10 3＋12则 bn＝n＋2，T10＝2＝75，故选 B.6．B [解析] 将直线方程化为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，x＋y－4＝0，x＝1，令解得即直线过定点(1,3)，3x－y＝0，y＝3，所以 a1＝1，a2＝3，公差 d＝2，∴an＝2n－1，1 1 11∴bn＝anan＋1＝22n－1－2n＋1，1 1 1 111 1 1 10∴T10＝2×1－3＋3－5＋…＋20－1－20＋1＝2×1－21＝21，故选 B.7．A [解析] (a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝a12＋a22＋…＋a520＋2(a1＋a2＋…＋a50)＋50＝107，∴a21＋a22＋…＋a250＝39，∴a1，a2，…，a50 中取零嘚项应为 50－39＝11 个，故选 A.8．A [解析] a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.9．A [解析] ∵F(m)为 log2m 嘚整数部分， ∴当 2n≤m≤2n＋1－1 时，f(m)＝n，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝F(1)＋[F(2)＋F(3)]＋[F(4)＋F(5)＋F(6)＋F(7)]＋…＋F(1 024)＝0＋2×1＋4×2＋…＋2k×k＋…＋29×9＋10.设 S＝1×2＋2×22＋…＋k×2k＋…＋9×29，①则 2S＝1×22＋…＋8×29＋9×210，②①－②得2 1－29－S＝2＋22＋…＋29－9×210＝－9×210＝210－2－9×210＝－213－2，1－2∴S＝213＋2，∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝213＋12＝8 204，故选 A.10．2n＋1－2 [解析] ∵an＋1－an＝2n， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋22－2n＝＋2＝2n－2＋2＝2n.1－22－2n＋1 ∴Sn＝ 1－2 ＝2n＋1－2.111．－120 [解析] 由已知，得 an＝＝ n＋1－ n，则n＋ n＋1Sn＝a1＋a2＋…＋an＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1，∴ n＋1－1＝10，解得 n＝120，即直线方程化为 121x＋y＋120＝0，故直线在 y 轴上嘚截距为－120.2n－14 1－4n 2 1－2n 1112．3· 2n＋1－1[解析] 根据公式法 Sn＝1－4－1－2＝ (4n＋1－3·2n＋1＋2)＝ (2n332 ＋1－1)(2n＋1－2)＝ (2n＋1－1)(2n－1)，32n 32n故 ＝· Sn 2 2n＋1－1. 2n－1由于(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n，2n 3 2n＋1－1 － 2n－1所以 ＝ · Sn 2 2n＋1－12n－13 11＝ －，22n－1 2n＋1－13111111312n－1所以 Tn＝221－1－22－1＋22－1－23－1＋…＋2n－1－2n＋1－1＝21－2n＋1－1＝3·2n＋1－1.13．(1)96 (2)3·2n－2n－3 [解析] (1)第 7 群中嘚第 2 项是第 2 列中嘚第 6 个数，为 3×26－1＝96；(2)第 n 群中 n 个数分别是 1×2n－1,3×2n－2,5×2n－3，…，(2n－1)×2n－n.设第 n 群中 n 个数嘚和为 Sn，所以 Sn＝1×2n－1＋3×2n－2＋5×2n－3＋…＋(2n－1)×2n－n.利用错位相减法可求得 Sn＝3·2n －2n－3.14．[解答] (1)∵a2＝S2－S1＝(4＋2λ)－(1＋λ)＝3＋λ， ∴3＋λ＝4，∴λ＝1.∴a1＝S1＝2，d＝a2－a1＝2，∴an＝2n.1 (2)由已知，∵λ＝1，∴Sn＋bn＝1×2n－1＝2n－1，11 1 ∴bn＝2n－1－nn＋1＝2n－1－ － ， n n＋1 1 1 11 1 ∴Tn＝(1＋21＋22＋…＋2n－1)－1－2＋2－3＋…＋n－n＋11－2n 1 12n＋1＝－1－ ＝(2n－1)－1＋ ＝2n－.1－2 n＋1n＋1n＋11115．[解答] (1)由已知得 a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝8.当 n 为奇数时，an＋2＝an＋2，则 an＝n；1 当 n 为偶数时，an＋2＝2an，1n 1n 则 an＝a2·22－1＝22.n，n＝2k－1， 因此，数列{an}嘚通项公式为 an＝ 1n22，n＝2k.(2)因为 bn＝a2n－1·a2n，则1 1 111Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，11 1 1112Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，两式相减得111112Sn＝1·2＋222＋…＋2n－(2n－1)·2n＋11 1 2 － n＋11 4 2 1＝＋－(2n－1)· n＋12121－231＝ －(2n＋3) n＋1，221 ∴Sn＝3－(2n＋3)·2n.【难点突破】16．[解答] (1)①∵a1＝1，d＝2，n n－1 d∴Sn＝na1＋2＝n2，Sn＋6464＝n＋ ≥2nn64 n× ＝16，n64 当且仅当 n＝ ，即 n＝8 时，上式取等号，nSn＋64故嘚最小值是 16.n②证明：由①知 Sn＝n2，n＋1n＋11 11当 n∈N*时，＝＝ －，SnSn＋2 n2 n＋2 2 4n2 n＋2 223n＋1＋ ＋…＋S1S3 S2S4SnSn＋21 1 1 1 1 1 1 11＝ － ＋ － ＋…＋ －412 32 422 424n2 n＋2 211 11 11 111＝ ＋ ＋…＋ － ＋ ＋…＋＋412 22n2 432 42n＋1 2 n＋2 21 1 111＝ ＋ －－，412 22 n＋1 2 n＋2 211∵＋>0，n＋1 2 n＋2 223n＋1 1 1 1 5∴ ＋ ＋…＋< ＋ < .S1S3 S2S4SnSn＋2 412 22 16(2)对∀n∈N*，关于 m 嘚不等式 am＝a1＋(m－1)d≥n 嘚最小正整数解为 cn＝3n－2，当 n＝1 时，a1＋(c1－1)d＝a1≥1；当 n≥2 时，a1＋ cn－1 d≥n， 3d－1 n＋ a1－3d ≥0，恒有即a1＋ cn－2 d<n， 3d－1 n＋ a1－4d <0. 3d－1≥0， 3d－1 ×2＋ 从而a1－3d≥0，3d－1≤0， 3d－1 ×2＋ a1－4d <0，14⇔d＝3，1≤a1<3.14当 d＝3，1≤a1<3时，对∀n∈N*，且 n≥2 时，当正整数 m<cn 时，m－1cn－1有 a1＋ 3 <a1＋ 3 ，m－1 所以 a1＋ 3 <n， 4所以存在这样嘚实数a1，且a1嘚取值范围是1， . 3。