29等比数列

数字推理：八大类数列及变式总结数字推理：八大类数列及变式总结数字推理的题目通常状况下是给出一个数列，但整个数列中缺少一个项，要求仔细观察这个数列各项之间的关系，判断其中的规律。

解题关键：1、培养数字、数列敏感度是应对数字推理的关键。

2、熟练掌握各类基本数列。

3、熟练掌握八大类数列，并深刻理解“变式”的概念。

4、进行大量的习题训练，自己总结，再练习。

下面是八大类数列及变式概念。

例题是帮助大家更好的理解概念，掌握概念。

虽然这些理论概念是从教材里得到，但是希望能帮助那些没有买到教材，那些只做大量习题而不总结的朋友。

最后跟大家说，做再多的题，没有总结，那样是不行的。

只有多做题，多总结，然后把别人的理论转化成自己的理论，那样做任何的题目都不怕了。

一、简单数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……奇数列：1，3，5，7，9，……偶数列：2，4，6，8，10，……自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……等差数列：1，6，11，16，21，26，……等比数列：1，3，9，27，81，243，……二、等差数列1，等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。

例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2，二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。

例题1：9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例题2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列例题2：20，22，25，30，37，（）解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

等比数列的性质总结1. 定义等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。

常数称为等比数列的公比。

等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。

2. 性质2.1 前项与后项的比在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。

即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$2.2 通项公式等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。

假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$2.3 任意项与首项的比在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。

即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$2.4 前$n$项和公式等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。

假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$2.5 无穷项和当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。

无穷项和的计算公式为：$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$3. 应用及例题等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。

需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。

例题1：在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？解答：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：$$a_7 = 1 \cdot 2^{7-1} = 64$$因此，等比数列中第7项的值为64。

课时过关检测(二十九) 数列的概念与表示A 级——基础达标1．已知数列{a n }的前4项依次为2,6,12,20，则数列{a n }的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －2 B ．a n ＝2n＋2(n －1) C ．a n ＝n 2＋nD ．a n ＝3n －1＋2n －1解析：C 对于A ，a 3＝10≠12，故A 错误；对于B ，a 4＝16＋6＝22≠20，故B 错误；对于C ，a 1＝12＋1＝2，a 2＝22＋2＝6，a 3＝32＋3＝12，a 4＝42＋4＝20，故C 正确；对于D ，a 3＝9＋5＝14≠12，故D 错误．故选C ．2．(2022·潍坊一模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝n 2＋4n ＋1，则a 1＋a 3＋a 5＝( )A ．27B ．28C ．29D ．30解析：B 因为S n ＝n 2＋4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝6，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n＋3．经检验，当n ＝1时不符合，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2n ＋3，n ≥2，所以a 1＋a 3＋a 5＝28．故选B ．3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝( ) A ．31 B ．42 C ．37D ．47解析：D 由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，又S 1＋1＝3，故数列{S n ＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47．4．已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n ＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．5．(多选)(2022·泰安模拟)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则下列说法正确的是( )A ．此数列的第20项是200B ．此数列的第19项是182C ．此数列偶数项的通项公式为a 2n ＝2n 2D ．此数列的前n 项和为S n ＝n (n －1)解析：AC 观察此数列，偶数项通项公式为a 2n ＝2n 2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a 2n －1＝a 2n －2n ，由此可得a 20＝2×102＝200，A 、C 正确；a 19＝a 20－20＝180，B 错误；S n ＝n (n －1)＝n 2－n 是一个等差数列的前n 项和，而题中数列不是等差数列，不可能有S n ＝n (n －1)，D 错误．故选A 、C ．6．(多选)(2022·潍坊一模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2－2n ，n 为偶数，则( )A ．a 6＝19B ．a 7>a 6C ．S 5＝22D ．S 6>S 5解析：BC 因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2－2n ，n 为偶数，所以a 1＝4，a 2＝－2，a 3＝10，a 4＝－6，a 5＝16，a 6＝－10，a 7＝22，所以A 错误，B 正确；S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C 正确；因为a 6＝－10，所以S 6－S 5＝a 6<0，所以S 6<S 5，故D 错误．故选B 、C ．7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．答案：58．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4＝________，a n ＝________． 解析：由题意可得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝1＋n n －12＝n 2－n ＋22，又a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2－n ＋22，则a 4＝42－4＋22＝7．答案：7n 2－n ＋229．(2022·北京质检)已知数列{a n }满足21·a 1＋22·a 2＋23.a 3＋ (2)·a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：∵2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＋2n a n ＝(n －1)·2n ＋1＋2，∴2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －2)·2n ＋2(n ≥2)，两式相减，得2n a n ＝n ·2n ，即a n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1，适合a n ＝n ，故a n ＝n (n ∈N *)．答案：n10．如果连续自然数数列a 1，a 2，…，a n ，…满足lg 2＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 1＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2＋…＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＝lg n ，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n 项和S n ． 解：由已知得：2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n ＝n ，即2·a 1＋1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·…·a n ＋1a n＝n ． ∵a 1，a 2，…，a n ，…为连续自然数， ∴上式可化简为2·a n ＋1a 1＝n ，即2·a 1＋na 1＝n ， ∴2n ＋2a 1＝na 1，即(n －2)(a 1－2)＝4．若要n 最大，且n ∈N *，则只能有⎩⎪⎨⎪⎧n －2＝4，a 1－2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，a 1＝3，∴该数列最多有6项，首项为3， ∴S 6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33．B 级——综合应用11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5＝( )A ．0B ．1764C ．564D ．2164解析：D 数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)na n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164．故选D ．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋n ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．1＋n ＋ln n D ．2n ＋n ln n解析：D 由题意得，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln n ＋1n ，则a n n ＝a n －1n －1＋ln n n －1，a n －1n －1＝a n －2n －2＋ln n －1n －2，…，a 22＝a 11＋ln 21，由累加法得，a n n ＝a 11＋ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21，即a nn＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21，则a n n ＝2＋ln n ，所以a n ＝2n ＋n ln n ，故选D ．13．请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)14．(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值． 解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n－1＝n2a n ， 两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，即n ＋1a n ＋1na n＝3(n ≥2)， ∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n n ＋1，设f (n )＝2×3n －2n n ＋1，∴f n ＋1f n ＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．C 级——迁移创新15．(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n(n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( ) A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n，当n <4时，a n ＋1a n >1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n<n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝m m ＋1，则a n ＋1a n ＝m n ＋1n m ＋1，当n ＝m时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．16．(2022·益阳一模)设曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，求x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 020的值．解：由f (x )＝xn ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝n n ＋1 ，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 020＝12 ×23 ×…×2 0202 021 ＝12 021．。

等差数列与等比数列的性质在数学的世界里，数列就像是一串有序的数字精灵，按照一定的规律排列着。

其中，等差数列和等比数列是两个非常重要的家族。

它们各自有着独特的性质，就像是家族成员的独特特征一样，让我们能够更好地理解和把握这些数列的规律。

先来聊聊等差数列。

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。

这个常数被称为公差，通常用字母 d 表示。

比如说，数列2，5，8，11，14……就是一个公差为3 的等差数列。

在这个数列中，每一项都比前一项大 3。

等差数列有很多有趣的性质。

首先，它的通项公式为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 a1 是首项，n 是项数。

这个公式能让我们快速求出数列中任意一项的值。

假设首项 a1 ＝ 2 ，公差 d ＝ 3 ，要求第 10 项的值。

那么根据通项公式，a10 ＝ 2 ＋（10 1)×3 ＝ 2 ＋ 27 ＝ 29 。

其次，如果在等差数列中有 m 、n 、p 、q 这四项，且 m ＋ n ＝ p＋ q ，那么 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。

比如在等差数列 1，3，5，7，9 中，因为 1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3 ，所以 a1 ＋ a5 ＝ a3 ＋ a3 ，即 1 ＋ 5 ＝ 3 ＋ 3 ＝ 6 。

另外，等差数列的前 n 项和公式也很重要。

Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 。

如果还是以上面的数列为例，要求前 5 项的和。

先求出 a5 ＝ 1 ＋（5 1)×2 ＝ 9 ，然后 S5 ＝ 5×（1 ＋ 9) ／ 2 ＝ 25 。

说完等差数列，再看看等比数列。

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数被称为公比，通常用字母 q 表示。

例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个公比为 2 的等比数列。

等比数列的通项公式为 an ＝ a1 × q^（n 1) 。

§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q ，a ，aq ， 则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

考向29 数列求和1．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+==∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S <<【答案】A 【分析】 显然可知，10012S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭112n na a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a ++局部放缩可得113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +11122n n n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】再由累加法可求得24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．2．（2011·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a =；（2）21nn -+. 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由a n ＝13n化简b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n，可得到bn 的通项公式，求出1n b 的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{a n }的公比为q , 由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19.由条件可知q ＞0,故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n. （2）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()12n n +.故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭. 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和. 2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.(3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到实际问题中.1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 【知识拓展】 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.1．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =n 2，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ） A ．1939B ．3839C ．2041D ．40412．（2021·全国高三专题练习（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，S 7＝35，将a 3，a 7，a 11，a 15中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{b n }的前三项，则数列{a n b n }的前10项的和T 10＝（ ） A ．10⋅212B ．9⋅212C ．11⋅212D ．12⋅2123．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（理））已知数列{}n a 满足122a a +=，21cos n n a a n π+-=+，则数列{}n a 的前100项的和等于_______．4．（2022·全国高三专题练习）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]2=，[]1.52-=-在数列{}n a 中，[]lg ,n a n n N +=∈，记n T 为数列{}n a 的前n 项和，则2021T = ___________.1．（2021·全国高三（文））已知数列{}n a 满足2110n n n a a a ++++=(*n N ∈)，且{}n a 中任何一项都不为1-，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若202220212022321a S a +=+，则1a 的值为（ ）A ．23B ．1C ．32D ．23-2．（2021·全国高三专题练习（文））我们把221nn F =+()0,1,2,n =⋅⋅⋅叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设()2log 1n n a F =-，1,2,3,n =⋅⋅⋅，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使不等式12320212n S S S S n +++⋅⋅⋅+>-成立的正整数n 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1163．（2022·全国高三专题练习）设数列{a n }满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{b n }的前n项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭4．（2021·江苏南京师大附中）已知i 为虚数单位，则复数22019202012i 3i 2020i 2021i z =+++++的虚部为（ ）A ．1011-B ．1010-C ．1010D ．10115．（2021·浙江高三开学考试）设()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=，数列{}n a 满足11a =-，且()1*121+⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭n n a a n n n N .则()22=f a （ ）A ．0B ．1-C ．21D ．226．（2022·全国高三专题练习（文））已知等差数列{}n a 中，35a =，公差大于0，且41a +是21a +与73a +的等比中项，设()*11n n n b n N a a +=∈⋅，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．10102021C ．20204039D ．202040417．（2021·全国高三）已知数列{}n a 满足2222122n n a a a a +=，11a =，22a =，则下列表达式2222235674222224152637485a a a a a a a a a a a a a a a ++++的值为____________． 8．（2022·全国高三专题练习）已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，数列{}n b 的前n 项和n S ，1n n n a b a +=.若()100S k k Z <∈，则k 的最小值为_______________.9．（2021·云南昆明市·高三（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，5712a a +=． （1）求n a 及n S ； （2）令12n nb S =，求数列{}2nn b +的前n 项和n T ． 10．（2021·吉林长春市·高三（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*11n n n a S S n N ++=-∈，11a=.（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设2nn nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T .11．（2021·乐清市知临中学高三月考）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，121n n a a +=+，且()()11112231N n n n n b n n n *+++=+++⨯⨯∈+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求满足()()2111n n n T a b ≥+--的正整数n 的值. 12．（2021·全国）已知数列{}n a 为等差数列，11a =，2810a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列112n a n n n c a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .1．（2012·四川高考真题（理））设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2313[()]f a a a -=A ．0B ．2116π C ．218πD ．21316π 2．（2012·上海高考真题（理））设，. 在中，正数的个数是（ ） A ．25.B ．50.C ．75.D ．100.3．（2011·安徽高考真题（文））若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1210a a a +++=（ ）A ．15B ．12C ．12-D ．15- 4．（2015·江苏高考真题）数列满足，且（），则数列的前10项和为_______．5．（2012·福建高考真题（理））数列{a n }的通项公式cos1,2n n a n π=+，前n 项和为S n ，则S 2012=___________ 6．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm .7．（2015·天津高考真题（理））已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 8．（2012·江西高考真题（理））已知数列{a n }的前n 项和21()2n S n kn k N *=-+∈,且S n 的最大值为8.（1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列922n na -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 9．（2014·浙江高考真题（理））已知数列和满足.若为等比数列，且（1）求与；（2）设．记数列的前项和为.（i ）求；（ii ）求正整数，使得对任意，均有． 10．（2013·安徽高考真题（文））设数列满足，,且对任意，函数满足(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.1．【答案】C 【分析】根据2n S n =联系到通项与前n 项和公式的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，求出 11111()22121n n a a n n +=--+，根据式子特点，求前n 项和用裂项相消法，即可求出T 20。

常见数列公式等差数列1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，(n ≥2，n ∈N +)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示)2．等差数列的通项公式:d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数））3．有几种方法可以计算公差d① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ （m, n, p ， q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6。

等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=(2)2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0,是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0,d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0）,即:1-n na a =q (q ≠0) 2。

等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q (+∈N n ，q ≠0) “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ，b 同号）。

备考2020年高考数学一轮复习：29 等比数列及其前n项和一、单选题1.（2019•全国Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 22.等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则3.已知等比数列{an}中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=( ）．A. 3B. 15C. 48D. 634.若三个实数成等比数列，其中，，则（）A. 2B.C.D. 45.已知数列是由正数组成的等比数列，为其前项和.已知，则( )A. B. C. D.6.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}，②{a n2}，③{2an}，④{log2la n}．其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④7.已知为等比数列的前项和，且，则（）A. 510B. 510C. 1022D. 10228.已知等比数列满足，，则（）A. B. 2 C. 或 2 D. 29.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.10.设等比数列的前n项和为，若，，则A. 144B. 81C. 45D. 6311.设等比数列的公比，前项和为，则=（）A. B. C. D.12.记数列的前项和为.已知，，则（）A. B. C. D.二、填空题13.（2019•卷Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和。

若a1=，，则S5=________14.已知等比数列中，，则公比________；________．15.已知数列{a n}的首项a1＝2，数列{b n}为等比数列，且b n＝.若b10b11＝2，则a21＝________.16.已知等比数列中，，，则________．17.无穷等比数列各项和的值为2，公比，则首项的取值范围是________三、解答题18.已知数列满足．（1）证明：是等比数列；（2）求．19.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。

等比数列应用题及答案等比数列应用题及答案想要在考试中考出理想成绩，那么平常的练习就一定要认真去对待。

下面是小编整理收集的等比数列应用题及答案，欢迎阅读！一、选择题1．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于()A．6 B．32n－1C．23n－1 D．6n答案：C2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为()A.322nB.322n－2C．32n－2 D．32n－1解析：选C.∵q3＝a5a2＝243＝8，q＝2，而a1＝a2q＝32，an ＝322n－1＝32n－2.3．等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，则a3等于()A．20 B．18C．10 D．8解析：选B.设公比为q(q1)，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝8，a3－a1＝a1(q2－1)＝16，两式相除得：1q－1＝12，解得q＝3.又∵a1(1＋q)＝8，a1＝2，a3＝a1q2＝232＝18.4．(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝()A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A.∵|a1|＝1，a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2q3，q3＝－8，q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，a2＜0.而a2＝a1q＝a1(－2)＜0，a1＝1.故an＝a1(－2)n－1＝(－2)n－1.5．下列四个命题中正确的是()A．公比q＞1的等比数列的各项都大于1B．公比q＜0的等比数列是递减数列C．常数列是公比为1的等比数列D．{lg2n}是等差数列而不是等比数列解析：选D.A错，a1＝－1，q＝2，数列各项均负．B错，a1＝1，q＝－1，是摆动数列．C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列．lg2n＝nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D.6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是() A．4 B．4C．14 D.14解析：选A.由an＝182n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为4.二、填空题7．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________．解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列，2x＋2x＝3x＋32x＋2＝32且x－1,0.2(2x＋2)＝3x，x＝－4.答案：－48．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝__________；若an＝an＋3，则公比q＝__________.解析：∵an＋2＝an，anq2＝an，q＝1；∵an＝an＋3，an＝anq3，q＝1.答案：1 19．等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________.解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384.两式相比得q7＝128，q＝2，a1＝34.an＝a1qn－1＝342n－1＝32n－3.答案：32n－3三、解答题10．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5，求证：{an}是等比数列．证明：由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5，an＋1an＝103n＋1＋5103n＋5＝1000＝常数．{an}是等比数列．11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q0.a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，2q＋2q＝203.解得q1＝13，q2＝3.当q＝13时，a1＝18，an＝18(13)n－1＝233－n.当q＝3时，a1＝29，an＝293n－1＝23n－3.综上，当q＝13时，an＝233－n；当q＝3时，an＝23n－3.12．一个等比数列的'前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，a(3a＋3)＝(2a＋2)2.解得a＝－1，或a＝－4.当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，则公比为q＝32， an＝－4(32)n－1，令－4(32)n－1＝－1312，即(32)n－1＝278＝(32)3，n－1＝3，即n＝4，－1312是这个数列中的第4项．。

要求层次重难点等比数列等比数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题等差比数列的通项公式与前n 项和公式C（一） 知识内容1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示． 2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数； 一个正数与一个负数没有等比中项． <教师备案>1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=． 4. 等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，nn mma q a -=； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．例题精讲高考要求板块一：等比数列通项等比数列2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（二）典例分析：1.等比数列定义【例1】 ⑴在等比数列}{n a 中, 116a =-，48a =，则=7a （ ）A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±⑵ 在等比数列{}n a 中，若39,a a 是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____.⑶在等比数列}{n a 中，公比2q =，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152【变式】 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．【例2】 一个数加上20，50，100后得到的三数成等比数列，其公比为 ．【变式】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．2.等比数列性质【例3】 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=( )A ．()1614n --B ．16(12)n --C ．()32143n --D ．()32123n --【变式】 或判断设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2006a 和2007a 是方程24830x x -+=的两根，则20082009a a += ．【变式】 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【变式】 等比数列{}n a 的公比为2，则123422a a a a ++的值为 ．【例4】 已知等比数列{}n a 满足1611a a +=，且34329a a =. ⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵如果至少存在一个自然数m ，恰使123m a -，2()m a ，149m a ++这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{}n a 是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.【例5】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(12)，，n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782，，，，--中，则6q = ．3.证明等比数列<教师备案>数列的递推公式在必修5中为选学内容，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列的一种方法，也是研究数列的一个途径，本板块与等比数列定义结合，根据数列递推公式，重点讲解用待定系数法求数列的通项公式，也可称为换元法． 主要有几种出题形式： 1．1n n a b a c +=⋅+ 2．1()n n a b a c n +=⋅+ 3．11n n n a pa qa +-=+【例6】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)3n n S a =-*()n ∈N⑴求1a ，2a ；⑵求证：数列{}n a 是等比数列．【例7】 已知数列{}n a 满足11a =，1112n n a a +=+，求其通项公式．【例8】 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求n a ．【点评】 解法一利用待定系数法确定常数λ，从而构造新的等比数列，进而求通项公式；解法二仿照所给关系式，两式相减构造新的数列（等差或等比）【变式】 已知数列{}n a 满足11a =-，1132(2)n n n a a n --=+≥，求n a【点评】 当{}()c n 成等比数列时，1()n n a ba c n -=+由于{}()c n 是等比数列()n c n p q ⇔=⋅，且b 是常数，故()c n 一定可像c 一样分解： 设11()n n n n a A B b a A B ---⋅=-⋅，则pqA q b=-，B q =，且{}n n a A B -⋅成等比数列．【变式】 已知1172a =-，13()5(2)2n n a a n -=-+≥，求n a ．【例9】 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式．【变式】 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n *∈N ．⑴证明数列{}n a n -是等比数列； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．【点评】 1()n n a ba c n +=+，当数列{}()c n 成等差数列时．⑴若1b =，则1()n n a a c n +-=，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“迭加法”即可解决， 即112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+，上一讲已有此类题目，若与等比结合，例如：已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a n +-=-，求n a ．解：∵12n n n a a n +-=-，∴12121a a -=-，23222a a -=-，…，112(1)n n n a a n ---=--(2)n ≥， 迭加法：2n ≥时，有[]211(1222)123(1)n n a a n --=++++-++++-2111(1)(1)(1)(1222)(22)21222n n n n n n n n n n a a a ----=++++++=--+=--而11a =也适合上式 ∴{}n a 的通项公式为(1)212n n n n a -=-- ⑵1()n n a ba c n +=+那么1b ≠且0b ≠时， {}()c n 是等差数列()c n pn q ⇔=+，故()c n 也可以像c 一样分解：[][]1(1)()n n a A n B b a An B +-++=-+则1pA b=-，2(1)q qb pb B b --=-，且{}()n a An B -+成等比数列．也可举更一般的例题：已知112a =-，1321(2)n n a a n n -=+-≥，求n a ．解：设[]{}1()3(1)n n a An B a A n B --+=--+ ∴133(1)3n n a a A n A An B -=---++ 故21232n An A B -=-+-恒成立，故22132AA B =-⎧⎨-=-⎩∴1A =-，1B =-，故{}1n a n ++成等比数列．【例10】 已知数列{}n a 的前n 项和为2*251()n S n n n =++∈N数列{}n b 的前n 项和n B 满足33()22n n B b n *=-∈N⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【例11】 设0a 为常数，且1132(*)n n n a a n --=-∈N ．⑴ 证明对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-⋅；⑵ 假设对任意1n ≥有1n n a a ->，求0a 的取值范围．（一） 知识内容<教师备案>错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．（二）典例分析：1.等比数列求和公式【例12】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例13】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例14】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3板块二：数列的前n 项和设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【变式】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例15】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例16】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值；⑵求n a 的通项公式及10S ．【变式】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【变式】 ⑴ 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．⑵ 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．⑶ (2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例17】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【例18】 ⑴等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n - ⑵ 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值. ⑵ 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．⑶在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例19】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n 和公比q ．【例20】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例21】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .板块三：等比数列综合【例22】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【变式】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项； ⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例23】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例24】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【变式】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【变式】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【点评】 本题的⑵属于数列与不等式的结合问题，涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题，注意与指数函数和对数函数相结合．【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例28】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．<教师备案> 1． 复利．复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息，叫做复利． 2． 复利公式．设有一笔资金的本金为m 元，每期的利率为i ，若按复利计算，则本利和S 可按期数排成下面的数列．板块四：等比数列知识的应用因此本利和是个等比数列，则m 元本金在利率i 下，经n 期后，按复利计算的本利和公式为(1)n n S m i =+习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率．【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【变式】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【变式】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例32】 (05上海卷．理12)用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

等比和等差数列公式等比数列和等差数列是数学中常见的数列形式。

它们具有一定的规律性，可以通过公式来求解。

我们来介绍等差数列。

等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

常用的等差数列公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

举个例子，我们来求解一个等差数列的和。

假设一个等差数列的首项为2，公差为3，我们要求前10项的和。

根据等差数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 2 + (n-1)3。

将n分别代入1到10，得到的数列为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29。

将这些数相加即可得到前10项的和。

接下来，我们来介绍等比数列。

等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。

常用的等比数列公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

举个例子，我们来求解一个等比数列的和。

假设一个等比数列的首项为3，公比为2，我们要求前5项的和。

根据等比数列公式，我们可以得到第n项的表达式为an = 3 * 2^(n-1)。

将n分别代入1到5，得到的数列为3，6，12，24，48。

将这些数相加即可得到前5项的和。

等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常遇到一些具有规律性的数值序列，通过求解等差数列和等比数列可以帮助我们更好地理解和分析问题。

除了求解数列的和，等差数列和等比数列还可以用于求解其他相关问题。

例如，我们可以通过等差数列的公式来确定数列中的任意一项，或者通过等比数列的公式来确定数列中的公比。

总结起来，等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。

它们通过公式来描述数列中的规律性，可以用于求解数列的和以及其他相关问题。

熟练掌握等差数列和等比数列的公式和性质，对于解决实际问题和提高数学水平都具有重要的意义。

第10讲 等差数列与等比数列本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识，a 1、a n 、d 或q 、n 、S n 的基本关系1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2.掌握等差、等比数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差、等比中项的性质．3.求公差、公比．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识．A 类例题例1给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n －2+a 3n －1+a 3n ,…，则数列{b n }( )A.是等差数列B.是公比为q 的等比数列C.是公比为q 3的等比数列D.既非等差数列也非等比数列 (1999年全国高中数学联赛) 分析 利用等比数列的推广的通项公式a n = a m q n －m.解 由题设, a n = a 1q n －1,则a 3n +3= a 3n q 3、 a 3n +2= a 3n －1 q 3、a 3n +1= a 3n －2 q 3. 故b n +1 b n =a 3n +1+a 3n+2+a3n +3 a 3n －2+a 3n －1+a 3n = q 3(a 3n －2+a 3n －1+a 3n ) a 3n －2+a 3n －1+a 3n=q 3. 例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (1997年全国高中数学联赛) 分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 ： 由21972)1(=-+=d n n na S n即2na 1+(n －1)d=2×972，则n[2a l +(n －1)d]= 2×972，且2a 1+(n －1)d 是非负整数．故n 是2 ×972的正 因数，且n ≥3，于是n=97、972、2 ×97或2 ×972．(1)若n=97，则2a l +96d=2 ×97，且a l 与d 是非负整数，由2 a l = 2 ×97－96d ≥0可得0≤d ≤, 且d ∈Z ，所以d=0，1，2，代人2 a l +96d= 2 ×97得⎩⎨⎧==9701a d 或⎩⎨⎧==4911a d 或⎩⎨⎧==121a d , 故当n=97时，符合题意的等差数列有3个．(2)若n=972，则2 a l +(972－1)d=2，由2a l =2－(972－1)d ≥0得0≤d ≤19722-故d=0．此时a l =1即n=972时，符合题意的等差数列只有1个．(3)若n=2×97，则2 a l +(2×97－1)d=97，即 0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =297，不台题意．(4)若n= 2×972，则2 a l +(2×972－1)d=1，即0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =12，不合题意． 故当n=2×97或2×972时，符合题意的等差数列不存在． 综上所述，符合题意的等差数列共有3+1=4个故选( C )情景再现1．(2005年全国高考题)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{k n }的通项n k2．三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)．(第2届美国中学生数学竞赛试题)B 类例题例3 (2004年浙江理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、 （0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的 坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a（Ⅰ）求321,,a a a 及n a ;（Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y n n(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题． 解 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n y y -=+（Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b -又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列．说明 本题符号较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数． （Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列．(2005年江苏卷)分析本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列．解 （1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18． 由(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =An+B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=－20， B=－8．（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n －8）S n+1－(5n+2)S n =－20n －8, ① 所以 (5n －3)S n+2－(5n+7)S n+1=－20n －28, ② ②－①,得, (5n －3)S n+2－(10n －1)S n+1+(5n+2)S n =－20, ③ 所以 (5n+2)S n+3－(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=－20．④ ④－③,得 (5n+2)S n+3－(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1－(5n+2)S n =0． 因为 a n+1=S n+1－S n所以 (5n+2)a n+3－(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0． 又因为 (5n+2)0≠,所以 a n+3－2a n+2+a n+1=0,即 a n+3－a n+2=a n+2－a n+1, 1≥n ． 又 a 3－a 2=a 2－a 1=5, 所以数列}{n a 为等差数列． 方法2． 由已知，S 1=a 1=1,又(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =－20n －8,且5n －80≠, 所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的是惟一确定的．设b n =5n －4,则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2)35(-n n于是 (5n －8)T n+1－(5n+2)T n =(5n －8),8202)35()25(2)25)(1(--=-+-++n n n n n n由惟一性得b n =a,即数列}{n a 为等差数列．说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等．例5 (湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？ （Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？分析 本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型．解 J 1输入m ，J 2输入n 时，输出结果记为f （m ，n ），设f （m ，n ）=k ，则f （1，1）=1，f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，f （m+1，1）=2f （m ，1） （2分） （Ⅰ）因为f （1，n+1）=f （1，n ）+2，故f （1，1），f （1，2），…，f （1，n ），…组成以f （1，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f （1，n ）=f （1，1）+2（n －1）=2n －1； （Ⅱ）因为f （m+1，1）=2f （m ，1），故f （1，1），f （2，1），…，f （m ，1）…组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列． 所以，f （m ，1）=f （1，1）•2m －1=2 m －1，（Ⅲ）因为f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，故f （m ，1），f （m ，2），…，f （m ，n ），…组成以f （m ，1）为首项，2为公差的等差数列．所以，f （m ，n ）=f （m ，1）+2（n －1）=2 m －1+2n －2，f （2002，9）=22001+16说明 解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题． 例 6 设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0=a 1=1．求{a n }的通项公式． (1993年全国高中数学联赛)情景再现3． 已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列．若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件． 4． 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t(t ＞0),f (1)=0．(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ； (3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n ．C 类例题例7 实数x 为有理数的充分必要条件是：数列x ，x +1，x +2，x +3，…中必有3个不同的项，它们组成等比数列．(加拿大1993年高中竞赛题)证明：(1)充分性：若3个不同的项x +i ，x +j ，x +k 成等比数列，且i ＜j ＜k ， 则(x +I)(x +k)=(x +j)2，即ikj j k i x -=-+2)2(．若02=-+j k i ，则02=-ik j ，于是得i=j=k 与i ＜j ＜k 矛盾．故02≠-+j k i ,jk i ik j x 22-+-=且i 、j 、k 都是正整数，故x 是有理数．(2)必要性：若x 为有理数且x ≤0，则必存在正整数k ，使x+k>0．令y=x+k ，则正数列y 、y+1、y+2、…是原数列x ，x+1，x+2，x+3，…的一个子数列，只要正数列y ，y+l ，y+2,…中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x ＞0．①若x ∈N ,设q 是大于l 的正整数，则xq －x 、xq 2－x 都是正整数．令i=xq －x , j=xq 2－x则i<j ，即x ，x+i ，x+j ，是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中不同的三项，且x ，x+i(即xq )，x+j (即xq 2)成等比数列．②若x 为正分数，设 x =nm(m 、n ∈N ，且m 、n 互质，m≠1)．可以证明，x ，x+n ，x+(m+2)n ，这三个不同的项成等比数列，事实上，x [x +(m +2)n ]= n m (n m +mn+2n )=(n m )2+n 2+2n m ·n =(n m+n )2.所以x [x +(m +2)n ] =( x +n )2.，即三项x ，x+n ，x+(m+2)n 成等比数列．综上所述，实数x 为有理数的充分必要条件是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中必有3个不同的项．它们组成等比数列.说明 以上证明巧妙之处在于：当x 是正分数mn 时，在数列x ，x+1，x+2，x+3，…寻求组成等比数列的三项，这三项是x ，x + n, x+(m+2)n ．例8 设S={1，2，3，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．(1991年全国高中数学联赛二试)分析 可先通过对特殊的n(如n=1，2，3)，通过列举求出A 的个数，然后总结规律，找出 a n 的递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d=1，2,…，n －1时，讨论A 的个数· 解 设A 的公差d,则1≤d ≤n －1.(1)设n 为偶数,则当1≤d ≤n 2.公差d 的A 有d 个;当n2≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为偶数时,这样的A 有：(1+2+3+…+ n 2)+[1+2+3+…+(n －n 21)]= 14n 2.(2)设n 为奇数,则当1≤d ≤n －12.公差d 的A 有d 个;当n+12≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为奇数时,这样的A 有：(1+2+3+…+n －12…+n －12)= 14(n －1)2.综上所述：这样的A 有[14n 2]．情景再现5．设数列{n a }的首项1a =1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈ N,n ≥2)． （1） 求证数列{n a }是等比数列；（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．6．已知数列{a n }是由正数组成的等差数列，m ,n ，k 为自然数，求证： (1)若m+k=2n ，则21m a +21ka =22na ;(2) 211a +221a +…+2221-n a +2121-n a ≥212na n -(n ＞1)．习题10A 类习题1．(2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．40082．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则yc x a +=_________．3．等比数列{}a n 的首项a 11536=,公比q =-12,用πn 表示它的前n 项之积．则πn()n N ∈最大的是( )A ．π9B ．π11C ．π12D ．π13(1996年全国高中数学联赛)4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2－2ax +c =0( ) (2000年全国高中数学联赛)A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根 5．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T >k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．6．(2000年高考新课程卷)（I ）已知数列{}n c ，其中nn nc 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ．（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．B 类习题7．已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线．1(0,1,2)nn y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段1b ≠（其中正常数），1(0,1,2)nn y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段（1b ≠其中正常数）， {}()(1,2,)n n x f x n n ==⋅⋅⋅设数列由定义.121..2()3()1n x x x f x y f x y x ==（）求和的表达式；（）求的表达式，并写出其定义域；（）证明：的图象与的图象没有横坐标大于的交点其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 9．(2006年全国高考上海春季卷)已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 10．(第8届希望杯第二试)在△ABC 中，三边长为a 7，b =2，c =3．作△ABC 的内切圆⊙O 1，再作与边AB 、AC 和⊙O 1都相切的⊙O 2，又作与AB 、AC 与⊙O 2都相切的⊙O 3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和．C 类习题11． (第2届美国数学邀请赛试题)如果{a n }是等差数列，公差是1，a 1+ a 2+ a 3+…+ a 98=137，求a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98 之值．12．(2003年全国高考江苏卷)设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =,C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）．从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1．Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当21,11≤=aa 时，证明∑=++<-nk k k ka a a121321)(；（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(本节“情景再现”解答：1．依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =∵0d ≠， ∴1d a =,得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列．由于0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q ==，由此得19k =等比数列{k n }的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k qn -+=⨯==，，，即得到数列{k n }的通项为13n n k +=2．用反证法．假设三个不同的素数p 、q 、r 的立方根是一个等差数列的不同三项, 即设ld a p +=13①,md a q +=13②,nda r +=13③．由此可得ml qp d --=33,ml qm p l a -⋅-⋅=331．将代入③式并化简整理得：=⋅-3)(q n m +⋅-3)(q n l 3)(rl m ⋅-两边立方得：=⋅-p n m 3)(+⋅-q n l 3)(rl m ⋅-3)(+3))()((3pqrn m l mm m l ⋅---左式=p n m ⋅-3)(为整数,因3pqr是无理数．故右式为无理数,所以左式≠右式．3．（Ⅰ）∵),3,2(242,211=+-+==-n n n a a a an n 依,∴2228422-=+-+=a a a , 542129223-=+-+=a a a ,882234-=+=a a a , 34,32,222342312-=--=--=--=-a a a a a a a a a a a若}{na 是等差数列，则1,2312=-=-a a a a a得,但由3423a a a a -=-，得a=0,矛盾．∴}{n a 不可能是等差数列 ．(Ⅱ)∵2n a b n n +=, ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a bn n nn n b na 2222=+=(n ≥2) ,∴22422+=+=a a b 当a ≠－1时, }{,0n n b b ≠从第2项起是以2为公比的等比数列．∴)12)(22(12)12)(22(111-++=--++=--n n na b a b S ,n ≥2时,222)1(222222)1(222)1(111--++---=--++--++=---a b a a b a b a a b a S S n n nn n ∴}{n S 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数．∵a ≠－1时, ∴b －2a －2=0 ,当a=－1时，122,0-==n n b b b 由（n ≥3）,得0=n b （n ≥2）, ∴b b b b S n n =+++= 21, ∵}{n S 是等比数列 ∴b ≠0综上, }{n S 是等比数列,实数a 、b 所满足的条件为⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或4．(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t，由f (1)=0得a =1．∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1．(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得： (x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =xn +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t1［(t +1)n +1－1］，b n =tt 1+［1－(t +1]n )(3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则÷①得q =nn r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q qr n［(t +1)2n －1］5．分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得tt a 3322+= ， 于是tt a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n=3,4，……）， 两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ． 于是，得tt a a n n 3321+=-（n=3,4……）． ……②①②综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为t t 332+的等比数列．（2）解 由（1），得321332)(+=+=t tt t f ，32)1(11+==--n n n b b f b即321=--n n b b ．所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ．点评 要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求．6． (1)设等差数列{a n }的公差为d,由m+k=2n,得a k =2a n ,因为a 2m + a 2k ≥12(a m + a k )2=2a 2n ．(a m a k )2≤[(a m + a k 2)2]2=a 4n ． 所以 a 2m + a 2k (a m a k )2 ≥ 2a 2n a 4n =2a 2n当且仅当d=0时等号成立． (2)由(1)结论,1 a 2i 1 a 22n －i ≥2 a 2n (i=1,2,…,n －1)把这n －1个不等式相加,再把所得的结果两边同时加上1a 2n便得到所证明的结论．当d=0时等号成立．本节“习题10”解答：1．由120032004200320040,0,.0a a a a a >+><得公差d ＜0，于是a 2 004＜0．a l ＋a 4006=a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0．另一方面，a l ＋a 4 007=2a 2 004＜0，故S 4 007＜0．故答案选B ．2． b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),yc xa +=)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xycx ay ++++=+=2．3．等比数列{}a n 的通项公式1211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n na,前n 项之积nπ2)1(211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n n ,易知9π、12π、13π 为正数,10π、11π为负数,故只需比较9π、12π、13π．因为3211536199-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-a ,23211011=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a ,43211112-=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a,83211213=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a,且.18274323)3(121110>=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⋅⋅a a a所以=π12121110a a a ⋅⋅>π⋅99π．又因为1013<<a 及121313π=πa ,∴1213π<π．故选C ．4．由题意知pq =a 2,2b=p+c ,2c=q+b 由于后二式得b=2p+q 3,c=p+2q3, 于是有bc =2p+q 3·p+2q 3=p+p+q 3·p+q+q 3≥ 3p 2q · 3pq 2=pq =a 2,因为p ≠q,故bc ＞a 2,方程的判别式△=4a 2－4bc ＜0,因此,方程无实数根．5．要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T >k n s 具体化．因此，可首先从探求n T 与n s 的关系入手，寻求突破口．解 因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列， 故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T =n b b b +++ 21=（a 1+a 2+…+a n ）（q －kq 2）=n s )(2kq q -． 依题意，由n T >k n s ，得n s )(2kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s >0；当－1<q<0时，由01>a ，1－q>0,1－nq >0,所以n s =01)1(1>--qq a n．综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s >0恒成立 ． 由①式，可得k kq q >-2， ② 即qq qq k q q k +=+<<+111,)1(22．由于21≥+qq ，故要使①式恒成立，k<－21．点评 本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k<)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值． 6． （I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将nn nc32+=代入上式，得()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ，即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ，整理得 ()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得 p =2或p =3．（II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=,为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠．事实上,()pq b a q b p a q b p a c 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111qp b a q b p aqb p a b a+++=++．由于 q p ≠，pqq p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列．7．{}1)1(111,11,1,,2,1,)1(,1)(,)()()(,)(.0111,)()(,)(,21,2)(.110)0()(,1)(,10,1)(,0)0()1(111111111102121212211101--=+⋅⋅⋅++=≠-⋅⋅⋅==--===--==+==-=--=≤≤===--==≤≤==----------b bb bbx b bx xn bx x n x f n x f bx x x f x f bn x f y x bx bx x b x x x f x f b x f y y x f x x f x f b x f y y x f f n n n n nn n n n n n n n n n n 得由公比为其首项为为等比数列由此知数列故又故得段线段的斜率为图象中第由函数记得即故由的线段的图象是斜率为函数时当又由得故由的线段的图象是斜率为函数时当又由).,0[)(,10);1,0[)(,1:.,10;11)1(lim lim ,1,),3,2,1(1)1(,)(),3,2,1,(),()()1(,,1.)(,10,)1(,10)2(1111∞+<<->∞→∞→<<-=--=>⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅=≤≤-+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤-∞→∞→-++的定义域为时当的定义域为时当综上所述时时当时当进行讨论须对的定义域为求由时即当时当时即当知从当x f b b b x f b x n b b b b bb x b n b b b x x f n x x x x x b n x f x x x n y n x x f x x y y n n n n n n n n n n nn n .1)(,)(,1,,1,)(,0)()(,0)(111)()()()1()()()(,,),1,1(,)(,11,1)3(11的交点的图象没有横坐标大于的图象与故函数成立恒有时可知当仿上述证明时当成立其次即有所以故又此时有使存在对任意的成立恒有时先证明当xy x f x x f x b x x f x x f x x f x x f x bbn x f x x f x x f n x x x x bx f x f x x x x b b x x x f b b x b n n n n n n n n n n n nn n n n =<><>>->->-=+⋅⋅⋅++>=->-⇒≥->-=-≤<-∈<-<<>-+ 8． （I ）4945=a ;（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j……第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此jj i j i ij j i i aij++=++=-++-+=)12(2)1)(12()1(34,要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij, 所以122008+-=i i j, 当1=i 时，得669=j 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得j j i N ++=)12(从而12)12(212+++=+j j i N )12)(12(++=j i 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得)12)(12(12++=+l k N , 从而kl a l l k N =++=)12(可见N 在该等差数阵中． 综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积． 9． （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d dd d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞． （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围． 研究的结论可以是：由()323304011010dd d d a a+++=+=，依次类推可得 ()nn dd a +++=+ 110)1(10⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+.1),1(10,1,11101d n d d d n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等．10． 因为cosA= b 2+c 2－a 22bc = 12 ,即A=60°,于是sin30°= r 1－r 2 r 1+r 2 = 12 得 r 2 r 1 = 13,同理r n r n －1 = 13, 所以面积的和S=πr 121－19 = 98πr 12,又r1= bc sin A a +b +c =5 3－ 21611．93．由 a 1+ a 3+ a 5+…+ a 97=(a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98)－49可得． 12．（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n na aa aQ a a aP a a Q ⋅⋅++-∴,121n n a aa ⋅=+∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n na aa a a a a a==⋅=-++-+3222221222321)1()1()1(n n a a a a a=1211211121212221)()1()1(----+-+++==n n n n n aa a a a a a， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21nn a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k nk k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)(（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n 因此∑∑∑=++-=+-=++-≤-=-nk i i i ni k kk nk k k ka a a a a a a a a122111112112121121121)()()(∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(ni i aa a a aaa =.31121151<++aa a。