(新高考)2020版高考数学二轮复习主攻36个必考点统计与概率考点过关检测十六(文)

考点过关检测（三十）1．函数f (x )＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( ) A ．0 B.1e C.4e4 D.2e2 解析：选A f ′(x )＝1－xex ，当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1,4]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，因为f (0)＝0，f (4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f (x )有最小值，且最小值为0.2．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe ，则f (x )的极大值点为( )A.1e B ．1 C ．eD ．2e 解析：选D ∵f ′(x )＝2e f ′(e )x －1e ，∴f ′(e)＝1e，∴f (x )＝2ln x －x e ，f ′(x )＝2x －1e.令f ′(x )>0，得0<x <2e ， 令f ′(x )<0，得x >2e ，∴f (x )在(0,2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减， ∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值， 则f (x )的极大值点为2e.故选D.3．(2019·沈阳模拟)若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 为( ) A ．2 B ．6 C ．2或6D ．－2或－6解析：选B ∵f (x )＝x (x －c )2＝x 3－2cx 2＋c 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，由题意知，f ′(2)＝12－8c ＋c 2＝0，解得c ＝6或c ＝2，又函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，故导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －23(x －2)，不满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x 2－8x ＋12)＝3(x －2)(x －6)，满足导数值在x ＝2处左侧为正数，右侧为负数．故c ＝6.4．(2019·湛江一模)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax －a 存在极值点x 0，且f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0，则x 1＋2x 0＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C f ′(x )＝3x 2－2x ＋a .∵函数f (x )＝x 3－x 2＋ax －a 存在极植点x 0， ∴3x 20－2x 0＋a ＝0，即a ＝－3x 20＋2x 0. ∵f (x 1)＝f (x 0)，其中x 1≠x 0， ∴x 31－x 21＋ax 1－a ＝x 30－x 20＋ax 0－a ， 化简得x 21＋x 1x 0＋x 20－(x 1＋x 0)＋a ＝0，把a ＝－3x 20＋2x 0代入上述方程可得：x 21＋x 1x 0＋x 20－(x 1＋x 0)－3x 20＋2x 0＝0， 化简得x 21＋x 1x 0－2x 20＋x 0－x 1＝0， 即(x 1－x 0)(x 1＋2x 0－1)＝0，又x 1－x 0≠0， ∴x 1＋2x 0＝1.故选C.5．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值等于( ) A ．e 2B ．eC ．2D ．1解析：选A 因为定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )， 所以y ＝f (x )为奇函数，其图象关于原点对称， 因为当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，所以当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12的最大值为－3. 又f ′(x )＝1－axx(0<x ≤2)，所以当0<x <1a时，f ′(x )>0；当1a<x ≤2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )＝ln x －ax 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝ln 1a －a ×1a＝－3，解得a ＝e 2.6．(2019·肇庆二模)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，1)解析：选D 函数f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]e x，则f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]e x＝[(x－1)(x－a)]e x.①当a＝1时，f′(x)＝(x－1)2e x≥0恒成立，所以f(x)是R上的单调递增函数，无极值点，不满足题意．②当a>1时，由f′(x)>0，得x>a或x<1；由f′(x)<0，得1<x<a，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点，不满足题意．③当a<1时，由f′(x)>0，得x>1或x<a；由f′(x)<0，得a<x<1，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减，所以x＝1是f(x)的极小值点，满足题意．所以实数a的取值范围为(－∞，1)．7．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2(舍)，当－1<x<0时，f′(x)>0；当0<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝0时，函数取得极大值即最大值，所以f(x)的最大值为2.答案：28．对于函数f(x)＝xe x，下列说法正确的有________(填序号)．①f(x)在x＝1处取得极大值1 e ；②f(x)有两个不同的零点；③f(4)<f(π)<f(3)；④πe2>2eπ.解析：由函数f(x)＝xe x ，可得函数f(x)的导数为f′(x)＝1－xe x.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．可得函数f(x)在x＝1处取得极大值1e，且为最大值，所以①正确；因为f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)>0恒成立，所以函数f(x)只有一个零点，所以②错误；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f(4)<f(π)<f(3)，所以③正确；由f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且π>2>1，可得πe π<2e2，即πe 2<2e π，所以④错误．故填①③.答案：①③9．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1,2)上仅有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f ′(x )＝3(x 2－a )，所以当a ≤0时，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )没有极值点，不符合题意；当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示；x (－∞，－a )－ a (－a ，a )a(a ，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以⎩⎨⎧a <2，－a ≤－1或⎩⎨⎧－a >－1，2≤a ，解得1≤a <4.答案：[1,4)10．(2019·保定模拟)已知函数f (x )＝3x ＋ln x ＋a x，且函数f (x )的图象在点x ＝1处的切线与y 轴垂直．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t，t ＋2上的最小值为F (t )，试求F (t )的最小值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝3＋1x －ax2，由题意得，f ′(1)＝4－a ＝0，解得a ＝4， 所以f (x )＝3x ＋ln x ＋4x，f ′(x )＝3＋1x －4x2＝(3x ＋4)(x －1)x2. 令f ′(x )>0，解得x >1；令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧t >0，t ＋2>3t ，解得t >1.由(1)知f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．①当3t<1，即t >3时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫3t ，1上单调递减，在(1，t ＋2]上单调递增，故F (t )＝f (1)＝7.②当3t≥1，即1<t ≤3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t ，t ＋2上单调递增，所以F (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t ＝9t＋ln 3－ln t ＋4t3，则F ′(t )＝(4t ＋9)(t －3)3t 2≤0， 所以F (t )在(1,3]上单调递减， 故F (t )min ＝F (3)＝7， 综上，F (t )的最小值是7.11．(2019·青岛一模)已知函数f (x )＝x －e x＋a2x 2＋1，a ≤1，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)当a ≤0时，证明：函数f (x )只有一个零点；(2)若函数f (x )存在两个不同的极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：f ′(x )＝1－e x＋ax . 令g (x )＝1－e x＋ax ，则g ′(x )＝a －e x.当a ≤0时，g ′(x )<0，所以f ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减．因为f ′(0)＝0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )≤f (0)＝0，故f (x )只有一个零点．(2)由(1)知，a ≤0时不符合题意．当0<a <1时，因为x ∈(－∞，ln a )时，g ′(x )>0；x ∈(ln a ，＋∞)时，g ′(x )<0. 又因为f ′(0)＝0，所以f ′(ln a )>0. 因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－e －1a<0.设φ(a )＝ln a ＋1a，a ∈(0,1)，则φ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2<0，所以φ(a )>φ(1)＝1>0，即－1a<ln a .所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，ln a ，满足f ′(x 1)＝0.所以x ∈(－∞，x 1)，f ′(x )<0；x ∈(x 1,0)，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0， 此时f (x )存在两个极值点x 1,0，符合题意．当a ＝1时，因为x ∈(－∞，0)时，g ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )<0， 所以g (x )≤g (0)＝0，即f ′(x )≤0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 所以f (x )无极值点，不合题意． 综上可得，实数a 的取值范围为(0,1)．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

考点过关检测（十九）1．(2019·唐山高三摸底考试)随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ<2)＝0.2，P (2≤ξ≤6)＝0.6，则μ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选 C 由题意可知，P (ξ≤6)＝P (ξ<2)＋P (2≤ξ≤6)＝0.2＋0.6＝0.8，∴P (ξ>6)＝1－0.8＝0.2，∴P (ξ<2)＝P (ξ>6)，∴μ＝2＋62＝4，故选C. 2．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( ) A.2027 B.827 C.727 D.127解析：选C 由题知随机变量符合二项分布，且它们的概率相同，P (ξ＝0)＝C 02(1－p )2＝1－59，解得p ＝13，则P (η≥2)＝C 33p 3＋C 23p 2(1－p )＝127＋627＝727. 3．我校在期末考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )A ．600B ．400C ．300D ．200 解析：选D 考试成绩在70分到110分之间的人数为600，因为成绩服从ξ～N (90，a 2)，所以落在90分到110分之间的人数为300，故数学成绩不低于110分的学生人数约为500－300＝200.4．(2019·长春质检)据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X (单位：万)服从正态分布X ～N (6,0.82)，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为(P (|X －μ|<σ)＝0.682 6，P (|X －μ|<2σ)＝0.954 4，P (|X －μ|<3σ)＝0.997 4)( )A ．0.682 6B ．0.954 4C ．0.997 4D ．0.341 3 解析：选D 因为μ＝6，σ＝0.8，所以P (6<X <6.8)＝P (5.2<X <6.8)2＝0.682 62＝0.3413.故选D. 5．(2019·郑州模拟)设X ～B (4，p )，其中0<p <12，且P (X ＝2)＝827，那么P (X ＝1)＝( ) A.881 B.1681C.827D.3281解析：选D P (X ＝2)＝C 24p 2(1－p )2＝827，即p 2(1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232，解得p ＝13或p ＝23(舍去)，故P (X ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝3281. 6．(2019·烟台期中)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩不超过82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.96)解析：由已知可得，P (100－17.5<X <100＋17.5)＝P (82.5<X <117.5)≈0.68，故成绩不超过82.5分的概率P (X ≤82.5)＝1－P (82.5<X <117.5)2＝1－0.682＝0.16.又P (100－17.5×2<X <100＋17.5×2)＝P (65<X <135)≈0.96，所以数学成绩特别优秀的概率P (X >135)＝1－P (65<X <135)2＝1－0.962＝0.02.又P (X ≤82.5)＝P (X ≥117.5)＝0.16，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.16×0.02＝10. 答案：0.16 107．(2019·衡水名校联考)按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间[－0.081,0.081]内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x 服从正态分布．现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：2．72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8(1)计算上述10件产品的误差的平均数x 及标准差s ；(2)①利用(1)中求的平均数x ，标准差s ，估计这批产品的合格率能否达到96%；②如果产品的误差服从正态分布N (0,0.040 52)，那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少？(附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.683，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997.0.95410用0.624 4，0.99710用0.970 4分别代替计算)解：(1)x ＝110×(0.02－0.02＋0＋0.05－0.04＋0－0.1－0.01＋0＋0.1)＝0， s 2＝110×(0.022×2＋0.052＋0.042＋0.012＋0.12×2)＝0.002 5，所以s ＝0.05.(2)①由(1)中计算得μ＝0，σ＝0.05，所以P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (0－2×0.05<X <0＋2×0.05)＝P (－0.1<X <0.1)．因为在－0.1<X <0.1内包括了所有的合格产品，也包括了不合格的产品，而P (－0.1<X <0.1)≈0.954<0.96，所以这批抽查的产品的合格率不能达到96%.②因为产品重量的误差服从正态分布N (0,0.040 52)，所以μ＝0，σ＝0.040 5.又μ－2σ<X <μ＋2σ即为－0.081<X <0.081，所以每件产品合格的概率P (μ－2σ<X <μ＋2σ)≈0.954，所以随机抽取10件产品中有不合格产品的概率为1－0.95410≈1－0.624 4＝0.375 6.8．(2019·厦门模拟)某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度．(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆需矫正速度的概率；(2)从样本中任取2辆车，求这2辆车均需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解：(1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆需矫正速度”． 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (X <μ－3σ)＋P (X >μ＋2σ)＝P (X <78.4)＋P (X >89.4)＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”．由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的个数为5辆车，故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，120， ∴P (ξ＝0)＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫1200⎝ ⎛⎭⎪⎫19202＝361400， P (ξ＝1)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1201⎝ ⎛⎭⎪⎫19201＝19200， P (ξ＝2)＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1202⎝ ⎛⎭⎪⎫19200＝1400， 因此ξ的分布列为：ξ0 1 2 P361400 19200 1400∴数学期望E (ξ)＝2×20＝10.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

考点过关检测（十七）1．(2019·临沂模拟)5个车位分别停放了A ，B ，C ，D ，E 5辆不同的车，现将所有车开出后再按A ，B ，C ，D ，E 的次序停入这5个车位，则在A 车停入了B 车原来的位置的条件下，停放结束后恰有1辆车停在原来位置上的概率是( )A.38B.340C.16D.112解析：选A 若C 停在原来位置上，则剩下三辆车都不停在原来位置上，有3种可能，D ，E 同理，因此共有9种方法，故所求概率为9A 44＝38.故选A.2．(2019·武汉调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )A.16B.14C.13D.12 解析：选B 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中抽一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为14，选B. 3．(2019·福建五校第二次联考)在区间[0,2]上随机取一个数x ，使sin π2x ≥32的概率为( ) A.13B.12C.23D.34解析：选A 当x ∈[0,2]时，0≤π2x ≤π，所以sin π2x ≥32⇔π3≤π2x ≤2π3⇔23≤x ≤43.故由几何概型的概率公式得所求概率P ＝43－232＝13.故选A. 4．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( ) A.15 B.13 C.14 D.16 解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊．又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是13. 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B.25 C.415 D.15解析：选 A 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率P ＝S 1S ＝20150＝215. 6.中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面左上方缀着的五颗黄色五角星，四颗小五角星环拱于大星之后，象征中国共产党领导下的革命人民大团结和人民对党的衷心拥护．五角星可通过正五边形连接对角线得到，且它具有一些优美的特征，如A 2E 2B 1A 2＝B 1A 2A 1B 1＝A 1B 1B 1E 1＝5－12，现在正五边形A 1B 1C 1D 1E 1内随机取一点，则此点取自正五边形A 2B 2C 2D 2E 2内部的概率为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫5－124 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122 C.5－12 D.5＋14解析：选A 由A 2E 2B 1A 2＝B 1A 2A 1B 1＝A 1B 1B 1E 1＝5－12，可得A 2E 2＝5－12B 1A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122A 1B 1，显然两个正五边形相似，相似比为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122，则面积比为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124，故所求概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124. 7．某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________．解析：记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a ，b ，c ，则并排贴的情况有abc ，acb ，bac ，bca ，cab ，cba ，共6种，其中b ，c 相邻的情况有abc ，acb ，bca ，cba ，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P ＝46＝23. 答案：238．(2019·长春模拟)从集合A ＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为________．解析：从集合A ，B 中随机选取后，组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限，则需a >0，b >0，共有2种满足，所以所求概率P ＝29. 答案：299.(2019·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是________．解析：设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos120°，得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝312，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin 60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－6S △BCG S 六边形ABCDEF ＝23. 答案：2310．(2019·威海模拟)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35. 11.某超市周年庆典，设置了一项互动游戏如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头P 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头P 指向每个区域的可能性都是相等的．要求每个家庭派一名儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，记为(a ，b )，一个家庭总得分X ＝a ＋b ，假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动，游戏规定：①若X >8，则该家庭可以获得一等奖一份；②若X ＝8，则该家庭可以获得二等奖一份；③若0<X <8(ab ≠0)，则该家庭可以获得纪念奖一份．(1)求一个家庭获得纪念奖的概率；(2)试比较同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率的大小．解：(1)由题意可知，一个家庭的得分情况共有36种，获得纪念奖的情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，共有19种．记事件A ＝“一个家庭获得纪念奖”，则P (A )＝1936.故一个家庭获得纪念奖的概率为1936. (2)记事件B ＝“一个家庭获得一等奖”，则符合获得一等奖条件的得分情况为(4,5)，(5,4)，(5,5)，共3种，则P (B )＝336＝112.记事件C ＝“一个家庭获得二等奖”，则符合获得二等奖条件的得分情况为(4,4)，(5,3)，(3,5)，共3种，所以P (C )＝336＝112.所以同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率相等．以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。

考点过关检测（十六）1．(2019·襄阳调考)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29解析：选D 因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.从而C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210，所以奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29.2．现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少2人，女医生不能全在同一组，且每组不能全为女医生，则不同的派遣方法有( )A ．36种B ．54种C ．24种D ．60种解析：选A 组队情况有2,4型和3,3型.2,4型只能是1男1女和2男2女，此时有C 13C 13种方法；3,3型只能是2男1女和1男2女，此时有C 23C 13种方法．综上，共有(C 13C 13＋C 23C 13)A 22＝36(种)方法，故选A.3．(2019·忻州模拟)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 根据二项式系数的性质知，(x ＋y )2m的二项式系数最大有一项，易知C m2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的二项式系数最大有两项，易知C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式，故选B.4．(2019·长春第一次质量监测)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A ，B ，C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为( )A ．6B ．12C ．24D ．36解析：选B 由题意可知，可以分两类，第一类，甲与另一人一同被分到A 班，分法有C 13A 22＝6(种)；第二类，甲单独被分到A 班，分法有C 23A 22＝6(种)．所以共有12种，故选B.5．(2019·武汉调研)若⎝⎛⎭⎪⎫x 4－1x x n的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( )A ．8B ．10C ．11D ．12解析：选 C 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－1x x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 4)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x x r ＝(－1)r C rn x 4n －112r ，当4n －112r ＝0，即n ＝118r 时展开式中存在常数项，所以n 的最小值为11，选C.6．(2019·桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选 一书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种解析：选D 若甲选《春秋》，则有C 13A 33＝18种情况； 若甲不选《春秋》，则有A 23A 33＝36种情况． 所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种．7．(2019·莆田期中)某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是( )A ．18B ．24C ．36D ．42解析：选D 由题设可分两类：一是甲地只选派1名女生，先考虑甲地有C 12C 13种情形，后考虑乙、丙两地，有A 23种情形，共有C 12C 13A 23＝36(种)情形；二是甲地选派2名女生，则甲地有C 22种情形，乙、丙两地有A 23种情形，共有C 22A 23＝6(种)情形．由分类加法计数原理可知共有36＋6＝42(种)情形，故选D.8．(2019·烟台诊断)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( )A ．5B ．40C ．20D ．10解析：选B 由题意，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x n 的展开式中各项的系数和为243，令x ＝1，则3n＝243，解得n ＝5，所以二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 3)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝2r C r 5x15－4r，令15－4r ＝7，得r ＝2，则T 3＝22C 25x15－4×2＝40x 7，即x 7的系数为40，故选B.9．(2019·广东百校联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的展开式中，含x －2的项的系数是________．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 4的通项公式为T r ＋1＝C r 4x 4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 4·2r x 4－2r ，令4－2r ＝－2，得r＝3，所以含x－2的项的系数为C34·23＝32.答案：3210．从数字0,1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，则组成的三位数中是3的倍数的有________个．解析：若取出的3个数字中包含0，则由数字0,1,2或0,2,4组成的三位数满足题意，共组成8个三位数；若取出的3个数字中不包含0，则由数字1,2,3或2,3,4组成的三位数满足题意，组成的三位数共有2A33＝12(个)．综上可知，共有20个三位数满足题意．答案：2011．(x＋1)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a11x11，则a0＝________，a1＋a2＋…＋a11＝________.解析：令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1，得1＋a1＋a2＋…＋a11＝－64，∴a1＋a2＋…＋a11＝－65.答案：1 －6512．用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．解析：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C15＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A25＝5×4＝20种方法，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A45＝5×4×3×2＝120种方法；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C14＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A34＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计数原理，可得共有120＋96＝216个数．答案：100 216以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导 专题3 统计与概率【高考考场实情】统计与概率在高考考查中一般有一道选择题或填空题、一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，选择、填空题为容易题, 解答题为中等难度题．选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置，解答题在前三题的位置．选择、填空题常考古典概型、几何概型（理科时而考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率）。

【考查重点难点】解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图等五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．【存在问题分析】1．概念理解不透【指点迷津】本专题中，概念理解不到位的有事件、模型的判断等；容易混淆的概念有互斥事件与对立事件、超几何分布与二项分布、二项展开式的通项公式1y n r r r n T C a b -+=与n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率()(1)k k n k n nP k C p p -=-等． 【例1】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l 只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．【解析】（Ⅰ）设1ξ、2ξ已分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对应的概率，则方案甲中1ξ的分布列为方案乙中2ξ的分布列为若甲化验的次数不少于乙化验的次数，则[][]1212212221(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)P P P P P P P P P P P ξξξξξξξξξξ==⨯=+=⨯=+=+==+=+=+=131322=0+(0)(0)0.72555555⨯++⨯+++=． (Ⅱ)3212()1023 2.4555E ξ=⨯+⨯+⨯==． 【名师点睛】本题易错的主要原因是对事件不清．对于方案甲，患有疾病的一只动物在每一次化验时出现的概率是等可能的，学生对事件不清，易误认为化验次数的可能取值是1，2，3，4，5，且1(1)(2)(3)(4)(5)2P P P P P ξξξξξ==========．事实上，若前4次化验为阴性，第5次不需再化验即知最后一只是患病动物，所以化验次数只能取l ，2，3，4．类似地，对于方案乙，第一次化验呈阳性，再化验3只中的前2只呈阴性后也不需再化验，或第一次化验呈阴性，再化验另外2只中的第l 只呈阴性或阳性后也不需再化验，即ξ只能取2，3．在解决问题时，要理清事件，求随机变量的分布列时，要弄清随机变量可能取到的每一个值以及取每一个值时所表示的意义，然后再利用所学的概率知识求出随机变量取每一个值时的概率，从而求出分布列．2．审题析题不到位【指点迷津】审题析题不清是本专题解答错误的主要原因，主要包括题意不清，茫然作答；阅读肤浅，丢失信息；条件欠缺，鲁莽下笔；图形不准，缺乏严密；方向不明，目标模糊等情况．审题不清的最主要原因在于学生的阅读理解能力欠缺．【例2】（2017年全国卷Ⅰ理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（Ⅰ）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=， 160.997 40.959 2=0.0080.09≈．【解析】（Ⅰ）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故()16,0.0026X B -,因此()()1611010.99740.0408P X P X ≥=-==-≈，X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=（Ⅱ）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97,μσ=的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-= 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134i i x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ的估计值为0.0080.09≈． 【名师点睛】面对试题中冗长的文字表述，学生方寸大乱，不知所措，从而失去读题、解题信心；没有形成通读全题的习惯，未能发现试题所附相关公式；未能根据试题提供的相关公式，提取零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026；未能准确把握较长问句“生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况”的关键词等，导致回答问题含混不清、词不达意．3．读图识图能力弱【指点迷津】学生面对一堆数据无从下手，主要原因是对数据、图表的直观印象和积累储备的知识经验不够；没有形成“用数据说话”的统计观念；对抽象数据的数字特征理解不到位．【例3】（2016年全国卷Ⅲ理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于20C ︒的月份有5个【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可知七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均气温高于20C ︒的月份只有7、8两个月，D 错误．【名师点睛】解答本题错误主要是读图识图能力弱，对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；其次,不会从图表中读取有用数据并进行判断；第三,估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．解题规范性较差【指点迷津】涉及本专题内容的考查，学生失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准，如不能用字母表示事件，导致在利用简单事件表示复杂事件书写混乱；解答过程缺失关键步骤，丢三落四，导致丢分等．【例4】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）设A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的计算公式有()11123531014C C C P A C ==. （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2则()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===，()21283101215C C P X C === 所以X 的分布列为 X 1 2 3 P715 715 115 故()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=个． 【名师点睛】从解题规范方面看，学生常出现错误有，没有用字母表示事件，即缺少“设A 表示事件‘三种粽子各取到l 个’”这一步骤；直接写出1()4P A =，过程没写出来，应写为1112353101()4C C C P A C ==，一但答案错误，就失去过程分数；忽视“X 的所有可能值为0,1,2”，导致丢分等．5. 运算能力弱【指点迷津】运算求解能力主要是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.本专题中，学生运算能力弱主要体现在不能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，不能根据要求对数据进行估计和近似计算.【例5】（2017年全国卷Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，1621(8.5)18.439i i =-≈∑，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（Ⅰ）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()n i ii n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑．0.0080.09≈． 【解析】（Ⅰ）由样本数据得(,)(1,2,...,16)i x i i =的相关系数为16116162211()(8.5)0.180.2121618.439()(8.5)ii ii i x x i r x x i ===--==≈-⨯⨯--∑∑∑． 由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．（Ⅱ）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.92)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．[来源:学+科+网] 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09≈．【名师点睛】从运算方面看，学生不懂从16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑中解出 16221()160.212i i x x =-=⨯∑；不会计算0.2121618.439r =⨯⨯的值，不懂根据保留小数点后两位的要求，实施近似处理以简化运算；不懂直接由0.2121618.439r =⨯⨯采用放缩方法判断是否满足||0.25r <；不会由9.97x =和0.212s ≈计算出区间(3,3)x s x s -+的端点值9.334,10.606；计算151115i i x x ==∑时，不懂得先做相反数相消处理或各项统一分离10后转化为15'111015i i x x ==+∑计算；计算15'1115iix x==∑时,不懂得转化为1613115iix xx=-=∑，再利用16119.9716iix x===∑简化运算；计算222222221[0.070.10.060.060.010.10.0415s=++++++22220.020.240.110.11+++++222200.020.030.07]++++0.008130.008=≈，不懂得各项统一提取20.01的技巧；计算222221[160.212169.979.221510.02]15s=⨯+⨯--⨯时，不懂得在保证精确度要求的前提下作近似处理以简化运算.【解决问题对策】1．关注统计图表的教学【指点迷津】高考试卷的解答题往往以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．复习过程中，应充分利用五个样本频率分布图表，让学生会从图表中读取有用数据，或根据问题需要选择合适图表，依据统计学中的方法对数据进行分析，作出合理的决策．【例6】【2015年全国卷Ⅱ文、理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】A2．关注样本数字特征的含义【指点迷津】在复习中，应关注众数、中位数、平均数（期望）、方差与标准差有的含义，并能根据解决问题的需要选择合理的数字特征说明问题．【例7】【2014年课标卷Ⅱ文19】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【答案】（Ⅰ）67；（Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为50.150=，80.1650=，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16．（Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分)3. 厘清事件及其概率【指点迷津】复习过程中，应厘清事件间的关系，准确计算相关事件的概率．特别要求学生能将复杂事件进行分解，先分解为互斥事件，每个互斥事件又分解为两个相互独立事件的积事件．【例8】（2013年全国卷Ⅰ理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果3n=，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n=，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．【解析】(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝41113 161616264⨯+⨯=．(Ⅱ)X可能的取值为400,500,800，并且P(X＝400)＝41111161616--=，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14，所以X的分布列为EX＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25．4．关注概率模型的识别与应用【指点迷津】复习过程中，应关注概率模型的识别与应用，一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词，厘清各种概率模型及适用范围．如超几何分布和二项分布是教材中两个重要概率分布，二项分布与超几何分布的区别为，二项分布是有放回的抽样，每做一次事件，事件A 发生的概率是相同的；超几何分布是不放回的抽样，每做一次事件，事件A发生的概率是不相同的．【例9】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：(490,495]，(495,500]，(500,505]，(505,510]，(510,515]，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为合格产品的数量，求X 的分布列和数学期望()E X ；(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．【解析】（Ⅰ）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为0.0450.0750.0550.8⨯+⨯+⨯=． 所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为400.832⨯=． 则X 可能的取值为0，1，2，所以()2824070195C P X C ===；()11832240641195C C P X C ===；()2322401242195C P X C ===， 因此X 的分布列为 X0 1 2 P 7195 64195 124195 故X 数学期望7641243128()0121951951951955E X =⨯+⨯+⨯==． (Ⅱ）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为40.85=， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为223144855125P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．学1科·网 5．关注用样本估计总体的思想分析解决问题【指点迷津】复习过程中，应让学生掌握，为了考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况．这种估计大体分为两类：用样本的频率分布估计总体的分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征．其次，“预测与决策”与人们的生活休戚相关．随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学的决策．而通过期望、方差等的计算，并进行大小比较，就是其中的一种科学预测与决策的手段．【例10】【2016年课标Ⅰ理19】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5≤≥,确定n的最小值；P X n（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n=之中选其一,应选用哪n=与20个？【答案】（Ⅰ）由柱状图并一频率代替概率知，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而P X==⨯=；(16)0.20.20.04P X==⨯⨯=；(17)20.20.40.16(18)20.20.20.40.40.24P X==⨯⨯+⨯=；P X==⨯⨯+⨯⨯=；(19)20.20.220.40.20.24P X==⨯⨯+⨯=；(20)20.20.20.20.20.2P X==⨯⨯=；(21)20.20.20.08P X==⨯=(22)0.20.20.04所以X的分布列为X 16 17 18 19 20 2122P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ，68.0)19(=≤X P ，故n 的最小值为19.（Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+. 当20=n 时，04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=. 可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值，故应选19=n .6．关注“冷门”知识的复习【指点迷津】高考是对高中阶段学习结果的大检阅，统计与概率的考查，在突出核心知识考查的同时，也关注知识点的覆盖面．因此，在复习教学中，要全面检索高中阶段的所有知识，特别是不能忽视对所谓的“冷门知识”的复习，如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等．【例11】【2015年课标Ⅰ理18】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (1,2,,8i =⋅⋅⋅)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w 281(x )ii x =-∑ 281()i i w w =-∑ 81()(y )i i i x x y =--∑ 81()()i i i w w y y =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =，8118i i w w ==∑ (Ⅰ)根据散点图判断，y a bx =+y 与y c b x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： （i ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,),,u v ⋅⋅⋅(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ121()()()n i i i n i i u u v v uu β==--=-∑∑，µµv u αβ=-． 【解析】(Ⅰ)100.668y x =+(Ⅲ) （i ）由(Ⅱ)知，当49x =时，年销售量y 的预报值$100.66849576.6y =+=，年利润的预报值0.2576.64966.32z=⨯-=$． ②根据(Ⅱ)的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zx x x x =+-=-++$， 所以当13.6 6.82x ==，即46.24x =时，z 取得最大值． 7．加强阅读理解能力培养与训练【指点迷津】统计与概率进一步强化应用意识的考查，已成高考命题改革的必然趋势，试卷试题文字阅读量的逐年增加，或成高考试卷的发展趋势．复习中，应规范教学的阅读指导．应该呈现读题提取关键信息、析题形成解题思路、解题示范规范表达、反思积淀解题经验的“四步曲”完整过程，才能充分发挥解题教学的效益．其次，加强平时的阅读训练．需要适当增加平时作业习题的阅读量，尤其是应用性试题的读题训练，提高学生的阅读理解能力及应试心态．【例12】【2014年课标Ⅰ理18】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX ．12.2．若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．【解析】(Ⅰ) 2200,150x s ==（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+=，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826， 依题意知(100,0.6826)X B :，所以1000.682668.26EX =⨯=．8．规范答题表达形式【指点迷津】规范答题，一方面，思考问题要规范．也就是从知识的源头出发，弄清知识的来龙去脉．知识是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么写，不能模棱两可，要会运用知识进行思考；另一方面，书写要规范．书写规范是一个重要的高考增分点，这一点应引起足够重视．如解题中应注意用字母表示事件，注意作答等．【例13】（2015年全国卷Ⅱ理18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级” ．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．【解析】（Ⅰ）略；（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或者非常满意”；记2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；记1B C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为不满意”；记2B C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意”；则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122()()B A B A C C C C C =U ，1122()(()())B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+， 由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的频率分别为164108,,,20202020，故1212164108(),(),(),()20202020A A B B P C P C P C P C ====，所以164108()0.4820202020P C =⨯⨯⨯=．。

考点过关检测（十五）1．(2019·泉州一模)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离)，无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于下表．表1：已知表1(1)求a ，b 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数； (2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)该测试团队认为：若驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解：(1)依题意，得610a ＝50－26，解得a ＝40.又a ＋b ＋36＝100，解得b ＝24， 故停车距离的平均数为15×26100＋25×40100＋35×24100＋45×8100＋55×2100＝27. (2)依题意，可知x ＝50，y ＝60，∑i ＝15x i y i ＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，∑i ＝15x 2i ＝102＋302＋502＋702＋902＝16 500， 所以b ^＝17 800－5×50×6016 500－5×502＝0.7， a ^＝60－0.7×50＝25，所以回归直线方程为y ^＝0.7x ＋25.(3)由(1)知当y >81时，认定驾驶员是“醉驾”． 令y ^>81，得0.7x ＋25>81，解得x >80，所以当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．2．(2019·辽阳模拟)“微信运动”是一个类似计步数据库的公众帐号，用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：(1)填写下面2×2列联表(单位：人)，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .(2)为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步数在3 001～6 000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．解：(1)2×2列联表如下.根据列联表中的数据，得K2＝30×20×32×18≈0.231<2.706，所以没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”．(2)设步数在3 001～6 000中的男性的编号为1,2，女性的编号为a，b，c.选取三人的所有情况为(1,2，a)，(1,2，b)，(1,2，c)，(1，a，b)，(1，a，c)，(1，b，c)，(2，a，b)，(2，a，c)，(2，b，c)，(a，b，c)，共10种情况．符合条件的情况有(1,2，a)，(1,2，b)，(1,2，c)，共3种情况．故所求概率为3 10 .3．(2019·衡水第十三中学质检)近年来，随着互联网的发展，各种类型的网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为掌握网约车在M省的发展情况，M省的调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的A，B两项指标数x i，y i(i＝1,2,3,4,5)，数据如下表所示.2.(1)试求y与x之间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)建立y关于x的回归方程，并预测当A指标数为7时，B指标数的估计值；(3)若城市的网约车A指标数x落在区间(x－3s，x＋3s)的右侧，则认为该城市网约车数量过多，会对城市交通带来较大的影响，交通管理部门将介入进行治理，直至A指标数x回落到区间(x－3s，x＋3s)之内．现已知2018年11月该城市网约车的A指标数为13，问：该城市的交通管理部门是否要介入进行治理？试说明理由．附：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2∑i ＝1n(y i －y)2，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^x .0.3≈0.55，0.9≈0.95.解：(1)由已知数据得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4，∑i ＝15(x i －x )(y i－y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，所以相关系数r ＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y)∑i ＝15(x i －x)2∑i ＝15(y i －y)2＝625×2＝310≈0.95.因为r >0.75，所以y 与x 具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合．(2)由(1)可知b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y)∑i ＝15(x 1－x)2＝620＝0.3， a ^＝y －b ^x ＝4－0.3×5＝2.5，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.3x ＋2.5. 当x ＝7时，y ^＝0.3×7＋2.5＝4.6.(3)(x －3s ，x ＋3s )＝(－1,11)，而13>11，故2018年11月该城市的网约车已对城市交通带来较大的影响，交通管理部门要介入进行治理．4．(2019·安庆期末)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．x y w∑i ＝18(x i －x )2∑i ＝18(w i －w )2∑i ＝18(x i －x )(y i －y ) ∑i ＝18(w i －w )(y i －y )46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ，根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v)∑i ＝1n(u i －u)2，α^＝v －β^u .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y)∑i ＝18(w i －w)2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

考点过关检测（二十）1．(2019·马鞍山期末)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点(1，2)，离心率为22，过原点O 作两条直线l 1，l 2，直线l 1交椭圆于点A ，C ，直线l 2交椭圆于点B ，D ，且|AB |2＋|BC |2＋|CD |2＋|DA |2＝24.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：|k 1k 2|为定值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b2＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，故椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 1，－y 1)，D (－x 2，－y 2)，由y 24＋x 22＝1，得y 2＝4－2x 2，|AB |2＋|BC |2＋|CD |2＋|DA |2＝2(|AB |2＋|DA |2) ＝2[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2] ＝4(x 21＋x 22＋y 21＋y 22)＝4(x 21＋x 22＋4－2x 21＋4－2x 22) ＝4×(8－x 21－x 22)＝24，所以x 21＋x 22＝2，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 2x 1x 2＝y 21y 22x 21x 22 ＝(4－2x 21)(4－2x 22)x 21x 22＝16－8x 21－8x 22＋4x 21x 22x 21x 22＝2，故|k 1k 2|为定值2.2．(2019·绵阳诊断)已知点E (－2,0)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△ABE 的周长为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点N ，已知NA →＝mAF →，NB →＝nBF →，求m ＋n 的值． 解：(1)由题意知，E 为椭圆的左焦点，∴|AB |＋|AE |＋|BE |＝|AF |＋|BF |＋|AE |＋|BE |＝4a ＝12，解得a ＝3，又c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)由题知F (2,0)，若直线AB 恰好过原点，则A (－3,0)，B (3,0)，N (0,0)， ∴NA →＝(－3,0)，AF →＝(5,0)，则m ＝－35，NB →＝(3,0)，BF →＝(－1,0)，则n ＝－3，∴m ＋n ＝－185.若直线AB 不过原点，设直线AB ：x ＝ty ＋2，t ≠0，A (ty 1＋2，y 1)，B (ty 2＋2，y 2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2t .则NA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 1＋2，y 1＋2t ，AF →＝(－ty 1，－y 1)，NB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ty 2＋2，y 2＋2t ，BF →＝(－ty 2，－y 2)，由NA →＝mAF →，得y 1＋2t ＝m (－y 1)，从而m ＝－1－ 2ty 1；由NB →＝nBF →，得y 2＋2t＝n (－y 2)，从而n ＝－1－2ty 2，故m ＋n ＝－1－2ty 1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1－2ty 2＝－2－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＝－2－2t ×y 1＋y 2y 1y 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋2，x 29＋y25＝1，整理得(5t 2＋9)y 2＋20ty －25＝0，∴y 1＋y 2＝－20t 5t 2＋9，y 1y 2＝－255t 2＋9，∴m ＋n ＝－2－2t ×y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2t ×20t 25＝－2－85＝－185.综上所述，m ＋n ＝－185.3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0. (1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△POQ 的面积是否为定值，并说明理由． 解：(1)证明：∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0， ∵m ·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14. (2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0，又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1， ∴|x 1|＝2，|y 1|＝22， ∴S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0，∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1，满足Δ>0. ∴S △POQ ＝12·|b |1＋k 2·|PQ | ＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2＋1－b24k 2＋1＝1. ∴△POQ 的面积为定值，且为1.4．(2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，并求这个定值．解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋n消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝±x消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2020新高考数学（理）二轮专题培优新方案主攻40个必考点条件概率过关检测1．(2019·武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29 B.13 C.49D.59解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，4个人去的景点不同有A 44＝4×3×2×1＝24种情况，∴P (A |B )＝24108＝29.2．(2019·包头铁路一中调研)甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是( )A.25B.1130C.715D.16解析：选C 三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715，故选C.3．(2019·广西三市第一次联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )A.1316B.2764C.2532D.2732解析：选D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为150200＝34，则所求概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2732.4．(2019·南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率P ＝A 33P (A 1B 2C 3)＝6×12×13×16＝16.5．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，若两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )A.624625B.96625C.16625D.4625解析：选B 由题可得，一次摸球中获奖的概率为p ＝5＋1C 26＝25，所以4人中恰有3人获奖的概率为C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625.6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析：选C 依题意，得P (A )＝12，P (B )＝16，且事件A ，B 相互独立，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率为1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－12×56＝712，故选C.7．(2019·合肥模拟)某知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．由相互独立事件概率计算公式得，所求概率P ＝(0.2＋0.8)×0.2×0.82＝0.128.答案：0.1288．(2019·德州一模)某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X 为4名顾客获得的红包金额总和，则P (10≤X ≤15)＝________.解析：由题意可得，P (10≤X ≤15)＝C 24×0.42×0.62＋C 34×0.43×0.6＝0.499 2. 答案：0.499 29．(2019·石家庄模拟)甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是13，乙解出这道题目的概率是14，则恰有1人解出这道题目的概率是________，这道题被解出的概率是________．解析：设“甲解出这道题目”为事件A ，“乙解出这道题目”为事件B ， 则P (A )＝13，P (B )＝14，P (A )＝23，P (B )＝34. ∵“恰有1人解出这道题目”为事件A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝13×34＋23×14＝512.设“这道题被解出”为事件C ，∴P (C )＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－23×34＝12. 答案：512 1210．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4，A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”，B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”． (1)A ＝A 1A 2A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1A 1A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3，又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 所以(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9.(2)因为B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A 4A 1A 2A 3)， 所以P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4A 1A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1，故电流能在M 与N 之间通过的概率为0.989 1. 11.空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图所示． (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，所以该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35.所以P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125.所以ξ的分布列为：。