新高考2020版高考数学二轮复习主攻40个必考点解析几何考点过关检测二十六理

考点过关检测（二十六）

1．(2019·亳州联考)已知抛物线E ：y 2

＝2px (p >0)与过点M (a,0)(a >0)的直线l 交于A ，B 两点，且总有OA ⊥OB .

(1)确定p 与a 的数量关系；

(2)若|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，求λ的取值范围．

解：(1)设l ：ty ＝x －a ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，ty ＝x －a 消去x ，得y 2

－2pty －2pa ＝0. ∴y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－2pa ，

由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即(y 1y 2)24p 2＋y 1y 2＝0， ∴a 2－2pa ＝0.∵a >0，∴a ＝2p .

(2)由(1)可得|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|

＝2p 1＋t 2·t 2＋4.

|AM |·|MB |＝AM →·MB →＝(a －x 1)(x 2－a )－y 1y 2＝－x 1x 2＋a (x 1＋x 2)－a 2

－y 1y 2＝a ·y 2

1＋y 222p －a 2＝4p 2(1＋t 2)．

∵|OM |·|AB |＝λ|AM |·|MB |，

∴a ·2p 1＋t 2·t 2＋4＝λ·4p 2(1＋t 2)，

∴λ＝

4＋t 21＋t 2＝1＋31＋t 2. ∵t 2≥0，∴λ∈(1,2]．

故λ的取值范围为(1,2]．

2．(2019·佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12

，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.

(1)求椭圆M 的标准方程；

(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：

直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．

解：(1)设椭圆M 的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

则⎩⎪⎨⎪⎧

c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1. 所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23

＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3

. 因为B ，C ，F 2共线，

所以k BF 2＝k CF 2，即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1

， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，

所以2k ·4m 2

－124k 2＋3－(m －k )·8km 4k 2＋3

－2m ＝0，解得m ＝－4k . 所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．

因为y 21＝3－34

x 21， 所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝

⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187

. 因为－2

所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－187，18. 3.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．

(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；

(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 解：(1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B 14

y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点均在抛物线上，

所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭

⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．

所以y 1＋y 2＝2y 0，因此PM 垂直于y 轴．

(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，

所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34

y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22(y 20－4x 0).

因此△PAB 的面积S △PAB ＝12

|PM |·|y 1－y 2|＝ 324(y 20－4x 0)32

. 因为x 20＋y 204

＝1(x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，

所以△PAB 面积的取值范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 4．已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29

＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD →＝53

MD →. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；

(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QF k PA

的取值范围． 解：(1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0.

由PD →＝53MD →，得(m －x ，－y )＝53

(0，－n )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝x ，n ＝35

y . 又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29

＝1上的点， ∴x 225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29

＝1，即x 2＋y 2

＝25，