新高考2020版高考数学二轮复习主攻40个必考点解析几何考点过关检测二十六理

考点过关检测（二十二）1．(2019·豫东联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1解析：选A 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1.又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选A.2．(2019·菏泽期末)已知等边△AOB (O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)上，且△AOB 的面积为93，则p ＝( )A. 3 B ．3 C.32D ．2 3解析：选C 根据抛物线和等边三角形的对称性，可知A ，B 两点关于x 轴对称，不妨设直线OB ：y ＝33x ，与y 2＝2px 联立，解得B (6p,23p )，故|OB |＝43p .因为△AOB 的面积为93，所以34×(43p )2＝93，解得p ＝32.故选C.3．若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0(a >0，b >0)对称，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.43 B.53 C.54D.74解析：选C 圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，满足题意时，直线过圆心，即32a －2b ＝0，∴b a ＝34，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝54.4．(2019·青岛二模)若直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选A 根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y25＝1.5．(2019·海珠模拟)双曲线E 的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，则双曲线E 的虚轴长等于( )A ．4 B. 3 C ．2 3D ．4 3解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，所以双曲线E 的一个顶点为(2,0)，即a ＝2.又因为离心率e ＝ca ＝c2＝2，所以c ＝4.因此b ＝16－4＝23，虚轴长等于2b ＝43，故选D.6．(2019·唐山一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x .又抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋(3)2＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .7．(2019·桂林期末)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8解析：选C 设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 24.又因为点F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.又x 0∈[－2,2]，所以(OP →·FP →)max＝6.8．(2019·通化三模)已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，55B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，355 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，455 解析：选B 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45.因为e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k2，所以0<e 2≤45，解得0<e ≤255.故选B. 9．(2019·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是________．解析：设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，∴y 1y 2＝－4n ，又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 的方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0)． 答案：(9,0)10．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则下列说法正确的是________(填序号)．①△ABF 是等边三角形； ②|BF |＝3；③点F 到准线的距离为3； ④抛物线C 的方程为y 2＝6x .解析：∵以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为34|BF |2＝93，∴|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .答案：①③④11．(2019·泉州期末)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立．则双曲线的离心率为________，λ的值为________．解析：由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b 2a ，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a，化简得e 2－e －1＝0.∵e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS△IF1F2得，12|PF1|·r＝12|PF2|·r＋λcr，故λ＝|PF1|－|PF2|2c＝ac＝11＋52＝5－12.答案：5＋125－12。

考点过关检测（二十七）1．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，下顶点为D ，若直线AB 与直线DF 的交点为(3a,16)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (m,0)为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于S ，T 两点，证明：|PS |2＋|PT |2为定值．解：(1)由椭圆C 的左顶点的坐标为A (－a,0)，上、下顶点的坐标分别为B (0，b )，D (0，－b )，右焦点的坐标为F (c,0)，可得直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，直线DF 的方程为y ＝bc x －b .因为直线AB 和直线DF 的交点为(3a,16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧16＝ba ·3a ＋b ，16＝b c ·3a －b ，解得b ＝4且3a ＝5c .又因为a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5， 所以椭圆C 的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝45(x －m )， 即x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y 216＝1并整理得 25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－45m ，y 1y 2＝8(m 2－25)25.又因为|PS |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21， 同理|PT |2＝4116y 22，则|PS |2＋|PT |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m 2－16(m 2－25)25＝41，所以|PS |2＋|PT |2＝41，是定值．2．(2019·资阳模拟)已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A (－2,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32三点． (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆E 交于M ，N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．解：(1)当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2.又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，得122＋94b 2＝1，解得b 2＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，则b ＝2. 又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，得122＋94a 2＝1，解得a 2＝3，这与a >b 矛盾．综上可知，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：将直线l ：y ＝k (x －1)代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设直线l 与椭圆E 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－3)3＋4k 2.直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，它与直线x ＝4的交点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，同理可求得直线BN 与直线x ＝4的交点坐标为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2y 2x 2－2.下面证明P ，Q 两点重合，即证明P ，Q 两点的纵坐标相等． ∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，∴6y 1x 1＋2－2y 2x 2－2＝6k (x 1－1)(x 2－2)－2k (x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2－2) ＝2k [2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8](x 1＋2)(x 2－2)＝2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8(k 2－3)3＋4k2－40k 23＋4k 2＋8(x 1＋2)(x 2－2)＝0.因此结论成立．综上可知，直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上． 3.(2019·邯郸联考)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为右焦点，直线y ＝6x 与椭圆C 的交点到y 轴的距离为27，过点B 作x 轴的垂线l ，D 为l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与C 的另一个交点为P ，证明：直线PF 与圆E 相切． 解：(1)由题可知c a ＝12，∴a ＝2c ，b 2＝3c 2. 设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝6x ，得|x |＝2c 7＝27，∴c ＝1，a ＝2，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)可得F (1,0)，设圆E 的圆心为(2，t )(t ≠0)，则D (2,2t )，圆E 的半径R ＝|t |，∴直线AD 的方程为y ＝t2(x ＋2)．设过F 与圆E 相切的直线方程为x ＝ky ＋1， 则|2－kt －1|1＋k 2＝|t |，整理得k ＝1－t 22t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 2(x ＋2)，x ＝1－t 22t y ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2t 23＋t 2，y ＝6t3＋t 2，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫6－2t 23＋t 224＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6t 3＋t 223＝1，∴直线PF 与圆E 相切．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)与椭圆C 由左至右依次交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．解：(1)由右焦点为F 2(1,0)，知c ＝1. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 的方程为y ＝k (x －4)知，直线l 过定点(4,0)， 由椭圆的对称性知，点G 在直线x ＝x 0(x 0∈R )上．当直线l 过椭圆C 的上顶点时，M (0，3)，此时直线l 的斜率k ＝－34， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34(x －4)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝335，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335. 由(1)知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，所以直线lA 1M 的方程为y ＝32(x ＋2)，直线lA 2N 的方程为y ＝－332(x －2)， 联立两直线的方程得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332， 可知点G 在定直线x ＝1上． 当直线l 不过椭圆C 的上顶点时， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 则Δ＝(－32k 2)2－4×(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12，x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2，直线lA 1M 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 直线lA 2N 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，当x ＝1时，由3y 1x 1＋2＝－y 2x 2－2， 得2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝0，而2×(64k 2－12)3＋4k 2－5×32k 23＋4k 2＋8×(3＋4k 2)3＋4k 2＝0显然成立，所以点G 在定直线x ＝1上． 综上所述，点G 在定直线x ＝1上．。

2020新高考数学（理）二轮培优主攻40个必考点圆锥曲线中的定值问题考点过关检测及详解1．(2019·马鞍山期末)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点(1，2)，离心率为22，过原点O 作两条直线l 1，l 2，直线l 1交椭圆于点A ，C ，直线l 2交椭圆于点B ，D ，且|AB |2＋|BC |2＋|CD |2＋|DA |2＝24.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，求证：|k 1k 2|为定值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，ca ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，故椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：由对称性可知，四边形ABCD 是平行四边形，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 1，－y 1)，D (－x 2，－y 2)，由y 24＋x 22＝1，得y 2＝4－2x 2，|AB |2＋|BC |2＋|CD |2＋|DA |2＝2(|AB |2＋|DA |2) ＝2[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2]＝4(x 21＋x 22＋y 21＋y 22)＝4(x 21＋x 22＋4－2x 21＋4－2x 22) ＝4×(8－x 21－x 22)＝24，所以x 21＋x 22＝2，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 2x 1x 2＝y 21y 22x 21x 22＝(4－2x 21)(4－2x 22)x 21x 22＝16－8x 21－8x 22＋4x 21x 22x 21x 22＝2，故|k 1k 2|为定值2. 2．(2019·绵阳诊断)已知点E (－2,0)，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (2,0)，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△ABE 的周长为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点N ，已知NA →＝mAF →，NB →＝nBF →，求m ＋n 的值． 解：(1)由题意知，E 为椭圆的左焦点，∴|AB |＋|AE |＋|BE |＝|AF |＋|BF |＋|AE |＋|BE |＝4a ＝12，解得a ＝3，又c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. (2)由题知F (2,0)，若直线AB 恰好过原点，则A (－3,0)，B (3,0)，N (0,0)， ∴NA →＝(－3,0)，AF →＝(5,0)，则m ＝－35， NB→＝(3,0)，BF →＝(－1,0)，则n ＝－3， ∴m ＋n ＝－185.若直线AB 不过原点，设直线AB ：x ＝ty ＋2，t ≠0，A (ty 1＋2，y 1)，B (ty 2＋2，y 2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2t .则NA →＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 1＋2，y 1＋2t ，AF →＝(－ty 1，－y 1)，NB →＝⎝⎛⎭⎪⎫ty 2＋2，y 2＋2t ，BF →＝(－ty 2，－y 2)，由NA →＝mAF →，得y 1＋2t ＝m (－y 1)，从而m ＝－1－ 2ty 1；由NB →＝nBF →，得y 2＋2t ＝n (－y 2)，从而n ＝－1－2ty 2，故m ＋n ＝－1－2ty 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2ty 2＝－2－2t ⎝⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＝－2－2t ×y 1＋y 2y 1y 2.联立⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，x 29＋y 25＝1，整理得(5t 2＋9)y 2＋20ty －25＝0，∴y 1＋y 2＝－20t 5t 2＋9，y 1y 2＝－255t 2＋9，∴m ＋n ＝－2－2t ×y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2t ×20t 25＝－2－85＝－185.综上所述，m ＋n ＝－185.3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12，y 1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 22，y 2，m ·n ＝0.(1)求证：k 1·k 2＝－14；(2)试探求△POQ 的面积是否为定值，并说明理由． 解：(1)证明：∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0， ∵m ·n ＝0，∴x 1x 24＋y 1y 2＝0， ∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14.(2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时，由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214－y 21＝0，又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21＝1， ∴|x 1|＝2，|y 1|＝22， ∴S △POQ ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0， ∴x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.∵x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0， 得2b 2－4k 2＝1，满足Δ>0. ∴S △POQ ＝12·|b |1＋k 2·|PQ |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2|b |·4k 2＋1－b 24k 2＋1＝1.∴△POQ 的面积为定值，且为1.4．(2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，并求这个定值．解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1. 联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋n消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n 2＋3>0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n2k 2＋1＝12＋m (4k 2＋3)k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0.当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝±x消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.。

考点过关检测（二十五）1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．解：(1)由题意知|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)·(a 2＋4b 2)． 化简得a 2＝2b 2，所以e ＝22. (2)因为△PQF 2的周长为42， 所以4a ＝42，得a ＝2，由(1)知b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，且焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线方程为x ＝－1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2消去y 并整理得，(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92(2k 2＋1)，由k 2>0可得F 2P →·F 2Q →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，72.综上所述，F 2P →·F 2Q →∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，72，所以F 2P →·F 2Q →的最大值是72.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点恰好是椭圆C 的右焦点F .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在的直线l 1，l 2，l 1交椭圆C 于点A ，B ，l 2交椭圆C 于点G ，H ，若|AF |是|AH |－|FH |与|AH |＋|FH |的等比中项，求|AF |·|FB |＋|GF |·|FH |的最小值．解：(1)依题意得椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1,0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝12，∴a ＝2，b2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵|AF |是|AH |－|FH |与|AH |＋|FH |的等比中项， ∴|AF |2＝|AH |2－|FH |2， 即|AF |2＋|FH |2＝|AH |2， ∴直线l 1⊥l 2.又直线l 1，l 2的斜率均存在，∴两直线的斜率都不为零，故可设直线l 1：x ＝ky ＋1(k ≠0)，直线l 2：x ＝－1ky ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝ky ＋1消去x ，得(3k 2＋4)y 2＋6ky －9＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6k 3k 2＋4，y 1y 2＝－93k 2＋4，同理得⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 4＝6k3＋4k2，y 3y 4＝－9k23＋4k 2.∴|AF |·|FB |＝(x 1－1)2＋y 21·(x 2－1)2＋y 22＝(1＋k 2)|y 1y 2|，|GF |·|FH |＝(x 3－1)2＋y 23·(x 4－1)2＋y 24＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k2|y 3y 4|，∴|AF |·|FB |＋|GF |·|FH |＝(1＋k 2)|y 1y 2|＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k2|y 3y 4|＝(1＋k 2)·93k 2＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·9k 23＋4k 2＝9(1＋k 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋4＋13＋4k 2＝63(1＋k 2)212(1＋k 2)2＋k 2＝6312＋k 2(1＋k 2)2＝6312＋1k 2＋1k2＋2≥6312＋12＋2＝367. 当且仅当k 2＝1时取等号，故|AF |·|FB |＋|GF |·|FH |的最小值为367.3．(2019·江门模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M (－a ，b )，N (a ，b )，F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． 解：(1)由条件，得b ＝3，且2a ＋2c2×3＝33， 所以a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0.因为直线过椭圆内的点，所以无论m 为何值，直线和椭圆总相交． 所以y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2 ＝4m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1).令t ＝m 2＋1≥1，设y ＝t ＋19t，易知t ∈[1，＋∞)时，函数单调递增，所以当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，y min ＝109，S △F 2AB 取得最大值3.4.(2019·济南模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：x 2＝4y ，直线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点．(1)若直线OA ，OB 的斜率之积为－14，证明：直线l 过定点；(2)如图，若线段AB 的中点M 在曲线C 2：y ＝4－14x 2(－22<x <22) 上，求|AB |的最大值．解：(1)证明：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，消去y 并整理，得x 2－4kx －4m ＝0，则Δ＝(－4k )2－4·(－4m )＝16(k 2＋m )>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以k OA ·k OB ＝y 1·y 2x 1·x 2＝14x 21·14x 22x 1·x 2＝x 1·x 216＝－m 4，因为k OA ·k OB ＝－14，所以－m 4＝－14，解得m ＝1，满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝kx ＋1，直线l 过定点(0,1)． (2)设M (x 0，y 0)，由已知及(1)，得x 0＝x 1＋x 22＝2k ，y 0＝kx 0＋m ＝2k 2＋m ，将(x 0，y 0)代入y ＝4－14x 2(－22<x <22)，得2k 2＋m ＝4－14×(2k )2，即m ＝4－3k 2.因为－22<x 0<22，所以－22<2k <22，得－2<k <2，因为Δ＝16(k 2＋m )＝16(k 2＋4－3k 2)＝32(2－k 2)>0， 所以－2<k <2，所以k 的取值范围是(－2，2)． |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·16(k 2＋m )＝4 2 (k 2＋1)(2－k 2) ≤42×(k 2＋1)＋(2－k 2)2＝62，当且仅当k 2＋1＝2－k 2，即k ＝±22∈(－2，2)时取等号， 所以|AB |的最大值为6 2.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。

考点过关检测（二十六）1．(2019·安阳一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x－xC ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：选A 由题意得，f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增．对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意．故选A.2．(2019·成都模拟)已知定义域R 的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．－278B ．－18C.18D.278解析：选B ∵f (x )是奇函数，且图象关于x ＝1对称， ∴f (2－x )＝f (x )． 又0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18. 3．(2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时，f (x )＝x (x －2)，则f (2 019)＝( )A ．1B ．0C ．2D ．－1解析：选A ∵f (x )＋f (－x )＝0， ∴函数f (x )是奇函数， ∵f (x ＋4)＋f (－x )＝0， ∴f (x )＝f (x ＋4)，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (－1)＝－f (1)＝1.故选A.4．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选B 因为f (x )是R 上的偶函数且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数．因为f (1)＝2，所以f (－1)＝2，所以f (log 2x )>2⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.故选B.5．(2019·天津一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2π3，b ＝f (log 124.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 根据题意，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )， 则函数f (x )为偶函数，a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2cos2π3＝f (－1)＝f (1)，b ＝f (log 124.1)＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)， 又由函数f (x )在(－∞，0)上是减函数， 则f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且1<20.8<2<log 24.1， 则a <c <b .6．(2019·厦门模拟)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x ＋x ，且f (a )＋f (a ＋1)>0，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析：选B 对于函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋x ，由1＋x1－x >0，解得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＋(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋x 1－x ＋x ＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，分析可得，f (x )＝ln1＋x1－x＋x 在(－1,1)上为增函数，f (a )＋f (a ＋1)>0⇒f (a )>－f (a＋1)⇒f (a )>f (－a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >－a －1，－1<a <1，－1<a ＋1<1，解得－12<a <0，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，故选B.7．(2019·银川一模)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，g (x )＝f (x )＋x 2，且当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，则不等式f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞C ．(－∞，－3)D ．(－∞，3)解析：选B 因为g (x )＝f (x )＋x 2，所以f (x ＋1)－f (x ＋2)>2x ＋3⇒f (x ＋1)＋(x ＋1)2>f (x ＋2)＋(x ＋2)2⇒g (x ＋1)>g (x＋2)．因为f (x )为偶函数，所以g (－x )＝f (－x )＋(－x )2＝f (x )＋x 2＝g (x )，即可得函数g (x )为偶函数，又由当x ∈(－∞，0]时，g (x )单调递增，所以当x ∈[0，＋∞)时，g (x )单调递减． 则g (x ＋1)>g (x ＋2)⇒|x ＋1|<|x ＋2|⇒(x ＋1)2<(x ＋2)2，解得x >－32，即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. 8．(2019·西安模拟)如果对定义在R 上的奇函数，y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，所有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 3－3xD ．f (x )＝x |x |解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x 1，x 2，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数， 故“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数． 据此依次分析选项：对于A ，f (x )＝sin x ，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B ，f (x )＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x ，为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0为奇函数且在R 上为增函数，符合题意，故选D.9．已知函数f (x )＝g (x )＋2 0192 018x 2，函数g (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1)＝2，则f (－1)的值为________．解析：根据题意，函数f (x )＝g (x )＋2 0192 018x 2，因为f (1)＝2，所以f (1)＝g (1)＋2 0192 018＝2，解得g (1)＝2 0172 018，因为函数g (x )是定义域为R 的奇函数， 所以g (－1)＝－2 0172 018，所以f (－1)＝g (－1)＋2 0192 018＝22 018＝11 009.答案：11 00910．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R ， ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. ∵f (x )＝e x ＋a e －x ，∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， 即e x≥ae x 在R 上恒成立，∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0，∴a ≤0，即a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]11．已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ∈[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13>－12，则实数t 的取值范围为________．解析：当x ∈[－1,0)时，函数f (x )＝sin π2x 单调递增，且f (x )∈[－1,0)，当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )＝ax 2＋ax ＋1，此时函数f (x )单调递增且f (x )≥1，综上，当x ∈[－1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，由f (x )＝sin π2x ＝－12得π2x ＝－π6，解得x ＝－13，则不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13>－12，等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，∵函数f (x )是增函数，∴t －13>－13，即t >0.故t 的取值范围为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)12．已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0；②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值；④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解析：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R )关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

《曲线的方程和性质》专题一、《考试大纲》要求⒈直线和圆的方程（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用．二、高考试题回放1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．33 B ．32 C ．22 D ．232．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ）A ．23-B ．32-C ．41D ．45.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.7．（湖南）如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点P 到右准线的距离是 （ ）A ．513B ．13C ．5D ．135 8．（湖南）F 1，F 2是椭圆C ：14822=+x x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为__________.9．（湖南）如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

考点过关检测（二十六)1．(2019·亳州联考)已知抛物线E:y2＝2px(p>0）与过点M（a,0)(a〉0)的直线l交于A,B两点，且总有OA⊥OB.（1)确定p与a的数量关系；（2）若|OM|·|AB|＝λ|AM｜·｜MB|，求λ的取值范围．解：(1)设l：ty＝x－a,A(x1，y1）,B(x2，y2）．由错误!消去x，得y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即错误!＋y1y2＝0,∴a2－2pa＝0.∵a>0,∴a＝2p.(2）由(1)可得｜AB｜＝错误!｜y1－y2|＝2p错误!·错误!.|AM｜·|MB｜＝错误!·错误!＝（a－x1）(x2－a）－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2）－a2－y1y2＝a·错误!－a2＝4p2（1＋t2）．∵｜OM｜·|AB|＝λ｜AM|·|MB｜，∴a·2p错误!·错误!＝λ·4p2（1＋t2)，∴λ＝错误!＝错误!。

∵t2≥0，∴λ∈（1，2]．故λ的取值范围为(1,2］．2．（2019·佛山模拟）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为错误!，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左、右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为错误!。

（1）求椭圆M的标准方程；(2）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求错误!·错误!的取值范围．解：(1）设椭圆M的标准方程为错误!＋错误!＝1（a>b>0）,则错误!解得错误!所以椭圆M的标准方程是错误!＋错误!＝1.(2)证明:设A(x1，y1）,B(x2，y2)，C(x1，－y1），直线AB：y＝kx ＋m.将y＝kx＋m,代入错误!＋错误!＝1得,（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0。

最新高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）解析几何1、在△ABC 中，若A ＝60°，a则sin sin sin a b cA B C+-+-等于（ ）A ．2 B.12【答案】A 【解析】因为sin sin sin a b c A B C +-+-＝sin aA＝2.2、直线10x y ++=的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是（）.A 1,135ο.B 1,45-ο.C 1,45ο.D 1,135-ο【答案】D【解析】因为k=-1,所以直线的倾斜角为135o ；当x=0时，y=-1,所以其在y 轴上的截距分别是-1.3、与直线+32=0x y -关于x 轴对称的直线方程为（） A ．32=0x y --B ．32=0x y -+ C ．+32=0x y +D ．3+2=0x y - 【答案】A【解析】直线023=-+y x 与x 轴的交点为()0,2，与y 轴的交点为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0关于x 对称点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，所求直线过点()0,2，⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,0，因此斜率3120032=---=k ，因此所求直线()2310-=-x y 023=--y x .4、过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>左焦点F 斜率为ab的直线分别与C 的两渐近线交于点P 与Q ，若FP PQ =u u u r u u u r，则C 的渐近线的斜率为（）A ．3±B ．2±C ．1±D ．5± 【答案】A【解析】如图:双曲线左焦点(),0F c -,直线的方程为:()ay x c b=+,两条渐近线方程为:by x a=±解方程组得222222,P Q a c a c x x a b a b -==+-+又FP PQ =u u u r u u u r 所以P 是FQ 中点,所以2222224222222222222222b 3a b 33Q F p a c a c a b a b b x x x c a b a b a b a b a a---+=⇒-=⇒=⇒=⇒=⇒=±-++-++.5、已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B6、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b 3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个【答案】A7、已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,则该圆的方程为（）A.2264(1)25x y -+=B.2264(1)25x y +-=C.22(1)1x y -+=D. 22(1)1x y +-=【答案】C8、直线x +a 2y +6=0和直线(a －2)x +3ay +2a =0没有公共点，则a 的值是 A.a =3 B.a =0 C.a =－1 D.a =0或－1 【答案】D9、在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32 【答案】A【解析】平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。

考点过关检测（二十七）1．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，上顶点为B ，下顶点为D ，若直线AB 与直线DF 的交点为(3a,16)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (m,0)为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点P 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于S ，T 两点，证明：|PS |2＋|PT |2为定值．解：(1)由椭圆C 的左顶点的坐标为A (－a,0)，上、下顶点的坐标分别为B (0，b )，D (0，－b )，右焦点的坐标为F (c,0)，可得直线AB 的方程为y ＝ba x ＋b ，直线DF 的方程为y ＝bc x －b .因为直线AB 和直线DF 的交点为(3a,16)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧16＝b a ·3a ＋b ，16＝bc ·3a －b ，解得b ＝4且3a ＝5c .又因为a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5， 所以椭圆C 的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)证明：设直线l 的方程为y ＝45(x －m )， 即x ＝54y ＋m ，代入x 225＋y 216＝1并整理得 25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0. 设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－45m ，y 1y 2＝8(m 2－25)25.又因为|PS |2＝(x 1－m )2＋y 21＝4116y 21，同理|PT |2＝4116y 22，则|PS |2＋|PT |2＝4116(y 21＋y 22)＝4116[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＝4116⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－45m 2－16(m 2－25)25＝41，所以|PS |2＋|PT |2＝41，是定值．2．(2019·资阳模拟)已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A (－2,0)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32三点． (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆E 交于M ，N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．解：(1)当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2.又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，得122＋94b 2＝1，解得b 2＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，则b ＝2. 又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，得122＋94a 2＝1，解得a 2＝3，这与a >b 矛盾．综上可知，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：将直线l ：y ＝k (x －1)代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1并整理，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设直线l 与椭圆E 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－3)3＋4k2.直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，它与直线x ＝4的交点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，同理可求得直线BN 与直线x ＝4的交点坐标为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2y 2x 2－2. 下面证明P ，Q 两点重合，即证明P ，Q 两点的纵坐标相等． ∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，∴6y 1x 1＋2－2y 2x 2－2＝6k (x 1－1)(x 2－2)－2k (x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2－2) ＝2k [2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8](x 1＋2)(x 2－2)＝2k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤8(k 2－3)3＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8(x 1＋2)(x 2－2)＝0.因此结论成立．综上可知，直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上． 3.(2019·邯郸联考)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为右焦点，直线y ＝6x 与椭圆C 的交点到y 轴的距离为27，过点B 作x 轴的垂线l ，D 为l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与C 的另一个交点为P ，证明：直线PF 与圆E 相切． 解：(1)由题可知c a ＝12，∴a ＝2c ，b 2＝3c 2. 设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1，由⎩⎨⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝6x ，得|x |＝2c 7＝27，∴c ＝1，a ＝2，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)可得F (1,0)，设圆E 的圆心为(2，t )(t ≠0)，则D (2,2t )，圆E 的半径R ＝|t |，∴直线AD 的方程为y ＝t2(x ＋2)．设过F 与圆E 相切的直线方程为x ＝ky ＋1， 则|2－kt －1|1＋k 2＝|t |，整理得k ＝1－t 22t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t 2(x ＋2)，x ＝1－t 22t y ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2t 23＋t2，y ＝6t3＋t2，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－2t 23＋t 224＋⎝⎛⎭⎪⎫6t 3＋t 223＝1， ∴直线PF 与圆E 相切．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －4)(k ≠0)与椭圆C 由左至右依次交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出定直线的方程．解：(1)由右焦点为F 2(1,0)，知c ＝1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线l 的方程为y ＝k (x －4)知，直线l 过定点(4,0)， 由椭圆的对称性知，点G 在直线x ＝x 0(x 0∈R )上．当直线l 过椭圆C 的上顶点时，M (0，3)，此时直线l 的斜率k ＝－34， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34(x －4)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝335，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335. 由(1)知A 1(－2,0)，A 2(2,0)，所以直线lA 1M 的方程为y ＝32(x ＋2)， 直线lA 2N 的方程为y ＝－332(x －2)， 联立两直线的方程得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332， 可知点G 在定直线x ＝1上． 当直线l 不过椭圆C 的上顶点时， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，则Δ＝(－32k2)2－4×(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－12<k<1 2，x1＋x2＝32k23＋4k2，x1x2＝64k2－123＋4k2，直线lA1M的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，直线lA2N的方程为y＝y2x2－2(x－2)，当x＝1时，由3y1x1＋2＝－y2 x2－2，得2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝0，而2×(64k2－12)3＋4k2－5×32k23＋4k2＋8×(3＋4k2)3＋4k2＝0显然成立，所以点G在定直线x＝1上．综上所述，点G在定直线x＝1上．。