考点过关检测(二十八)
2 2
x y
1. 如图，曲线 E -+卡=1(n >0, n >0)与正方形L ： |x | + | y | = 4相切. (1) 求耐n 的值；
(2) 设直线I : y = x + b 交曲线E 于A , B 两点，交L 于C, D 两点，是否存在这样的曲线 E,使得|
CA , | AB , | BD 成等差数列？若存在，求出实数 b 的取值范围；若不存在，请说 明理由.
2 2
x y
，+ —= 1,
2
解：⑴ 联立 m n
消去 y ，得(n + njx — 8n|ix | + 16m- mn= 0,
|x | + | y | = 4
则 A = 64m — 4( m^ n )(16 n — mr) = 0, 化简得 4mn m^ n ) — 64mn= 0.
又 m>0, n >0 所以 mr>0,从而有 m^ n = 16.
(2)假设存在符合题意的曲线 E ,有2| AB = | CA + I BQ ,
所以 I CD = I CA + | AB + | BD = 3| AB = 4A /2 , 即I AB =字
设 A (X 1, y" , B (X 2, y 2),
2 2
消去 y ，得(n + m x + 2bmx^ mb — mn= 0.
2 2 2 2
由 A = — 4nmb +4n m^ 4mn >0,可得 b 2
口 — 2bm mb — mn 且 X 1+ X 2= , X 1X 2=
n + m n + m 所以 | AB = ,1 + k 2| X 1 — X 2| = 2 x
4m
：, - b =誉，可得
代—b 2 mn=手,
32 1
I — m^ n
从而了 •
2= mrK
= 8,当且仅当 m= n = 8时等号成立， 3
屮6— b
2
所以圧三罟，即有一 ¥< bw 畔，符合 b 2故当实数b 的取值范围是 一乎，时，存在曲线E ,使得|CA , |AB , |BQ 成等
3 3
差数列.
2 2
J y -=1 m n
x y
2. (2019 •沈阳联考)已知椭圆C：2+ 2= 1( a>b>0)的焦点R的坐标为(一c, 0) , F2的
a b
3
坐标为(C, 0)，且经过点 P 1, 2 , PF L x 轴.
⑴求椭圆C 的方程.
(2)设过F 的直线I 与椭圆C 交于A B 两个不同点，在椭圆 C 上是否存在一点 M 使四
2 2
代入椭圆的方程x + y = 1化简得80k 4+ 24k 2 — 27 = 0,解得
交于A B 两点，且I AB = 16.
(1)求抛物线C 的方程.
9 加 3.5
边形AMBF 为平行四边形？若存在，求出直线 I 的方程；若不存在，请说明理由.
解：(1) v PF L x 轴，P 1, I ,• c = 1,
又v a = b + c 2 *,• a = 2, b = #3.
2 2
•椭圆C 的方程为x + y = 1.
4 3
(2)假设存在点 Mx o , y o ),
当I 斜率不存在时，| F i M = I F 1F 2I , a — c = 2c ,不成立; 当I 斜率存在时，设直线 I 的方程为 y = k (x + 1) , A (x i , y i ) , B (x 2, y 2). 联立
2 2
x y ^-= 1, 4 3 2 2 2 2 2
消去 y 得(3 + 4k )x + 8k x + 4k —12= 0, v A = 16(9 k + 9)>0 , 4k 2 8k 2 + x2 = — 3W , 3k —3 + 4k ，3 + 4k . AB 与MF 的中点重合，
•••
6k • y 1 + y 2 = k ( X 1 + X 2 + 2) = 3 + 4R 2 ,贝U AB 的中点坐标为 X 0+ 1
4k 2 =—3 + 4k 2，
yo 3k
2 =
3 + 4k 2,
•••存在符合条件的
直线 的方程为y =±
3.已知抛物线C: x 2 2py (p >0)的焦点为 F ,过点F 作倾斜角为45°的直线与抛物线 C
—12k 2
— 3 x0
=
3+ 4k 2 ,
6k y0
= 3T 4P ,
(2)设P, M N 为抛物线上不同的三点，且
PML PN 若P 点的横坐标为8，判断直线 MN
是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由. 解：⑴ 由题意知，直线 AB 的方程为y = x +
2.
2 2
P
消去x ,整理得y — 3py + — = 0.
设 A (X A , y A ) , B (X B , y B )，贝U y A + y B = 3p .
| AB =『A +『B + p =4p = 16,— p = 4.
.抛物线C 的方程为x 2 3= 8y .
化简得 X 1X 2+ 8(x i + X 2)+ 128 = 0(*) 易知直线MN 的斜率一定存在， 设直线MN 为y = kx + b ,
y = kx + b , 2
2
由 2
得 x — 8kx — 8b = 0，贝U A = 64k + 32b >0,
x = 8y ,
且 x i + X 2 = 8k , X i X 2= — 8b .
代入(*)，得—8b + 64k +128 = 0,. b = 8k + i6.
•••直线 MN 的方程可化为 y = kx + 8k + 16= k (x + 8) + 16, •••直线 MN 过定点(—8,16).
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x y
4. (2019 •广东百校联考)已知F 为椭圆C - + 7-2 = 1(a >b >0)的右焦点，点P (2,3)在C a b
上，且PFL x 轴.
(1) 求C 的方程；
(2) 过F 的直线I 交C 于A , B 两点，交直线x = 8于点M 判断直线PA PM PB 的斜率
能否构成等差数列？请说明理由.
解：(1)因为点P (2,3)在C 上，且PF L x 轴，所以c = 2.
4
9
2
+ 2= 1 ,
a b
2 2
a —
b = 4,
,P 由 y =%+2,
2
x = 2py
⑵由⑴可得点R8,8)
，设 Mx i ,-,
2
X 2
NX 2,-,
则 k PM =
2
x i
8T 8
X i + 8
同理可得
x 2+ 8
kpN
=厂
X i + 8 X 2 + 8
-PM L PN, - - k pM • k pN 一 8 '
8 =
— 1,
a 2= 16,
b 2=
12, x i —
8
8
