一、基础过关题
1. (2018高考·北京卷)已知椭圆M ：，双曲线N ：若双曲线N 的两条渐近线
与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为______；双曲线N 的离心率为______． 【答案】
；2
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
2. (2018高考·全国卷III)设12F F ，是双曲线22221x y C a b -=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过
2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ）
A ．5
B ．2
C 3
D 2
【答案】C
【解析】∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；
又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =； 在2Rt ΔPOF 中，22||cos ||PF b
OF c
θ=
=； ∵在12Rt ∆PF F 中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF b
PF F F c
θ+-=
=⋅⋅， ∴
222222222224(6)464463322b c a b
b c a b c a c a b c c +-=⇒+-=⇒-=-⋅ 223c a ⇒=3e ⇒=.学科%网
3. (2018高考·天津卷) 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双
曲线交于A ，B 两点设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方
程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意可得图象如图，
CD 是双曲线的一条渐近线
，即，
，
，
，，ACDB 是梯形，
F 是AB 的中点，
，
，
所以，双曲线的离心率为2，可得，
可得：，解得．
则双曲线的方程为：．
故选：C ．
画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
4．(2016·广州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C
的方程为( ) A.x 220－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
20＝1 C.x 280－y 2
20＝1 D.x 220－y 2
80
＝1 【答案】 A
5．(2016·全国乙卷)已知方程x 2
m 2＋n －y 2
3m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值
范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)
【答案】 A
【解析】 ∵方程x 2m 2＋n －y 2
3m 2－n
＝1表示双曲线，
∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 26．(2016·南昌联考)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在
一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→
|，则双曲线的离心率为( ) A.5－1
B.
3＋1
2
C.
5＋1
2
D.3＋1
【答案】 D
7．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2
b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；
双曲线x 2a 22－y 2
b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( )
A.
2
2
B ．1 C. 3 D ．2 【答案】 B
【解析】 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1
＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 2
2＝a 2c 2，∴e 2＝c 2
a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝
5－12×5＋1
2
＝1.
8．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2
→
<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭
⎫
－
33，
33 B.⎝
⎛⎭
⎫
－
36，
36 C.⎝⎛⎭⎫
－223，223 D.⎝⎛⎭
⎫－233，233 【答案】 A
【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，
