§9.7 抛物线

§9.7 抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质[1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0 答案 B解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.3．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |等于( ) A ．22B ．23C ．4D ．2 5 答案 B解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.4．双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．答案 4解析 双曲线的左焦点坐标为(－3＋p 216，0)，抛物线的准线方程为x ＝－p2. ∴－3＋p 216＝－p2，∴p 2＝16. 又p >0，则p ＝4.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标． 思维点拨 |PF |等于P 点到准线的距离．解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72B.52C ．3D ．2 答案 C解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维点拨 先确定方程的形式设出方程，再由已知条件求出参数． 解 由题意，得抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5.∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 思维升华 (1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y 2＝2px (p >0)上的点常设为(y 22p，y )，便于简化计算．(2013·福建)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N . (1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2. (2)设C (y 204，y 0)，则圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎨⎧Δ＝4y 20－4(1＋y 202)＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y202＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为(32，6)或(32，－6)，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.题型三 抛物线焦点弦的性质例3 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O . 思维点拨 证明k OC ＝k OA .证明 方法一 设AB ：x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∴C (－p2，y B )．则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A ＝k OA .∴直线AC 经过原点O .方法二 如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .则AD ∥EF ∥BC .连接AC 交EF 于点N ， 则|EN ||AD |＝|CN ||AC |＝|BF ||AB |， |NF ||BC |＝|AF ||AB |. ∵|AF |＝|AD |，|BF |＝|BC |， ∴|EN |＝|AD |·|BF ||AB |＝|AF |·|BC ||AB |＝|NF |，即N 是EF 的中点，从而点N 与点O 重合， 故直线AC 经过原点O .思维升华 解决与抛物线的焦点有关的问题，常用到以下结论： ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(|AB |为弦长，θ为AB 的倾斜角)．③1|AF |＋1|BF |＝2p. 恰当运用这些结论，就会带来意想不到的效果，特别是在解选择题、填空题时可以直接应用．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M 、N 两点，且|MN |＝8. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 是抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 则该直线方程为：y ＝x －p 2，代入y 2＝2px (p >0)， 得：x 2－3px ＋p 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p . ∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8， 即3p ＋p ＝8，解得p ＝2. ∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设l 方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ， 得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0，∵l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝(2b －4)2－4b 2＝0， 解得b ＝1，∴l 方程为y ＝x ＋1. 由(1)可知：x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.由P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))， PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)][y 2－(m ＋1)] ＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4x 1－x 2y 1－y 2＝4，∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2 ＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14.当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →的最小值为－14. 题型四 直线与抛物线的综合性问题例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标．(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．(2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. (3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m)．得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m )，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m )＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2， 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m 2＋2)2＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(12分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 思维点拨 (1)应用抛物线的定义求p ；(2)①由直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，求出含参数的直线AE 的方程，分离参数得出直线过定点；②用点A 坐标表示出△ABE 的面积，用基本不等式求最小值． 解 (1)由题意知F (p2，0)．设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p2＝⎪⎪⎪⎪t －p 2， 解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)． 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[3分] (2)①由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)． 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1， 由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)， 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行， 设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[5分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)． 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)， 所以直线AE 过定点F (1,0)．[7分] ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)， 所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1.因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0， 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝⎛⎭⎫y 0＋8y 0－11＋m 2 ＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0.[10分] 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立． 所以△ABE 的面积的最小值为16.[12分]答题模板解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系．(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化．(3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率．方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2. 失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2014·安徽)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 A解析 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y . ∴准线方程为y ＝－1.2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 答案 C解析 ∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上，∴p 2＝2，∴p ＝4.∴抛物线的方程为y 2＝8x ，则焦点F 的坐标为(2,0)．又A (－2,3)，根据斜率公式得k AF ＝0－32＋2＝－34. 3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2答案 B解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p 2，0)， ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2， 即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2， 即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24； ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB ：y ＝k (x －p 2)， 联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0， 则x 1x 2＝p 24. 故y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4.5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD．y2＝3x 答案 C解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 6．(2013·江西)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 由题意知B ⎝⎛⎭⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得p ＝6. 7．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，则S △OPQ ＝______.答案 322解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|PF |＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3，∴点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点P 的纵坐标y ＝22，∴P (2,22)，∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2. 由图知Q ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △OPQ ＝12|OF |·|y P －y Q | ＝12×1×|22＋2|＝322. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.答案 2解析 如图，由AB 的斜率为3，知∠α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°.∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64，②②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x . 10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 A解析 由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14， ∵|AF |＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1. 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22) 答案 D解析 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22， ∴点A 的坐标是(2，±22)．13．(2013·课标全国Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为________．答案 2 3解析 由y 2＝42x 知：焦点F (2，0)，准线x ＝－ 2.设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 0＋2＝42，∴x 0＝32，∴y 20＝42×32＝24，∴|y 0|＝26，∴S △POF ＝12×2×26＝2 3. 14．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.15．(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2.(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值． (1)证明 设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. A 2B 2→＝(2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1)＝2p 2(1k 22－1k 21，1k 2－1k 1)． 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解 由(1)知A 1B 1∥A 2B 2， 同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2， 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→知|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2， 故S 1S 2＝p 21p 22.。