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第7章习题课_一阶电路和二阶电路的时域分析

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一阶电路和二阶电路的时域分析.

一阶电路和二阶电路的时域分析.
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0 0
t =0+时刻

0 0
i ( )d
i
q(0 ) q(0 ) i ( )d
+ uC -
C
当i(t)为有限值时
uC (0+) = uC (0-)
q (0+) = q (0-)
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷） 换路前后保持不变。在换路瞬间，可将其视为一个电压源。
duC RC uC 0 dt
i R
pt
C
+ uC –
+ uR –
uC (0+)=U0
uC Ae
p 1 RC
特征方程
RCp+1=0
特征根
t RC
uC U 0e
t0
uC U 0e

t RC
t0
t RC
U0 uC
t RC
uC U 0 i e R R
I 0e

f (0 ) f ( ) A

t

A f (0 ) f ( )
t
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )]e
3 U0 e -3 0.05U0
5 U0 e -5 0.007U0

U0 0.368U0
工程上认为，经过3 - 5，过渡过程结束。 能量关系： uC(0+)=U0

1 2 电容放出能量： CU 0 2
t 1 2 U 0 RC 2 CU ( e ) Rdt 0 2 R
电阻吸收能量：WR i 2 Rdt 0
三、动态电路过渡过程的分析方法 时域分析法：经典法、状态变量法 经典法：求解描述电路的线性常微分方程 得到电路所求变量（电流或电压），采用 经典法时，必须根据电路的初始条件确定

第7章习题 一阶电路和二阶电路的时域分析

第7章习题 一阶电路和二阶电路的时域分析
答案：5，7.5，0.000025（ ）
12、
答案
13、
答案：
14、
答案：
15、电路如图所示，开关S闭合已经很久了。在t=0时刻断开开关S，求t≥0+时的电感电流iL（t）。
其中电感电流初始值为：（），电流稳态值为：（），时间常数为：（）
答案：5A，1A，0.25s
16、
答案：
17、图示电路原已处于稳定状态。已知IS= 10 m A，R1= 3000 Ω，R2= 6000Ω，
R3= 2000 Ω，C = 2.5 μF。求开关k在t=0时闭合后电容电压uc和电流i，
并画出它们随时间变化曲线。
解：u ( 0+) =u ( 0-) = ISR2=10×10 ×6000= 60V
即uC（t）= 60e V
电容电流i=C = 2 .5×10 ×（-100）×60 e = - 15 e mA
电容电压、电流的波形如下图所示。
(a)(b)
电容电压、电流波形图
18、图示电路原已处于稳定状态。已知US= 100 V，R1= R2= R3= 100 Ω，
C = 10 μF。试求开关k在t = 0时断开后电容电压uc和流过R2的电流i2。
解：uC( 0+) =uC( 0-) = US[ R2/（R1+R2）] = 50V
在t0时开关s由位置1打到位置2试用三要素法求t0时的电容电压uct则uc初始值为v时间常数为suc稳态值为12答案13答案
1．如图所示电路t<0时已稳定，t=0时开关S闭合，此后电容上电压
uc(t)=20(1-e-0.1t)V,则电容C=（）
A．2F
B．1F
C．1.5F
D．0.即uC（t）= 50 e V

第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析(part-2)

第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析(part-2)

解
u C ( ∞ ) = 4i1 + 2i1 = 6i1 = 12 V u = 10 i1 → Req = u / i1 = 10 Ω
7.4.1 一阶RL电路的零输入响应
US iL ( 0 + ) = iL ( 0 − ) = = I0 R1 + Rห้องสมุดไป่ตู้应用KVL得：
d iL L + Ri L = 0 dt
iC = iC (∞) + [iC (0 + ) − iC (∞)] e
−
t RC
计算电流能否套用 公式？
套用全响应电压公式
R
C
uC (t ) = Ue − t / RC t ≥ 0
S(t = 0)
−
+
uC
duC iC = C dt
i
t U =− e RC t ≥ 0 −
R
(a= ) U uC (0 -)
(2) 确定稳态值 u c ( ∞ ) 由换路后电路求稳态值 u c ( ∞ ) 9mA
6× 3 3 uC ( ∞ ) = 9 × 10 × × 10 6+ 3 = 18 V
−3
+ R ) 6kΩ uC ( 0 −t=0-等效电路
(3) 由换路后电路求 时间常数 τ
τ = R0C 6× 3 −6 3 = × 10 × 2 × 10 6+ 3 −3 = 4 × 10 s
−
t L/ R
t ≥0
t − L/ R
L uL
–
d iL u L (t ) = L = − RI 0 e dt
τ时间常数
①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； I0 iL 连续 函数 t 0 -RI0 uL t 跃变

第七章一二阶电路的时域分析

第七章一二阶电路的时域分析

+ U0 -
R1 R2 il(0-)
+
-
(b)t=0-时的等效电路
b.确定独立的初始条件：
R2 uc (0 ) u c (0 ) U0 , R1 R2
ic(0+) + + R2 uR2(0+) uc(0+) + ul(0+) il(0+) (c)t=0+时的等效电路
U0 il (0 ) il (0 ) R1 R2
第七章一二阶电路的时域分析
内容提要： 动态电路方程及其初始条件； 换路定律； 一阶电路的零输入响应； 一阶电路的零状态响应； 一阶电路的全响应；三要素法； 一阶电路的阶跃响应； 一阶电路的冲击响应； 二阶电路简介。
本章重点： 动态电路方程及其初始条件； 换路定律； 一阶电路的全响应；三要素法； 一阶电路的阶跃响应； 一阶电路的冲击响应。 本章难点： 含有受控源电路的时间常数的计算； 阶跃响应及冲击响应。
uc (0) U 0 e 0 U 0 通过计算可得：
uc ( ) U 0 e 1 0.386 0 U

t

t

零输入响应在任一时刻t 0 的值，经过一个时间常数 可以表示为： t t
uc (t 0 ) U 0 e

0

U 0 e 1 e

0

即通过一个时间常数 值的36.8%；
c.确定非独立的初始条件：根据 t 0 时的电路状态如图（c）可得：
U0 ic (0 ) il (0 ) , R1 R2
R2U 0 u R 2 (0 ) R2 il (0 ) , R1 R2

《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析

《电路分析》第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析

4Ω
K(t=0) 1F + uC –
4Ω
+ 10V –
i
4Ω 1F + uC –
i
4Ω
K(t=0) C
i
+ R
uC
–
+
uR
–
返 回 上 页 下 页
2. RL电路的零输入响应
R1
K(t=0)
i L
+
US
-
+ uL –
t >0 + uL – i L R
US iL (0 ) iL (0 ) I0 R1 di L Ri 0 t 0 R dt R Lp R 0 p R L t
0+时刻的值
返 回 上 页 下 页
用经典法求解线性常微分方程时, 必须根据电路的初始条件 来确定解中的积分常数。
3.电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行。 0－ ：换路前一瞬间 0+ ： 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
f (0 ) f (0 )
K(t=0) R
R
i
C
+
-
US
+u –
uC
–
+
已知 uC (0－) ；
t=0时K闭合。 求： uC(t) ， iC(t) （t≥0）
d uC RC uC U S dt
常系数一阶线性非齐次微分方程
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K(t=0)
+
-
R
R
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
t RC

第7章 一阶电路和二阶电路时域分析例题

第7章 一阶电路和二阶电路时域分析例题
电 感 用 2A 电 流 uL (0 ) 2 4 8V 源 注意 uL (0 ) uL (0 ) 替 代
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-
解 ①先求 iL (0 ) 1 4 + 10V 电感 iL 短路 -
+ uL -
10 iL (0 ) 2A 1 4
例6 求 iC(0+) , uL(0+)
Uo

t RC
p 1 RC
t RC
代入初始条件得： k
uc (t ) U oe
明确
在动态电路分析中，初始条件是得 到确定解答的必需条件。
返 回 上 页 下 页
②电容的初始条件
1 t uC (0 ) 0 i ( )d C 0 0 1 t = 0+ 时刻 u (0 ) u (0 ) i ( ) d C C C 0
解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：
uC U 0 e

t RC
t0
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U 0 24 V RC 5 4 20 s
S
5F + uC －
i1 2 3 i3

i2 6
t 20
5F +
uC 4 －
i1
uc 24e V
t0
t 20
i1 uC 4 6 e A

wR 0 Ri dt 0 250 10 (80e ) dt 800 J
2 3 t 2
t
5800 5000 J
返 回 上 页 下 页
例11 t=0时,打开开关S，求uv 。电压表量程：50V
S(t=0) + R=10 uV 10V V RV 10k –

第7章一阶电路和二阶电路的时域分析

只要知道一阶电路的 三个要素，代入一个 公式就可以直接得到 结果，这是分析一阶 电路的最有效方法。
2019年12月9日星期一
RS
i
+
(t=0)
+
US -
C 典型电路
uC -
Si
任意NS
(t=0) +
C uC -
重点掌握3 ， 1、2 两种方法可掌握其 中之一。
7
二、换路及换路定则
1.换路
电路结构或元件参数的改变称为
实践中，要 切断 L 的电 流，必须考 虑磁场能量
uV(0+) = 926 kV ! 电压表的量程才50V。 的释放问题
2019年12月9日星期一
19
§7-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应：在动态元件 初值为 0 的状态下，外施 激励引起的响应。
1. RC电路
由KVL： uR + uC = US
*§7―9 卷积积分
*§7―10 状态方程
*§7―11 动态电路时域分析中的几个问题
2019年12月9日星期一
1
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
内容提要与基本要求
1.换路定则和电路初始值的求法；
2.掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应 的概念和物理意义；
3.会计算和分析一阶动态电路(重点是三要素法)；
(0+) = (0-)
L中的磁链不能跃变！
由 (t) = LiL(t) 可知，当换路前后L不变时
iL(0+) = iL(0-)
L中的电流也不能跃变！
换路定则表明
(1)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电 压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒 定律的体现。

第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)

uC (0) U 0e0 U 0
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e

t

可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt

0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R


0
e

2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。

7第七章一阶电路和二阶电路的时域分析


• 定义: τ=RC （其中R为等效电阻） uC U0et ★ t=τ时，uC=0.368U0
• τ仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。
•τ对响应的影响：
τ 越大，放电过程越长。通常认为经过3τ—5τ后过
渡过程结束。
•τ的图解 (次切距法)
t0
BC AB uC(t0)
tan
duC dt
uR uC
i CduC US et（t≥0） 其中τ=RC
dt R
2020/8/10
对 uCU SU Set U S(1et) 的说明
• 特解 uC US称t 为稳态分量或强制分量；
• 通解 uC USe 称为瞬态分量或自由分量。
2.参数曲线
US
uC '
3.能量转换
U―S R
uC i
WR=WC=½CUS2
A Im
i" Imet
iIm sin t(u)Im e t
u = -/2时波形为
iImsi nt(/2)Im et
可见，RL串联电路
i
与正弦电压接通后，
Im
i
在初始值一定得条
i 件下，电路的过渡
0
T/2
-Im
t 过程与开关动作的 时刻有关。
i
最大电流出现在 t = T/2时刻。 imax2Im
解：
iL(0)
US R
200A
K
R
+
iL
V uV
Us iV
L
iL(0)iL(0)200A
u V ( 0 ) R V i V ( 0 ) 2 0 0 5 k 1 0 6 V
2020/8/10
§7-2 一阶电路的零输入响应 一、零输入响应

第七章_一阶电路和二阶电路的时域分析习题

t=0，K开，有 uC (0 ) uC (0 ) 8V iL (0 ) iL (0 ) 1A
2Ω
K
10V
t=0
+ uL
iL L
iC
-
C
+ -
uC
8Ω
0+等效电路:
iC (0 ) iL (0 ) 1A uR (0 ) 8V uL (0 ) 0
u2 (0 ) 0 i2 (0 ) 0
例1: 图示电路，t<0，K开，电路稳定，t=0， K闭。
求iC (0+)、u L1 (0+) 、u L2 (0+)。 解： t<0，K开， 电路稳定，有
i1(0 ) 0 i2 (0 ) 3A
+
12Ω K
i1 + uL1 -
t=0 iC
L1 +
36V
uC+-
C
uL2 L2 3A - i2
uC 0.667 (2 0.667)e0.5t 0.667 1.33e0.5t t 0
例4: 图示电路， t<0，K在a，电路稳定。t=0，K从
a打到b。求 t>0时的电流i (t)和iL (t)及其波形。
aa KK 11ΩΩ ii 33HH
解： t<0，K在a，电路稳定，有
(t)
1
f(t)
同理 f (t) (t t0)dt f (t0)
例

(sin
t

t
)
(t


6
)dt
f(0) 0 f(t)在 t0 处连续
t
sin 1 1.02
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0.5F 1H
iL
3W

解：uC (0) 10V，iL(0) 6A。
换路后变为两个独立的单回路：
电容电路的三要素为 ： uC (∞) 2V 1 R1C 1//2×0.5 1/3s ∴ uC (t) 2(1e3t ) V
2019年9月20日星期五
9A
19
续
1W
+u(t)
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
——基本考点
1. 换路定则和电路初始值的计算； 2. 一阶动态电路时间常数的计算； 3. 一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的
概念和物理意义； 4. 一阶动态电路暂态响应的三要素计算法； 5. 简单二阶电路响应性质的判断； 6. 复杂函数的阶跃函数表达式。
2019年9月20日星期五
2019年9月20日星期五
13
例 试求t≥0时的i(t)。
1
R1
解：
R
uC (0-)
10×4 2+4+4
4V
2W
+
根据换路定则：
10V
2
S (t0)
4W
+
i
C uC
1F
R2 4W
uC (0) uC (0+) 4 V
i R1
换路后，C 通过(R1//R2)放电， S t≥0 4W +
U

(1e
t RC
)
U
(1

e
t

)
(t 0)
稳态分量
uC
+U 63.2%U
uC uC
o

t
2019年9月20日星期五
12
★ 时间常数
U uC
0.632U
1 2 3
O 12 3
t
结论：
越大，曲线变化越慢，uC达到稳态时间越长。
当 t = 5 时, 暂态基本结束, uC 达到稳态值。
+
uL
48V

24V
R3 3W
t 0+等效电路
6
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
S(t=0) R
+ US C –
uC (0－)=U0
S(t=0) R
+ US C –
uC (0－)= 0
S(t=0) R +
+ US C
– uC (0－)=U0
t
t
uC US (1 e ) +U0e t 0
1
用单位阶跃函数表示复杂的信号
f(t)
例1 1
f (t) (t) (t t0)
0
t0
t
例2
f(t) 2
1
0 1 34t
f (t) 2 (t 1) (t 3) (t 4)
★ 初始值的计算
t = 0+ 时各电压和电流的值
2019年9月20日星期五
2019年9月20日星期五
R25W L1H iL (t≥0)
+
R12W
U10V
C0.25F
iC i
+S uC
求出iC(t)、iL(t) 后 i(t) iL(t) + iC(t)
18
P195 习题7-18，试求 t>0 时的 u(t)。
1W
+
3V 2W
+u(t)
6W
S
+ uC
10 0.12s
2019年9月20日星期五
22
P199 题7-35，试求 t>0 时的i。 解：先求单位阶跃响应
Req5W
0.1/5 (s)，i(∞)1/10 (A)
∴ s(t) 0.1(1e-50t ) (t) A
4 (t)作用时的冲激响应
h(t)
ds(t) dt
5e -50t (t) A
Req R1//R2 2W。
C uC
1F
R2 4W
所以 ReqC 2 s
uC

uC(0+)
e
t


4
e0.5t
V
i
(t≥0)
uC e-0.5t A R1
2019年9月20日星期五
14
例 试求：i(t)和iL(t) 。 求iL的三要素： 换路前：iL(0-) IS 2A ∴ iL(0+) iL(0) 2A
t
2019年9月20日星期五
f ()
O (d) f () 0
t
10
★ 时间常数
uc
U
uC

U

0e
t RC
U0et
1 2 3
0.368U
0 1 2 3
t
越大，曲线变化越慢，uC达到稳态所需要的
时间越长。
2019年9月20日星期五
11
★ 时间常数
uC
4824 3
8A
uL(0+) 482×12 24V
i(0+) iL(0+) + iC(0+) 12 + 8 20A
2019年9月20日星期五
R1 2W
iC
+
i
+S
U0
48V
R2 2W
iL
C +
L uL

uC
R3 3W
R1 2W
iC
+
i
R2 2W
+
U0
S iL 12A

R3 3W
R1 2W
iC
+
R2 2W
uC
+
U0
48V
iL + C
L uL

R3 3W
t = 0-电路
2019年9月20日星期五
5
iL(0) 12A iL(0+)
uC(0) 24V uC(0+)
2.画出t 0+等效电路： 电感用电流源替代，电 容用电压源替代。
iC(0+)
i(t) IS + iL(t) 5 5 e0.5t A
2019年9月20日星期五
15
例 求uL。
解：iL(0) 4A iL(0+)
2A
Req
u
i
(4+4)i1+ 2i1 10W
i1

L Req

0.1 10

0.01s
iL(∞) 1.2A
2A
代入三要素公式
f(t) f(∞)+ [f(0+)-f(∞)]
再由
uLL
diL dt
求出uL。
得 uL 52e100t V
2019年9月20日星期五
17
例 电路原处于稳态，t0 时开关S闭合，求换路
后的电流i(t) 。 解：iL(0) 0， uC(0) 10V， 换路后变为两个独立的单回路
电容电路的三要素为 ：
R25W L1H iL(0)
+
R12W
U10V
C0.25F
i
+S uC(0)
iC(0+) uC(0+)／R1 5A 1 R1C 0.5s , iC(∞) 0 电感电路的三要素为 ： iL(0+) iL(0) 0 2 L／R2 0.2s , iL(∞) U／R2 10／5 2A
U2 +
解：
先求初始值 uC(0) 10V
S2 R120kW 2
再分时段用三要素法求解。
(1) 0≤t＜0.12s uC(0+) uC(0) 10V
50V +
U1
S1
R2 30kW
C 10mF
+
uC

uC(∞)
30 30+20
×50
30V
1 (20//30)×103×10×106 0.12s
由齐性定理和叠加定理可得：
+ 10W
uS
10W
？i
0.1H
uS[50(t)+2(t)] V
i = 50s(t)+2h(t) = (5+5e-50t ) (t) A
2019年9月20日星期五
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第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
习题课
2019年9月20日星期五
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例 求图示电路在开关
闭合瞬间各支路电
i
流和电感电压。
解： 1. 由换路前的“旧电路”
计算uC(0)和iL(0) 。
C视为开路；
L视为短路。
i
可以算出：
iL(0) 12A iL(0+)
uC(0) 24V uC(0+)
R1 2W
iC
+
R2 2W
uC
+S
U0
48V
iL
C +

L uL
3
小结 求初始值的步骤:
1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2.由换路定则求得 uC(0+) 和 iL(0+) 。 3.画0+等效电路(初始值等效电路)。
a. 换路后的电路
b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。
方向保持不变
替代定理
c.激励源用us(0+)与is(0+)的直流电源来替代。 4.由0+电路求所需各变量的0+值。