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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4(1)

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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
为(
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.

高中数学新人教A版必修4课件：第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2

高中数学新人教A版必修4课件：第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2
所以 AB · AD = 5 . 4
答案: 5 4
课堂探究
题型一 数量积的基本运算
【例1】 已知︱a︱=4,︱b︱=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为 30°时,分别求a与b的数量积.
解:(1)a∥b,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,a·b=︱a︱·︱b︱·cos 0°= 4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 180°=4× 5×(-1)=-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=︱a︱·︱b︱cos 90°=0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30°时,所以 a·b=︱a︱·︱b︱cos 30°=4×5× 3 =
ab ab 2 量 a 与 b 的夹角为 120°.故选 C. 答案:(1)C
(2)若非零向量a,b满足︱a︱=3︱b︱=︱a+2b︱,则a与b夹角的余弦值为 .
解析:(2)由︱a︱=3︱b︱,得 b = 1 .再由︱a︱=︱a+2b︱,两边平方可 a3
得,︱a︱2=︱a+2b︱2=︱a︱2+4︱b︱2+4a·b,整理得 a·b=-︱b︱2.设 a,b 的夹角为θ,于是 cos θ= a b = b 2 = b =- 1 .
.
解析:(2)因为︱2a+b︱= 10 ,所以(2a+b)2=10,所以 4a2+4a·b+b2=10,又
因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且︱a︱=1,所以 4×12+4×1×︱b︱× 2 + 2
︱b︱2=10,整理得︱b︱2+2 2 ︱b︱-6=0,解得︱b︱= 2 或︱b︱=-3 2 (舍去). 答案:(2) 2
②a2-b2;③(2a+3b)·(3a-2b);

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修
a· b |a||b| cos θ＝______
a· b≤_______ |a||b|
一级达标重点名校中学课件
4．向量数量积的运算律
b· a (交换律)． (1)a· b＝_____
a· (λb) (结合律)． (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝_______
a· c＋b· c (分配律)． (3)(a＋b)· c＝_______
一级达标重点名校中学课件
[ 跟踪训练] → → → → 1．(1)在△ABC中，∠A＝60° ，AB＝3，AC＝2.若 BD ＝2 DC ， AE ＝λ AC － → →→ AB(λ∈R)，且AD· AE＝－4，则λ的值为________．
3 → → b＝|a||b|cos 60° ＝3， 11 [设AB＝a，AC＝b，由已知得|a|＝3，|b|＝2，a· → → → → → → 因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)， → 1→ 2→ 1 2 所以AD＝3AB＋3AC＝3a＋3b，
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λ 2 1 2 2λ 2 1 2λ → → 1 2 所以 AD · AE ＝ 3a＋3b · (λb－a)＝ 3－3 a· b－ 3 a ＋ 3 b ＝(λ－2)－ 3 ×9＋ 3
×4＝－4， 3 解得λ＝11.]
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[ 基础自测] 1．思考辨析 (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．( ) )
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a· b>0.( (3)|a· b|≤a· b.( (4)(a· b)2＝a2· b2.( ) )
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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必

ab
(4)夹角公式:cos θ= a b .
(5)|a·b|≤__|_a_|_|_b_|.
【思考】 (1)对于任意向量a与b,“a⊥b⇔a·b=0”总成立吗? 提示:当向量a与b中存在零向量时,总有a·b=0,但是向量a与b不一定垂直,即 a⊥b⇒a·b=0,但a·b=0⇒/ a⊥b.
(2)当“cos θ= a b ”为负值时,说明向量a与b的夹角为钝角,对吗?
A . B . C .2 D .5 633 6
【变式探究】 若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.
角度2 向量垂直的应用
【典例】已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cos θ= 1 .
3
若n⊥(t m+n),则实数t的值为 ( )
A.4
B.-4
A .1 B .3 C .3 D .1 2 22 2
3.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足 a =5, b =6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= ()
A . 1 3 B . 1 9 C .1 7 D .1 9 3 5 3 5 3 5 3 5
【解题策略】 求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b =|a||b|cos θ.求解时要注意灵活使用数量积的运算律. (2)若所求向量的模与夹角未知,应先选取已知模与夹角的两个向量作为基底, 表示出所求向量,再代入运算.
2
3.(教材二次开发:习题改编)已知向量a与b满足|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹 角为120°.则(a-b)·(a+b)=________;(2a+b)·(a-b)=________. 【解析】(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=100-9=91. 因为|a|=10,|b|=3,且向量a与b的夹角为120°, 所以a·b=10×3×cos 120°=-15, 所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2=200+15-9=206. 答案:91 206

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b) 等于( )
A.
1 2
B.
3 2
C.1+
3 2
D.2
解析:∵|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 1 ∴a· a=|a|2=1,a· b=|a||b|cos 60°= .
∴a· (a+b)=a· a+a· b=1+ = . 2 2
解:(1)a· b=|a|· |b|cos 120° 1 =2×3× =-3. 2 (2)(a+b)· (a-b)=a2-a· b+a· b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)· (a+3b)=2a2+6a· b-a· b-3b2=2|a|2+5a· b-3|b|2=2×45×3-3×9=-34.
a· b>0 符号 a· b=0 a· b<0 夹角公式 cos θ= |������ || ������ |
������ · ������
θ∈ 0, θ=
π 2 π 2
π 2
θ∈
,π
做一做2 (1)若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则a与b的夹角等于( A.150° B.120° C.60° D.30° (2)等腰直角三角形ABC中, |������������|=|������������ |=2,则������������ ·������������ =
解:由已知得 |������������ |=2,| ������������ |=2,
∵������������ ⊥ ������������ ,∴ ������������ ·������������ =0.

高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必

高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必

33 32 1 3 A. 2 B. 2 C.2 D.2
解析：向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos
π 3
＝32.
答案：D
K12课件
11
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角为( )
ππππ A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，由平面向量夹角公 式，知
cos θ＝|aa|·|bb|＝1×2 4＝12，
π 又因为 θ∈[0，π]，所以 θ＝ 3 . 答案：C
K12课件
12
5. 若向量 a 满足 a2＝8，则|a|＝________． 解析：因为|a|2＝a2＝8，所以|a|＝2 2. 答案：2 2
K12课件
13
类型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
K12课件
5
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos_θ． ②向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos_θ． (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 与 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积．
K12课件
混合运算．类似于多项式的乘法运算．
K12课件
18
[变式训练] 已知|a|＝6，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 60°，则(a＋2b)·(a＋3b)为________．
解析：(a＋2b)·(a＋3b)＝
a·a＋5a·b＋6b·b＝
|a|2＋5a·b＋6|b|2＝ |a|2＋5|a||b|cos θ＋6|b|2＝

高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教


A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案含解析新人教A版必修

学习资料2．4 平面向量的数量积2．4。

1平面向量数量积的物理背景及其含义内容标准学科素养1。

了解平面向量数量积的物理背景。

2。

掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义.3。

会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.学会数学建模应用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第62页[基础认识]知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义阅读教材P103～104，思考并完成以下问题一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．(1)如何计算这个力所做的功？提示：W＝|F｜·｜s|cos θ。

（2)力做功的大小与哪些量有关?提示：力的大小,位移的大小及两者的夹角．条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量|a｜|b|cos_θ叫向量a与b的数量积（或内积）记法向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝｜a｜|b|cos_θ规定零向量与任一向量的数量积为0①投影的概念b在a的方向上的投影为｜b|cos__θ，a在b的方向上的投影为|a｜cos__θ．②数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影的乘积．知识点二平面向量数量积的性质思考并完成以下问题向量的数量积与向量的线性运算结果有什么区别?（1）若｜a｜＝2，｜b|＝3，a与b的夹角为0°。

a·b＝________，a＋b＝________．提示：a·b＝2×3×cos 0＝6,而a＋b其大小为5，方向与a同向．(2)若|a｜＝2，|b｜＝3，a与b的夹角为180°.a·b＝________，a＋b＝________．提示：a·b＝2×3×cos 180°＝－6，a＋b的大小为1，方向与b同向．（3）非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定? 提示：数量积可为正数，负数，零，是一个实数,其符号由夹角的余弦值确定．知识梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，(1）a⊥b⇔a·b＝0。

高中数学第二章平面向量2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

法二：由 t＋(1－t)＝1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线， 在平面直角坐标系中设 a＝(1，0)，b＝12， 23，
[正确解答] 过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，如图所示．
因为 AB＝AC，所以 BC＝2BD＝2×AB×cos B＝
2×1× 23＝ 3. 法一：A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos
a，∠ABC＝60°，则B→D·C→D＝( )
A．－32a2
Байду номын сангаас
B．－34a2
C.34a2
D.32a2
(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝t a＋
(1－t)b.若 b·c＝0，则 t＝________．
又因为|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，所以12t＋1－t＝0， 所以 t＝2.
第二章 平面向量
[知识提炼·梳理]
1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知 向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为 θ
条件 定义 a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos_θ 记法 a·b＝|a||b|cosθ
类型 1 向量数量积的运算
[典例 1] (1)(2015·山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为
(180°－30°)＝1×
3 × －
3 2
＝
－
3 2
，B→C·
C→A＝|
B→C
||C→A
|cos(180°－30°)＝ 3×1×－ 23＝－32，
1．平面向量数量积的概念及其几何意义
(1)对数量积概念的两点说明： ①从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不 是向量，其数值可正、可负、可为零． ②从运算上看：两向量 a，b 的数量积称作内积，写 成 a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符 号，不可省略．

2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4


1．两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可 以为正(当 a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当 a≠0，b≠0，90° ＜θ≤180°时)，还可以为 0(当 a＝0 或 b＝0 或 θ＝90°时)．
2．两非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公 式|a|＝ a2.
(2)由互相垂直的两个向量的数量积为 0 列方程，推出|a|与|b|的关 系，再求 a 与 b 的夹角．
(1)(0，1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0，∴k＞0. 当 k＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0°，不符合题意， 舍去． 综上，k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1.]
的区别．(易混点)
升了学生数学运算和数据分析的
核心素养.
自主预习 探新知
1．平面向量数量积的定义 非零向量 a，b 的夹角为 θ，数量 |a||b|cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积，记作 a·b，即 a·b＝ |a||b|cos θ ．特别地， 零向量与任一向量的数量积等于 0 ．
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向 量．
求平面向量数量积的步骤 (1)求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量 积，即 a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也|cos θ(θ 为 a，b 的夹角)，a 在 b 方向 上的投影为|a|cos θ. (2)b 在 a 方向上的投影为a|a·b| ，a 在 b 方向上的投影为a|b·b| .
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2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.理解平面向量数量积的含义及其物 理意义. 2.掌握数量积公式及其投影的意义. 3.掌握平面向量数量积的性质及其运 算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积 解决向量的垂直问题. 平面向量数量积 数量积的定义 数量积的几何意义 数量积的运算律 数量积的性质
|������|
向上的投影|b|cos θ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������· ������ . |������|
一
二
三
四
4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方 向上的投影等于 . (2)若a· b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等 于 .
解析:(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于|a|cos θ=3×cos 120°=-2; (2)向量 b 在向量
答案:30°
������· ������ θ=|������||������|
=
9 3 3×6
=
3 ,所以 2
θ=30°,故向量 a 与 b 的
一
二
三
四
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)0· a=0a.( ) (2)若a· b=0,则a与b至少有一个为零向量.( ) (3)若a· b>0,则a与b的夹角为锐角.( ) (4)若a· c=b· c(c≠0),则a=b.( ) (5)对于任意向量a,都有a· a=|a|2.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
(3)a· a=|a|2 或|a|= ������· ������. (4)cos θ=|������||������|. (5)|a· b|≤|a||b|.
������· ������
一
二
三
四
2.做一做:若|a|=3,|b|=6,a· b=9 3,则向量 a 与 b 的夹角等 于 .
解析:由于 cos 夹角等于 30°.
一
二
三
四
一、平面向量数量积的定义 【问题思考】 1.如图,一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功 应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?力、位移及其夹角分别 是矢量还是标量?功是矢量还是标量?
提示:由物理知识容易得到W=|F||s|cos θ,决定功的大小的量有力、 位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.
提示:除结合律中的(a· b)· c=a· (b · c)是错误的,其他都是正确的.
一
二
三
四
2.填空:向量数量积的运算律
交换律 对数乘的结合律 分配律
a· b=b· a (λa)· b=λ(a· b)=a· (λb) (a+b)· c=a· c+b· c
一
二
三
四
四、平面向量数量积的性质 【问题思考】 1.填空:向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ. (1)a⊥b⇔a· b=0. |������||������|,当������,������同向时, (2)当 a∥b 时,a· b= -|������||������|,当������,������反向时.
一
二
三
四
2.填空:(1)两个非零向量的数量积.
已知条件 向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ 定义 记法 a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a· b=|a||b|cos θ
(2)规定:零向量与任一向量的数量积为零. 3.关于平面向量数量积的说明: (1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”; (2)数量积的结果为数量,不再是向量; (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数 量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.
一
二
三
四
2.填空:(1)投影的概念 ①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ. ②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ. (2)数量积的几何意义. 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘 积. 3.关于投影的说明: (1)向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影是 不同的; ������· ������ (2)向量 a 在向量 b 方向上的投影|a|cos θ= ;向量 b 在向量 a 方
探究一
探究二
探究三
探究一
求平面向量的数量积
【例1】已知|a|=3,|b|=4,|c|=5,向量a,b的夹角是120°,a,c的夹角 是45°.求: (1)a· b; (2)(a-2b)· (3a+b); (3)a· (a-4b+ 2 c). 分析根据向量数量积的定义和性质进行求解.
答案:(1)-2 (2)-4
3 3
3
������· ������ a 方向上的投影等于 |������|
=
-6 3 =- . 8 4
一
二
三
四
三、平面向量数量积的运算律 【问题思考】 1.如果根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如 下表,这些结果正确吗?
运算律 交换律 结合律 分配律 实数乘法 ab=ba (ab)c=a(bc) (a+b)c=ac+bc 平面向量数量积 a· b=b· a (a · b)· c =a · (b· c) (λa)· b=a· (λb)=λ(a· b) (a+b)· c =a · c+b· c
答案:(1)-2 (2)8
一
二
三
四
二、平面向量数量积的几何意义 【问题思考】
1.向量运算中的加法、减法、数乘都有几何意义,数量积运算有 没有几何意义?观察下列图形,如何表达OB1?它与数量积的关系是 什么? 提示:向量的数量积也有几何意义,题图中OB1=|b|cos θ, a · b=|a|OB1.
一
二
三
四
4.做一做:(1)已知|a|=2,|b|= 2,a 与 b 的夹角是 135°,则 a· b= . (2)△ABC 是边长为 4 的等边三角形,则������������ ·������������= .
解析:(1)a· b=|a||b|cos 135°=2× 2 × -
2 2
=-2.
(2)������������ ·������������=|������������||������������|cos∠BAC=4×4×cos 60°=8.