概率论 图形1

0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
2019/4/3
O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
28
例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
23
3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
19
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
20
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
21
四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
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第三章 多维随机变量及其分布
13
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)

第一章 随机事件及其概率
内容提要
一、随机事件
1、随机试验：观察一定 综合条件的实现。（条 件
实现就完成一次试验） 一般用字母‘ E ’表示试验。
2、样本空间：试验可能 出现的全部结果组成的 集
合。一般用字母‘ ’表示，组成样本空间的 元素称
为样本点，（或称为基 本事件）一般用字母‘ ’表
示。
3、随机事件：样本空间 的子集称为随机事件。 一
这些题目所考的知识点 实际上是相同的， 本质上式一样的。
编辑ppt
பைடு நூலகம்
7
三、随机事件概率的定
义
1 、概率的统计定义：设
随机事件 A 在 n 次重
复试验中出现了
k 次， P ( A ) k 。 n
2 、概率的古典定义：若
随机试验
E 满足
10 { 1, , n } 2 0 P ( 1) P ( n ) 则称 E 是古典概率模型。
A i 表示
A 表示至少有一个盒子无
N
球，则 A A i
i1
B 表示每个盒子至少有一
N
个球，则 B A i
编辑ppt
i1
3
5、事件 A 与 B 互不相容 AB . 6、事件 A 与 B 相互对立 A B 且 AB
注：相互对立的事件一定是互不相容的事件，反
之不一定。
7、两个事件的差A B AB A发生但 B不发生。 8、事件运算的一条性质：
P ( Ai ) 1 P ( Ai )
i 1
i 1
n
n
7 0、 P ( Ai ) P ( Ai )
P ( Ai A j )
P ( Ai A j Ak )
i 1

超几何分布
若离散随机变量的分布列为
k n CM CNkM P( X k ) , k 0 , 1, , min{n, M } n CN
则称服从超几何分布 ，记为
X ~ H (n, N , M )
N 100, M 25, n 20 的超几何分布 图形
负二项分布
若离散随机变量的分布列为
1 P( X k ) Ckr1 p r (1 p)k r , k r, r 1, r 2,.
则称服从负二项分布，或称Pascal（帕斯卡） 分布 ，记为
X ~ P( r, p )
r 10, p 0.5 的Pascal分布图形
分布函数CDF与密度PDF
CDF
二维正态分布联合密度函数图形
设二维随机向量的联合分布函数为
min( x, y ) 0 0, F ( x, y ) min( x, y ), 0 min( x, y ) 1 1, min( x, y ) 1
问: F ( x, y ) 为什么类型的分布函数?
答: F ( x, y ) 为奇异型分布函数
f ( x)
1 ba
0
a
b
x
均匀分布的分布函数图形
F ( x)
1
0
a
b
x
图 2.8 均匀分布的分布函数
指数分布的密度函数与分布函数
e , f ( x) 0 ,
x
x0 x0
1 e F ( x) 0,
x
, x0 x0
指数分布的密度函数图形
f ( x)
F ( x, y ) 的图形
z
y
1
0
x

P(An|A1A2…An-1).
33
例3. r只红球○ t只白球○
每次任取一只球观 察颜色后, 放回, 再 放回a只同色球
在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且 第三、四次取到白球的概率.
34
(三) 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分

定:义 若 B 1,B 2, ,B n一组事 : 件
计算条件概率有两种方法:
1. 公式法：
先计P算(A)P, (AB然 ), 后按公式计算
P(B| A) P(AB.) P(A)
31
2. 缩减样本空间法：
在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其 中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取 后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称 为 A与B的 和 事 . 件
即AB,中 至 少 有 一 ,称个 为 A与 发 B的生,和 记AB.
可 列 个A1事 , A2,件 的 和 事 件 记 Ak. 为
k1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，
即事件A与B同时发A生. A B 可简记为AB.
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
(1)n1 P(A1 A 2 A n ).
27
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事 件的概率:
( 1 ) P ( A B ) (; P ( 2 A B ) ( ) ; P ( 3 A B ) ) (; ( 4 A B )

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为了讨论方便, 把不含任何元素的集合 称为空集, 记作. 把空集作为任一集 合A的子集, 即对任一集合A, A.
如果AB且BA, 则称集合A,B相等, 记 作A=B
书上印错
29 2019/12/12
二, 并集 由至少属于集合A或集合B二者之一的所 有元素所组成的集合称为集合A与集合B 的并集, 记作AB.
25 2019/12/12
集合之间的关系与集合的运算
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一, 子集 如果属于集合A的任一元素都属于集合B, 则称集合A是集合B的子集, 记作AB(或 BA), 读作A含于B(或B包含A).
B
A
27 2019/12/12
例如, 由所有偶数组成的集合是由所有 整数组成的集合的子集; 区间(1,2)是区 间(1,4)的子集. 特别地, 一个集合A是它 自己的一个子集. 显然, 当AB且BC时, AC.
y 1
O
1
x
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如果AB=, 即A,B无公共元素, 就称集 合A与集合B互不相交. 例如, 由所有正数组成的集合与由所有 负数组成的集合互不相交; 区间(1,2)与 区间(2,3)互不相交.
35 2019/12/12
集合的并与交满足如下的分配率: (AB)C=(AC)(BC).
C
A
B
36 2019/12/12
证 下列诸关系式是相互等价的: e(AB)C, eAB且eC, eAC或eBC, e(AC)(BC).
从而上述分配律成立.
37 2019/12/12
集合的并及交可以从两个推广到有限多 个或可数多个集合上去, 诸集合A1,A2,... 的并集A1A2...就是由至少属于A1,A2,... 中一个的所有元素组成的集合; 诸集合 A1,A2,...的交集A1A2...就是由同时属 于A1,A2,...的所有元素组成的集合. 分配 律对于有限个或可数多个集合的并集也 成立,即 (A1A2...)C=(A1C)(A2C)...

AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，

练习三
从下面两式分析各表示什么包含关系。
1A B A 2A B A
解
1A B A 2A B A
, 说明A是B的子集， A B ，说明 B是A的子集， B A
。 。
返回
概率
对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件 外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这 个数P(A)就称为随机事件A的概率。 我们希望找到一个数来表示P(A)。
例2： 在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即 A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}； 事件A２：“三次出现同一面”，即 A2＝{HHH，TTT}； 在E６中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3＝｛t︱0≤t＜1000}； 在E７中事件A3：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7＝{(x，y) ︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。 例3： 某袋中装有4只白球和2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所 可能出现的事件。若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3， 4号，2只黑球编为5，6号。如果用数对(i，j)表示第一次摸得 i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
ABC ABC ABC
A B C或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习一
化简下列格式：
1 A B A B 2 A B B C 3 A B A B A B
现在我们以abc分别记投一次四面体出现红白黑颜色的事件则由于在四面体中有两面有红色因pa12同理pbpc12容易算出pabpbcpac14所以abc两两独立但是pabc1418papbpc80思考能否由81例23若有一个均匀正八面体其第1234面染红色第1235面染白色第1678面染上黑色现在以abc分别表示投一次正八面体出现红白黑的事件则但是pab3814papb82n个事件独立性的定义及其推论一般设a是nn2个事件如果对于其中任意2个任意3个?任意n个事件的积事件的概率都等于各事件概率之积则称事件相互独由定义可以得到以下两点推论

μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可 知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可 能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相 同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,

4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象 古典概型

8
二、欧拉公式
c) e
∵np+1 = np ； kp+1 = kp +1 ∴ np+1 –(p+1)+kp+1 = np-(p+1)+(kp +1) = np-p+kp ＝2
综上可知，对任意有p+1条边的图，欧拉公式也成立。
9二、欧拉公式ຫໍສະໝຸດ 定理4：设有一个连通简单平面图G，共有n个结点，m条边， 若 n≥3，则m≤3n-6。 证明：设图G的面数为k。 因为每一面的次数大于等于3，而各面的次数之和为2m， 因此，3k≤2m， k≤2m/3，代入欧拉公式： ∵2＝n-m+k ∴ 2 ≤n-m+2m/3， 2≤n-m/3， 6≤3n-m， m≤3n-6 该定理可以用来判定某些图非平面图。
21
五、图的着色
着色问题： 起源于地图的着色：一个地图中相邻国家着以不同颜 色，最少需要多少种颜色。1976年，美国数学家阿佩尔 (Appel)和黑肯(Haken)宣布：他们用计算机证明了只用四种 颜色就可以对地图进行着色，即“四色定理”。 有了对偶图的概念，对于地图的着色问题，可以归结为对于 平面图的结点的着色问题。 定义：图G的正常着色（简称着色）是指对它的每一个结点指定 一种颜色，使得没有两个相邻的结点有同一种颜色。如果图G 在着色时用了n种颜色，称G是n－着色的。对于图G着色时， 需要的最少颜色数称为G的着色数，记为χ(G)。 例：求χ(零图)，χ(Kn)，χ(二部图)是多少？ 解：χ(零图)=1，χ(Kn)=n，χ(二部图)=2。
ek* =(vi*,vj*)与ek相交； (3)当且仅当ek只是面Di的边界时, vi*恰存在一自回路与ek
相交。 所得的图称为图G的对偶图,记为G*。 连通平面图G的对偶图一定是平面图。

E2 : 抛一颗骰子 , 观察出现的点数 .
E3 : 记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 . E4 : 在一批灯泡中任意抽取一只灯泡测试其寿命 .
2019/3/12
随机试验特点
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事 先知道试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现.
S3 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
实例4
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
S4 { 0, 1, 2, }.
2019/3/12
实例4 记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数.
S5 {0, 1, 2, }.
实例5 考察某地区12月份的平 均气温.
S6 {t T1 t T2}.
H 正面朝上 T 反面朝上
S1 {(H , H),(H ,T ),(T ,T ),(T , H )}.
实例2 掷两枚均匀硬币,观察正面出现的数目.
S2 {0,1, 2}.
H 正面朝上 T 反面朝上
相同的随机试验，试验目的不同，样本空间完全不同
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实例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
“天有不测风云” 和“天气可以预报” 矛 盾吗？.
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实验者
德 摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大 1 . 2
2019/3/12
其中 t 为平均温度 .
2019/3/12