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第九章三向应力状态(6,7,8)

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应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

应力状态概述二向和三向应力状态的实例二向

2．作应力圆 主应力为 1 , 3 ，并可 确定主平面的法线。
材料力学
第七章
应力和应变分析
3．分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等， 但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较 低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45º 的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。
材料力学
第七章
2 2
x y
xy

n

材料力学
y a xy
y On D( x , ) a a
a
第七章
n
应力和应变分析
二、应力圆的画法
建立应力坐标系，如下图所 示，（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x， xy)和B(y，yx)

x
C O
2a
AB与a 轴的交点C便是圆 A( x , xy) 心。
150°
第七章
应力和应变分析
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
95
60°
y 45MP a yx 25 3MP a xy
25 3
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa
材料力学
第七章
应力和应变分析
应力表示——单元体：
①dx、dy、dz（微小的正六面体） ②单元体某斜截面上的应力就代表了构件内 对应点同方位截面上的应力。
B P
dz
dx
dy
A
C
பைடு நூலகம்
B
D
C
B、C——单向受力，τ ＝0 A——纯剪切， σ ＝0
D
D——既有 σ ，又有τ

应力状态分析

应力状态分析
第九章 应力状态分析和强度理论
§9–1 应力状态的概念 §9–2 平面应力状态分析——解析法 §9–3 平面应力状态分析——图解法 §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 §9–5 三向应力状态研究——应力圆法 §9–6 平面内的应变分析 §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §9–8 复杂应力状态下的变形比能
c/sin c/cos
xy cos 2 sin 2
3
ixco 2 sysi2 nxsy in co s i 1
3i xs2 i n ys2 in xy c2 o s s2 in i 1
x 2yx 2yco 2 s1 2xsy i2 n
2x 2ysi2n1 2xyco2s
ts ssxx 2 2 ssyyss i2nx 2 styxcyco o22s stxsy i2 n
令 :d d s 0 sx sysi2 n 0 2 txc y 2 o 0 s 0
由此的两个驻点：
01、（012）和两各极值：
tg20
2txy sx sy
s s s s s s t m m ´´a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
sy sx
t0 0极值正应力就是主应！力
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。

三向应力状态

三向应力状态
2
2
min
例7-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。 （1）求主应力
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x + y x - y 2 + x 2 2 min
10 + 30 10 - 30 + 202 2 2 + 42.4MPa（ 拉 应 力 ） - 2.4MPa（ 压 应 力 ）
2 2
a 0对应 max
x + y
2
a 0 + 90 对应 min

x + y
2
三、最大和最小剪应力
d a 0 da
2
x - y
2
cos 2a - 2 xy sin 2a 0
x - y tg 2a 2 xy
max
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - 2 + xy
3
a 0 12143'
3
（2）求最大剪应力
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
1
(a)
max
1 - 3
2
22 .4 MPa
3、 纯剪切应力状态
- 2 x tg 2a 0 - x - y
a0 135
五、不等于零的情况。
二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等
于零的情况。
三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况。
7-2 平面应力状态分析—解析法
一、斜截面上的应力
已知：单元体 x，y，xyyx， a 研究与z轴平行的任一斜截面c e上的应力。 符号规则： q 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。

工程力学第9章 应力状态与强度理论

工程力学第9章 应力状态与强度理论

27
根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
31
32
33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
34
（3）第三强度理论———最大切应力理论
35
（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
36
37
（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
38
（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
39
思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
10
11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
12
13
14
15
16

第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)

m
V
( Stresses in Beams)
m

m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为

V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.

三向应力状态简介

三向应力状态简介

例：填空题。
危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用
破坏形式为
。
第一
脆性断裂
强度理论进行计算，因为此时材料的
例：选择题。 纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：
（A）变大 （B）变小 （C）不变 （D）不确定
123 m
K
例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但只有一 枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应
对于二向应力状态：
1 1 E ( 1 2 )
2
1 E
(
2
1)
3 E ( 1 2 )
2 1
CL10TU30
下 面 考 虑 体 积 变 化 ：
V0abc
V 1 a ( 1 1 ) b ( 1 2 ) c ( 1 3 ) 2
a b c ( 1 1 23 )
） ） ）
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
拉压变形能：
U1Pl1PPl P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
P
l l
uU P2l
2
1
V 2EAAl 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u2 1112 1222 133 2
1 3
变形比能：
u21112122 2133
2 1 E 1 2 1 E12 2 13 2 2 （(1 2 2 3 ）23 31 )
强度理论的论述基本一致。
二
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa作用，则在球心处的主应力 1 =

三向应力


z
s z s 30 s 120 ) （

我们应该把X，Y，Z理解 成任意三个垂直的方向
特例（主单元体）
s
2
s3
s1
s
2
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 s 2 ) (s s 1 )
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 0 )
xy

2 xy

x y
例： 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、
2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。
解：由
x cos i y sin i
2 2
i
xy
sin i cos i
i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。
2
co s 2
xy
2
sin 2
x y
2
sin 2
y
xy
2
co s 2
2 s x s t
2
s
s x s

s x s
2
y
cos 2 t xy sin 2
y
sin 2 t xy cos 2
二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle）
1） x1 方 向 的 线 应 变 ； .沿 2）x1 y 1角 的 剪 应 变 。 .
dx
f ( x , y , z , xy , ) g ( x , y , z , xy , )
y1
y
x1
dy

应力状态-材料力学 经典


将0值代入，得：
一点的应力状态
x y x - y 2 2 ( ) xy 2 2 x y x - y 2 2 - ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
主应力排序：
12 3



a
o 2
d
c
2qp

1
3 o
应力状态/应力圆
利用应力圆确定主应力
y
D

xy
A
x
a
yx
o B1 d
c
2q p

A 1
x y x - y 2 2 0c cA ( ) xy oA 1 1 2 2 x y x - y 2 2 oB1 0c - cB1 - ( ) xy 2 2 一点的应力状态
x



-
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
一点的应力状态
应力状态/应力圆
三、应 力 圆
（Mohr’s Circle for Stresses）
1、应力圆方程
x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2
5 4
FP 2
S平面
5 4 3 2
1
3
2 1
Mz x1 Wz
FP l Mz 4
2
3
x2
2
1
2
3
一点的应力状态
应力状态/应力状态的概念及其描述
主平面：单元体上剪应力为零的平面
主应力：主平面上的正应力
通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个

材料力学：第九章 应力状态分析

Me
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面

材料力学第9章应力分析强度理论

已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0

dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
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(0, )
max
min

1 , 2 0, 3
E 2(1 )G
(0, )

1 2 1 1 2 2 2 v ( 1 3 2 1 3 ) 2G 2E E
作业：7-15，16，18
§9-7 强度理论及其相当应力
2＋4 2
第9章
失效分析与设计准则 几种常用的强度
设计准则
应用举例
对于最大剪应力理论 例 题 二
r3=1-3= 2＋4 2
对于形状改变比能理论
r4=
= 2＋3 2
[例9-12]在纯剪切应力状态下：用第三强度理 论和第四强度理论得出塑性材料的许用剪应力 与许用拉应力之比。 解（1）纯剪切应力状态下三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
第三强度理论的强度条件为：
[ ] 由此得： 2 剪切强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ]
按第三强度理论可求得：[ ] 0.5[ ]
（2）第四强度理论的相当应力：
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2


第四强度理论强度条件
3 [ ]
由此得： [ ]
剪切强度条件为：
3
[ ]
按第四强度理论可求得：[ ] 0.578[ ]
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 0.5 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
1 2 vu 2 s 6E

v f vu

屈服破坏条件是：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) s 2
第四强度理论：


1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
[例9-11]已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁
拉伸许用应力 [] =30MPa。试校核该点的强度。
解：首先根据材料和应力状态确 定破坏形式，选择强度理论。
脆性断裂，最大拉应力理论
max= 1 [] 其次确定主应力
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa 结论：强度是安全的。
二. 强度理论的概念
1.对强度理论的要求： （1）能够解释破坏；
（2）能够预言破坏；
（3）形式简单使用方便。
2.建立强度理论的原则：
（1）考虑材料性质；
（2）考虑应力状态的影响；
（3）获得材料性能较容易。
F ( 1 , 1 , 1 , 1, 2 , 23 , 31 ) [ ]
1 ( 2 3 ) b [ ] n 第二强度条件： ( ) [ ] 1 2 3
b
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，
如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向 发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的 方向，这与第二强度理论的结果相近。
3.最大剪应力理论（第三强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸屈服 剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形 或屈服。
[ ] 应力与许用拉应力之比 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
3、微元体应变比能
dW 1 v 11 2 2 3 3 dxdydz / dxdydz dV 2 1 1 1 2 2 3 3 2
1 1 1 v 11 2 2 3 3 2 2 2 1 1 （ 2 3） 1
E 1 2 （ 3 1） 2 E 3 1 3 （ 1 2） E
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E


变形比能=体积改变比能+形状改变比能ຫໍສະໝຸດ vd v vV2
1 vd ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6E

m

2 m
1 3
m m
3 m
1 m
[9-10]求证 E 2(1 )G 证明： max min
允许应力由简单拉伸实验得到。
三.几种常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂 时的极限应力σu，材料即破坏。 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ]
b
n
第一强度强度条件： 1 [ ]
假设：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点 的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极
限值 εu，材料即破坏。
所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
若材料直到断裂前全在线弹性范围内工作，则 u b 1 u 1 1 （ 2 3） E E E 由此导出失效条件的应力表达式为：
这个理论和许多塑性材料的试验结 果相符，用此判断碳素钢的屈服失效是 比较准确的。


几种常用的强度理论(1)
1. 第一强度理论
2
3
= b
1

max
1 ( 1 0)

o max
b
几种常用的强度理论(3)
2 3
3. 最大剪应力理论
= s
1
1 3 max 2
第9章
失效分析与设计准则 几种常用的强度
设计准则
应用举例
例题二
已知： 和 试写出最大剪应力 理论和形状改变比 能理论的表达式。
第9章
失效分析与设计准则 几种常用的强度
设计准则
应用举例
例 题 二 解：首先确定主应力 ＋1 2＋4 1＝ 2 2
2
2＝0
3＝ 2
－
1 2
[例]冬天自来水管冻裂而管内冰并未 破裂，其原因是?
冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态
例：填空题。
冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，
其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
§9-8 莫尔强度理论 [ t ] 1 3 [ t ] [ c ] [ t ] r M 1 3 [ c ]
屈服破坏条件是：
max s
1 3 s max , s 2 2 用应力表示的屈服破坏条件： 1 3 s s [ ] n
第三强度条件：
1 3 [ ]
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结
果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多
数情况下远比此为小。
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
假设：复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单 向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会 发生屈服。
屈服破坏条件是：
简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
1 2 2 2 vf ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、
陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，
这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉
应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏， 也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都 与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考 虑其它两个主应力的影响。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
一.单参数强度条件的局限性
1.单参数强度条件
max [ ]
max [ ]
2.单参数强度条件的局限性
（1）破坏形式与应力状态有关 铸铁的拉压破坏说明同种材料不 同的受力方式破坏形式不同；
（2）材料的破坏方式与材料性能有关。 铸铁和低碳钢的扭转破坏说明相同的受力方式材料不 同破坏方式不同。 2. 材料破坏的形式 材料破坏的形式主要有两类： 断裂面为主应力作用面的正断-- 脆性破坏 断裂面为主切应力作用面的剪断-- 塑性破坏
r 称为相当应力 r1 1
r [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
1 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2


一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材 料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度 理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、 第四强度理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低 温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动 载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持 塑性。 无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形 式破坏，所以应采用最大拉应力理论； 在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑 性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。
2
v vV vd
m
1
2 m
m
3 m
1 m
3
m
m 1 2 3