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第六章 应力状态分析

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6第六章-梁的应力详解精选全文完整版

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等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横 截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使 是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很 小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不 计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点处 于单向应力状态。于是可按单向应力状态下的强度条件形 式来建立梁的正应力强度条件：
需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明，受分布荷载的矩形截面简支梁，当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件，有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量，统称为截面的几何性质，而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求：
Wz
Wz
M max
第六章 应力状态分析

第六章 应力状态分析


1(
3
1+
2
+
3
)
图b
3 -m 图c
单元体的体积改变比能 为:
1- 2
6E
1
+
2
+3
2
形状改变比能或畸变能密度:
1+
6E
1 + 2 2 + 2 + 3 2 + 3 + 1 2
§6-8 应用举例
例题5-1 已知应力状态如图中所示。试： 1.写出主应力 1 、 2 、 3 的表达式；
2时.若针已方知向σ旋x=转63θ.7=M12p0a0，后τ至xy=x‘7、6.4yM’，p求a，当坐 x标' 、轴 yx 、、yxy逆
问题：（1）用什么模型描述一点处的应力状态？（2）如 何确定任一个方向面上的正应力与切应力？
§6-1 一点处应力状态描述及其分类
单元体或称微元： 构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，通常 用正六面体微元。一旦确定了微元三对互相垂直面上的应力，过这一点任意方向面上的 应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们的 作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其三对互相垂直面上的应力来 描述。在选取代表一点的微元时，应该尽量使其三对互相垂直面上的应力为已知的或容 易由基本变形下的应力公式算出的。
1
3
II 2
xy
3
O
II
1
x
平行于2的方向面－其上之应力与2无关. 由1 、 3可作出应力圆II
2
III 1 3
xy
II
I
3 2
O
III
1
x
第6章 弯曲应力

第6章 弯曲应力


称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max

基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。

中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
第六章 岩体的初始应力状态

第六章 岩体的初始应力状态


T0
（三）根据水压致裂法试验结果计算地应力
（1）一般来讲 z h 作为地主应力之一。我 们可以将 z 与 2 h 作比较，若 z 1h ，则 可以肯定此时 2 h 为最小主应力；进一步将 与 z 1h 作比较，也就可以以此确定地应力的 三个主应力。
因为开裂点方位或开裂裂缝方向可以确定 2 h 的方位或 1h 的方向，所以三个地主应力的 方位也就可以相应确定。 （2）如果 2 h h ，并且孔壁开裂后孔内 岩体出现水平裂缝，则此时 z h 为最小 地应力， 2 h 与 1h 各为中间主应力及最大 地主应力，垂直开裂方向即为最大地应力方向。
T z E 0.03 10 5 10 4 zMPa 0.003 zMPa
z--深度/m。
温度应力是同深度的垂直应力的1/9，并呈静 水压力状态。 返回
第三节 岩体初始应力状态的现场量测方法 一、岩体应力现场量测方法概述 1.目的： （1）了解岩体中存在的应力大小和方向 （2）为分析岩体的工程受力状态以及为 支护及岩体加固提供依据 （3）预报岩体失稳破坏以及预报岩爆的 有力工具
工作步骤
应变观测系统
（2）套孔应力解除法
•孔径变形测试，孔壁应力解除法，均属于 套孔应力解除法。前者测试套孔应力解除 后的孔径变化；后者测试套孔应力解除后 的孔壁应变。其操作步骤和原理基本相同
原理要点 对岩体中某点进行应力量测时，
先向该点钻进一定深度的超前小孔，在此 小孔中埋设钻孔传感器，再通过钻取一段 同心的管状岩芯而使应力解除，根据恢复 应变及岩石的弹性常数，即可求得该点的 应力状态。
直角应 变花
等边三角 形应变花
应力解除槽
表面应力解除法
钻孔的深 度必须超 过开挖 影 响区，才 能测到岩 体内的原 始应力， 否则测出 的是二次 应力。
第六章岩体的初始应力状态讲义

第六章岩体的初始应力状态讲义


z z
n
z i hi i 1
若认为岩体为均质、连续且各向同性体，各岩体单 元横向变形为0，即x= y=0，则由广义胡克定律：
x

1 E
x


y z


y

1 E
y
z
x

解上式得水平应力x、 y为：
5、水压致裂法测定系统
6、应力计算
两向受不相等的均布力σ1、σ2作用时的应力分量：


1
2
2
(1
r2
2
)


1
2
2
(1
r2
2
)(1

3
r

2 2
)
cos
2
2


1
2
2
(1
r2 ) 1 2
2
2
(1
3 r 4 )cos 2 4


岩浆侵入或者随着深度的增加，温度升高，使岩 体膨胀，产生热应力，增加初始应力；
若地温梯度α=3°C/100m，岩体热膨胀系数β约 为10-5，一般岩体弹性模量E=10GPa，则地温引起的温 度应力T约为：
T =αβE Z=0.03×10-5×104 Z=0.003 Z MPa
Z为研究点处的深度，m。
x
y

1




z

z
其中λ为侧压力系数，
岩体（0.2-0.3），则（0.25-0.43）；
另外， xy yz zx 0
岩体自重应力随着深度呈线性增加，浅部处 于弹性状态；超某一临界深度（砂岩500m、花岗 岩2500m），岩体处于潜塑状态或塑性状态（开 挖前为弹性，开挖后呈塑性），此时，其近于 0.5，则近于1.0，岩体所受垂直与水平应力相 等，即静水压力状态，该现象瑞士地质学家海姆 （A.Heim）1987年在研究阿尔卑斯山深大隧道时 发现，称为海姆假说。
第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论

第二篇第六章（第十章）应力状态与强度理论

第⼆篇第六章（第⼗章）应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。

但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。

实际上，不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同，即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上，应⼒也是不同的。

例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下，最⼤应⼒并不都在横截⾯上，从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。

⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”，必须指明作⽤在哪⼀点，哪个（⽅向）截⾯上。

因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。

即使通过同⼀点不同（⽅向）截⾯上应⼒也是不同的。

⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。

或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。

下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（⽅向）截⾯上的应⼒情况。

⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。

并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒，⼜有剪应⼒)时的强度条件。

⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法：在⼀般情况下，总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体，当各边边长充分⼩并趋于零时，六⾯体便趋于宏观上的“点”，这种六⾯体称为“微单元体”，简称“微元”。

当微元三对⾯上的应⼒已知时，就可以应⽤截⾯法和平衡条件，求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。

因此，通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况，可以描述⼀点的应⼒状态。

上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。

根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表⼀个材料点）各微⾯上应⼒特点如下：（1）各微⾯上应⼒均匀分布；（2）相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反；（3）互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。

（在相互垂直的两个平⾯上，剪应⼒必然成对存在，且⼤⼩相等，两者都垂直于两个平⾯的交线，⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。

材料力学应力状态分析

材料力学应力状态分析

材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。

应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。

本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。

首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。

应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。

在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。

正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。

在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。

其次，我们将对应力状态进行分类。

根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。

拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。

这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。

接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。

应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。

应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。

这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。

最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。

同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。

总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。

只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。

6、岩体的初始应力状态

6、岩体的初始应力状态

第六章 岩体的初始应力状态第一节 初始应力状态的概念与意义岩体的初始应力，是指岩体在天然状态下所存在的内在应力，在地质学中，通常又称它为地应力。

岩体的初始应力主要是由岩体的自重和地质构造运动所引起的。

岩体的地质构造应力是与岩体的特性(例如，岩体中的裂隙发育密度与方向，岩体的弹性、塑性、粘性等)有密切关系，也与正在发生过程中的地质构造运动以及与历次构造运动所形成的各种地质构造现象(例如，断层、褶皱等)有密切关系。

因此，岩体中每一单元的初始应力状态随该单元的位置不同而有所变化。

此外，影响岩体初始应力状态的因素还有地形、地质构造形态、水、温度等，但这些因素大多是次要的，只是在特定的情况下才需考虑。

对于岩体工程来说，主要考虑自重应力和构造应力，二者叠加起来构成岩体的初始应力场。

地面和地下工程的稳定状态与岩体的初始应力状态密切相关。

岩体的初始应力状态可以指在没有进行任何地面或地下工程之前，在岩体中各个位置及各个方向所存在的应力的空间分布状态，它是不取决于人类开挖活动的自然应力场。

在岩体中进行开挖以后，改变了岩体的初始应力状态，使岩体中的应力重新分布，引起岩体变形，甚至破坏。

在高地应力地区，开挖后常会出现岩爆、洞壁剥离、钻孔缩径等地质灾害。

对于地下洞室工程来讲，我们把与洞室本身稳定密切相关的周围岩体称为围岩。

洞室的开挖引起围岩的应力重分布和变形，这不仅会影响洞室本身的稳定状态，而且为了维持围岩的稳定，需施作一定的支护结构或衬砌。

合理地设计支护结构，确定经济合理的衬砌尺寸，是与岩体的初始应力状态紧密相关。

所以，研究岩体的初始应力状态，就是为了正确地确定开挖过程中岩体的应力变化，合理地设计岩体工程的支护结构和措施。

第二节 组成岩体初始应力状态的各种应力场及其计算一、岩体自重应力场及计算地心对岩体的引力，使原岩体处于受力状态，由此而引起的岩体应力称为重力应力。

它可以通过计算获得，其计算理论一般是建立在假定岩体为均匀连续介质的基础之上的。

材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)

材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)


t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1

sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
第六章 应力应变状态分析

第六章 应力应变状态分析

tg 2 0 2 xy
x y
2 300 3 200 200 2
min
2 0 2 0
max

0 28.2 0或 - 151.8 0
Dx 200,300, D y 200,300
Dx
14

x y x y cos2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
max x y min 2
x y 2 xy 2
2
2 xy 1 0 arctan tan 2 0 2 x y y x
D13
D12
D23 D3
D2
D1

2
max 13
1 3
2
13作用面?
答: bdhf
a
b f d h
c
e
g
1
3
18
例题3-1：图示单元体，求：（1）主应力和最大切应力； （2）画出三向应力圆。 y
40Mpa x
z
解： 1.先把它转化为一个平面应力状态
x 120MPa , y 40MPa , xy 30MPa
2
E
1 1 11 12 13 1 2 3 E 1 2 21 22 23 2 3 1 E 1 3 31 32 33 3 1 2 E




x y x y 2 2 2
2
2 xy 面存在一一对应关系。
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

材料⼒学习题第六章应⼒状态分析答案详解第6章应⼒状态分析⼀、选择题1、对于图⽰各点应⼒状态，属于单向应⼒状态的是（A ）。

20（MPa ）20d20（A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点。

2、在平⾯应⼒状态下，对于任意两斜截⾯上的正应⼒αβσσ=成⽴的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。

3、已知单元体AB 、BC ⾯上只作⽤有切应⼒τ，现关于AC ⾯上应⼒有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

（A ）AC AC /2,0ττσ==；（B ）AC AC /2,/2ττσ==；（C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。

4、矩形截⾯简⽀梁受⼒如图（a ）所⽰，横截⾯上各点的应⼒状态如图（b ）所⽰。

关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。

(b)(a)（A）点1、2的应⼒状态是正确的；（B）点2、3的应⼒状态是正确的；（C）点3、4的应⼒状态是正确的；（D）点1、5的应⼒状态是正确的。

5、对于图⽰三种应⼒状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。

τ(a) (b)(c)（A）三种应⼒状态均相同；（B）三种应⼒状态均不同；（C）（b）和（c）相同；（D）（a）和（c）相同；6、关于图⽰主应⼒单元体的最⼤切应⼒作⽤⾯有下列四种答案，正确答案是（ B ）。

(A) (B) (D)(C)解答：maxτ发⽣在1σ成45o的斜截⾯上7、⼴义胡克定律适⽤范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。

（A）脆性材料；（B）塑性材料；（C）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D）任何材料；8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适⽤于（ C ）。

应力状态分析和强度理论


03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。

材料力学应力状态


2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3

材料力学第6章应力状态与强度理论

第6章 应 力 状 态 与 强 度 理 论 6.1 应 力 状 态 概 述
6.2 平 面 应 力 状 态 分析 6.3 三 向 应 力 状 态 分 析 6.4 广 义 胡 克 定 律 6.5 一般应力状态下的应变必能 6.6 工程中常用的四种强度理论
6.1 应 力 状 态 概 述
6.1.1、应力状态概念 （1）、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象 P M 低碳钢 铸铁拉伸
图c单元体的应变能为 : d: 畸变能密度 (Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion)
1 2 2 2 ud s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 6E —— 形状改变比能（歪形能） s 1 -s m
2t xy
s x s y
0 45
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
s x s y tg21 0 1 0 2t xy
破坏分析
低碳钢: s s 240MPa;
t s 200MPa
低碳钢
灰口铸铁 : s Lb 98 ~ 280MPa
6.5.2 线弹性体的应变能
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，这种情形下，力所作的功为变力功。
0
FP
FP
Δ Δ
O
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件， 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
不考虑加载过程中的能量损耗，则外力功将转化为弹性变形能
s x s y 0
t
s
2
xy

第六章：梁弯曲时的内力和应力

FS FS (x) M M (x)
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。

材料力学第六章应力状态与强度理论

(c)
e
xy
x
b
a
a
f
y
yx
第6章
应力状态与强度理论
斜截面应力
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡，参考法 线n和切线t方向可得：
(d)
e
xy dA cosa xdA cosa
b yx dA sina
adA
n
adA
f t
n 0
y dA sina
⇒
a dA x dA cos a cosa xy dA cos a sin a
x y
2

x y
2
因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且
B1B2 2 x y 2 CD1 B1D1 xy 2 2
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
2
2
第6章
应力状态与强度理论
由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：
OA1 OC CA1
OA2 OC CA2
第6章
应力状态与强度理论
主应力
由此可得两个主应力值为：
应力圆
2
1
x y
2
x y 2 2 xy
x y 2 2 xy
⇒
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得，任一斜截面上的应力分量为：
a
x y
2

x y
2
cos 2a xy sin 2a
a
x y
2
sin 2a xy cos 2a
第6章
应力状态与强度理论
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y S 1 2 z 4 l
FS
3
z
F
x
2
4 3
MZ
a
T
11
y
FS
1 2 z 3 4 z x 2 4 3
MZ
T
1 2
z
3
Mz x1 Wz
T 1 Wt
T 4 FS 2 Wt 3 A
x3
T Mz 3 Wt Wz
12
例6－3、分析薄壁圆筒受内压时的应力状态。

A
y
'
xy
x x
16
正负号规定
： 对单元体内任一点取矩顺时针为正，逆时针为负。
第一个角标表示作用面的法线方向， 第二个角标表示切应力的方向

： 拉（+），压（） 正应力的角标表示作用面的法线方向
：由x 轴正向逆时针转到
斜截面外法线时为正； 反之为负。
17
对隔离体列平衡方程
0 dA xy (dA cos ) sin x ( dA cos ) cos
6
哪一个面上？ 哪一点？
2、研究方法 单元体
z
zy yz
各边边长
dx , dy , dz
z
3
zx
x
x
2
xz
xy yx
y
y
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并且
1
1 2 3

pl
14
例6－4、分析A点的应力状态。
2 1 3
2
3
1
15
§6-2 二向应力状态分析
在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相 垂直的截面），确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而 确定该点的主平面和主应力。
1、斜截面上应力
y
e´ e
y
yx
a
n
x
f
a
y
a
f´
第六章 应力状态分析和强度理论
§6-1 应力状态概述
§6-2 二向应力状态分析
§6-3 应力圆及三向应力状态简介 §6-4 广义虎克定律与应变能密度 §6-5 强度理论
2
§6-1 应力状态概述
1、问题的提出
铸
铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
3
低碳钢
铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面 断开？
18
任意斜截面应力公式
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 xy sin 2

sin 2 xy cos 2
都是 的函数。 可见，
19
2、 正应力极值和方位

d 确定正应力极值： d 0
2
主应力按代数值排序：1 2 3
21
3 最大剪应力 maxmΒιβλιοθήκη x minx y
2
d 令 0 d

max min
x y tan 21 2 xy
2

x y 2
z
D
(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F p
薄壁圆筒的横截面面积
D2
4
A D
F pD A 4
13
(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象
"
p
FN
O
FN
d
"
'
y
D FN l 0 2 d sin plD pD pD F 0 2 l plD 0 iy 2 4
7
只有主应力的单元体称为主应力单元。
3、应力状态分类
一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主 平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力 1 2 3
2
2
3
1 1
应力状态：
1
1
2
1 3
1
1）单向应力状态(一个主应力不等于零)
2
2）平面（二向）应力状态（两个主应力不等于零）
复杂 应力 3）空间（三向）应力状态（三个主应力都不等于零） 状态
8
例6-1、画出如图所示梁S截面各点的应力状态单元体。
F
5 S平面 4 3 l/2 l/2 2 1
9
5 4
3 2 1
x
1
S平面
5
4 3 2
1
x
1
x
2
2
x
2
2
1
x
2
2
x
2
2
3
3
10
例6-2、画出如图所示梁危险 截面危险点的应力状态单元 体
①
n
F
yx (dA sin ) cos y (dA sin ) sin 0 ② Ft 0 dA xy ( dA cos ) cos x ( dA cos ) sin
yx (dA sin ) sin y (dA sin ) cos 0 2 2 cos2 =cos -sin sin2 2sin cos 利用三角函数公式： x y x y x y x y x y 2 2 2 2 且有 yx xy，化简得：
20
( x y ) 2
sin 2 0 xy cos 2 0 0 0
确定了两个相互垂直 的平面，分别为最大和最 小正应力所在平面。
此截面的位置可由下式确定： 2 xy tan 2 0 x y 正应力极值：

max min

x y
2
x y 2 xy 2
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 ( x y ) d 2 sin 2 2 xy cos 2 d 2

设＝ 0 时，上式值为零，即： ( x y ) sin 2 0 xy cos 2 0 0 0 2 即α＝α0的截面，正应力取极值，切应力为零。
4
P A B
M (x ) y (x, y ) IZ
τ

FS (x ) S* Z (x, y ) bI Z
FN A
A cos2 A sin 2
2
5
一般性结论
1）受力构件上应力随点的位置变化而变化； 2）即使在同一点,应力也是随截面的方位变化而变化。 应 力 指明 哪一点？ 哪个方位面？ 过一点所有方位面上应力的集合，称之为这一点的应 力状态。