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二次分式函数值域的求法首先，我们先来了解什么是二次分式函数。
y = f(x) = (ax^2 + bx + c) / (dx^2 + ex + f)，其中a、b、c、d、e、f都是实数且d不等于0。
要求二次分式函数的值域，就是要确定函数f(x)的所有可能取值。
我们先来看一般情况下的二次分式函数。
假设二次分式函数的分母dx^2 + ex + f有两个不同的实根x1和x2、那么，显然x可以取任意实数值，因为任何实数值代入到二次分式函数中都能找到对应的x，使得分母不为0。
所以，可以确定二次分式函数的取值范围是整个实数集。
接下来，我们来看一些特殊情况下的二次分式函数。
情况一：分母为常数的情况假设分母dx^2 + ex + f = C（C为常数）。
那么这个二次分式函数的分母恒为C，不会出现分母为0的情况。
所以此时的二次分式函数的值域也是整个实数集。
情况二：分母为一个一次函数的情况假设分母dx^2 + ex + f只有一个实根x0。
那么此时的二次分式函数y = f(x)就有一个由实根x0确定的竖直渐近线，即在x=x0这个点处，函数值可能无限大。
在其他的实数点处，函数值可能有限。
所以此时的值域是整个实数集。
情况三：分母为一个完全平方的情况假设分母dx^2 + ex + f可以因式分解为(dx + g)^2（g为常数）。
那么此时的二次分式函数y = f(x)可以写成分式 (ax^2 + bx + c) /(dx + g)^2、这样，分母为(dx + g)^2，表明了这个二次分式函数有一个由分母的因式(dx + g)确定的零点，即在x=-g这个点处，函数值可能无限大。
其它实数点处函数值可能有限。
所以此时的值域是整个实数集。
综上所述，无论是一般情况还是特殊情况，二次分式函数的值域都是整个实数集。
为了更好地理解二次分式函数值域的求法，我们可以通过绘制函数图象来进行观察。
例如，考虑函数f(x)=(2x^2+3x+1)/(x^2+2x+1)。
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
求分式函数值域的几种方法摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.关键词：分式函数 值域 方法.1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2122ay b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.例1 求21231y x x =-+的值域. 解：2131248y x =⎛⎫--⎪⎝⎭，因为231248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.例2 求函数221x xy x x -=-+的值域.解：2111y x x -=+-+， 因为22112x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，所以34-≤2101x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ∆=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.例1 求223434x x y x x -+=++的值域.解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以∆≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，17≤y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 函数2221x bx cy x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值.解：化为()20y x bx y c --+-=，⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈⇒∆=---≥0，⇒()224428y c y c b -++-≥0，由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3， 由韦达定理得，2c =，2b =±. ⑵当2y =时20cx b-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0∆=的y 值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.2.3 利用函数单调性求分式函数的值对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数21(,1)1x y x R x x -=∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321x =-+， 当1x >-时，31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数ay x x=+的单调性的结论： ⑴当0a >时在(-∞和)+∞上增函数，在)⎡⎣和(上是减函数.⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.例2 求函数24xy x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以41xy x x=+-.令4t x x=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数，所以2x =时，min 4t =；1x =时，max 5t =； 所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈，故值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.4 利用反函数法求分式函数的值域设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1求函数251xy x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 故函数的值域为2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax by cx d+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.2.5 利用方程法求分式函数的值域在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x =()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈⇔()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x -=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域解：247()2x f x x-=-，[]0,1x ∈，所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈， 即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解⇔(0)(1)g g ⋅≤0或(0)0(1)00122444(72)0g g b ya b ac y y >⎧⎪>⎪⎪⎨<-=-<⎪⨯⎪-==⨯--≥⎪⎩⇔72-≤y ≤3-或4-≤y ≤72-⇔4-≤y ≤3， 即所求函数的值域为[]4,3--.2.6 利用换元法求分式函数的值域当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.例1求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t t t t y ．因为]2,45[112∈+t ， 所以函数)x (f 的值域是]54,21[．例2 求函数423(1)x y x =+的值域．解：令tan x θ=，(,)22ππθ∈-， 则44233tan tan (1tan )sec y θθθθ==+=42sin cos θθ =2221sin sin 2cos 2θθθ≤32221sin sin 2cos 23θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭427=. 当且仅当2tan 2θ=时“=”成立.所以函数423(1)x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函数的值域“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数224(1)(3)x y x +=+(1)x >-的值域.解：224(1)(1)4(1)4x y x x +=++++244(1)41x x =++++. 因为10x +>，所以411x x +++≥4，则41481x x +++≥+，所以0y <≤2438=（当1x =时取等号），故函数的值域为(]0,3. 例2 设123n S n =++++，n N ∈求1()(32)nn S f n n S +=+的最大值.（2000年全国高中数学联赛）解：1()(32)n n S f n n S +=+(1)2(1)(2)(32)2n n n n n +=+++⋅2(32)(2)3464n n n n n n ==++++， 即化为了求分式函数最值的问题1()6434f n n n =++.又因为6434n n++≥34+50=， 当64n n =即8n =时“=”成立，所以对任何n N ∈有()f n ≤150， 故()f n 的最大值为150.例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.2.8 斜率法求分式函数的值域数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线AB L 的斜率为2121AB y y k x x -=-，我们可以考虑把分式函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.例1 求函数232()()2(32)3t f t t t =>-的最小值. 解：函数()f t 可变形为()f t 23064t t -=-2()3t >，设2(6,3)A t t ，(4,0)B 则()f t 看作是直线AB 的斜率， 令6x t =，23y t =则212(4)x y x =>.在直角坐标系中A 点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点(4,0)B 直线方程为：(4)y k x =-将它代入212x y =， 有212480x kx k -+=，则0∆=推算出43k =此时8x =， 即8t =时，min 4()3f t =. 例2 求211x x y x +-=+1(2-≤x ≤1)的值域.解：2()1(1)x x y x +-=--，令(1,1)A -，2(,)B x x x +，则AB y k =，点B 的轨迹方程为2y x x =+1(2-≤x ≤1)， 111(,)24B --，2(1,2)B ，152AB k =-，212AB k =，所以51,22AB y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.斜率法同样可以运用在形如ax by cx d+=+的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率的范围给出了这样的结论：对于函数ax by cx d+=+22(0,0,0)c a b bc ad ≠+≠-≠，x ∈[],m n ，若记{}1min (),()m f m f n =，{}2max (),()m f m f n =，则当dx c=-(),m n ∈时值域为(]1,m -∞∪[)2,m ∞.当dx c=-∉(),m n 时，值域为[]12,m m .3 结论整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.参考文献：[1]贾士代.用方程法求函数值域[J] . 数学教学，2006（2）：21[2]王习建. 21112222a x b x c y a x b x c ++=++型函数值域的求法[J] .数理化解题研究 ，2003（6）：25[3]张莲生.sin sin a x by c x d+=+ 的值域的求法[J] .数理天地（高中版），2001（10）：19-20[4]王建海. 活用均值不等是巧解数学题[J] .数学教学通讯，2003（12）：17 [5]钟国雄 .一个函数最小值问题的多种解法[J] . 中学生数学，2002（5）：23 [6]江思容、望孝明 .求最值问题的若干途径[J] . 中学数学研究，2003（8）：35 [7]傅洪海、陈宏. 关于反函数求值域的思考[J] . 数学教学， 1999（2）：29-30 [8]陈士明.从求()bf x x x a=++的单调区间谈起[J] . 数学教学，1999（2）：27-28。
求分式函数值域的几种方法分式函数值域的求解是函数理论中的一个重要问题。
以下列举了几种常用的方法：1.观察法通过观察函数的分子和分母，以及它们的增减性，来确定整个函数的增减性。
例如，如果一个分式函数可以化简为一个常数加上一个分子，而这个分子的根的判别式小于0，那么这个函数就是一个单调递减的分式函数。
2.极限法如果一个函数在某一点处的极限为无穷大，那么这个函数的值域就是无穷大。
因此，可以通过求解函数在某一点处的极限来确定函数的值域。
3.反解法如果一个分式函数可以表示为一个简单函数的倒数，那么可以通过反解这个简单函数来求得这个分式函数的值域。
例如，如果一个分式函数可以表示为y=1/x，那么可以通过反解x=1/y来求得这个分式函数的值域。
4.判别式法对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函数，可以利用判别式法进行求解。
通过求解一元二次方程的判别式来确定函数的值域。
5.换元法有时候，我们可以通过引入一个新的变量来简化函数的求解过程。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数，那么我们可以引入一个新的变量来求解这个二次函数的值域。
6.反函数法对于形如y=f(x)的函数，如果存在一个反函数x=g(y)，那么我们可以利用反函数法来求解函数的值域。
通过求解反函数的定义域来确定原函数的值域。
7.比例法对于形如y=kx/(b+kx)的函数，我们可以利用比例法进行求解。
通过将原函数转化为一个比例函数来进行求解。
8.对数法对于形如y=logax/(logbx)的函数，我们可以利用对数法进行求解。
通过将原函数转化为一个对数函数来进行求解。
9.均值不等式法对于形如y=a/(b+cx)的函数，我们可以利用均值不等式法进行求解。
通过求解均值不等式来确定函数的值域。
10.构造函数法有时候，我们可以通过构造函数来求解函数的值域。
例如，如果一个函数可以化简为一个常数加上一个二次函数与一个指数函数的乘积，那么我们可以构造一个新的函数来求解这个函数的值域。
求分式函数值域的几种方法摘要：本文介绍了高中数学教学中求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等。
这些方法在解决函数值域和最值问题中发挥了重要作用。
1 引言求分式函数值域是解决函数最值问题的一个重要工具，也是高中数学教学中的一个难点和重点。
本文总结了求分式函数值域的常见方法，包括配方法、反函数法、判别式法、单调性法、换元法、不等式法、方程法和斜率法等，以便更好地解决各种类型的分式函数值域问题。
2 求分式函数值域的常见方法2.1 配方法通过配方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式，例如y=a/(2a+x)+b，可以将其配方为y=b+(a/(2a+x))，然后利用直接法求得函数的值域。
在使用配方法时，需要注意自变量的取值范围。
2.2 判别式法利用二次函数的判别式，即Δ=b^2-4ac，来求分式函数的值域。
例如y=x^2-3x+4/(2x+3x+4)，可以将其变形为(y-1)x^2+(3y+3)x+(4y-4)=0，然后根据Δ的取值范围，求出y的取值范围。
2.3 反函数法通过求分式函数的反函数，可以得到其值域。
例如y=1/(x-1)，可以求出其反函数为x=1/y+1，然后确定x的取值范围，即可求出y的取值范围。
2.4 单调性法通过分析分式函数的单调性，可以确定其值域。
例如y=1/(x^2-x)，可以求出其导函数为y'=-1/(x-1)^2+x/(x^2-x)^2，然后分析其单调性，可以确定其值域。
2.5 换元法通过根式代换、三角代换等方法，将分式函数变形为可以直接求值域的形式。
例如y=1/(x^2-1)，可以将其根式代换为y=1/(u^2-1)，然后利用直接法求得函数的值域。
2.6 不等式法通过分析分式函数的不等式，可以确定其值域。
例如y=(2x-3)/(x^2+x-12)，可以将其变形为y=2/(x-4)-1/(x+3)，然后通过不等式求解，可以确定其值域。
分式函数三种值域求法【最新版】目录1.引言2.分式函数的定义和基本性质3.三种值域求法a.直接解法b.反函数法c.数形结合法4.结论5.示例正文一、引言分式函数是初等函数中的一种重要类型，它在实际问题中有广泛的应用。
求解分式函数的值域是研究分式函数特性的关键，本文将介绍三种求值域的方法。
二、分式函数的定义和基本性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。
分式函数的基本性质包括：定义域、值域、奇偶性、周期性等。
三、三种值域求法1.直接解法对于简单的分式函数，可以直接通过解方程或不等式求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x)=(x+1)/(x-1)，我们可以通过解不等式|x+1|≠0 得到 x≠-1，从而得到函数的定义域，进而求得值域为 R-{1}。
2.反函数法对于复杂的分式函数，可以通过求反函数的方法求得值域。
首先求出原函数的反函数，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域。
例如，对于函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们可以求得它的反函数为f^-1(x)=sqrt(x^2+1)-1/x，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。
3.数形结合法对于含有参数的分式函数，可以通过数形结合的方法求得值域。
例如，对于函数 f(x)=(x+a)/(x^2+a^2)，我们可以通过观察函数的图像，发现函数的值域为 (-∞,-|a|]∪[|a|，+∞)。
四、结论分式函数的值域求法是研究分式函数特性的重要手段，三种方法各有特点，需要根据具体问题灵活运用。
二次分式函数值域的求法把函数()()()()(,f x y f x g x g x =为次数不超过2次的整式函数,且其中至少有一个为二次函数)称为二次分式函数. 二次分式函数的值域求法是高中数学的一类重要问题,涉及换元、化归转化、函数与方程等数学思想方法,对培养学生思维的灵活性、创造性大有裨益.例1.求函数21(1,1).21y x x =-++在上的值域 分析:分子为常数,分母为x 的二次三项式,只需先求二次()2211,1u x x =++-函数在上的值域.()()min max 1171,1,;1444877171[,4).,].88484x u u u u u y ⎛⎫=-∈-=-=<= ⎪⎝⎭∴∈∴<≤对称轴为直线故即所求值域为（ 例2.求函数34222+--+=x x x x y 的值域. 分析:该分式函数可约分,约分后转化为一次分式函数的值域问题.解:()135********≠-+=-+=+--+=x x x x x x x x y 23,1-≠∈∴y R y 且 故所求值域为()33,,11,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 评注:能约分的应先约分,但需保证约分前后函数的定义域不变.例3.()()()()[]21:1.,11,;2.0,11x x y x ++=-∞--+∞+求函数在如下区间上的值域解:()()()22111,110,1x x y x R x x x y x y x ++=∈≠-+-+-=+把（且）看作的方程可化为则该方程有实根. 0≥∆∴又()()y y ---=∆141231-≤≥∴y y 或故所求值域为(,3][1,)-∞-+∞.评注: 这种利用判别式来求函数的值域的方法叫做判别式法.(2).分析:与(1)比较,自变量x 受到限制.由于判别式法只能保证方程()()0112=-+-+y x y x 有实根,但不能保证在区间[]1,0上有实根,故只使用判别式无法解出本题.解法一: 可从实根分布的角度来研究.问题等价于()()0112=-+-+y x y x 在区间[0,1]上有解.()()()[]()()()[]()[]()()21100,101010010320101.20,10,10010f x x y x y y f f f f y f f ⇔=+-+-=∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎧⎧==⎪⎪⎪⇔⋅<⇔≤≤⎨⎨⎨∉∉⎪⎪⎪⎩⎩≥⎪≥⎪⎩方程在上有且只有一根或有两个实根或或或另一根另一根 或()()0112=-+-+y x y x 在区间[0,1]上有解()()()()01012010.0010y f f f f ∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎪⇔⋅≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩或解得:312y ≤≤. 故所求值域为31,.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解法二: 由于分子的次数高于分母的次数,故可采用部分分式法对其化简.[][]()()[]1111,0,11111,1,2,111(1,),11,231,.2y x x x x x t x t y t t g t t y t t t=+=++-∈++=+∈=+-=++∞=+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦令则可证函数在上单调递增证明略则函数在上递增可得所求值域为 显然,解法二优于解法一.评注:1,满足以下两个条件的二次分式函数才考虑使用判别式法:（1）最简的二次分式,即分子、分母无公因式可约;（2）对自变量x 无附加的限制条件（除了使此解析式有意义的条件外,再无其它条件）;2,对(2),应用部分分式法将问题化为“求函数tt y 1+=在区间[1,2]上的值域”后,需慎用基本不等式,原因在于: [1],必须考察是否具备基本不等式的使用前提:一正二定三相等;[2],即使具备,还需评注意:应用基本不等式只能求得一端的最值,另一端还需考察.3,需熟练掌握函数()()0>+=a x a x x f 与()()0<+=a xa x x f 的单调性并能应用其求函数的值域与最值: ()上单调递减在区间上单调递增在区间函数时当],0(),0,[,),[],,(,0a a a a xa x x f a -+∞-∞+=>; ()()()上都是增函数在区间函数时0,,,0,0∞-+∞+=<xa x x f a .证明略. 4,本题所用方法可推广至求“()02≠+++ad edx c bx ax ”型二次分式函数的值域,尤其是部分分式法.例4.()()[]21:1.;2.2,11x y R x x +=-++求函数在如下区间上的值域 解:(1),直接使用判别式法.()()()22:110,:101,0;200,3210.yx y x y R y x y y yy +-+-===-≠∆≥--≤原式化为在上有解讨论当时故可以取当时解得 解之得:0,131≠≤≤-y y 又 ]1,0()0,31[ -∈∴y 由()()12可知,所求值域为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. (2)分析:该问题为“求有限制条件的二次分式函数的值域”,需慎用判别式法.解法一:将问题转化为“若方程()[]上有解在区间1,20112-=-+-+y x y yx ,求的范围y ”解法与例3（1）的解法一类似,过程略.解法二:将问题转化为求“()02≠+++ad edx c bx ax ”型二次分式函数的值域. ()()21,1,0;112,1,[2,1)(1,1],11111111,[1,0)(0,2],1111[1,0)(0,2](,2][2,)1111(,3][1,)[,0)(0,1]131x y x x y x x x x x t x t y t tt t y t t t t y t t t =-=≠-∈---==++++-++=+∈-=+-⎛⎫∈-∴+∈-∞-+∞=+ ⎪⎝⎭∴+-∈-∞-+∞∴=∈-+-当时当即时令则根据函数的单调性 由()()12可知, 所求值域为1,1.3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦评注:常将求不可约的()02≠+++ac edx cx b ax 型二次分式函数的值域问题转化为求“bax e dx cx +++21”型分式函数的值域,其中,bax e dx cx +++2型二次分式函数的值域求法已介绍过,见例3.例5.求函数12122-+++=x x x x y 在如下区间上的值域:()()[]1.;2.1,3R - 分析:(1)无附加的限制条件,故可用判别式法;(2)应用部分分式法化原函数为12212-+--=x x x y ,则问题转化为:求函数12212-+--=x x x y 在[]3,1-上的值域,只需先求[]上的值域在函数3,11222--+-=x x x y ,思路同例4. 解答过程略.评注:本题所用的化归思路适用于“求()021********≠++++=a a c x b x a c x b x a y 型函数在给定（即限定）区间上的值域”.。
分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。
今天我们主要讨论分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的值域求法。
一、若21a a ，同时为零，则函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=就变为形如2211c x b c x b y ++=（22b b ，不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。
例１ 求函数312+-=x x y 的值域 解法１：（分离常数法） 利用恒等变形可化为：37237)3(2+-=+-+=x x x y 所以，该函数的值域为)2()2(∞+-∞∈，， y ：解法２：（求反函数法）函数 312+-=x x y 的反函数为132x y x -=- 所以 原函数值域为{}2≠∈y y y （即反函数定义域为原函数值域）。
二、若21a a ，不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。
如果不约分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。
例２ 求函数2312+--=x x x y 的值域 解：可先将函数变为)2)(1(1)(---==x x x x f y 。
约分后函数变为21)(-=x x g 。
所以 0)(≠x g 约分后函数)(x g 的定义域扩大了（严格来说()g x 与原函数)(x f 不是同一个函数，但在不引起混淆的情况下也可直接约分），)(x g 在１处所对应的函数值1-，也是)(x f 不能取到的值，所以函数2312+--=x x x y 的值域是）（０，０）１（１），（∞+∞- ,--。
例３求函数2652-+-=x x x y 的值域解：函数可变形为32)3)(2(-=---=x x x x y ，所以该函数的值域是{}1-≠∈y y y 。
