第四章 部分相干理论

迈克尔逊干涉仪原理图
考察迈克尔逊干涉仪中
光波的干涉来时间相干性。

用u (t )表示P 点发出的解析信号P
3
进入探测器D的两路信号分别写作：其中，探测器上的合成解析信号为：C 补偿板
12()()K u t K u t τ+2/h c
τ
=12()()()
D u t K u t K u t τ=++
Q O
Q O
单色光入射到无限大表面上后，光场中一点Q 的复振幅如何表示？(惠更斯菲涅耳原理)如果是非单色光入射？
1exp[2/]
()()()d j r u Q u P K S j r πλθλ∑
=
∫∫假设表面上的光场为u (P ,t )其解析信号为u (P ,t ),假设该面上的光场在Q 点产生的光场为u(Q,t),对应的解析信号为u (Q ,t )可得，该解析信号可表示为
d
(,/)
d (,)()d 2u P t r c t u Q t K S
rc θπΣ
−=∫∫2
Σ*
2)(,)
u Q t
4.7 范西特-策尼克定理
α
β
x
y
Σ2
Σ1
2
Σ
μ
12
v
源的宽度为多少？
x。

Chapter 4部分相干光理论31, May, 2014光源：凡能发光的物体称为光源。

光源的最基本发光单元是分子、原子。

光源的发光机理原子能级及发光跃迁原子从高能量的激发态，返回到较低能量状态时，就把多余的能量以光波的形式辐射出来。

能级跃迁辐射波列波列长称为相干时间1.相干性的基本概念(1)普通光源:自发辐射不同原子发的光波列同一原子先后发的光波列τc L =L独立独立波的独立传播和线性叠加原理),(),(),(21t p E t p E t p E+=221111221E E I I I I I I=⋅++=++=•光波的频率相同•振动方向相同(存在相互平行的振动分量产生干涉的必要条件和补充条件IminImax设代表一实扰动2 实多色场的复数表示——解析信号),(),(),()()(t r iu t r ut r u i r +=)(),()(∞<<-∞t t r ur 则是的解析信号),(t r u ),()(t r u r υπυυd t i r Ut r u r r )2exp(),(),()()(⎰∞∞-=υπυυd t i Ut ur r )2exp()()()()(⎰∞∞-=υπυυυπυυd t i Ud t i Ut ur r r )2exp()()2exp()()(0)(0)()(⎰⎰∞∞-+=对于实函数有)()(t u r )()()()(t ut u r r *=dtt i t uUr r )2exp()()()()(πυυ-=⎰∞∞-又因为)()()()(υυ-=*r r UU 所以（厄米性）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞υπυυd t i U t u r r )2exp()(Re 2)(0)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞-υπυυd t i U t u r r )2exp()(Re 2)(0)()(或者又[])(Re )()(t u t u r =υπυυd t i U t u r )2exp()(2)(0)(⎰∞=若设)()()()(υυ-=*r r U U[])(exp )()()(υφυυi A U r =由可知)()(υυ-=A A )()(υφυφ--=3 互相干函数用解析信号和分别表示的光场),(11t P u ),(22t P u 到达P 点后的叠加光场用解析信号u12复相干度的辐角光程差引起的相位因子τγ)(()(21221+I P I ，完全相干叠加)(2)1+I P I 此即杨氏双缝干涉场的表达式，完全非相干叠加4 互相干函数的谱表示首先引入截断函数u ),(11t p u T ()(1p u r T 是U t P u T ),(011⎰∞=2),(111υU P U T =⎩⎨⎧=u t p u r r T (),(1114 相干度的测量由可得可见度)()(1+=P I P I V 则若)(1P I =时间相干度的测量4.1 利用迈克尔逊干涉仪（有限谱宽点光源）)()()(21t u t u P u ++=τ[])(Re 2)(2)(111τΓ+=P I P I )2(ch =τ)0()()(1111ΓΓ=ττγ复时间相干度c利用杨氏双缝干涉仪（有限谱宽扩展光源）)()()(2211P u P u P u +=)()()0()0(211212P I P I Γ==τγ空间相干度的测量4.2 零光程差时5 准单色光场的干涉准单色条件是指：①光的谱线很窄，有效宽度远远小于平均频率②在光路中，从光源到干涉区域所涉及到的最大光程差远小于光的相干长度或cττ<<τi i ⎰∞≈=Γ=Γ01212exp(exp(~)(τ+tτ+t τ+t t tt6 准单色光的传播和衍射对于中心频率为的准单色光场0υ波动方程：),(2-∇t r u ),()(1112t P u +=Γττ1221Γ∇=左边(121u ∇=右边1111))(2(exp )2exp()(ds d c r t i ds d t i K υπυυπυθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---做傅里叶逆变换可得)(K r θ21),ds ds P υ点的光强为]21221121)()()ds ds r K r K r r λθλθ-),()(21Q Q J Q I =8. 范西特---泽尼克定理由互强度定义),(),(),(2121t P u t P u P P J *=122111),,(),,()(ds P Q h P Q h P I ⎰⎰*υυ()()()1212111122--=y y x x y x I y x y x J ,,,;,δ1012011),,(),,ds P Q h P Q *υυ2=ξ∆的均匀强度的准单色圆形光源，其辐射光强分布为傍轴近似条件，有相对于光源中心的张角(x 为远场条件下部分相干光的普遍的衍射公式。

第4章 部分相干理论在前几章讨论光的干涉、衍射以及传播特性时，常假设光源为一几何点，且具有严格的单色性。

这样的光波扰动具有完全的相干性，干涉图的对比度可以达到1。

除此以外则假设光源为完全不相干的，用完全不相干的光源照明得不到干涉条纹，干涉图的对比度为零。

实际光源有一定的大小，发出的光波扰动也不可能是严格单色的。

同时实际光源发出的光波扰动经过一定距离的传播也不可能是完全不相干的。

用实际光源照明做杨氏干涉实验产生的干涉条纹对比度小于1大于0，一般是可以观察到的。

即使用通常认为完全不相干的太阳光来照明，只要两个小孔靠得很近，也能看到杨氏干涉条纹。

这种介乎完全相干和完全不相干之间的情况，就是部分相干理论研究的内容。

4.1 实多色场的复值表示第1`章中已经说明了线性系统的本征函数是形为)exp(t j -πν2的复指数函数。

输入到线性系统的复指数函数产生的输出也是复指数函数，系统的作用仅体现为对幅值和相位的影响。

因此用复指数函数表达一个实值信号来进行线性系统分析常常是方便的。

复数表示的方法是构造一个复指数函数使得其实部为原来的实值信号，这样一来若仅对复值信号做线性运算，在运算的任何一步，只要取复数信号的实部，就可以确定相应的实值信号。

前几章中已经用复指数函数表达单色光场，现在推广到非单色光场。

在非单色光场情况下，对应于原来的实值信号所构造的复指数函数通常称作解析信号。

设实值的非单色光场用()t u r 表示，其傅里叶谱为()υr u~，定义()t u 为()t u r 的解析信号表示()()()υπυt υd j -exp ut u r 22≡⎰∞~ []()()υ t πυυυd j -exp usgn r2+1=⎰∞∞-~ （4.1） 上式定义说明()t u r的解析信号不含有()t u r的负频分量,其正频分量则是()t u r的两倍，即便()υru~在零点之值为δ函数，复数信号()t u 的实部也可保证与原来的实值信号()t u r相同。

信息光学习题答案第一章 线性系统分析1.1 简要说明以下系统是否有线性和平移不变性. （1）()();x f dxdx g =（2）()();⎰=dx x f x g （3）()();x f x g = （4）()()()[];2⎰∞∞--=αααd x h f x g（5）()()απξααd j f ⎰∞∞--2exp解：（1）线性、平移不变； （2）线性、平移不变； （3）非线性、平移不变； （4）线性、平移不变； （5）线性、非平移不变。

1.2 证明)()ex p()(2x comb x j x comb x comb +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π证明：左边＝∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n x n x n x x comb )2(2)2(2122δδδ∑∑∑∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=∞-∞=--+-=-+-=-+-=+=n nn n n n n n x n x n x jn n x n x x j n x x j x comb x comb )()1()()()exp()()()exp()()exp()()(δδδπδδπδπ右边当n 为奇数时，右边＝0，当n 为偶数时，右边＝∑∞-∞=-n n x )2(2δ所以当n 为偶数时，左右两边相等。

1.3 证明)()(sin x comb x =ππδ 证明：根据复合函数形式的δ函数公式0)(,)()()]([1≠''-=∑=i ni i i x h x h x x x h δδ式中i x 是h(x)=0的根，)(i x h '表示)(x h 在i x x =处的导数。

于是)()()(sin x comb n x x n =-=∑∞-∞=πδπππδ1.4 计算图题1.1所示的两函数的一维卷积。

解：设卷积为g(x)。

当-1≤x ≤0时，如图题1.1(a)所示， ⎰+-+=-+-=xx x d x x g 103612131)1)(1()(ααα图题1.1当0 < x ≤1时，如图题1.1(b)所示， ⎰+-=-+-=13612131)1)(1()(xx x d x x g ααα 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤--+=其它,010,61213101,612131)(33x x x x x x x g 1.5 计算下列一维卷积。

第五章 部分相干光理论5.1 证明解析信号的实部u 和虚部u 之间互为希尔伯特变换，即它们之间有下面的关系()t u t r ()()t i ()()⎰∞∞--=ξξξπd )(P.V.1)()()(t u t u r i ， ⎰∞∞---=ξξξπd )(.P.V 1)()()(tu t u i r证明：（1）由(5-10)式，解析函数的实部()()0()2Re ()exp(2)d r r u t j t νπνν∞⎡=-⎢⎣⎦⎰U ⎤⎥t （5.1-11）而，比较以上两式，可见有关系式)](Re[)()(t t u r u = （5.1-13）⎰∞-=0)(d )2exp()(2)(νπννt j t r U u 上式可表示为 （5.1-18）⎰∞∞--+=νπνννd )2exp()()sgn 1()()(t j t r U u 又因为 ()()exp(2)d t j νπνν∞-∞=-⎰u U所以有 ()()(1sgn )()r νν=+U νU )r （5.1-19）对上式两边取傅里叶逆变换11()1()()11((){()}{()}{(sgn )()}(){sgn )}{()}r r r t u t ννννν-----==+=+*u U U U U F F F F F ν上式中 1{sgn }jtνπ-=-F 再利用卷积定义⎰⎰∞∞---=*=*ηξηξηξd d ),(),(y x f g f g g f 令 t j f π-= ， )()(t j t f -=-ξπξ ， ， )()(t u g r =)()()(ξξr u g =所以 ⎰∞∞--+=ξξξπd )(..)()()()(t u V P jt ut r r u （5.1-22）可见 ⎰∞∞--=ξξξπd )(..1)()()(t u V P t ur i（2）参考教材中（5.1-10）式的推导过程，对于解析函数的虚部有下式成立（P5.1-1）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰∞)()(d )2exp()(Re 2)(νπννt j t ui i U)](Re[)()(t j t u i u -= （P5.1-2）比较（P5.1-1）和（P5.1-2）式，得到⎰∞-=-0)(d )2exp()(2)(νπννt j t j i U u所以⎰∞-=0)(d )2exp()(2)(νπννt j j t i U u )()sgn 1()()(νννi j U U +=对上式两边取傅里叶逆变换得)}(){sgn )}({)}({)()(1)(11ννννi i j j t U U U u ---+==F F F)()}({}{sgn )()(11t ju j i i +*=--ννU F F )(d )(..1)()(t ju tu V P i i +--=⎰∞∞-ξξξπ所以 ⎰∞∞---=ξξξπd )(..1)()()(t u V P t ui r5.2 考察用宽带光作杨氏干涉实验(1) 证明观察屏上的入射光场可表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c r t P t c r t P t t Q 222111,d d ,d d ),(u K u K u 其中 iii i i i i i cr A s cr πθπθ2)(d 2)(k k K ≅=⎰⎰个针孔第 2,1=i 而为第个针孔的面积。

湖北省高等教育自学考试大纲课程名称：信息光学课程代码：7076第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的重要组成部分，也是现代光学的核心。

本课程主要从两个方面介绍信息光学的基本内容：一是信息光学的基础理论，包括线性系统理论、标量衍射理论、传递函数理论等；二是信息光学的主要应用，包括光学全息、计算全息、空间滤波、光学相干和非相干处理等。

二、课程目标与基本要求通过本课程的教学，使学生了解和掌握光信息科学的基本理论及基本技术，了解光信息科学的实际应用，培养学生理论联系实际，开拓学生理论用于实践的方法和创新思路，提高学生解决实际问题的能力。

三、与本专业其他课程的关系《信息光学》是光机电一体化工程专业的一门专业课，其先修课程主要包括普通物理、高等数学、傅立叶变换、光学等课程。

第二部分考核内容与考核目标第一章线性系统分析一、学习目的与要求本章基本内容为：常用数学函数，卷积与相关，傅立叶变换性质及定理，线性系统分析，二维光波场分析。

本章是本课程的基础，要求学生在解决光学问题中能熟练运用其性质和定理，线性系统与光学系统的关联，加深对空间频率、空间频谱概念的理解。

二、考核知识点与考核目标（一）（重点）识记：常用数学函数；卷积；互相关、自相关；傅立叶变换；线性系统；线性平移不变系统理解：傅立叶变换性质；线性系统分析；空间频率、空间频谱；应用：单色平面波空间频率的计算（二）（次重点）识记：卷积、相关的性质；理解：傅立叶变换基本定理第二章标量衍射理论一、学习目的与要求本章基本内容为：基尔霍夫积分定理；基尔霍夫衍射公式；菲涅耳衍射和夫朗和费衍射；透镜的傅立叶变换特性。

本章是教学的重点，是信息光学的基础，要求学生掌握标量波衍射理论，侧重利用菲涅耳衍射与卷积、夫朗和费衍射与傅立叶变换关系解决问题；掌握光波通过透镜的相位分布，透镜的傅立叶变换特性及孔径对透镜实现傅立叶变换的影响。

《信息光学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程简介信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的一个重要组成部分，也是现代光学的核心。

本课程主要介绍信息光学的基础理论及相关的应用，内容涉及二维傅里叶分析、标量衍射理论、光学成像系统的频率特性、部分相干理论、光学全息照相、空间滤波、相干光学处理、非相干光学处理、信息光学在计量学和光通信中的应用等。

三、课程目标本课程是光电信息科学与工程专业的主要专业课程之一，设置本课程的目的是让学生掌握信息光学的基本概念、基础理论及光信息处理的基本方法，了解光信息处理的发展近况和运用前景。

为今后从事光信息方面的生产，科研和教学工作打下基础。

四、教学内容及要求第一章信息光学概述（2学时）1.信息光学的基本内容和发展方向2.光波的数学描述和基本概念3.相干光和非相干光4.从信息论看光波的衍射要求：1.了解信息光学的内容和发展方向2.掌握相干光和非相干光的特点3.掌握从信息论的观点看光波的衍射。

重点：空间频率，等相位面。

从信息光学看衍射的基本观点。

难点：空间频率，光波的数学描述。

第二章二维傅里叶分析（8+2学时）1．光学常用的几种非初等函数2．卷积与相关3．傅里叶变换的基本概念4．线性系统分析5．二维采样定理要求：1．了解光学中常用非初等函数的定义、性质，熟悉它们的图像及在光学中的作用2．了解卷积与相关的定义及基本性质3．熟悉傅里叶变换的基本原理，性质和几何意义4．熟悉系统的基本概念及线性系统分析的基本理论5．了解二维采样定理及其应用6．本章强调概念的物理意义理解，以定性和应用为主。

避免与《信号与系统》课程重复。

重点：δ函数的意义和运算特性，傅里叶变换性质、定理，相关和卷积的意义及运算，线性空间不变系统的特性。

难点：卷积，傅里叶变换、系统分析。

第三章标量衍射理论（6+2学时）1．基尔霍夫衍射理论2．菲涅耳衍射和夫琅和费衍射3．夫琅和费衍射计算实例4．菲涅尔衍射计算实例5．衍射的巴俾涅原理要求：1．了解基尔霍夫衍射理论2．熟悉菲涅耳- 基尔霍夫衍射公式及其物理意义3．熟悉菲涅耳衍射与夫琅和费衍射4．掌握常见夫琅和费衍射光场的分析与计算5．了解菲涅耳衍射光场的分析和计算6．了解巴俾涅原理及其应用重点：如何用二维傅里叶变换来分析和计算夫琅和费衍射。

第四章 部分相干理论 习题[4.1] 若光源所辐射的频率宽度为ν∆，波长宽度为λ∆，试证明：λλ∆=∆v v 设光波波长8632.8,210nm nm λλ-=∆=⨯，试计算它的频宽v ∆；若把光谱分布看成是图4.1.7的矩形线型，则相干长度c L 等于多少？ 解：m vcc L Hz c v c 3021020,105.1⨯=∆==⨯=∆=∆τλλ[4.2] 设迈克耳逊干涉仪所用的光源为nm nm 6.589,0.58921==λλ 的纳双线，每一谱线的宽度为0.01nm 。

试求：⑴ 光场复相干度的模；⑵ 当移动干涉仪的一臂时，可见到的条纹总数大约为多少？ ⑶ 条纹对比度有多少个变化周期？每个周期有多少条纹？ 解：假设谱线分布为矩形线型，光源的归一化功率谱为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v v v v v v v v F δδδ212rect rect 21 ⑴光场的复相干度可按式（ 4.3.8），（ 4.3.9）表示成：()()()[]τπτπτπτδτγv i v i v i e e v dv e v F ∆∞+==⎰220221sinc 211， 12v v v -=∆所以()()()ντπτδτγ∆=cos sinc v ①⑵ 可见到的条纹总数为.58930===δλλλcL N ⑶ 在复相干度的模的表示式①中，由于v vδ>>∆，故其第一个因子是τ的慢变化非周期函数，第二个因子则是τ的快变化周期函数，其变化周期为v ∆=/1τ，故条纹对比度的变化周期数为： 600=∆=∆==δλλδττv v n 每个周期内的条纹数为： 98260589300===n N n[4.3] 假设某气体激光器以N 个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为；()()()()∑---=∆+-=Γ2/12/10111~N N n v n v v N v δ 其中v ∆是纵模间隔，0v 为中心频率；为简洁起见，假定N 为奇数。