正交异性板裂纹端部应力及变形通解

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正交异性钢桥面板典型疲劳裂纹分类及其原因分析

用的汽车活载，别是超载车辆，因是构造细节本身（特内包括制造因素的影响）内外因的共同作用使得在关键构造，
细节处产生较大的循环应力集中，而萌生裂纹。从关键词：交异性铜桥面板；劳裂纹；类；因分析正疲分原
ｔｅｔｃｌｓｉｆｎｒｏｅａｅａｃ．Ｓｏｆｒ，ｔｏａｅａｈａｇｅｔｎｕｍｂｒｏｆｃａｋｓＴｈｅｓｓｈｅｖｒｉａｔｆｅｅｆｗｂｐｌｔｎｄｄｅｋａｈｅｆｕｒｐｌｃｓｈｖｅｔｅｌｒｓｅｒｃ．ｅｒａｏｎｏａｉｅｃａｋｉｌｅｘｅｎｌａｕｅｆｆｔｇｕｒｃｓｎｃｕｄｅｔｒａｃｓｓ，ｎｍｅｙｒｐｅｔｄｖｅｃｅｏｄｓ，ｅｐｃａｌｏｅｌａｖｈｉｌａｎｉｅｎｌａｌｅａｅｈｉｌｌａｓｅｉｌｙｖｒｏｄｅｃｅ，ｄｎｔｒａｃｕｅａｓｓ，ｔｔｉｓｒｃｕｒｌｅａｌｉｃｕｄｉｆｂｒｃｔｏｎｆｃｏｒＢｅａｅｏｆｔｏｍｂｉｄｃｉｎｏｆｔｗｏｋｉｓｆｈａｓｔｕｔａｄｔｉ，ｎｌｎｇａｉａｉａｔ．ｃｕｓｈｅｃｎｅａｔｏｈｅｔｎｄｏｒａｏｅｓｎｓ，ｃｃｅｓｒｓｏｅｒｔｏｃｕｒｙｌｔｅｓｃｎｃｎｔａｉｎｏｃｓ，ｔｅｅｎｉｉｔｓｆｔｇｕｒｃｈｒｂｙｉｔａｅａｉｅｃａｋ，ｉｏｅｃｉｉａｔｕｃｕａｌｄｅａｌ．ｎｓｍｒｔｃｌｓｒｔｒｔｉｓＫＥＹＯＲＤＳ：ｔｏｔｏｃｓｅ１ｄｅｋ；ｆｉｅｃａｋｓ；ｃａｓｆｃｔｏｎ；ｒａｏＷｏｒｈｒｐｉｔｅｃａｔｇｕｒｃｌｓｉｉａｉｅｓｎｓ

正交异性钢桥面板疲劳裂纹扩展机理及数值模拟研究

正交异性钢桥面板疲劳裂纹扩展机理及数值模拟研究朱劲松;郭耀华【摘要】In order to investigate the fatigue crack growth process of orthotropic steel bridge deck,and provide theoretical guidances for the anti-fatigue design and reinforcement,the real bridge’s finite element model based numerical simulation method and the process of fatigue crack growth of orthotropic steel bridge deck was proposed.The critical locations that are apt to suffer fatigue failure of the whole bridge were ascertained in accordance with the field survey results and the analysis of the whole structure under the dead load and the live load was carried out.Then,the refined finite element model with typical welded details of the critical locations was established to analyze the stress amplitude. According to the vehicle-bridge vibration based analysis,the influence of stress impact factor on stress amplitude was taken into account.The fatigue crack propagation direction,path,and the fatigue life were determined,and then the total process of fatigue crack propagation was analysed.Finally,the fatigue crack propagation analysis of an existing long-span cable stayed bridge with orthotropic steel bridge deck was taken as an example to indicate the feasibility and accuracy of the method and calculation process,and a theoretical basis was provided for the bridge fatigue failure repair and reinforcement in operation period.%为追踪正交异性钢桥面板的疲劳裂纹扩展过程及通用的正交异性板钢桥抗疲劳设计与开裂加固提供理论指导，提出基于实桥有限元模型进行正交异性钢桥面板疲劳裂纹扩展模拟方法及流程。

正交异性U肋与横隔板处裂纹形成机理与加固方法黄伟哲

正交异性 U 肋与横隔板处裂纹形成机理与加固方法黄伟哲发布时间：2021-11-08T12:08:13.054Z 来源：《基层建设》2021年第20期作者：黄伟哲[导读] 正交异性钢桥面板在承受车轮荷载的直接作用的同时还作为主梁一部分参与共同受力，在局部轮载直接作用下，桥面板发生鼓曲状变形，相较于其他构件，其各个部位应力影响线短，设计寿命期内疲劳循环次数较多，加之构造复杂，焊缝数量众多广州大学土木工程学院广东广州 510006摘要：正交异性钢桥面板在承受车轮荷载的直接作用的同时还作为主梁一部分参与共同受力，在局部轮载直接作用下，桥面板发生鼓曲状变形，相较于其他构件，其各个部位应力影响线短，设计寿命期内疲劳循环次数较多，加之构造复杂，焊缝数量众多，存在不可避免的焊接缺陷和制造误差、焊接后残余应力等，因此其疲劳产生开裂裂缝的问题尤为突出。

大量交通荷载反复作用下，桥面板的疲劳裂纹在应力集中问题突出的疲劳易损部位形成并扩展，使得面板疲劳破坏的发生。

本文根据现有调查研究，进行了裂缝形成原因相关分析，介绍了加固方法。

1 引言上世纪二战结束后，德国存在大量桥梁建设、修复的需求，由于缺乏钢材，正交异性钢桥由开口肋与较密集横梁桥板组合的形式被首次提出，逐渐在应用中发展起来。

20 世纪五十年代，随着结构分析方法的改进、焊接技术的提高以及钢材种类、强度应用越来越成熟，西方许多国家建造了很多该类正交异性钢桥，此时各种形式的闭口肋桥梁也渐渐诞生，具有较大抗扭刚度的钢箱梁也于此时，开始被用于抵抗公路桥桥面宽度过大所带来的的偏心荷载。

美国在 20 世纪 80 年代对于钢桥的断裂破坏损失进行了一次大规模调查，其报告显示，断裂破坏每年使美国遭受了 1190 亿美元的损失，占 1982 年美国国家生产总值 4%，工程师们渐渐意识到钢桥疲劳开裂问题的严重性。

疲劳是指在结构循环应力或循环应变作用下，结构局部产生的永久性损伤直至破坏现象。

浅谈正交异性板疲劳开裂及处治建议

关键词：正交异性板；钢箱梁；疲劳；裂缝；止裂孔
1、引言
随着国内大跨径桥梁建设，钢箱梁凭借其自重轻、刚度大的优点得以迅猛发展，而随着桥梁逐年运营，钢箱梁正交异性板疲劳开裂的病害在通车几年内就逐渐显现，其疲劳寿命远远低于设计使用年限，成为桥梁养护工作的重点及难点。对于如何正确处理疲劳裂缝，本文结合国内某大型悬索桥实际情况，深入分析该桥正交异性板疲劳开裂产生原因及病害发生机理，同时从养护角度提出如何采取行之有效的措施减缓病害的发展。
对于裂纹长度很长的状况，考虑到原构件刚度弱化较为明显，为避免诱发其他类型病害的发生，增加病害的处理的难度和复杂性，有必要采取一定的补强措施，可利用附加夹板进行加固，并采用高强螺栓进行栓接。
6、结论
从本文案例可看出，钢箱梁正交异性板疲劳开裂的提早出现主要是由于车流量巨大、超载现场严重所导致，在超高轴载和高频率作用下，正交异性板应力集中区域在高强度应力幅和多次循环的作用下，提早达到疲劳屈服极限而产生破坏。要解决此类病害的发生，需从以下几点着手：
2、工程概况
某桥为独塔自锚式悬索桥，主桥全长680.2m，总体布置为39.64m+5×40m+30m（混凝土加劲梁及锚跨）+350m（钢加劲梁）+30m+29.60m（混凝土锚跨），桥宽单幅主孔为26.1m（钢加劲梁），单幅副孔23.25m（混凝土加劲梁）。设计车辆荷载：汽车—超20级，挂车—120，一级公路，城市A级验算。
3、病害综述
养护巡查中发现，该桥运行8年后，U型肋与横隔板连接部位弧形切口处母材开裂，其中右幅箱梁共发现82处该类病害，左幅箱梁共发现39处该类病害，右幅病害明显多于左幅桥，并且病害呈较快的发展态势。病害U肋主要位于车道轮迹线下方，说明目前桥面系的该类病害与桥面荷载存在极强的相关性。病害主要分布在非吊点横隔板（10mm厚），非吊点处横隔板相应处病害占总体95%，吊点对应横隔板（12mm厚）相应处病害占总体的5%。横隔板裂纹大多起源于弧形切口起弯点处，裂纹长度最长为210mm，部分裂纹已裂至相邻U肋横隔板中心线。部分相邻U肋间横隔板弧形切口位置均存在开裂的现象，两条裂纹呈交叉走向。部分横隔板弧形切口裂纹上下钢板存在纵向错位现象。病害状况见照片所示。

正交异性复合材料Ⅱ型裂纹尖端应力场

Ｉ引
言
纤维增强复合材料是由纤维和基体通过一定的工艺混合而成的两相或多相材料．由于纤维的高强度和
高刚度以及基体的低密度，使纤维复合材料具有独特的高比强度和高比刚度，因此在航空航天、汽车、火车、
船舶等需要轻质高强度材料的领域得到大量的运用．纤维增强复合材料在加工和运输及使用过程当中不可避免地受到外来的损伤，如果因为一些小的损伤如裂纹就放弃使用，必将造成巨大的浪费，因此有必要了解裂纹这样的损伤究竟如何影响材料的性能．单向纤维复合材料是纤维复合材料层合板的基本单元，因此，研究单向纤维复合材料的动态断裂性能是全面深入了解纤维复合材料动态断裂力学性能的基础．
２力学模型
设—个无限大纤维复合材料板，如图１所示，
—
—
—
—
—
—
—
Ｉ．．
— —— — — ． — — ＿－
— — — —— — ＿－ — ．
—— — — － ■一 — — —ｊ
ｌ
两个坐平行弹性主向，个长为２标轴于方含一度ａ，
且位于ｘ轴上的中心穿透裂纹，受对称载荷，ｃ的
维普资讯
第３卷第２４期
西南民族大学学报・然科学版自
ＪｕａｆＳｕｈｓｉｅｓｔｏｔｎｌｉｓＮａｕａｃｅｃｉｏｏｒｌｏｔｗｅｔｎｏＵｎｖｒｉｆｒｙＮａｉａｉｅ・ｔｒｌｉｎｅＥｄｔｎｏｔＳｉ
Ａ２０Ｄ０８
文章编号：０３２４（０）－４－５１０－８３０８２０８２０３０
正交异性复合材料Ｉ型裂纹尖端应力场Ｉ

正交各向异性功能梯度材料板I型裂纹应力、应变分析

Ｅ
Ｉ
Ｅ
２ｅ
。１
。
。
对于二维线弹性体，答方程为：相
＋ａ＝ａｘＴ，ｙ
（）７
将（）入方程（），２带７中得到正交各向异性材料板的控制方程：
）
ｄｙ
２
）
㈤）
ｄｘｔ－Ｏ＇
√ ｃ
－
。
一
＝
＋
２，（ｏＢ２Ｚ）＋Ｂ６Ｚ）２６（ｏ）
当 △＜０时，方程（０的解为：Ｉ＝ａ＋Ｉ２＝一ａ１），
２ａ＝
＋
，
ＩＩ４，ｚ
２
（４１）
２２Ｚ）＋Ｂ６Ｚ）ＢＩ０（６ｏ２
（）９
这一双次程判式．（是个二方，别为＝其 △ 浆
的解为：。＝。２＝，，＝／，，＝一ｚ２
一
４
（１１）
（２１）
其中： ≤＾ｈ０≤ ，是材料板的厚度。对于选定的分析平面＝０把＝。Ｚ，：带入（１则当△ ＞０方程（０１）时，１）
式中：。：８，０为常数；。８，，，８，５８Ｅ为弹性主方向与轴方向平行时，梯度材料板参考平面（＝）Ｚ０时材料的弹性常数。对于正交各向异性材料板由（）３式和（）５式得到柔度矩阵［（）为：８ｚ］
Ｅｅ
Ｉ
ｌ
Ｅ２
。
［（）８ｚ］＝
摘要：对含Ｉ文章型裂纹的正交各向异性功能梯度材料板沿其板厚的弹性常数表达式呈指数函

正交异性钢桥面板疲劳易损区应力分析

正交异性钢桥面板疲劳易损区应力分析石鹏;程斌【摘要】盖板－U肋－横隔板三向连接节点是正交异性钢桥面板中最容易发生疲劳开裂的部位。

采用ABAQUS软件建立了四跨连续正交异性钢桥面板结构的实体与板壳混合有限元模型。

利用AASHTO标准疲劳车开展静力响应分析。

发现最外侧U肋处的连接节点应力集中最为明显。

在此基础上开展在单轮和横向双轮作用下各关键位置正应力的纵、横向影响线分析，并最终得到了后轴四轮同时作用的最不利荷载位置。

进一步基于外推法对各疲劳易损区焊趾处的热点应力进行计算和分析，得到了相应的应力集中系数。

结果表明：U肋外推区的应力分布比较符合线性外推准则，但横隔板外推区的应力呈现明显的非线性变化，建议采用二次外推方法。

%The deck to rib connections at diaphragm have been considered as the locations most prone to fatigue cracking in orthotropic steel bridge decks.A combined shell-solid element model of four-span orthotropic steel deck was firstly established by using ABAQUS software, and the standard fatigue loading vehicle as provided in AASHTO specification was employed for the analysis.The longitudinal and transversal influence lines for the stresses at criti-cal spots near the most outside rib, where stress concentrations appear to be the most significant, are obtained, re-spectively for the cases of single tire print and double tireprints.Furthermore, the hot spot stresses as well as stress concentration factors ( SCFs) at weld toes were calculated by using the extrapolation method.Results show that lin-ear distribution of stresses are real in the extrapolation zones of ribs, while quadratic extrapolation method issugges-ted for the diaphragm due to signification non-linear stress variations in the extrapolation zones.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2016(000)005【总页数】7页(P104-109,115)【关键词】正交异性钢桥面板;疲劳易损区;影响线;热点应力;有限元分析【作者】石鹏;程斌【作者单位】上海交通大学土木工程系，上海200240;上海交通大学土木工程系，上海200240【正文语种】中文【中图分类】U441.4正交异性钢桥面板由相互垂直的纵肋、横隔板和桥面板焊接而成，具有自重轻、承载力大、抗震性能好、施工周期短等优点[1，2]，广泛应用于大跨度桥梁结构中。

正交各向异性钢筋混凝土板的应力及应变分析

正交各向异性钢筋混凝土板的应力及应变分析
钟浩;印长俊;方宏华
【期刊名称】《湖南文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(029)003
【摘要】为了研究正交各向异性材料的应力、应变及弹性模量等力学参数,本文从材料的物理力学特性出发,推导了正交各向异性材料的弹性本构方程.用有限元分析软件模拟得到了正交各向异性钢筋混凝土板在自重与受荷作用下的应力、应变及板中挠度值.对比分析了视钢筋混凝土板为各向同性时的应力及应变情况.发现2种情况下的应力、应变及板中挠度值与实验数据均较接近,因此,本文的有限元分析方法是可行性的.由于2种情况下模拟结果相近,因此可视正交各向异性材料为各向同性进行分析,以简化分析过程.
【总页数】5页(P54-58)
【作者】钟浩;印长俊;方宏华
【作者单位】湘潭大学土木工程与力学学院,湖南湘潭, 411105;湘潭大学土木工程与力学学院,湖南湘潭, 411105;湘潭大学土木工程与力学学院,湖南湘潭, 411105【正文语种】中文
【中图分类】TU375.2
【相关文献】
1.正交各向异性钢筋混凝土板结构弹性常数的确定 [J], 程选生;杜永峰
2.正交各向异性功能梯度材料板Ⅰ型裂纹应力、应变分析 [J], 姚河省;黄志权;李建
宝;杨自学
3.基于基本解方法的正交各向异性钢筋混凝土板弯曲问题计算与分析 [J], 陈润波; 王勇; 蒋泉
4.基于基本解方法的正交各向异性钢筋混凝土板弯曲问题计算与分析 [J], 陈润波; 王勇; 蒋泉
5.正交各向异性岩体钻孔周围应力分布的应力变分法分析 [J], 韩昌瑞;白世伟;张波因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

带裂纹的正交各向异性的解法

带裂纹的正交各向异性的解法
金培鹏;景英高
【期刊名称】《青海师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1991(000)003
【摘要】本文从板的经典理论出发,导出了两对边简文,另两对边自由的正交各向异性短形板在自由边界上受单位集中弯矩作用时的Gteen函数,并以此作为基本解,应用边界积分法求得了两对边简支、另两对边自由,在垂直于简支边的对称线上有穿透性裂纹的吏交各向异性板在该对称线上的弯矩。

【总页数】9页(P30-38)
【作者】金培鹏;景英高
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O343.8
【相关文献】
1.求解正交各向异性含内部裂纹板应力强度因子的复变函数——分区广义变分解法[J], 崔德渝;张行
2.带直裂纹的正交各向异性平面弹性长条的周期基本问题 [J], 吴耀军
3.正交各向异性板平面剪切型裂纹应力强度因子的复变-变分解法 [J], 崔德渝;张行
4.带裂纹圆柱体扭转的强奇性积分方程解法 [J], 李玉兰;马稚青;汤任基
5.含裂纹正交各向异性体的数值分析方法概述 [J], 余海玲;王娟;彭佳琪;王根石
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正交异性钢桥面板疲劳性能与疲劳裂缝修复方法研究

正交异性钢桥面板疲劳性能与疲劳裂缝修复方法研究正交异性钢桥面板具有承载力高、自重轻、便于施工等优点,解决了桥梁结构自重、承重和跨径之间的矛盾,被广泛应用于大跨度桥梁中。

随着我国经济的发展,公路交通量的增加,桥梁承受的车辆作用次数越来越多,荷载也越来越大,正交异性钢桥面板桥梁出现疲劳开裂的现象频繁出现,不仅降低了桥面板的承载力,也缩短了桥梁的使用寿命,成为大跨度桥梁典型的问题。

U肋-顶板焊缝裂缝是正交异性钢桥面板常见的一种疲劳裂缝,目前对于这种疲劳裂缝的研究,多集中于单个小尺寸试件,但实际上桥面板疲劳开裂后应力发生重分布,开裂后小尺寸试件的疲劳性不能反映实际结构中桥面板U肋-顶板焊接处的疲劳性能。

另外,实际使用中出现疲劳裂缝的桥面板需要进行修复,目前的疲劳裂缝修复方法比较单一,缺乏多种方法组合进行修复的研究。

因此,深入开展正交异性钢桥面板疲劳性能及疲劳裂缝修复方法的研究具有重要意义。

本文结合国家基础性项目(973项目)“特大跨桥梁安全性设计与评定的基础理论研究”的子课题“多因素作用下特大跨桥梁性能演化特征”(2015CB057703),开展了多尺寸(长度)正交异性钢桥面板疲劳性能与疲劳裂缝修复方法的研究。

本文主要研究内容和结论如下:(1)参照某桥桥面板尺寸制作了5组32个不同长度的疲劳试验试件,对试件进行有限元分析明确了荷载下试件的应力分布,确定了应变监测位置,制定了疲劳试验方案。

(2)对桥面板试件进行了疲劳试验,研究了试件疲劳裂缝扩展、刚度退化、疲劳寿命和断口形貌。

研究表明,试件疲劳裂缝的产生和扩展分4个阶段,即裂缝萌生、裂缝宏观扩展、裂缝贯穿板厚和疲劳断裂;随着疲劳加载次数的增加,试件刚度逐渐降低,当试件刚度退化率达0.1时,试件剩余寿命约为总疲劳寿命的20%;将疲劳试验结果与规范的S-N曲线比较,证明规范抗疲劳设计公式是保守的;根据试件长度建立了L-S-N曲线;试件疲劳断口均为平断口,分为疲劳源区、疲劳裂缝稳定扩展区和瞬时断裂区,开裂位置的应力幅越小则循环次数越多且瞬断区面积越小。

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w
=x
−
ihy
=r (cosθ
−
ih
sin θ
)
=rλ 2
(cos
β
−
i
sin
β
)
=rλ 2e−iβ
(4)
由此也可推出以下表达式：
=w = 1
w
= rλeiβ 2
rλ
cos
β 2
+
i
sin
β 2
= 1 1 e−iβ 2 rλ
1 r
1 λ
cos
β 2
− i sin
β 2
(5)
对于任意的复变函数 Φ (w) ，用实函数 P ( x, y) 和 Q ( x, y) 表示实部和虚部。即有：
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1. 引言
断裂力学经历一个世纪的发展形成了完整的理论体系，并被广泛应用到机械工程、船舶工程、航空航天工程和土木建筑等工程领域。断裂力学涉及的基本理论是关于裂纹尖端奇异应力场及位移场，对于一般各向同性材料已获得完备的解答和通用公式[1] [2] [3]。目前断裂力学依然是固体力学中十分活跃的研究领域，且不断涌现出许多新课题。随着先进复合材料的工程应用日益扩张，各向异性材料断裂力学的理论发展显得更加突出。早在半个世纪前，列赫尼茨基推广复变函数法解决各向异性材料弹性力学问题，其求解方法和理论具有开创性，并为复合材料断裂力学奠定了理论基础[4] [5] [6]。利用复变函数方法在解决复合材料应力边值问题中已取得显著结果，且理论和应用研究不断增加[7] [8]。本文以常见的 I 型裂纹或张开型裂纹板为例(如图 1 所示)，推导出典型正交异性材料的裂纹端部应力场和应变场的通解，并确定出裂纹张开位移与材料特征参数的关系。
= σ x σ=y
A1h2 Re Φ′′ A1 Re Φ′′ +
− A1h3 y A1hy Im
Im Φ′′′ Φ′′′
+
T
(12)
τ xy = − A1h2 y Re Φ′′′
代入式(9)后可得应变分量表达式为：
( ) ( ) = εx ( ) ( ) = ε y
A1 A1
S11h2 + S12 S12h2 + S22
72
力学研究
贾普荣
坐标轴(x,y)沿着材料主轴方向(1,2)放置，则在平面应力状态下的正交异性材料本构关系为：
ε x = S11σ x + S12σ y , ε y = S12σ x + S22σ y , γ xy = S66τ xy
(9)
式中， S11
= 1 , E1
S22
=1 , E2
S12
= − µ12 E1
ε=x
∂u , ∂x
ε=y
∂v , ∂y
γ =xy
∂v + ∂u ∂x ∂y
(14)
现将位移分量按如下形式表示：
u
=B1
∂P ∂x
+
B2
y
∂2Q ∂x2
+
B3
x
v
=C1
∂Q ∂x
+
C2
y
∂2P ∂x2
+
C3
y
(15)
把上式代入几何方程后，再利用式(7)的微分关系，可将应变分量转化为：
DOI: 10.12677/ijm.2020.92008
( ) ( ) B1 = A1 S11h2 + S12 , B2 = − A1 S11h2 − S12 h, B3 = S11T ( ) C1 = 2 A1S11h3 , C2 = A1 S12h2 − S22 , C3 = S12T
International Journal of Mechanics Research 力学研究, 2020, 9(2), 70-76 Published Online June 2020 in Hans. /journal/ijm https:///10.12677/ijm.2020.92008
Re Φ′′ − A1 Re Φ′′ − A1
S11h2 − S12 S12h2 − S22
hy Im Φ′′′ + S11T hy Im Φ′′′ + S12T
(13)
γ xy = − A1S66h2 y Re Φ′′′
一般用 u 和 v 分别表示沿 x 和 y 方向的位移，平面问题的几何方程为：
σx
=− A1h2
Re Φ′′ +
2A2h Re Φ′′ −
A2 h 2
y Im Φ′′′ + T
σ=y A1 Re Φ′′ + A2 y Im Φ′′′
(11)
= τ xy A1h Im Φ′′ − A2 Im Φ′′ − A2hy Re Φ′′′
对于 I 型裂纹，当 y = 0 时，τ xy = 0 。因此可设 A2 = A1h ，将上式简化为：
Keywords
Orthotropic Plate, Crack-Tip, Complex Function, Stress and Strain, Crack Opening Displacement
正交异性板裂纹端部应力及变形通解
贾普荣
西北工业大学力学与土木建筑学院，陕西西安
收稿日期：2020年6月1日；录用日期：2020年6月15日；发布日期：2020年6月22日
General Solution of Stress and Deformation at Crack-Tip for Orthotropic Plate
Purong Jia
School of Mechanics and Civil Engineering & Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi’an Shaanxi
为了解决复合材料中的应力边值问题，需要扩大复变函数的适应范围。现在引入另一个复变量 w，并将
复数 w 用直角坐标和极坐标表示如下：
w =x + ihy =r cosθ + ihr sinθ =r (cosθ + ih sinθ )
(1)
式中系数 h 取为实常数(且令： h > 0 )。再用字母 β 表示与角度θ 相关联，且令两个角度之间具有以下的
转化关系：
DOI: 10.12677/ijm.2020.92008
71
力学研究
贾普荣
= cosθ λ= 2 cos β , h sinθ λ 2 sin β
(2)
由此可推出以下关系式：
( ) cos2 θ + h2 sin2 θ= λ 4 cos2 β + sin2 β= λ 4 , tan β= h tanθ
关键词
正交异性板，裂纹端部，复变函数，应力和应变，裂纹张开位移
贾普荣
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
∂3P
∂x3
h3 ∂y3
∂x3 h3 ∂y3
这些导数关系将在下面表达式中运用。
3. 平面裂纹问题解法
求解弹性力学平面应力问题的惯用方法就是将应力分量作为基本变量，满足平衡微分方程和应变协
调方程，并根据应力边界条件选择合理的应力函数进行求解。为了满足平衡微分方程(忽略体力)，一般利
用应力函数 F ( x, y) 表示应力如下：
σx
=
∂2F ∂y 2
,
σy =
∂2F ∂x2
,
τ xy
=
− ∂2F ∂x∂y
(8)
复合材料层合板的铺层可认为是正交异性材料，其板内的弹性力学分析可按照平面应力状态处理。正交铺设层合板的工艺比较简单且实用，也是复合材料力学分析的典型结构。为了叙述简单，现将参考
DOI: 10.12677/ijm.2020.92008
= − µ21 E2
,
S66
=1 G12
。对于一般平面裂纹问题(如图 1 所示)，并考虑到 T
应力，可选择应力函数如下：
F
= A1P
+
A2
y
∂Q ∂x
+
T 2
y2
(10)
偏导数为：
∂F ∂x
= A1
∂P ∂x
+
A2
y
∂2Q ∂x2
,
∂F ∂y
= A1
∂P ∂y
+
A2
∂Q ∂x
+
A2 y
∂2Q ∂x∂y
∂y ∂y
Re Φ′ =∂P =1 ∂Q , Im Φ′ =∂Q =− 1 ∂P
∂x h ∂y
∂x h ∂y
Re Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ′ =∂∂2xP2
=−
1 h2
∂2P ∂y 2
,
Im Φ′′ =∂∂2xQ2
=−
1 h2
∂2Q
∂y 2
(7)
Re Φ′′′ =∂3P
=−
1
∂3Q ,
Im Φ′′′ =∂3Q
=1
( ) λ 2 = cos2 θ + h2 sin2 θ , λ 4 h2 cos2 β + sin2 β = h2
从而确定出 β 和 λ 与θ 的函数关系为：
=β arctan (h tanθ= ), λ 4 cos2 θ + h2 sin2 θ