浙江省台州市黄岩中学2019-2020学年高三下学期4月线上考试数学试题

台州市2020年4月高三年级教学质量评估试题数学2020.04本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生接规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()U A B =I ð（ ） A.∅B.{}4C.{}3D.{}3,4,52.已知复数z 满足()34i i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A.25B.125C.5D.153.已知a ，b ∈R ，则“33a b <”是“33a b <”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足12,325,x y x y ≤+≤≤+≤⎧⎨⎩则3x y +的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.105.函数()y f x =的部分图象如图所示，则（ ）A.()()()1112121x f x x x =+++-B.()()()1112121x f x x x =-++-C.()()()1112121x f x x x =+-+-D.()()()1112121x f x x x =--++-6.已知数列{}n a 满足：()1211n n n a a n +++-=（n *∈N ），若65a =，则1a =（ ） A.26-B.0C.5D.267.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，N 若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升至2000，则C K 大约增加了（ ） A.10%B.30%C.50%D.100%8.已知1F ，2F 分别为双曲线221916x y -=的左右焦点，以2F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则12F PF ∆的面积为（ ）A. B. C.D.9.平面向量a r ，b r ，c r ，d r 满足2a b -=r r ，3b c -=r r ，4c d -=r r ，5d a -=r r ，则()()a cb d -⋅-=r rr r （ ） A.14- B.14C.7-D.710.已知函数()2q x x x f p =++，满足022p pf ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则（ ） A.函数()()y f x =有2个极小值点和1个极大值点 B.函数()()y f x =有2个极大值点和1个极小值点 C.函数()()y f x a =-有可能只有一个零点D.有且只有一个实数a ，使得函数()()y f x a =-有两个零点非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

浙江省台州市2019-2020学年中考数学四月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若a=10，则实数a在数轴上对应的点的大致位置是（）A．点E B．点F C．点G D．点H2．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．63B．62C．33D．323．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AFFD=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．215B．8 C．210D．2135．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A ．300sin α米B ．300cos α米C ．300tan α米D ．300tan α米 6．已知☉O 的半径为5，且圆心O 到直线l 的距离是方程x 2-4x-12=0的一个根，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定7．下列各数中负数是（ ）A ．﹣（﹣2）B ．﹣|﹣2|C ．（﹣2）2D ．﹣（﹣2）38．分式方程()22111x x x -++=1的解为（ ） A ．x=1 B ．x=0 C ．x=﹣23 D ．x=﹣19．如图，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后与“静”字相对的字是（ ）A ．着B ．沉C ．应D ．冷10．工人师傅用一张半径为24cm ，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）cm ．A ．119B ．2119C ．46D ．1119211．平面上直线a 、c 与b 相交(数据如图)，当直线c 绕点O 旋转某一角度时与a 平行，则旋转的最小度数是( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，分别以点A ，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半为半径作弧，相交于点E ，F ，过点E ，F 作直线EF ，交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 的周长为（ ）A ．13B ．17C ．18D ．25二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m ，n ），向量OP uuu r 可以用点P 的坐标表示为OP uuu r=（m ，n ），已知：OA u u u r =（x 1，y 1），OB uuu r =（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2=0，那么OA u u u r 与OB uuu r 互相垂直，下列四组向量：①OC u u u r =（2，1），OD uuu r =（﹣1，2）；②OE uuu r =（cos30°，tan45°），OF uuu r =（﹣1，sin60°）；③OG u u u r =（3﹣2，﹣2），OH u u u r =（3+2，12）；④OC u u u r =（π0，2），u u u r ON =（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．14．若反比例函数y=2k x-的图象位于第一、三象限，则正整数k 的值是_____． 15．关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 __________.16．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB 长_____海里．17．如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，延长连心线O 1O 2交⊙O 2于点P ，联结PA 、PB ，若∠APB=60°,AP=6，那么⊙O 2的半径等于________．18．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，AB=2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF ，点C 恰在弧EF 上，则图中阴影部分的面积为__________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在锐角△ABC 中，边BC 长为18，高AD 长为12如图，矩形EFCH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求EFAK的值；设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．20．（6分）为了丰富校园文化，促进学生全面发展．我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校园”活动．今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E 五个等级，该校部分学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；（2）求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；（3）已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率．21．（6分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．22．（8分）在某校举办的2012 年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品．小王负责到某商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品200 个以上可以按折扣价出售；购买200 个以下（包括200 个）只能按原价出售．小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要1050 元；若多买35 个，则按折扣价付款，恰好共需1050 元．设小王按原计划购买纪念品x 个．（1）求x 的范围；（2）如果按原价购买5 个纪念品与按打折价购买6 个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？23．（8分）先化简，后求值：a2•a4﹣a8÷a2+（a3）2，其中a=﹣1．24．（10分）计算：（﹣2）﹣2﹣22sin45°+（﹣1）2018﹣38-÷225．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=13AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形.26．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣33x2+233x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求线段DE的长度；（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．27．（12分）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是0x≠的全体实数，如表是y与x的几组对应值．小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2时，函数值是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；x=时所对应的点，并写出m=．（3）在画出的函数图象上标出2（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．【详解】91016∴310＜4，∵a=10，∴3＜a＜4，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出3＜10＜4是解题关键．2．A【解析】试题分析：根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．解：如图所示，设OA与BC相交于D点.∵AB=OA=OB=6，∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得226333-=所以BC=2BD=3.故选A.点睛：本题主要考查垂径定理和勾股定理. 解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等，从而得出△OAB是等边三角形，为后继求解打好基础.3．D【解析】【详解】∵在▱ABCD中，AO=12 AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13 CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AF AEBC CE==13，∵AD=BC，∴AF=13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4， AEF BCE S S V V =（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确；∵EF AE BE CE = =13， ∴AEF ABE S S V V =13， ∴S △ABE =12，故③正确；∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．4．D【解析】∵⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，AB=8，∴AC=AB=1．设⊙O 的半径为r ，则OC=r －2，在Rt △AOC 中，∵AC=1，OC=r －2，∴OA 2=AC 2+OC 2，即r 2=12+（r ﹣2）2，解得r=2．∴AE=2r=3．连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE=90°．在Rt △ABE 中，∵AE=3，AB=8，∴2222BE AE AB 1086=--=．在Rt △BCE 中，∵BE=6，BC=1，∴2222CE BE BC 64213=+=+=D ． 5．A【解析】【分析】利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO 的关系是解题关键．6．C【解析】【分析】首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线a的距离为d,若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线与圆相切;若d>r,则直线与与圆相离.【详解】∵x2-4x-12=0，(x+2)(x-6)=0，解得:x1=-2(不合题意舍去)，x2=6，∵点O到直线l距离是方程x2-4x-12=0的一个根，即为6，∴点O到直线l的距离d=6，r=5，∴d＞r，∴直线l与圆相离.故选：C【点睛】本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.7．B【解析】【分析】首先利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简，进一步利用负数的意义判定即可．【详解】A、-（-2）=2，是正数；B、-|-2|=-2，是负数；C、（-2）2=4，是正数；D、-（-2）3=8，是正数．故选B．此题考查负数的意义，利用相反数，绝对值的意义，乘方计算方法计算化简是解决问题的关键．8．C【解析】【分析】首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可．【详解】解：去分母得：x2-x-1=（x+1）2，整理得：-3x-2=0，解得：x=-23，检验：当x=-23时，（x+1）2≠0，故x=-23是原方程的根．故选C．【点睛】此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．9．A【解析】【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“沉”与面“考”相对，面“着”与面“静”相对，“冷”与面“应”相对．故选：A【点睛】本题主要考查了利用正方体及其表面展开图的特点解题，明确正方体的展开图的特征是解决此题的关键10．B【解析】分析：直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．详解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，设圆锥底面圆的半径为：r，则2πr=15024180π⨯，解得：r=10，故这个圆锥的高为：222410=2119-（cm ）． 故选B ．点睛：此题主要考查了圆锥的计算，正确得出圆锥的半径是解题关键． 11．C 【解析】 【分析】先根据平角的定义求出∠1的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠1＝180°﹣100°＝80°，a ∥c ， ∴∠α＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补． 12．C 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=12，AC=5，根据勾股定理求得AB=13.根据题意可知，EF 为线段AB 的垂直平分线，在Rt △ABC 中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CD=AD=12AB ，所以△ACD 的周长为AC+CD+AD=AC+AB=5+13=18.故选C. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．①③④ 【解析】分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可； 详解：①∵2×(−1)+1×2=0， ∴OC u u u v 与OD u u u v垂直;②∵33cos301tan45sin603⨯+⋅==o o o ，∴OE uuu v 与OF u u u v不垂直.③∵()13232202+-⨯=，∴OG u u u v 与OH u u u v垂直. ④∵()02210π⨯+⨯-=，∴OM u u u u v 与ON u u u v垂直. 故答案为:①③④.点睛：考查平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义. 14．1． 【解析】 【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k 的范围，在这个范围写出k 的整数解则可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴2﹣k ＞0，即k ＜2． 又∵k 是正整数， ∴k 的值是：1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限． 15．a≤1且a≠0 【解析】∵关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴()20240a a ≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩n ，解得：a 1≤， ∴a 的取值范围为：a 1≤且0a ≠ .点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ≠ ；（2）这道一元二次方程有实数根，因此()2240a =--≥n ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略. 16．1 【解析】分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB ∥NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt △ABP ，得出AB=AP•cos ∠A=1海里． 详解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=60°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×12=1海里．故答案为1．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．17．23【解析】【分析】由题意得出△ABP为等边三角形，在Rt△ACO2中，AO2=ACsin60︒即可.【详解】由题意易知：PO1⊥AB，∵∠APB=60°∴△ABP为等边三角形，AC=BC=3∴圆心角∠AO2O1=60°∴在Rt△ACO2中，AO2=ACsin60︒=23.故答案为23.【点睛】本题考查的知识点是圆的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的性质.18．1 42π-．【解析】【分析】连接CD，根据题意可得△DCE≌△BDF，阴影部分的面积等于扇形的面积减去△BCD的面积．【详解】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=12AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=2．则扇形FDE的面积是：2901= 3604ππ⨯．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN，则在△DMG和△DNH中，DMG DNHGDM HDN DM DN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=12．则阴影部分的面积是：1 42π-．故答案为：1 42π-．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）32；（2）1．【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可；（2）根据EH＝KD＝x，得出AK＝12﹣x，EF＝32（12﹣x），再根据S＝32x（12﹣x）＝﹣32（x﹣6）2+1，可得当x＝6时，S有最大值为1．【详解】解：（1）∵△AEF∽△ABC，∴EF AK BC AD=，∵边BC长为18，高AD长为12，∴EF BCAK AD＝32；（2）∵EH＝KD＝x，∴AK＝12﹣x，EF＝32（12﹣x），∴S＝32x（12﹣x）＝﹣32（x﹣6）2+1.当x＝6时，S有最大值为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．20．（1）50；（2）115.2°；（3）.【解析】（1）先求出参加本次比赛的学生人数；（2）由（1）求出的学生人数，即可求出B等级所对应扇形的圆心角度数；（3）首先根据题意列表或画出树状图，然后由求得所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案．解：（1）参加本次比赛的学生有：（人）（2）B等级的学生共有：（人）.∴所占的百分比为：∴B等级所对应扇形的圆心角度数为：.（3）列表如下：男女1 女2 女3男﹣﹣﹣（女，男）（女，男）（女，男）女1 （男，女）﹣﹣﹣（女，女）（女，女）女2 （男，女）（女，女）﹣﹣﹣（女，女）女3 （男，女）（女，女）（女，女）﹣﹣﹣∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种.∴P（选中1名男生和1名女生）.“点睛”本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．通过扇形统计图求出扇形的圆心角度数，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键．21．（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=1可得答案．【详解】（1）连接OC．∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．在△OAP和△OCP中，∵OA OCPA PCOP OP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．∵AB=10，∴OC=1．由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠3【点睛】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．22．（1）0＜x≤200，且x是整数（2）175【解析】【分析】（1）根据商场的规定确定出x的范围即可；（2）设小王原计划购买x个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程，求出解即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：0＜x≤200，且x 为整数； （2）设小王原计划购买x 个纪念品， 根据题意得：105010505635x x ⨯=⨯+， 整理得：5x+175=6x ， 解得：x=175，经检验x=175是分式方程的解，且满足题意， 则小王原计划购买175个纪念品． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”是解本题的关键． 23．1 【解析】 【分析】先进行同底数幂的乘除以及幂的乘方运算，再合并同类项得到化简后的式子，将a 的值代入化简后的式子计算即可. 【详解】原式=a 6﹣a 6+a 6=a 6， 当a=﹣1时，原式=1． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除以及幂的乘方运算法则. 24．74【解析】 【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可. 【详解】解：原式()1122,422=-⨯+--÷ 1111,42=-++ 7.4=【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及立方根，熟练掌握各个知识点是解题的关键.25．（1）证明见解析；（2）从运动开始经过2s或53s或125s或682215-s时，△BEP为等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据内错角相等，得到两边平行，然后再根据三角形内角和等于180度得到另一对内错角相等，从而证得原四边形是平行四边形；（2）分别考虑P在BC和DA上的情况求出t的值.【详解】解：（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB∥CD，∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD间的最短距离是4cm，∵AB=3cm，AE=13 AB，∴AE=1cm，BE=2cm，设经过ts时，△BEP是等腰三角形，当P在BC上时，①BP=EB=2cm，t=2时，△BEP是等腰三角形；②BP=PE，作PM⊥AB于M，∴BM=ME=12BE=1cm∵cos∠ABC=35 AB BMBC BP==，∴BP=53 cm，t=53时，△BEP 是等腰三角形； ③BE=PE=2cm ，作EN ⊥BC 于N ，则BP=2BN ，∴cosB=35BN BE =， ∴325BN =， BN=65cm ，∴BP=125，∴t=125时，△BEP 是等腰三角形；当P 在CD 上不能得出等腰三角形，∵AB 、CD 间的最短距离是4cm ，CA ⊥AB ，CA=4cm ， 当P 在AD 上时，只能BE=EP=2cm ， 过P 作PQ ⊥BA 于Q ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠QAD=∠ABC ， ∵∠BAC=∠Q=90°， ∴△QAP ∽△ABC ， ∴PQ ：AQ ：AP=4：3：5， 设PQ=4xcm ，AQ=3xcm ，在△EPQ 中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x ）2=22，∴x=325 ，AP=5x=35-cm ，∴t=5+5+3答：从运动开始经过2s 或53s 或125s 或685-s 时，△BEP 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理及一元二次方程的解法，要求学生能够熟练利用边角关系解三角形.26． ;(2)见解析.【解析】分析：（1）根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0，求得A，B的坐标，然后证得△ACO∽△EAH，根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；（2）找点C关于DE的对称点N（4，3），找点C关于AE的对称点G（-2，-3），连接GN，交AE 于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的解析式：y=3x-3；直线AE的解析式：y= -3x-3，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，-3m²+23m+3），则Q（m，3m-3），根据S△MFP=S△MQF+S△MQP，得出S△MFP= -33m²+33m+43，根据解析式即可求得，△MPF面积的最大值；（3）由（2）可知C（0，3），F（0，33），P（2，33），求得CF=433，CP=433，进而得出△CFP为等边三角形，边长为43，翻折之后形成边长为43的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，然后分三种情况讨论求得即可．本题解析：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+，令x=0，得y=，即C（0，），D（2，），∴DH=，令y=0，即﹣x2+x+=0，得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴=，即=，解得：EH=，则DE=2；（2）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN 最小，直线GN的解析式：y=x﹣；直线AE的解析式：y=﹣x﹣，联立得：F （0，﹣），P（2，），过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣），（0＜m＜2）；∴S△MFP=S△MQF+S△MQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+，∵对称轴为：直线m=＜2，开口向下，∴m=时，△MPF面积有最大值：；（3）由（2）可知C（0，），F（0，），P（2，），∴CF=，CP==，∵OC=，OA=1，∴∠OCA=30°，∵FC=FG，∴∠OCA=∠FGA=30°，∴∠CFP=60°，∴△CFP为等边三角形，边长为，翻折之后形成边长为的菱形C′F′P′F″，且F′F″=4，1）当K F′=KF″时，如图3，点K在F′F″的垂直平分线上，所以K与B重合，坐标为（3，0），∴OK=3；2）当F′F″=F′K时，如图4，∴F′F″=F′K=4，∵FP的解析式为：y=x﹣，∴在平移过程中，F′K与x轴的夹角为30°，∵∠OAF=30°，∴F′K=F′A∴AK=4∴OK=4﹣1或者4+1；3）当F″F′=F″K时，如图5，∵在平移过程中，F″F′始终与x轴夹角为60°，∵∠OAF=30°，∴∠AF′F″=90°，∵F″F′=F″K=4，∴AF″=8，∴AK=12，∴OK=1，综上所述：OK=3，4﹣1，4+1或者1．点睛：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的交点和待定系数法求二次函数的解析式以及最值问题，考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，分类讨论的思想是解题的关键.27．（1）32；（2）见解析；（3）72；（4）当01x <<时，y 随x 的增大而减小． 【解析】【分析】 （1）根据表中x ，y 的对应值即可得到结论；（2）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（3）在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；（4）利用函数图象的图象求解．【详解】解：（1）当自变量是﹣2时，函数值是32； 故答案为：32. （2）该函数的图象如图所示；（3）当2x =时所对应的点 如图所示，且72m =； 故答案为：72； （4）函数的性质：当01x <<时，y 随x 的增大而减小．故答案为：当01x <<时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了函数值，函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．。

台州市达标名校2019年高考四月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．32．△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．BC ．3D ．323．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．124．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-5．已知变量x ，y 间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为 2.10.5ˆ8yx =+，则表中数据m 的值为（ ）A ．0.9B ．0.85C ．0.75D ．0.56．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A ．{|61}-<x xB ．{|112}<x xC ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x7．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（ ） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A．3B．2C．3D9．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”.10．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞11．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-<D ．1,0a b >->12．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年浙江省台州市黄岩第一中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数满足，，且，则（）A．或 B．或 C．1 D．3参考答案：B考点：1.定积分；2.二项式定理.2. 函数的定义域是 ( ）A． B． C． D．参考答案：A3. 已知向量的夹角为，且则向量与的夹角为（）A. B. C. D.参考答案：D略4. 若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3参考答案：B【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．5. 若，，若，则A． B．C． D.参考答案：B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若则故答案为：B6. 知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|x2－3x≤0}，则A.－1∈AB.C.A∩B＝BD.A∪B＝B参考答案：D7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.参考答案：C8. 已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条参考答案：B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．9. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(1)＝0，则不等式的解集为A．(－∞，－1]∪(0,1] B．[－1,0]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,0)∪(0,1]参考答案：C10. 过双曲线：的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点.若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等比数列{}中，，则等于参考答案：，12. 已知，则．参考答案：由题意得，因为，所以或，因此.13. 已知且，设函数的最大值为1，则实数a的取值范围是________参考答案：.【分析】由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，由于函数的最大值为，则函数在上单调递减且，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 14. 已知点和圆：，是圆的直径，和是的三等分点，（异于）是圆上的动点，于，，直线与交于，则当时，为定值．参考答案：15. 当恒成立，则的取值范围是参考答案：答案：16. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为参考答案：17. 已知函数f（x）=|x|（x﹣a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为；若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）【考点】分段函数的应用．【分析】当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调递增区间；函数g（x）=f（x）﹣a至多有一个负零点，两个非负零点，进而得到a的取值范围．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，故函数图象是连续的，且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均为增函数，故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；函数g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=，令g（x）=0，则当x＜0时，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1，即函数g（x）至多有一个负零点，此时a﹣1＜0，a＜1；当x≥0时，x2﹣ax﹣a+1=0，若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则x2﹣ax﹣a+1=0有两个不等的正根，则，解得：2﹣2＜a＜1，综上可得：若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2﹣2，1），故答案为：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的存在性及个数判断，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

浙江省台州市2019届高三4月调研数学试卷考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

选择题部分 (共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.2.已知，满足条件，则的最小值是（）A. B. C. D.3.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B.C. D.4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. D.5.已知，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知，则（ ）A.B.C.D.7.已知，.则当时，的图像不可能．．．是（ ）A.B.C.D.8.若平面向量满足：，，且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.9.已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）A.B.C.D.10.已知，且函数.若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？”其大意是：“每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车．数为______辆. 12.已知为等差数列的前项和，满足，，则______，的最小值为______. 13.设实数，满足，则的最大值为______，的最小值为______.14.一个不透明袋中放有大小、形状均相同小球，其中红球个、黑球个，现随机等可能取出小球.当有放回依此取出两个小球时，记取出的红球数为，则______；若第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为，则______.15.已知为双曲线的左焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线右支相交于点，若，则双曲线的离心率为______.16.在中，是边上的中线，∠ABD＝.（1）若，则∠CAD＝______；（2）若，则的面积为______.17.已知正方体中，为的中点，在平面内，直线，设二面角的平面角为，当取最大值时，______.三、解答题：本大题有5小题，共 74分。

浙江省台州市高中2019-2020学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．参考答案：D略2. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，．则函数（“· ”和“－”仍为通常的乘法和减法）的最大值等于（▲）A． B． C． D．参考答案：C3.参考答案：D略4. 设是空间两条不同直线；，是空间两个不同平面；则下列选项中不正确的是（A）当时，“”是“∥”成立的充要条件（B）当时，“”是“”的充分不必要条件（C）当时，“”是“”的必要不充分条件（D）当时，“”是“”的充分不必要条件参考答案：C5. “”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 设是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程（＞1）恰有3个不同的实根，则的取值范围是（）A.(1,2)B.C.D.参考答案：D略7. 函数的定义域为（）（A）（B）（C）（D）,参考答案：C8. 展开式中，的系数是A、80B、－80C、40D、－40参考答案：B9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）（A）若且，则（B）若且，则（C）若且，则（D）若且，则参考答案：【答案解析】B 解析：A.直线成角大小不确定；B.把分别看成平面的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.10. 设集合，则实数a的值为A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：D【知识点】并集及其运算．A1解析：根据题意，集合A={0，2，a}，B={1，a2}，且A∪B={0，1,2，4，16}，则有a=4，故选：D．【思路点拨】根据题意，由A与B及A∪B，易得a2=16，分情况求得A、B，验证A∪B，可得到答案．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 中的、满足约束条件则的最小值是_________．参考答案：答案：解析：将化为，故的几何意义即为直线在y 轴上的截距，划出点（,）满足的可行域，通过平移直线可知，直线过点时，直线在y 轴上的截距最小，此时也就有最小值.【高考考点】线性规划的相关知识【易错点】：绘图不够准确或画错相应的可行域。

2019~2020学年度高三年级四月份测试题数学A 参考答案 2020.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）D （7）D （8）B （9）C （10）A第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）80- （12）4-，34i 2525- （13）1*2()n n a n -=-∈N （答案不唯一）（141 （15）①④三、解答题（共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （16）（本小题13分）解：（Ⅰ） 因为πππ()22cos()cos()424f x x x x =-+-+ ππ22sin()cos()44x x x =-++π2sin(2)2x x =-+2cos 2x x =-12cos 2)2x x =- π2sin(2)6x =-， ···············3分（另解：ππππ()22(cos cossin sin )(cos cos sin sin )4444f x x x x x x =-+-2)()2222x x x x x =-+-222(cos sin )2cos2x x x x x =--=-1π2(2cos 2)2sin(2)226x x x =-=-， ···············3分 所以2π2ππ2T ===ω. ···············4分 由πππ2π22π,262-+≤-≤+∈k x k k Z ，得ππππ,63k x k k -+≤≤+∈Z . 故()f x 的单调递增区间为：ππ[π,π],63k k k -++∈Z . ···············6分 （Ⅱ） 令2sin(2)16x π-=，有1sin(2)62x π-=, 即ππ22π,66x k k -=+∈Z 或π5π22π,66x k k -=+∈Z ， 也即ππ,6x k k =+∈Z 或ππ,2x k k =+∈Z . 因为[0,π]x ∈， 所以π6x =或π2x =. ···················9分 令π2sin(2)16x -=-，得π1sin(2)62x -=-. 即ππ22π,66x k k -=-+∈Z 或π5π22π,66x k k -=-+∈Z ，也即π,x k k =∈Z 或ππ,3x k k =-+∈Z . 因为[0,π]x ∈，所以πx =或2π3x =. ····························11分 又因为()f x 的单调递增区间为：π[0,]3和5π[,π]6， ()f x 的单调递减区间为：π5π(,)36, ··················12分 所以当()(1,1]f x ∈-时，x 的取值范围为ππ2(0,][,π)623． …………13分（17）（本小题14分）解:（Ⅰ） 由表可知，该患者共6天的体温不低于39C ，记平均体温为x ， ·····1分39.55C ． ··········4分 所以，患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C .（Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2． ·····························5分3032351(0)10C C P X C ===, ······························6分 21323563(1)105C C P X C ====, ····························7分 1232353(2)10C C P X C ===． ····························8分 则X 的分布列为： ·····························9分所以13()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． ·········································11分（Ⅲ）“抗生素C ”治疗效果最佳可使用理由：① “抗生素B ”使用期间先连续两天降温1.0C 又回升0.1C ，“抗生素C ”使用期间持续降温共计1.2C ，说明“抗生素C ”降温效果最好，故“抗生素C ”治疗效果最佳． ② 抗生素B ”治疗期间平均体温39.03C ，方差约为0.0156；“抗生素C ”平均体温38C ，方差约为0.1067，“抗生素C ”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C ”治疗效果最佳． ········································14分 “抗生素B ”治疗效果最佳可使用理由：（不说使用“抗生素B ”治疗才开始持续降温扣1分）自使用“抗生素B ”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B ”治疗当天共降温0.7C ，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B ”治疗效果最佳． ············14分（开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素A ”效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，不用数据不得分）PCDA BMFyxzH （18）（本小题15分）解:（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面PCD ， ······························1分 平面ABCD平面PCD CD =, ······························2分 ⊂AD 平面ABCD , AD DC ⊥ ······························3分 所以⊥AD 平面PCD ， ·····························4分 又因为⊂PC 平面PCD ，所以AD PC ⊥． ······························5分 （Ⅱ）选择①评分细则：在平面PCD 内过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H . 由（Ⅰ）可知，AD ⊥平面PDC ， 所以AD DH ⊥．故,,AD CD DH 两两垂直．如图，以D 为原点，,,DA DC DH 所在直线分别 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系-D xyz ，则(0,0,0)D ，(0,3)P -，(2,0,0)A ，(2,1,0)B ，(0,2,0)C ．······························6分 因为DH⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=n ．而(2,1,3)PA =，(2,2,3)PB =-， 设平面PAB 的一个法向量为(,,)=x y z m ．则由00PA PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 得230,2230,⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩x y z x y z取2z =，有3,0,2)=m ． ····················8分 所以2cos ,7|||77⋅<>===n m n m |n m ····························10分由题知，二面角P AB C --为锐角， 故二面角P AB C --277········11分选择②得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=n ．；平面PBD的一个法向量为(2)=m ； 二面角P BD C --为钝角；二面角P AB C --的余弦值为选择③得分要点（评分细则同①）：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，则） 平面ABCD 的法向量(0,0,1)=n ；平面PBC的法向量(1,2,=m ； 二面角P BC D --为锐角；二面角P BC D --. （Ⅲ）假设棱BC 上存在点F ，MF PC ．设,[0,1]BF BC λλ=∈． ······················12分依题意，可知1(1,,22M -，(2,1,0)BC =-， (2,,0)BF λλ=-，(22,1,0)F λλ=-+， ·····················13分3(12,,2MF λλ=-+，(0,3,PC =， ····························14分则120,33,2,λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立． ········15分 （19）（本小题14分）解：（Ⅰ） 由题意得：222223,1,2,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩b ac a a b c ·····························1分解得:2,1a b c === ． ······························2分所以椭圆的标准方程为：22143x y +=. ·····························3分（Ⅱ） 依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ．假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且01x x ≠，02x x ≠. 设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ， 则12121020,y y k k x x x x ==--． ··············4分 因为1122(,),(,)A x y B x y 在1x my =+上，故11221,1x my x my =+=+． ·······················································5分 而x 轴上任意点到直线,PA PB 距离均相等等价于“PF 平分APB ∠”，所以等价于120k k +=． ·····6分 则12121020y y k k x x x x +=+--12210121020()()()x y x y x y y x x x x +-+=--1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +-+==--． ························8分 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，得：22(34)690m y my ++-=， 有12122269,3434m y y y y m m --+==++． ···············10分 则0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++===+--+--， 即040m mx -+=，又0m ≠，故04x =． ········································13分 当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意．故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线,PA PB 距离均相等. ………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ） 因为2()e ()x f x ax a =-∈R ，故()e 2x f x ax '=-． …………1分依题意(1)e 20f a '=-=，即e2a =． …………2分 当e 2a =时，e (1)02f =≠，此时切线不与x 轴重合，符合题意，因此e2a =．…………3分（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，()e 2x f x ax '=-,当0a ≤时，因为[0,1]x ∈,e 0x >,20ax -≥， 故()0f x '>，即()f x 单调递增， 因此max ()(1)e f x f a ==-．依题意，当0a ≤时，max ()=e e 2f x a -≥>，所以0a ≤符合题意． ············5分当0a >时，()e 2x f x a ''=-，令()0f x ''=，有ln 2x a =． ································6分()f x '',()f x '变化如下：故min ()f x '． ··········································7分当1ln 20a -≥时，即e02a <≤时，()0f x '≥，()f x 单调递增， 因此max ()(1)e f x f a ==-．依题意，令e 2a -≥，有0e 2a <≤-． ·······························8分 当1ln 20a -<时，即e2a >时，(1)e 20f a '=-<,(0)10f '=>， 故存在唯一0(0,1)x ∈使0()0f x '=． ·······9分此时有00e 20x ax -=，即00e 2x ax =，()f x ',()f x 变化如下： ···························10分所以020max 00e ()()e e 2x x x f x f x ax ==-=-，0(0,1)x ∈． ······························11分 依题意，令e ()e 2x xx g x =-，(0,1)x ∈，则(1)e ()02xx g x -'=>，()g x 在(0,1)单调递增，所以e()(1)22g x g <=<，所以max ()2f x <，此时不存在符合题意的a ． 综上所述，当(,e 2]a ∈-∞-，()f x 在[0,1]上的最大值不小于2，若(,e 2]a ∈-∞-/，则()f x 在[0,1]上的最大值小于2，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-． …………………12分解法二：（Ⅱ）当[0,1]x ∈时，()f x 最大值不小于2，等价于2()e 2x f x ax =-≥在[0,1]x ∈上有解，显然0x =不是解,即2e 2x a x-≤在(0,1]x ∈上有解， ……………………4分 设2e 2()x g x x-=，(0,1]x ∈, 则3e 2e 4()x x x g x x -+'=． ……………………5分 设()e 2e 4x x h x x =-+ ，(0,1]x ∈， 则()e (1)0x h x x '=-≤． 所以()h x 在(0,1]单调递减，()(1)4e 0h x h ≥=->， …………7分所以()0g x '>，所以()g x 在(0,1]单调递增， ……………………9分所以max()(1)e 2g x g ==-． ……………………10分依题意需e 2a ≤-,所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-． ……………………12分解法三:（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()e 2x f x ax '=-,（1）当e 2a ≤时，'()e 2e e x xf x ax x =-≥-, 设()ee [0,1]xh x x x =-∈，()e e 0x h x '=-≤,所以()h x 在[0,1]单调递减，故()(1)0h x h ≥=． …………5分 所以()0f x '≥，所以()f x 在[0,1]单调递增，因此max ()(1)e f x f a ==-． …………7分依题意，令e 2a -≥，得e 2a ≤-． …………8分（2）当e2a >时，22e ()e e 2x x f x ax x =-≤-,设2e()e2ϕ=-xx x ,[0,1]x ∈, 则()ee ()0xx x h x ϕ'=-=≥,所以()x ϕ在[0,1]单调递增， …………10分 故maxe e()(1)e 222x ϕϕ==-=<，即()2f x <，不符合题意． …………11分综上所述，a 的取值范围为(,e 2]-∞-． ············12分 （III ）当0a ≤时，()y f x =有0个零点；当2e 04a <<时，()y f x =有1个零点当2e 4a =时，()y f x =有2个零点；当2e 4a >时，()y f x =有3个零点． ·············15分（写对一个给1分，写对三个给2分，全对给3分）． （21）（本小题14分）解：（Ⅰ） (0,0),(0,1)A B ==；(0,1),(0,0)A B ==； ………………………………………………1分 (1,0),(1,1)A B ==； ………………………………………………2分 (1,1),(1,0)A B ==. ………………………………………………3分（Ⅱ） 令121212(,,,),(,,,),(,,,)===n n n A a a a B b b b C c c c ，（i ）对1,2,,=i n ，当0i c =时，有||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-； ……………………………………4分 当1i c =时，有|||||||1(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-． ……………………5分 所以11222222(,)||||||+||||||++||||||--=---------n n n n d A C B C a c b c a c b c a c b c 1122||||||(,)=-+-++-=n n a b a b a b d A B ． …………6分（ii ）证法1：设12(,,,)=n A a a a ，12(,,,)=n B b b b ，12(,,,)=n C c c c n S ∈，(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,,0)=∈n O S ，由（I ）可知，(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-=， (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=， (,)(,)d B C d B A C A h =--=， 所以||(1,2,,)-=i i b a i n 中1的个数为k ，||(1,2,,)-=i i c a i n 的1的个数为l ．设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+-． 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数． 证法2：因为()()()0i i i i i i a b b c c a -+-+-=，且()()()i i i i i i a b b c c a -+-+-与||||||i i i i i i a b b c c a -+-+-奇偶性相同，所以||||||i i i i i i a b b c c a -+-+-为偶数，故(,)(,)(,)d A B d B C d A C ++为偶数．…8分所以(,),(,),(,)d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数． …………………………9分（Ⅲ） 记,(,)A B Pd A B ∈∑为P 中所有两个元素间距离的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0， ……………………10分 则,1(,)()ni i A B Pi d A B t m t ∈==-∑∑． …………………………………………………………11分因为m 为奇数，所以21()(1,2,,)4i i m t m t i n --≤=，且12i m t -=或12m +时，取等号． 所以2,(1)(,)4A B P n m d A B ∈-≤∑． ………………………………………………………13分所以222,1(1)(1)(,)42P A B Pmm n m m nd d A B C C m ∈-+=≤=∑． ………………………………14分。

2020年浙江省台州市高考数学模拟试卷(4月份)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4}，集合A ={0,1，2，3}，B ={0,3，4}，则A ∩∁U B =( )A. {2,4}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1，2，3}2. 已知复数z =3+2i ，则|2−3i z|=( )A. 1B. √13C. √1313D. 133. 若12<(12)a<(12)b<1(a,b ∈R)，则( )A. a a <a b <b aB. b a <a a <a bC. a b <a a <b aD. b a <a b <a a4. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 35. 已知函数f (x )=lg x4−x ，则( )A. f (x )在(0,4)单调递减B. f (x )在(0,2)单调递减，在(2,4)单调递增C. y =f (x )的图象关于点(2,0)对称D. y =f (x )的图象关于直线x =2对称6. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 1717. 埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为( )A. 128.5米B. 132.5米C. 136.5米D. 110.5米8. 以双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定9.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗−2b⃗ =0，(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2，则|b⃗ |=()A. 12B. 1C. √2D. 210.设f(x)=12x2−x+cos(1−x)，则函数f(x)()A. 仅有一个极小值B. 仅有一个极大值C. 有无数个极值D. 没有极值二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________．12.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于______ cm3．13.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则E(X)=________.14.若cos(π−x)=−√32，________15.已知函数f(x)={x 2+1, x≥0,1,x<0,则满足不等式f(x2−2)>f(x)的x的取值范围是___．16.若等差数列{a n}满足a4a8=2(2a9−a12)2−4，则S19的最大值为________．17.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD=BD=√2，∠BAC=30°，若它们的斜边AB重合，让三角板ABD以AB为轴转动，则下列说法正确的是______．①当平面ABD⊥平面ABC时，C、D两点间的距离为√2；②在三角板ABD转动过程中，总有AB⊥CD；③在三角板ABD转动过程中，三棱锥D−ABC体积的最大值为√36．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)(a>0)，且满足_______．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y=−3的两个相邻交点的距离等于π，③f(x)的图象过点(π6,0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2，PC=4，E为线段PB上一点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若点E满足BEPE =12，求二面角P−AC−E的余弦值．20.已知在等差数列{a n}中，a1=4，a8=25，b n=1a n a n+1(1)求a n的通项公式；(2)设数列{b n}的前nZ项和为T n，证明：T n<112．21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 ( a>b>0 )的左、右焦点分别为F1(−1,0)、F2(1,0)，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△B的周长为4√2．(1)求椭圆C的方程；(2)过点作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线y2=4x交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程．22.已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程；(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)−a(x−1)其中a∈R，求函数g(x)在[1,e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：进行集合的补集、交集即可得出答案．考查全集的概念，以及补集、交集的运算．解：∁U B={1,2}，A∩∁U B={1,2}．故选B．2.答案：A解析：把复数z=3+2i代入|2−3iz|，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．解：∵z=3+2i，∴|2−3iz |=|2−3i3+2i|=|2−3i||3+2i|=1．故选：A．3.答案：B解析：本题主要考查幂函数、指数函数的单调性，属于基础题，常规题．由“12<(12)a<(12)b<1”是同底数的形式，利用指数函数y=(12)x单调性可得出a，b，0，1的大小关系，再利用幂函数与指数函数的单调性即可解决问题．解：∵12<(12)a<(12)b<1，由指数函数y=(12)x单调性可知，∴1>a>b>0，再由幂函数在第一象限的单调性可知，∴b a<a a，又因为指数函数y=a x，当0<a<1时，单调递减，所以a a<a b,故：b a<a a<a b,故选B．4.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查函数的单调性及函数图象的应用．由f(2+x)+f(2−x)=0，所以y=f(x)的图像关于点(2,0)对称．解：由已知可得f(x)=lg x4−x =lg(−1+44−x)，定义域为(0,4)，则 f(x)在(0,4)单调递增，所以A选项，B选项错误．f(2−x)=lg2−x4−(2−x)=lg2−x2+x，f(2+x)=lg2+x4−(2+x)=lg2+x2−x=−lg2−x2+x，因为f(2+x)+f(2−x)=0，所以y=f(x)的图像关于点(2,0)对称.所以D选项错误，故选C．6.答案：C解析：本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a61=(a61−a60)+(a60−a59)+⋯+(a2−a1)+a1=60+59+⋯+1+a1=60×(60+1)2+a1=2000，∴a1=170．故选C．7.答案：C解析：本题考查了函数模型的应用，属于基础题．充分理解题意是解题的关键．解：由题意可得：胡夫金字塔原高大约为230×42×3.14159≈146.4米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为136.4米，与136.5米最为接近，故选C．8.答案：C解析：解：由题意，圆F的方程为：(x+c)2+y2=b2，双曲线的渐近线方程为：bx±ay=0=b∴F到渐近线的距离为d=√a2+b2∴圆F与双曲线的渐近线相切故选C．确定圆F的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论．本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．由条件利用两个向量的数量积的定义，求得b⃗ 2=2，可得|b⃗ |的值．解：∵向量a⃗，b⃗ 满足a⃗−2b⃗ =0，(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2b⃗ 2−b⃗ 2=b⃗ 2=2，则|b⃗ |=√2，故选：C．10.答案：A解析：解：f′(x)=x−1+sin(1−x)，令x−1=t，则f′(t)=t+sin(−t)，f″(t)=1−cos(−t)≥0，f′(t)在R递增，t→−∞时，f′(t)→−∞，t→+∞时，f′(t)→+∞，故存在t0，使得f′(t0)=0，故f(x)在(−∞,t0)递减，在(t0,+∞)递增，故f(x)仅有1个极小值，故选：A．求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的极值的个数即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及导数的应用，是一道中档题．11.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=C5r2r x10−3r，令10−3r=4，得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为C5222=40．故答案为40．12.答案：1解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，高为3的直三棱锥；它的体积为V=13×12×1×2×3=1(cm3).故答案为：1．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形的直三棱锥，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．13.答案：1.2解析：本题考查了n次独立重复试验与二项分布，>离散型随机变量的期望，属于基础题.先由题意判断在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，再根据独立重复试验的期望公式即可得到结果．解：设甲在途中遇红灯次数为X，∵在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，∴X～B(3,25)，∴E(X)=3×25=1.2．故答案为1.2．14.答案：或解析：本题主要考查了三角函数诱导公式以及特殊角三角函数值的运用，属于基础题． 先根据，得到cosx =√32，再运用特殊角三角函数值以及x 的范围求解即可． 解：， ∴cosx =√32， 又， 或， 故答案为 或15.答案：x >2或x <−√2解析：本题主要考查了分段函数和函数的单调性，可通过画图解题，属于基础题．解：因为当x ≥0时，f(x)=x 2+1≥1，当x <0时，f(x)=1，所以f(x)在[0,+∞)上递增，作出f(x)的草图如下：根据图象，由f(x 2−2)>f(x)，得{x 2−2>0x²−2>x，解得x >2或x <−√2， 故答案为x >2或x <−√2．16.答案：38√5解析：本题考查等差数列的性质，以及等差数列的前n项和，属基础题目．解：设等差数列公差为d，因为a4a8=2(2a9−a12)2−4，所以(a6−2d)(a6+2d)=2(a6+a12−a12)2−4．化简得a62+4d2=4.即a624+d2=1．又S19=19(a1+a19)2=19(2a10)2=19a10=19×(a6+4d)．设，所以．所以S19最大值为38√5．故答案为38√5．17.答案：①③解析：解：①取AB中点O，连接DO、CO，∵AD=BD=√2，∴DO=1，AB=2，OC=1∵平面ABD⊥平面ABC，DO⊥AB，∴DO⊥平面ABC，DO⊥OC，∴DC=√2，①正确；②若AB⊥CD，则AB⊥平面CDO，AB⊥OC，∵O为中点，∴AC=BC，∠BAC=45°与∠BAC=30°矛盾，∴②错误；③当DO⊥平面ABC时，棱锥的高最大，此时V棱锥=13×12×AC×BC×DO=16×√3×1×1=√36.③正确．故答案是①③①结合图象，利用面面垂直的性质及直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半求解；②用反证法，假设垂直，根据线面垂直的判定与性质推到是否可能，从而得出结论；③根据棱锥的体积公式，在底面积不变的情况下，体积的大小取决于高，当平面ABD⊥平面ABC时，高最大，求出即可．本题考查面面垂直的性质、线面垂直的性质及棱锥的体积公式．V棱锥=13Sℎ．18.答案：解：函数f(x)=asin(2x−π6)−2cos2(x+π6)=asin(2x−π6)−cos(2x+π3)−1=asin(2x−π6)−sin(−2x+π6)−1=(a+1)sin(2x−π6)−1，f(x)的最小正周期为T=2π2=π；若满足①:(Ⅰ)f(x)的最大值为1，则a+1=2，解得a=1，所以f(x)=2sin(2x−π6)−1；(Ⅱ)令f(x)=1，得sin(2x−π6)=1，解得2x−π6=π2+2kπ，k∈Z；即x=π3+kπ，k∈Z；若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解，则x=π3或4π3；所以实数m的取值范围是[4π3,7π3).若满足②：(Ⅰ)f(x)的图象与直线y=−3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期为T=π，所以−(a+1)−1=−3，解得a=1；(Ⅱ)以下解法同①．若满足③：(Ⅰ)f(x)的图象过点(π6,0)，则f(π6)=(a+1)sinπ6−1=0，解得a=1；(Ⅱ)以下解法同①．解析：本题考查了利用三角函数的基本性质求解析式问题，也考查了三角函数图象与性质的应用问题，是中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式和诱导公式化简函数f(x)；(Ⅱ)令f(x)=1求得方程的解，根据方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解找出这两个解，从而写出实数m的取值范围．若满足①，利用最大值求出a 的值，写出f(x)的解析式，求出最小正周期；若满足②，利用三角函数的图象与性质列出方程求得a 的值，以下解法均相同．若满足③，利用f(x)的图象过点(π6,0)，代入求出a 的值，以下解法均相同． 19.答案：解：(1)由题意，直角梯形ABCD 中，易得AC =BC =√2，且AB =2，∴AC 2+BC 2=AB 2，即BC ⊥AC ，∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PC ⊥AC ，又∵PC ∩BC =C ，PB 、PC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ；(2)取AB 中点M ，AC =BC =√2，则MC ⊥AB ，又因为AB//CD ，所以MC ⊥CD ，因为PC ⊥底面ABCD ，CM 、CD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥CD ，MC ⊥PC所以以C 为原点，以CM ，CD ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B(1,−1,0)，P(0,0，4)，A(1,1，0)，设E(x,y ，z)，且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 (x −1,y +1,z)=13(−1,1，4)，即E(23,−23,43)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,−23,43)， 设平面EAC 的法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =0即{23x 1−23y 1+43z 1=0x 1+y 1=0, 令x 1=1，得n⃗ =(1,−1,−1)． 又BC ⊥AC ，且BC ⊥PC ，所以BC ⊥平面PAC ，故平面PAC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)，设二面角P −AC −E 的平面角为θ，由图可知其为锐角则cos θ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |·|n ⃗⃗ |=√63．解析：本题主要考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求二面角(1)推导出AC ⊥PC ，AC ⊥BC ，从而AC ⊥平面PBC ，由此能证明平面EAC ⊥平面PBC.(2)以C 为原点，取AB 中点M ，以CM ，CD ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．20.答案：解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 8=a 1+7d ，即4+7d =25，所以d =3，故a n 的通项公式为a n =3n +1，(2)因为1a n a n+1=1(3n+1)(3n+4)13(13n+1−13n+4)，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n =1a1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=13[(14−17)+(17−110)+⋯+(13n+1−13n+4)]=13[(14−13n+4)]=112−13(3n+4)<112(n ∈N ∗)解析：(1)根据等差数列的性质得出d =3，运用通项公式求解即可．(2)运用通项公式裂项1an a n+1=1(3n+1)(3n+4)13(13n+1−13n+4)，得出T n =112−13×13n+4，放缩可证明不等式．本题综合考察了数列的概念性质，运用裂项法求解数列的和，放缩法求解数列的不等式，属于中档题，题目很典型． 21.答案：解：(1)依题意，4a =4√2，a 2−b 2=1，所以a =√2，b =1 ，故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 3,y 3)，Q(x 4,y 4)，PQ 与x 轴的交点记为点N ，直线l 的方程为x =ty −1，直线m 的方程为：x =ty +4，依题意得AF 1PN =MF 1MN =BF 1QN， 则|y 1||y 3|=|y 2||y 4|，可得y1y 2=y 3y 4，令y 1y 2=y 3y 4=λ(λ<0)， 由{x =ty −1x 22+y 2=1 消去x ，得(t 2+2)y 2−2ty −1=0， 则{y 1y 2=−1t 2+2y 1+y 2=2tt 2+2，把y 1=λy 2代入整理得：(1+λ)2λ=−4t 2t 2+2①，由{x =ty +4y 2=4x消去x ，得y 2−4ty −16=0，…(9分) 则{y 3+y 4=4t y 3t 4=−16，把y 3=λy 4代入，整理得：(1+λ)2λ=−t 2②， 由①②消去λ，得4t 2t 2+2=t 2，解得t =0或t =±√2，故直线l 的方程为：x =−1或x −√2y +1=0 或x +√2y +1=0，故答案为：直线l 的方程为：x =−1或x −√2y +1=0 或x +√2y +1=0．解析：本题考查了椭圆的基本性质、直线方程、直线与椭圆的交点、直线与抛物线交点、平行直线的性质，对学生的综合能力有很高的要求．(1)求椭圆C 的方程即是求a 和b ，根据△ABF 2的周长为4a ，求出a ，在根据焦点坐标求出c ，那么b 就可以求出；(2)设出ABPQ 四点的坐标，根据三角形的相似比得它们纵坐标的关系，根据直线l 与椭圆方程得到式①，再根据直线m 与抛物线方程得到式②，最终得到l 方程．22.答案：解：(I)由 f′(x)=lnx +1，得切线的斜率为 k =f′(1)=1，又切线 l 过点 (0,−1)，所以直线 l 的方程为y =x −1；(II)∵f(x)=xlnx ，∴g(x)=f(x)−a(x−1)=xlnx−a(x−1)，∴g′(x)=lnx+1−a，∴g′(x)=0时，x=e a−1．∴①当e a−1<1时，即a<1时，g(x)在[1,e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；②当1≤e a−1≤e时，即1≤a≤2时，g(x)在[1,e]内，当x=e a−1取最小值为：e a−1(a−1)−ae a−1+a=a−e a−1；③当e a−1>e时，即a>2时，g(x)在[1,e]内单调递减，故在x=e处取得最小值为e−a(e−1)=(1−a)e+a．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，求出切线的斜率，代入切线方程即可；(Ⅱ)由已知得g′(x)=lnx+1−a，由g′(x)=0时，x=e a−1.由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数g(x)在[1,e]上的最小值．本题考查函数极值点的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。