2018届江苏省盐城中学高三全仿真模拟检测数学(文)试题(解析版)

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盐城市2018届高三年级第三次模拟考试(Word版含答案及详解)

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试英语试题第一部分: 听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的各案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题，每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What is the woman probably doing?A.W atching a movieB. Reading a newspaper.C. Making an advertisement.2.What are the speakers talking about in general?A.Their best memories of a relaxing holiday.B.Their travelling plans for the summer holiday.C.Their favorite ways of travelling around the world.3.When will the meeting begin?A.At 3:20.B. At 3:40.C. At 4:004.Where are the speakers?A.In a shop.B. In a restaurant.C. In the man’s house.5.What does the woman mean?A.She doesn’t need the man’s help.B.She expects the man to move the desk.C.She wants to remove the books from the desk.第二节(共15 小题; 每小题1分，满分15 分)听下面5段对话或独白。

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试(含答案)

开始 k ←0 S ←0S ＜20k ←k ＋2 S ←S ＋2kYN 输出S 结束第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ． 7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．函数()ln(13)f x x =-的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．10．已知函数()3sin()cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则(8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．A12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=0022a b+．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线．（1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长；（2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A B CD D 1A 1B 1C 1M N第15题图17．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域；（2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<． AO BCPα第17题图O P F 1 F 2 yx 第18题图（参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -．（1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为21222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． A BCDO· 第21（A ）图23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 758．(2,3] 9．23102 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11AC ，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ，所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//AC AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分（2）证明：因为四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ，所以1MN DD ⊥． ……8分又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形，所以1111AC B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分 16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以6c = ……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而2002sin()4AP α=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 200222sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++， ABCDDABCM N故所求函数为2sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分（2）记2sin 22sin 3()(0,)8sin()4f ααπααα++==∈+，因为22(sin cos )(22)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+-+-'=+2)24(sin cos )πααα-+=+， ……10分由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分列表如下：α(0,)12π12π 3(,)128ππ()f α' － 0 ＋ ()f α递减极小递增所以，当12πα=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b+=，得2b y a =±，所以2243b a a a -==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分（2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以303021m --⋅=-，解得98m =-， ……8分所以229315(0)(0)828MQ =--+-=，故221517()188r =+=. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得21r k =+，即229r k r -=±，……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=，化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），023x =-03y = ……14分所以(23,3)G -，(23,3)H -，所以333223PG k -==-+，所以26731()2r ==+ 故存在满足条件的r ，且67r =……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =. 因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==，故实数p 的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e-==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0x x e x e --=，00220x e x --=，设()22xn x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分 2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)022225n e ---=-≈⨯-=<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022x x e +=，此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22x xx x m e x e x ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k k a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-，所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--，由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-，所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， ……14分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--，由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+．所以22233n n b +=+（n 为偶数）．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠，所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==，即2AC BC =． ……5分因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以25,45AC BC ==由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以224CD AC AD =-=． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以1222d -==l 被曲线C 截得的弦长为22222()142-= ……10分（D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分A BCDO·22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=，1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：X0 1 2 3 P18 38 38 18…………8分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22222112211212121222a b a b a b a b b b a a a a +≥⨯=，所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++． ……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++，由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++，故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++，故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C +++++ 2222012135(21)35(21)nn n nn n C C C n C +=+++++[]212135(21)35(21)nn nn nn C C C n C +++++≥+++++ ①， …8分记01235(21)nn n n n nS C C C n C =+++++，则1(21)(21)n n n n n nS n C n C C -=++-++，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n nS n C n C n C n C =++++++++， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++，所以，301213521(1)2n nn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕． ……10分。

江苏省盐城市艺术高级中学2018年高三数学文模拟试卷含解析

江苏省盐城市艺术高级中学2018年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，在定义域x∈[﹣2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[﹣2，2]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f （x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x是奇函数，因此①正确；x∈[﹣2，2]时，[f′（x）]min=﹣4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤﹣4，因此④错误．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[﹣，]内递减，则|t﹣s|的最大值为，因此②错误；且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f （﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故选B．【点评】本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．2. 已知圆C与圆关于直线对称，则C的方程为（）A. B.C. D.参考答案：C3. 已知抛物线的动弦的中点的横坐标为，则的最大值为( ) A．B．C．D．参考答案：B【知识点】抛物线【试题解析】因为当AB过焦点时，有最大值为故答案为：B4. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】D 解析：由知，所以在上是增函数，所以，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以正确.故选【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．5. 已知F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，l1，l2为C的两条渐近线，点A在l1上，且FA⊥l1，点B在l2上，且FB∥l1，若|FA|=|FB|，则双曲线C的离心率为（）A．或B．或C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出|FA|，|FB|，利用|FA|=|FB|，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，l1：y=x，l2：y=﹣x，F（c，0）∴|FA|==b．FB的方程为y=（x﹣c），与l2：y=﹣x联立，可得B（，﹣），∴|FB|==，∵|FA|=|FB|，∴b=?，∴2c2=5ab，∴4c4=25a2（c2﹣a2），∴4e4﹣25e2+25=0，∴e=或，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．6. 设命题甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，命题乙：0<a<1，则命题甲是命题乙成立的()A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既非充分又非必要条件C略7. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）A．4π B．C．D．16π参考答案：D设球半径为R, ∵该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，∴可得，球的表面积为，故选D.8.设z =, 则复数z的虚部为A. 1B. - 1C. iD. - i参考答案：答案：B9. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B．C．D．2B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为，即可求出它的体积．【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为=2，高为；所以，该棱锥的体积为V=S底面积?h=×2=．故选：B．10. 如果函数f(x)＝sin(x＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T的偶函数，那么( ) A．T＝4π，θ＝ B．T＝4，θ＝C．T＝4，θ＝ D．T＝4π，θ＝参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则________．参考答案：12. 设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|a－i|＋|a－2j|＝，则|a＋2i|的取值范围是___________．参考答案：13. 已知实数满足，若是使得取得最小值的可行解，则实数的取值范围为参考答案：（不扣分）14. 已知某长方体的长宽高分别为，则该长方体外接球的体积为参考答案：考点：长方体的外接球.15. 方程的根，∈Z，则=----- _参考答案：216. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是_________．参考答案：略17. 若正数a，b，c满足+=+1，则的最小值是．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】根据题意，对+=+1变形可得++=2（）+1，又由基本不等式的性质分析可得++=+++++≥6，即可得2（）+1≥6，化简可得答案．【解答】解：根据题意，若+=+1，则有++=2（）+1，而++=+++++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，则有2（）+1≥6，化简可得≥，即的最小值是；故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的运用，关键是对等式变形，配凑基本不等式使用的条件．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题(精编含解析)

，
，则距离最小
解析：(I)以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面
直角坐标系，由直线的方程为
千米，
，可知
，直线的方程为，
，令，得
，所以，
千米；
.所以
(Ⅱ) 为
三点共圆，可求圆的方程为
，
(此时点为直线
与点及坐标原点之间劣弧的交点)；
，则距离最小值
平面
，
所以
，从而可得所以
平面
，所以即可证明平面
平面 .
解析：(1)取中点为，连接， .
由已知点是中点，是的中点可以证得，
四边形
，
都为平行四边形，
所以
，所以
.
因为平面，所以平面 .
平面，
点睛：面面垂直的证明的两种思路（1）用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
21．证明见解析【解析】分析：由切线的性质知
，再根据角平分线的性质及平行线的判定定理求出
. 解析：证明:如图，连接 .
因为圆与切于，所以
.
因为平分 .所以
.
又
，所以
.
所以
.
点睛：主要考查的是相似三角形判定及有关性质的应用，切线的性质，比较简单.
；(Ⅱ)
.
解析：(1)
，
所以 (2)设
，椭圆的标准方程为
，
，

江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试数学

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅uuu r uuu r的最大值为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为0022a b+．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ． 14．设ABC ∆的面积为2，若角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线．（1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长；（2）若2AB AD c ⋅=uu u r uuu r ，求角B 的大小．17．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的长度之和表示为α的函数()f α，并写出此函数的定义域；（2）试确定α的值，使得()f α最小．A B CD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 818．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r，且2AB =，求r的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（均异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()xg x ae x pa =--，,a p R ∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()xh x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<．（参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，并满足:111221222,,,,k k k k a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,k k N ≥∈），且当k 为奇数时，公差为d ；当k 为偶数时，公差为d -．（1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于点D ．若2PC PA =，求CD 的长．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为A BCD O ·第21（A ）图极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n n n n n n N C C C C ++++++≥∈L ．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．3 10． 11．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11A C ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ，所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//A C AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分（2）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ，所以1MN DD ⊥． ……8分又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形，所以1111A C B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =I ，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c = (6)分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r221111cos 2222AB AB AC c cb A=+⋅=+uuu r uu u r uuu r ，得cos c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以ABCDD 1 A 1B 1C 1M N90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP α=+，400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分（2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-=+，……10分由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a=±，所以2243b a a a-==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分（2）①因2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r ，所以2MA MP MF MB -=-uuu r uuu r uuu u r uuu r ，即2PA BF =uu r uuu r，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k = ……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=，化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y = ……14分所以(G -，H，所以2PG k ==，所以r ==. 故存在满足条件的r ，且7r =． ……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==，故实数p的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01xa e -==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0xx e x e --=，00220x e x --=，设()22xn x e x =--， ……10分则()21xn x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =； ……12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e--=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022xx e +=，此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分 20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a L 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k k a a d+=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k=时，同理可得2222222k kk a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-，所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132321222222k k k a a d d d d +--=+++++L ，所以21222(21)3k k a d λ+=+-， (10)分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--，由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-，所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k kk k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----L ，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， (14)分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--，由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+．所以22233n n b +=+（n 为偶数）．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，23121231222222n n n n n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2nn n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--． ……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠，所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==，即2AC BC =． ……5分因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC == 由射影定理，得2AC AD AB=⋅，解得2AD =，所以A BPCDO·4CD =． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=，……5分所以d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为=． ……10分（D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27． ……10分 22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=．……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=， 1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：……8分所以，X的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=，所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++L 21212()n nb b b a a a +++≥+++L L ．……4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++L 21212()k kb b b a a a +++≥+++L L 成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++L L L ，由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++L L L L ，故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++L 2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++L L ，故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521n n n n nn C C C C +++++L 2222012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +=+++++L []2012135(21)35(21)n nnnnn C C C n C+++++≥+++++LL①， ……8分记01235(21)nn n n n n S C C C n C =+++++L ，则10(21)(21)n n n n n n S n C n C C -=++-++L ，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n n S n C n C n C n C =++++++++L ， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯L ，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦L ③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++L ，所以，301213521(1)2n nn n n n n n C C C C ++++++≥L ，证毕． ……10分。

江苏省盐城市2018届高三第三次模拟考试数学试题

江苏省盐城市2017-2018学年高三第三次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 已知全集，集合，则___________．【答案】【解析】因为，所以2. 设复数满足（为虚数单位），则___________．【答案】2【解析】3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为___________．【答案】35【解析】由题意结合抽样比可得，高三年级应抽取的学生人数为. 点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)＝；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．4. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】为真命题，所以5. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是___________．【答案】【解析】只有当选取的成绩为88,92时不满足题意，由对立事件概率公式可知：这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是.6. 执行如图所示的伪代码，输出的值为___________．【答案】77. 设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则___________．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，在双曲线中：.8. 设满足，则的最大值为___________．【答案】1【解析】绘制不等式组所表示的可行域如图所示，由目标函数的几何意义可得，目标函数在线段AB上取得最大值，考查点B的坐标可得目标函数的最大值为.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.9. 将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的的图象，则的最小值为___________．【答案】【解析】由题意可得：，由诱导公式的结论可知：，取可得：.点睛：由y＝sin x的图象，利用图象变换作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．10. 已知直三棱柱的所有棱长都为2，点分别为棱的中点，则四面体的体积为___________．【答案】【解析】解：，当作为三棱锥的底面时，三棱锥的高是边长为2的等边三角形的边上的高，四面体的体积为.11. 设数列的首项，且满足，与，则___________．【答案】2056【解析】由递推关系可知该数列的奇数项构成一个首项为1，公比为2的等比数列，偶数项由其前项加1而得，前20项和中：.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．12. 若均为非负实数，且，则的最小值为___________．【答案】3...【解析】由题意可知：，故：当且仅当时等号成立.13. 已知四点共面，，，，则的最大值为__________．【答案】10【解析】解：设，由题意可得：，则：，ABC构成三角形，则：，解得：，由余弦定理：，当时，取得最大值为10.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．14. 若实数满足，则__________．【答案】二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，在四棱柱中，平面底面，且.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意由可得平面.(2)由面面平行的判断定理，平面，则平面.试题解析：证明：（1）在四棱柱中，有.又平面，平面，所以平面. ... （2）因为平面底面ABCD，交线为，底面ABCD，且，所以平面.又平面，所以平面平面.16. 设面积的大小为，且.（1）求的值；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意结合数量积的定义可得；(2) 利用(1)的结论有：，结合题意和正弦定理可得：.试题解析：解：（1）设的三边长分别为，由，得，得. 即，所以. 又，所以，故.（2）由和，得，又，所以，得①. 又，所以.在△中，由正弦定理，得，即，得②. 联立①②，解得，即.17. 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实践所示，是等腰梯形，米，（在的延长线上，为锐角），圆与都相切，且其半径长为100-80米，是垂直于的一个立柱，则当的值设计为多少时，立柱最矮？【答案】当时，立柱最矮.【解析】试题分析：利用题意建立直角坐标系，得到关于的函数：，求导之后讨论函数的单调性可知时取得最值.试题解析：解：方法一：如图所示，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.因为，，所以直线的方程为，即.设圆心，由圆与直线相切，得，...所以.令，，则，设，. 列表如下：所以当，即时，取最小值. 答：当时，立柱最矮.方法二：如图所示，延长交于点，过点作于，则，.在中，. 在中，.所以.（以下同方法一）点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．18. 已知分别是椭圆的左顶点、右焦点，点为椭圆上一动点，当轴时，.（1）求椭圆的离心率；...（2）若椭圆存在点，使得四边形是平行四边形（点在第一象限），求直线与的斜率之积；（3）记圆为椭圆的“关联圆”. 若，过点作椭圆的“关联圆”的两条切线，切点为，直线的横、纵截距分别为，求证：为定值. 【答案】（1）（2）（3）49【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于的齐次方程，求解方程组可得椭圆的离心率；(2) 由题意，，，则，结合(1)的结论可得.(3) 由（1）知椭圆方程为，圆的方程为.四边形的外接圆方程为，所以，因为点在椭圆上，则.试题解析：解：（1）由轴，知，代入椭圆的方程，得，解得.又，所以，解得. （2）因为四边形是平行四边形，所以且轴，所以，代入椭圆的方程，解得，因为点在第一象限，所以，同理可得，，所以，由（1）知，得，所以.（3）由（1）知，又，解得，所以椭圆方程为，圆的方程为①. 连接，由题意可知，，，所以四边形的外接圆是以为直径的圆，设，则四边形的外接圆方程为，即②.①－②，得直线的方程为，令，则；令，则. 所以，因为点在椭圆上，所以，所以.19. 设函数.（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.①求与的值；②对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）① .②【解析】试题分析：...(1)由奇函数的定义得到关于实数a的方程，解方程可得a=0；(2)由导函数研究函数的切线可得切点为，切线的方程为，则.(3)由题意分类讨论和两种情况可得实数的取值范围是．试题解析：解：（1）因为函数是奇函数，所以恒成立，即，得恒成立，. （2）① ，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，由点斜式得切线的方程为，即，故.② 当时，对任意的，都有;当时，对任意的，都有;故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，，当时,,,恒成立,所以在上递增,,故在上恒成立，符合题意.当时，令，得，令，得,故在上递减，所以，而设函数，则，恒成立，在上递增，恒成立，在上递增，恒成立，即，而，不合题意.综上，知实数的取值范围.20. 已知数列都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列.（1）设数列分别为等差、等比数列，若，，，求；（2）设的首项为1，各项为正整数，，若数列是等差数列，求数列的前项和；（3）设（是不小于2的正整数），，是否存在等差数列，使得对任意的，在与之间数列的项数总是？若存在，请给出一个满足题意的等差数列；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）或. （3）首项，公差的等差数列符合题意.【解析】试题分析：...(1)由题意可得；(2)由题意可得等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 数列的前项和或.(3) 存在等差数列，只需首项，公差.利用题中的结论可证得此命题成立.试题解析：解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得，，解得或，因数列单调递增，所以，所以，，所以，. 因为，，，，所以. （2）设等差数列的公差为，又，且，所以，所以. 因为是中的项，所以设，即.当时，解得，不满足各项为正整数；当时，，此时，只需取，而等比数列的项都是等差数列中的项，所以；当时，，此时，只需取，由，得，是奇数，是正偶数，有正整数解，所以等比数列的项都是等差数列中的项，所以. 综上所述，数列的前项和或.（3）存在等差数列，只需首项，公差.下证与之间数列的项数为. 即证对任意正整数，都有，即成立.由，.所以首项，公差的等差数列符合题意.点睛：学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题. （在四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内）21. A．（选修4-1：几何证明选讲）已知是圆两条相互垂直的直径，弦交的延长线于点，若，，求的长.【答案】【解析】试题分析：利用题意由割线定理和勾股定理列方程可求得.试题解析：...解：设半径为r，由切割线定理，得即，在三角形DOF中，由勾股定理，得，即.由上两式解得.22. B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵所对应的变换把曲线变成曲线：，求曲线的方程. 【答案】【解析】试题分析：利用变换矩阵求得变换为，据此可得的方程为.试题解析：设曲线C上任一点为（x,y），经过变换T变成，则，即 .又，得 .23. C.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求的值. 【答案】1【解析】试题分析：化简为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求得半径.试题解析：解：由题意得，直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.则直线和曲线相切，得.24. D．（选修4-5：不等式选讲）已知为正实数，且，证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：利用题中不等式的特点写出三个不等式，将不等式相加即可得到结论. 试题解析：证：因为，所以由基本不等式，得. 三式相加，得.又，所以. （第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内）25. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且平面....（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .（2）平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.【解析】试题分析：利用题意建立空间直角坐标系，据此可得：(1) 直线PC与平面BDM所成角的正弦值为(2) 平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.试题解析：解：因为，作AD边上的高PO，则由，由面面垂直的性质定理，得，又是矩形，同理，知,，故.以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线y轴，建立如图所示的坐标系，则，连结AC交BD于点N，由，所以，又N是AC的中点，所以M是PC的中点，则，设面BDM的法向量为，，，得，令，解得，所以取.（1）设PC与面BDM所成的角为，则，所以直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 .（2）面PAD的法向量为向量，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为，则，故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.26. 一只带中装有编号为1,2,3，…，的个小球，，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为，如，或4，或4或5，记的数学期望为.（1）求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：(1)利用题意求得，(2)利用题意归纳推理并进行证明可得...试题解析：解：（1）的概率分布为：则.的概率分布如下：则.(2) 方法一：，………………6分方法二：得猜想. 下面用数学归纳法证明.证明：①时猜想显然成立；...②假设时猜想成立，即，则，当时即时命题也成立.综上①②，对一切猜想都成立.。

江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题-Word版含答案

……01 、…此时f （九）= ,对应方程组为0 1所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10分（C）解：直线的普通方程为x + y—1 = 0 ；由p = 2,得曲线C 的普通方程 2 2x + y =4 , ........................... 5 分所以, 所以直线l被曲线C截得的弦长2 22；2"（f）2 =应. ••…10 分2 2 2 2 2 2 2(D)解：根据柯西不等式，有(x+2y+3z)主(1 +2+3)(x +y +z),因x+2y+3z=2 , 所4122232当且仅当-=1=-时等号成立，解得x = 1,y=2,z=3,1 2 3 7 7 7… 1 2 3…即当x = —，y =—，z =—时,77 710分2 1 2 1 322.解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为C3（—）（1——） = —.……2 2 84分2 1 2 1 13 1 一 1 3 1 （2）因为每人可被录用的概率为C3（一）（1-一）+（一）=一，所以P（X=0） = （1——）=—,2 2 2 2 2 8_ -1 1 1 1 2 3 _ -2 1 2 1 1 3P(X =1) =03(3(1 =)2二， P(X =2)=C2(京2(1 二)1=匕2 2 8 2 2 81 3 1P(X =3)=(二)=；•2 8故X的概率分布表为：8分所以，X 的数学期望13 3 13E(X) =0乂一十1 x一十2乂—+3尺一 =一 .-••…10分所以y = 0,23.解：(1)(里+ ^)01+a?) =W +房a 〔 a 2a十餐，a 22 2 a2。

a^----- 0,--------- 0 a i a2a2b2i a ba〔a2I』2 2ab2ab治--- 乂----- = 2D i b2 ,a〔a2b2 b2(4也)(a a2) _b； b22bb2 =(b b2)a a2b b(—+—)(a〔+a2)兰(加 +烷) a i a2.2.2 2b| b2(b| b2)所以—+—> — -------- -- , 当且仅a i a2 立. ……2分推广：2 2 2b b2bn2■ H I ■工a a2 a n(2) a i a2 a ia i bfa2,即a2 b i = a i b时等号成已知司》0（b i b2 川町）2a〔a?川a”b i 0证明：①当n=i时命题显然成立；当n=2时，由上述过程可知命题成立；②假设n=k（k芝2）时命题成立，即已知a^>0,b^>0（^ N*,i W 主k）时,有《堕.川b2 （b b2川b k）a i a2则n=k +1时,由W b2由—•一a i 球b2故a i 故na2b2a2b2 (b b2 |l| b k)2+——>------------------ 成*a k a a2 HI a k(b2 十房+川+ &)+*♦兰(b+B+lll + b k)2^ 隽a a2 a k a k ia a2 川a k(b+烷)2可知(b b2 b k)2况*' a k a k< b ki)2a k ia i a2b k b《ia k a k ik i时命题也成立.(b ia ia2b2a2 ak综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切2_+=a ki '(b b2 b k b ki)2a k a k i 'a i a2恒成立.（注：推广命题中未包含n i的不扣分）证明:由（i）中所得的推广命题知\ 3 5 2n「C n C n C n C ni23252(2n i)2H 3 5 (2n i)? ①C。

数学-江苏省盐城中学2018届高三模拟考试试题(四)

江苏省盐城中学2018届高三模拟考试数学试题（四）参考公式：1. 柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2. 圆锥的侧面积公式：S ＝12cl ，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{ |x x 2－x ＝0}，B ＝{－1，0}，则A ∪B ＝________．2. 已知复数z ＝2＋i2－i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．3. 函数y ＝log 12x 的定义域为________． 4. 如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为________． a ←0 b ←1 I ←2 While I ≤6 a ←a ＋b b ←a ＋b I ←I ＋2 End While Print b5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有________人．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y＝0，则该双曲线的离心率为________．7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________．8. 已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积是________cm 3.9. 若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：xy ＝3上任意一点P 到直线l ：x ＋3y ＝0的距离的最小值为________．11. 已知等差数列{}a n 满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28－a 22＝36，则a 11的值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．13. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x ≤1，（x －1）2，x >1，函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________．14. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝3 , AC ＝2 , ∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，tan(B －A )＝13.(1) 求tan B 的值；(2)若c ＝13，求△ABC 的面积．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点．求证：(1) MN ∥平面ABB 1A 1；(2) AN ⊥A 1B .17. (本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2.已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO ＝θ，0<θ<π2，圆锥的侧面积为S cm 2.(1) 求S 关于θ的函数关系式；(2) 为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点(1，32)，F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点．(1) 求椭圆的标准方程； (2) 若AF ＝FC ，求BFFD的值；(3) 设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数m ，使得k 2＝mk 1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．19. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，g (x )＝ln x －a (a ∈R )． (1) 当a ＝1时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2) 若存在与函数f (x )，g (x )的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．已知数列{}a n ，其前n 项和为S n ，满足a 1＝2，S n ＝λna n ＋μa n －1，其中n ≥2，n ∈N *，λ，μ∈R .(1) 若λ＝0，μ＝4，b n ＝a n ＋1－2a n (n ∈N *)，求证：数列{}b n 是等比数列； (2) 若数列{}a n 是等比数列，求λ，μ的值；(3) 若a 2＝3，且λ＋μ＝32，求证：数列{}a n 是等差数列.附加题21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123，若矩阵M ＝BA ，求矩阵M 的逆矩阵M －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t(t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证： a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是AA 1，AC 和A 1C 1的中点．以{F A →，FB →，FG →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F - xyz . (1) 求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； (2) 求二面角F - BC 1 C 的余弦值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：y 2＝4x 于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程；(2) 若直线l 1与曲线E 相切于点Q (s ，t )，过Q 且垂直于l 1的直线为l 2，直线l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B . 当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【参考答案】一、填空题1. {－1，0，1}2. 13. (0，1]4. 135. 7506. 527. 598. 54 9. 4 10. 3 11. 11 12. [2－1，2＋1] 13. [－2，2] 14. －277二、解答题15. 解：(1) 在△ABC 中，由cos A ＝35，得A 为锐角，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan （B －A ）＋tan A1－tan （B －A ）·tan A＝13＋431－13×43＝3.(2) 在△ABC 中，由tan B ＝3，所以sin B ＝31010，cos B ＝1010，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝131050，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin Bsin C ＝13×31010131050＝15，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×15×13×45＝78.16. 证明：(1) 取AB 的中点P ，连结PM ，PB 1.因为M ，P 分别是AB ，AC 的中点，所以PM ∥BC ，且PM ＝12BC .在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，因为N 是B 1C 1 的中点，所以PM ∥B 1N ，且PM ＝B 1N . 所以四边形PMNB 1是平行四边形，所以MN ∥PB 1，而MN ⊄平面ABB 1A 1，PB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN ∥平面ABB 1A 1. (2) 因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为∠ABC ＝90°，所以B 1C 1⊥B 1A 1.因为平面ABB 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1A 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.因为A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B ，即NB 1⊥A 1B .连结AB 1，因为在平行四边形ABB 1A 1中，AB ＝AA 1，所以AB 1⊥A 1B . 又NB 1∩AB 1＝B 1，且AB 1，NB 1⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥平面AB 1N . 而AN ⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥AN .17. 解：(1) 设AO 交BC 于点D ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ,在△AOE 中，AE ＝10cos θ，AB ＝2AE ＝20cos θ，在△ABD 中，BD ＝AB ·sin θ＝20cos θ·sin θ，所以S ＝12·2π·20sin θcos θ·20cos θ＝400πsin θcos 2θ(0<θ<π2)．(2) 要使侧面积最大，由(1)得 S ＝400πsin θcos 2θ＝400π(sin θ－sin 3θ)．设f (x )＝x －x 3(0<x <1)，则f ′(x )＝1－3x 2. 由f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33. 当x ∈(0，33)时，f ′(x )>0，当x ∈(33，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在区间(0，33)上单调递增，在区间(33，1)上单调递减，所以f (x )在x ＝33时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ＝33时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长AB ＝20cos θ＝201－sin 2θ＝201－（33）2＝2063. 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB 的长度为2063cm.18. 解：(1) 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎨⎧c a ＝12，1a 2＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 若AF ＝FC ，由椭圆对称性知A (1, 32)，所以B (－1, －32),此时直线BF 的方程为3x －4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －3＝0，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝137(x ＝－1舍去)，故BF FD ＝1－（－1）137－1＝73. (3) 设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，直线AF 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(15－6x 0)x 2－8y 20－15x 20＋24x 0＝0.因为x ＝x 0是该方程的一个解，所以C 点的横坐标x C ＝8－5x 05－2x 0. 又C (x C ，y C )在直线y ＝y 0x 0－1(x －1)上，所以y C ＝y 0x 0－1(x C －1)＝－3y 05－2x 0，同理，D 点坐标为(8＋5x 05＋2x 0，3y 05＋2x 0)，所以k 2＝3y 05＋2x 0－－3y 05－2x 08＋5x 05＋2x 0－8－5x 05－2x 0＝5y 03x 0＝53k 1，即存在m ＝53，使得k 2＝53k 1.19. 解：(1) 函数h (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2＋x －ln x ＋2，所以h ′(x )＝2x ＋1－1x ＝（2x －1）（x ＋1）x ，所以当0<x <12时，h ′(x )<0，当x >12时，h ′(x )>0，所以函数h (x )在区间(0，12)上单调递减，在区间(12，＋∞)上单调递增，所以当x ＝12时，函数h (x )取得极小值为114＋ln 2，无极大值．(2) 设函数f (x )上点(x 1，f (x 1))与函数g (x )上点(x 2，g (x 2))处切线相同，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，所以2x 1＋a ＝1x 2＝x 21＋ax 1＋1－（ln x 2－a ）x 1－x 2，所以x 1＝12x 2－a2，代入x 1－x 2x 2＝x 21＋ax 1＋1－(ln x 2－a )，得14x 22－a 2x 2＋ln x 2＋a 24－a －2＝0 (*). 设F (x )＝14x 2－a 2x ＋ln x ＋a 24－a －2，则F ′(x )＝－12x 3＋a 2x 2＋1x ＝2x 2＋ax －12x 3.不妨设2x 20＋ax 0－1＝0(x 0>0)，则当0<x <x 0时，F ′(x )<0，当x >x 0时，F ′(x )>0，所以F (x )在区间(0，x 0)上单调递减，在区间(x 0，＋∞)上单调递增，代入a ＝1－2x 20x 0＝1x 0－2x 0可得F min (x )＝F (x 0)＝x 20＋2x 0－1x 0＋ln x 0－2. 设G (x )＝x 2＋2x －1x ＋ln x －2，则G ′(x )＝2x ＋2＋1x 2＋1x >0对x >0恒成立，所以G (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．又G (1)＝0，所以当0<x ≤1时G (x )≤0，即当0<x 0≤1时F (x 0)≤0. 又当x ＝ea ＋2时F (x )＝14e 2a ＋4－a 2ea ＋2＋ln e a ＋2＋a 24－a －2＝14(1e a ＋2－a )2≥0，因此当0<x 0≤1时，函数F (x )必有零点；即当0<x 0≤1时，必存在x 2使得(*)成立；即存在x 1，x 2使得函数f (x )上点(x 1，f (x 1))与函数g (x )上点(x 2，g (x 2))处切线相同．又由y ＝1x －2x ，得y ′＝－1x2－2<0，所以y ＝1x －2x 在(0，1)上单调递减，因此a ＝1－2x 20x 0＝1x 0－2x 0∈[－1，＋∞)，所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．20. (1) 证明：若λ＝0, μ＝4，则当S n ＝4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4(a n －a n －1)，即a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n ＝2b n －1. 又由a 1＝2，a 1＋a 2＝4a 1，得a 2＝3a 1＝6，a 2－2a 1＝2≠0，即b n ≠0，所以b nb n －1＝2，故数列{}b n 是等比数列．(2) 解：若{}a n 是等比数列，设其公比为q (q ≠0)，当n ＝2时，S 2＝2λa 2＋μa 1，即a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1，得1＋q ＝2λq ＋μ ①，当n ＝3时，S 3＝3λa 3＋μa 2，即a 1＋a 2＋a 3＝3λa 3＋μa 2，得1＋q ＋q 2＝3λq 2＋μq ②，当n ＝4时，S 4＝4λa 4＋μa 3，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4λa 4＋μa 3，得1＋q ＋q 2＋q 3＝4λq 3＋μq 2 ③， ②－①×q ，得1＝λq 2 ,③－②×q ，得1＝λq 3 , 解得q ＝1, λ＝1. 代入①式，得μ＝0.此时S n ＝na n (n ≥2)，所以a n ＝a 1＝2，{}a n 是公比为1的等比数列，故λ＝1,μ＝0.(3) 证明：若a 2＝3，由a 1＋a 2＝2λa 2＋μa 1，得5＝6λ＋2μ，又λ＋μ＝32，解得λ＝12，μ＝1.由a 1＝2，a 2＝3, λ＝12 ，μ＝1，代入S n ＝λna n ＋μa n －1得a 3＝4，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，由S n ＝n2a n ＋a n －1，得S n ＋1＝n ＋12a n ＋1＋a n ，两式相减得a n ＋1＝n ＋12a n ＋1－n2a n ＋a n －a n －1，即(n －1)a n ＋1－(n －2)a n －2a n －1＝0，所以na n ＋2－(n －1)a n ＋1－2a n ＝0，相减得na n ＋2－2(n －1)a n ＋1＋(n －2)a n －2a n ＋2a n －1＝0，所以n (a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＋2(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋2－2a n ＋1＋a n )＝－2n (a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝22n （n －1）(a n －2a n －1＋a n －2)＝…＝（－2）n －1n （n －1）·…·2(a 3－2a 2＋a 1)．因为a 1－2a 2＋a 3＝0，所以a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，即数列{}a n 是等差数列．附加题21. A. 证明：连结AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD ⊥BD . 又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，F 四点共圆，所以BD ·BE ＝BA ·BF . 又△ABC ∽△AEF ，所以AB AE ＝ACAF ，即AB ·AF ＝AE ·AC ，所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2. B. 解：因为M ＝BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－12－3，所以M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310110－1525. C. 解：把直线方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝22＝2，所以直线l 与圆C 相切． D. 证明：因为[(1＋a )＋(1＋b )＋(1＋c )＋(1＋d )](a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d )≥(1＋a ·a1＋a＋1＋b ·b 1＋b ＋1＋c ·c 1＋c ＋1＋d ·d 1＋d )2＝(a ＋b ＋c ＋d )2＝1，又(1＋a )＋(1＋b )＋(1＋c )＋(1＋d )＝5，所以a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.22. 解：(1) 因为AB ＝1，AA 1＝2，则F (0，0，0)，A (12，0，0)，C (－12，0，0)，B (0，32，0)，E (12，0，1)，所以AC →＝(－1，0，0)，BE →＝(12，－32，1)，记直线AC 和BE 所成角为α，则cos α＝|cos 〈AC →，BE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（－1）×12（12）2＋（－32）2＋1＝24，所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为24. (2) 设平面BFC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1) , 因为FB →＝(0，32，0)，FC 1→＝(－12，0，2)，则⎩⎨⎧m ·FB →＝32y 1＝0，m ·FC 1→＝－12x 1＋2z 1＝0，取x 1＝4得m ＝(4，0，1).设平面BCC 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，因为CB →＝(12，32，0)，CC 1→＝(0，0，2)，则⎩⎨⎧n ·CB →＝12x 2＋32y 2＝0，n ·CC 1→＝2z 2＝0，取x 2＝3得n ＝(3，－1，0)．所以cos 〈m ，n 〉＝4×3＋（－1）×0＋1×0（3）2＋（－1）2＋02×42＋02＋12＝25117.根据图形可知二面角F -BC 1-C 为锐二面角，所以二面角F -BC 1-C 的余弦值为25117.23. 解：(1) 因为抛物线C 的方程为y 2＝4x ，所以F 的坐标为(1，0)．设M (m ，n )，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为|n |，点P (n 2，2n )，则直线PF 的方程为y 2n ＝x －1n 2－1，即2n (x －1)－y (n 2－1)＝0，所以|2n （m －1）－n （n 2－1）|（2n ）2＋（n 2－1）2＝|n |.又m ，n ≠0，所以|2m －n 2－1|＝n 2＋1，即n 2－m ＋1＝0，所以E 的方程为y 2＝x －1(y ≠0)． (2) 设Q (t 2＋1，t ), A (0，y 1)，B (0，y 2)，由(1)知，点Q 处的切线l 1的斜率存在，由对称性不妨设t >0，由y ′＝12x －1，所以k AQ ＝t －y 1t 2＋1＝12t 2＋1－1，k BQ ＝t －y 2t 2＋1＝－2t 2＋1－1，所以y 1＝t 2－12t，y 2＝2t 3＋3t ,所以AB ＝⎪⎪⎪⎪2t 3＋3t －t 2＋12t ＝2t 3＋52t ＋12t(t >0)．令f (t )＝2t 3＋52t ＋12t ，t >0，则f ′(t )＝6t 2＋52－12t 2＝12t 4＋5t 2－12t 2.由f ′(t )>0得t >－5＋7324，由f ′(t )<0得0<t <－5＋7324，所以f (t )在区间(0，－5＋7324)上单调递减，在(－5＋7324，＋∞)上单调递增，所以当t ＝－5＋7324时，f (t )取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值．此时s ＝t 2＋1＝19＋7324.。

【最后一卷】江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测英语试题

【最后一卷】江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则A B ⋂= . 2.命题:若2a ≥，则24a ≥.其否命题是 .3.已知直线l 过点(2,1)P ，且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为 .4.一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是 .5.根据如下图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，输出的S 值为 .6.有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为 .7.已知ABC ∆的等比数列，则其最大角的余弦值为 .8.已知函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩若()f a a =，则实数a = .9.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为.10.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a = .11.如果双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为 .12在ABC ∆中， 5,4AB AC ==，且12AB AC ⋅=，P 为ABC ∆所在平面内的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 .13.若函数2()f x mx =+2cos ()x m m R +∈在0x =处取得极小值，则实数m 的取值范围是 .14.已知数列{}n a 的首项1a a =， 121n n a a n ++=-.若对*n N ∀∈，且2n ≥，不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，点P 是CD 中点， Q 是11A B 的中点.(I)求证: AQ ∥平面1PBC ；(l)若1BC CC =，求证:平面11A B C ⊥平面1PBC .16.在平面直角坐标系xOy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.(I)求cos α的值； (Ⅱ)求5cos(2)6πα-的值.17.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2，12F F 、分别为其左右焦点，过2F 的直线与椭圆交于A B 、两点，直线AB 的斜率为-1.(I)若直线AB 与椭圆的右准线交于点C 且1224CF CF ⋅=，求椭圆的标准方程； (Ⅱ)若222OA OB AB +<，求2a 的取值范围.18.某市公园内的人工湖上有一个以点C 为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB ，在AB 的另一侧建有控制台O ，OA 和OB 之间均有小径连接(小径均为直路)，且34AOB π∠=，喷泉中心C 点距离B 点60米，且CB 连线恰与OA 平行，在小径AB 上有一拍照点Q ，现测得OB = 20OQ =米，且OQ OA ⊥.(I)请计算小径AB 的长度；(Ⅱ)现打算改建控制台O 的位置，其离喷泉尽可能近，在点A B C 、、的位置及AOB ∠大小均不变的前提下，请计算OC 距离的最小值；(Ⅲ)一人从小径一端A 处向B 处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t 分钟后的水幕是一个以C 为圆心，半径r =(含边界)，此人的行进速度是v =/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a 的最小值.19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈n a λμ+.(I)若122,6a a ==，求数列{}n a 的通项公式； (I)若1322a a a +=，求证: {}n a 是等差数列. 20.已知函数231()3f x a x x =-，1()1n ()g x a x a R x =+∈.(I)若0a >，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间；(Ⅱ)若()f x 存在极小值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证: 1020x x +=； (Ⅲ)试问过点(0,2)P 可作多少条直线与()g x 的图像相切?并说明理由.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题，井在答题卡指定区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答，．．若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，过点A 的圆与BC 切于点D ，且与AB AC 、分别交于点E F 、. 已知AD 为BAC ∠的平分. 求证: EF BC ∥ B.选修4-2：矩阵与变换直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转45的变换R 所对应的矩阵为M ，每个T 所对应的矩阵为N . (I)求矩阵M 的逆矩阵1M-；(Ⅱ)求曲线1xy =先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程. C.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为1cos 6sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).(I)求曲线C 的直角坐标方程;(I)若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数. D.选修4-5:不等式选讲已知0a b >>，且1()m a a b b=+-.(I)试利用基本不等式求m 的最小值t ；(Ⅱ)若实数,,x y z 满足2224x y z t ++=，求证：|2|3x y z ++≤.[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分.请把笞案写在答题纸的指定区域内. 22.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PA ⊥面ABCD ，且2PA AD ==，点,M N 分别在,PD PC ， 12PN NC =，PM MD =.(I)求证：PC ⊥面AMN ；(Ⅱ)求二面角B AN M --的余弦值.23.袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n 次后，袋中红球的个数记为n X . (I)求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ； (Ⅱ)求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式.【最后一卷】江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题参考答案一、填空题 1. {1,2}- 2.若2a <，则24a <. 3. 310x y -+= 4.235. 96. 317. 4-8.23或 -1 9. 6π 10. 312. 658-13. [1,)+∞ 14. 21a -≤≤ 二、解答题15.解：(1)取AB 中点为R ，连接PR ，1B R . 由已知点P 是CD 中点， Q 是11A B 的中点可以证得，四边形1AQB R ，11PRB C 都为平行四边形，所以111,AQ B R B R PC ∥∥，所以1AQ PC ∥. 因为AQ ⊄平面1PBC ，1PC ⊂平面1PBC ，所以AQ ∥平面1PBC .(Ⅱ)因为四棱柱1111ABCD A BC D -为长方体， 1BC CC =，所以11B C BC ⊥. 因为11A B ⊥平面11BBC C ，所以111A B BC ⊥. 因为1111A B B C B =，11A B ⊂平面11A B C ，1B C ⊂平面11A B C ，所以1BC ⊥平面11A B C ， 1BC ⊂平面1PBC ，所以平面11A B C ⊥平面1PBC . 16. 解:(1)由于角4πα+其终边经过点(2,1)P -，故cos()45πα+=-，sin()45πα+=.cos cos()44ππαα∴=+-cos()cossin 44ππα=++()sin4410ππα+=.(2) sin sin()44ππαα=+-sin()coscos 44ππα=+-()sin44ππα+=. 则sin 22sin cos ααα==23cos 2cos 5αα-=-24sin 5α=-，55cos(2)cos 66ππα-=5cos2sin sin 26παα+=17. 解:(1) 22(,1)C a a -，2222()1(1)24a a -+-=，所以24a =，椭圆的标准方程为22143x y +=. (2)设:(1)l y k x =-， 11(,)A x y ， 22(,)B x y222||||||OA OB AB +<cos AOB ∴∠=222||||||02||||OA OB AB OA OB +-<AOB ∴∠为钝角12120OA OB x x y y ∴⋅=+<联立直线与椭圆方程222222(1)y x b x a y a b=--⎧⇒⎨+=⎩222222(1)b x a x a b +-=，其中1c =整理可得:2222()2a b x a x +-222()0a a b +-=212222a x x a b ∴+=+，2221222a ab x x a b -=+.1212(1)(1)y y x x ∴=--1212()1x x x x =-++1212122x x y y x x ∴+=-12()12x x ++=2222222221a a b a a b a b --+++代入1c =1212x x y y ∴+=24224221021a a a a --+<-，422410a a ∴-+>解得：222a +>22(12a -<<舍去）. 18.解:(I)以O 为坐标原点， AO 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AO 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由OB = 34AOB π∠=，可知(40,40)B ，直线OB 的方程为y x =，(0,20)Q .所以直线AB 的方程为1202y x =+，令0y =，得(40,0)A -，所以，AB =千米；(Ⅱ) O A B 、、三点共圆，可求圆的方程为22(20)(60)4000x y ++-=，(20,40)C -，则OC 距离最小值为20- (此时点O 为直线20x =-与点A 及坐标原点之间劣弧的交点)； (Ⅲ)因为C 在B 的正西方向，且60CB =千米，所以(20,40)C -.人从A 行驶到B 所需要4= (分钟)，假设在(04)t t <<时刻人所在的位置为M ，则10A M =千米，所以(2040,10)M t t -，则22(2020)CM t =-+2(1040)100t -=2(51620)t t -+.又在(04)t t <<时， 2100r at =，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在(0,4)t ∈，使得22r CM ≥，即2100100(51620)at t t ≥-+成立，所以存在(0,4)t ∈，使得45()16a t t≥+-成立，当(0,4)t ∈时， 45()1652t t+-≥⨯164=，当且仅当4t t =，即2t =时取等号. 所以4a ≥，即实数a 的最小值为4.19.解:(1)根据题意，有+6+λμλμ=⎪⎩，解得=2λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故21=28n n S a +()，当*2,n n N ≥∈时有2111=28n n S a --+()，两式相减得11()()n n n n a a a a --+-14()n n a a -=+，又0n a >恒成立，则14n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，故42n a n =-，(2)根据题意，有()()()211212221233()1()23()a a a a a a a a a λμλμλμ⎧=+⎪+=+⎨⎪++=+⎩，因为1322a a a +=，所以可设3221a a a a d -=-=， (2)-(1)得212(2)a a a d λλμλ=++⋅ (4)， (3)-(2)得323(2)a a a d λλμλ=++⋅ (5)(5)-(4)得222d d λ=，当0d =时20a =故舍，则有212dλ=，代入(4)式得41λμ=，代入(1)式得12d a =，所以2222n n n S a a λλμμ=++211228n n d a a d =++，当*2,n n N ≥∈时有211111228n n n d S a a d ---=++. 两式相减得2211()2n n n a a a d -=-11()2n n a a -+-，整理得11()()0n n n n a a a a d --+--=. 又0n a >恒成立，则1n n a a d --=，所以{}n a 是等差数列. 20. 解:(1) 0a >，21()(1)(1)h x ax ax x'=-++所以()h x 的单调减区间为1(0,)a 单调增区间为1(,)a+∞； (2) 22()1f x a x '=-，()f x 存在极小值点0x ，则2201a x =. 10()()f x f x =，则232311001133a x x a x x -=-，所以221011()[(x x a x x -+⋅200)3]0x x +-=代入2201a x =所以21011()(x x x x -+⋅2002)0x x +=，则21010()(2)0x x x x -+=，又10x x ≠，所以1020x x +=； (3) 0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线. 设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即000111n 2a x a x x +-=-，化简得：0021n 20a x a x +--= 设2()1n 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数.2222()a ax F x x x x -'=-+= ①当0a =时， 2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1；②当0a <时， 22()0ax F x x-'=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e =-<故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时， ()F x 在(0,)+∞上恰有个零点；③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增，故()F x 在(0,)+∞至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数1n y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞，故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使021n a x a+>，此时 0002()1n 2F x a x x =+--0022(1n )0a a a x x a+=+-> 由于21a a+>，函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点；11(1)1()2a a aaF eea -++++=-1(1)2a a a ++--=1122(23)a a e a a ++-++先证明当0a >时， 112(2)a ae a ++≥+，即证1121n(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而21n(2)21n4a +≤，由于21n41n163=< 若[2)a ∈+∞，构建函数1()1x x x ϕ=++21n(2)x -+，212()12x x x ϕ'=--=+322(2)x x x x --=+22(1)20(2)x x x x -->+()x ϕ在[2)+∞为增函数， ()(2)3a ϕϕ≥=121n402+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以112222(2)a aea a ++≥+=223(25)a a a +++++223a a >++，故1(1)()0a aF e-++>又(1)0F <，1(1)1a ae -++<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点.∴当0a >时， ()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线.数学Ⅱ(附加题)21. 【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲证明:如图，连接ED .因为圆与BC 切于D ，所以BDE BAD ∠=∠. 因为AD 平分BAC ∠.所以BAD DAC ∠=∠. 又DAC DEF ∠=∠，所以BDE DEF ∠=∠. 所以EF BC ∥. B.选修4-2:矩阵与变换解：（Ⅰ） 22M -⎢⎥=⎥⎥⎦，||1M =，11||M M -∴= 22⎤⎥⎢⎢⎢⎣22⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎣.（Ⅱ）2 0N ⎡⎤=⎢⎢⎣，22M -⎢⎥=⎥⎥⎦， 1 11 1NM -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x y y x y '=-⎧∴⇒⎨'=+⎩22x y x x y y ''+⎧=⎪⎪⎨''-+⎪=⎪⎩代入1xy =中得：224y x ''-=. 故所求的曲线方程为: 224y x -=. C.选修4-4:坐标系与参数方程解:(I)由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=；(Ⅱ)由直线l 的参数方程消去参数t 得1)y x +=-，即40x-=. 因为圆心(2,0)C 到直线l 的距离为1d ==，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个. D.选修45:不等式选讲解:(I)由三个数的均值不等式得：()m a b b =-++13()a b b ≥-3=(当且仅当1a b b a b-==-即1,2b a ==时取“=”号)，故有3t =. （Ⅱ）3x y z ++=，由柯西不等式得：222[(2)]x y z ++2222(111)(2)x y z ++≥++（当且仅当2111x y z ==即63,55x z y ===时取“=”号）整理得：2(2)9x y z ++≤，即|2|3x y z ++≤. 22. 解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系.又2PA AD ==，(0,0,2)P ∴ ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B(0,1,1)M ∴，(2,2,0)C .(2,2,2)PC ∴=-，(0,1,1)AM =.0220PC AM ⋅=+-=，PC AM ∴⊥.设(,,)N x y z12PN NC =，求得224(,,)333N . 4480333PC AN ⋅=+-= ，AN PC ∴⊥.又PC AM ⊥且AM AN A =，PC ∴⊥面AMN .(Ⅱ)设平面BAN 的法向量为(,,)n x y z =，n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(0,2,1)n ∴=- (2,2,2)PC =-是平面AMN 的法向量， cos n ∴<，15=5||||n PC PC n PC ⋅>=.∴二面角B AN M --的余弦值为5. 23. 解:(1)由题意可知23,4,5X =.当23X =时，即二次摸球均摸到红球，其概率是2133211889(3)64C C P X C C ==⨯=；当24X =时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率2(4)P X ==11113554111188883564C C C C C C C C +=；当25X =时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是1154211885(5)16C C P X C C ===. 所以随机变量2X 的概率分布如下表：(一个概率得一分不列表不扣分) 数学期望29()3464E X =⨯+3552675641664⨯+⨯=. (Ⅱ)设(3)n P X k pk =+=，0,1,2,3,4,5k =.则0123p p p p +++451p p ++=，012()345n E X p p p =++345678p p p +++.103(3)8n P X p +==，10154(4)88n P X p p +==+，11245(5)88n P X p p +==+，12336(6)88n P X p p +==+，13427(7)88n P X p p +==+，14518(8)88n P X p p +==+.所以，+1()n E X .001354=3+4()888p p p ⨯⨯+12455()688p p +⨯++⨯2336()788p p ++⨯3427()888p p ++4518()88p p ⨯+ 012293643888p p p =++345505764888p p p +++ 0127(3458p p p =+++3450678)p p p p ++++12345p p p p p ++++7()18n E X =+. 由此可知，+17()8(()8)8n n E X E X -=-. 又135()88E X -=-，所以1357()8()88n n E X -=-.。

江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学含答案

第6题图江苏省盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 ▲ ．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为 ▲ ．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为 ▲ ．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的 ▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．8．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 ▲ ． 10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为 ▲ ．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ ．12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅uuu r uuu r的最大值为 ▲ ．13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ▲ ．14．设ABC ∆的面积为2，若角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线．（1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长；（2）若2AB AD c ⋅=u u u r u u u r ，求角B 的大小．A B CD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 817．(本小题满分14分)如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的长度之和表示为α的函数()f α，并写出此函数的定义域；（2）试确定α的值，使得()f α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2M A M B M P M F +=+u u u r u u u r u u u r u u ur ，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（均异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出rAO BCPα第17题图19．(本小题满分16分)若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()x g x ae x pa =--，,a p R ∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()x h x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<．（参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，并满足:111221222,,,,k k k k a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,k k N ≥∈），且当k 为奇数时，公差为d ；当k 为偶数时，公差为d -．（1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．31011．12n - 12．1327 13．3(,]4-∞- 14．二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11AC ，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ，所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//AC AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分（2）证明：因为四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ，所以1MN DD ⊥． ……8分又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形，所以1111AC B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =I ，所以MN ⊥平面1A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分ABCDD 1 A 1B 1C 1M N故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c = (6)分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+uuu r uu u r uuu r ，得c c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得22b c a=+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP α=+400sin sin()4OP απα=+． ……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA απαα++=+=+++，故所求函数为sin )()sin()4l ααπα=+，3(0,)8πα∈． ……6分（2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα==∈++，因为c()f α'=24(πααα-+=+，……10分由()0f α'=，得1si n ()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=． ……12分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a=±，所以2243b a a a-==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分（2）①因2MA MB MP MF +=+uuu r uuu r uuu r uuu u r ，所以2MA MP MF MB -=-uuu r uuu r uuu u r uuu r ，即2PA BF =uu r uuu r，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQAB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m--⋅=---，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M相切，得r =，即k = ……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=，化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y ……14分所以(G -，H，所以2PG k ==，所以7r ==. 故满足条件的r，且r =……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10xx ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，得00x a e -=>，00(1)xp e x =-，设()(1)x m x e x =-， ……6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==，故实数p的取值范围为(,1]-∞． ……8分②当p 取最大值时，1p =，00x =，01xa e -==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0x x e x e --=，00220x e x --=，设()2x n x e x =--， ……10分则()21x n x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增， 1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =； ……12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e --=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022x x e+=，此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． ……16分 20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a L 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=． ……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以212222k k k a a d+=+，同理可得2221222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k=时，同理可得2222222k k k a a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n n n a a n a a ++---==≥-，所以数列{}2*22||()n n aa n N +-∈是以2为公比的等比数列． ……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++L ，所以21222(21)3k k a d λ+=+-， (10)分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--，由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-，所以22233n n b +=-（n为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----L ，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--， (14)分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--，由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+．所以22233n n b +=+（n 为偶数）．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，2311231222222n n nn n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈． ……12分①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2nn n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--． ……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠，所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==， A BCDO·即2AC BC =． ……5分因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==由射影定理，得2A C A D A B =⋅，解得2AD =，所以4CD ==． ……10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以20 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ． ……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2． ……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=，……5分所以d ==，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为= ……10分（D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，22x y z ++取最小值27． ……10分 22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=，1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===．故X 的概率分布表为：……8分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……10分23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥，所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b a b =时等号成立． ……2分推广：已知i a >,i b >(,1i N i n*∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++L 21212()n nb b b a a a +++≥+++L L ．……4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立；②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++L 21212()k kb b b a a a +++≥+++L L 成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++L L L ，由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++L L L L ，故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++L 2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++L L ，故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立． ……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C +++++L 2222012135(21)35(21)n n n n nn C C C n C +=+++++L []212135(21)35(21)n nnnnn C C C n C+++++≥+++++LL①， ……8分记01235(21)n n n n n nS C C C n C =+++++L ，则10(21)(21)n n n n n nS n C n C C -=++-++L ，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)n n n n n n S n C n C n C n C =++++++++L ， 012(22)()(22)2n n n n n n n C C C C n =+++++=+⨯L ，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦L ③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++L ，所以，301213521(1)2n nn n n n n n C C C C ++++++≥L ，证毕． ……10分。

江苏盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(201805)

第6题图盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 圆锥侧面积公式：S rl π=，其中r 为底面半径,l 为母线长.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差：2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为．2．设复数1a iz i+=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为． 3．设数据12345,,,,a a a a a 的方差为1，则数据123452,2,2,2,2a a a a a 的方差为．4．一个袋子中装有2个红球和2个白球（除颜色外其余均相同），现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为．5．“2,6x k k Z ππ=+∈”是“1sin 2x =”成立的．条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）．6．运行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为．7．若双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两条渐近线与抛物线24y x =交于,,O P Q 三点，且直线PQ 经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为． 8．函数()ln(1f x =的定义域为．9．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为．10．已知函数())cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2π，则()8f π-的值为．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2()n n S a n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ． 12．如图，在18AB B ∆中，已知183B AB π∠=，16AB =，84AB =，点234567,,,,,B B B B B B 分别为边18B B 的7等分点，则当9(18)i j i +=≤≤时，i j AB AB ⋅的最大值为． 13．定义：点00(,)M x y 到直线:0l ax by c ++=的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆22(18)81x y +-=上存在一点，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为．14．设ABC ∆的面积为2，若,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则22223a b c ++的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知底面ABCD 是菱形，,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点．（1）求证：AC ∥平面DMN ；（2）求证：平面DMN ⊥平面11BB D D ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，AD 为边BC 上的中线．（1）若4a =，2b =，1AD =，求边c 的长；（2）若2AB AD c ⋅=，求角B 的大小．A BCD D 1 A 1 B 1 C 1MN第15题图第12题图AB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=．（1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域；（2）试确定α的值，使得()l α最小．18．(本小题满分16分)如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出rAO BCPα第17题图若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．设函数()x g x ae x pa =--，,a p R ∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）已知函数()g x 为“恒切函数”．①求实数p 的取值范围；②当p 取最大值时，若函数()()x h x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016m ≤<．（参考数据：320e ≈）20．(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知121,a a λ==，满足111221222,,,,n n n n a a a a ---++⋅⋅⋅是等差数列（其中2,n n N ≥∈），且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为d -．（1）当1λ=，1d =时，求8a 的值；（2）当0d ≠时，求证：数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是等比数列；（3）当1λ≠时，记满足2m a a =的所有m 构成的一个单调递增数列为{}n b ，试求数列{}n b 的通项公式．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知半圆O 的半径为5，AB 为半圆O 的直径，P 是BA 延长线上一点，过点P 作半圆O 的切线PC ，切点为C ，CD AB ⊥于D ．若2PC PA =，求CD 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 0 a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值1的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的另一个特征值和对应的一个特征向量．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（单位长度相同），设曲线C 的极坐标方程为2ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．(选修4-5：不等式选讲）已知正数,,x y z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值．A BCDO·第21（A ）图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目,,A B C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过,,A B C 每个项目测试的概率都是12．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 23．（本小题满分10分）（1）已知*0,0()i i a b i N >>∈，比较221212b b a a +与21212()b b a a ++的大小，试将其推广至一般性结论并证明；（2）求证：3*01213521(1)()2n nn n nn n n n N C C C C ++++++≥∈．盐城市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．2m ≥ 2．1- 3．4 4．565．充分不必要 6．21 78．(2,3] 9．31011．12n - 12．1327 13．答案：3(,]4-∞-14．答案：二、解答题：本大题共90小题.15．（1）证明：连接11AC ，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，因为11//AA BB ，11//BB CC ，所以11//AA CC ，所以11A ACC 为平行四边形，所以11//AC AC ． ……2分又,M N 分别是棱11,A D 11D C 的中点，所以11//MN AC ，所以//AC MN ． ……4分又AC ⊄平面DMN ，MN ⊂平面DMN ，所以AC ∥平面DMN ． ……6分（2）证明：因为四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱，所以1DD ⊥平面1111A B C D ，而MN ⊂平面1111A B C D ，所以1MN DD ⊥． ……8分又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面1111A B C D 也是菱形，所以1111AC B D ⊥，而11//MN AC ，所以11MN B D ⊥．……10分又1MN DD ⊥，111,DD B D ⊂平面1111A B C D ，且1111DD B D D =，所以MN ⊥平面1111A B C D ． ……12分而MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面11BB D D ． ……14分16．解：（1）在ADC ∆中，因为11,2,22AD AC DC BC ====，所以由余弦定理，得2222222217cos 22228AC DC AD C AC DC +-+-===⋅⨯⨯． ……3分故在ABC ∆中，由余弦定理，得2222272cos 4224268c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =……6分（2）因为AD 为边BC 上的中线，所以1()2AD AB AC =+，所以21()2c AB AD AB AB AC =⋅=⋅+ABCDDABCM N221111cos 2222AB AB AC c cb A =+⋅=+，得cos c b A =． ……10分则2222b c a c b bc+-=⋅，得222b c a =+，所以90B =︒． ……14分17．解：（1）在APO ∆中，由正弦定理，得sin sin sin AP OP AOAOP PAO APO==∠∠∠，即400sin sin sin()44AP OP ππαα==+，从而sin()4AP α=+400sin sin()4OP απα=+．……4分所以()l α＝400sin 22sin()sin()44OP PA PB OP PA αππαα++=+=+⨯++，故所求函数为()sin()4l αα=+3(0,)8πα∈． ……6分（2）记sin 23(),(0,)sin cos 8sin()4f ααπααπααα+==∈++，因为2(sin cos )(2)(cos sin )()(sin cos )f ααααααααα+--'=+2)4(sin cos )πααα-+=+， ……10分由()0f α'=，得1sin()42πα-=-，又3(0,)8πα∈，所以12πα=．……12分列表如下：所以，当12α=时，()l α取得最小值．答：当12πα=时，()l α最小． ……14分 18．解：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a =±，所以2243b a a a-==， ……2分化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． ……4分（2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ， ……6分因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以303021m --⋅=-，解得98m =-， ……8分所以158MQ ==，故178r ==. ……10分② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M 相切，得r =，即k =……12分所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=，化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =- 所以0y……14分所以(G -，H，所以PG k ==，所以r ==. 故存在满足条件的r ，且r =……16分 19．解：（1）()1x g x ae '=-， ……2分当0a ≤时，()0g x '<恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；当0a >时，由()0g x '=得ln x a =-，由()0g x '>得ln x a >-，由()0g x '<得ln x a <-，得函数()g x 在(,ln )a -∞-上单调递，在(ln ,)a -+∞上单调递增． ……4分（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图像与直线y kx b =+相切，设切点为00(,)x y ，则0()f x k k '+=且000()f x kx b kx b ++=+，即0()0f x '=，0()0f x =.因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得0()0g x '=，0()0g x =，即0000 10x x ae x pa ae ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，得00x a e -=>，00(1)x p e x =-，设()(1)x m x e x =-，…6分则()xm x xe '=-，()0m x '<，得0x >，()0m x '>，得0x <，故()m x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，从而[]max ()(0)1m x m ==，故实数p 的取值范围为(,1]-∞． ……8分 ②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e-==，()(1)x x h x e x e m =---，()(22)x x h x e x e '=--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得0()0h x '=，0()0h x =，由0()0h x '=得000(22)0x x e x e --=，00220xe x --=，设()22x n x e x =--，……………… 10分则()21x n x e '=-，()0n x '>得ln 2x >-，()0n x '<得ln 2x <-，故()n x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，1°在单调递增区间(ln 2,)-+∞上，(0)0n =，故00x =，由0()0h x =，得0m =；…12分2°在单调递减区间(,ln 2)-∞-上，2(2)20n e --=>，31223111()22(20)02222n e ---=-≈⨯-=-<，又()n x 的图像在(,ln 2)-∞-上不间断，故在区间3(2,)2--上存在唯一的0x ，使得00220xe x --=，故0022x x e+=，此时由0()0h x =，得00000022(1)(1)22xx x x m e x ex ++=--=-- 001(2)4x x =-+2011(1)44x =-++，函数211()(1)44r x x =-++在3(2,)2--上递增，(2)0r -=，33()216r -=，故3016m <<．综上1°2°所述，3016m ≤<． (16)分20．解：（1）由1λ=，1d =，所以21a =，234,,a a a 为等差数列且公差为1-，所以4221a a =-=-，又458,,a a a 为等差数列且公差为1，所以8443a a =+=．……2分（2）当21n k =+时，22221221222,,,,k k k k a a a a +++⋅⋅⋅是等差数列且公差为d ，所以2122222k k ka a d +=+，同理可得22121222k k k a a d --=-， ……4分两式相加，得212121222k k k a a d +---=；当2n k =时，同理可得2222222k k ka a d +-=-， ……6分所以222||2n n na a d +-=．又因为0d ≠，所以21122122||22(2)||2n n n n nn a a n a a ++---==≥-，所以数列{}2*22||()n n a a n N +-∈是以2为公比的等比数列．……8分（3）因为2a λ=，所以4222a a d d λ=-=-，由（2）知212121222k k k a a d +--=+，所以212123212321222222k k k k k k a a d a d d +-----=+=++，依次下推，得211132*********k k k a a d d d d +--=+++++，所以21222(21)3k ka d λ+=+-， ……10分当212222k k n ++≤≤时，212321222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=--=+--，由2m a a =，得232233k m +=-，所以23212233k k b ++=-，所以22233n n b +=-（n 为奇数）； ……12分由（2）知222222222222222k k k k k k a a d a d d +--=-=--，依次下推，得22224222222222k k k a a d d d d +-=-----，所以22224(21)23k k a d d λ+-=--，……14分当222322k k n ++≤≤时，222422222(2)()33k k k n a a n d n d λ+++=+-=+--，由2m a a =，得242233k m +=+，所以24222233k k b ++=+．所以22233n n b +=+（n 为偶数）．综上所述，2222(3322(33n nn n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分方法二：由题意知，2311231222222n n nn n b b b b b +++=<<<<<⋅⋅⋅<<<<<<⋅⋅⋅， ……10分当n 为奇数时，1221222,,,,n n n n a a a a +++⋅⋅⋅的公差为d -，1112221222,,,,n n n n a a a a ++++++⋅⋅⋅的公差为d ，所以112(2)()n n n b n a a b d ++=---，11112(2)n n n b n a a b d ++++=+-，则由12n n b b a a a +==，得111(2)()(2)n n n n b d b d +++---=-，即212n n n b b +++=．同理，当n 为偶数时，也有212n n n b b +++=．故恒有2*12()n n n b b n N +++=∈．…12分 ①当n 为奇数时，由3212n n n b b ++++=，212n n n b b +++=，相减，得222n n n b b ++-=，所以532311()()(222)2n n n n b b b b b b -=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅+++13222(14)2221433n n -+-=+=--．……14分②当n 为偶数时，同理可得22233n n b +=+．综上所述，2222(3322(33n n n n b n ++⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数）为奇数）． ……16分附加题答案21．（A ）解：连,AC BC ，因PC 为半圆O 的切线，所以PCA B ∠=∠．又P P ∠=∠，所以PCA ∆∽PBC ∆，所以12PA AC PC BC ==，即2AC BC =． ……5分因AB 为半圆O 的直径，所以22225AB AC BC AC =+=，因半圆O 的半径为5，所以21005AC =，所以AC BC ==，由射影定理，得2AC AD AB =⋅，解得2AD =，所以4CD ==．…10分（B ）解：由题意得 2 110 11a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a b =-⎧⎨=⎩，所以 2 10 1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……2分矩阵M 的特征多项式为 2 1()(2)(1)0 1f λλλλλ-==---，由()0f λ=，得2,1λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2．……6分此时0 1()0 1f λ=，对应方程组为010010x y x y ⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅=⎩，所以0y =，所以另一个特征值2对应的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……10分（C ）解：直线的普通方程为10x y +-=；由2ρ=，得曲线C 的普通方程为224x y +=， ………………………5分所以2d ==l 被曲线C截得的弦长为=……10分（D ）解：根据柯西不等式，有2222222(23)(123)()x y z x y z ++≤++++，因232x y z ++=，所以222222421237x y z ++≥=++， ……5分当且仅当123x y z ==时等号成立，解得123,,777x y z ===，即当123,,777x y z ===时，222x y z ++取最小值27．……10分22．解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为223113()(1)228C -=． ……4分（2）因为每人可被录用的概率为22331111()(1)()2222C -+=，所以311(0)(1)28P X ==-=，1123113(1)()(1)228P X C ==-=，2213113(2)()(1)228P X C ==-=，A BCDO·311(3)()28P X ===．故X…………8分所以，X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……10分 23．解：（1）22222212211212121212()()()b b a b a b a a b b a a a a ++=+++，因为0i a >，0i b >，所以222112120,0a b a b a a >>，则22211212122a b a b b b a a +≥=，所以22222121212121212()()2()b b a a b b b b b b a a ++≥++=+，即22121212()()b b a a a a ++212()b b ≥+．所以221212b b a a +≥21212()b b a a ++，当且仅当22211212a b a b a a =，即2112a b ab =时等号成立．…2分推广：已知0i a >,0i b >(,1i N i n *∈≤≤)，则2221212n n b b b a a a +++21212()n nb b b a a a +++≥+++．……………………………4分证明：①当1n =时命题显然成立；当2n =时，由上述过程可知命题成立； ②假设(2)n k k =≥时命题成立，即已知0i a >,0i b >(,1i N i k *∈≤≤)时，有2221212k k b b b a a a +++21212()k kb b b a a a +++≥+++成立，则1n k =+时，222222112112121121()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a +++++++++++≥++++，由221212b b a a +≥21212()b b a a ++，可知222121*********()()k k k k k k k k b b b b b b b b a a a a a a a a ++++++++++++≥+++++++，故2222112121k k k k b b b b a a a a ++++++2121121()k k k k b b b b a a a a ++++++≥++++，故1n k =+时命题也成立．综合①②，由数学归纳法原理可知，命题对一切n N ∈*恒成立．……6分（注：推广命题中未包含1n =的不扣分）（2）证明：由（1）中所得的推广命题知01213521nn n n nn C C C C +++++2222012135(21)35(21)nn n nnn C C C n C +=+++++[]2012135(21)35(21)n n n n n n C C C n C +++++≥+++++ ①，…8分记01235(21)nn n n n nS C C C n C =+++++，则10(21)(21)n n n n n nS n C n C C -=++-++，两式相加，得0122(22)(22)(22)(22)nn n n n nS n C n C n C n C =++++++++， 012(22)()(22)2nn n n n n n C C C C n =+++++=+⨯，故(1)2n n S n =+⨯ ②，又[]2241(21)135(21)(1)(1)2n n n n ++⎡⎤+++++=⨯+=+⎢⎥⎣⎦③，将②③代入①，得222243012135(21)(1)(1)35(21)(1)22n n nn n n n n n n C C C n C n +++++++≥=++，所以，301213521(1)2nnn n nn n n C C C C ++++++≥，证毕．……10分。

江苏省盐城市阜宁中学2018年高三数学文模拟试题含解析

江苏省盐城市阜宁中学2018年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，为集合到集合的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有( )A．7种B．4种C．8种D．12种参考答案：A2. 中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A．[－3,0] B．C．[0,2] D．[－3,2]参考答案：D∵是边上的一点（包括端点）∴可设，.∵∴∵，，∴故选D.3. 对x∈R，“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(A) ，使得f(x0)>0成立（B) ，使得f(x0）≤0成立(C) ，f(x)>0 成立（D) ，f(x)≤0 成立参考答案：A略4. 已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：D【分析】先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.【详解】因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，因此，所以，因此，为了得到函数图象，只需将的图象向右平移个单位长度.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.5. 已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B由题设，，81是该数列中的一项，即，所以，因为，所以是80的因数，故不可能是3，选B.6. 若复数，则A. 1B. 0C.D.参考答案：A.故选A.7. 执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．20参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，S，k的值，当k=4时不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为12．【解答】解：模拟执行程序，可得M=1，S=1，k=1满足条件k≤3，M=3，S=4，k=2满足条件k≤3，M=2，S=6，k=3满足条件k≤3，M=6，S=12，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为12．故选：B．8. （e x+2x）dx等于A.1B.e-1C.eD.e+1参考答案：C本题主要考查了定积分的基础运算，难度较小。

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试(Word版含答案及详解)

盐城市2018届高三年级第三次模拟考试英语试题第一部分: 听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的各案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题，每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

南京、盐城2018年高三一模数学试题与答案解析

市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的、号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值围是 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截A第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 F 第17题-图乙19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.市、市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分又2C B=，所以5sin 2B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分又B是ABC ∆的角，所以sin 0B >，故5cos B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2223cos 25a cb B ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而34cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． (14)分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2R BE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由N Q，得直线NQ的方程为32y x=…………………2分令0x=，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x ya+=．…………………4分将点N的坐标)22(213+=，解得24a=．所以椭圆C的标准方程为22143x y+=． (8)分（2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k>，则直线BM的方程为y kx=在y kx=0y=，得Pxk=，而点Q是线段OP的中点，所以2Qxk=．所以直线BN的斜率2BN BQk k k===．………………10分联立22143y kxx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x+-=，解得234Mxk=+．用2k代k，得Nx=．………………12分又2DN NM=，所以2()N M Nxx x=-，得23M Nx x=．………………14分故23=0k>，解得k=．所以直线BM的方程为2y x =-． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=…………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+ …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为M ．……………14分故直线BM 的方程为y x =-． …………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m --对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n nn n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()bg x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t>对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，ABE DF O · 第21(A)图由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM . ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．C第22题图设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测数学试题(考试版)

��2的直线与椭圆交于��、��两点，直线��的斜率为-1.
21．如图，过点��的圆与��切于点��，且与��、��分别交于点��、��. 已知��为∠��的平分. 求证: �� ∥ ��
5��
��( ‒ 2��)
(Ⅱ)求 6
的值.
��2 ��2
��: + = 1(�� > �� > 0)
17．在平面直角坐标系��中，椭圆 ��2 ��2
的焦距为 2，��1、��2分别为其左右焦点，过
__________． 13．若函数��(��) = ��2 + 2�� + ��(�� ∈ ��)在�� = 0处取得极小值，则实数��的取值范围是___________. 14．已知数列{��}的首项��1 = ��， �� + �� + 1 = 2�� ‒ 1.若对∀�� ∈ �� ∗ ，且�� ≥ 2，不等式 (�� ‒ 1)(�� + 1 ‒ 1) ≥ 2(1 ‒ ��)恒成立，则实数��的取值范围是___________.

2018高三全真模拟卷数学卷参考答案

n OS | n | | OS |
1 ,得 sin n, OS 2
2 3
3
∴ tan n, OS
2 2 3 1 3
2 2 .即二面角 N CM B 的正切值为 2 2 .
„„10 分
⑶由⑴⑵得 MB (1, 3,0) ,又 n ( 2 , 6 ,1) 为平面 CMN 的一个法向量, | n | 3 , ∴点 B 到平面 CMN 的距离 d 17．(本题满分 14 分) 1 解：设 BC＝x 米（x＞1），AC＝y 米，则 AB＝y－． 2 1 2 2 2 在△ABC 中，由余弦定理，得(y－ ) ＝y ＋x －2xycos60． 2 1 4 所以 y＝（x＞1）． x－ 1
1 2 1 13．答案： 2
14．答案： , 1
1,
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
-2南京清江花苑严老师
15．解：⑴由三角函数的定义知 tan
2 ( 4 3) 2 4 1 (3)
（当且仅当 t 4 ，即 b 4a 4c 时取“=” 10．答案： m 5 或 1 。
-1南京清江花苑严老师
解析：本题考查三角函数的图象与性质。由 f( 故当 x

t ) f ( t ) 可知 x 是该函数的一条对称轴， 8 8 8
时，sin( x ) 1 或 1 。又由 f ( ) 3 可得 m 5 或 1 。
x ＋y ＝1，„„① 因为点 A，B 在圆上，所以 x ＋y ＝1，„„②
2 1 2 1 2 2 2 2
由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3．所以 2x1－x2＝ 3，解得 x1＝ 3 1 ，得 y1＝．（以下同方法一） 2 2 （法三）如图，设 AB 中点为 T．由 x1 ＝ 1 3 则 TM＝TA－MA＝ AB，OM＝． 6 3

2018年江苏省盐城市高考数学一模试卷

2018年江苏省盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合A={x|x(x−4)<0}，B={0, 1, 5}，则A∩B=________．2. 设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若(1+i)⋅z为纯虚数，则a的值为________．3. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50, 100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的学生人数为________．4. 执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为________．5. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．6. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24−y25=1的右焦点重合，则实数p的值为________．7. 设函数y=e x+1e x−a的值域为A，若A⊆[0, +∞)，则实数a的取值范围是________．8. 已知锐角α，β满足(tanα−1)(tanβ−1)=2，则α+β的值为________．9. 若函数y=sinωx在区间[0, 2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．10. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则11. 设函数f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)={x(3−x),0≤x ≤3,−3x +1,x >3, 若函数y =f(x)−m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y =k(x −3√3)上存在一点P ，圆x 2+(y −1)2=1上存在一点Q ，满足OP →=3OQ →，则实数k 的最小值为________．13. 如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且A ，B 的位置所图所示，则AB →⋅CD →的最大值为________．14. 若不等式ksin 2B +sinAsinC >19sinBsinC 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．二、解答题（共6小题，满分90分）如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CA =CB ，点M ，N 分别是AB ，A 1B 1的中点．(1)求证：BN // 平面A 1MC ；(2)若A 1M ⊥AB 1，求证：AB 1⊥A 1C ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√52b ．(1)若C =2B ，求cosB 的值；(2)若AB →⋅AC →=CA →⋅CB →，求cos(B +π4)的值．有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120∘的扇形，且弧EF^，GH^分别与边BC，AD相切于点M，N．(1)当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2)当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点(√3,√32)处时，点Q的坐标为(2√33,0)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且DN→=2NM→时，求直线BM的方程．设数列{a n}满足a n2=a n+1a n−1+λ(a2−a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．(1)若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；(2)若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3, 7]，使得m⋅a n≥n−r对任意的n∈N∗都成立，求m的最小值；(3)若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N∗均成立，求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．设函数f(x)=lnx，g(x)=ax+bx−c(a, b, c∈R)．(1)当c=0时，若函数f(x)与g(x)的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；x 2，使得g(x 1)=g(x 2)=f(x 0)，求c 的最小值；(3)当a =1时，设函数y =f(x)与y =g(x)的图象交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)(x 1<x 2)两点．求证：x 1x 2−x 2<b <x 1x 2−x 1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D ．若DE =4，求切点E 到直径AB 的距离EF ．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵M =[2001]，求圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线ρcos(θ+π3)=1与曲线ρ=r(r >0)相切，求r 的值． [选修4-5：不等式选讲]已知实数x ，y 满足x 2+3y 2=1，求当x +y 取最大值时x 的值．如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，AC =4，BD =2，OP =4． (1)求直线AP 与BM 所成角的余弦值；(2)求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．已知n ∈N ∗，nf(n)=C n 0C n 1+2C n 1C n 2+...+nC n n−1C n n ．(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)试猜想f(n)的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．参考答案与试题解析2018年江苏省盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.【答案】{1}【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x(x−4)<0}={x|0<x<4}，B={0, 1, 5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}.2.【答案】1【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：∵z=a+i，∴(1+i)⋅z=(1+i)(a+i)=a−1+(a+1)i，又(1+i)⋅z为纯虚数，∴a−1=0即a=1．故答案为：1.3.【答案】1200【考点】频数与频率用样本的频率分布估计总体分布【解析】由频率分布直方图求出该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的频率，由此能估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的学生人数．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70, 80)（单位：分钟）内的频率为：1−(0.005+0.035+0.020+0.010)×10=0.3，内的学生人数为： 4000×0.3=1200．故答案为：1200. 4.【答案】 1【考点】程序框图伪代码【解析】根据题意得出执行程序后输出函数y ，由此求出结果．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y ={lnx,x >0,e x,x ≤0, 当x =0时，y =e 0=1．故答案为：1. 5.【答案】23【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n =C 42=6，利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数，由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n =C 42=6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有： (1, 4)，(2, 3)，(2, 4)，(3, 4)，共4个，∴ 摸出的2个球的编号之和大于4的概率为P =46=23．故答案为：23. 6.【答案】 6【考点】抛物线的定义双曲线的标准方程【解析】根据双曲线的方程，可得c =3，从而得到双曲线的右焦点为F(3, 0)，再根据抛物线的简单几何性质，可得p2=3，解之即可得到实数p 的值．解：∵双曲线的方程x24−y25=1，∴a2=4，b2=5，可得c=√a2+b2=√9=3，因此双曲线的右焦点为F(3, 0)，∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线的右焦点重合，∴p2=3，解之得p=6．故答案为：6.7.【答案】(−∞, 2]【考点】函数的值域及其求法【解析】利用基本不等式的性质即可求解．【解答】解：函数y=e x+1e x−a的值域为A，∵e x+1e x ≥2√1e x⋅e x=2，∴值域A为[2−a, +∞)．又∵A⊆[0, +∞)，∴2−a≥0，即a≤2．故答案为：(−∞,2].8.【答案】3π4【考点】两角和与差的正切公式三角函数线【解析】由已知化简可得tanα+tanβ+1=tanαtanβ，代入两角和的正切公式，可以求出α+β的正切值，根据α、β为锐角，我们易得α+β的值．【解答】解：∵(tanα−1)(tanβ−1)=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1.∵锐角α，β，可得：α+β∈(0, π)，∴α+β=3π4．故答案为：3π4.9.(0, 1 4 ]【考点】正弦函数的单调性【解析】由函数y=sinωx，图象过原点，可得ω>0,2πω≤π2，可得实数ω的取值范围【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，若ω<0，图象在[0, 2π]上先单调递减，∴ω> 0.∵y=sinωx在[0, 2π]单调递增，∴14T≥2π，即T≥8π，∴2πω≥8π，∴0<ω≤14．故答案为：(0, 14].10.【答案】4034【考点】等差数列的前n项和【解析】考查等差数列的求和公式S n=n2(a1+a n)，先利用S奇=a1+a3+a5+...+a2017=1009×(a1+a2017)×12=2018，得出得出a1+a2017=4．再求S2017=20172(a1+a2017)=2017×2=4034即可．【解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和，且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，所以S奇=a1+a3+a5+...+a2017=1009×(a1+a2017)×12=2018，得a1+a2017=4．则S2017=20172(a1+a2017)=2017×2=4034.故答案为：4034.11.【答案】[1, 9 4 )【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】9画出函数y =f(x)与y =m 的图象，如图所示，∵ 函数y =f(x)−m 有四个不同的零点， ∴ 函数y =f(x)与y =m 的图象有4个交点，由图象可得m 的取值范围为[1, 94). 故答案为：[1,94). 12.【答案】 −√3【考点】平行向量的性质直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】设P 、Q 的坐标，代入直线与圆的方程，由OP →=3OQ →得出坐标关系，再由直线与圆的关系求出k 的取值范围，从而求出实数k 的最小值．【解答】解：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则y 1=k(x 1−3√3)①，x 22+(y 2−1)2=1②，由OP →=3OQ →，得{x 1=3x 2,y 1=3y 2,即{x 2=13x 1,y 2=13y 1,代入②得x 12+(y 1−3)2=9，此方程表示的圆心(0, 3)到直线kx −y −3√3k =0的距离为d ≤r ，即√3k|√k 2+1≤3，解得−√3≤k ≤0．∴ 实数k 的最小值为−√3．故答案为：−√3. 13.【答案】 24【考点】平面向量数量积的性质及其运算律根据条件建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，利用向量数量积的坐标公式分别进行计算，然后进行比较即可．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A(√32, 92)，B(0, 0)，那么容易得到C(0, 5)时，D 的位置可以有三个位置，其中D 1(−√32, 12)，D 2(−√3, 0)，D 3(−3√32, 12)，此时AB →=(−√32, −92)，CD 1→=(−√32, −92)，CD 2→=(−√3, −5)，CD 3→=(−3√32, −92)，则AB →⋅CD 1→=21，AB →⋅CD 2→=24，AB →⋅CD 3→=22.5，则AB →⋅CD →的最大值为24. 故答案为：24.14.【答案】 100【考点】正弦定理函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ksin 2B +sinAsinC >19sinBsinC ，由正弦定理可得：kb 2+ac >19bc ， ∴ k >19c b−c b ⋅ab，又∵ c −b <a <b +c ， ∴ −b −c <−a <b −c ， ∴19c b −c b ⋅a b <19c b+c b (−c+bb)=20cb −(cb )2=100−(cb −10)2， ccc2∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100.二、解答题（共6小题，满分90分）【答案】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB // A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB // A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M // BN．又BN平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN // 平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M，MC⊂平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB1⊥A1C．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）欲证明BN // 平面A1MC，只需推知A1M // BN；（2）根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直．【解答】证明：(1)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB // A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB // A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M // BN．又BN平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN // 平面A1MC；(2)因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M，MC⊂平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB1⊥A1C．【答案】解：(1)因为c=√52b，则由正弦定理得，sinC=√52sinB．又C=2B，所以sin2B=√52sinB，即2sinBcosB=√52sinB．又B是△ABC的内角，所以sinB≠0，故cosB=√54；(2)因为AB→⋅AC→=CA→⋅CB→，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2−a2=b2+a2−c2，得a=c．从而cosB=a2+c2−b22ac =c2+c2−45c22c2=35，又0<B<π，所以sinB=√1−cos2B=45．从而cos(B+π4)=cosBcosπ4−sinBsinπ4=35×√22−45×√22=−√210．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由正弦定理，得sinC=√52sinB．又C=2B，即2sinBcosB=√52sinB．cosB=√54．（2）由AB→∗AC→=CA→∗CB→，可得cbcosA=bacosC，b2+c2−a2=b2+a2−c2，得a=c，求得从而cosB，sinB即可．【解答】解：(1)因为c=√52b，则由正弦定理得，sinC=√52sinB．又C=2B，所以sin2B=√52sinB，即2sinBcosB=√52sinB．又B是△ABC的内角，所以sinB≠0，故cosB=√54；(2)因为AB→⋅AC→=CA→⋅CB→，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2−a2=b2+a2−c2，得a=c．从而cosB=a2+c2−b22ac =c2+c2−45c22c2=35，又0<B<π，所以sinB=√1−cos2B=45．从而cos(B+π4)=cosBcosπ4−sinBsinπ4=35×√22−45×√22=−√210．【答案】解：(1)在图甲中，连接MO交EF于点T，设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=12∠EOF=60∘，所以OT=R2，则MT=OM−OT=R2．从而BE=MT=R2，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=4π3−√3，又所得柱体的高EG=4，所以V=S⋅EG=16π3−4√3．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为(16π3−4√3)立方分米；(2)设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=(4π3−√3)x2，又所得柱体的高EG=6−2x，所以V=S⋅EG=(8π3−2√3)(−x3+3x2)，其中0<x<3．令f(x)=−x3+3x2，0<x<3，则由f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)=0，解得x=2或x=0（舍）．列表如下：答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．【考点】利用导数研究函数的最值扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）结合图形可得S=S扇形OEF−S△OEF，再根据体积公式计算即可，（2）借助（1）可得V=(8π3−2√3)(−x3+3x2)，其中0<x<3．令f(x)=−x3+ 3x2，0<x<3，利用导数求出函数的最值．【解答】解：(1)在图甲中，连接MO交EF于点T，设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=12∠EOF=60∘，所以OT=R2，则MT=OM−OT=R2．从而BE=MT=R2，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=4π3−√3，又所得柱体的高EG=4，所以V=S⋅EG=16π3−4√3．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为(16π3−4√3)立方分米；(2)设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF −S△OEF=13πR2−12R2sin120∘=(4π3−√3)x2，又所得柱体的高EG =6−2x ，所以V =S ⋅EG =(8π3−2√3)(−x 3+3x 2)，其中0<x <3．令f(x)=−x 3+3x 2，0<x <3，则由f′(x)=−3x 2+6x =−3x(x −2)=0，解得x =2或x =0（舍）．列表如下：所以当x =2时，f(x)取得最大值．答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．【答案】解：(1)由N(√3,√32)，点Q 的坐标为(2√33,0)，得直线NQ 的方程为y =32x −√3，令x =0，得点B 的坐标为(0, −√3)．所以椭圆的方程为x 2a2+y 23=1，将点N 的坐标(√3, √32)代入，得3a2+343=1，解得a 2=4．所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)设直线BM 的斜率为k(k >0)，则直线BM 的方程为y =kx −√3．在y =kx −√3中，令y =0，得x P =√3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q =√32k．所以直线BN 的斜率k BN =k BQ =√3)√32k−0=2k ．联立{y =kx −√3,x 24+y 23=1, 消去y ，得(3+4k 2)x 2−8√3kx =0，解得x M =8√3k3+4k 2．用2k 代k ，得x N =16√3k3+16k 2．又DN →=2NM →，所以x N =2(x M −x N )，得2x M =3x N ，故2×8√3k 3+4k 2=3×16√3k 3+16k 2，又k >0，解得k =√62．所以直线BM 的方程为y =√62x −√3.【考点】圆锥曲线的综合问题向量的线性运算性质及几何意义椭圆的标准方程【解析】（1）先求出直线NQ 的方程，可得B 的坐标，以及N 点的坐标，即可求出a 的值，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线BM 的斜率为k(k >0)，则直线BM 的方程为y =x −√3，分别求出点P ，Q 的横坐标，根据斜率公式可得k BN =k BQ =2k ，再联立方程组，求出点M ，N 的横坐标，根据DN →=2NM →，即可求出k 的值【解答】解：(1)由N(√3,√32)，点Q 的坐标为(2√33,0)，得直线NQ 的方程为y =32x −√3，令x =0，得点B 的坐标为(0, −√3)．所以椭圆的方程为x 2a2+y 23=1，将点N 的坐标(√3, √32)代入，得3a2+343=1，解得a 2=4．所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)设直线BM 的斜率为k(k >0)，则直线BM 的方程为y =kx −√3．在y =kx −√3中，令y =0，得x P =√3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q =√32k．所以直线BN 的斜率k BN =k BQ =√3)√32k−0=2k ．联立{y =kx −√3,x 24+y 23=1, 消去y ，得(3+4k 2)x 2−8√3kx =0，解得x M =8√3k3+4k 2．用2k 代k ，得x N =16√3k3+16k 2．又DN →=2NM →，所以x N =2(x M −x N )，得2x M =3x N ，故2×8√3k 3+4k 2=3×16√3k 3+16k 2，又k >0，解得k =√62．所以直线BM 的方程为y =√62x −√3.【答案】解：(1)由题意，可得a n 2=(a n +d)(a n −d)+λd 2，化简得(λ−1)d 2=0，又d ≠0，所以λ=1； (2)将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n+1a n−1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1．欲存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅2n−1≥n −r ，即r ≥n −m ⋅2n−1对任意n ∈N ∗都成立，则7≥n −m ⋅2n−1，所以m ≥n−72n−1对任意n ∈N ∗都成立．令b n =n−72n−1，则b n+1−b n =n−62n−n−72n−1=8−n 2n，所以当n >8时，b n+1b n ．所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128；(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2， ①若T =2，则a n+2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2，所以λ(a 2−a 1)2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾．所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1,n =3k −2,2,n =3k −1,−3,n =3k,(k ∈N ∗)，①满足a n+3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ(a 2−a 1)2，得λ=7．则条件式变为a n 2=a n+1a n−1+7．由22=1×(−3)+7，知a 3k−12=a 3k−2a 3k +λ(a 2−a 1)2；由(−3)2=2×1+7，知a 3k 2=a 3k−1a 3k+1+λ(a 2−a 1)2；由12=2×(−3)+7，知a 3k+12=a 3k a 3k+2+λ(a 2−a 1)2；所以，①式适合题意．所以T 的最小值为3．【考点】函数恒成立问题数列递推式等差数列的性质【解析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得(λ−1)d 2=0，又d ≠0，可得所求值；（2）求得λ=0，数列{a n }是首项为1，公比q =2的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅2n−1≥n −r ，即r ≥n −m ⋅2n−1对任意n ∈N ∗都成立，由参数分离可得m 的最小值；（3）由题意可得T ≥2，讨论T =2，T =3，根据条件，推理得到结论．【解答】解：(1)由题意，可得a n 2=(a n +d)(a n −d)+λd 2，化简得(λ−1)d 2=0，又d ≠0，所以λ=1； (2)将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n+1a n−1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n−1．欲存在r ∈[3, 7]，使得m ⋅2n−1≥n −r ，即r ≥n −m ⋅2n−1对任意n ∈N ∗都成立，则7≥n −m ⋅2n−1，所以m ≥n−72n−1对任意n ∈N ∗都成立．令b n =n−72n−1，则b n+1−b n =n−62n−n−72n−1=8−n 2n，所以当n >8时，b n+1b n ．所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128；(3)因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2， ①若T =2，则a n+2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2，所以λ(a 2−a 1)2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾．所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1,n =3k −2,2,n =3k −1,−3,n =3k, (k ∈N ∗)，①满足a n+3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ(a 2−a 1)2，得λ=7．则条件式变为a n 2=a n+1a n−1+7．由22=1×(−3)+7，知a 3k−12=a 3k−2a 3k +λ(a 2−a 1)2；由(−3)2=2×1+7，知a 3k 2=a 3k−1a 3k+1+λ(a 2−a 1)2；由12=2×(−3)+7，知a 3k+12=a 3k a 3k+2+λ(a 2−a 1)2；所以，①式适合题意．所以T 的最小值为3．【答案】(1)解：由f(x)=lnx ，得f(1)=0，又f′(x)=1x ，所以f′(1)=1，当c =0时，g(x)=ax +bx ，得g(1)=a +b ，又g′(x)=a −bx 2，所以g′(1)=a −b ，因为函数f(x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线，所以{f ′(1)=g ′(1)f(1)=g(1) ，即{a −b =1a +b =0 ，解得a =12，b =−12；(2)解：当x 0>1时，则f(x 0)>0，又b =3−a ，设t =f(x 0)，则题意可转化为方程ax +3−a x−c =t(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．即关于x 的方程ax 2−(c +t)x +(3−a)=0(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以{0<a <3,Δ=(c +t)2−4a(3−a)>0,x 1+x 2=c+t a >0,x 1x 2=3−a a >0, 得{0<a <3,(c +t)2>4a(3−a),c +t >0.所以c >2√a(3−a)−t 对t ∈(0, +∞)，a ∈(0, 3)恒成立．因为0<a <3，所以2√a(3−a)≤2⋅a+3−a 2=3（当且仅当a =32时取等号），又−t <0，所以2√−t 的取值范围是(−∞, 3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3；(3)证明：当a =1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A ，B 两点，所以{lnx 1=x 1+bx 1−c,lnx 2=x 2+bx 2−c,两式相减，得b =x 1x 2(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)，要证明x 1x 2−x 21，此时即证1−1t <lnt <t −1．令φ(t)=lnt +1t −1，所以φ′(t)=1t −1t 2=t−1t 2>0，所以当t >1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)=0，所以φ(t)=lnt +1t −1>0，即1−1t <lnt 成立；再令m(t)=lnt −t +1，所以m′(t)=1t −1=1−t t<0，所以当t >1时，函数m(t)单调递减，又m(1)=0，所以m(t)=lnt −t +1<0，即lnt <t −1也成立．综上所述，实数x 1，x 2满足x 1x 2−x 21时，则f(x 0)>0，又b =3−a ，设t =f(x 0)，则题意可转化为方程ax +3−a x−c =t(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．即关于x 的方程ax 2−(c +t)x +(3−a)=0(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．运用二次方程实根分布，结合韦达定理可得c 的不等式，运用基本不等式，可得c 的范围和最小值；（3）得b =x 1x 2(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)，要证明x 1x 2−x 21，此时即证1−1t<lnt <t −1．令φ(t)=lnt +1t−1，求得导数和单调区间，结合m(t)=lnt −t +1的单调性，即可得证．【解答】(1)解：由f(x)=lnx ，得f(1)=0，又f′(x)=1x ，所以f′(1)=1，当c =0时，g(x)=ax +bx ，得g(1)=a +b ，又g′(x)=a −bx 2，所以g′(1)=a −b ，因为函数f(x)与g(x)的图象在x =1处有相同的切线，所以{f ′(1)=g ′(1)f(1)=g(1) ，即{a −b =1a +b =0 ，解得a =12，b =−12；(2)解：当x 0>1时，则f(x 0)>0，又b =3−a ，设t =f(x 0)，则题意可转化为方程ax +3−a x−c =t(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．即关于x 的方程ax 2−(c +t)x +(3−a)=0(t >0)在(0, +∞)上有相异两实根x 1，x 2．所以{0<a <3,Δ=(c +t)2−4a(3−a)>0,x 1+x 2=c+t a >0,x 1x 2=3−a a >0, 得{0<a <3,(c +t)2>4a(3−a),c +t >0.所以c >2√a(3−a)−t 对t ∈(0, +∞)，a ∈(0, 3)恒成立．因为0<a <3，所以2√a(3−a)≤2⋅a+3−a 2=3（当且仅当a =32时取等号），又−t <0，所以2√a(3−a)−t 的取值范围是(−∞, 3)，所以c ≥3．故c 的最小值为3；(3)证明：当a =1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A ，B 两点，所以{lnx 1=x 1+bx 1−c,lnx 2=x 2+bx 2−c,两式相减，得b =x 1x 2(1−lnx 2−lnx 1x 2−x 1)，要证明x 1x 2−x 21，此时即证1−1t <lnt <t −1．令φ(t)=lnt +1t −1，所以φ′(t)=1t −1t 2=t−1t 2>0，所以当t >1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)=0，所以φ(t)=lnt +1t −1>0，即1−1t <lnt 成立；再令m(t)=lnt −t +1，所以m′(t)=1t −1=1−t t<0，所以当t >1时，函数m(t)单调递减，又m(1)=0，所以m(t)=lnt −t +1<0，即lnt <t −1也成立．综上所述，实数x 1，x 2满足x 1x 2−x 2<b <x 1x 2−x 1．[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图【答案】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ，又因为AD ⊥DE 于D ，所以AD // OE ，所以∠DAE =∠OEA ，① 在⊙O 中，OE =OA ，所以∠OEA =∠OAE ，② 由①②得∠DAE =∠OAE ，即∠DAE =∠FAE ，又∠ADE =∠AFE ，AE =AE ，所以△ADE ≅△AFE ，所以DE =FE ，又DE =4，所以FE =4，即E 到直径AB 的距离为4．【考点】圆的切线的性质定理的证明点、线、面间的距离计算【解析】连接AE ，OE ，则DE ⊥OE ，推导出AD // OE ，从而∠DAE =∠OEA ，求出∠OEA =∠OAE ，从而∠DAE =∠FAE ，进而△ADE ≅△AFE ，由此能求出E 到直径AB 的距离．【解答】解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE ⊥OE ，又因为AD ⊥DE 于D ，所以AD // OE ，所以∠DAE =∠OEA ，① 在⊙O 中，OE =OA ，所以∠OEA =∠OAE ，② 由①②得∠DAE =∠OAE ，即∠DAE =∠FAE ，又∠ADE =∠AFE ，AE =AE ，所以△ADE ≅△AFE ，所以DE =FE ，又DE =4，所以FE =4，即E 到直径AB 的距离为4． [选修4-2：矩阵与变换]【答案】解：设P(x 0, y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点，则x 02+y 02=1，设点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x, y)，则[x y ]=[2001][x 0y 0]，即{x =2x 0,y =y 0, 解得{x 0=12x,y 0=y.代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，∴ 圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程为x 24+y 2=1．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义【解析】设P(x 0, y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点，则x 02+y 02=1，设点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x, y)，推导出{x 0=12xy 0=y，由此能求出圆x 2+y 2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P(x 0, y 0)是圆x 2+y 2=1上任意一点，则x 02+y 02=1，设点P(x 0, y 0)在矩阵M 对应的变换下所得的点为Q(x, y)，则[x y ]=[2001][x 0y 0]，即{x =2x 0,y =y 0, 解得{x 0=12x,y 0=y.代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，∴ 圆x 2+y 2=1在矩阵M 的变换下所得的曲线方程为x 24+y 2=1．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：直线ρcos(θ+π3)=1，转化为：x −√3y −2=0，曲线ρ=r(r >0)转化为：x 2+y 2=r 2，由于直线和圆相切，则圆心到直线的距离d =1+3=r =1．所以r =1．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】首先对方程进行转化，进一步利用直线和圆的相切求出r 的值．【解答】解：直线ρcos(θ+π3)=1，转化为：x −√3y −2=0，曲线ρ=r(r >0)转化为：x 2+y 2=r 2，由于直线和圆相切，则圆心到直线的距离d =√1+3=r =1．所以r =1．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】解：由柯西不等式，得[x 2+(√3y)2][12+(√33)2]≥(x ⋅1+√3y ⋅√33)2，即43(x 2+3y 2)≥(x +y)2．而x 2+3y 2=1，所以(x +y)2≤43，所以−2√33≤x +y ≤2√33，由{x1=√3y√33x +y =2√33,得{x =√32,y =√36. 所以当且仅当x =√32，y =√36时，(x +y)max =2√33，所以当x +y 取最大值时x 的值为√32．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用二维形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式，得[x 2+(√3y)2][12+(√33)2]≥(x ⋅1+√3y ∗√33)2，即43(x 2+3y 2)≥(x +y)2．即可求解．【解答】解：由柯西不等式，得[x 2+(√3y)2][12+(√33)2]≥(x ⋅1+√3y ⋅√33)2，即43(x 2+3y 2)≥(x +y)2．而x 2+3y 2=1，所以(x +y)2≤43，所以−2√33≤x +y ≤2√33，由{x1=√3y√33x +y =2√33,得{x =√32,y =√36. 所以当且仅当x =√32，y =√36时，(x +y)max =2√33，所以当x +y 取最大值时x 的值为√32．【答案】解：(1)因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，P(0, 0, 4)，C(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)． AP →=(−2, 0, 4)，BM →=(−1, −1, 2)， cos <AP →，BM →>=AP →⋅BM →|AP →|⋅|BM →|=2√5⋅√6=√306．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为√306；(2)AB →=(−2, 1, 0)，BM →=(−1, −1, 2)．设平面ABM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AB →=−2x +y =0,n →⋅BM →=−x −y +2z =0, 令x =2，得n →=(2, 4, 3)．又平面PAC 的一个法向量为OB →=(0, 1, 0)， ∴ cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√29=4√2929．故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为4√2929．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线间的夹角、距离异面直线及其所成的角【解析】（1）以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP 与BM 所成角的余弦值．（2）求出平面ABM 的一个法向量和平面PAC 的一个法向量，利用向量法能求出平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：(1)因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，P(0, 0, 4)，C(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)． AP →=(−2, 0, 4)，BM →=(−1, −1, 2)， cos <AP →，BM →>=AP →⋅BM →|AP →|⋅|BM →|=2√5⋅√6=√306．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为√306；(2)AB →=(−2, 1, 0)，BM →=(−1, −1, 2)．设平面ABM 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅AB →=−2x +y =0,n →⋅BM →=−x −y +2z =0,令x =2，得n →=(2, 4, 3)．又平面PAC 的一个法向量为OB →=(0, 1, 0)， ∴ cos <n →,OB →>=n →⋅OB →|n →|⋅|OB →|=√29=4√2929．故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为4√2929．【答案】解：(1)由条件，nf(n)=C n 0C n 1+2C n 1C n 2+...+nC n n−1C n n ①，在①中令n =1，得f(1)=1．在①中令n =2，得2f(2)=6，得f(2)=3．在①中令n =3，得3f(3)=30，故f(3)=10；(2)猜想：f(n)=C 2n−1n．要证猜想成立，只要证等式nC 2n−1n =C n 0⋅C n 1+2C n 1⋅C n 2+...+nC n n−1⋅C n n 成立．由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n ①，两边同时对x 求导数，可得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1②，把等式①和②相乘，可得n(1+x)2n−1=(C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n )⋅(C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1 ) ③．等式左边x n 的系数为nC 2n−1n，等式右边x n 的系数为C n 1⋅C n n +2C n 2⋅C n n−1+3C n 3⋅C n n−2+...+nC n n ⋅C n1 =C n 1⋅C n 0+2C n 2⋅C n 1+3C n 3⋅C n 2+...+nC n n ⋅C n n−1 =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ，根据等式③恒成立，可得nC 2n−1n =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ．故f(n)=C 2n−1n成立．【考点】二项式定理的应用【解析】（1）在条件中，分别令n 取1，2，3，求得f(1)，f(2)，f(3)的值．（2）猜想f(n)=C 2n−1n ．要证猜想成立，只要证等式nC 2n−1n =C n 0⋅C n 1+2C n 1⋅C n 2+...+nC n n−1⋅C n n 成立．由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n ①，两边同时对x求导数，可得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+nC n n x n−1②，把①、②相乘，根据等式左右两边x n 的系数相等，可得结论．【解答】解：(1)由条件，nf(n)=C n 0C n 1+2C n 1C n 2+...+nC n n−1C n n ①，在①中令n =1，得f(1)=1．在①中令n =2，得2f(2)=6，得f(2)=3．在①中令n =3，得3f(3)=30，故f(3)=10；(2)猜想：f(n)=C 2n−1n．要证猜想成立，只要证等式nC 2n−1n =C n 0⋅C n 1+2C n 1⋅C n 2+...+nC n n−1⋅C n n 成立．由(1+x)n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n ①，两边同时对x 求导数，可得n(1+x)n−1=C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1②，把等式①和②相乘，可得n(1+x)2n−1=(C n 0+C n 1x +C n 2x 2+...+C n n x n )⋅(C n 1+2C n 2x +3C n 3x 2+...+nC n n x n−1 ) ③．等式左边x n 的系数为nC 2n−1n，等式右边x n 的系数为C n 1⋅C n n +2C n 2⋅C n n−1+3C n 3⋅C n n−2+...+nC n n ⋅C n1 =C n 1⋅C n 0+2C n 2⋅C n 1+3C n 3⋅C n 2+...+nC n n ⋅C n n−1 =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ，根据等式③恒成立，可得nC 2n−1n =C n 0C n 1+2C n 1C n 2+⋯+nC n n−1C n n ．故f(n)=C 2n−1n成立．。

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2018届江苏省盐城中学高三全仿真模拟检测数学试题（解析版）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置上．．．．．．．．．.1. 已知集合，，则___________.【答案】【解析】分析：根据集合交集运算法则即可得出结论.解析：集合，，.故答案为：.点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．2. 命题:若，则.其否命题是___________.【答案】若，则.【解析】分析：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q；否命题为：若，则.即可得出答案.解析：根据否命题的定义：若原命题为：若p，则q；否命题为：若，则.原命题为：若，则.否命题为：若，则.故答案为：若，则.点睛：写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．3. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为___________.【答案】【解析】分析：设与直线垂直的直线方程为，根据直线过点，即可求得直线方程.解析：由题意，设与直线垂直的直线方程为，直线过点，直线的方程为：.故答案为：.点睛：1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，（1）若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．（2）若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.4. 一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是___________.【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，再求出有1只黑球包含的基本事件个数，由此能求出有1只黑球的概率.解析：一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，基本事件的总数为，有1只黑球包含的基本事件个数，有1只黑球的概率是.故答案为：.5. 根据如下图所示的伪代码，当输入的值为3时，输出的值为___________.【答案】9【解析】分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环，得到S的值即可.解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件时退出循环.此时.故输出的S值为9.故答案为：9.点睛：解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．6. 有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为___________.【答案】31【解析】分析：根据系统抽样原理的抽样间隔相等，求出第1组抽取的数据，再求第2组抽取的产品编号. 解析：据系统抽样原理，抽样间隔为.设第1组抽取数据为，则第5组抽取的产品编号为，解得.第2组抽取的产品编号为.故答案为：31.点睛：（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．7. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为___________.【答案】【解析】试题分析：设最小边为，所以另外两边为考点：余弦定理解三角形8. 已知函数若，则实数___________.【答案】或-1【解析】试题分析：由题意可将，转化为或，解得或考点：函数求值9. 已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为，所以圆柱的表面积为考点：圆柱的侧面积10. 在平面直角坐标系中，若不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则___________.【答案】3【解析】试题分析：不等式组所围成的区域如图所示，∵其面积为2，∴，∴C的坐标为，代入，得．考点：1．线性规划；2．基本不等式．11. 如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】分析：先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案即可得到.解析：已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，，即.故答案为：.点睛：双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．12. 在中，，且，为所在平面内的一点，则的最小值是___________.【答案】【解析】分析：以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，可得，从而可得结果.详解：由，且，得，如图，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，设点的坐标为，则，即的最小值是，故答案为.点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．13. 若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间，从而确定m的具体范围即可.解析：，，.①当时，恒成立，即在R上递增，若时，则.若时，则.故函数在递增，在递减，故在处取得极小值，符合题意；②当时，恒成立，即在R上递减，若时，则.若时，则.故函数在递减，在递增，故在处取得极大值，不符合题意；③当时，使得，即，但当时，即，在递减，故，即在递减，不符合题意.综上所述：m的范围是.故答案为：.点睛：求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．14. 已知数列的首项，.若对，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分析：，可得，即可得到数列为等比数列，公比为，首项为a，而不等式恒成立化为：，由，不等式化为：，分类讨论即可得出答案.解析：，，数列为等比数列，公比为，首项为a，即，不等式等式恒成立可化为：，即：当n为奇数时，，，即对且恒成立.，解得：.当n为偶数时，，，即对且恒成立.，解得：.综上所述：.故答案为：.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力.二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点.(I)求证:平面；(l)若，求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）取中点为，连接，，从而可得四边形，都为平行四边形，所以，从而即可证明；（2）因为四棱柱为长方体，，所以；因为平面，所以，从而可得所以平面，所以即可证明平面平面.解析：(1)取中点为，连接，.由已知点是中点，是的中点可以证得，四边形，都为平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以平面.(Ⅱ)因为四棱柱为长方体，，所以.因为平面，所以.因为，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面.点睛：面面垂直的证明的两种思路（1）用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．16. 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.(I)求的值；(Ⅱ)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】分析：（1）由于角其终边经过点，故，，再利用两角和与差的正余弦公式即可；（2）直接利用公式即可.解析：(1)由于角其终边经过点，故，..(2).则，.点睛：三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．17. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，分别为其左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，直线的斜率为-1.(I)若直线与椭圆的右准线交于点且，求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】分析：（1）设，结合的坐标，代入，即可求出答案；（2）设，，，，，为钝角，，再联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到，，从而表示出，然后代入式子即可得到答案.解析：(1)，，所以，椭圆的标准方程为.(2)设，，为钝角联立直线与椭圆方程，其中整理可得:，.代入，解得：舍去）.点睛：在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．18. 某市公园内的人工湖上有一个以点为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径，在的另一侧建有控制台，和之间均有小径连接(小径均为直路)，且，喷泉中心点距离点60米，且连线恰与平行，在小径上有一拍照点，现测得米，米，且.(I)请计算小径的长度；(Ⅱ)现打算改建控制台的位置，其离喷泉尽可能近，在点的位置及大小均不变的前提下，请计算距离的最小值；(Ⅲ)一人从小径一端处向处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启分钟后的水幕是一个以为圆心，半径米的圆形区域(含边界)，此人的行进速度是米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数的最小值.【答案】(Ⅰ)千米；(Ⅱ)；(Ⅲ)4.【解析】分析：(I) 以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意可知，，则AB所在直线即可表示，即可求出A点坐标，从而得出答案；(Ⅱ)三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为圆心与C之间的距离减去半径；(Ⅲ) 因为在的正西方向，且千米，所以. 假设在时刻人所在的位置为，所以，则可表示，又在时，，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，化简即可得出答案.解析：(I)以为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由千米，，可知，直线的方程为，.所以直线的方程为，令，得，所以，千米；(Ⅱ)三点共圆，可求圆的方程为，，则距离最小值为(此时点为直线与点及坐标原点之间劣弧的交点)；(Ⅲ)因为在的正西方向，且千米，所以.人从行驶到所需要的时间为 (分钟)，假设在时刻人所在的位置为，则千米，所以，则.又在时，，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在，使得，即成立，所以存在，使得成立，当时，，当且仅当，即时取等号.所以，即实数的最小值为4.点睛：解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；②在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．19. 已知正项数列的前项和为，其中.(I)若，求数列的通项公式；(I)若，求证:是等差数列.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）根据题意，有，解得，故，再利用与之间的关系式即可求出；（2）根据题意，有，设，通过求解可得，再利用与之间的关系式即可证明.解析：(1)根据题意，有，解得，故，当时有，两式相减得，又恒成立，则，所以数列是等差数列，故，(2)根据题意，有，因为，所以可设，(2)-(1)得 (4)，(3)-(2)得 (5)(5)-(4)得，当时故舍，则有，代入(4)式得，代入(1)式得，所以，当时有.两式相减得，整理得.又恒成立，则，所以是等差数列.点睛：已知S n求a n的一般步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．20. 已知函数，.(I)若，求函数的单调区间；(Ⅱ)若存在极小值点，且，其中，求证:；(Ⅲ)试问过点可作多少条直线与的图像相切?并说明理由.【答案】(Ⅰ)单调减区间为单调增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.【解析】分析：（1）对进行求导计算即可得到单调区间；（2）若存在极小值点，，则，由可得，化简代入，即可得到证明；（2）设切点坐标是，依题意：，化简得：设，，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，接下来对a进行分析讨论即可.解析：(1)，所以的单调减区间为单调增区间为；(2)，存在极小值点，则.，则，所以代入所以，则，又，所以；(3)时，有1条切线；时，有2条切线.设切点坐标是，依题意：即，化简得：设，故函数在上零点个数，即是曲线切线的条数.，①当时，，在上恰有一个零点1；②当时，在上恒成立，在上单调递减，且，故在上有且只有一个零点，当时，在上恰有个零点；③时，在上递减，在上递增，故在至多有两个零点，且又函数在单调递增，且值域是，故对任意实数，必存在，使，此时由于，函数在上必有一零点；先证明当时，，即证若，，而，由于若，构建函数，在为增函数，综上时，，所以，故又，，所以在必有一零点.当时，在上有两个零点综上：时，有1条切线；时，有2条切线.点睛：导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．。

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