2020年8月江苏省盐城中学高三年级阶段性考试数学试卷(pdf解析版)

高三年级盐城中学数学月考试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}10A x x =-≤，集合{}21,xB y y x R ==+∈，则A B =（ ）A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. ()0,∞+D. ∅A分别求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出．因为{}[)101,A x x =-≤=+∞，{}{}()21,11,xB y y x R y y ==+∈=>=+∞，所以()1,A B =+∞．故选：A ．本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题． 2. “2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件A若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，利用均值定理可得min 1()2x x+=，则2a ≤，进而判断命题之间的关系．若10,x a x x ∀>≤+，则min 1()a x x ≤+，因为12x x +≥，当且仅当1x x=时等号成立，所以2a ≤， 因为{}{2}2a a a a <⊆≤，所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件，故选:A 本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值． 3. 函数()()231ln 31xxx f x -=+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.B 【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再用特殊值确定. 因为()()()()()2231ln 31ln 3131------==-=-++x xxxx x f x f x ，所以()f x 是奇函数，故排除A ，C ；因为21212131ln 21231⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭= ⎪⎝⎭+f ，且211221310,310,ln 02⎛⎫->+>< ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故选：B 本题主要考查函数图象的识别以及奇偶性的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 4. 若log 0a b <（0a >且1a ≠），221b b->，则（ ）A. 1a >，1b >B. 01a <<，1b >C. 1a >，01b <<D. 01a <<，01b <<B首先根据221b b->以及对数式有意义，确定1b >，再结合log 0a b <，得到01a <<，从而得到正确选项. 由221bb->，可得20b b ->，解得0b <或者1b >，因为log a b 有意义，所以0b >，所以1b >， 因为log 0a b <，所以01a <<，故选：B.该题考查的是有关求参数取值范围的问题，涉及到的知识点有指数不等式，对数不等式，属于基础题目.5. 已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于（ ） A. －3 B. 1 C. －1 D. 3A先解一元二次不等式得到集合A 和B ，求得交集，再利用解集求得一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＜0系数的关系，即得结果.由题意：A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知： a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.故选：A.6. 已知sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ） A. 0 B. 1C.2D.2A 【分析】本题首先可根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式对sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭进行化简，得出cos sin αα=，然后根据22cos 2cos sin =-ααα即可得出结果.因为sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11sin cos 22αααα+=+，即cos sin αα=， 则22cos2cos sin 0ααα=-=，故选：A.本题考查两角和的正弦公式、两角差的余弦公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查转化与化归思想，是简单题.7. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（ ） A. (,1)-∞ B. (1,)+∞C. (0,)+∞D. (,0)-∞B先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集.构造函数()()21g x f x x =--，(1)3f =， (1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >.本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键. 8. 对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 24251(,]e e e- B. 4253[,)e eC. 425(0,]eD. 24253[,)e e e- B原方程化为21ln y x y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,x f x f x x-=≥递增，故()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====，要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 若函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围可以是（ ） A. 31k -<<- B. 1k 3<< C. 2k 2-<< D. 11k -≤≤AB求导函数得到原函数的单调区间，求得函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值，函数在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则2-在()1,1k k -+内，或2在()1,1k k -+内，列出不等式求解可得.3()12f x x x =-，2()312f x x '=-令2()3120f x x '=->解得2x > 或2x < ；3()12f x x x=-(,2),(2,)-∞+∞上单增，在(2,2)-上单减.所以函数在2x =-取得极大值，在2x =取得极小值 因为函数3()12f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数 所以121k k -<-<+或121k k -<<+ 解得31k -<<-或13k <<故选：AB..求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况得到函数的最值． 10. 若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A. g (x )的最小正周期为π B. g (x )在区间[0，2π]上单调递减 C. x =12π是函数g (x )的对称轴 D. g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12AD函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得函数g (x )的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等. 函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错； 令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对故选：AD 11. 已知函数()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()12f x x =--，则下列选项正确的是（ ）. A. ()f x 在()3,2--上为减函数B. ()f x 在()3,2--上()0f x <C. ()f x 在()3,2--上为增函数D. ()f x 在()3,2--上()0f x >CD利用()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数可知()f x 为周期函数，且周期为4，然后根据函数()f x 在[]1,2x ∈上的性质确定在区间()3,2--上的性质. 因为()f x 是偶函数，()1f x +是奇函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，且关于点()1,0中心对称，则()f x 的周期为4， 当[]1,2x ∈时，()12121f x x x x =--=+-=-，则函数()f x 在[]1,2x ∈上递增，且()0f x >在()1,2上恒成立，故函数()f x 在()3,2--上也递增，且()0f x >，所以C 、D 正确.故选：CD. 本题考查函数的奇偶性与周期性的结合，常用结论如下：当函数()f x 的图象关于x a =对称，且关于点()(),0b a b ≠中心对称时，则函数()f x 为周期函数，且周期4T a b =-. 12. 某同学对函数()sin e ex x xf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ） A. 函数()y f x =的图象关于原点对称B. 对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C. 函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D. 对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 BD由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 对于选项A ：函数()sin e ex x xf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误；对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()(21)x f x x =-，则不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为___________[4,1]--易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数，然后可解出答案. 易得()(21)x f x x =-在R 上为奇函数且为增函数所以由2(2)(34)0f x x f x +++≤可得2(2)(34)f x x f x +≤-+ 所以2(2)(34)f x x f x +≤--，所以2234x x x +≤--，解得41x --≤≤ 即不等式2(2)(34)0f x x f x +++≤的解集为[4,1]-- 故答案为：[4,1]--14. 若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.先由题意，得到sin 2cos αα=-，即tan 2α，再由cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，根据二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，通过弦化切，即可求出结果. 因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上， 所以sin 2cos αα=-，因此tan 2α，所以22cos sin cos 2cos 2cos sin 2sin cos 3332πππααααααα-⎛⎫+=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭()222222cos sin 1tan 142(tan 1)102sin cos αααααα---===+=++故答案本题主要考查三角恒等变换求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及二倍角公式，两角和的余弦公式等即可，属于常考题型. 15. 已知21(0,0)a b a b +=>>，则21b a b+的最小值等于________．2由21(0,0)a b a b +=>>，代入21b a b+变形，利用基本不等式即可得出．解：由题意得2122222222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++⋅=，当且仅当1a ==时等号成立，所以21b a b+的最小值为2．故答案为：2本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知函数21,0,()2,0.x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩则()0f x =根为_____________；若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的取值范围是___________.(1). 1-或2 (2). 1(1,1)e+（1）当0x ≤时，运用导数求得函数单调区间，可得min ()(1)0f x f =-=，可得一根，当0x >时，直接求解可得.（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有4个零点所需要的条件，即可求得结果.（1）当0x ≤时，1()xf x xe e=+，所以()(1)x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，得1x =-，并且当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以min ()(1)0f x f =-=，故当0x ≤时，()0f x =有唯一根1-，当0x >时，()22f x x x =-，令()0f x =，解得0x =（舍去）或2，故当0x >时，()0f x =的根为2， 综上，()0f x =根为1-或2；（2）因为21,0()2,0x xe x f x e x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩， 当0x ≤时，由（1）min ()(1)0f x f =-=，则10()f x e≤≤，当0x >时，22()2(1)1f x x x x =-=--，则函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 且仅当(2)0f =，且()1f x ≥-，因为当(())0y f f x a =-=时，则有()2f x a -=或()1f x a -=-， 即()2f x a =+或()1f x a =-，由图象得，要使函数(())y f f x a =-有四个零点，则12101a e a e ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得111a e <<+，或120110a a -<+<⎧⎨-<-<⎩，无解，综上所述，实数a 的取值范围是1(1,1)e+，故答案是：1-或2；1(1,1)e+.该题考查的是有关根据函数的零点的个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合图象确定函数的零点，以及与题意相同的对应参数所要满足的条件，属于较难题目.四､解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且1a ，3a 的等差中项为10，28a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （1）()1*2n n a n N +=∈；（2）1212n n n S ++=-. （1）利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{}n a 的通项公式；（2）化简n nnb a =，利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S ． （1）由题意可得：211(1)208a q a q ⎧+=⎨=⎩，22520q q ∴-+=，1q >，∴142a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为1*2()n n a n N +=∈．（2）12n n nb +=，∴23411232222n n n S +=+++⋯+， 3412112122222n n n n nS ++-=++⋯++， 上述两式相减 可得2341211111222222n n n nS ++=+++⋯-∴11231111111112221122222222n n n n n n n n n S ++++-+=+++⋯-=-=-．本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查逻辑推理能力、运算求解能力．18. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．（Ⅰ）π；1-．（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19. 已知函数2224()(log )log 1f x a x b x =++，,a b 为常数，1()02f =，且()f x 的最小值0. （1）求()f x 的表达式；（2）若函数2()()log 21F x f x m x m =-++有两个零点，且一个在区间(11,42)上，另一个在区间(1,12)上，求实数m 的取值范围. （1）222()(log )2log 1f x x x =++；（2）11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）由1()02f =可得10a b -+=，由()f x 的最小值为0可得20404a a b a >⎧⎪⎨-=⎪⎩，即可解出,a b ；（2）令2log u x =，可得方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上，利用零点存在性定理可求出.解：（1）222()(log )log 1f x a x b x =++，1()02f =，10a b ∴-+=（1）， 若0a =，2()log 1f x x =+，函数无最小值，故0a ≠，又且()f x 的最小值为0，必须有20404a a b a >⎧⎪⎨-=⎪⎩（2），由（1）（2）得，1,2a b ==，从而222()(log )2log 1f x x x =++；（2）由2()()log 210F x f x m x m =-++=得，222(log )(2)log 220x m x m +-++=，令2log u x =，则方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上， 设2()(2)22h u u m u m =+-++，所以(2)442220(1)12220(0)220h m m h m m h m -=-+++>⎧⎪-=-+++<⎨⎪=+>⎩，解得1123m -<<-，即m 的取值范围(11,23--).本题考查零点存在性定理的应用，解题的关键是得出方程2(2)220u m u m +-++=有两个不等根，且分别在区间()2,1--､()1,0-上.20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A ，B 两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 组，求A 组这4人中得到礼品的人数X 的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m 岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m 应取25还是35？请通过比较2K 的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.(1) ①9人 ②见解析；(2) 25m =（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数4520100⋅； ②确定随机变量X 的取值，计算X 各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===.故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值 ()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到25岁 67 33 100 达到25岁 113 87 200 合计 180120300可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a >b >0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O .当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB =3b .（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由.（1）22142x y +=；（2）最大值为（3）存在，理由见解析. （1）由题可得22212ab b a b c =⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出,a b 即可求出椭圆方程；（2）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，联立直线与椭圆方程，表示出点B 坐标，进而得出AB ，由CD 的方程为y kx =，得出BC ，即可得出矩形ABCD 面积，求出最大值；（3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，322220k k k -+-=(0)k >，根据零点存在可得出方程有解，即可判断.解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=. （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2288112122k S k k k k====+++所以当且仅当22k =时，矩形ABCD 面积S 的最大值为22. （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，即222412121k kk k +=++，则322220k k k -+-=(0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.本题考查椭圆中四边形的面积问题，解题的关键是设出直线方程，表示出矩形的相邻两边边长，进而可求出最值.22. 设函数1(1)f x x=-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）．（1）若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值； （3）若()()x f e g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（1）(3,1]a ∈-；（2）3a =-；（3）1[0,]2（1）由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3,1]a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； （2）21'()f x x =，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有{()()'()'()P P P PP P y f x y g x f x g x ===即{()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是{当1P P ax x +=时111Px -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-； （3）由题得在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)x e --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥． 解法一：不等式恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立，令1()(1)(1)1xx ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-， 再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e -+-=，同时，，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,x m x e=-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e---=，因为210a a-->，所以'()0m x <， 则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减， ∴即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a-> 若210a x a-<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a -上单调递增，所以'()'(0)0h x h >= 即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴，即()()x f e g x ≥，不满足条件． 综上，()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2．解法二：不等式恒成立等价于(1)(1)0x x ax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)x x x h x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()x h x e ax x a a =-+-， 再设()'()()x m x h x e ax x a a ==-+-，则同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)210m a =->，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符， ②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数)'(h x 是(0,)+∞上的减函数 所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >， 故函数)'(h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≥，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2．。

2020年江苏盐城高三三模数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知集合，，则与的并集 ．正.2.设复数（），若，则实数的值为 ．3.某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为人、人、人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取人，则抽取不喜爱的人数为 ．4.某校志愿者小组有名男生和名女生，现从中任选人参加活动，则女生入选的概率是 ．5.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的的值为 ．6.若双曲线的离心率为，则其两条渐近线所成的锐角为 ．7.设三棱锥的体积为，点，分别满足．，记三棱锥的体积为，则 ．8.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则．9.已知数列，满足，且数列是等差数列，若，，则数列的前项和．10.若函数关于直线对称，则的为 ．最.小.正.值.11.若实数，使不等式成立，则实数的取值范围是 ．存.在.12.在锐角中，已知是边上的高，且满足，则的取值范围是 ．13.设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数的取值范围是 ．14.若圆与圆相交，点为其在轴下方的交点，且，则点到直线距离的最大值为 .二、解答题（本大题共6小题，共90分）（1）（2）15.若，，设．求函数在上的单调减区间．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，求的值．（1）（2）16.如图，在三棱柱中，，，设为与的交点，点为的中点．求证：平面．平面平面．17.如图是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的圆弧(如图)．现已知正方形的边长是米，设该底座的面积为平方米，周长为米()，圆的半径为米．设计的理想要求是面积尽可能大，周长尽可能小．但显然、都是关于的减函数，于是设，当的值越大，满意度就越高．试问为何值时，该淋浴房底座的满意度最高?()图图周.长.是.指.图.中.实.线.部.分.解.答.时.以.代.入.运.算.（1）（2）（3）18.如图，、为椭圆短轴的上、下顶点，为直线上一动点，连接并延长交椭圆于点，连接交椭圆于点，已知直线，的斜率之积恒为．求椭圆的标准方程．若直线与轴平行，求直线的方程．求四边形面积的最大值，并求对应的点的坐标．（1）（2）（3）19.已知数列满足．若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于的等比数列，求的值．若是公差为的等差数列的前项和，求的值．若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式．20.设函数，，其中恒不为．（1）（2）（3）设，求函数在处的切线方程．若是函数与的公共极值点，求证：存在且唯一．设，是否存在实数，，使得在上恒成立？若存在，请求出实数，满足的条件；若不存在，请说明理由．三、选做题（本大题共3小题，选做2题，共20分）21.直线经矩阵（其中）作用变换后得到直线：，若直线与垂直，求的值．22.已知在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长．23.若正数，，满足，求的最小值．四、必做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）（1）（2）24.已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格．现有，，三名学生报名参加该高校的综合评价，假设，，三位学生材料初审合格的概率分别是， ，；面试合格的概率分别是，，．求，两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率．记随机变量为，，三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求的概率分布与数学期望．（1）（2）25.设集合（其中，），将的所有元子集（含有个元素的子集）中的最小元素的和记为．求，，的值．试求的表达式．【答案】1.解析:由，得，∴，∴．故答案为：．2.解析:由，得，∴，∵，∴，∴，∵，∴．3.解析:．故答案为：．4.解析:∵从名男生和名女生中，选择人参加活动，∴所有可能发生的情况共有种，本题从反面进行考虑，排除都为男生的情况，∴全是男生的情况有种，故选中的人中有女生的概率为．故答案为：．5.解析:当时，，∴，，当时，，∴，，当时，，∴，，当时，，∴．故答案为：．6.解析:由题意得，，∵渐近线方程为，∴，∴，当时，倾斜角为，当时，倾斜角为．∴渐近线所成的锐角为．7.解析:由题意得，点为边上的三等分点，点为边上的中点，∴ ，，设三棱锥是以为底面，三棱锥是以为底面，∴，，（，分别是三棱锥以为底面的高，以三棱锥以为底面的高）∵为中点，∴，∵为边上的三等份点，∴，∴，∴．8.解析:由题意得，∴，∴，∵，∴，∴，∴ ．9.解析:由题意得，是等差数列，∴，∴，即，，∴，∴是等比数列，∵，∴，∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴．故答案为：．10.解析:由题意得的图象关于对称，∴或，① 当时，，∴，当时，，② 时，，∴，∴，当时，，综上得，的最小正值为．故答案为：．11.解析:由题意得：，∴，∵存在实数，使不等式成立，∴，令，，令，解得，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，∴当时，，∴，∴．12.解析:方法一：，则是上靠近的三等分点，令，则，令，，，锐角三角形，∴，即，，，，∵，∴，，．方法二：．13.解析:令的一个零点为，即，又与零点相同，∴，，∴，∴，．当时，有唯一零点，有唯一零点，满足题意；．当时，有两个零点，，，则或．而有两个根，，又与零点完全相同，∴无实根，无解，∴即，综上：．14.解析:设点坐标为，其中，则，且，由，得，即，同理可得，则，是方程的两个根，由韦达定理可得，又因为，所以，即，所以点位于以为圆心，为半径的半圆上，如图所示，（1）（2）圆心到直线的距离，，则点到直线的距离的最大值为．解析:，当时，，函数单调递减，即，，又∵，∴函数在上的减区间为．由，得，又∵，∴，∴，得，由及正弦定理得，∴，（1）．（2）．15.（1）（2）即，解得，又∵，得，又∵，∴．解析:∵在平行四边形中，为与的交点，∴为的中点，又∵点为的中点，∴，又∵面，面，∴面．由（）得，又∵，∴，在平行四边形中，，∴平行四边形为菱形，∴，又面，面，，∴面，又∵面，∴面面．（1）证明见解析．（2）证明见解析．16.（1）（2）（3）解析:周长，面积，所以，令，则，当且仅当时，即，最大，此时，答：当时，该淋浴房底座的满意度最高．解析:由椭圆，所以，，设，则，所以，又，解得，所以椭圆的方程为．设，当时，，不符题意，所以，所以，直线的方程为：，即，代入椭圆方程得到，即，解得，，同理，因直线与轴平行，所以，解得，，所以直线的方程为．由（），解得，同理，所以四边形的面积，时，该淋浴房底座的满意度最高．17.（1）椭圆的方程为．（2）直线的方程为．（3）四边形面积的最大值为，此时点．18.（1）（2）根据对称性，不妨设，则所以，设，则，当且仅当即，所以四边形面积的最大值为，此时点．解析:因，所以，即，又，且前三项是公比小于的等比数列，所以，，即，所以，所以，解得．因是等差数列的前项和，所以，又，所以，当时，，（1）．（2）．（3）．19.（3）（1）（2）所以，不符题意；当时，，所以，．因为数列单调递增，所以；因为数列单调递增，所以；又因为，所以，因，所以；同理，所以，又，所以，所以，，所以数列的通项公式为．解析:因为，所以，，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即．因为，所以，又，所以，因为是函数与的公共极值点，所以，，即，，因为，所以，令，则是的零点，因为在上单调递增，所以至多有一个零点，（1）．（2）证明见解析．（3）存在，且，证明见解析．20.（3）又，，且函数在上连续不间断，由零点存在性定理可知，的零点唯一存在，得证．因为，由（）得，，记，，①当时，，，若，则，此时，不符题意；若，与符号相反，此时，满足题意，②当时，若，则，若，当时，则，由，得，所以，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；若，则，由，得，所以，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；③当时，若，则，若，则，由，得，所以，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；若，当时，则，由，得，所以时，，，此时函数与，，不符题意（舍）；综上所述，当且时，函数与满足在上恒成立．解析:．21.方法一：平面列向量关于原点逆时针旋转所对应的变换矩阵为，直线经矩阵作用，即顺时针旋转以后得到直线，且，，所以．方法二：在直线上任取一点，经过矩阵作用后得到点，则，又点在直线：上，所以，即，因为，所以，所以，所以，因为，所以．解析:直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线被曲线截得的弦长为．解析:因为正数，，满足，所以，所以，，当且仅当，，时，取最小值．．22.．23.（1）（2）解析:记“，两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件．考生获得录取资格的概率为；考生获得录取资格的概率为；所以．答：，两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为．随机变量可能的取值为：，，，，考生获得录取资格的概率为，由（）得，两位考生获得录取资格的概率均为．所以，，三位考生获得高校综合评价录取资格的人数．则，，，，随机变量的概率分布表如下：数学期望为：（人）．答：的数学期望为人．注：（）如果随机变量的概率分布列写成：（），可酌情给分．（如果由二项分布的期望公式直接得出结果，可酌情给分．）解析:（1）．（2）人．24.（1）；；．（2）．25.（1）（2）当时，，元子集有：，∴，当时，，元子集有：，，，，∴，当时，，元子集有：，，，，，，，，，，∴．方法一：以为最小值的元子集个数为；以为最小值的元子集个数为；以为最小值的元子集个数为，∴∵，∴，下求，记，则，记，则的展开式中项前的系数为，又，，，则的展开式中项前的系数又可以写作，∴，∴式．方法二：由，，，归纳猜想出，下用数学归纳法给出证明．①当时，，结论成立；②假设时，结论成立，即，则当时，，，所以当时，结论成立，综上：由①②可得．21。

江苏省盐城中学2020届高三年级第二次阶段性质量检测数学试卷数学试题一、填空题1.设集合{}{}1,,2,3,4A x B ==，若4A B =，则x 的值为2.已知复数131iz i-=+，则复数z 的虚部为 3.函数()f x =的定义域是4.设a R ∈，则“2a =”是“直线2y ax =-+与直线14ay x =-垂直”的 条件5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为6.设函数()ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为2，则实数a 的值为7．已知实数x,y 满足条件2403300x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为8.在平面直角坐标系xOy 中，已知焦距为4的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右准线与它的两条渐近线分别相交于点P,Q ，其焦点为12,F F ，则四边形12PF QF 的面积的最大值 为9.在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若32AD AB =，则CD CB ⋅=10.若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为11.已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n N ∈，总有321n n n S T =+，则44a b = 12.已知函数()33,02,0x x x x f x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，若函数()()()12y f x a f x a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有5个零点，则实数a 的取值范围是13.在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （2,2），E 、F 为圆()()22:114C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为 14.已知△ABC1，且满足431tan tan A B+=，则变AC 的最小值为 二、解答题15.已知函数()21sin 2.2f x x x = （1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域.16.已知△ABC 中，13tan ,tan ,45A B AB === （1）角C 的大小；（2）△ABC 中最小边的边长。

2020盐城三模盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}11,022<<-=<-=x x N x x x M , 则M 与N 的并集．．N M = ▲ .2．设复数()0>+=a i a z ，若2=z z ,则正实数a 的值为 ▲ .3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不 喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利 用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ▲ .4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则 女生入选的概率是 ▲ .5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ▲ .6．若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为2.则其两条渐近线所成的锐角为 ▲ .7．设三棱锥ABC P -的体积为1V ，点N M ,分别满足2=，NC PN =，记三棱锥BMN A -的体积为2V ，则12V V = ▲ .8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若c a ca bB A 2,sin sin =+=则A cos = ▲ . 9．已知数列{}{}n n b a 、满足,log 2n n a b =且数列{}n b 是等差数列.若9,2103==b b ,则数列 {}n a 的前n 项和n S = ▲ .10．若函数()()θ+=x x f 2sin 关于直线4π=x 对称，则θ的最小正值．．．．为 ▲ . 11．若存在．．实数()4,0∈x ，使不等式01623<+-ax x 成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 12．在锐角ABC △中，已知AH 是BC 边上的高，且满足3231+=,则ABAC的取 值范围是 ▲ .13．设函数()xb ax x x f 222⋅+-=，若函数()x f y =与函数()()x f f y =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．若圆()16:221=+-y m x C 与圆()16:222=+-y n x C 相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且8-=mn ，则点P 到直线01=-+y x 距离的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）若sin cos 22x x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设3()f x m n =⋅-． （1）求函数()f x 在[]π，0上的单调减区间；（2）在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若)()(B f A f =，b a 2=，求B sin 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，AC AA =1，11AC B A ⊥，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点． 求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1；（2）平面1ACC ⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一个与正方形两邻边相切的圆的41圆弧（如图2），现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图．．．．．2．的实线部分．．．．．），圆的半径为r 米.设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小.但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设lSr f =)(，当)(r f 的值越大，满意度就越高.试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时．．．π以．3．代入运算．．．．）．18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：1222=+y ax 短轴的上、下顶点，P 为直线l ：2=y 上一动点，连接P A 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N .已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为21-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121+=-+n a a n n ．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中301<<a ，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d （d >0）的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若1a =1，22-=a ，且数列{}1-2n a 单调递增，数列{}n a 2单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小满分16分）设函数xe x xf )()(ϕ=，)(ln )(x xx g ϕ=，其中)(x ϕ恒不为0. （1）设2)(x x =ϕ，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；（2）若0x 是函数)(x f 与)(x g 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设b ax x +=)(ϕ，是否存在实数a ，b ，使得0)()(<'⋅'x g x f 在()∞+，0上恒成立？若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）直线l 经矩阵M=⎢⎣⎡θθsin cos ⎥⎦⎤-θθcos sin （其中()πθ，0∈）作用变换后得到直线x y l 2:='，若直线l 与直线l '垂直，求θ的值.B.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，设P 为上动点，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）若实数a b c ，，满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试.只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格.现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是31，21，41；面试合格的概率分别是21，31，32. （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位同学获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望.23.（本小题满分10分）设集合{}n T n ,,3,2,1⋅⋅⋅=（其中*∈≥N n n ,3），将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S . （1）求3S ，4S ，5S 的值； （2）试求n S 的表达式.江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟调研考试。

江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题2020．5第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M N ＝ ．2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动， 则女生入选的概率是 ．5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ． 第5题 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =，PN NC =，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+，则AC AB的取值范围是 ．13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，设3()f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23． （1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式．江苏省盐城市2020届高三年级第三次模拟考试数学试题解析第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合M ＝{}220x x x -<，N ＝{}11x x -<<，则M 与N 的并集M N ＝ ．答案：(﹣1，2)考点：集合并集运算解析：∵集合M ＝{}220x x x -<，∴M ＝(0，2)，又∵N ＝{}11x x -<<，∴MN ＝(﹣1，2)2．设复数z a i =+(a ＞0)，若2zz =，则正实数a 的值为 ． 答案：1 考点：复数解析：∵z a i =+，∴2()()12zz a i a i a =-+=+=，又∵a ＞0，∴a ＝1．3．某电视台对一节目的喜爱程度进行网络调查，共有12000人参与调查，喜爱、一般、不喜爱的人分别为6000人、5000人、1000 人，为进一步了解被调查人的具体想法，现利用分层抽样的方法抽取60人，则抽取不喜爱的人数为 ． 答案：5考点：分层抽样 解析：601000512000⨯=．4．某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是 ． 答案：23考点：随机事件的概率解析：3人中任选两人有三种情况，其中女生入选的情况有2种，故女生入选的概率是23． 5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．答案：13 考点：伪代码解析：第一步：I ＝3，S ＝5； 第一步：I ＝5，S ＝9；第一步：I ＝7，S ＝13；此时I ＞6，输出S 的值为13．6．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为 ．答案：3π 考点：双曲线的简单性质解析：∵2c a =，∴224c a =，故2224a b a +=，b a=∴两条渐近线方程为：y =， ∴两条渐近线所成的锐角为3π． 7．设三棱锥P —ABC 的体积为V 1，点M ，N 分别满足PM 2MB =，PN NC =，记三棱锥A —BMN 的体积为V 2，则21V V ＝ ．答案：16考点：三棱锥的体积 解析：首先得S △BMN ＝16S △PBC ，且点A 到平面BMN 与点A 到平面PBC 的距离相等， 故21V V ＝16． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ba c=+，2a c =，则cosA ＝ ．答案：4考点：正余弦定理 解析：∵sin sin A b B a c =+，∴a bb a c=+，把2a c =代入得，b =，∴222222cos 24b c a A bc +-===． 9．已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，且数列{}n b 是等差数列，若32b =，109b =，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝ ． 答案：21n-考点：等差数列的通项公式，等比数列的前n 项和解析：∵{}n b 是等差数列，且32b =，109b =，∴1n b n =-， ∴12n n a -=，故{}n a 是的前n 项和212121n n n S -==--． 10．若函数()sin(2)f x x θ=+关于直线4x π=对称，则θ的最小正值为 ．答案：2π 考点：三角函数的对称性解析：由题意得，242k ππθ⨯+=，k ∈Z ， 则22k ππθ=-+，k ∈Z ，所以θ的最小正值为2π． 11．若存在实数x ∈(0，4)，使不等式32160x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(6，+∞)考点：函数与不等式（存在性问题）解析：∵∃x ∈(0，4)，是不等式32160x ax -+<成立， ∴2min 162()a x x>+， 令216()f x x x=+，则322(8)()x f x x -'=，当x ∈(0，2)，()0f x '<，()f x 单调递减， 当x ∈(2，4)，()0f x '>，()f x 单调递增， 故min ()(2)12f x f ==，212a >，故6a >． 12．在锐角△ABC 中，已知AH 是BC 边上的高，且满足12AH AB AC 33=+，则ACAB的取值范围是 ． 答案：，1) 考点：平面向量与解三角形 解析：由题意知AH ⊥BC ，且CH ＝13BC ， 在Rt △ACH 中，3cos 3aCH aC AC b b===，在△ABC 中，222cos 2a b c C ab +-=， 所以22223a b c a ab b +-=，化简得222330a c b =->，得1b c<，∵△ABC 是锐角三角形，∴2222233b c a c b +>=-，得2b c >，∴12b c <<，即AC AB的取值范围是(2，1)． 13．设函数2()22xf x x ax b =-+⋅，若函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点，且它们的零点完全相同，则实数a 的取值范围是 ．答案：(﹣2，0] 考点：函数与方程解析：假设0x 既是()y f x =的零点，也是(())y f f x =的零点，则0()0f x =，0(())0f f x =，即(0)0f =，则b ＝0，∴2()2f x x ax =-，令()0f x =，解得10x =，22x a =， ∴(())0f f x =，解得()0f x =或()2f x a =， ①当a ＝0时，符合题意；②当a ≠0时，方程()2f x a =无解，即方程2220x ax a --=无解， ∴244(2)0a a --<，解得20a -<<， 综上所述，﹣2＜a ≤0．14．若圆C 1：22()16x m y -+=与圆C 2：22()16x n y -+=相交，点P 为其在x 轴下方的交点，且mn ＝﹣8，则点P 到直线x ＋y ﹣1＝0距离的最大值为 ．答案：2考点：直线与圆综合 解析：由题意可知2p m nx +=，代入圆C 1得p y ==，∵mn ＝﹣8，∴p y ==所以点P 在圆228x y +=上，其中0y <，求得圆心O 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离是2，故点P 到直线x ＋y ﹣1＝0的距离的最大值是22=． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）若m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，设3()2f x m n =⋅-．（1）求函数()f x 在[0，π]上的单调减区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)(B)f f =，2a b =，求sinB 的值．解：（1）∵m ＝(sin2x，cos 2x )，n ＝(cos 2x 2x )，∴23()sin cos 2222x x x f x m n =⋅-=-1sin 22x =-1sin cos 22x x =+ sin coscos sin33x x ππ=+sin()3x π=+由322232k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ， 解得72266k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ， 又∵x ∈[0，π]，∴解得6x ππ≤≤，∴函数()f x 在[0，π]的单调减区间为[6π，π]，（2）由（1）知()sin()3f x x π=+，其对称轴为6x k ππ=+，k ∈Z ，当x ∈[0，π]，对称轴方程为6x π=，∵()()f A f B =，2a b =，即A B >，∴3A B π+=，sin 2sin A B =，∴sin()2sin 3B B π-=sincos cossin 2sin 33B B B ππ-=，∴1cos sin 2sin 22B B B -=， 即cosB B =，∵22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，sin B ＞0解得sin B =． 16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ，A 1B ⊥AC 1，设O 为AC 1与A 1C 的交点，点P 为BC 的中点．求证：（1）OP ∥平面ABB 1A 1； （2）平面ACC 1⊥平面OCP ．解：（1）∵在三棱柱中，平面ACC 1A 1是平行四边形， ∴O 为A 1C 的中点，又∵P 为BC 的中点， ∴OP ∥A 1B ，∵A 1B ⊂平面ABB 1A 1，OP ⊄平面ABB 1A 1， ∴OP ∥平面ABB 1A 1，（2）∵平面ACC 1A 1是平行四边形，且AA 1＝AC ， ∴平面ACC 1A 1是菱形， ∴AC 1⊥A 1C ，即AC 1⊥OC ， ∵A 1B ⊥AC 1，且OP ∥A 1B ，∴AC 1⊥OP ，又AC 1⊥OC ，OP OC ＝O ，∴AC 1⊥平面OCP ， ∵AC 1⊂平面ACC 1，∴平面ACC 1⊥平面OCP ．17．（本小题满分14分）如图1是淋浴房示意图，它的底座是由正方形截去一角得到，这一角是一 个与正方形两邻边相切的圆的14圆弧（如图2）．现已知正方形的边长是1米，设该底座的面积为S 平方米，周长为l 米（周长是指图2中实线部分），圆的半径为r 米．设计的理想要求是面积S 尽可能大，周长l 尽可能小，但显然S 、l 都是关于r 的减函数，于是设()Sf r l=，当()f r 的值越大，满意度就越高．试问r 为何值时，该淋浴房底座的满意度最高？（解答时π以3代入运算）解：44244222rrl r r ππ-=-+=-=-， 222241()11444r r S r r ππ-=--=-=-，所以22144()16242r r f r r r --==--，(0,1]r ∈， 22164()2(8)r r f r r -+'=-，令()0f r '=，解得8r =-(0,1]故8r =-时，()f r 取得最大值．答：当8r =-时，该淋浴房底座的满意度最高． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 为椭圆C ：2221x y a+=短轴的上、下顶点，P 为直线l ：y ＝2上一动点，连接PA 并延长交椭圆于点M ，连接PB 交椭圆于点N ，已知直线MA ，MB 的斜率之积恒为12-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 与x 轴平行，求直线MN 的方程；（3）求四边形AMBN 面积的最大值，并求对应的点P 的坐标．解：（1）A(0，1)，B(0，﹣1)，设M(x ，y)，则2221x y a=-2222(1)(1)1112MA MBy y y k k x x a -+-⋅===-=-，22a = 因此，椭圆C 的标准方程为：2212x y +=； （2）设M(m ，n)，则N(﹣m ，n)，((0,2)m ∈(1)11122(1)1p m AM x y n y n m n BN x y n ⎧=-⎪⎪-⇒==⇒=⎨-⎪=+⎪+⎩：：，故直线MN 的方程为：12y =；（3）设P(t ，2)，t ≠022110122AP y x x t y x y ⎧=+=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或2222224422(,)2222t x t t t M t t t y t -⎧=⎪-+⎪+⇒⎨+++⎪=⎪+⎩22310122BP y x x t y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪+=⎩：或22222212121818(,)18181818t x t t t N t t t y t ⎧=⎪-+⎪+⇒⎨++-+⎪=⎪+⎩22222261412412()1636221821820AMBNt t t t t t S AB t t t t t t+-=⋅+=+=++++++四边形令6)t x t +=∈+∞，则216()8AMBN x S f x x ==+四边形，)x ∈+∞ 22216(8)()0(8)x f x x -'=<+，故()f x在)+∞上递减，故x =6t t=，即t =max ()f x = 即AMBN S 四边形因此，四边形AMBN，对应的点P 的坐标为(，2)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足121n n a a n +-=+．（1）若数列{}n a 的首项为1a ，其中103a <<，且1a ，2a ，3a 构成公比小于0的等比数列，求1a 的值；（2）若n a 是公差为d (d ＞0)的等差数列{}n b 的前n 项和，求1a 的值；（3）若11a =，22a =-，且数列{}21n a -单调递增，数列{}2n a 单调递减，求数列{}n a 的通项公式．解：（1）由题意知：2132122133958a a a a a a a a ⎧-=-⎪-=⇒=⎨⎪=⎩；（2）由题意知：11b a =，1(1)n b a n d =+-11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，其中d ＞0，111132512370d a d a a d d a d ⎧+=⎪+==⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎪>⎩此时，11121n n n a a b a dn n ++-==+=+对任意n N *∈均成立，故11a =；（3）由题意知：135211n a a a a -=<<<<<，24622n a a a a =->>>>>故21n k =-时，1121241n n n n k k a a a a a a k ++--=-=-=- 2n k =时，121241n n k k a a a a k ++-=-=+ 则：21212k k a a +--=，故21131532123()()()21k k k a a a a a a a a k ---=+-+-++-=-即n 为奇数时，n a n =，又n 为奇数时，11211n n n a a n a n ++-=+⇒=-- 即n 为偶数时，n a n =- 综上，1(1)n n a n -=-⋅．20．（本小题满分16分）设函数()()xx f x e ϕ=，ln ()()xg x x ϕ=，其中()x ϕ恒不为0． （1）设2()x x ϕ=，求函数()f x 在x ＝1处的切线方程；（2）若0x 是函数()f x 与()g x 的公共极值点，求证：0x 存在且唯一；（3）设()x ax b ϕ=+，是否存在实数a ，b ，使得()()0f x g x ''⋅<在(0，+∞)上恒成立?若存在，请求出实数a ，b 满足的条件；若不存在，请说明理由．解：（1）2()x x f x e =，1(1)f e =，22()x x x f x e -'=，1(1)f e'=故在x ＝1处的切线方程为：0x ey -=；（2）()()()xx x f x eϕϕ'-'=，2()()ln ()()x x xxg x x ϕϕϕ'-'=由题意知0000()0ln 10()0f x x xg x '=⎧⇒-=⎨'=⎩：令()ln 1h x x x =-，x ＞0，()ln 1h x x '=+1(0,)x e -∈时，()0h x '<；1(,)x e -∈+∞时，()0h x '>故()h x 在1(0,)e -递减，1(,)e -+∞递增又(0,1)x ∈时，()1h x <-，故()h x 在(0，1)上无零点 (1)10h =-<，()10h e e =->，故(1)()0h g e <又()h x 在[1,)+∞递增，因此，()h x 在(1，e)上存在唯一零点 ∴0x 存在且唯一；（3）由题意知：()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点当a ＝0时，则b ≠0，11()()0x xb f x g x e bx xe -''=⋅=-<，符合题意； 又1(1)(1)0b f g e a b-''=⋅<+，则b(a ＋b)＞0，故b ≠0 当a ≠0时，要使()x ax b ϕ=+在(0,)+∞上无零点，显然ab ＞02ln ()()0()x ba a xa axb x f x g x e ax b +---''=⋅<+在(0,)+∞上恒成立即()(ln )0bax b a a x a x+---<在(0,)+∞上恒成立 令()F x ax b a =+-，(0,)x ∈+∞，()ln bG x a x a x=--，(0,)x ∈+∞ ,0a b >①时，max{0,1}b x a>-时，()0F x >11max{,}ax b e+>时，ln 1a x a ->，1bx->-，故()0G x >因此，11max{1,,}a bx b e a+>-时，()()0F x G x >与题意不符，舍去；,0a b <②时，max{0,1}b x a>-时，()0F x <11max{,}ax b e->-时，ln 1a x a -<-，1bx-<，故()0G x < 因此，11max{1,,}a bx b e a->--时，()()0F x G x >与题意不符，舍去； 综上，存在a ＝0，b ≠0符合题意．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值．解：在l 上任取一点P(x ，y)，设P 经矩阵M 变换后得到点P′(x′，y′)故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=-⎧⎨'=+⎩，又P′在直线l ′：y ＝2x 上，即y′＝2x′则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=．B ．选修4—4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：直线l的直角坐标方程为：10x ++=，曲线C 的直角坐标方程为：222x y +=，圆心为C(0，0)，半径r， 圆心C 到直线l的距离12d ==所以直线l 被曲线C截得的弦长为=C ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，求111123a b c +++++的最小值． 解：因为正数a ，b ，c 满足243a b c ++=，所以2(1)4(2)(3)16a b c +++++=，所以1111111[2(1)4(2)(3)]()12316123a b c a b c a b c ++=+++++⋅++++++++，211121)1616+≥+=当且仅当237a =，107b -=，277c -=时，取最小值1116+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知某高校综合评价有两步：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，现有A ，B ，C 三名学生报名参加该高校的综合评价，假设A ，B ，C 三位学生材料初审合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23．（1）求A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位学生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X 的概率分布与数学期望．解：（1）记“A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格”为事件MA 考生获得录取资格的概率为111326⨯=；B 考生获得录取资格的概率为111236⨯=； 所以15515()666618P M =⨯+⨯= 答：A ，B 两位考生有且只有一位考生获得录取资格的概率为518； （2）随机变量X 可能的取值为：0，1，2，3C 考生获得录取资格的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位考生获得录取资格的概率均为16， 所以A ，B ，C 三位考生获得高校综合评价录取资格的人数X ~ B(3，16)， 则0335125(0)()6216P X C ===，1235175(1)()()66216P X C ===， 2235115(2)()()66216P X C ===，33311(3)()6216P X C ===， 随机变量X 的概率分布表如下：数学期望为：125751511()01232162162162162E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人） 答：X 的数学期望为12人．23．（本小题满分10分）设集合n T ＝{1，2，3，…，n }(其中n ≥3，n N *∈)，将n T 的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为n S ．（1）求3S ，4S ，5S 的值；（2）试求n S 的表达式．解：（1）3{1,2,3}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，故31S =；4{1,2,3,4}T =，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，故45S =；5{1,2,3,4,5}T =，，其所有三元子集为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，故515S =；（2）{1,2,3,,}n T n =的所有三元子集中：最小元素为1的三元子集个数为21n C -最小元素为2的三元子集个数为22n C - 最小元素为3的三元子集个数为23n C - ……最小元素为n ﹣2的三元子集个数为22C 222222234321(2)(3)(4)32n n n n S n C n C n C C C C ---=-+-+-++++ 23222222334321(3)()(4)32n n n C n C C n C C C C ---=+-++-++++ 232222244321(3)(4)32n n n C n C n C C C C ---=+-+-++++ 23322222444321(4)()32n n n C C n C C C C C ---=++-+++++ 233222245321(4)32n n n C C n C C C C ---=++-++++ ……4333445n C C C C =++++ 43355n C C C =+++41n C +=．。

江苏省盐城市第八中学2020年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则“”是“函数的最小正周期为”的（）A．必要不充分条件 B．充要不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B2. 已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3. 已知某算法的流程图如图所示，若输入的有序数对为，则输出的有序数对为 ( )A．B． C．D．参考答案：B4. 若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据复数（a∈R）为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解： ==，∵复数（a∈R）为纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：B．5. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A．B． C. D．参考答案：A6. 若执行如图所示的程序框图，其中rand[0,1]表示区间[0,1]上任意一个实数，则输出数对(x,y)的概率为（）A．B． C. D．参考答案：C概率为几何概型,测度为面积,概率为选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．7. 已知函数,若则实数的取值范围是（）A B C D参考答案：8. 函数f（x）=lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）的图象在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．2B．C．1 D．2参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：由f（x）=lnx+x2﹣bx+a，得f′（x）=+2x﹣b（x＞0），∴f′（b）=+b（b＞0）∴f′（b）=+b≥2，当且仅当b=，即b=1时上式取“=”，切线斜率的最小值是2．故选：D．9. 已知集合,则（）A. B.C. D.参考答案：B试题分析：因,则,故应选B.考点：不等式的解法与集合的运算.10. 如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北300方向2 km 处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元．A．（2+）a B．2（+1）a C．5a D．6a参考答案：C【考点】抛物线的应用．【分析】依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．【解答】解：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可．因B地在A地东偏北300方向km处，∴B到点A的水平距离为3（km），∴B到直线l距离为：3+2=5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若则n= 。

2020届江苏省盐城中学高三下学期阶段检测数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}1,2A =,{}2,3B a a =+,若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈,显然233a +≥,所以1a =,此时234a +=,满足题意,故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时,往往容易忽略空集的情况,一定要先考虑∅时是否成立,以防漏解．2.若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位）,则复数z 的实部是______.【答案】1【解析】通过复数方程,两边同乘1-2i ,然后求出复数z 即可．【详解】因复数z 满足(1+2i )z =−3+4i ,所以(1−2i )(1+2i )z =(−3+4i )(1−2i ),即5z =5+10i ,所以z =1+2i ,实部为1.故答案为：1.3.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为________．【答案】8分析：先判断6I <是否成立,若成立,再计算I S ，,若不成立,结束循环,输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======,因为76>,所以结束循环,输出8.S =4.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______.【答案】345 【解析】根据茎叶图中的数据求出甲、乙二人的平均数,再根据方差的定义得出乙的方差较小,求出乙的方差即可．【详解】解：根据茎叶图中的数据,计算甲的平均数为11(7791418)115x =⨯++++=, 乙的平均数为21(89101315)115x =⨯++++=；根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定（方差较小）, 计算乙成绩的方差为：222222134[(811)(911)(1011)(1311)(1511)]55s =⨯-+-+-+-+-=． 故答案为：345． 5.从0、2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中无重复的个数为______________.【答案】30.。

江苏省盐城中学高三年级第一次阶段性考试数学（理）试卷一、填空题1.设集合{1,},{1,3}A m B ==，若{1,2,3}A B =U ，则m = ．2.幂函数()y f x =的图像过点，则(9)f = ．3.函数0()lg(1)(2)f x x x =-+-的定义域为 ．4.函数()ln f x x x =-的单调减区间为 ．5.若命题:1p x <，命题2:log 0q x <，则p 是q 的 条件．6.已知()1x f x x=+，则(1)f -= ． 7.已知 1.20.81212,(),log 22a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 ．8.已知函数2()2f x mx x m =+++在(,2)-∞上是增函数，则实数m 的取值范围为 ．9.设()f x 是定义R 在上的奇函数，且满足(1)()f x f x -=，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．10.已知函数()ln ()m f x x m R x =-∈在区间[1,]e 上取得最小值4，则m = ． 11.已知函数3()f x x x =+，对任意的[2,2],(2)()0k f kx f x ∈--+<恒成立，则x 的取值范围为 ．12.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．13.若存在x R ∈，使得2342(0x x x a a --≥>且1)a ≠成立，则实数a 的取值范围是 ． 14.已知函数21(0)()21(0)x x f x e x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪++<⎩，若函数(())1y f f x a =--有三个零点，则a 的取值范围为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设集合522{|224},{|230,0}x A x B x x mx m m --=≤≤=+-<>（1）若2m =，求A B I（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16.已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-（1）求函数()f x 的定义域并判断()f x 的奇偶性；（2）记函数()()103f x g x x =+，求函数()g x 的值域.17. 已知函数2()f x x bx c =++，其图像与y 轴交点为(0,1)，满足(1)(1)f x f x -=+（1）求()f x ;（2）设()0g x m =>，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x =，若对于一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围.18. 经市场调查，某商品每吨的价格为(214)x x <<元时，该商品的月供给量为1y 吨，116(8);y ax a =-≥月需求量为2y 吨,222224y x x =--+.当该商品的需求量不小于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量小于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若32a =，问商品的价格为多少元时，该商品的月销售额()f x 最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不小于每吨10元，求实数a 的取值范围.19. 已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈（1）当12a =时，求()f x 在区间[1,]e 上的最大值和最小值； （2）如果函数12(),(),()g x f x f x 在公共定义域D 上，满足12()()(),f x g x f x <<那么就称()g x 为12(),()f x f x 的“活动函数”.已知函数2221211()()2(1)ln ,()222f x a x ax a x f x x ax =-++-=+.若在区间(1,)+∞上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“活动函数”，求实数a 的取值范围.20. 已知函数1()(2)(1)2ln ,(),()x f x a x x g x xea R -=---=∈，（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1(0,)2上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.试卷答案一、填空题1. 22.33. (1,2)(2,)+∞U4. (0,1]5.必要不充分6. 12-7. c b a <<8. 1[,0]4-9.0 10. 3e - 11. 2(2,)3- 12. 1(0,)2 13. 19(0,1)(1,2][2,)⋃+∞U 14. 11(2,3](1,1){3}e e++U U 二、解答题15. {|25},0(3,)A x x m B m m =-≤≤>∴=-Q（1）2,(6,2){|22}m B A B x x ==-∴=-≤<I（2）要使B A ⊆，只要32253m m m -≥-⎧⇒≤⎨≤⎩，因为0m >，所以203m <≤ 16.（1）(2,2),-偶（2）25(6,]4- （3）(,lg 4)-∞17.（1）2()f x x bx c =++，因为图像与y 轴交点为(0,1)，所以1c =因为(1)(1)f x f x -=+，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称，所以2b =- 所以2()21f x x x =-+（2）因为22()21(1)f x x x x =-+=-所以22,1 ()|1|,1x x xg x x xx x x⎧-≥=-=⎨-<⎩当12m<≤时，2max()()g x g m m m==-当11222m+<≤时，max11()()24g x g==当122m+>时，2max()()g x g m m m==-综上2max21,021112(),42212,2m m mg x mm m m⎧-<≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪+->⎪⎩（3）因为()2ln|1|h x x=-，所以(1)2ln||,(22)2ln|21|h x t x t h x x+-=-+=+当[0,1]x∈时|21|21x x+=+所以不等式等价于0||21x t x<-<+恒成立，解得131x t x--<<+，且x t≠由[0,1]x∈得1[2,1],31[1,4]x x--∈--+∈，所以11t-<<又,[0,1]x t t≠∉所以所求的实数t的取值范围是10t-<<18.（1）若32a=，由21y y≥得222243216x x x--+≥-，解得406x-≤≤因为214x<<，所以26x<≤设该商品的月销售额为()f x则12,26(),614y x x f x y x x <≤⎧=⎨<<⎩当26x <≤时，()(3216)f x x x =-所以max ()(6)1056f x f ==元当614x <<时，2()(2224)f x x x x =--+，则2()34224(8)(328)f x x x x x '=--+=--+由()0f x '>得8x <所以()f x 在(6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数当8x =时， max ()(8)1152f x f ==元max 10561152()(8)1152f x f <∴==Q 元（2）设212()(2)240g x y y x a x =-=++-因为8a ≥，所以()g x 在区间(2,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于10元，即函数()f x 在区间[10,14)上有零点，所以(10)0(14)0g g ≤⎧⎨>⎩，解得8127a <≤ 又因为8a ≥，所以812a ≤≤答：（1）若32a =，商品的每吨价格定为8元时，该商品的月销售额最大，为1152元；（2）若该商品的均衡价格不小于每吨10元，实数a 的取值范围是812a ≤≤.19.（1）当12a =时，21()ln ,2f x x x =+定义域为(0,)+∞ 导函数1()0f x x x '=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数在(0,)+∞上单调增 所以()f x 在区间[1,]e 上单调增， 因为21(1),()122e f f e ==+，所以()f x 在区间[1,]e 上的最大值为212e +和最小值为12（2）由题意2211()()2ln 02f x f x x ax a x -=-+-< 且221()()()2ln 02f x f x a x ax x -=-+->，在区间(1,)+∞上恒成立令221()2ln (1)2g x x ax a x x =-+->，则2()()0x a g x x -'=-< 所以函数()g x 在(1,)+∞上单调减111(1)220224g a a a =-+∴-+≤∴≤Q 令221()()()()2ln 2h x f x f x a x ax x =-=-+-，则(1)[(12)1]()x a x h x x--+'= 又由(1,)x ∈+∞，且14a ≤ 易得(1)[(12)1]()0x a x h x x--+'=>，即()h x 在(1,)+∞上为增函数 则min ()(1)h x h =，只要使(1)0h ≥即可，即1202a a -+≥，解可得12a ≥- 综合可得1124a -≤≤20. （1）当1a =时，2()12ln ,()1f x x x f x x'=--∴=- 由()0f x '>时，得2x >，由()0f x '<时，得02x <<，故()f x 的单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2,)+∞（2）因为()0f x <在区间1(0,)2上恒成立不可能，故要使函数()f x 在1(0,)2上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221x x a x ∈>--恒成立 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-，则222ln 2()(1)x x l x x +-'=- 再令21()2ln 2,(0,),2m x x x x =+-∈ 则22(1)()0,x m x x --'=< 故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=-> 从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数 所以1()()24ln 22l x l <=- 故要使2ln 21x a x >--恒成立，只要24ln 2a ≥-综上，若函数()f x 在1(0,)2上无零点，则a 的最小值为24ln 2-（3）1()(1)x g x x e -'=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>函数()g x 单调递增 当(1,]x e ∈时，()0g x '<函数()g x 单调递减 又因为2(0)0,(1)1,()e g g g e e -===所以，函数()g x 在(0,]e 上值域为(0,1]，当2a =时，不合题意当2a ≠时，2(2)()2()a x a f x x ---'=当22x a =-时()0f x '=，由题意得，()f x 在(0,]e 上不单调，故202e a <<-，即22a e <- 此时，所以对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当满足下列条件22()02ln 0(2)22()1(2)(1)21(3)f a a a f e a e ⎧⎧≤-≤⎪⎪⇒--⎨⎨⎪⎪≥---≥⎩⎩ 令22()2ln,2(1)2h a a a a e =-<-- 则2()002h a a a'=-=⇒=-或2a = 故当0a <时，()0h a '>函数()h a 单调递增；当202a e <<-时，()0h a '<函数()h a 单调递减所以，对任意22a e <-，有()(0)0h a h ≤=，即（2）式对任意22a e <-，恒成立，由（3）式解得32(4)1a e ≤--综合（1）（4）可知，当321a e ≤--时，对任意给定的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立。

2020届江苏省盐城市高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知集合{}2=|10A x x -=，[0,)B =+∞，则A B =________．【答案】{1}【解析】先求得集合A ，然后求得两个集合的交集. 【详解】依题意{}1,1A =-，所以{}1A B ⋂=. 故答案为：{1}. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．已知角α的始边为x轴的正半轴，点P 是其终边上一点，则cos α的值为________． 【答案】13【解析】根据三角函数的定义求得cos α的值. 【详解】 依题意1cos 3α==.故答案为：13. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.3．“1m >”是“2m >”的________条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确结论. 【详解】由于()1,+∞包含()2,+∞，故“1m >”是“2m >”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若向量(1,)a m =，(3,2)b =，a b ，则实数m 的值为________． 【答案】23【解析】根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于两个向量平行，所以1230m ⨯-=，解得23m =. 故答案为：23. 【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.5．函数y =________．【答案】[2,)+∞【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意21log 00x x -+≥⎧⎨>⎩，解得2x ≥，故函数的定义域为[2,)+∞.故答案为：[2,)+∞. 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.6．若函数()y f x =为奇函数，当0x >时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值为________． 【答案】3-【解析】里奇偶性的性质，结合对数运算，求得函数值. 【详解】由于函数()f x 为奇函数，所以()()()277log 173f f -=-=-+=-. 故答案为：3-. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，考查对数运算，属于基础题.7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________．【答案】72-【解析】将所给已知条件转化为1,a d 的形式，由此求得1a d的值. 【详解】由于数列{}n a 是等差数列，所以1133510a d a d +=+，即127a d =-，由于0d ≠，所以172a d =-. 故答案为：72-. 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和的基本量计算，属于基础题. 8．若4sin()5πα+=-，则cos2α的值为________． 【答案】725-【解析】利用诱导公式求得sin α的值，利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】依题意()44sin sin ,sin 55πααα+=-=-=，故2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为：725-. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.9．若函数()sin f x x x =的图象关于直线x a =对称，则|a|的最小值是________． 【答案】6π【解析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数的对称性，求得a 的表达式，进而求得a 的最小值. 【详解】依题意()π2sin 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ32x k -=+得5ππ6x k =+，所以()5ππ6a k k Z =+∈，故当1k =-时，a 有最小值为π6. 故答案为：π6【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数对称轴的求法，属于基础题.10．若函数221,0(),0x ax x a x f x e x ⎧++-<=⎨≥⎩在(1,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0,1]【解析】根据分段函数的在(1,)-+∞上是增函数列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】由于()f x 在(1,)-+∞上是增函数，故0a =或002121a a a a>⎧⎪⎪-≤-⎨⎪-≤⎪⎩，解得0a =或01a <≤，所以实数a 的取值范围是[0,1]. 故答案为：[0,1]. 【点睛】本小题主要考查根据分段函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查指数函数的单调性，属于基础题.11．若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________． 【答案】1534【解析】根据{}1n n a a +⋅是等比数列求得1219,,,a a a ，由此求得数列{}n a 的前19项和.【详解】由于121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，而12231,2a a a a ==，所以173********,8,,2a a a a a a ===，由此求得456782,4,8a a a a a =====，91011121314151616,32,64,128a a a a a a a a ========，171819256,512a a a ===，所以数列{}n a 的前19项和为11222562565121534+++++++=.故答案为：1534 【点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题.12．如图，在ABC ∆中，AB =AC =23AD AB =，13AE AC =，DM ME =，BN NC =，若MN BC ⊥，则cos A 的值为________．【答案】6【解析】将,MN BC 用,AB AC 表示，利用0MN BC ⋅=列方程，解方程求得cos A 的值. 【详解】 依题意()()()111121222233MN AN AM AB AC AD AE AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=+-+ ⎪⎝⎭1163AB AC =+，BC AC AB =-.由于MN BC ⊥，所以0MN BC ⋅=，即()11063AB AC AC AB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，也即221110636AB AC AB AC -+-⋅=，即11132cos 0636A -⨯+⨯-=，解得cos A =.故答案为：6. 【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理的运用，考查向量垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13．在ABC ∆中，AC 1=，AB =D 为BC 的中点，2CAD BAD ∠=∠，则BC的长为________．【解析】利用正弦定理列方程组，化简后求得3π4A =，利用余弦定理求得BC 的长. 【详解】依题意1AB AC ==，设,22CA B D BA D DC x D α=∠=∠==,sin sin sin ADB ADC β∠=∠=.则在三角形ABD 和三角形ACD中，分别由正弦定理得sin sin 1sin 2sin x x αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式相除得2cos 2αα==，由于0πα<<，所以π4α=，所以3π4A =.在三角形ABC中由余弦定理得，BC ==【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题.14．设函数32()|23|f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0[0,2]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是________．【答案】5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】当0m ≤时，根据绝对值的性质判断此时m 符合题意.当0m >时，利用绝对值的解法，化简()0f x m ≥，结合0x 的取值范围，以及不等式的性质，求得m 的取值范围. 【详解】()3200023f x x x a =--，当0m ≤时，()0f x m ≥恒成立，符合题意.当0m >时，由()3200023f x x x a m =--≥，得320023x x a m --≤-或320023x x a m --≥，即320023m a x x -≤-+或320023m a x x +≤-.构造函数()[]()321230,2g x x x x =-+∈，()()'161g x x x =--，所以()1g x 在区间()0,1上递增，在()1,2上递减，()1g x 最大值为()111g =.故1m a -≤①.构造函数()[]()322230,2g x x x x =-∈，()()'261g x x x =-，所以()2g x 在区间()0,1上递减，在()1,2上递增，且()()2200,24g g ==，所以()2g x 的最大值为()224g =.故4m a +≤②.①+②得525,2m m ≤≤，即502<≤m . 综上所述，m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查存在性问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.二、解答题15．若函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求()g x 的值域．【答案】（1）()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[2]【解析】（1）根据()f x 相邻两个零点差的绝对值得到半周期，进而求得ω的值，根据点(求得ϕ的值，进而求得函数()f x 的解析式.（2）根据图像变换的知识求得()g x 的解析式，再结合三角函数求值域的方法，求得函数()g x 在[1,5]-上的值域. 【详解】（1）∵()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6， 记()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的周期为T ，则62T=， 又2T πω=，∴6π=ω. ∴()2sin 062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；∵()f x 的图像经过点，∴(0)2sin 02f πϕϕ⎫==<<⎪⎭，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）∵将函数()f x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像， 由（1）得，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()g x 的解析式为()2sin (3)2sin 6366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin [66x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.综上，当[1,5]x ∈-时，()g x 的值域为[2]. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像与性质求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于中档题.16．设:p “x R ∀∈，sin 2x a ≤+”；:q “2()f x x x a =--在区间[1,1]-上有零点” （1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a ≥- （2）11,(2,)4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）根据sin x 的最大值，求得a 的取值范围.（2）由于“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假，先求得q 为真命题时a 的取值范围，然后根据“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）∵p 为真命题，则max 2(sin )a x +≥，∴1a ≥-； （2）∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题， 则p ，q 一真一假.若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-有解，又2y x x =-，[1,1]x ∈-的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴124a -≤≤①p 真q 假，11,24a a a ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，解得114a -≤<-，或2a > ②p 假q 真，1124a a <-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，则a 无解综上，实数a 的取值范围是11,(2,)4⎡⎫--⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17．如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，200AB =米，100BC =米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．【答案】200+米【解析】设0,2ADE πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过E 作EH AD ⊥于H ，用θ表示出,,,,DE AE BF CF EF ，由此求得5条导数总长度的表达式()f θ，利用导数求得()f θ的单调性，进而求得()f θ的最小值.【详解】设0,2ADE πθθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过E 作EH AD ⊥于H ，∵EF 垂直平分AD ，∴1502DH BC ==（米）， ∴50cos DE θ=（米），50tan EH θ=（米）， 又∵EF 的中点是矩形ABCD 的中心， ∴2002200100tan EF EH θ=-=-（米）， 记这5条路总长度为()f θ（米）， 则50()4200100tan 0,cos 2f πθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2sin ()2001000,cos 2f θπθθθ-⎛⎫⎛⎫=+⋅∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ'''---=⋅，化简得22sin 1()100cos f θθθ-'=⋅，由()0f θ'=，可得6πθ=， 列表如下：由上表可知，当6πθ=时，()f θ取最小值122001002006f π-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（米）答：5条道路的总长度的最小值为200+（米）.【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查利用导数求函数的最值，属于中档题.18．如图，在ABC ∆中，AB 5=，AC 4=，点D 为ABC ∆内一点，满足2BD CD ==，且50AB AC DB DC ⋅+⋅=（1）求sin sin ABC BCD∠∠的值； （2）求边BC 的长．【答案】（1）2；（2. 【解析】（1）利用向量数量积运算化简50AB AC DB DC ⋅+⋅=，得到cos cos A D =-，由此得到sin sin A D =，根据正弦定理求得sin 2sin ABC BCD∠=∠. （2）利用余弦定理求得cos ,cos A D 的表达式，根据cos cos A D =-，解方程求得BC【详解】（1）设BC a =，AC b =，AB c =，由50AB AC DB DC ⋅+⋅=，所以54cos 522cos 0A D ⋅+⋅⋅=，即cos cos A D =-，又,A D 为三角形的内角，所以sin sin A D =，在ABC ∆中，sin sin a b A ABC =∠，所以4sin sin a A ABC=∠， 同理2sin sin a D BCD=∠， 所以42sin sin ABC BCD =∠∠，∴sin 2sin ABC BCD ∠=∠ （2）在ABC ∆中，22222225441cos 225440b c a a a A bc +-+--===⋅⋅， 同理28cos 8a D -=，由（1）可得22418408a a --=-，解得BC a ==. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查平面向量数量积运算，考查方程的思想，属于中档题.19．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为n P ，所有项的和记为n S ．（1）求1P ，2P ，3P ；（2）若2019n P …，求n 的最小值； （3）是否存在实数a ，b ，c ，使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）15P = 29P = 317P =；（2）10；（3）存在，0a c +=且0b ≠. 【解析】（1）根据原有的项数，确定每次拓展增加的项数，由此求得123,,P P P 的值.解不等式2019n P ≥求得n 的最小值.（3）根据拓展的方法，确定1n S +和n S 的递推关系式，通过假设123,,S S S 成等比数列，得到0a c +=且0b ≠，此时13n n S S +=，即数列{}n S 为等比数列.【详解】（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=；经第2次拓展后的项数2549P =+=；经第3次拓展后的项数39817P =+=.（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为1n P -， 所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-，所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=⋅=，∴121n n P +=+， 由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥，所以n 的最小值为10．（3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ， 所以123n m S a a a a a c =++++++，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++， 即11223332n m S a a a a c +=+++++，所以13()n n S S a c +=-+，得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++，因为数列{}n S 为等比数列，所以3212S S S S =，可得0a c +=， 则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠，反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n nS S +=，所以数列{}n S 为等比综上，,,a b c 满足的条件为0a c +=且0b ≠.【点睛】本小题主要考查新定义数列概念的理解，考查根据递推关系式求通项公式，考查等比数列的定义及证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.20．设函数()(1)x f x e x x a =---为常数．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(0,(0))P f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，①当a Z ∈时，求a 的最小值；②当1a =时，求12x x +的值．【答案】（1）10x y ++=（2）①1-②120x x +=【解析】（1）利用导数求得函数在0x =处切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式写出切线方程.（2）①利用()f x 的二阶导数，求得()f x 的最小值的表达式，利用min ()0f x <，对a 进行分离常数，由此求得a 的取值范围，进而求得a 的最小值. ②当1a =时，假设1x 是函数的零点，证得1x -也是函数的零点，也即21x x =-，由此求得120x x +=.【详解】（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，(0)1f =-，()1x f x xe '=-，(0)1f '=-，故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=.（2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '==-，则()(1)x g x x e '=+，当1x <-时()10xg x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减， 令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，又1()102g =<，(1)10g e =->，()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断， 所以存在唯一实数01(,1)2x ∈使得0()0g x =， 故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在()0,x +∞∴0min 000()()(1)x f x f x e x x a ==---，由0()0g x =得001x e x =， ∴min 001()1()f x a x x =--+， 因为函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，所以min ()0f x <，得0011()a x x >-+， 由01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭易得00131,12x x ⎛⎫⎛⎫-+∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故整数1a ≥-， 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明)注：由0(0,1)x ∈得0011(,1)x x ⎛⎫-+∈-∞- ⎪⎝⎭，不能得到1a ≥-. ②当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，由1()0f x =得111(1)10x e x x ---=， ∴111111111111(1)1()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e -------=--+-=+-==， 故函数()f x 有两个不同的零点1x ，1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ，2x ，∴21x x =-，∴120x x +=.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的切线方程，考查利用函数的二阶导数研究函数的零点，考查分离常数法求解参数的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.。

2020盐城三模高三调研考试数学试题含答案本文是2020年盐城市高三数学第三次模拟考试的试题，包含了14道填空题。

其中第1题是关于集合的问题，已知两个集合M和N，求它们的并集。

第2题是求复数的实部，已知一个复数的平方等于2，求它的实部。

第3题是关于分层抽样的问题，已知一项调查中有人参与，分为三类，求在60人的样本中不喜欢的人数。

第4题是概率问题，已知一个志愿者小组有2名男生和1名女生，从中选2人参加活动，求女生被选中的概率。

第5题是关于算法的问题，已知一个算法的伪代码，求执行完后输出的S的值。

第6题是关于双曲线的问题，已知一个双曲线的离心率为2，求其两条渐近线所成的锐角。

第7题是关于三棱锥的问题，已知一个三棱锥P-ABC的体积为V1，点M,N分别满足PM=2MB，PN=NC，求三棱锥A-BMN的体积V2.第8题是关于等差数列的问题，已知一个等差数列的第3项为2，第10项为9，求前n项和Sn。

第9题是关于函数的问题，已知一个函数关于直线x=π/4对称，求函数的最小正值。

第10题是关于不等式的问题，已知一个不等式在(4,∞)中成立，求实数a的取值范围。

第11题是关于三角形的问题，已知一个锐角三角形ABC，AH是BC边上的高，且满足AH=(AB+AC)/3，求cosA的取值范围。

第12题是关于函数的问题，已知两个函数都有相同的零点，求函数f(x)=x-2ax+b的系数a的取值范围。

第13题是关于圆的问题，已知两个圆C1和C2与x轴相交，求它们在x轴下方的交点P 的坐标。

1.数列问题已知数列 $\{a_{2n-1}\}$ 单调递增，数列 $\{a_{2n}\}$ 单调递减，且 $a_2=-2$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

2.函数问题设函数 $f(x)=\frac{\varphi(x)}{e^{x^2}}$，$g(x)=\ln x$，其中 $\varphi(x)$ 恒不为 $0$。

1) 若 $\varphi(x)=x$，求函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；2) 若 $x$ 是函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共极值点，证明$x$ 存在且唯一；3) 设 $\varphi(x)=ax+b$，是否存在实数 $a$，$b$，使得$f'(x)\cdot g'(x)<0$ 恒成立？若存在，求出实数 $a$，$b$ 满足的条件；若不存在，请说明理由。

江苏省盐城中学2020届高三数学第一次阶段性质量检测试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.己知集合，0，，则______2.设幂函数的图象经过点，则______．3.若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是______．4.函数的定义域为______．5.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______．6.已知等差数列的前n项和为，，，则的值为______．7.定义在R上的奇函数，当时，，则______．8.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为______ ．9.设向量，，则“”是“”成立的______ 条件选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”．10.已知函数，若在上单调递增，则实数a的取值范围是______11.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，E为BC中点，若，则______．12.若函数，在区间上有两个零点，则实数a的范围为______．13.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，己知，且且角A为锐角，则m的取值范围是______．14.己知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题）15.已知集合，集合B为函数的值域，集合，命题p：；命题q：．若命题p为假命题，求实数a的取值范围；若命题为真命题，求实数a的取值范围．16.中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且．求的值；若，求面积的最大值．17.在中，，，，D是边BC上一点，．求的值；若，求t的值．18.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE，桥面跨度DE 的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切．设，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是元．若桥面线段AD、BE和弧的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式；当为何值时，桥面修建总费用W最低？19.已知函数．当时，求函数在处的切线方程；当时，证明：函数只有一个零点；若函数的极大值等于0，求实数a的取值范围．20.已知正项数列的前n项和为，且．求数列的通项公式；若，数列的前n项和为，求的取值范围；若，从数列中抽岀部分项奇数项与偶数项均不少于两项，将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，0，，．故答案为：．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】【解析】解：根据幂函数的定义，可得，图象经过点，可得：解得：那么：故答案为：．根据幂函数的图象及性质求解．本题考查了幂函数的图象及性质．属于基础题．3.【答案】【解析】解：命题“，”是真命题，．，则实数a的取值范围是：．故答案为：．命题“，”是真命题，可得．本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．5.【答案】【解析】解：由题意可得，，，，，，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得、的值，可得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】24【解析】解：在等差数列中，设首项为，公差为d，由，，得，解得：．．故答案为：24．由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的前n项和，考查等差数列的通项公式，是基础题．7.【答案】【解析】解：是奇函数，，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．8.【答案】【解析】解：函数的最大值为2，最小正周期，，，函数，由，，解得：，，当时，函数在上的单调增区间：．故答案为：．求出函数的最大值以及函数最小正周期，即可求出，然后利用正弦函数的单调性，求出函数的单调增区间．本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．9.【答案】必要不充分【解析】解：若，则，即，即，则或，故”是“”成立必要不充分条件，故答案为：必要不充分．根据向量平行的坐标关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．10.【答案】【解析】解：根据题意，函数，则，设，则，易得在区间上，，即在上为减函数，在区间上，，即在上为增函数，故在有最小值，没有最大值，若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，即在上恒成立，必有，故a的取值范围为；故答案为：．根据题意，求出函数的导数可得，设，求出的导数，结合函数的导数与单调性的关系可得在上为减函数，在上为增函数，据此可得故在有最小值；进而分析可得若在上单调递增，则在上恒成立；即在上恒成立，据此分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题．11.【答案】【解析】解：过C作于F，则四边形AFCD是矩形，，，又，．为BC中点，，．故答案为：．根据求出AC，用表示出，从而得出答案．本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：当时，，函数是减函数，时，是增函数，在区间上有两个零点，可知分段函数，两个区间各有一个零点，可得，解得．故答案为：．利用分段函数判断函数的单调性，判断函数的零点，推出实数a的范围．本题考查函数的零点的判断，分段函数的应用，考查计算能力．13.【答案】【解析】解：，由正弦定理得，又．．，又由，可得，，即m的取值范围是故答案为：由已知利用正弦定理可得：，且，进而利用余弦定理、不等式的解法即可求解．本题考查了正弦定理、余弦定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，由题意，恒成立，则，即恒成立，所以，，在上恒成立，时显然不满足条件，当时，恒成立，则在上恒成立，即恒成立，令，则，显然，当时，函数取得最小值为，；当时，在上恒成立，当，即时，恒成立，则，解得，当，即时，恒成立，则，解得，故，综上，实数t的取值范围是．故答案为：．利用导数可得，则在上恒成立，且时显然不满足条件，再以及两种情况讨论即可．本题考查导数的运用，考查分类讨论思想，同时注意在分类的时候保证不重不漏，本题属于中档题．15.【答案】解：，，，由命题p为假命题可得命题为真命题命题，q都为真命题即且．解可得【解析】由题意可得，，，由命题p为假命题可得，可求a由题意可得且，结合集合之间的基本运算可求a的范围本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．16.【答案】解：．在中，，可得：，由余弦定理可得，即有，当且仅当时，取得等号，则面积，即有时，的面积取得最大值．【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题．利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．17.【答案】解：．，，．．，．，，即，解得．【解析】用表示，代入数量积公式计算；求出，，代入原式可得关于t的方程，解出t即可．本题考查了平面向量的数量积运算，用表示出其他向量是关键．18.【答案】解：设C为弧AB的中点，连结OA，OC，则具体如下图：在中，．又，弧AC长为．当时，；当时，．．，．根据，可设，则．令，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．当时，函数取得最小值，此时桥面修建总费用最低．【解析】本题第题根据题意结合图形，解直角三角形求出AD，利用弧长公式求出弧AC，即可列出总费用算式；第题在第题找到W关于的函数关系式的基础上构造函数，对进行求导分析，即可找到的值．本题主要考查理解题意能力，解直角三角形，弧长公式的应用，构造函数法，对函数进行一阶导数分析，以及数学计算能力．本题属中档题．19.【答案】解：当时，，，，切线方程为．，令，则，当时，，在上单调递减，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，故函数只有一个零点．由可知，当时，的极大值为0，符合题意，当时，若，，单调递增，若，，单调递减，又，，因为，则，，所以，当时，单调递减，，又，所以即，故存在，满足，当时，，函数单调递减，当，，函数单调递增，又时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，故是函数唯一极大值点，且符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，又，故，从而在上单调递减，没有极值；不符合题意；当时，时，，单调递增，时，，单调递减，且，，令，则，故在上单调递减，从而有，所以即，因为，故存在满足，当时，函数单调递增，当，函数单调递减，故是函数唯一极小值点，是函数唯一极大值点，，不符合题意，综上可得，．【解析】根据导数的几何意义即可求解，先对函数求导，，结合单调性即可求解，结合函数的单调性及函数的零点判定定理进行分类讨论进行求解．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于较难题．20.【答案】解：当时，由得，，得，当时，由得，，两式相减得，，即，数列各项均为正数，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列的通项公式为；由知，，，，令，则，是单调递增函数，数列递增，，又，的取值范围为；，设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，，，，因为数列的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为，，，则为奇数，而，，则为偶数，为奇数，所以，又为奇数，而，，则，均为偶数，矛盾，又，，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即的最大值为5，设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由得，，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．【解析】先求得，再根据，的关系可得，得出数列是以1为首项，2为公差的等差数列，由此求出通项公式；运用裂项相消法可得，研究其函数性质，利用单调性即可求得取值范围；由题意，偶数项只有两项，奇数项最多有3项，故设此等差数列为，，，，，则，，为奇数，，为偶数，且，由此得解．本题考查数列的综合运用，涉及了利用递推关系求数列通项，等比数列的判断，裂项相消法的运用，同时还考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．。

盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为 ．2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是 ． 3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ．5．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），AFEDCB（第11题图）7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙（第4题图）（第3题图）则双曲线的焦距等于 ．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ．8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f（2φ）的值为 ．10．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q = ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是 ．13．己知△ABC的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE⊥平面PCD ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45． （1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C ﹣B ＝4，求sinA 的值．17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值； （3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值．19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=． （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学附加题21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知a b c d∈，，，R，矩阵2ab-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A的逆矩阵111cd-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A．若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线21y x=+，求曲线C的方程．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C的方程为rρ=（0r>）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．（本小题满分10分）如图，F 是抛物线y 2＝2px （p > 0）的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点H ，其中．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的而积S 的最小值．盐城中学2020届高三年级第二学期阶段检测数学试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂，则实数a 的值为 ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意． 2．若复数z 满足()1234z i i +=-+（i 是虚数单位），则复数z 的实部是 ． 【答案】1【详解】因为复数z 满足（1+2i ）z =−3+4i ，所以（1−2i ）（1+2i ）z =（−3+4i ）（1−2i ）， 即5z =5+10i ，所以z =1+2i ，实部为1． 故答案为：1．3．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙（第4题图）（第3题图）【答案】8【解析】由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =4．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ． 4．6.85．从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ． 答案：30 考点：计数原理解析：若从0、2中选一个数字是0，则组成三位数有12个，若从0、2中选一个数字是2，则组成三位数有18个，故一共有30个．6．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点（3，1），则双曲线的焦距等于 ． 答案：8考点：双曲线及其性质解析：由题意知：221911ba ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228a b ==，故216c =，∴焦距2c ＝8．7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S 1、S 2，则S 1：S 2＝ ．答案：3：2考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R ，则S 1：S 2＝2(222)R R R ππ+⋅：24R π＝3：2．8．已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是 ．【解析】∵0(0)223f =+=，∴[(0)](3)log 2a f f f ==∵[(0)]2f f =，∴log 22a =，解得a9．已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π）图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f （2φ）的值为 ． 9．1210．已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列，且{}n a 的前n 项和为n S，若也为等比数列，则q = ．【答案】2【详解】已知{}n a 是首项为2，公比为()1q q >的等比数列．所以()1122221111n n n n a q q q S qq q q---===+----． 222112n n q q S q=++-+--为等比数列，则{}2n S +也为等比数列．FEDC所以2201q+=-，即2q =． 故答案为：211．如图，在平面四边形ABCD 中，π2CAD ∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，则AE AF ⋅=u u u r u u u r．【答案】6-12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是 ．12．解析：因为直线l ：kx －y ＋5k ＝0过定点P （－5，0），且CM ⊥MP ，所以点M 在以CP 为直径的圆上．设点M （x ，y ），则x 2＋y 2＝25．联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25x 2＋y 2－10x ＝0，解得x ＝52．又因为点M 在圆C 内，所以点M 的横坐标的取值范围为（52，5]．13．己知△ABC 的面积为＋1，AC ＝2，且43tan A tan B+＝1，则tanA 的值为 ．答案：1考点：三角恒等变换、正弦定理解析：∵43tan A tan B+＝1， ∴4cos A 3cos B1sin A sin B+=，∴4cosAsinB ＋3cosBsinA ＝sinAsinB ，∴3sinC ＝sinB （sinA ﹣cosA ），故3cb＝sinA ﹣cosA ，∵△ABC 2＋1，则2(21)c +=6(21)sin A cos A +=-，∵b ＝AC ＝3∴221sin A sin A cos A 2=-2221tan A tan A tan A 1+-=+， 解得tan A 21=-．14．己知函数2ln 20()504x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y ＝﹣2的对称点在kx ﹣y ﹣3＝0的图象上，则实数k 的取值范围是 ．答案：（-∞，34）U （1，+∞） 考点：函数与方程解析：直线kx ﹣y ﹣3＝0关于直线y ＝﹣2的对称直线为y ＝﹣1﹣kx ， 故可将题意转化为直线y ＝﹣1﹣kx 与函数()y f x =有且仅有两个交点，当x ＝0时，显然不符合题意，当x ≠0时，参变分离得：1()f x k x--=， 即方程1ln 201504x x xk x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---<⎪⎩，，有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k 的取值范围是k ＞1或k ＜34，即（-∞，34）U （1，+∞）． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，PA ⊥平面ABCD ．（1）求证：PB //平而AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA ＝AD ，求证：AE ⊥平面PCD ． 证明：（1）连接BD 交AC 于O ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 是BD 的中点， 因为E 为PD 的中点，所以OE //PB又因为PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以PB //平面AEC ………………6分 （2）因为PA AD =且E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥ 又因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥ 因为四边形ABCD 是矩形，所以CD ⊥AD ，因为,PA AD ⊂平面PAD 且PA AD A =I所以CD ⊥平面PAD 又因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥,PD CD ⊂平面PDC 且PD CD D =I ，所以AE ⊥平面PCD ………………14分16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cosB ＝45． （1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C ﹣B ＝4π，求sinA 的值． 解：（1）解法1：在△ABC 中，因为cos B ＝45，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝45．………………2分因为c ＝2a ，所以(c2)2＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510．………………4分又由正弦定理得sin B sin C ＝b c ，所以sin B sin C ＝3510．………………6分解法2：因为cos B ＝45，B ∈（0，π），所以sin B ＝1－cos 2B ＝35．………………2分因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin （B ＋C ）＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C ．………………4分又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510．………………6分（2）因为cos B ＝45，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝725．………………8分又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425．………………10分因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－（B ＋C ）＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin （3π4－2B ）＝sin 3π4cos2B －cos 3π4sin2B ＝31250．………………14分17．（本小题满分14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （x ∈N *）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a －3x500)万元（a ＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0．2x %． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？17．（1）由题意得，10（1000－x ）（1＋0．2x %）≥10×1000，………………2分 即x 2－500x ≤0，又x ＞0，故0＜x ≤500．………………4分 即最多调整500名员工从事第三产业．………………5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a －3x500）x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000－x ）（1＋1500x ）万元， 则10（a －3x 500）x ≤10（1000－x ）（1＋1500x ），………………8分 故ax －3x 2500≤1000＋2x －x －1500x 2，故ax ≤2x 2500＋1000＋x ，即a ≤2x 500＋1000x ＋1恒成立．………………10分因2x 500＋1000x ≥22x 500·1000x＝4， 当且仅当2x 500＝1000x ，即x ＝500时等号成立，故a ≤5，………………12分又a ＞0，故0＜a ≤5．故a 的取值范围为（0，5]．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，己知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点（1，32），离心率为12，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线线l 与椭圆相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的而积分别为S 1，S 2，若1265S S =，求k 的值； （3）己知直线AM 、BN 的斜率分k 1，k 2，求21k k 的值． 解：（1）设椭圆的焦距为2c ．312Q 椭圆过点（，），离心率为12 ∴229141a b +=，12c a = 解得2,3a b = 则椭圆的方程为22143x y +=．………………4分(2) 设点1122(,),(,)M x y N x yQ 1265s s = ∴12162152AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得M N 3|y |6|y |5= 即2||||5M N y y =，25FM NF ∴=u u u u r u u u r 代入坐标，可得121221(1)525x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即1212725525x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又Q 点,M N 在椭圆C 上22222222722()()555143143x y x y ⎧--⎪+=⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得2254313x y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴直线l的斜率8514k ==--………………10分 （3）Q 直线l 的方程为(1)y k x =-由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=221212228412,3443k k x x x x k k -∴+=⋅=++ 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 222222222222222222412812182()234343434128462()2434343k k k x x x k k k k k k x x x k k k ---+---++++==------+++++ 222222463()4334643k x k k x k --++==--++ 213k k ∴=………………16分 19．（本小题满分16分）己知函数2()ln 2x f x a x ax =-+．（1）当a ＝1时，求()f x 在x ＝1处的切线方程：（2）当a ＞0时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x ，2x （1x ≠2x ），且不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）当1a =时，()2ln 2x f x x x =-+，()112f =- ()1'1f x x x=-+，()'11f =所以()f x 在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --= ………………2分（2）()f x 定义域为()0,+∞，()2'a x ax af x a x x x-+=-+=①若04a <<时，240a a -<，()'0f x >，所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；…………4分②若4a =，则()()22244'x x x f x x x--+==当02x <<时，()'0f x >；当2x >时，()'0f x >所以()f x 单调递增区间为()0,+∞，无减区间；………………6分③若4a >时，由()2'0x ax a f x x-+==，得x =或x =当0x <<x >时，()'0f x >x <<时，()'0f x <所以()f x 单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭………………8分（3）由（1）知，4a >，且1212x x ax x a +=⎧⎨=⎩，不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立等价于121212()()()()f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立 又221211122211()()(ln )(ln )22f x f x a x x x a x x x +=-++-+221212121(ln ln )()()2a x x a x x x x =+-+++2121212121ln ()[()2]2a x x a x x x x x x =-+++-221ln (2)2a a a a a =-+- 21ln 2a a a a =--所以1212()()1ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 12y a a =--（4a >），则11'02y a =-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln23λ≥-………………16分 20．（本小题满分16分）已知无穷数列{}n a 的前n 项中的最大项为n A ，最小项为n B ，设n n n B A b +=． （1）若21n a n =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）若nn n a 212-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）若数列{}n b 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．解：（1）由12-=n a n 得{}n a 是递增数列，所以,1,121==-==a B n a A n n n所以.2n B A b n n n =+=………………2分（2）由n n n a 212-=得-+=-++11212n nn n a a ,2232121+-=-n n nn 当1=n ，01>-+n n a a ，即;21a a <当2≥n ，01<-+n n a a ，即>>>432a a a ┈又,167,85,43,21141321a a a a a a <=>===所以,45,45,1321===b b b 当4≥n 时，,21243n n n b -+=所以,27,49,1321===s s s 当4≥n 时，令,22)1(43212431n n n n bkn b n k n b +-+-+=-+=- 则,3,2==b k 即nn n n n n n b 23221243212431+-++=-+=- 所以)232212()213211()21129()3(432715443n n n n s n n +-++⋅⋅⋅+-+-+-+=- n n n 23229)3(43273+-+-+= .23243819n n n +-+=综上所述，27,49,1321===s s s ，当4≥n 时，.23243819nn n n s +-+=…………8分 （3）设数列{}n b 的公差为d ，则dB B A A b b n n n n n n =-+-=-+++111，由题意n n n n B B A A ≤≥++11,n n A A d >>+1,0，对任意*∈N n 都成立，即n n n n a A a A =>+=+11，所以{}n a 是递增数列。

2020届高三年级网上授课阶段考试数学试题考试时间：120分钟 总分：160分一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x|x ≤2}，则∁R A ＝________．2.若复数z ＝1－2i －2＋i，则复数z 的模为________．3.若一组样本数据2 016，2 017，x ，2 019，2 020的平均数为 2 018，则该组样本数据的方差为________．4.函数f(x)＝lg(1－2x －x 2)的定义域为________．5. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为2时，则输入的x 的取值集合为________．6.若f(x)，g(x)是定义在[a ，b]上的初等函数，则“∃x ∈[a ，b]，使得f(x)≤g(x)成立”是“∀x ∈[a ，b]，使得f(x)≤g(x)成立”的________条件．7.设点A 为双曲线x 24－y 2＝1上位于第一象限内的一点，其横坐标为2 2.若点A 到一条渐近线的较小距离为d ，则5d 的值为________．8.已知5名唱歌爱好者中恰好有一对夫妻．若从中随机抽取3人去参加歌咏比赛，则这对夫妻被抽中的概率为________.9.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，则a 1d 的最大值为________．10.各棱长都为1的正四棱锥与各棱长都为1的正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为________．11.设关于x ，y 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≥0，y －m ≤0，y ≥x －1表示一个三角形的区域A ，(x －5)2＋(y －4)2≤ 8表示的区域为B ，则区域A ∩B 的最大面积为________．12.设α，θ为锐角，tan θ＝atan α(a>1)．若函数y ＝θ－α的最大值为π6，则a 的值为________．13.已知点A ，B 分别在两个同心圆O 上运动，且OA ＝1，OB ＝2，则|OA →＋OB →|＋|OA→－OB →|的取值范围是________．14. 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)．若直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，当a ∈(0，＋∞)时，则b 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知平面直角坐标系中△ABC 的顶点分别为A(m ，3m)(m>0)，B(0，0)，C(a ，0)，其中a>0，角∠B ，∠C 的对边长分别是b ，c.(1) 若a ＝4m ，求角A 的大小；(2) 若b ＝23，B ＝π3，求a ＋c 的最大值．16. (本小题满分14分)如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为CD 上任意一点(不位于端点处)，P 是AA 1的中点．(1) 若DP ∥平面B 1AE ，求证：E 为CD 中点；(2) 若AA 1＝AD ，AB 为任意长，F 为BC 的中点，求证： PD ⊥C 1F.设△A n B n C n 的三个顶点A n ，B n ，C n 所对的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n (n ∈N *)，b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n 2(n ∈N *)． (1) 求证：数列{b n ＋c n }为常数列；(2) 设⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n －a n b 1－c 1（2n －1）的前n 项和是T n ，求证：T n ＜3.18. (本小题满分16分)已知OA →＝(x ＋1，2y ＋3)，OB →＝(x －1，2y －3)，OA →⊥OB →，动点M 的坐标是(x ，y)．(1) 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么曲线；(2) 设M 是轨迹C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个不同的定点P ，Q ，满足k MP k MQ (k MP ，k MQ 分别表示直线MP ，MQ 的斜率)是定值？若存在，求出P ，Q 的坐标，否则说明理由．如图是一个钻头的示意图，上部是一个圆锥O 1O 2，下部是一个圆柱O 2O 3，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的底面半径r 和高h 以及圆柱的高H 都可以调节其大小．已知圆锥的母线长为定值a ，且H ＝2h.设钻头的体积为V ，圆锥的侧面积为S.(1) 试验表明：当且仅当V S取得最大值时，钻头的冲击力最大．试求冲击力最大时，r ，h 分别为多少；(2) 试求钻头的体积的最大值．20. (本小题满分16分)已知g(t)＝(t ＋1)ln t －(t －1)ln b ，t ∈(1，＋∞)．求证：(1) 当0＜b ≤e 2时，∀t ∈(1，＋∞)，g(t)＞0；(2) 当b ＞e 2时，g(t)在(1，＋∞)上存在零点．数学试题（附加题）考试时间：30分钟 总分：40分21. 【选做题】则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知T 变换将曲线C 1：x 24＋y 2＝1变换为单位圆x 2＋y 2＝1，S 变换将曲线C 2：x 29－y 24＝1变换为等轴双曲线x 2－y 2＝1，现在将曲线C 3：x 236＋y 24＝1先进行T 变换，再进行S 变换得到曲线C ，求曲线C 的方程．B. (选修44：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t ，t ∈R ，P 为曲线C 上一点，以射线Ox 为极轴建立极坐标系．已知Q ，R 的极坐标分别是(22，π4)，(1，0)，求PQ ＋PR 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D，E分别为棱B1C1，AC的中点，O是侧面ABB1A1的中心，P为侧棱AA1所在线段上任意一点．以A为空间直角坐标系的原点，AC作y轴，AA1作z轴，建立空间直角坐标系．(1) 确定x轴的位置，并求平面ODE的一个法向量；(2) 求直线OP与平面ODE所成角的最大值．23. 已知f0(x)＝xsin 2x，设f n(x)＝f′n－1(x)，n∈N*.(1) 求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；(2) 猜想f n(x)的表达式，运用数学归纳法证明．。

江苏省盐城中学高三年级阶段性考试数学试卷（2020.8）一、单项选择题：本题共 8 小题.每小题 5 分.共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 A = {x x 2≤ x }， B = ⎧x 1≥ 1⎫，则 A B = （）⎨ x ⎬A ． (0,1]⎩⎭B ． [0,1]C ． (-∞,1]D ． (-∞, 0) (0,1]【答案】A解： x 2≤ x ，∴ x 2- x ≤ 0 ⇒ x (x -1)≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1，∴ A = {x 0 ≤ x ≤ 1}.1 ≥ 1(x ≠ 0)，∴ 1 -1 ≥ 0 ⇒ 1 - x ≥ 0 ⇒ x (1 - x )≥ 0 ⇒ 0 < x ≤ 1，∴ B = {x 0 < x ≤ 1} x x x ∴ A B = {x 0 < x ≤ 1}，故本题选 A.1+ i2．已知i 为虚数单位 a , b ∈ R .复数 2 - i- i = a + bi .则a - bi =（） A ． 1 - 2 i5 5【答案】B B ． 1 + 2i5 5 C ． 2 - 1 i5 5 D ． 2 + 1i5 5解：1 + i - i = (1 + i )(2 + i ) - i = 2 + 3i -1 - i = 1 + 3i - i = 1 - 2i = a + bi2 - i 5 5 5 5 5 5 ∴a = 1 ， b = - 2 . ∴a - bi = 1 + 2i . 故本题选 B.5 5 5 53．将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有（ ）A ．12 种B ．24 种C ．36 种D ．48 种【答案】C解： C 2⋅ A 3= 6 ⨯ 6 = 36 ，故本题选 C.434．某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 N (105,σ2)(σ> 0).试卷满分 150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的 1.则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之5间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C6 解： P (X > 120)= 1 ，∴ P (X < 90)= 1 ，即 P (90 < X < 105)= 1 - 1 =3，数学考试成绩在 90 分到 1055 5 2 5 10分之间的人数约为 3⨯1000 = 300 .故本题选 C.105．在 ∆ABC 中， BD = DC ， AP = PD ，且 BP = λAB + μAC ，则λ+ μ= （ ）A ．1B ． 12 C ． - 12【答案】CD ． 13解： BP = BA + AP = - AB + 1 AD = - AB +1(AB + AC )= - 3 AB + 1 AC ，∴λ= - 3 ， μ= 124则λ+ μ= - 3 + 1 = - 1.故本题选 C.44444 4 2 x 2 y 2 6．设 F 1 , F 2 是双曲线C :-a2b2= 1(a > 0, b > 0 )的两个焦点， P 是C 上一点若 PF 1 + PF 2 = 6a ，且∆PF 1F 2 的最小内角为30︒，则C 的离心率为（）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D⎧⎪PF 1 + PF 2 = 6a 解： ⎨ ⎩⎪PF 1 - PF 2 = 2a⎪⎧ PF 1 = 4a ⇒ ⎨⎪⎩PF 2 = 2a， 2a < 2c 且2a < 4a∴PF 2 所对的角∠PF 1F 2 最小∴ PF 2 = PF 2 + F F 2 - 2PF ⋅ F F⋅ c os 30︒ = 4a 2 = 16a 2 + 4c 2 - 2 ⋅ 4a ⋅ 2c ⋅ 32 1 1 21 12 2∴ c= a，即 e = 3 .故本题选 D. 7．已知函数 f (x )是偶函数定义域为 R ，单调增区间为[0, +∞)，且 f (1) = 0，则(x -1) f (x -1) ≤ 0的解集为（ ）A ． [-2, 0] 【答案】CB ． [-1,1]()C ． (-∞, 0] [1, 2]⎪⎧x > 1D ． (-∞, -1] [0,1]解：1︒当 x -1 > 0时， f x -1 ≤ 0，即 ⎨⎪⎩-1 ≤ x -1 ≤ 1⇒ 1 < x ≤ 2 33-x 2 - 2x n2︒当 x = 1时，满足( )⎧⎪x < 1 3︒当 x -1 < 0时， f x -1 ≥ 0，即 ⎨ ⎩⎪x -1 ≤ 1⇒ x ≤ 0 ，综上： x ∈ (- ∞ , 0] [1 , 2].故本题选 C.8．已知点 P (m , n )是函数 y =图像上的动点，则 4m + 3n - 21 的最小值是（ ）A ．25B ．21C ．20D ．4【答案】C解： y =≥ 0，∴ y 2 = - x 2 - 2x ⇒ (x + 1)2 + y 2 = 1P (m , n )在(x + 1)2 + y 2 = 1(y ≥ 0)半圆上，圆心为(-1 , 0)，半径为1⎧⎪m + 1 = cos θ 设 ⎨⎩⎪n = sin θ ⎧⎪m = cos θ-1⇒ ⎨ ⎪⎩n = sin θ，其中θ∈[0 ,π] 4m + 3n - 21 = 4 cos θ- 4 + 3sin θ- 21 = 4 cos θ+ 3sin θ- 25 = 5sin (θ+ϕ)- 25 = 25 - 5sin (θ+ϕ)（ 其中sin ϕ= 4 ， cos ϕ= 3）5 5当θ+ϕ= π时， 4m + 3n - 21 取最小值20 ，故本题选 C.2二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分.共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对 的 得 5 分 ， 部 分 选 对 的 得 3 分 ， 有 选 错 的 得 0 分 . 9．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n = 2a n - 2 .若存在两项 a m , a n ，使得 a m a n = 64 ，则下列结论正确的是（）A ．数列{a n }为等比数列B ．数列{a n }为等差数列C ． m + n 为定值D ．设数列{b }的前 n 项和为T ， b = log a ，则数列⎧T n ⎫为等差数列nnn2 n⎨ ⎬⎩ ⎭【答案】ACD解： S n = 2a n - 2，当 n = 1时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 ⇒ a 1 = 2 当n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2 - 2a n -1 + 2 = 2a n - 2a n -1- x 2- 2xn m n⎢ ⎥ 3 ∴a n = 2a n -1 (a 1 ≠ 0)∴ an a n -1 = 2，即{a n }是以2 为公比的等比数列，选项 A 正确；∴a = 2 ⋅ 2n -1= 2na a = 2m ⋅ 2n = 2m +n = 64 ⇒ m + n = 6，选项 C 正确；b = log 2n = n ，则T = n (n + 1) ⇒ T n = n + 1 n 2 n2 n 2T n +1 T n= n + 2 - n + 1 = 1 ，则 ⎧T n ⎫ 1Dn + 1 n22 2⎨ n ⎬是以 2为公差的等差数列，选项 正确；⎩ ⎭故本题选 ACD.10．将函数 f (x ) = sin ⎛2x + π⎫的图象向右平移π个单位长度得到 g (x )图象.则下列判断正确的是（）3 ⎪ 2⎝⎭A ．函数 g (x )在区间 ⎡ π ,π⎤上单调递增 ⎣12 2 ⎦B ．函数 g (x )图象关于直线 x = 7π对称12 C ．函数 g (x )在区间 ⎡- π,π⎤上单调递减⎣⎢ 6 3 ⎦⎥D ．函数 g (x )图象关于点⎛ π, 0 ⎫对称 3 ⎪ ⎝ ⎭【答案】ABD解： g (x )= f ⎛x -π⎫=⎡ ⎛ - π⎫ + π⎤ = sin ⎛ 2x - 2π⎫2 ⎪ sin ⎢2 x 2 ⎪3 ⎥ 3 ⎪对于 A ，⎝ - π ≤ 2x - 2 ⎭ ⎣ ⎝ 2π ≤ π ⇒ π 3 2 12 ⎭ ⎦ ⎝ ⎭ ≤ x ≤ 7π 12∴ g (x )的一个单调增区间为 ⎡ π , 7π⎤ ，∴ g (x )在区间 ⎡ π , π⎤上单调递增，正确；⎢⎣12 12 ⎥⎦ ⎣⎢12 2 ⎦⎥对于 B ， 2x - 2π = π+ k π⇒ x = 7π+ k π(k ∈ Z )，当 k = 0 时， g (x )的对称轴为 x = 7π，正确；3 2 12 2 12对于 C ，由 A 可知 g (x )在 ⎡ π , π⎤上单调增，错误； ⎣⎢12 2π 对于 D ， 2x - = k π⇒ x 3 ⎥⎦πk π(k ∈ Z )，当 k = 0 时， g (x )的对称中心为⎛π , 0⎫ ，正确；= + ⎪3 3 2 ⎝ ⎭故本题选ABD.511．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E ，F 分别是AB1 ，BC1 的中点，下列结论中正确的是（）A．EF 与BB1 垂直B．EF 与平面BCC1B1 垂直C．EF 与C1D 所成的角为45︒D．EF 平面ABCD【答案】AD解： F 为 BC1 中点，则 F 也为 B1C 中点， E 为 AB1 中点，∴EF 是 ∆B1 AC 中位线，∴EF // AC .对于A，BB1 ⊥平面ABCD ，BB1 ⊥AC ，∴BB1 ⊥EF ，正确；对于B，AC 与BC 不垂直，则EF 与BC 不垂直，则EF 与平面BCC1B1 不垂直，错误；对于C，EF // AC ，∴EF 与C1D 所成角就是AC 与C1D 所成角，也是A1C1 与C1D 所成角，A 1C1=C1D =A1D ，∴A1C1与C1D 所成角为60︒，不是45︒，错误对于D，EF // AC ，EF ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴EF // 平面ABCD ，故本题选AD.x 2 -y2 =12．已知P 是双曲线上25 161上右支上一点， F1是双曲线的左焦点， O 为原点，若 OP +OF1= 8 ，则下列结论正确的是（）A．双曲线的离心率为5 3B．双曲线的渐近线为 y =±4 x 5C．∆PF1F2 的面积为36D．点P 到该双曲线左焦点的距离是18【答案】BD解：取PF1 的中点为M ，设双曲线右焦点为F2 ，连接PF2 ，OM OP + = 8 ⇒ 2OM = 8 ⇒OM = 4，∴PF2 = 8PF1 -PF2= 2a = 10 ，PF1= 18，故选项D 正确；而双曲线的离心率为e = 41，故选项A 错误；5OF141 41 32 2 4110 = C 10 10 双曲线渐近线方程为 y = ± b x = ± 4x ，故选项 B 正确；设 P (x 0, y 0)，由 PF 1= ex a0 + a =541 x 5 0+ 5 = 18 ⇒ x 0 = 13⋅ 5= 65∴ y = ，∴ S = 1⋅ 2 41 ⋅32 2= 32，故选项 C 错误.0 ∆PF 1F 22 41故本题选 BD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知(x +1)10= a + a x + a x 2 + + a x 10 ，若数列 a , a , a , , a (1 ≤ k ≤ 11, k ∈ Z )是一个单调递增123111 2 3 k数列，则 k 的最大值是 .答案： 6解： (1 + x )10展开式中第 r + 1项为T = C r x r ，∴a n -11045 10= 210 ， a 6 5= 252 ， a 6 = 210 ∴a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < a 6 > a 7 > > a 11a 1 , a 2 , a 3 , , a k 是 一 个 单 调 递 增 数 列 ，∴k max = 6 .14．以抛物线 y 2= 2x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为.答案： ⎛ x - ⎝ 1 ⎫2⎪ ⎭+ y 2 = 1⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫2解：抛物线 y 2= 2x 的焦点为 , 0⎪ ，∴圆心C 为 , 0⎪ ，圆C 方程为 x - ⎪ + y 2 = r 2 ，⎝ 2 ⎭ 1⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭⎛1 ⎫2抛物线的准线为 x = - 2 圆C 与抛物线准线相切，∴r = 1，即圆C 的方程为： x - ⎝ ⎪ + y 2= 1.⎭15．某地区要建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形 ABCD ，腰与底边夹角为60︒（如图）考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9 平方米，且高度不低于 米.记防洪堤横断面的腰长为 x 米， 外周长（梯形的上底线段 BC 与两腰长的和）为 y 米.要使防洪堤横断面的外周长不超过 21米，则其腰长 x 的2取值范围为 .答案： [3, 4]2 3 3 r +1 = C = C = C 2 2 n a 73 3 6 6解：过 B 作 AD 的垂线，垂足为 E ，则 AE = x ， BE =23 x ，23 x ≥ 2⇒ x ≥ 29 =1(BC + BC + x )⋅3x ，则 BC = 18 - 12> 0(2 ≤ x < 6)2 2 x xy = BC + 2x = 18 + 3x ≤ 21，则3 ≤ x ≤ 4 ，x 2 2综上： x ∈[3 , 4].16．已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ，其内有 2 个不同的小球，球O 1与三棱锥 A - CB 1D 1 的四个面都相切，球O 2 与三棱锥 A - CB 1D 1 的三个面和球O 1 都相切，则球O 1 的体积等于，球O 2 的表面积等于.【答案】4π；π3解：三棱锥 A - CB 1D 1 为正四面体， AC = 2 ，设球O 1 的半径为 r 1 ，由等体积法知V A -CB D = V O - ACB + V O - AB D + V O -CB D1 11111 111 1S ∆CB 1D 1 = 3 ⨯ (2 4 6 )2 = 6 ，正四面体高为 h =6 ⋅ 2 = 4 3∴ 1 ⨯ 6 3 ⨯ 4 = 1 ⨯ 3⨯ 24 ⨯ r ⨯ 4 ⇒ r = 13 34 1 1∴球O 的体积等于 4π13 = 4π.13 3正四面体的高 AQ = 4 ，∴ AO 1 = 4 -1 = 3设球O 的半径为 r ，如图AO 2 = O 2 N ⇒ 2 - r 2 = r 2 ⇒ r = 1AO 1 O 1M3 1 22 ∴球O 的表面积等于4π⋅ 1= π.24注释：设正四面体的棱长为 a ，则其高为6 a ，外接球的半径 R =36 a ，4内切球的半径 r =6a ，体积为 122 a3 . 12四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在① a sin C -3c cos B cos C = 3b cos 2 C ；② 5c cos B + 4b = 5a ；③ (2b - a )cos C = c cos A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目3 3 2 2在∆ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .且满足.（1）求sin C ；（2）已知 a + b = 5， ∆ABC 的外接圆半径为，求 ∆ABC 的边 AB 上的高 h注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）选条件①a sin C -3c cos B cos C = 3b cos 2 C 且正弦定理a = sin Ab sin B =csin C∴ sin A sin C - 3 sin C cos B cos C = 3 sin B cos 2 C即： sin A sin C = 3 cos C (sin C cos B + cos C sin B ) = 3 cos C sin(B + C )在 ∆ABC 中， A + B + C = π，∴ sin(B + C ) = sin A ，∴ sin A sin C =3 cos C sin A在 ∆ABC 中， A ∈ (0,π) ，∴ sin A ≠ 0 ，∴ sin C = 3 cos C若cos C = 0 ，则sin C = 0 ，此时与sin 2 C + cos 2 C = 1矛盾 ∴ cos C ≠ 0 ，∴ tan C = sin C= cos C在 ∆ABC 中， C ∈ (0,π) ，∴ C = π ，则sin C = sin π=3. 3 3 2选条件②5c cos B + 4b = 5a ，且正弦定理 a=b=csin A sin B sin C∴ 5sin C cos B + 4 sin B = 5sin A在 ∆ABC 中， A + B + C = π，∴ sin A = sin(B + C )∴ 5sin C cos B + 4 sin B = 5sin(B + C ) = 5sin B cos C + 5 cos B sin C ∴ 4 sin B = 5sin B cos C在 ∆ABC 中， B ∈ (0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ cos C = 45在 ∆ABC 中， C ∈ (0,π) ，∴ sin C > 0 ，∴ sin C = 选条件③1 - cos 2C = 3 .5 (2b - a ) cos C = c cos A 正弦定理a = sin Ab sin B =csin C∴ (2 sin B - sin A ) cos C = sin C cos A ，即 2 sin B cos C = sin A cos C + sin C cos A ∴ 2 sin B cos C = sin( A + C )4 333，则 ab在 ∆ABC 中， A + B + C = π，∴ sin( A + C ) = sin B ，∴ 2 sin B cos C = sin B 在 ∆ABC 中， B ∈ (0,π) ，∴ sin B ≠ 0 ，∴ cos C = 12在 ∆ABC 中， C ∈ (0,π) ，∴ C = π ，则sin C = sin π=3. 3 3 2（2）选条件①或③时， C = π3由正弦定理得：c sin C = 2R ，且 ∆ABC 的外接圆半径 R = 4 3 ∴ c = 2R sin C = 8 3 ⨯ 3 3 3 = 42由余弦定理： cos C = a 2 + b 2 - c 2 2ab = (a + b )2 - 2ab - c 2 2ab ，且 a + b = 5 ，可得： 1 252 - 2ab - 42= ab = 32ab ∴由 ∆ABC 的面积 S = 1 ab sin C = 1 c ⋅ h ，得： 3 ⨯ 3 = 4h ，则 h = 3 3.2 2 2 8 选条件②时， sin C =3 ， cos C = 45 5由正弦定理得： c sin C = 2R ，且 ∆ABC 的外接圆半径 R = 4 3∴ c = 2R sin C = 8 33 ⨯ 3 =8 3 3 5 5 由余弦定理： cos C = a 2 + b 2 - c 2 2ab = (a + b )2 - 2ab - c 2 2ab ，且 a + b = 5 ，可得： 4 5= 52 - 2ab - 42 ，则 =52ab 2 ∴由 ∆ABC 的面积 S = 1 ab sin C = 1 c ⋅ h ，得： 5 ⨯ 3 = 8 3 h ，则 h = 5 3.2 2 2 5 5 16 18．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n = 2a n +1- n （1）求证：数列{a n +1}为等比数列；（2）设b n = n (a n +1)，求数列{b n }的 n 项和T n . 解：（1）证明：①当 n = 1时， S n = 2a n + 1 - n ，∴ a 1 = S 1 = 2a 1 + 1 - 1，∴ a 1 = 0 ，∴ a 1 + 1 = 1②当 n ≥ 2 时， S n = 2a n + 1 - n ，∴ S n -1 = 2a n -1 + 1 - (n - 1) = 2a n -1 + 2 - n∴ a n = S n - S n -1 = (2a n + 1 - n ) - (2a n -1 + 2 - n ) = 2a n - 2a n -1 - 1∴ a = 2a+ 1 ，则 a+ 1 = 2(a+ 1) ，即： a n + 1= 2nn -1nn -1a n -1 + 1∴ {a n + 1}是以1为首项， 2 为公比的等比数列 （2）由（1）可得： a n + 1 = (a 1 + 1) ⋅ 2n -1 = 2n -1∴ T n = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + 4 ⋅ 23 ⋅ ⋅ ⋅ +n ⋅ 2n -1 ①(n ∈ N * ) ，∴ b n = n (a n + 1) = n ⋅ 2n -1(n ∈ N * )2T n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅ ⋅ ⋅ + (n - 1) ⋅ 2n + n ⋅ 2n ②①减去②： - T n = (20+ 21 + 22+ ⋅ ⋅ ⋅ + 2n -1) - n ⋅ 2n= 20 ⋅ (1 - 2n ) 1 - 2- n ⋅ 2n= (1 - n )2n - 1∴ T n = (n - 1) ⋅ 2n + 1 .-13 33 3 3 ⎪ ⎩ 0 0 z ⋅ = - - = ⎩ 019．如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥ 平面 ABCD ，AD ⊥ CD ，AD BC ，PA = AD = CD = 2，BC = 3，E 为 PD 的中点，点F 在 PC 上，且 PF PC = 1 .3（1）求证： CD ⊥ 平面 PAD ； （2）求二面角 F - AE - P 的余弦值； （3）设点G 在 PB 上，且 PG = 2，试判断直线 AG 是否在平面 AEF 内， PB 3请说明理由.解：（1）证明： PA ⊥ 平面 ABCD ， CD ⊂ 平面 ABCD ，∴ PA ⊥ CD又 CD ⊥ AD ， PA AD = A ，∴ CD ⊥ 平面 PAD . （2）过 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，如上图建立空间直角坐标系 则 F ⎛ 2 , 2 , 4 ⎫， E (0,1,1)， A (0, 0, 0) ⎝ ⎭ ∴ = ⎛ 2 2 4 ⎫ ， AE = (0,1,1) AF , , ⎪⎝ 3 3 3 ⎭设平面 AEF 的一个法向量为 n 1 = (x 0 , y 0 , z 0 )⎧ ⎧ 2 2 4⎧x 0 = 1 ∴ ⎪n 1 ⋅ AF = 0 ⇒ ⎪ 3 x 0 + 3 y 0 + 3 z 0 = 0 ⇒ ⎪y = 1 ，∴ n = (1,1, -1) ⎨ ⎨ ⎨ 0 1⎪⎩n 1 ⋅ AE = 0 ⎪ y + z = 0 ⎪ = -1而平面 AEP 的一个法向量 n 2 = (0, 0,1)，设 n 1, n 2 的夹角为ϕ∴二面角θ余弦值为cos θ= cos ϕ == . 3⎛ 4 2 2 ⎫⎛ 4 2 2 ⎫ （3） G 3 , - , ⎪ ，∴ A G = , - , ⎪⎝ 3 3 ⎭ ⎝ 3 3 3 ⎭ ∵ 4 2 20 ，∴ A G ⊥ nAG n 1 3 3 3 1∴ AG 在平面 AEF 内.20.水果按照果径大小可分为四类：标准果，优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数103040205 5C C3C C 632（1）若将频率视为概率，从这100 个水果中有放回地随机抽取4 个，求恰好有2 个水果是礼品果的概率；（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考方案1：不分类卖出，单价为20 元/个.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/个）16 18 22 24采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100 个水果中抽取10 个，再从抽取的10 个水果中随机地抽取3 个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望E(X ).解：（1）抽取一个抽到礼品果的概率20=1100 5⎛1 ⎫2 ⎛4 ⎫2 96故抽取4 个恰有2 个水果是礼品果的概率为C 2 ⋅⋅=.4 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 625（2）方案 2 水果售价的均值为16 ⨯10 +18⨯ 30 + 22 ⨯ 40 + 24 ⨯ 20 = 20.6100∵20.6 > 20 ，故应采用方案2.（3）用分层抽样抽取的10 个水果中标准果1 个，优质果3 个，精品果4 个，礼品果2 个再从这10 个水果中抽取3 个，抽取精品果的数量X 可以为0，1，2，3C3 1C1C 2 1 C 2C1 3P (X= 0)= 6 =，P (X=1)= 4 6 =，P (X= 2)= 4 6 =3 3 310 10 10P (X = 3)=4 =11030∴ X 的分布列如下：X0123P 1612310130E (X)= 0 ⨯1 +1⨯1 + 2 ⨯3 + 3⨯1 =6 .6 2 10 30 5C10+ a ⎨ 2 ⎛ ⎩22 2 221．已知椭圆C :x y = 1(a > b > 0 )的离心率为 1 ，其左右顶点分别为 A 1 , A 2 ，上下顶点分别为 B 2 , B 1 ， a b四边形 A 1B 1 A 2 B 2 的面积为 4 2，直线 m : x = 4 .（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线 n 与椭圆C 只有一个公共点 P ，直线 n 与直线 m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得∠PTQ = π恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.2⎧ c = 1 ⎪1⎧a = 2 解：（1）由题意知 ⎪⋅ 2a ⋅ 2b = 4 ⎪ ⎪a 2 = b 2 + c 2⎪⎩x 2 + y 2 =⎪ ⎨⎩⎪b = 故椭圆C 的方程为1.4 3（2）法一：设 P (x 0 , y 0 )，直线 PQ 的方程为x 0 x + y 0 y= 1，令 x = 4 ，得 4 3y =3(1 - x 0 ) (y 0 ≠ 0)，∴ Q 4, 3(1- x 0 ) ⎫ ⎪ y 0 ⎝y 0 ⎭ 假设存在定点T 满足∠PTQ =π2⎛3(1- x 0 ) ⎫ 设T (m , n )，∴ TP = (x 0 - m , y 0 - n )， TQ = 4 - m , ⎝ y 0- n ⎪⎭⎛ 3(1- x 0 ) ⎫ ∴ TP ⋅TQ = (x 0 - m )(4 - m )+ ( y 0 - m ) ⎝ y 0 - n ⎪ = 0⎭4x - mx - 4m + m 2+ 3 - 3x- ny - 3n (1 - x 0 )+ n 2 = 0 0 0 0 0(1- m ) x- ⎡ y + 3(1- x 0 )⎤ n + m 2 - 4m + 3 + n 2 = 0⎢ 0 ⎣⎥ y 0⎦⎧1- m = 0 对 x ∈(-2, 2)恒成立，故必有 ⎪n = 0 ⇒ ⎧m = 1⎨ ⎨n = 0⎪m 2 - 4m + 3 + n 2 = 0 ⎩ 故存在定点T (1, 0)使得∠PTQ = π恒成立.23 3 3 ⇒ 2y法二：设直线PQ 方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程14a (kx + m ) ⎩x 1 ( ) 2 2x + = 1 ⇒ (4k 2 + 3)x 2 + 8kmx + 4m 2 -12 = 04 3∆ = 0 ⇒ m 2 = 4k 2 + 3∴ x = -4km = -4k ， y =3m= m ，即 P ⎛ - 4k , 3 ⎫P4k 2 + 3mP4k 2 + 3 3m m ⎪ ⎝ ⎭当 x = 4 ， y = 4k + m ，所以Q (4, 4k + m )假设存在定点T (s , t )，使得∠PTQ = π⇒ ⋅ = 0 ⇒ ⎛ - 4k- s , 3 - t ⎫ ⋅ (4 - s , 4k + m - t ) = 0TP TQ 2 m m ⎪ ⎝ ⎭⇒ (s -1)(ms + 4k - 3m ) - t (m 2 + 4km - tm + 3) = 0 （*）， ⎧s -1 = 0∴当 ⎨t = 0 时，即 s = 1, t = 0 时，方程（*）恒成立 所以存在定点T (1, 0)，使得∠PTQ = π.2222．已知函数 f (x ) = - a ln x - 2 2, (a ∈ R )（1）若 f (x )> 0 在(1, +∞)上恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若函数 g (x ) = f (x )+ 2ax 有两个极值点 x , x ，当 g (x ) + g (x ) > ⎛ 2e +1 ⎫a 时，求实数 a 的取值范1212e ⎪ ⎝ ⎭围.解：（1）法一： f 'a x 2 - ax = x - =x x当 a ≤ 1时， f (x )在(1, +∞)上 ，故 f (x )> f (1) = 0 符合题意 当 a > 1时，令 f '(x )= 0得 x = 且当 x ∈ (1, a )时， f '(x ) < 0， f (x )单调递减 此时 f (x )< f (1) = 0 ，这与 f (x ) > 0 在(1, +∞)上恒成立矛盾，舍去综上： a 的取值范围为(-∞,1].法二：必要性探路由 f (1) = 0知 f (x )> f (1)在(1, +∞)上恒成立，故首先 f '(1) ≥ 0 而 f '(x ) = x - a，∴1- a ≥ 0 ⇒ a ≤ 1xx 21 x2 1下证充分性，当 a ≤ 1时， f (x ) =- a ln x - ≥ - ln x -2 2 2 216x 1 1 2x 2 1 '1 x2 -1令h (x ) = - ln x - ， h (x ) = x - = > 0，∴ h (x )在(1, +∞)上2 2 x x∴ h (x ) > h (1) = 0，故 a 的取值范围为(-∞,1].2（2） g (x ) = - a ln x - + 2ax 2 2'a x 2 + 2ax - ag (x ) = x + 2a - = ，xxg '(x ) = 0 ⇒ x 2 + 2ax - a = 0 有两个不相等的正数根 x , x⎧∆ = 4a 2 + 4a > 0∴ ⎪x + x = -2a > 0 ⇒ a < -1 ⎨ 1 2 ⎪x x = -a > 0⎩ 1 2x 21 x 21 g (x 1 ) + g (x2 ) = 1- a ln x 1 + 2ax 1 - + 2- a ln x 2 + 2ax 2 -2 2 2 2= 1 ⎡(x + x )2 - 2x x ⎤ + 2a (x + x ) - a ln x x -1 = 1 (4a 2 + 2a )+ 2a (-2a ) - a ln (-a ) -12 ⎣ 1 21 2 ⎦ 1 2 1 2 2 = -2a 2 + a - a ln (-a ) -1 > ⎛2e + 1 ⎫ ae ⎪ ⎝ ⎭∴ -2a +1- ln (-a ) - 1 < 2e + 1a e令G (a ) = -2a +1- ln (-a ) - 1 ， G '(a ) = -2 - 1 + 1= - (2a -1)(a +1) < 0a ∴ G (a )在(-∞, -1)上a a 2 a 2注意到G (a )< G (-e ) ⇒ a > -e . 综上： a 的取值范围为(-e , -1).。

盐城中学2020学年度第一学期高三年级第五次调研考试数学试题（理）必做题部分（本部分满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1、已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=r r r则22(3)m n -+的最大值为 .2、对于滿足40≤≤a 的实数a ，使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值范围_ 3、扇形OAB 半径为2，圆心角∠AOB ＝60°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为4、已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值是 ．5、对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即“[x ]是不超过x 的最大整数” ．在实数轴R （箭头向右）上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x ．这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ=__________ .6、若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，则使得关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率为 7、方程θθcos 2sin =在[)π2,0上的根的个数8、|x log |y 2=的定义域为]b ,a [ , 值域为]2,0[ 则区间]b ,a [ 的长度a b -的最小值为9、若数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}n a 的最大值为第x 项，最小项为第y 项，则x+y 等于10、若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当 14x ≤≤时,yx的取值范围 . 11、已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，则()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 .12、已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则ω的取值范围是 .13、与圆x 2 + y 2-4x=0外切，又与Y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是14、设集合{}1,2,3,,n S n =L ，若n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）。