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复变函数22函数解析充要条件

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解析函数的充要条件

解析函数的充要条件

那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时， 那么在曲线的交点处， 、 均不为零时， 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1， v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
k1 = − u x / u y
k2 = −v x / v y
利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 方程 利用 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交 两族曲线互相正交. ，
∂u ∂v = ∂x ∂y
上述条件满足时,有 上述条件满足时 有
∂v ∂u =− ∂x ∂y
f ' ( z ) = ux + iv x = ux − iu y = v y − iu y = v y + iv x
证明 " ⇒ " 方程满足上面已证！ （由f (z)的可导⇒ C-R方程满足上面已证！只须证 的可导 方程满足上面已证 f (z)的可导 ⇒ 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）。 的可导 、 可微 可导， ∵函数 w =f (z)点 z可导，即 点 可导
定理2 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 在 内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 在 内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 方程 满足
∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
֠
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时, 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来. 以求出导数来.
例3 若 f ' ( z ) ≡ 0 , z ∈ D ⇒ f ( z ) = C , z ∈ D

复变函数解析的条件(一)

复变函数解析的条件(一)

复变函数解析的条件(一)复变函数解析的条件什么是复变函数？复变函数是指定义在复数域上的函数。

与实变函数不同，复变函数既有实部也有虚部，可以用一个复数公式表示。

复变函数的解析性复变函数在某一个区域内解析指函数连续且可导。

解析性是复变函数的重要性质。

复变函数解析的条件复变函数解析的条件有以下几个方面：1.连续性：在某一个区域内，复变函数必须连续。

也就是说，函数在该区域内的实部和虚部分别都必须连续。

2.可导性：在某一个区域内，复变函数必须可导。

也就是说，函数在该区域内的实部和虚部分别都必须可导，且满足柯西—黎曼方程。

3.开区域：复变函数的解析性要求函数定义在某一个开区域内，即不包含边界上的点。

4.解析区域的连接性：复变函数解析的区域必须是连接的，不能存在不连续的点。

复变函数解析的充要条件通过以上条件的讨论，我们可以得出复变函数解析的充要条件为：在某一个区域内，复变函数的实部和虚部都是连续可导的，并且满足柯西—黎曼方程，该区域是一个开区域且连接。

总结复变函数的解析性是指函数在某一区域内连续且可导。

解析的条件包括连续性、可导性、开区域和区域的连接性。

充要条件是函数的实部和虚部都是连续可导，并满足柯西—黎曼方程，该区域是开区域且连接。

复变函数解析的条件是复变函数理论研究和实际应用的基础。

复变函数解析的条件详解1. 连续性在复变函数的解析性中，连续性是首要的条件之一。

连续性要求函数在某一个区域内的实部和虚部都必须连续。

连续函数在数学中是一个基本的概念，它表示函数在取某个点的极限时会无限接近这个点的函数值。

在复变函数的连续性中，实部和虚部的连续性都是必需的，只有实部和虚部都连续，复变函数才能在该区域内连续。

2. 可导性在复变函数的解析性中，可导性是另一个重要的条件。

可导性要求函数在某一个区域内的实部和虚部都必须可导，且满足柯西—黎曼方程。

柯西—黎曼方程是指复变函数的实部和虚部的偏导数满足一定关系，即实部的y偏导数等于虚部的x偏导数的相反数，实部的x偏导数等于虚部的y偏导数。

f(z)解析的充要条件

f(z)解析的充要条件

f(z)解析的充要条件f(z)是复变函数中的一个概念，它的解析性是一个重要的性质。

在本文中，我将探讨f(z)解析的充要条件。

复数是由实部和虚部组成的，可以用z = x + yi表示，其中x和y 分别为实数部分和虚数部分。

在复变函数中，f(z)是一个将复数域映射到复数域的函数。

我们来定义f(z)在复平面上的解析性。

f(z)在复平面上解析的充要条件是它在复平面的某个区域内连续且具有一阶偏导数。

这意味着f(z)在该区域内可以展开为幂级数，即存在一个圆盘D内的幂级数展开，使得f(z)在该圆盘内解析。

我们来讨论f(z)解析的一些重要性质。

如果f(z)在某个区域内解析，那么它在该区域内无处不可导。

这是因为解析函数是可微的，即它在解析区域内的每个点都具有导数。

如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内是无穷次可导的。

这是因为解析函数具有良好的性质，可以通过求导的方式来计算其高阶导数。

如果f(z)在某个区域内解析，并且在该区域内处处可导，那么它在该区域内的导数也是解析的。

这意味着解析函数可以通过求导的方式来获得新的解析函数。

对于复变函数而言，解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。

在理论上，解析函数是复变函数的一个基本概念，它具有丰富的性质和应用。

在应用上，解析函数在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。

例如，在物理学中，解析函数被广泛应用于电磁场和流体力学等领域的数学建模中。

在工程学中，解析函数被应用于信号处理和图像处理等领域。

在金融学中，解析函数被用于期权定价和风险管理等领域。

f(z)解析的充要条件是它在某个区域内连续且具有一阶偏导数。

解析函数具有一些重要的性质，包括无处不可导、无穷次可导以及导数也是解析的。

解析函数在理论和应用中都具有重要的地位。

它在复变函数的研究中起着核心的作用，并在物理学、工程学和金融学等领域有广泛的应用。

复变函数2-2函数解析的充要条件

复变函数2-2函数解析的充要条件

证 因为 f (z) 2xy , 所以 u 2xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
25
但在点 z 0 , f (z) f (0) 2xy
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
27
思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
28
思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
z
x iy
因为 lim f (z) f (0) 2 ,
xy00
z
1 i
lim f (z) f (0) 0,
x0,y0
z
故函数 f (z) 在点 z 0 不可微.
26
三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)

复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数

复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程

u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件

1. 解析函数的充要条件

复变函数解析的条件

复变函数解析的条件

复变函数解析的条件
复变函数解析的条件是指函数在某个区域内能够解析（即可导）。

在复平面上，复数可以表示为z=x+iy，其中x和y分别是实部和虚部。

复变函数是指将复数映射到其他复数的函数。

复变函数解析的条件包括以下几个方面：
1. 实部和虚部的偏导数存在且连续：如果一个复变函数在某个区域内的实部和虚部的一阶偏导数都存在且连续，那么该函数在这个区域内是解析的。

也就是说，函数对于复平面上的每个点都是可导的。

2. 柯西—黎曼方程：柯西—黎曼方程是解析函数的一个重要条件。

它要求函数的实部和虚部满足一定的关系。

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一个复变函数，如果f(z)在某个区域内解析，那么它的实部和虚部满足以下柯西—黎曼方程：
u/x = v/y
u/y = -v/x
这些方程表明了实部和虚部的偏导数之间的关系。

3. 单连通区域：如果一个区域是单连通的，那么在这个区域内的函数都是解析的。

单连通区域是指没有孔洞或环绕的区域，其中任意两点之间都可以通过一条连续的路径相连。

例如，一个圆形区域就是单连通的。

4. 几何性质：解析函数在某个区域内具有一些重要的几何性质，比如保持角度和保持面积。

总之，复变函数解析的条件包括实部和虚部的连续性、柯西—黎曼方程的满足、区域的单连通性以及几何性质的保持。

这些条件保证了函数在区域内的解析性质，使得我们可以进行复变函数的分析和计算。

第2节：函数解析的充要条件

第2节：函数解析的充要条件

vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得
2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且
f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2) =(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D
证 ) 显然 ) f (z) u i v v i u 0 x x y y
故 u u v v 0 x y x y
所以u=常数, v=常数, 因而 f(z)在D内是常数.
例4. 设函数 w=f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在区域D内解析, 并 满足下列条件之一，那么 f(z)是常数: [书P67: 10]
u v , u v
(*)
x y y x
这时f (z) u i v 1 u v x x i y y
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2)
在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；
r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f (z) x 2iy; 2) w z 2 ;
3) f (z) x2 y2 x i(2xy y2 ).
4) f (z) ex (cos y i sin y).
解. 1) 因为 u=x, v=2y,

第二章3解析函数的充要条件

第二章3解析函数的充要条件
Δ→0
设( + Δ) − () = Δ + Δ， ′ = + ,
(Δ) = 1 + 2
所以Δ + Δ = ( + )(Δ + Δ) + (1 + 2 )(Δ + Δ)
= Δ − Δ + 1 Δ − 2 Δ
+(Δ + Δ + 2 Δ + 1 Δ)

=

−

= −.
充分性
由于 + Δ −
= ( + Δ, + Δ) − (, ) + [( + Δ, + Δ) − (, )]
= Δ + Δ
由(, ), (, )在点(, )可微，可知




Δ =
Δ +


( + ∆) − ()
1 ( ∆ ) + 2 ( ∆ )
⇒
=
+
+
Δ


∆
′ ()

( + ∆) − ()
=
+
= lim
∆→0


Δ
即 在 = + 处可导.
注：函数 = , + , 在一点可导的一个充分条件：


=− .


证明：必要性
( + Δ) − ()
()在 = + 处可导， ⇒ () = lim
存在
Δ→0
Δ
∀ > 0, ∃ > 0, 当0 < Δ < 时，有

第2节：函数解析的充要条件

第2节：函数解析的充要条件
今后将知道这个函数就是指数函数ez.
例2. 设函数 f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2), 问 常数a,b,c,d 取何值时, f(z)在复平面内处处解析?
解. 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by, vx=2cx+dy, vy=dx+2y 则由ux=vy, uyvx, 得 2x+ay=dx+2y, 2cx+dyax2by
a=2, b1, c1, d=2
故此时函数在复平面内处处解析, 且 f(z)=x2+2xyy2+i(x2+2xy+y2)
=(1i)(x+iy)2=(1i)z2
例3. 求证 f '(z)≡0, z∈D f(z)≡C, z∈D 证 ) 显然
)
u v v u f ( z ) i i 0 x x y y
(4) C-R方程在极坐标下的形式为[书P67:9]:
u 1 v v 1 u , r r r r
例1. 判断下列函数在何处可导, 在何处解析:
1) f ( z
2
3) f ( z ) x y x i(2 xy y ). 4) f ( z ) ex (cos y i sin y ).
u v u v , x y y x u v 1 u v 这时f ( z ) i x x i y y
(*)
定理二: 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析(可导) 的充要条件是: (1) u(x,y)与v(x,y)在D内可微, 并且(2) 在D内满足柯西-黎曼方程(*)式.
注: (1) 如函数 f(z)在区域D内不满足C-R方程, 则 f(z) 在D内不解析；

复变函数与积分变换第二章_解析函数

复变函数与积分变换第二章_解析函数

z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0

工程数学-复变函数 2-2 函数解析的充要条件

工程数学-复变函数 2-2 函数解析的充要条件

x y
y x
第 条件的充分性 由于w u iv , 而u( x, y)、v( x, y)
二 章
在点 ( x, y)
处可微， 则
解 析 函
u

u x
x

u y
y


1x


2y
数
v

v x
x

v y
y


3x


4y
在这里 lim x0

k
u C2 ,v C3 , f (z) C2 iC3
- 11 -
y0




其中 lim x0 y0
(x)2 (y)2
0 ,但
显然不满足此式。
所以函数在原点不可导。
- 10 -
第二节 解析函数的充要条件
例4 设函数 w f (z) 在区域 D 解析，且 | f (z) |
为常数，证明： f (z) 在区域 D 为常数函数。
证 由于 | f (z) | C1 ，因此 u2 v2 C, 即
u v , u v
得 wu(xuxuxiyxxv)yzuy(y1x1ix3 )x2(y2 i4 )y
数
由于
xv z
1, xvyz x1
v , y
故y

3x


4y
liz m0(1
v bx ay 2x 2y
由于 lim (z) 0 , z0
所以
lim
x0
1

0,
lim
x0
2


0
,因此

复变函数-第二章-解析函数

复变函数-第二章-解析函数

23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e

Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一

复变函数的解析函数性质

复变函数的解析函数性质

复变函数的解析函数性质复变函数是数学中的一个基本分支，它将实数域扩展到了复数域。

复变函数的解析性质是研究复变函数的核心内容之一。

在本文中，我们将介绍复变函数的解析函数性质。

一、解析函数的定义解析函数是指在某个区域内处处可导的复函数。

具体来说，设函数f(z)在复平面上的区域D内有定义，如果对于D内的每个点z0，f(z)在z0的某个邻域内处处可导，那么称f(z)在D内是解析函数。

二、解析函数的必要条件解析函数的必要条件是可微。

如果在领域内发现实部和虚部的一阶偏导数不连续，那么不满足解析函数的必要条件。

三、解析函数的充分条件解析函数的充分条件为柯西—黎曼方程式。

如果在一个区域内，解析函数f(z)同时具有以下两个条件：（1）f(z)在区域内可导；（2）f(z)的实部和虚部都满足柯西—黎曼方程式，则f(z)在该区域内解析。

柯西—黎曼方程式如下：∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = −∂v/∂x其中u(x,y)和v(x,y)分别表示解析函数f(x+iy)的实部和虚部。

四、解析函数的特征解析函数具有以下特征：（1）自由度：对于解析函数f(z)，在其定义域D内的每个点z处，它的复值仅由z的自变量确定。

（2）局部性：如果f(z)在某个区域内解析，则它在这个区域内处处解析。

（3）解析函数的导数：解析函数f(z)的导数可以直接用求偏导的方式求得。

（4）零点与奇点：如果f(z)在某个点z0处为零，则称z0为f(z)的零点。

如果f(z)在某个点z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点。

五、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用在物理学领域，解析函数是很重要的工具。

特别是在热物理、电磁学、流体力学等领域，解析函数有广泛的应用。

例如，解析函数在热传导中的应用，可以用来描述一个材料中热能的传导方式。

2. 解析函数在工程学中的应用在工程学中，解析函数也是一个重要的工具。

解析函数在电路分析、控制系统、信号处理等领域有广泛的应用。

2.2 函数解析的充要条件

2.2 函数解析的充要条件

后面还将看到对于解析函数的实部(或虚部)本身也有要求。
15
§2.2 函数解析的充要条件
附：知识广角 —— 关于 C - R 条件
第 二 章 解 析 函 数
1746年，达朗贝尔(D’Alemert)研究流体力学时首先提出
如下关系式：
u v , x y
u v - . y x
1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。
P42 例1 (2)
第 解 由 u e x cos y , v e x sin y , 有 二 ux e x cos y , uy - e x sin y , 四个偏导数连续， 章 解 v y e x cos y , vx e x sin y , 且满足 C - R 方程， 析 x 函 故 f ( z ) e (cos y i sin y ) 在全平面上处处可导， 数 x i v e (cos y i sin y ) . 处处解析，且 f ( z ) u x x 注 函数 f ( z ) e (cos y i sin y ) e e 本例结果表明： (e z ) e z . 9
1777年，欧拉的两篇研究报告(1793与1794年才发表)中 ,
证明了条件的必要性，即 若函数 f ( z ) u iv 是解析函数，则上述关系式成立。
16
§2.2 函数解析的充要条件
附：知识广角 —— 关于 C - R 条件
第 二 章 解 析 函 数 1851年，上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定义的基础，并且在此基础上建立了相应的理论。
o(|z|)
3
§2.2 函数解析的充要条件

复变函数课件2-2函数解析的充要条件

复变函数课件2-2函数解析的充要条件

(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;

复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数

复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件

1. 解析函数的充要条件

2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。 问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w = f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
问常数 a ,b ,c ,d取何值时 , f(z ) 在复平面内处处解 ?
a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2
§2.3 初等函数

1. 指数函数
2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数
内 容 简 介
本节将实变函数的一些常用的初等函数 推广到复变函数情形，研究这些初等函数的 性质，并说明它的解析性。
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程

u x v x
记忆
v u x y
u y v y
(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u u u v x x e cosy e siny x y x y v v v u x x e siny e cosy x y x y
u v x x f ' ( z ) i e cos y ie sin y f ( z ) x x

解析函数的两个充要条件之间的关系

解析函数的两个充要条件之间的关系

解析函数的两个充要条件之间的关系打开文本图片集关键词：解析函数；二元函数；充要条件；无穷可微性复变函数是实变函数在复数域上的推广，其主要核心是解析函数。

解析函数除了拥有与实变函数相同的一些性质以外还具备一些独有的良好性质如无穷可微性，满足方程以及能展成泰勒级数等。

复分析主要通过微分、积分和级数的方法研究解析函数。

因此为了更好地研究学习解析函数，本文首先梳理判定函数解析的五个充要条件。

一、判定函数解析的五个充要条件定义1如果复变函数在区域内可微，则称是区域内的解析函数，或称在区域内解析。

若设在区域内有定义的解析函数为，则有如下五个判定函数解析的充分必要条件：充要条件1二元函数在区域内可微，在内满足方程。

充要条件2函数在区域内连续，且对内任一周线只要及其内部全部含于内且。

充要条件3对任意，只要圆含于，则在内能展成的幂级数。

充要条件4二元函数在区域内连续，且在内满足方程。

充要条件5在区域内是的共轭调和函数。

由如上的等价条件，不难看出其中的充要条件1，4，5均是利用二元实函数来描述的，也就是说利用二元实函数满足的性质就完全可以判定复变函数的解析性。

由于充要条件是一种等价关系，所以上述五个充要条件是彼此等价的。

但是，充要条件4从形式上显然是要强于充要条件1的，而且在数学分析中，多元实变函数偏导连续仅仅是该函数可微的充分不必要条件，这就让我们不得不好奇它们之间的等价性是有什么性质来保证的。

为此，我们不妨将这两个充要条件分别描述成如下两个完整的定理。

定理1函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内可微且在内满足方程：，.定理2函数在区域内解析的充分必要条件是二元实函数在区域内连续，在内满足方程。

二、两个充分必要条件的证明与等价在给出三个定理的具体证明之前，首先回顾一下解析函数具有着与实变函数完全不同的独有的良好性质：无穷可微性，即解析函数的导数仍为解析函数，从而它的任意阶阶导数仍为解析函数。

定理1的证明：（充分性）由及的可微性有对于内任意一点，其中及是的高阶无穷小。

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黎曼介绍
课件
2
证 (1) 必要性. 设 f(z)u(x,y)iv (x,y)定义在 D 内 , 区域 且 f(z)在 D 内一 zx点 y可 i ,导 则对于充 z分 xi小 y的 0,
有 f ( z z ) f ( z ) f ( z ) z ( z ) z ,
其l中 im ( z)0, z 0
令 f ( z z ) f ( z ) u i v ,
f(z)aib , ( z )1 i2 ,
课件
3
所 u 以 i v
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
(a x b y1 x2 y) i(b xa y2 x1 y)
于 u a x 是 b y 1 x 2 y ,
[证毕]
课件
8
根据 ,可 定得 理 f(z)函 一 u (x ,y 数 )i(v x ,y)在 点 zxy处 i 的导 : 数公式
f(z)uiv1uv. x x iy y
函数在区 D内域解析的充要条件 定理二 函数 f(z)u(x,y)iv(x,y)在其定义 域D内解析的充:要 u(x条 ,y)与 件 v(x是 ,y)在 D内可,并 微且满足柯西 程.－黎曼方
课件
11
(2 )f(z) ex (cy o issiy )n 指数函数
u exco y, s v exsiy,n
uexcoy,suexsiyn ,
x
y
四个偏导数
vexsiyn, vexcoy,s 均连续
x
y
即uv, uv. x y y x
故f(z)在复平面内处 ,处处 处可 解 . 导 析
且 f ( z ) e x (c y i s o y ) i s n f ( z ).
课件
15
但当 z沿第一象限 y内 kx趋 的于 射,零 线时
i[v(xx,yy)v(x,y)] ui v, 又u ( 因 x ,y )与 v ( 为 x ,y )在 (x ,y ) 点 可 , 微
课件
5
于 u 是 u x x u y y1 x 2 y ,
v x v x v y y3 x4 y, 其 lx中 i0m k0 , (k1 ,2 ,3 ,4 )
课件
10
二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1 )w z; (2 )f(z) ex (cy o issiy )n ; (3 )w zRz)e.( 解 (1)wz, u x ,v y ,
u1 , u0 , v0 , v 1 . x y x y 不满足柯西－黎曼方程, 故wz在复平面内处 ,处处 处不 不.可 解导 析
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数f (z) u(x, y)iv(x, y)定义在区域
D内,则f (z)在D内一点z x yi可导的充要条
件是: u(x, y)与v(x, y)在点(x, y)可微,并且在该
点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v. x y y x
课件
12
(3)wzRze)(x2 xy,i ux2, vx,y u2 x , u0 , vy, vx . x y x y 四个偏导数均连续 仅当 xy0时,满足柯西－黎 , 曼方 故w 函 zR z 数 )仅 e(z 在 0 处,可导 在复平面内处处不解.析
课件
13
例3 设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2),
问常a数 ,b,c,d取何值 , f(时 z)在复平面内处
解析 ? 解 u2xay,
x
v 2cxdy, x
u ax2by, y v dx2y, y
欲使 uv, uv, x y y x
2xaydx2y, 2cx d yax2by,
所 a 2 ,b 求 1 ,c 1 ,d 2 .
课件
14
例4 证明函 f(z) 数xy在点 z0满足柯 西－黎曼方 z0程 不但 可 . 在 导点
证 因为 f(z) xy , 所u 以 x,yv0,
u x(0,0)lx i0u m (x,0 x ) 0 u (0,0)0 vy(0,0), uy(0,0)ly i0m u(0,yy) 0 u(0,0) 0vx(0,0), 柯西－黎曼方z程 0成 在立 点 .
v b x a y 2 x 1 y .
因l为 im ( z)0, z 0
所以lxi m0 1
limx02源自0,y0y0
课件
4
由此 u (x ,y )与 可 v (x ,y )在 知 (x ,y ) 点 可 , 微 且满 足 uv方 , u 程 v. x y y x
(2) 充分性. 由于 f(z z) f(z) u(xx,yy)u(x,y)
f(zz)f(z) z
u x
i
v x
(1i3) x z(2i4) y z.
课件
7
因为 x1, y1,
z
z
lz i0 m (1 i3) x z (2 i4) y z 0 ,
所f( 以 z) lif m (z z)f(z) u i v .
z 0
z
x x
即 f ( z ) 函 u ( x , y ) i( x v , 数 y ) 在 z x y 点 可 i .
y 0
因 f(z 此 z ) f(z )
u x i x v x u y i v y y (1 i3 ) x (2 i4 ) y .
课件
6
由柯西－ u 黎 v, 曼 u 方 vi程 2v, x y y x x
f(z z)f(z)
u xi x v(xiy)(1 i3 ) x (2 i4 ) y .
课件
9
解析函数的判定方法: (1)如果能用求导导 公法 式则 与证 求实复变 数f(z)的导数在D区 内域 处处,存 则在 可根据 解析函数的定f(义 z)在 断 D内 定是解.析的
(2)如果复变函 f(z数 )uiv中u,v在D内 的各一阶偏导数、都连存(续 因 在而u,v(x, y) 可微 )并满足 CR方程 ,那么根据解析函数 的充要条件可以 f(z断 )在定 D内解.析