【全国百强校】2016-2017学年广西桂林市桂林中学高二下学期开学考试数学(理)试卷(带解析)

2016-2017学年广西桂林中学高二（下）开学数学试卷（文科）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.1．下列结论正确的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则a+c＜b+c D．若＜，则a＜b2．函数y=sinx﹣cosx，则f'（π）的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．π3．设p，q是两个命题，若（￢p）∧q是真命题，那么（）A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是真命题且q是假命题4．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=10x D．y2=20x5．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺6．若△ABC的角A，B，C对边分别为a、b、c，且a=1，∠B=45°，S△ABC=2，则b=（）A．5 B．25 C．D．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y（）A．有最小值3，无最大值B．有最小值5，无最大值C．有最大值3，无最小值D．有最大值5，无最小值8．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）k 2.706 3.841 6.63610.828P（K2＞k）0.100.050.0100.001A．90% B．95% C．99% D．99.9%9．函数f（x）=lnx+在区间B．（﹣∞，2）C．﹣2，2﹣1，2﹣1，2，e2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，22，+∞） D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得，当x≥2时，f′（x）=﹣≥0，即a≤x，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+在区间，故选：A．10．要做一个圆锥形漏斗，母线长为20cm，要使其体积最大，则其高应为（）A．cm B．20cm C．10cm D．cm【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积的最大值时的高即可．【解答】解：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V=πx（0＜x＜20），V′=π，令V′=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0；∴当x=时，V取最大值．故选A．11．若b＞a＞3，f（x）=，则下列各结论中正确的是（）A．B．C．f（）＜f（）＜f（a）D．f（b）＜f（）＜f（）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3F：函数单调性的性质．【分析】对f（x）=进行求导，求出其单调区间，再根据均值不等式判断，ab，a，的大小，从而判断其函数值的大小；【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，当x≥e时，f′（x）＜0，为减函数，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数，∵b＞a＞3＞e，∴ab＞b＞＞＞a＞e，∴f（a）＞f（）＞f（）＞f（b）＞f（ab），故选D．12．设F1，F2分别为﹣=1（a＞0，b＞0）双曲线a≥1的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．4 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，结合双曲线的定义分析可得（2a）2=b2﹣3ab，进而变形可得，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，又由||PF1|﹣|PF2||=2a，则有（2a）2=b2﹣3ab，变形可得4a2+3ab﹣b2=0，所以，所以，故选D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线C：y=xlnx在点M（e，e）处的切线方程为y=2x﹣e．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，求曲线在点（e，e）处的切线的斜率，进而可得曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程【解答】解：求导函数，y′=lnx+1∴当x=e时，y′=2∴曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e）即y=2x﹣e故答案为：y=2x﹣e．14．若x＞2，则x+的最小值为6．【考点】7F：基本不等式．【分析】本题可以配成积为定值形式，然后用基本不等式得到本题结论．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0．∴x+=≥=6．当且仅当，即x=4时，取最小值．故答案为6．15．已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3=16．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：根据题意可得，，∴．故答案为：16．16．已知p：x＜﹣3或x＞1，q：x＞a，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围a≥1．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1．故答案为：a≥1．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=ccosA．（1）求角A的大小；（2）若a=，c=3，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinC≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA=，结合A的范围由特殊角的三角函数值即可得解A的值．（2）由余弦定理可求b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵asinC=ccosA，由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA，…∵sinC≠0∴sinA=cosA，即tanA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°，…（2）∵A=60°，a=，c=3，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：13=b2+9﹣2×，整理可得：b2﹣3b﹣4=0，∴解得：b=4或﹣1（舍去），=bcsinA==3．…∴S△ABC18．已知等差数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，已知a2=9，S5=65．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求T n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用等差数列的求和公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，因为a2=9，S5=65，所以得∴a n=4n+1．（2）∵a1=5，a n=4n+1，∴，∴=，∴=．19．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）若f（x）在上的最大值是9，求f（x）在上的最小值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值，列出方程组求解a，b即可．（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最大值，推出c，然后求解函数的最小值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+c，可得f′（x）=6x2+6ax+3b因为函数f（x）在x=1及x=2时取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（2）由（1）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+c，f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈时，f′（x）＞0；当x∈（1，2﹣1，2，e，e，e hslx3y3h上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a ≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2017年5月26日。

DCB A桂林十八中16-17学年度下学期高二开学考试卷数 学（理科）注意：①本试卷共2页。

考试时间120分钟，满分150分。

②请用黑色水性笔将答案全部填写在答题卡上，否则不得分。

③文明考风，诚信考试，自觉遵守考场纪律，杜绝各种作弊行为。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．1．cos23)6π（-的值为 .0...3122A B C DAB CD 2.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成的角为.0...632A B C D πππ3．“1x >”是“(2)0x x +>”的A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20172014120172014S S =+，则数列{}n a 的公差为 A ．1 B ． 23C ．20173D ．608 ()(2,2)(1)()0R f x x x f x '∈-+<5.定义在上的函数的图像如图所示，则当时，不等式的解集为A. (2,1)(1,1)--⋃-B. (2,1)-C. (1,1)-D. (1,2)- 6．下列命题中正确的是A ．命题:p 00x ∃>，使得20010x x +-<，则:p ⌝0x ∀>，使得210x x +-≥B . “0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C. 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ． sin sin y x x y x ==对于函数，为第一象限角是单调递增的充分不必要条件1(21),{},{b }b (1)(8),b 0na x dx n n n n n n n n n a n=+=+-⎰7.已知数列的前项和为S 数列通项公式则S 的最小值为A ．－4B ．4C ．8D ．－16 8. 直线y ＝k x －k 与抛物线y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |为A ．10B ．8C ．6D ．49．阅读右侧的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果16s =，则图中菱形内应该填写的内容是 A ．2?n < B ．3?n < C ．4?n < D ．5?n <10．已知集合{}321，，=M ，{}123,4N =，，，定义映射N M f →:，则 这样的映射有27个，从中取一个映射满足由点())1(1f A ，，())2(2f B ，，())3(3f C ，构成ABC ∆且BC AB =的概率为A ．323B ．325C ．163 D ．41 121222221123,,,cos x y y x mF F P F PF +=-=∠11.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为为这两条曲线的一个交点则的值为1121....4333A B C D -12. 已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+> (其中()f x '是函数()f x 的导函数)，则下列不等式成立的是A.()()34f ππ-<-()()34f ππ< C.(0)2()3f f π> D．(0)()4f π>第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,,0y x x y x 则132+++x y x 的最大值是 ．14. 刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解是否KDCBA考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．” 结果，四名学生中有且只有两人说对了，则这四名学生中的 说对了．1111.,a BA 15已知正三棱柱ABC-A B C 的各条棱长均为则直线与11B C C 平面所成角的余弦值为________．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠=，6,8AC BC ==，D 为边AC 上的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC =________．三．解答题：本大题共6小题，共70分． ()()()()()()()1217.(10)ln 212,22.f x x x y f x f f x =-=本小题满分分已知函数.求曲线在点处的切线方程；求函数的单调区间{}(){}(){}11231133118.(12)2,,1,112==,.n n n n n n n a a a a a a n a b b a b a n S b b -+⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭=+本小题满分分已知数列满足且成等差数列.求数列的通项公式；设为等差数列，且，求数列的前项和()()()19.(12)220.124OAB E y px p p y kx k E =>=-本小题满分分如图，等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线:上求的值；若直线与抛物线交于20.（本小题满分12分）如图，四棱锥S 一ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠ASC=60°， ∠BAD=135°，，SA=SC=SD=2． （1）求证：AC ⊥SD ；（2）求二面角A - SB -C 的余弦值．()()()221222122222121.(12)10312.12:.y x E a b F F a bF E A B ABF E M O x y b M M O E P Q PF Q +=>>∆+=∆本小题满分分已知椭圆:的左，右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为求椭圆的方程；如图，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点，求证：的周长是定值()()()()()()()()()22.(12)11211111*31231.x f x e x f x x f x a a R n n n n n n n n N =--=∈+++++++++<+∈本小题满分分已知函数.求函数的最小值；讨论关于的方程的根的个数；求证：桂林十八中16-17学年度下学期高二开学考理科数学答案一、选择题答案 BDABA ADBCC BA 提示：8.直线过了抛物线的焦点 9．【解析】所以菱形处填“4?n <”10.在坐标系内画四横三竖线易得满足条件的等腰三角形有4×3=12个，故概率123=641612.|,|,PF m PF n m n m n ==⇒+=-=11易得设||12121|4,cos 3m m F F F PF ===∠=得12.【解析】2()()cos ()sin 0cos cos f x f x x f x xx x ''+⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()cos f x x ∴在(,)22ππ-上单调递增 ()()34cos()cos()34f f ππππ--∴<--()()34f ππ-<-故选A 二、填空题答案13．11 14. 乙丙 15.4 16.7332424816.,2,,,=477ABC BDC RT BCA RT BCD DC∠=α∠=α∆α=∴α=∆设则在中，tan tan2在中,得三、解答题答案()()()()()()()()()11117.12322ln 212122,2x x f x x x xf f y f x f -+'=-='=-=∴=解：分分，分曲线在点处的切线方程为：()()32ln 213222ln 2012y x x y --=----=即分()()()()()()()()()()20111010102011.2f x x x x f x x f x f x '===-''∈<∈+∞>∴+∞令得或舍去分当，时，；当，时，分函数在，上单调递减，在，上单调递增分()(){}()()()()()()12213111113118.122,2221=+1221=+2121212,2,812631231311111111313233132111325n n n nn n n n n a a n a a a a a a a a a d b b d d b n n b b n n n n S -+=≥∴++∴=∴===∴==∴=+-=-⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭⎛=-解：是公比为的等比数列分分 即分分分证明：设公差为分即分分分11111115881131321111113232696n n n n ⎡⎤⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-=-⎪++⎝⎭分分()()()()()()000021122222212221212121219.1,,30,83cos30122122,,,444416,16416044A x y y AOB x A E M x y N x y y kx k y y ky k y xy y k y y OM ON x x y y y y =∠===∴=⨯=-⎧⎛⎫=+-⎨ ⎪=⎝⎭⎩=-∆=+⨯>⋅=+=⋅+设则点在抛物线上，设由得即.12OM ON OM ON ∴⊥∴⊥，……………………………………分()20.1,,1,1,,11O AC OS OD SA SC OS AC DA DC DO AC OS DO SOD OS DO OAC SODSD SOD AC SD=∴⊥=∴⊥⊂=∴⊥⊂∴⊥证明：设为中点，连接分分又平面且平面分又平面，分()2222,234121,,,,,-1SA SC ASC ASC AC DA DC AC ADC SA SC SDS ABCD O SO ABCD DO BC OE OC OS O OE OC OD x y z O xyzππ=∠=∴∆∴=+==∴∠===∴⊥∴，为正三角形，分又点在底面内的射影为，即面分设直线与交于E 两两垂直以为原点，所在直线分别为轴，轴轴,建立如图所示的空间直角坐标系分0013545//2(0,1,0)(2,1,0)(0,1,0)(0,0,3)1(2,0,0),(0,1,3),(2,2,0),(0,(,,)0SDO OS ADCE BAD BAE AB xAB A B C SAB AS CB CS ABS m x y z m AB m ∆=∠=∴∠=∴=∴--∴===-=-=⋅=在中，由以上证明得为正方形又，，轴，且，，，分设平面的法向量则201(0,100(3,3,1)cos ,231x z m y AS n m n m n m nA SBC ⎧=⎧⎪⎪==⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩=⋅<>===+⋅∴--，即，令得分同理可得平面CBS 的法向量分二面角分()121221212222221211132,2141412,311811198c a AF AF a BF BF aABF AF AFBF BF a a a c b a c x y E =+=+=∴∆+++=∴=∴=∴==-=∴+=分分的周长为分分分椭圆的方程为:分()()()()221111221121112222,,1039833333333.x yP x y Q x y xxPFxPMx xPF PM QF QMPF Q+=<<===-==∴+=-+=+=∴∆设，则，同理可证：的周长是定值6()()()()()()()()()()()()()()()()()()min22.1100,000,0,00,004 0,0xf x e f x x x f x x f xf x f x ff x a a R y f x y aa y f x y a a y f x y aa''''=-==∈-∞<∈+∞>∴-∞+∞∴===∈⇔==∴∈+∞=====∈-∞解：，令，得，当时，；当时,在上单调递减；在上单调递增，……………………………………分(2)方程的根的个数曲线与的交点个数当时,曲线与的交点个数为2个，当时,曲线与的交点个数为1个当()()()()()()() ()()()()()11111111,00,0,07312311231111nn n n nn n ny f x y aa f x a a R a f x a a Ra f x a a Rn nnn n n n++++++++==∈+∞=∈==∈∈-∞=∈++++<+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⇔++++⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝时,曲线与的交点个数为0个综上：当时,方程的根的个数为2个，当时,方程的根的个数为1个当时,方程的根的个数为0个……………………………………分证明：()()()()()11111112110010001111,1112123231,1,111111 1nxnn nnnn nn nf x xx x f x x enx x e en n nn nx x e x x e n n n n n nx+++--+++----⎫<⎪⎭≥=+>≠>+<⎛⎫⎛⎫+==-∴<=⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫+==-∴<+==-∴<⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭+由知，当且仅当时，等号成立即当，且时，总有即令，则同理，令，则，令，则令()()()()()11111112112111,111123++++1111111++++11111211nn n n nn nnn n nn nnn nn nx en n nne e e en n n ne e ee e e ee e en n+-++++--------------+⎛⎫==-∴<⎪+++⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--==<<---⎛⎫⎛⎫∴+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，则，……以上式子相加得：111311112n nnn n+++⎛⎫⎛⎫+++<⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴成立原不等式成立……………………………………分。

桂林中学2016-2017年下学期期中考试题高二年级 数学（文）（考试时间120分钟，满分150分）1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2．所有的题目请在规定的答题卷上做答，否则无效。

第Ⅰ卷 选择题一．选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项. 1．若复数z 满足i iz=+1，其中i 是虚数单位，则复数=z （ ） A.i +1 B. i +-1 C. i -1 D. i --12．曲线34y x x =-在点()1,3-处的切线倾斜角为（ ）A.34π B. 4π C. 23π D. 56π 3．把二进制数()21010化为十进制数为（ ） A ．20B ．12C ．11D ．104．变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示：若,x y 之间的线性回归方程为122ˆ.8ˆybx =+，则ˆb 的值为（ ） A. -0.96 B. -0.94 C. -0.92 D. -0.98 5．已知命题:0p a ∀>，12a a+≥，命题000:,sin cos 3q x R x x ∃∈+=（ ）A.p 是假命题B.q 是真命题C.()p q ∧⌝ 是真命题D.()p q ⌝∧是真命题x4 5 6 7 y8.27.86.65.46．在等差数列{}n a 中，已知37,a a 是函数()243f x x x =-+的两个零点，则{}n a 的前9项和等于（ ）A. -18B. 9C. 18D. 367.阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值 等于( )A ．18B ．20C ．21D ．408．已知02:;2:2<--<x x q x p ，则p 是q 的 ( ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9．已知双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则此双曲线的离心率为( )A.45 B.34 C.35D. 3710．不等式012222≤--+b a b a 成立的充要条件是( ) A.1≥a 且1≥b B.1≥a 且1≤b C.0)1)(1(≥--b a D.0)1)(1(≤--b a11．已知函数[]27,1,log )(3∈=x x x f ，则不等式2)(10≤≤x f 成立的概率是（ ） A.31 B. 61 C.133 D. 9212．若函数2ln )(2-+=ax x x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 A.()2,-∞- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,81 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--81,2 D. ()∞--,2 （ ）第Ⅱ卷 非选择题二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，抽取80人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么=n ．14．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若bc a c b 3222=-+，则A 等于 ．15．已知0x >，观察下列几个不等式：23414272562;3;4;5;x x x x x x x x+≥+≥+≥+≥；归纳猜想一般的不等式为 ．16．从抛物线x y 42=图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5=PM ，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)如图，在ABC ∆中，6,10,192===BC AC AB ，D 是边BC 延长线上的一点，030=∠ADB ，求AD 的长.18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足63,2474==S S ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n a n a b n+=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)已知函数R x x e x f x ∈--=,1)(2．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）当R x ∈时，求证：x x x f +-≥2)(.20．(本小题满分l2分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断你是否有95％以上的把握认为“体育迷”与性别有关?参考公式:（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

桂林市第十八中学16级高二下学期开学考试卷数学（理科）注意：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间：120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号 填写或填涂在答题卷指定 的位置，将条形码张贴在指定位置2、 选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案； 不能答在试题卷上。

3、 主观题必须用 黑色字迹的钢笔或签字笔 在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上， 超出指定区域的答案无效 ；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

一、选择题（本题满分60分）1. 设集合4｛非-〔|胡 /二｛工卩呜工刈，则占仃召二 22. 抛物线「一 的准线方程为 A.B.C. 」D. 13. 在公比为】的正项等比数列 」中，若…，则心广 A. XB.C.D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值山为B.C.(13)A.-B. 13C.HD.6109S75.曲线｝在点F 处的切线平行于直线y =，则点尸的横坐标为A. B. C.D.±16.已知函数 yw=JT<0A.-1B.[-^2]D.[72]7.已知正方体 _ '° ] 1'的棱长为1棱-上的点丘到平面T ' 1 <的距离为A.=B.C. D.^+jr>3工一八_18.设变量儿尸满足约束条件：则目标函数"鮎+知的最小值为A.百B. 7C. 8D. 23正（王舰團侧（左舰團f做團9•如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. = i +4B. -C. 1】D. 17T 1 ,r打10.已知"心cos—+ d=- / ----- Of二cos X 口，且u ；A则X丿2忑11A. 3B.3C.3D：11. 若关于疋的不等式J蛊+ 2〉股+1的解集为I叩］，则汛律=1 1_ _________________A.2B.C. 二D.-12. 过函数’「一= 图像上的任意一点戸向圆'：「J—1 i_作切线，切点分别为& -，则四边形5 --面积的最小值为A. J ：B. 厂，C.二、填空题（本题满分20分）-<113. 不等式」的解集为J_ 114. 已知"■ L 7（其中沢为正数），且处丄为，贝U 的最小值为______ .15. 若双曲线/亠右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等, 则离心率取值范围是16. 给出下列命题：①命题“若？-」厂〜「”的否命题为“若儿•，则二：「”；②命题“ 一卜：.「”' ”的否定是“•「_卜；■「j ■'1”；③设F在丄二的内部，且匚-■，则-- --■；2 sin（x 十—）十3x J+ 4x 之严----------- -④函数--- 的最大值与最小值之和为二；⑤在半径为1的大球内放入「个半径相同的小球，当小球的体积最大时，在这口个小球之间的空隙里还可以放入一个小球，则该小球的最大半径为-二J- • 其中正确的命题的序号是：•（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本题满分70分）17. （本小题满分10分）一匕-的内角二-的对边分别为7 1-.已知厂I八•、. J〕；.（I）求；A=—t b=2（n）若，求=.18. （本小题满分12分）已知函数_■ ：■ - -.（I）求曲线」-在点.:处的切线方程；（n）若函数处）= /（工）■%司7】］恰有2个零点，求实数总的取值范围.19. （本小题满分12分）在等差数列；L 与等比数列.中，已知■，且I ',数列恋满足［.且［二爲，「-二U(I)求云与“；4sI2 =严厂 Z = 2 + 6+…+ 27； > 一(n)设，求证：’-」.20. (本小题满分12分)如图，在斜三棱柱 1,厂■；中，..1：............ 丄… '.J:，(I)证明：「I 平面---'-.-4 ; (n)求二面角---的余弦值.21. (本小题满分12分)且―y(I)求椭圆」方程;存在直线1 , 使得 、亠：宀 的面积的比值为2 ?如果存在，求出直线 '的方程；如果不存在，说明理由•在底面一亠上的射影恰为轧一的中点匚.已知■'： :分别是椭圆 虫 b 的左右焦点，点尸在椭圆上,(n)若点二是椭圆厂的是上顶点, 过―的直线与椭圆J 交于不同的两点：二；',是否22. （本小题满分12分）/（A | 二2工———a In x（£j 2?）已知函数'….（I）当^ = 3时，求「'的单调区间；（n）设'：-亠-…，且-'有两个极值点上W，其中■■-'，若〜一--二二 *恒成立，求f的取值范围.桂林市第十八中学16级高二下学期开学考理科数学答案选择题（本题满分60分）DABCD ABBCC DA填空题（本题满分20分）13制心1或14.斗15.16. ①②③⑤解答题（本题满分70分）17辭（!）由余®定理有;土詹送一网0*.2 +护-羽出-辄即# + J2- -羽M18.解：（I）「，『I--. , ；.(1,72+1■ B亡他巧,..R=扌：广-」：；在点■处的切线方程为1 I ；(H) 「二二「27—7 由Y：二一/ ，一」解得,当-1兰xhi2时，贰(刃u°,呂(初在[TJZ)上单调递减当工2 u x乞：时，二 7 • |，_ _，在-：U 上单调递减^(x U = «(Ln2) = 2-2Ln2又-i - I .■ ■ I : . ■■ : -■ I-r啟⑴mo结合图像知：即2-2血2 3兰段一2为所求.19解;1j由已知得AQ丄平面又HO u平面ABC.必丄也丄 g严卖丄儿4占QR AA X=血A]D, A\ u平^ACC^:.ED 丄平面ZDCJAi⑵由(1)加G-二平面得力丄肚以砂原点，为痢，阿枷’过U与平面AM唾直的鞍为渝建立如图所示的空间直角坐标系C-砂设AQ = a则』（2屯叭越仏毗）丄他2,0）口（7CU）「一乔=（一1.2,_可,疋=卜隼卫）又已釦得厢-码=0-3—^ = 0二卜14』L辰（-2卫』）・..AA1设平面占岛谢法向量兄=（兀X习则彳聊-昭=0js- 7^=0?] -2x-p 2y = 0:=蕭口则｛"；,..氏二（口靠）平面坷BC的法向最无=1'^0,-1|k2书_戸= '^|JJ|" 2^2A=~:.二面帝盘-A.B -弦值是-£一云+ v^=°..Cosf^jfc20•解：（I）设数列的公差为" ■'■,设数列*（的公比为乩(3+^) 2^ = 20|_(3 +2^)-2^ =56d = 2或-;（舍去）解得■''，则」-21.解：（I ）x y由一门 …」，得J _、才_ W ，得一._' o（n ）'匚1■■' =2“ =环=-丽设宀则二 -__, 设2:工二感>f 十1< T 3 卫：得（3剛卫?二 0又C:二十丄二1L43I -6也于耳 2花’溶 Q 运 J M +J2 = —2~~ ^=±——,倚/:盂二 ±—+ h 知3 +45 522.解：(I)易求「'的定义域I '，当』一1 1 3 f (T J = 2x — — - 3 In x / '(x) =2 -I- —y -— 十 X0 < ^ < 丄或 x>A2?（°丄）和乩炖）二 ，单调递减区间是(⑺丁 <\ = (2片十"卽,4ftD -"(2^ + 1) 2* (2^+3} 2n+1 _ 14 12片十1加十？：."4(2«4-1)-2'(2P H-3) -2'-2 2-(2w + l). (2M +3)£_ 1 1_ 1 1 呂—§ + §—亍 +"2^+1 2^+31 A4\3~2w-b3jV 在阮矿上单调递增，7>箱 二誌时，2x a -3x+l故-■'■ ■1■的单调递增区间是(n)由已知得.■-• ' J-.,* ”、_1 a X + ax 4-1』 ，令宫⑴=°，得护+阿+1 = 0 ,,(入)两个极值点力毛,a <—21吃二一J + 硏 又••天L U 也 •兀1 W (Q 1)曲（巧二2（工一丄）一2〔丁+2 设 - -，“、 “1、1、’ y l v 1 n 2（1 + ?L ）（1- ?L ）laAW = 2（1 + 〒）一2[（1 — 厲）1口孟+（孟+—）—]= __—•/当」；.时，恒有■' ■" ,•••'「在’’：「上单调递减,••• 7 •…|:,-4 >0丙+也=_说a 0 珂”可二1 > 0...Fj=^1）-£（—）=羽一丄+ 川口 珂一-2（Z L - —） + 2<ar In jq（—-一 x l 十。

广西桂林中学2016-2017学年高二下学期期中考试试卷（理）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数．则下列命题中为真的是（）A．p且q B．p或q C．非p D．非p且非q2、已知a、b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是()A．a>b－1B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b3、命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0B．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0C．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04、下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣1=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣1≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R均有x2+x+1≥05、设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、若∀x∈R，k x2﹣kx﹣1＜0是真命题，则k的取值范围是（）A．-4≤k≤0B．-4≤k＜0 C．-4＜k≤0D．-4＜k＜07、,是距离为6的两定点，动点,则点的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆8、已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．39、若曲线ax2+by2= l为焦点在X轴上的椭圆，则实数a，b满足（）A.a >bB. >C. 0<a <bD. 0<b <a10、已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A. B ．(1，＋∞) C ．(1,2) D ．11、椭圆=1的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．6或2B ．5C ．1或9D ．3或512、椭圆220(0)mx ny mn m n ++=<<的焦点坐标是（ ）A ．(0, B ．( C ．(0, D ．(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、“x =1”是“x 2﹣3x +2=0”的 条件．（充分必要，充分不必要，必要不充分）14已知命题p :∃x ∈R,x 2+ 21x ≤2,命题q 是命题p 的否定,则命题p 、q 、p ∧q 、p ∨q 四个中是真命题的是______.15、椭圆的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．16、椭圆的左右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，正三角形△POF 2面积为3，则椭圆的方程为__ _ ___.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

桂林中学2016-2017学年 高二年级数学期中考试(理科)说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷 选择题一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≤，则M N ⋂= （ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. (]0,1 D. ()0,2 2．已知复数2i1iz +=-（i 为虚数单位），那么z 的共轭复数为（ ） A. 33i 22+ B. 13i 22- C. 13i 22+ D. 33i 22-3．在等差数列{}n a 中，已知79416,1a a a +==，则12a = （ ） A. 15 B. 30 C. 31 D. 464．在平面内的动点(),x y 满足不等式30100x y x y y +-≤-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 6B. 4C. 2D. 0 5．“2a =”是“直线2y ax =-+与14ay x =-垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．在长方体1111CD C D AB -A B 中，AB ＝BC ＝2，11AA =，则1C B 与平面11D D BB 所成角的正弦值为（ ）ACD7．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A. 23AD AB AC =-+ B. 3144AD AB AC =+C.1344AD AB AC =+ D. 2133AD AB AC =+8．曲线2y x =和直线0x =，1x =，14y =所围成的图形的面积为（ ） A.23 B.13 C.12 D.149．执行右图的程序框图，则输出的n 为（ ）A. 9B. 11C. 13D. 15 10．已知0,0,2x y x y xy >>++=，则x y +的最小值是（ ） A ．23 B ．1 C ．43 D ．3211．函数()f x 在定义域()0,+∞内恒满足：①()0f x >，②()()()23f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 的导函数，则（ ） A.()()111422f f << B. ()()1111628f f << C. ()()111322f f << D. ()()111824f f <<12. 过双曲线22221x y a b -=（0a >， 0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M .直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.52 B. 512+ C. 5 D. 15+第II 卷 非选择题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若sin θ＝45，则cos2θ＝________． 14．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第10行从左向右的第5个数为 ．第16题图第9题图15．如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．16．已知函数()xe f x kx x =-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（本小题满分10分）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin a b A =. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若33,5a c ==，求b ．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足112,21n n a a a +==-.（1）求证数列{}-1n a 是等比数列；（2）设()1n n b n a =⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．（本小题满分12分）已知函数x ax x x f 3)(23--= （1）若31-=x 是)(x f 的极值点，求)(x f 在],1[a -上的最大值和最小值. （2）若)(x f 在区间上),1[+∞是增函数，求实数a 的取值范围；20．（本小题满分12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形， 2BAD ADC π∠=∠=，平面ADE ⊥平面ABCD ， 244EF DC AB ===， ADE ∆是边长为2的正三角形． （1）证明： BE ⊥平面ACF ； （2）求二面角A BC F --的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和直线l ： 1x ya b -=，椭圆的离心率63e =，坐标原点到直线l 的距离为32.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E -，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数()ln xm x nf x e +=（,m n 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是2y e=.（1）求,m n 的值；（2）求()f x 的单调区间； （3）设()()()ln 12x e x g x f x '+=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）。

广西桂林市高二下学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·宜宾期中) 已知命题p：∃x0∈R，sinx0＞1，则（）A . ¬p：∃x0∈R，sinx0≤1B . ¬p：∀x∈R，sinx＞1C . ¬p：∃x0∈R，sinx0＞1D . ¬p：∀x∈R，sinx≤12. （2分）在正整数100至500之间能被11整除的数的个数为（）A . 34B . 35C . 36D . 373. （2分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1 ， F2 ，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知a+b=（）A . 0.024B . 0.036C . 0.06D . 0.65. （2分）一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·临翔模拟) （1﹣2x）3的展开式中所有的二项式系数和为a，函数y=mx﹣2+1（m＞0且m≠1）经过的定点的纵坐标为b，则的展开式中x6y2的系数为（）A . 320B . 4467. （2分）下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i<10？B . i>10？C . i>20？D . i<20？8. （2分） (2018高二上·西城期末) 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A .B . 1C .D . 29. （2分）在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为（）C . 5，7D . 8，710. （2分）(2016·赤峰模拟) 已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A . [0， ]B . [ ，1]C . [ ， ]D . （，1]11. （2分） (2017高一下·红桥期末) 在区间[﹣， ]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·韶关模拟) 已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1 ，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤ |x1﹣x2|，则对下列四个结论：①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤ 时，f（x）= x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）= （1﹣x）（﹣x）；②若对∀x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；③对∀x∈[0，1]，|f（x）|≤ 恒成立；④对∀x1 ，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤ 恒成立．其中正确的结论个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分） (2017高二下·友谊开学考) 若向量 =（1，λ，2）， =（2，﹣1，2），且⊥ ，则λ等于________．14. （1分）已知x与y 之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程________参考公式： = = ，a= ﹣b ．15. （1分） (2019高三上·浙江月考) 某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是________（用数字作答）．16. （5分） (2018高二上·大连期末) 已知椭圆：的离心率为，右顶点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，设直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值.三、解答题 (共4题；共45分)17. （15分） (2016高二下·黄骅期中) 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得 =80， =20， i=184， =720．（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．18. （10分） (2017高二下·陕西期末) 某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好下列2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？是否优良班级优良（人数）非优良（人数）合计甲乙合计（2）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选2人来作书面发言，求2人都来自甲班的概率．下面的临界值表供参考：P（x2⩾k）0.100.050.010k 2.706 3.841 6.635（以下临界值及公式仅供参考，n=a+b+c+d）19. （10分）(2018高一上·海珠期末) 如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.20. （10分）(2017·葫芦岛模拟) 已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0，0），使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共45分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共13 页第12 页共13 页第13 页共13 页。

桂林市第十八中学16级高二下学期开学考试卷数学（理科）注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间： 120 分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置，将条形码张贴在指定位置2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

一、选择题(本题满分60分)1.设集合，，则A. B. C. D.2.抛物线的准线方程为A. B. C. D.3.在公比为的正项等比数列中，若，则A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图,输出的值为A. B. C. D.5.曲线在点处的切线平行于直线，则点的横坐标为A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集是A. B. C. D.7.已知正方体的棱长为，棱上的点到平面的距离为A. B. C. D.8.设变量满足约束条件：.则目标函数的最小值为A. B. C. D.9.如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D.10.已知，且，则A. B. C. D.11.若关于的不等式的解集为，则A. B. C. D.12.过函数图像上的任意一点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为A. B. C. D.二、填空题(本题满分20分)13.不等式的解集为 .14.已知（其中为正数），且，则的最小值为 .15.若双曲线右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则离心率取值范围是 .16.给出下列命题：①命题“若，则”的否命题为“若，则”；②命题“”的否定是“”；③设在的内部，且, 则；④函数的最大值与最小值之和为；⑤在半径为1的大球内放入个半径相同的小球，当小球的体积最大时，在这个小球之间的空隙里还可以放入一个小球，则该小球的最大半径为.其中正确的命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三、解答题(本题满分70分)17.（本小题满分10分）的内角的对边分别为.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求．18.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数恰有个零点，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）在等差数列与等比数列中，已知，且，数列满足，且．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）设，求证：.20.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，，在底面上的射影恰为的中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21.（本小题满分12分）已知分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若点是椭圆的是上顶点，过的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在直线，使得的面积的比值为？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围.桂林市第十八中学16级高二下学期开学考理科数学答案选择题(本题满分60分)DABCD ABBCC DA填空题(本题满分20分)13.14.15.16. ①②③⑤解答题(本题满分70分)18.解：（Ⅰ），，．在点处的切线方程为；（Ⅱ），，由解得，当时，，在上单调递减当时，，在上单调递减又结合图像知：，即为所求．20．解：（Ⅰ）设数列的公差为，设数列的公比为解得，则21.解：（Ⅰ）由得，得。

2016-2017学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x2﹣2x＜0}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（0，1] 2．（5分）已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．3．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9＝16，a4＝1，则a12＝（）A．15B．30C．31D．644．（5分）在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z＝2x+y的最大值是（）A．6B．4C．2D．05．（5分）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（）A．＝﹣2+3B．＝+C．＝+D．＝+8．（5分）如图曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n为（）A．9B．11C．13D．1510．（5分）已知x＞0，y＞0，x+y+＝2，则x+y的最小值是（）A．B．1C．D．11．（5分）函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2＝﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos2θ＝．14．（5分）将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为．15．（5分）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c＝5，求b．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝2a n﹣1（1）求证数列{a n﹣1}是等比数列（2）设b n＝n•（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x（1）若x＝﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[﹣1，a]上的最大值和最小值．（2）若f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．20．（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，AB∥EF，∠BAD ＝∠ADC＝，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝2DC＝4AB＝4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．21．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）和直线l：﹣＝1，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D 两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝（m，n为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝f′（x）•（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．2016-2017学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M＝{x2﹣2x＜0}，N＝{x|x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．（0，1]【解答】解：M＝{x|0＜x＜2}；∴M∩N＝（0，1]．故选：D．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：复数＝＝，那么z的共轭复数为＝．故选：B．3．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9＝16，a4＝1，则a12＝（）A．15B．30C．31D．64【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9＝16可得2a1+14d＝16，即a1+7d ＝8．再由a4＝1＝a1+3d，可得a1＝﹣，d＝．故a12 ＝a1+11d＝﹣+＝15，方法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a p+a q＝a m+a n，即p+q＝m+n∵a7+a9＝a4+a12∴a12＝15故选：A．4．（5分）在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z＝2x+y的最大值是（）A．6B．4C．2D．0【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x＝3，y＝0平移直线2x+y＝0，∴当直线z＝2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．故选：A．5．（5分）“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝2时直线y＝﹣ax+2的斜率是﹣2，直线y＝的斜率是2，满足k1•k2＝﹣1∴a＝2时直线y＝﹣ax+2与y＝垂直，直线y＝﹣ax+2与y＝垂直，则﹣a•a＝﹣1，解得a＝±2，“a＝2”是“直线y＝﹣ax+2与y＝垂直”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═＝．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．7．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（）A．＝﹣2+3B．＝+C．＝+D．＝+【解答】解：由＝3，则＝+＝+＝+（﹣）＝+，故选：B．8．（5分）如图曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由于曲线y＝x2（x＞0）与y＝的交点为（），而曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形（阴影部分）的面积为S＝，所以围成的图形的面积为S＝＝（x﹣x3）| +（x3﹣x）|＝．故选：D．9．（5分）执行如图的程序框图，则输出的n为（）A．9B．11C．13D．15【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足S＝1•…＜的最大的正整数n+2的值，∵S＝1•3•…•13＞2017∴输出n＝13．故选：C．10．（5分）已知x＞0，y＞0，x+y+＝2，则x+y的最小值是（）A．B．1C．D．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y+＝2，∴由基本不等式可得x+y+＝2≤x+y+，∴x+y≥．故选：C．11．（5分）函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（）A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜【解答】解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），g′（x）＝，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴f（x）＞0，0＜，∴g′（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴g（1）＜g（2），即4f（1）＜f（2），＜；令h（x）＝，x∈（0，+∞），h′（x）＝，∵∀x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，∴h′（x）＝＜0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，∴h（1）＞h（2），即f（1）＞，＞，故选：D．12．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为M．直线FM交抛物线y2＝﹣4cx于点N，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵若，∴M是FN的中点．设抛物线的焦点为F1，则F1为（﹣c，0），也是双曲线的焦点．∵OM为△NF2F1的中位线．|OM|＝a，∴|NF1|＝2 a．∵OM⊥MF，∴NF2⊥NF1，于是可得|NF|＝2b，设N（x，y），则c﹣x＝2a，于是有x＝c﹣2a，y2＝﹣4c（c﹣2 a），过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a．由勾股定理得y2+4a2＝4b2，即﹣4c（c﹣2a）+4 a2＝4（c2﹣a2），变形可得c2﹣a2＝ac，两边同除以a2有e2﹣e﹣1＝0，所以e＝，负值已经舍去．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则cos2θ＝．【解答】解：∵，则cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×＝，故答案为：．14．（5分）将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为50．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n ﹣1）＝＝个数，∴第n行从左向右的第5个数为+5，把n＝10代入可得第10行从左向右的第5个数为50，故答案为：50．15．（5分）如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，它由正方体的后上部分的三棱柱，切去一个同底同高的三棱锥得到，故体积V＝×（1﹣）×2×2×2＝故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（0，）．【解答】解：由f（x）＝﹣kx＝0，得＝kx，∵x≠0，∴k＝，令g（x）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴当x＝2时，函数有极小值，即g（2）＝，且当x＜0，时，g（x）∈（0，+∞），∵函数f（x）＝﹣kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，∴0＜k＜，故答案为：（0，）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b sin A （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c＝5，求b．【解答】解：（Ⅰ）由a ＝2b sin A ， 根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝27+25﹣45＝7． 所以，．18．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝2a n ﹣1 （1）求证数列{a n ﹣1}是等比数列（2）设b n ＝n •（a n ﹣1），求数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）证明：∵a n +1＝2a n ﹣1，变形为：a n +1﹣1＝2（a n ﹣1）， ∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为1，公比为2， ∴a n ﹣1＝2n ﹣1，即a n ＝1+2n ﹣1． （2）b n ＝n •（a n ﹣1）＝n •2n ﹣1，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝1+2×2+3×22+…+n ×2n ﹣1，① ∴2S n ＝2+2×22+…+（n ﹣1）×2n ﹣1+n •2n ，② 由①﹣②，得﹣S n ＝1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n ＝﹣n •2n ＝（1﹣n ）•2n ﹣1．∴S n ＝（n ﹣1）•2n +1．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣ax 2﹣3x（1）若x ＝﹣是f （x ）的极值点，求f （x ）在[﹣1，a ]上的最大值和最小值． （2）若f （x ）在区间上[1，+∞）是增函数，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）＝3x 2﹣2ax ﹣3，x ＝﹣是f （x ）的极值点，则f ′（﹣）＝3×+2a ×﹣3＝0，解得a ＝4，f （x ）＝x 3﹣4x 2﹣12，f ′（x ）＝3x 2﹣8x ﹣3＝（x ﹣3）（3x +1）＝0，解得x ＝﹣，3，x ，f （x ），f ′（x ）变化如下表：）所以f（x）max＝f（﹣）＝，f（x）min＝f（3）＝18（2）函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x求导得f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3，f（x）在区间上[1，+∞）是增函数，则f′（x）＝3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立，即a在[1，+∞）恒成立，a，y＝x﹣在[1，+∞）为增函数，则（x﹣）min＝0∴a≤0，∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]20．（12分）在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，AB∥EF，∠BAD ＝∠ADC＝，平面ADE⊥平面ABCD，EF＝2DC＝4AB＝4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），＝（﹣1，﹣1，），＝（﹣1，4，），＝（﹣2，2，0），＝1﹣4+3＝0，＝2﹣2＝0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC＝A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）＝（﹣2，1，0），＝（﹣1，3，），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣），平面ABC的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为﹣．21．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）和直线l：﹣＝1，椭圆的离心率e＝，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D 两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由直线，∴，即4a2b2＝3a2+3b2﹣﹣①又由，得，即，又∵a2＝b2+c2，∴﹣﹣②将②代入①得，即，∴a2＝3，b2＝1，c2＝2，∴所求椭圆方程是；（Ⅱ）①当直线m的斜率不存在时，直线m方程为x＝0，则直线m与椭圆的交点为（0，±1），又∵E（﹣1，0），∴∠CED＝90°，即以CD为直径的圆过点E；②当直线m的斜率存在时，设直线m方程为y＝kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），由得（1+3k2）x2+12kx+9＝0，由△＝144k2﹣4×9（1+3k2）＝36k2﹣36＞0，得k＞1或k＜﹣1，∴，，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4∵以CD为直径的圆过点E，∴EC⊥ED，即，由，，得（x1+1）（x2+1）+y1y2＝0，∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5＝0，∴，解得，即；综上所述，当以CD为直径的圆过定点E时，直线m的方程为x＝0或．22．（12分）已知函数f（x）＝（m，n为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝f′（x）•（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）由得（x＞0）．由已知得，解得m＝n．又，即n＝2，∴m＝n＝2．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令p（x）＝1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，p（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，p（x）＜0，又e x＞0，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）证明：由已知有，x∈（0，+∞），于是对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于，由（Ⅱ）知p（x）＝1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p'（x）＝﹣lnx﹣2＝﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得当x∈（0，e﹣2）时，p'（x）＞0，即p（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，p'（x）＜0，即p（x）单调递减．所以p（x）的最大值为p（e﹣2）＝1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．设q（x）＝x﹣ln（1+x），则，因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）＝0．故当x∈（0，+∞）时，q（x）＝x﹣ln（1+x）＞0，即．∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜．∴对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．…（14分）。

2016-2017学年广西桂林中学高二（下）开学数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）已知a，b都是实数，那么“＞”是“lna＞lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A．25B．30C．31D．614．（5分）若向量，满足：||＝1，（+）⊥，（3+）⊥，则||＝（）A．3B．C．1D．5．（5分）函数f（x）＝x3﹣x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．（5分）抛物线y2＝6x的准线方程是（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝D．x＝﹣7．（5分）一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．2πB．4πC．6+（2+）πD．（4+2）π8．（5分）若函数f（x）＝lnx﹣ax在区间（1，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1] 9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝6x﹣y的最小值为（）A．﹣8B．0C．﹣2D．﹣710．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．512．（5分）已知a∈R，b∈R+，e为自然数的底数，则[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的最小值为（）A．（1﹣ln2）2B．2（1﹣ln2）2C．1+ln2D．（1﹣ln2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若点（n，3）在函数y＝3x的图象上，则的值是．14．（5分）已知函数f（x）＝ln（﹣2x）+3x，则f′（﹣1）＝．15．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是．16．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列．（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和公式．18．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，AD＝BC＝CD＝2，A＝60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．19．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2（a+1）x+2alnx（1）若a＝2．求f（x）的极值．（2）若a＞0．求f（x）的单调区间．20．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．21．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1．（1）求椭圆E的方程：（2）设P，Q是椭圆E上的两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ，其中O是坐标原点，当P，Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程，若不存在，请说明理由．22．（12分）设函数f（x）＝ae x lnx+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y＝e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．2016-2017学年广西桂林中学高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|0≤x＜1}，故选：B．2．【解答】解：∵lna＞lnb⇒a＞b＞0⇒＞，是必要条件，而＞，如a＝1，b＝0则lna＞lnb不成立，不是充分条件，故选：B．3．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y＝的函数值．当x＝60时，则y＝25+0.6（60﹣50）＝31，故选：C．4．【解答】解：∵向量，满足：||＝1，（+）⊥，∴•（+）＝+＝1+＝0，∴＝﹣1．∵（3+）⊥，∴3+＝﹣3+＝0，∴＝3，||＝，故选：B．5．【解答】解：因为f（﹣1）＝﹣1+1﹣1＝﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1﹣1﹣1＝﹣1＜0，f（2）＝8﹣2﹣1＝5＞0，f（3）＝27﹣3﹣1＝23＞0，所以函数f（x）＝x3﹣x﹣1的零点所在区间是[1，2]；故选：B．6．【解答】解：由抛物线方程y2＝6x，得2p＝6，则p＝3，∴，则抛物线y2＝6x的准线方程是x＝﹣．故选：D．7．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半．∴该几何体的表面积＝++＝6+π．故选：C．8．【解答】解：∵f（x）＝lnx﹣ax（a∈R），∴f′（x）＝﹣a，∵函数f（x）在区间（1，+∞）上递减，∴f′（x）＝﹣a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a≥1，故选：A．9．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得B（﹣1，1），化目标函数z＝6x﹣y为y＝﹣6x+z，由图可知，当直线y＝﹣6x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最小为6×（﹣1）﹣1＝﹣7．故选：D．10．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选：A．11．【解答】解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）＝2a，m+d＝2c，（m﹣d）2+m2＝（m+d）2，解得m＝4d＝8a，c＝，故离心率e＝＝5，故选：D．12．【解答】解：构造函数y＝，y＝ln2x，则[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的几何意义为两曲线y＝与y＝ln2x上两点间的距离的平方，而两函数y＝与y＝ln2x互为反函数，∴两曲线y＝与y＝ln2x上两点间的距离的最小值为曲线y＝lnx上的点到直线y＝x 的距离的最小值的2倍．由y＝lnx，得：，由，得x＝1，∴曲线y＝lnx上的点（1，ln2）到直线y＝x的距离最小，根据对称性知，曲线y＝上的点（ln2，1）到直线y＝x的距离最小，则[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2的距离的最小值为[e a﹣ln（2b）]2+（a﹣b）2＝．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：∵点（n，3）在函数y＝3x的图象上，∴3n＝3，解得n＝1，∴＝cos＝．故答案为：．14．【解答】解：f'（x）＝[ln（﹣2x）+3x]'＝＝+3，所以f′（﹣1）＝2；故答案为：2．15．【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1）、B（x2，y2），代入椭圆方程，得9x12+36y12＝36×9①，9x22+36y22＝36×9②；①﹣②得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）＝0；由中点坐标＝4，＝2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）＝0，∴直线斜率为k＝＝﹣，所求弦的直线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣4），即x+2y﹣8＝0．故答案为：x+2y﹣8＝0．16．【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）＝，则f′（x）＝﹣++＝﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17．【解答】解：（I）令公差为d，由a4＝10得a3＝10﹣d，a6＝10+2d，a10＝10+6d ∵a3，a6，a10成等比数列∴故有（10+2d）2＝（10﹣d）（10+6d）∴d＝1∴a n＝a4+（n﹣4）d＝n+6（II）由＝b n＝2n+6∴b1＝21+6＝128，q＝＝＝2∴故其前n项和为＝2n+7﹣12818．【解答】解：（Ⅰ）已知A＝60°，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos A＝7，解得，由正弦定理，，所以＝．（Ⅱ）在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C，所以7＝4+4﹣2×2×2cos C，，因为C∈（0，π），所以，所以，△BCD的面积．19．【解答】解：（1）a＝2时，f（x）＝x2﹣6x+4lnx，（x＞0），f′（x）＝2x﹣6+＝＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，故f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增；故f（x）极大值＝f（1）＝﹣5，f（x）极小值＝f（2）＝4ln2﹣8；（2）∵f（x）＝x2﹣2（a+1）x+2alnx（a＞0）．∴f′（x）＝2x﹣2（a+1）+＝，由f'（x）＝0得x1＝a，x2＝1，①当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0；在x∈（a，1）时，f'（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；②当a＝1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；③当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0；在x∈（1，a）时，f'（x）＜0．∴f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．20．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD＝DC，又AE＝CF＝，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC＝6，∴AO＝3，又AB＝5，AO⊥OB，∴OB＝4，∴OH＝＝1，则DH＝D′H＝3，∴|OD′|2＝|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF＝H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB＝5，AC＝6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x＝3，得y＝﹣4，z＝5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ＝．21．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，即有＝，令x＝﹣c，则y＝±b＝，即有＝1，又a2﹣b2＝c2，解得，a＝2，b＝1．则椭圆E：+y2＝1；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．则椭圆的极坐标方程为ρ2（cos2θ+4sin2θ）＝4，设P（ρ1，θ），Q（ρ2，θ+），（0＜），当P，Q运动时，假设存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切．则设定圆O的半径为r，则在三角形OPQ中，r|PQ|＝|OP|•|OQ|，即有r＝ρ1ρ2，即有r2•（+）＝•，化简得，4r2•5＝16，解得，r2＝．故当P，Q运动时，存在定圆O：x2+y2＝，使得直线PQ都与定圆O相切．22．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝+，由题意可得f（1）＝2，f′（1）＝e，故a＝1，b＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）＝xlnx，则g′（x）＝1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）＝﹣．设函数h（x）＝xe﹣x﹣，则h′（x）＝e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）＝﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．。