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复变函数-解析函数

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复变函数的可导与解析

复变函数的可导与解析

复数的方根：
设zrei r(cosis in ),则z的n次 方 根
为n
z
1
rn(c
os2k
is
in2k)
n
n
(k0,1,2,n1)
二. 复变函数
复变函数 ：
f :z xiywuiv xy平 面 上 的 点 u集v平 面 上 的 点 集
w f(z)u(x, y)iv(x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
y x
z在第四象限
性质：
z1z2z1z2，z1z2z1z2， （ zz1 2） zz1 2 z z z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2 , z 1 z 2 z 1 z 2
Arg(z1z2) Arg1zArg2z
Argz1 z2
Arg1zArg2z
复数的乘幂：
设 zre ir(cosisin)则 , z的 n次 为zn(re i)nrn(cn os isin n )
f(z0)limfz0 z0
zfz0
z
fz0zfz0f(z0)zz( lzi m 00) 设f(z0)aib,1i2,zxiy， 则
fz0zfz0uiv
(aib)(xiy)(1i2)(xiy)
axby1x2yi(bxay2x1y)
uaxby1x2y
vbxay2x1y
而lim1x2y 0,lim2x1y 0
处 处不 解.析
例5 证 明 ：w如 u(x果 ,y)iv(x,y)为 解 析 函 数
w必 与 z无 关 ， 可 以 z表单 示独 。用
例6
已 知f解 (z)的 析 v 虚 函 y 部 ,数 求 f(z)。 x 2y2
解
uy
vx
复变函数-第三讲

复变函数-第三讲


s inz,c ozs作 为 复 变,函 是 数 否 与 实 变 函 数
有类似的:结si果 nz 1, cozs 1.
5) 由正弦和余弦函及 数指 定数 义函数 的加法定理可推三 知角 一公 些式
scionzzs1(1( zz22)) scionzz1s1ccoozzs2s2csionzzs11ssiin nzz22 sin 2zco2sz1
当x0时, eiy coysisiny, 从而得到 : eiy coysisiny
e iy e iy
e iy e iy
si y n
cy o s
y R(2 )
2 i
2
推广到复变数情形
定义
ezi ezi sinz
ezi ezi co sz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
uv v u x y x y
上述条件满足时,有
f'(z)uxivxux iuyvy iuy vy ivx
最易记忆
仅用u 表示
仅用v 表示
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
复变函数课件：2_2解析函数

复变函数课件：2_2解析函数


存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数

复变函数


f(z) 在全平面除
1 1 z1 i , z2 i 外解析。 2 2
3、函数解析的条件(C-R条件) 定理 函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在点 z=x+iy 可导的充分必要条件是 (1) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 可微; (2) 函数 u(x,y),v(x,y) 在点 (x,y) 的微分满足 C-R 方程：
(3) 满足
e z1 z2 e z1 e z2 ,
(4) 以2kπi (k=0, ±1, ± 2,...)为复周期。这是因为 ei2kπ=cos(2kπ) +i sin(2kπ)=1， 所以 ez+i2kπ= ez·i2kπ=ez. e
我们发现导数定义与实函数完全类似。因此我们也有与实函数完 全相似的符号(例如以 △f=f(z+△z)-f(z)称为函数增量等等)。并且有 完全相同的求导运算法则。
例：函数 f(z)=|z|2 在 z=0 可导并且 f’(0)=0. 证：
f ( z ) f ( 0) | z |2 zz lim lim lim lim z 0. z 0 z 0 z 0 z z 0 z0 z
vx=-uy=6xy , 所以 v=3x2y+g(y), (2) 这一步中的g(y) 也是必须的。
(2) 曲线积分法
例：求 u=x3-3xy2 的共轭调和函数。
解：因为 u 是调和函数，因此其共轭调和函数 v 存在并且其全微分 dv=vxdx+vy=-uydx+uxdy=6xydx+(3x2-3y2)dy, 利用高等数学中全微分的原函数求法，取顶点为 (0,0), (x,0), (x,y) 的 折线作为积分路径，由此求出
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定

复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定


=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
复变函数第二章

复变函数第二章


2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数

复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数

u v 1 u v iii) 求导数： f' ( z ) i x x i y y

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程

u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件

1. 解析函数的充要条件
【复变函数】第二章 解析函数(工科2版)

【复变函数】第二章 解析函数(工科2版)

(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
复变函数第4讲

复变函数第4讲


究竟是偶然的现象还是必然的规律？ 究竟是偶然的现象还是必然的规律？
定理1 函数f 定理 函数 (z)=u(x, y)+iv(x, y)在点 z0 = x0 + i y0 在点 可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在 ( x0 , y0 ) 在 可微，且在该点满足 可微，且在该点满足Cauchy-Riemann方程 方程
思考题
实函数中 , f ( x ) = x 在 ( −∞ , +∞ )内可导 ; 复函数中 , f ( z ) = z 的可导性 ?
2 2
处可导， 结论： 结论： 函数 f ( z ) = z 仅在 z = 0 处可导， 处处连续 .
2
事实上
注意到
z
2
= z z,
∆f f ( z 0 + ∆ z ) − f ( z 0 ) ( z 0 + ∆ z )( z 0 + ∆ z ) − z 0 z 0 = = ∴ ∆z ∆z ∆z ( z 0 + ∆ z )( z 0 + ∆ z ) − z 0 z 0 ∆z = = z0 + z0 + ∆z . ∆z ∆z ∆f 当 z 0 = 0 时，lim = 0 , 即 f ' ( 0 ) = 0; ∆z → 0 ∆ z ∆f 当 z 0 ≠ 0 时， lim 不存在 . ∆z→ 0 ∆ z
(1) c ' = 0, 其中c为常复数； (2) ( z n ) ' = nz n−1 ;
(3) 若f (z)、g(z)都可导，则 都可导，
(i ) (ii ) ( f ± g )' = f '± g' ; ( f g )' = f ' g + f g' ;
复变函数2

复变函数2



解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数
u x, y x y xy ,
2 2
求一解析函数 f z u iv 使 f 0 0. 解： （法一） ux 2x y , u y 2 y x
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v
2 x y dy
2
1 2 2 xy y c x vx 2 y c x , 2 1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c ,
u与v是区域D内的调和函数 证明：f ( z)在D内解析 u x v y , vx u y ,
u xx vxy , u yy vxy uxx u yy 0. 同样可得 vxx v yy 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv 不一定是解析函数 .
2
2
lim (2 z Δ z ) 2 z .
Δ z 0
所以 f '(z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。）
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f ( z z ) f ( z ) [解] 这里 lim z 0 z ( x x) 2( y y )i x 2 yi x 2yi lim lim z 0 z 0 x yi x yi x 2yi x lim 1. 取z x 0, lim z 0 x yi z 0 x x 2yi 2y 取z iy 0, lim lim 2. z 0 x yi z 0 y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
第二章复变函数

第二章复变函数

∂u = 2x ∂x ∂v =y ∂x
v( x, y) = xy
∂u =0 ∂y ∂v =x ∂y
Q 都是初等函数，在复平面内处处连续；
∂u ∂v ∂x = ∂y 针对柯西 − 黎曼方程 仅在 z = 0处成立 ∂u = − ∂v ∂y ∂x
∂u ∂v 导数： f ' ( z = 0 ) = [ + i ] | z = 0 = ( 2 x + iy ) | x = 0, y = 0 = 0 ∂x ∂x
∂u ∂v |( x, y ) +i |( x, y ) ∂x ∂x
（）∆z 0 2 →
沿虚轴
∆ z = i∆ y
{u ( x, y + ∆y ) + iv ( x, y + ∆y )} − {u ( x, y ) + iv ( x, y )} lim i∆ y ∆y → 0 1 u ( x, y + ∆y ) − u ( x, y ) v ( x , y + ∆y ) − v ( x , y ) + lim lim ∆y i ∆y →0 ∆y ∆y → 0
f 例: f ( z ) = u + iv为解析函数， ' ( z ) ≠ 0, 则曲线u ( x, y) = c1
v( x, y ) = c2必互相正交。
证： ux 曲线 u ( x , y ) = c1 斜率为 k1 = − uy vx 曲线 v ( x , y ) = c 2 斜率为 k 2 = − vy
w = f ( z) = z
2
的可导性。
2 2 ∆ w f ( z + ∆z ) − f ( z ) z + ∆z − z = = ∆z ∆z ∆z

复变函数中解析函数的理论分析及应用

复变函数中解析函数的理论分析及应用【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数0 前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。

而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。

1 解析函数的概念如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。

如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。

注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。

2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。

3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。

但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。

4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

2 函数解析的判定2.1 根据解析函数的定义判定要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。

例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。

2.2 根据初等函数的解析性判定若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定1）指数函数ez在整个复平面上解析；2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。

4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析5）shz，chz在整个复平面上解析。

复变函数2-1解析函数

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2.可导与连续的关系:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连 续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处 可导.
12
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例题
f ( z ) z 在z平面上处处连续但却处处不可导
解 (1) f(z)=z的连续性显然
2 z 0
2
lim ( 2 z z ) 2 z .
f ( z ) z 在z平面上处处可导 .
2
¢ (z ) = 2z
2
6
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例2 解
讨论 f ( z ) Im z的可导性 .
f ( z z ) f ( z ) Im( z z ) Im z f z z z Im z Im z Im z Im z z z
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• 若记 z = x +iy ，则习惯记
z0 =x0 +iy0
Dz =Dx +iDy
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例1 求f ( z ) z 2的导数 . 解 z C
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) z lim z 0 z
1.导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0为D中的一 点, z0 z D
f (z0 z) f (z0 ) 如果极限 lim 存在且有限 z0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导 .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0

复变函数第4讲


由于f(z)在某点的可导性判定不同于一元实函数 由于 在某点的可导性判定不同于一元实函数 那么简单，所涉及的困难就是当 那么简单，所涉及的困难就是当z→z0时，其方式的 任意性，因此要判定 的可导性 首先w=f(z)=u(x, 的可导性， 任意性，因此要判定f(z)的可导性，首先 y)+iv(x, y) 在点 0, y0)时，与其实部 在点(x 虚部v(x, y) 时 与其实部u(x, y), 虚部 在(x0, y0)可导性联系起来，就有 可导性联系起来， 条件。 可导性联系起来 就有C-R条件。 条件
f (z) − f (z0 ) f ′(z0 ) = lim z→z0 z − z0
2. ε-δ定义: δ 使得当0< ∆ 对于任给的ε>0, 存在δ(ε)>0, 使得当0< |∆z| <δ 时, 有
f (z0 + ∆ z) − f (z0 ) − f ′(z0 ) < ε ∆z
如果f(z)在区域 内处处可导, 就说f(z)在Ｄ内可导. 如果 在区域D内处处可导 就说 在 内可导 在区域 内处处可导
lim f (z0 + ∆z) = f (z0 ) 即f(z)在z0处连续 在 处连续. ∆z→0
例1 求f(z)=z2的导数 [解] 因为
f (z + ∆ z) − f (z) (z + ∆ z)2 − z2 lim = lim ∆z→0 ∆z→0 ∆z ∆z
= lim (2z + ∆ z) = 2z.
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) | − f ′(z0 ) |< ε ∆z
令
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) − f ′(z0 ) ρ(∆z) = ∆z

复变函数的解析函数性质

复变函数的解析函数性质复变函数是数学中的一个基本分支，它将实数域扩展到了复数域。

复变函数的解析性质是研究复变函数的核心内容之一。

在本文中，我们将介绍复变函数的解析函数性质。

一、解析函数的定义解析函数是指在某个区域内处处可导的复函数。

具体来说，设函数f(z)在复平面上的区域D内有定义，如果对于D内的每个点z0，f(z)在z0的某个邻域内处处可导，那么称f(z)在D内是解析函数。

二、解析函数的必要条件解析函数的必要条件是可微。

如果在领域内发现实部和虚部的一阶偏导数不连续，那么不满足解析函数的必要条件。

三、解析函数的充分条件解析函数的充分条件为柯西—黎曼方程式。

如果在一个区域内，解析函数f(z)同时具有以下两个条件：（1）f(z)在区域内可导；（2）f(z)的实部和虚部都满足柯西—黎曼方程式，则f(z)在该区域内解析。

柯西—黎曼方程式如下：∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = −∂v/∂x其中u(x,y)和v(x,y)分别表示解析函数f(x+iy)的实部和虚部。

四、解析函数的特征解析函数具有以下特征：（1）自由度：对于解析函数f(z)，在其定义域D内的每个点z处，它的复值仅由z的自变量确定。

（2）局部性：如果f(z)在某个区域内解析，则它在这个区域内处处解析。

（3）解析函数的导数：解析函数f(z)的导数可以直接用求偏导的方式求得。

（4）零点与奇点：如果f(z)在某个点z0处为零，则称z0为f(z)的零点。

如果f(z)在某个点z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点。

五、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用在物理学领域，解析函数是很重要的工具。

特别是在热物理、电磁学、流体力学等领域，解析函数有广泛的应用。

例如，解析函数在热传导中的应用，可以用来描述一个材料中热能的传导方式。

2. 解析函数在工程学中的应用在工程学中，解析函数也是一个重要的工具。

解析函数在电路分析、控制系统、信号处理等领域有广泛的应用。

复变函数点解析

复变函数点解析复变函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个自变量为复数、因变量也为复数的函数关系。

复变函数的点解析是指函数在某个点附近的解析性质，这是研究复变函数的重要方法之一。

在复变函数中，点解析的概念与实变函数中的泰勒展开类似。

对于一个复变函数f(z)，如果它在某个点z0附近具有解析性质，就意味着可以将函数在该点附近用泰勒级数展开。

这种展开形式可以用来描述函数在该点附近的性质，比如函数的导数、高阶导数等。

而泰勒级数的收敛性则决定了这种展开形式的有效性。

具体来说，如果一个复变函数f(z)在某个点z0附近有解析性质，那么它可以展开成如下形式的泰勒级数：f(z) = ∑ [f^(n)(z0)(z - z0)^n] / n!其中，f^(n)(z0)表示函数f(z)在点z0处的n阶导数。

这个级数在某个收敛半径内是绝对收敛的，也就是说，在这个半径内，函数f(z)可以用泰勒级数来逼近。

点解析的概念在复变函数的研究中有广泛的应用。

首先，通过对函数进行点解析，我们可以得到函数在某个点附近的解析表达式，从而可以更好地了解函数的性质。

比如，我们可以通过求导数来研究函数的变化率、曲率等几何性质；我们还可以通过级数展开来计算函数的积分、求和等数值计算问题。

点解析还可以帮助我们研究函数在整个复平面上的性质。

通过研究函数在各个点的解析性质，我们可以得到函数的全纯性、奇点、极点等重要概念。

全纯函数是指在整个复平面上都有解析性质的函数；奇点是指函数在某个点处不解析的点，比如函数的极点、本性奇点等。

点解析还与复变函数的边界性质密切相关。

通过研究函数在某点附近的解析性质，我们可以得到函数在该点处的边界值，从而研究函数在整个边界上的性质。

这在复变函数的边界值问题中有重要的应用，比如调和函数的研究、边界积分的计算等。

复变函数的点解析是研究复变函数的重要方法之一。

通过对函数在某点附近的解析性质进行研究，我们可以得到函数的泰勒展开、导数、全纯性、奇点等重要性质。

复变函数课件2-2函数解析的充要条件


(1) w z; ( 2) f ( z ) e x (cos y i sin y ); ( 3) w z Re( z ).
解 (1) w z ,
u x, v y,
u u v v 1, 0, 0, 1. x y x y 不满足柯西－黎曼方程,
5
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值 . z 1 ki
h( z0 z ) h( z0 ) lim 不存在. z 0 z
因此 h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导, 根据定义, 它在复平面内处处不解 析.
2
6
例2 解
函数 f ( z ) xy 在点 z 0 不可导.
18
例5 设 f ( z ) u( x , y ) iv( x , y ) 在区域 D 内解
析, 并且 v u , 求 f ( z ).
2
解
u v u 2u , x y y u v u 2 u , y x x
2 2
2
4
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z h( z0 z ) h( z0 ) lim 0. (1) z0 0, z 0 z
( 2) z0 0,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y 1 i 1 ik z x i y x z x iy 1 i y 1 ik x
所以 u 常数, v 常数,
因此 f ( z ) 在区域 D 内为一常数.
21
参照以上例题可进一步证明:
如果 f ( z ) 在区域 D 内解析, 则以下条件彼此等价 . (1) f ( z ) 恒取实值;
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7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
= z
23
例6 设复变函数f(z)= u(x, y)+iv(x, y),且u(x, y)
和v(x, y)都有偏导数，试证(形式地)：对于f(z),
柯西 -黎曼方程可以写成：
17
例2 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ),
问常数a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解 析?
解 记u( x, y) x2 axy by2, v( x, y) cx2 dxy y2
u 2x ay, x
u ax 2by, y
价的.
4
证明： 事实上，复变函数在区域内解析 显然在该区域内可导.
反过来，设 f (z)在区域 D内可导， 则 z D, 必存在 z 的某个邻域 U , 使得 U D, 由 f (z)在区域 D内可导，必有 f (z)在 U内可导， 即 f (z)点 z 处解析，由 z 的任意性，得证.
5
例 7 研究函数 f (z) z 2 的解析性.
x
x
由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), y
于是 f (z) c ic2 (常数).
20
参照以上例题可以证明: 如果 f (z) 在区域 D 内解析, 并且满足下列条件之一，
则 f (z) 在 D 内为常数.
(1) f (z)恒取实值;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
z0 x0 y0i
*
u v x y
u v y x
当 f (z在) z可 导z0 时，它在该点的导数为
f '(z) u v i v u i x x y y
条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.— R.方 程）．
教材P 54-55
11
由该定理，可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z0 x0 iy0 处的导数公式:
此时 u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, u e x sin y,
x
y
v e x sin y, v e x cos y,
x
y
u v , u v . 且四个偏导数均连续 x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析. 且 f (z) e x (cos y i sin y) f (z) ez .
偏导函数在点 均连续并且z满足 C-R 方 程，则 在点 处可导f (z。) z
由于复变函数在区域内解析与在该区域内可导是 等价的，我们有
定理2 函数f (z) = u( x, y) + iv( x, y)在其定义区
域D内解析的充分条件是：u( x, y)与v( x, y)的一阶偏
导数在D内连续，并且满足C-R方程。
解 f (z0 z) f (z0 ) z0 z 2 z0 2
z
z
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z
z0
z
z0
z z
当 z0 0 时,
lim f (z0 z) f (z0 ) 0
z0
z
6
当 z0 0 时,
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
u v y x
当 f (z在) z 可z0导时，它在该点的导数为
f '(z) u v i v u i x x y y
条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.— R.方 程）．
教材(P 52-53)
10
定理2 复变函数 f (z) u(x, 点y) v(x, y)i 可导的充分必要条件是： ⑴函数 u( x与, y) v在( x, y) 可z0微 x．0 y0i ⑵ 在该点满足方程
8
（5） 函数解析的充要条件
Cauchy-Rieman方程
9
*
定理1 复变函数 f (z) u(x, y点) v(x, y)i z0 x0 y0i
可导（可微）的必要条件是：
⑴函数 u( x,与y) v在( x, y) 存z0 在= x0偏+ y导0i 数
⑵ 在该点满足方程
u v x y
解析函数
解析函数是复变函数研究的主要对象。 这里首先介绍复变函数导数的概念，然后 讨论复变函数在解析的概念和充要条件， 最后介绍几个常见初等函数的解析性。
1
一个函数的导数定义为一个特殊的极限
f '(a) lim f ( x) f (a) xa x a
形式上可以认为该极限式与变量是实的还是复的无关，对
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (7) v u2;
(6) Im[ f (z)] 常数; (8) arg f (z) 常数.
21
例5 试证函数f(z)=ln|z|+iargz 在角形域
-π<arg(z)<π解析，且在该区域内有f'(z)= 1.
z
解 由题意:u(x,y)= 1ln(x2 + y2 ),v(x, y)= arctan y(x >0),
2
§2-1 解析函数的定义与柯西-黎 曼方程
一 解析函数的概念 (1) 导数的定义链接-导数定义.ppt
(2) 可导与连续及可微的关系 链接-可导与连续.ppt (3) 求导法则链接-求导法则.ppt (4) 解析函数的定义
3
(4) 解析函数的定义 如果函数 f (z) 在 z0 的某个邻域内处处可导,
1 2
i
v x
i
v y
0
由此可见，解析函数是以 f = 0为其特征。因此我们说一个
z
解析函数与z无关，而是z的函数
25
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式或求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在，则可直 接断定 f (z) 在 D内解析. (2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u, v 在 D内 的各一阶偏导数连续(因而 u( x, y), v( x, y)在 D 内可微)，且满足 Cauchy Riemann 方程, 则 由解析函数的充要条件断定 f (z) 在 D内解析.
v 2cx dy, x 欲使 u v ,
x y
v dx 2 y, y u v , y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
18
例3 如果 f(z) 在区域 D 内解析，且| f(z)| 是一个常数,
z z
x x
iy iy
1 i y
1
i
x y
1 ik 1 ik
x
由于 k 的任意性, z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim f (z0 z) f (z0 )不存在
z0
z
因此, h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析.
13
由该定理，可得解析函数 f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) 在 点 区域D内 的导函数公式:
f (z) = u + i v = 1 u + v . x x i y y
14
例题
例 1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w =| z |; (2) f (z) = e x (cosy + isiny); (3) f (z) = z 2 .
则f(z) 在区域 D 内为一常数.
证 由已知得：| f (z) |2 u2 ( x, y) v2 ( x, y) c
对上式两边分别对x,y求偏导得：
2uux 2vvx 0, 2uuy 2vvy 0
从而 ux uy
=
vx vy
, 结合ux
=
vy ,uy
=
-v
得：
x
ux2
+ u2y
=
0,vx2
16
(3) f (z) = z 2 = x2 - y2 - 2xyi,