人教版初中数学八年级下册菱形知识点及同步练习

初二数学下册知识点《菱形的判定》150例题及解析副标题一、选择题（本大题共65小题，共195.0分）1.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．2.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【答案】D【解析】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．3.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A. AC⊥BDB. AB=BCC. AC=BDD. ∠1=∠2【答案】C【解析】解：A.正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B.正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C.错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D.正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．4.下列判断错误的是（）A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个内角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．故选：D．根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．本题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．5.下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确．故选：D．直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案．此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定．注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键．6.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；D．如图所示，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D．连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．7.下列命题中，真命题是( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C【解析】【分析】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，故选：C．8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. AC⊥BDD. ∠ABO=∠CBO 【答案】B【解析】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB=AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当∠ABO=∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO=∠ADO，∴∠ABO=∠ADO，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；当AC=BD时，可判定四边形ABCD是矩形；故选：B．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．9.下列命题中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【解析】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选：D．根据菱形对角线互相垂直平分的判定方法进行解答．此题主要考查的是菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形．10.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A. AB=ADB. AC⊥BDC. AC=BDD. ∠BAC=∠DAC 【答案】C【解析】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；D、∠BAC=∠DAC时，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．故选：C．根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．11.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC，∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选：D．先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形，难度一般．12.如图，在▱ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A. AM=ANB. MN⊥ACC. MN是∠AMC的平分线D. ∠BAD=120°【答案】D【解析】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCN=∠DCB，∠BAM=∠BAD，∴∠BAM=∠DCN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（ASA），∴AM=CN，BM=DN，∵AD=BC，∴AN=CM，∴四边形AMCN是平行四边形，A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM=AN，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；C、∵四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥BC，∴∠MNA=∠CMN，∵MN是∠AMC的平分线，∴∠NMA=∠NMC，∴∠MNA=∠MAC，∴∠MAC=∠NMA，∴AM=AN，∵四边形AMCN是平行四边形，∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；D、根据∠BAD=120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；故选：D．根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAM=∠DCN，证△ABM≌△CDN，推出AM=CN，BE=DN，求出AN=CM，得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键．13.如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（）A. AB＝ACB. BC＝BDC. AC＝BDD. AB＝BC【答案】D【解析】【分析】本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据菱形的判定方法即可解决问题.【解答】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，故选：D．14.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法.其中正确的个数是( )①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确.故选A．15.已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，则（）①②A. 四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形B. 四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形C. 四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形D. 四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定以及新定义问题等知识，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.【解答】解：∵四边形ABCD是等对角线四边形，∴AC=BD，∵题图①中四边形EFGH的四个顶点分别是是四边形ABCD四条边的中点，∴EH//BD，EH=BD，GF//BD，GF=BD，HG//AC，HG=AC，EF//AC，EF=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC=BD，∴EH=HG，∴EFGH是菱形，∴四边形EFGH不是等对角线四边形.∵题图②中四边形KLMN满足KL//MN//AC，ML//NK//BD，∴四边形ACLK、四边形KBDN、四边形KLMN是平行四边形，∴AC=KL，KN=BD，∵AC=BD，∴KL=KN，∴KLMN是菱形，∴四边形KLMN不是等对角线四边形.故选B.16.如图，四边形ABCD中，AB∥CD．则下列说法中，不正确的是( )A. 当AB＝CD，AO＝DO时，四边形ABCD为矩形B. 当AB＝AD，AO＝CO时，四边形ABCD为菱形C. 当AD∥BC，AC＝BD时，四边形ABCD为正方形D. 当AB＝CD时，四边形ABCD为平行四边形【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形和平行四边形的判定，注意：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可.【解答】A.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AO=DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故A正确；B.∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=AD，∴四边形ABCD为菱形，故B正确；C.∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD为矩形，故C错误；D.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故D正确.故选C.17.若顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是菱形，则原四边形一定是（）A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 对角线相等的四边形【答案】D【解析】【分析】此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选D．18.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 对角线相等的四边形D. 对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，∴BD=AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：C．首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．19.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形【答案】B【解析】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．20.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，∴四边形EMFN为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于M点，∴ME=MF，∴四边形EMFN为菱形．故选B．21.对角线互相平分且相等的四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】B【解析】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．22.下列说法正确的是（）A. 对角线相等的平行四边形是菱形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相互垂直的四边形是菱形D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形【答案】B【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项错误；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；C、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C选项错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D选项错误，故选：B．利用菱形的判定定理对各个选项逐一判断后即可确定正确的选项．本题考查了菱形的判定，牢记菱形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．23.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题．②等腰梯形的对角线相等．故②是真命题．③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故③是假命题．④两直线平行，内错角相等．故④是假命题．故选B．命题是判断事情的语句，若是判断的事情是正确的就是真命题，如果是错误的就是假命题，平行四边形的对角线互相平分，等腰梯形的对角线相等，对角线互相垂直的不一定是菱形，两直线平行，内错角才相等．本题考查真假命题的概念，以及平行四边形的判定．菱形的判定，等腰梯形的判定定理，以及内错角等知识点．24.下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有（）个．A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】解：∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；其中正确的有2个．故选：C．根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键．25.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A. AB=ACB. AD=BDC. BE⊥ACD. BE平分∠ABC 【答案】D【解析】【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．26.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是正方形【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠BAC，所以AE=DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB=BC不能判定四边形AEDF是正方形，故D选项错误．故选：D．27.下列说法正确的是（）A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】D【解析】解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；故选：D．分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．28.如图，在▱ABCD中，对角线，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：；；平分；为AD中点。

八年级菱形知识点总结在初中数学中，菱形是一种常见的图形，学生需要掌握它的性质和用法。

本文将总结八年级菱形的知识点，包括面积、周长、对角线、中线等方面，希望对初中数学学习有所帮助。

一、菱形的定义和性质菱形是四边形的一种，它有如下性质：1. 四条边相等，即AB=BC=CD=DA，其中AB代表菱形上的任意一条边；2. 对角线互相垂直，且相互平分，即AC⊥BD并且AC=BD；3. 对角线的中点连线互相垂直，即AE⊥BF，CE⊥DF，其中E 和F分别是AC和BD的中点；4. 菱形内角和为360度，即∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360度。

二、菱形的周长和面积1. 周长由于菱形的四条边相等，因此它的周长可以用任意一条边a来表示，即P=4a。

2. 面积菱形面积的公式是S=(d1×d2)/2，其中d1和d2分别是对角线长，可以使用勾股定理计算，即d1²=d²+a²/4，d2²=d²+b²/4。

其中a和b分别是菱形两边的长度，d是菱形的对角线长度。

三、菱形的对角线和中线1. 对角线的长度由于菱形的对角线互相平分，因此可以用勾股定理求出对角线的长度，即d=√(a²+b²)。

2. 对角线的中点连线菱形的对角线的中点连线被称为菱形的中线，分别用e和f表示，它们互相垂直，长度相等。

中线长度的公式为e=f=√(a²+b²)/2。

四、菱形的应用1. 建筑设计在建筑设计中，常常需要设计菱形形状的窗户和门，因为这样可以在视觉上改变建筑物的形状。

2. 拼贴艺术拼贴艺术是一种非常受欢迎的艺术形式，它可以使用各种材料进行创作，包括彩纸、糊纸、墙纸等。

在拼贴艺术中，菱形形状也经常被使用。

3. 数学应用菱形在数学中有着广泛的应用，包括概率、统计、几何等方面。

例如，在概率计算中，会使用菱形图来表示事件的可能性。

在统计学中，会使用菱形图来表示一组数据的分布情况。

人教版初中数学八年级下册18.2.3菱形的性质同步练习夯实基础篇一、单选题：1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A ．对边分别相等B ．对角分别相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等【答案】D【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．2．菱形的两条对角线的长分别是2cm 和6cm ，则菱形的面积是（）A ．26cm B ．212cm C ．28cm D ．224cm3．已知菱形ABCD ，2cm AB ，60A ，则菱形ABCD 的面积为（）A ．23cm B ．24cm C 2D ．2【答案】DAE ∵四边形ABCD 是菱形，∴2AD AB ，∵60A ，∴30ADE ，则12AE AD ，∴2222213DE AD AE ，4．菱形的周长为24cm ，两个相邻的内角度数之比为1:2，则较短的对角线长度是（）A ．6cmB ．C D ．12cm【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x ，因为邻角之和为180°，所以x +2x =180°，所以x =60°，画出其图形，根据含30度角的直角三角形的性质，可以得到其中较短的对角线的长．5．如图，菱形的边长为2，=45ABC ，则点A 的坐标为（）A ．2,2B ． C ． D ．【答案】D 【分析】根据坐标意义，点A 坐标与垂线段有关，过点A 向x 轴垂线段AE ，求得OE 、AE 的长即可知点A 坐标．【详解】过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为E ，则∠AEO =90°，∵=45ABC ，∠AEO =90°∴45AOE OAE ，OE ∴OE AE6．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，过点A 作AE BC 于点E ，连接OE ．若6OB ，菱形ABCD 的面积为54，则OE 的长为（）A ．4B ．4.5C ．5D ．5.5【答案】B 【分析】由菱形的性质可得12BD ，由菱形的面积得可得9AC ，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．21B．65C．42D．56∴∠AOE ＝90°﹣∠BAO ＝90°﹣25°＝65°．故选：B ．【点睛】此题考查求角的度数，解题的关键是熟记菱形的性质并能应用．8．如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE AB ，垂足为E ，8cm DE ，则AC 为（）A ．8cmB ．C ．D ．4cm9．如图，菱形ABCD中，EF是AB的垂直平分线，∠FBA＝50°，则∠ACB＝_____．于点E，则DE ______．10．如图，在荾形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE AB11．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，过点D 作DH AB 于点H ，连接OH ，若64OA OH ，，则菱形ABCD 的面积为_______．【答案】48【分析】由菱形的性质得6OA OC ，OB OD ，AC BD ，则12AC ，再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD 的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，12．如图，在菱形ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE 交对角线BD 于点F ，连接CF ，若40AED ，则BCF ______°．【答案】40【分析】由“SAS”可证△ABF ≌△CBF ，可得∠BAF =∠BCF ，由平行线的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =CB ，AB ∥DC ，∠ABF =∠CBF ，∵AB =CB ，∠ABF =∠CBF ，BF =BF ，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴∠BAF =∠BCF ，∵∠AED =40°，AD ∥BC ，∴∠AED =∠BAF ，∴∠BCF =40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．13.如图，在菱形ABCD 中，AE BC ，垂足为点E ．AE 与BD 交于点F ，连接CF ．若32CBF ，则ECF 的大小为______．【答案】26【分析】根据菱形的性质，得出AB CB ，32ABF CBF ，再根据SAS ，得出ABF CBF ≌，再根据全等三角形的性质，得出BAF BCF ，再根据菱形的性质，得出64ABC ，再根据垂线的定义，得出90AEB ，再根据三角形的内角和定理，得出26BAF ，进而即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB CB ，32ABF CBF ，在ABF △和CBF V 中，AB CB ABF CBF BF BF，∴ ABF CBF SAS ≌，∴BAF BCF ，∵323264ABC ABF CBF ，∵AE BC ，∴90AEB ，∴180180906426BAF AEB ABE ，∴26BCF BAF ，即26ECF ．故答案为：26【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．三、解答题：14．已知：如图，菱形花坛ABCD 的边长为10m ，∠BCD ＝120°，沿对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．∴AO ＝5m ，15．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点O ，DE 垂直平分BC ，垂足为点E ，求ABC 的大小．【答案】120°【分析】根据DE 垂直平分BC ，可得BD DC ，根据菱形的性质可得BD BC DC ，即BDC 为等边三角形，则60DCB o ，则问题得解．【详解】解：在菱形ABCD 中，有AB BC CD AD ，且DC AB ∥，∵DE 垂直平分BC ，∴BD DC ，∴BD BC DC ，∴BDC 为等边三角形，∴60DCB o ，∵DC AB ∥，∴180ABC BCD ，∴180********ABC BCD o o o o ，即∠ABC 的度数为120°．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质等知识，证明BDC 是等边三角形是解答本题的关键．16．如图，菱形ABCD ，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，60B EAF ，18BAE ，求CEF 的度数．【答案】18【分析】连接AC ,根据菱形的性质，可知ABC 为等边三角形，60B EAF ，18BAE ，从而可得60AEF ，进而可得18CEF【详解】连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴ABC 为等边三角形，∴60BAC ACB ，AB AC ，∴60ACF B ，∵60EAF BAC ，∴BAE CAF ，∴ABE ACF V V ≌，∴AE AF ，∴AEF △为等边三角形，∴60AEF ，∵AEF CEF B BAE ，且18BAE ，∴18CEF【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键17．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ＝5，求：(1)∠BAC 的度数；(2)AC 的长．18．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB 于H ，连接OH ．(1)求证：OHD ODH ．(2)若4OC ，6BD ，求DH 的长．【点睛】本题考查了菱形的性质：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角），解决（1）小题的关键是判断OH 为直角三角形斜边上的中线．能力提升篇一、单选题：1．如图，菱形ABCD 的边AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点F ，连接DF ．当100BAD 时，CDF （）A ．15°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】B 【分析】连接BF ，利用SAS 判定BCF DCF ≌，从而得到CBF CDF ，根据已知可得出CBF 的度数，从而得CDF 的度数．【详解】如图，连接BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CD BC ，DCF BCF ，在BCF △和DCF 中，2．如图，在菱形ABCD 中，对角线68AC BD ,，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动和过程中，PE PF 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】设AC 交BD 于O ，作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，可得此时EP +FP 的值最小，最小值为NF ，再由菱形的性质证得四边形ANFB 是平行四边形，然后根据勾股定理求出AB ，即可求解．【详解】解：设AC 交BD 于O ，作E 关于AC 的对称点N ，连接NF ，交AC 于P ，∴PN =PE ，∴PE +PF =PN +PF ，∴此时EP +FP 的值最小，最小值为NF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠DAB =∠BCD ，AD =AB =BC =CD ，OA =OC ，OB =OD ，AD BC ∥，∵E 为AB 的中点，∴N 在AD 上，且N 为AD 的中点，∵AD BC ∥，∴∠ANP =∠CFP ，∠NAP =∠FCP ，∵AD =BC ，N 为AD 中点，F 为BC 中点，∴AN =CF ，∴()ANP CFP ASA @V V ，∴AP =CP ，即P 为AC 中点，∵O 为AC 中点，∴P 、O 重合，即NF 过O 点，二、填空题：3．已知，在菱形ABCD 中，=100ABC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，在AC 上取点P ，连接PB PD 、，若=20PBD ，则PDC 的度数为______．∴==20PBD PDB ，∴=5020=30PDC ；当点P 如下图P 点所在位置时：∵P B P D ，∴==20P BD P DB ，∴=+=70P DC P DB CDO ；综上：PDC 的度数为30 或70 ，故答案为：30 或70 ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．4．如图，菱形ABCD 的周长为20，面积为24，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线AB 、AD 的垂线段PE 、PF ，则PE PF 等于______5．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是对角线AC上一个动点，点F是边AB上一个动点，连接EF，EB，则EB EF的最小值为______．三、解答题：，点D在y轴上．6．如图1，已知菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为 3,0， 2,0(1)求点C 的坐标；(2)如图2，对角线AC ，BD 相交于点G ，求AC ，BD 的长及点G 的坐标．7．在菱形ABCD 中，60ABC ，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE ，连接BE 、EF ．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是__________．(2)如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)BE=EF(2)成立，证明见解析【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA=60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE=CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE=∠F，即可得出结论；（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC，∠ACB=60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG=AE=GE，∠AGE=60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°．∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE．∵CF=AE，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF．又∵CF=AE，∴GE=CF．即在△BGE和△CEF中，BG CE BGE ECFGE CF，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，综合性强，较难．熟练掌握上述知识并正确的作出辅助线是解题关键．。

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

第2课时菱形的判定教学目标：1．掌握菱形的判定方法；(重点)2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)教学过程一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF ＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB ＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：用判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形的前提条件是该四边形是平行四边形；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解析：(1)由作图知PQ为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD ＝CD.然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS”证得两三角形全等即可；(2)根据(1)中全等得到AE＝CF.然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC ＝FA.从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四边相等的四边形是菱形”判定四边形AECF为菱形．证明：(1)由作图知PQ为线段AC 的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD ＝∠AED.在△AED与△CFD中，⎩⎨⎧∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD，AD＝CD，∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF .∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形把握以下两起点：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用 【类型一】 菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)．解析：∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠AFB .∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝∠FAD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF .同理ED ＝CD .∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF .又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加的一个条件可以是AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD ，CB ＝CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF .(1)求证：∠BAC ＝∠DAC ，∠AFD＝∠CFE ；(2)若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD ＝∠BCD ，并说明理由．解析：(1)首先利用“SSS”证明△ABC ≌△ADC ，可得∠BAC ＝∠DAC .再证明△ABF ≌△ADF ，可得∠AFD ＝∠AFB ，进而得到∠AFD ＝∠CFE ；(2)首先证明∠CAD ＝∠ACD ，再根据“等角对等边”，可得AD ＝CD .再由条件AB ＝AD ，CB ＝CD ，可得AB ＝CB ＝CD ＝AD ，可得四边形ABCD 是菱形；(3)首先证明△BCF ≌△DCF ，可得∠CBF ＝∠CDF ，再根据BE ⊥CD 可得∠BEC ＝∠DEF ＝90°，进而得到∠EFD ＝∠BCD .(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS)，∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABF 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF (SAS)，∴∠AFD ＝∠AFB .∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD .又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD .∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(3)解：当EB ⊥CD 于E 时，∠EFD ＝∠BCD .理由如下：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF .在△BCF 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF (SAS)，∴∠CBF ＝∠CDF .∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，则∠BCD ＋∠CBF ＝∠EFD ＋∠CDF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计 1．菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合运用教学反思在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用．。

八年级菱形知识点在初中数学课程中，菱形也被称为矩形，是一种常见的图形。

菱形结构简单，但在数学中应用广泛，因此掌握这种图形非常重要。

本文将介绍八年级学生会遇到的菱形知识点，包括定义、性质、角度和公式等。

定义和性质菱形是一个有四个边和四个角的图形。

它有两条对角线，每一条都穿过图形中心，分成两个相等的三角形。

每个角都是90度，因为两个相等的三角形组成了一个正方形。

由于对角线相等，菱形有很多特殊的性质。

例如，每两个相邻角的和是180度，而每一对对角线的夹角是90度。

角度在菱形中，有两类重要的角度：内角和外角。

内角是指两个相邻角之间的角度，而外角则是指一个角在菱形外围的角度。

根据菱形的性质，内角加起来等于360度。

这意味着相邻角之间的角度相等，都是90度。

而外角是内角的补角。

因此，菱形的每个外角都是270度。

在菱形中，也有两类特殊的角度：邻边角和对角线角。

邻边角是指一个角和相邻的边之间的角度，而对角线角是指两个相交对角线之间的角度。

由于菱形的特殊性质，邻边角是90度，而对角线角则是180度。

公式菱形有许多公式，其中最常用的是面积公式和周长公式。

菱形的面积可以使用公式A=1/2*d1*d2来计算，其中d1和d2是对角线的长度。

菱形的周长可以使用公式P=4l来计算，其中l是菱形的每个边的长度。

应用菱形在日常生活中也会被用到。

例如，我们经常看到由菱形铺成的路面或者瓷砖地板。

此外，菱形在工程和建筑中也经常用作结构或者设计元素，如方格吊顶的装修、各种卫生间墙面的瓷砖形态等。

在数学领域中，菱形在因式分解、二次方程以及立体几何中都有广泛的应用。

结论菱形是一种基础的图形，它在数学教育中具有重要的地位。

八年级学生需要对菱形的定义、性质、角度和公式有基本的掌握。

此外，了解菱形在日常生活和工程领域中的应用也是有益的。

掌握菱形知识点，不仅可以提高数学成绩，还可以帮助我们更好地理解和应用这种图形。

菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【答案】35°##35度【分析】根据菱形的性质进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠OBA=∠OBC=1∠ABC，2∵∠BAD=110°，∴∠ABC=180°-∠BAD=70°，∴∠OBC=1∠ABC=35°，2故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．【答案】25°##25度【分析】根据菱形的性质求出∠BDA=∠ABD=65°，再根据斜边中线等于斜边一半得出∠BDH=∠OHD=25°即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，AB=AD，∠BCD=∠BAD=50°，∴∠BDA=∠ABD=65°∵DH⊥AB，∴OH=OD=OB，∠ADH=40°，∴∠BDH=∠OHD=25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【答案】38°##38度【分析】根据四边形的性质，得出∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，根据SAS证明△ABE≌△CBE，得出∠AEB=∠BEC=58°，根据三角形内角和得出∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB= 102°，根据平行线的性质，得出∠BAD=180°-∠ABC=140°，得出∠EAF=∠BAD-∠BAE=38°，根据等腰三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=40°，∴AB=BC=AD，AD∥BC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=20°，∵在△ABE和△CBE中AB=BC∠ABE=∠CBE BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠AEB=∠BEC=58°，∴∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=102°，∵AD∥BC，∴∠BAD =180°-∠ABC =140°，∴∠EAF =∠BAD -∠BAE =38°，∵AE =FE ，∴∠AFE =∠EAF =38°．故答案为：38°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明△ABE ≌△CBE ．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为8和6，DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE 的长为______．【答案】245【分析】利用菱形的性质，求出菱形的边长，再用等积法求出线段DE 的长即可．【详解】解：设AC ，BD 交于点O ，∵在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 分别为8和6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4,OB =12BD =3，∴AB =32+42=5，∵DE ⊥AB ，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =AB ⋅DE ，即：12×8×6=5DE ，∴DE =245；故答案为：245．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的边长为．【答案】5【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解．【详解】解：依题意可知BD⊥AC，AO=4，BO=3∴AB=32+42=5，故答案为：5．【点睛】此题主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的对角线垂直．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【答案】(1)证明见解析(2)80【分析】(1)根据菱形的性质，得AB=AD，∠B=∠D；根据AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，则△ABE≅△ADF，即可；(2)根据菱形的性质，得AB=BC，根据AB=10，CE=4，勾股定理，求出AE，即可求出菱形的面积．【详解】(1)证明，如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AB=10，CE=4，∴BE=6，∴AE=AB2-BE2=102-62=8，∴菱形ABCD的面积为：BC×AE=10×8=80．【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC =7，BD =4，则菱形ABCD 的面积为_______．【答案】14【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =7，BD =4，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =12×7×4=14，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．【答案】 524【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，先计算边长，由对角线乘积的一半求得面积．【详解】解∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴由勾股定理得，菱形的边长=32+42=5，∵菱形的面积=对角线乘积的一半，∴菱形的面积=6×8÷2=24．故答案为：5，24．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理等知识点，灵活运用性质进行计算是解此题的关键．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB =25cm ，AC =4cm ，则BD 的长为__cm ，菱形ABCD 的面积为cm 2．【答案】 816【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出BD 的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC =4cm ，∴AC ⊥BD ，BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC =2cm ，∵AB =25cm ，∴BO =AB 2-AO 2=4cm ，∴BD =2BO =8cm ，∴菱形面积为12AC ⋅BD =12×4×8=16，故答案为：8，16．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在边AB ，AD 的延长线上，且BE =DF ，连接CE ，CF ．求证：CE =CF ．【答案】证明见解析【分析】根据菱形的性质得到BC =CD ，∠ADC =∠ABC ，根据SAS 证明△BEC ≌△DFC ，可得CE =CF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =CD ，∠ADC =∠ABC ，∴∠CDF =∠CBE ，在△BEC 和△DFC 中，BE =DF∠CBE =∠CDF BC =CD，∴△BEC ≌△DFC SAS ，∴CE =CF ．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，连接EF(1)求证：AE =AF ；(2)若∠B =60°，求∠AEF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE =AF ．(2)根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE 和∠DAF 度数，从而求出∠EAF 度数，证明了等边三角形AEF ，即可求出∠AEF 的度数．【详解】(1)证明：∵菱形ABCD ，∴AB =AD ,∠B =∠D ，又∵AE ⊥BC ,AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°．在△AEB 和△AFD 中，∠AEB =∠AFD∠B =∠D AB =AD，∴△ABE ≌△ADF (AAS )．∴AE =AF ．(2)解：∵菱形ABCD ，∴∠B +∠BAD =180°，∵∠B =60°，∴∠BAD =120°．又∵∠AEB =90°,∠B =60°，∴∠BAE =30°．由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴∠BAE =∠DAF =30°．∴∠EAF =120°-30°-30°=60°．∵AE =AF ，∴△AEF 等边三角形．∴∠AEF =60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，交AB 于点E ，连接DF．(1)求证：AF =DF ；(2)若∠BAD =70°，求∠FDC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠FDC =75°【分析】(1)连接BF ，由线段垂直平分线的性质得AF =BF ，再证△BCF ≌△DCF (SAS )，得BF =DF ，即可得出结论；(2)由全等三角形的性质得∠FDC =∠FBC ，再由菱形的性质得∠BCF =∠DCF =∠BAC ，∠ABC =180°-∠BAD =110°，然后求出∠FBA =∠BAC =35°，则∠FBC =∠ABC -∠ABF =75°，即可得出答案．【详解】(1)证明：连接BF ，如图所示：∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF =BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BC =DC ，∠BCF =∠DCF ，在△BCF 和△DCF 中，BC =DC∠BCF =∠DCF CF =CF，∴△BCF ≌△DCF (SAS )，∴BF =DF ，∴AF =DF ；(2)解：由(1)知△BCF ≌△DCF (SAS )，∴∠FDC =∠FBC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC ，∠BAC =12∠BAD =12×70°=35°，AD ∥BC ，∴∠BCF =∠DCF =∠BAC ，∠ABC =180°-∠BAD =180°-70°=110°，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AF =BF ，∴∠FBA =∠BAC =35°，∴∠FBC =∠ABC -∠ABF =110°-35°=75°，∴∠FDC =∠FBC =75°．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF ≌△DCF (SAS )是解题的关键．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD 是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD 为菱形．(只填一种情况即可)【答案】AB=AD(符合题意即可)【分析】根据菱形的判定定理进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴添加AB=AD，则可得ABCD为菱形．(一组邻边相等的平行四边形是菱形)故答案为：AB=AD(符合题意即可)【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．【答案】AB=AD(答案不唯一)【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∵AO=CO，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，如果添加AB=AD，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形ABCD为菱形；故答案为：AB=AD(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【答案】AD=BC【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC等．答案不唯一．【详解】解：条件是AD=BC．∵EH,GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥BC，EH=12BC，GF∥BC,GF=12BC，∴EH∥GF,EH=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．∵HG是△ACD的中位线，∴HG=12AD，∵AD=BC，∴EH=HG，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AD=BC【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定，正确理解三角形的中位线的性质及菱形的判定定理是解题的关键．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】根据AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，进而证明△ADE≌△CDF AAS得出AD=DC，即可证明四边形ABCD是菱形．【详解】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF AAS，∴AD=DC，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？【答案】是菱形，见解析【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形”证明即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF AAS，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．关键是根据题意推出OE=OF，题目比较典型，难度适中．2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【答案】见解析【分析】根据AE=AF和AC⊥EF得到∠BAC=∠DAC，然后结合平行四边形的性质得到BA= BC，进而证明出四边形ABCD是菱形．【详解】∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD=∠ACB．∴∠BAC=∠BCA．∴BA=BC．∴四边形ABCD是菱形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BDE=35°．【分析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；(2)先根据三角形的内角和定理得出∠ABC=180°-80°-30°=70°，再由菱形的性质可求解．【详解】(1)证明：∵DE⎳BC，DF⎳AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⎳BC，∴∠EDB=∠DBF，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=12∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，又四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵∠A=80°，∠C=30°，∴∠ABC=180°-80°-30°=70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF=∠ABC=70°，∠EDF=35°．∴∠BDE=12【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定定理是本题的关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．【答案】(1)见解析(2)1+3【分析】(1)根据垂直平分线的性质可得DE=CE，DF=FC，根据角平分线的性质可得∠ECG=∠FCG，根据全等三角形的判定和性质可得GE=GF，根据平行四边形的判定可得四边形DFCE是平行四边形，根据菱形的判定可得四边形DFCE是菱形；(2)过D作DH⊥BC于H，构建直角三角形，根据30°的直角三角形性质可得BH=1，根据勾股定理可得DH=3，根据菱形的性质可得DF∥AC，根据平行线的性质可得∠DFB=∠ACB=45°，推得△DHF是等腰直角三角形，可得DH=FH=3，从而得结论．【详解】(1)证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE=CE，DF=FC，∠EGC=∠FGC=90°，DG=CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG=∠FCG，∵CG=CG，∴△CGE≌△CGF ASA，∴GE=GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE=CE，∴四边形DFCE是菱形；(2)解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF=∠DHB=90°，∵∠ABC=60°，∴∠BDH=30°，BD=1，∴BH=12在Rt△DHB中，DH=22-12=3，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH=FH=3，∴BF=BH+FH=1+3．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，30度角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)3【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB=BC，即可得出结论；(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA=3，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB=BC，∴四边形ABCD是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，AC=OA=OC，∴OE=12∵BD=2，BD=1，∴OB=12在Rt△AOB中，AB=10，OB=1，∴OA=AB2-OB2=102-12=3，∴OE=OA=3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC 是菱形；(2)连接BE ，若AB =6，AD =9，则BE 的长为．【答案】(1)见解析(2)122【分析】(1)根据已知条件得出四边形BDEC 是平行四边形，根据BD =BC 即可得证；(2)连接BE 交CD 于O ，在Rt △BDO 中，得出BO =62，根据BE =2BO ，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，∵AD =BD ，∴BD =BC ，∵CE ∥BD ，AD ∥BC ，∴四边形BDEC 是平行四边形，又∵BD =BC ，∴四边形BDEC 是菱形；(2)解：如图，连接BE 交CD 于O ，∵四边形BDEC 是菱形，CD =AB =6，∴DO =CO =12CD =3,BO =12BE ,CD ⊥BE 在Rt △BDO 中，AD =BD =9，∴BO =BD 2-DO 2=92-32=62∴BE =2BO =122故答案为：122．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，且BE =DF ．(1)求证：平行四边形ABCD 是菱形(2)若∠EAF =60°，CF =2，求菱形ABCD 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)83【分析】(1)证△AEB≌△AFD，得AB=AD，即可得出结论；(2)连接AC，证△ACD是等边三角形，得CD=AC，再由含30°角的直角三角形的性质得AC=2CF=4，则CD=AC=4，AF=23，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴Rt△AEB≅Rt△AFD ASA．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)如图，连接AC，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEF=∠AFE=90°∵∠EAF=60°，∴∠ECF=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF=60°，AD=CD∴△ACD是等边三角形∵AF⊥DC∴∠CAF=30°∴AC=2CF=2×2=4在Rt△CFA中，AF=AC2-CF2=42-22=23．∴菱形ABCD的面积=4×23=83．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键，属于中考常考题型．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．【答案】(1)见解析(2)8【分析】(1)根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；(2)过E作EG⊥BC于G，根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】(1)∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE∥CF，DE=12BC，DF∥CE，DF=12AC，∴四边形DFCE是平行四边形，∵AC=BC，∴DE=DF，∴四边形DFCE是菱形；(2)过E作EG⊥BC于G,∵AC=BC，∠A=75°，∴∠B=∠A=75°，∴∠C=30°，∵点E是AC的中点，AC=8，∴CE=12AC=4，∵EG⊥BC，∴EG=12CE=14AC=2，∵四边形DFCE是菱形，∴CF=CE=4∴S菱形DFCE=CF∙EG=2×4=8．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．【答案】(1)见解析(2)734【分析】(1)先证明△AOF≌△COE，得出AF=CE，证明四边形AECF为平行四边形，根据EF是对角线AC的垂直平分线，得出AF=CF，即可求证；(2)过C作CH⊥AD于H，则∠CHD=∠CHF=90°，根据∠ADC=60°，得出∠HCD=30°，求HD=12CD=1，根据勾股定理求出CH=CD2-HD2=3，进而得到AH=2，在Rt△CHF中，由勾股定理可得AF =CF =74，即可求解．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠FAC =∠ACE ，∠AFE =∠CEF ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF =CE ，∴四边形AECF 为平行四边形，∵EF 经过O 且垂直于AC ，∴EF 是对角线AC 的垂直平分线，∴AF =CF ，∴四边形AECF 为菱形；(2)解：过C 作CH ⊥AD 于H ，则∠CHD =∠CHF =90°，∵∠ADC =60°，∴∠HCD =30°，∴HD =12CD =1，∴CH =CD 2-HD 2=3，∵AD =3，∴AH =2，∵四边形AECF 是菱形，∴AF =CF ，设AF =CF =x ，则FH =2-x ，在Rt △CHF 中，由勾股定理得：CF 2=FH 2+CH 2，即x 2=2-x 2+3 2，解得：x =74，∴AF =CF =74，∴菱形AECF 的面积为：AF ×CH =74×3=734．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、AC 、BC 分别交于点E 、O 、F ．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【答案】(1)见解析(2)①6.5；②39【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE,AO=CO，再由矩形的性质可得AE∥CF，从而得到∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，再证明△AOE≌△COF，可得AE=CF，从而得到四边形AFCE是平行四边形，即可求证；①根据矩形的性质可得AC=2BO，∠ABC=90°，再由勾股定理求出AC=13，即可求解；②根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解．【详解】(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴AE=CE,AO=CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥CF，∴∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，在△AOE和△COF中，∵∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AE=CE，∴四边形AFCE是菱形；(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，点O为AC的中点，∴AC=2BO，∠ABC=90°，∵AB=5，BC=12，∴AC=AB2+BC2=13，∴BO=12AC=6.5；②∵四边形AFCE是菱形，EF=6，∴菱形AFCE的面积12AC×EF=12×13×6=39．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理是解题的关键．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A=50°，则∠BDC的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°【答案】D【分析】由菱形的性质得出AB ∥CD ，∠ADB =∠CDB ，利用平行线的性质求出∠ADC 的度数，从而即可求得∠BDC 的大小．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠ADB =∠CDB ，∴∠A +∠ADC =180°，又∠A =50°，∴∠ADC =130°，∴∠ADB =∠CDB =12∠ADC =65°．故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明△ABD 是等边三角形，由AC ⊥BD ，得到∠OAB =12∠BAD =30°，∠AOB =90°，即可得到OB =12AB =12，利用勾股定理求出AO 的长度，即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =AD ，AC ⊥BD ，AO =OC =12AC ，∵∠DAB =60°，且AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，∵AC ⊥BD ，∴∠OAB=12∠BAD=30°，∠AOB=90°，∴OB=12AB=12，∴AO=AB2-OB2=12-12 2=123，∴AC=2AO=3，故选：D．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、30°角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质．3(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°【答案】A【分析】根据菱形的性质得出∠CBE=23°，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=46°，则∠CBE=12∠ABC=23°，∵CE⊥BC，∴∠BEC=90°-∠CBE=67°，故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余．4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线BD=43，∠BAD= 120°，则菱形ABCD的面积是()A.83B.8C.163D.43【答案】A【分析】根据菱形性质求出AO=12AC，BO=12BD=23，AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD=60°，根据勾股定理得AB2-AO2=BO2，即2AO2-AO2=232，求出AO=2，根据菱形面积得出1 2AC⋅BD=12×4×43=83．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AO=12AC，BO=12BD=23，AC⊥BD，∠BAO=12∠BAD=60°，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-60°=30°，∴AB=2AO，在Rt△AOB中根据勾股定理得：AB2-AO2=BO2，∴2AO2-AO2=232，解得：AO=2，负值舍去，∴AC=2×2=4，∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×43=83，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线乘积的一半．5(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】解：①连接BD，证明△ABD为等边三角形，DE⊥AB，BF⊥AD，∠GDB=∠GBD=30°，从而可判断①；证明GD=GB，设菱形的边长为4m，则AE=2m=BE，DE=23m，再分别求解两个三角形的面积可判断②；证明Rt△CDG≌Rt△CBG，可得DG=BG=12CG，可判断③；设菱形的边长为4m，则AE=2m=BE，DE=23m，再求解菱形的面积可判断④．【详解】解：①连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD =AB ，且∠A =60°，∴△ABD 为等边三角形，又∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴DE ⊥AB ，BF ⊥AD ，∠GDB =∠GBD =30°，∴∠BGD =180°-2×30°=120°，GD =GB ，∴①符合题意；同理可得：∠ADE =30°=∠ABF ，设菱形的边长为4m ，则AE =2m =BE ，DE =23m ，∴S △ADE =12×2m ×23m =23m 2，∵∠ABF =30°，DE ⊥AB ，∴BG =2GE ，∴BG 2=12BG 2+2m 2，∴BG =433m ，同理可得：△BCD 为等边三角形，∴∠GBC =60°+60°-30°=90°，∴S △BCG =12×4m ×433m =833m ，∴S ΔADE :S ΔGBC =3:4，故②不符合题意；∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠CDG =∠CBG =90°，∵CD =CB ，CG =CG ，∴Rt △CDG ≌Rt △CBG ，∴∠DCG =∠BCG =30°，∴DG =BG =12CG ，∴DG +BG =CG ，∴③符合题意；设菱形的边长为4m ，则AE =2m =BE ，DE =23m ，∵△ABD 为等边三角形，△BCD 为等边三角形，∴S 菱形ABCD =2S △ABD =2×12×4m ×23m =83m 2，而32AB 2=32×4m 2=83m 2，∴S菱形ABCD =32AB2，故④符合题意；综上：正确的有①②④；故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，熟练的利用基本图形的性质解题是关键．二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．【答案】20【分析】设AC与BD交于点O，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，再由菱形的面积得BD=8，则OB=OD=4，然后由勾股定理求解即可．【详解】解：如图，设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=12AC=3，OB=OD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的面积是24，∴12AC×BD=24，∴BD=24×26=8，∴OB=OD=12BD=4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=5，∴菱形ABCD的周长=4AB=20，故答案为：20．【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．【答案】532°【分析】根据菱形的性质得出BO=DO，AB=AD，AB∥CD，根据等边对等角可得∠ADO=AB=5．∠ABO=32°，由三角形中位线定理得出OE=12【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO，AB=AD，AB∥CD，∴∠ADO=∠ABO=32°，∵E是边AD的中点，BO=DO，∴OE是△ABD的中位线，AB=5．∴OE=12故答案为：5，32°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，，证明出OE是△ABD的中位线是本题的关键．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0，、3，0点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．【答案】-5，4【详解】根据菱形的性质和点的坐标求出OB，DC=AB=BC=5，根据勾股定理求出OC，再求出点D的坐标即可．【解答】解：∵A-2，0，四边形ABCD是菱形，，B3，0∴OB=3，CD=BC=AB=3--2=5，∴OC=BC2-OB2=52-32=4，又∵CD∥AB，CD=5，∴点D的坐标为：-5，4．故答案为：-5，4．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．。