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而得到所求结果的方法,叫做 关于k、b的方程(组);
待定系数法
解:解方程(组)求得系数的值;
写:将k、b的值代回关系式中
并写出关系式
图示
19.2.2 一次函数(2)
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例1 (2018福建厦门一模)如图19-2-2-2-1,在平面直角坐标系中,直线l经 过第一、二、四象限,点A(0,m)在直线l上. (1)在图中标出点A; (2)若m=2,且l过点(-3,4),求直线l的表达式.
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分析 (1)先确定直线y=4x-3与x轴的交点坐标,然后利用待定系数法求 出一次函数的解析式;(2)由k,b的符号确定一次函数的图象经过的象限; (3)若要求一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积,则先要求出 一次函数图象与两坐标轴的交点坐标,然后利用三角形的面积公式求 解.
19.2.2 一次函数(2)
制定了一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费做出如下规定:
月用水量(吨)
单价(元/吨)
不大于10吨的部分
1.5
大于10吨不大于m吨的部分(20≤m≤50)
2
大于m吨的部分
3
19.2.2 一次函数(2)
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(1)若某用户六月份用水量为18吨,求其应缴纳的水费; (2)记该用户六月份用水量为x吨,缴纳水费为y元,试求出y与x的函数关 系式; (3)若该用户六月份用水量为40吨,缴纳水费y元的取值范围为70≤y≤9 0,试求m的取值范围. 分析 (1)由题表知月用水量为18吨时,缴纳的水费包括两部分:10吨以 内和超过10吨不大于m吨的部分(20≤m≤50); (2)利用月用水量的不同阶段的收费标准列出函数关系式即可; (3)将x=40代入(2)中求得函数的解析式,根据缴纳水费y元的取值范围为 70≤y≤90列出关于m的不等式,求解即可.
19.2.2 一次函数(2)
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题型一 一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积问题 例1 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,-3),且与直线y=4x-3的交点 在x轴上. (1)求一次函数的解析式; (2)此函数的图象经过哪几个象限? (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
19.2.2 一次函数(2)
况讨论,分别求出相应的函数解析式.
19.2.2 一次函数(2)
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知识点一 一次函数解析式的确定 1.一次函数y=kx+b的图象如图19-2-2-2-1所示,则k、b的值分别为 ( )
A.k=-1 ,b=1
2
C.k=1 ,b=1
2
图19-2-2-2-1 B.k=-2,b=1 D.k=2,b=1
19.2.2 一次函数(2)
答案
B
由题图可知该一次函数的图象经过点(0,1),
1 2
,,0
将这两点坐标代入该一次函数的解析式得
1 0
b, 1 2
k
b
,
解得
k b
故 2选, B.
1.
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19.2.2 一次函数(2)
知识点二 一次函数的应用
19.2.2 一次函数(2)
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解析 (1)∵18<m恒成立, ∴前面10吨生活用水每吨收费1.5元,后面8吨生活用水每吨收费2元, ∴应缴纳的水费为10×1.5+(18-10)×2=31(元). (2)①当0≤x≤10时,y=1.5x; ②当10<x≤m时,y=10×1.5+(x-10)×2=2x-5; ③当x>m时,y=10×1.5+(m-10)×2+(x-m)×3=3x-m-5,
家这个月的用水量为多少立方米?
图19-2-2-2-3
19.2.2 一次函数(2)
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解析 (1)由题图可知,每月用水量为18立方米时,应交水费45元. (2)设当x≥18时,函数表达式为y=kx+b(k≠0),将(18,45)、(28,75)代入函 数表达式得
1288kk解得bb
19.2.2 一次函数(2)
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初中数学（人教版）
八年级 下册
第十九章 一次函数
19.2.2 一次函数(2)
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知识点一 一次函数解析式的确定
名称 待定系数法
定义
应用步骤
先设待求函数关系式(其中含 设:设函数关系式为
有未知系数),再根据条件列 y=kx+b(k≠0);代:将已知点的
出方程(组),求出未知系数,从 坐标代入所设关系式中,得到
45, 75,
k 3,
b
9,
∴y=3x-9(x>18).
将y=81代入函数表达式得3x-9=81,解得x=30.
故小敏家这个月的用水量为30立方米.
19.2.2 一次函数(2)
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电力公司为了鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费的方法, 已知某用户每月应缴电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线 (如图),根据图象解答下列问题. (1)分别写出当0≤x≤100和x>100时,y与x之间的函数解析式; (2)根据函数解析式,说明电力公司采取的收费标准; (3)若该用户某月用电62度,则应缴费多少元?若该用户某月缴费105元, 则该用户该月用了多少度电?
解析 (1)对于一次函数y=4x-3.当y=0时,x= 3 .
4
∴它与ห้องสมุดไป่ตู้轴的交点坐标为
3 4
, ,0
∴直线y=kx+b经过点(3,-3)和点
3 4
, ,0
∴
3k 3k 4
b 3
解得
b 0,
,
k
4 3
,
b 1 .
∴一次函数的解析式为y=- 4 x+1.
3.(2017浙江绍兴中考)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)
和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y
(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图19-2-2-2-3所示.(8分)
(1)若每月用水量为18立方米,则应交水费多少元?
(2)求当x>18时,y关于x的函数表达式.若小敏家某月交水费81元,则小敏
图19-2-2-2-3 (1)根据图象分别求出y1、y2与x的函数关系式; (2)根据图象直接回答:哪个商场付给员工的工资多一些.
19.2.2 一次函数(2)
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解析 (1)设y1与x的函数关系式为y1=k1x(k1≠0),将(40,600)代入,得600=4 0k1,解得k1=15,故y1与x的函数关系式为y1=15x(x≥0且x为整数). 设y2与x的函数关系式为y2=k2x+400(k2≠0),将(40,600)代入,得600=40k2+4 00,解得k2=5,故y2与x的函数关系式为y2=5x+400(x≥0且x为整数). (2)根据图象可知, 当销售件数大于40时,甲商场付给员工的工资多一些; 当销售件数小于40时,乙商场付给员工的工资多一些; 当销售件数等于40时,甲商场与乙商场付给员工的工资一样多. 点拨 一次函数表达式的确定通常有以下几种情况: (1)通过分析数量(等量)关系得出一次函数表达式. (2)利用函数图象,根据直线上两点的坐标确定k,b的值,求出一次函数表
图19-2-2-2-1 分析 (1)利用y轴上点的坐标性质得出A点的位置; (2)利用待定系数法求出直线l的表达式即可.
19.2.2 一次函数(2)
解析 (1)点A的位置如图19-2-2-2-2所示:
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图19-2-2-2-2
(2)设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),把(0,2),(-3,4)分别代入y=kx+b,得 解
3
(2)∵k=- 4 <0,b=1>0,
3
∴一次函数y=- 4 x+1的图象经过第一、二、四象限.
3
(3)∵当x=0时,y=1,当y=0时,x= 3 ,
4
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19.2.2 一次函数(2)
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∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积
S= 1 |x|·|y|=3 .
2
8
方法归纳 求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积是一次函数中
解得
k
或52 ,
k
所 以52 该, 一次函数的解析式为y=
b 6 b 4 .
x-6或5 y=-
2
x+5 4.
2
错解 只求出一个解析式,漏掉其中一种情况.
错解警示 当只给出自变量和函数值的取值范围时,因为没有明确告知
函数的增减性,所以必须分y随x增大而增大和y随x增大而减小这两种情
达式. (3)从已知条件出发,通过数学建模,得出一次函数表达式.
19.2.2 一次函数(2)
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题型三 利用一次函数解决实际问题 例3 (2018湖南邵阳模拟)虽然近几年无锡市政府加大了对太湖水的治
污力度,但由于大规模、高强度的经济活动和日益增加的污染负荷,部 分太湖水域水质恶化,富营养化的问题不断加剧.为了节约水资源,我市
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2.李大爷要围一个矩形菜园,菜园的一边是足够长的墙,用篱笆围成的另 外三边总长应恰好为24米,要围成的菜园为矩形ABCD,如图19-2-2-2-2 所示.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是 ()
A.y=-2x+24(0<x<12) C.y=2x-24(0<x<12)
的常见题型,解此类问题的关键是求出直线与x轴,y轴的交点坐标,从而
